3 teknik bab 4 PENAJAMANUNASTEKNIK MGMPM
BE RISI : RINGKASAN MATERI DAN SOAL PILIHAN
9 BILANGAN REAL
9 LOGIKA MATEMATIKA
9 MATRIKS 9 PERSAMAAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT
9 FUNGSI LINEAR DAN KUADRAT
9 PROGRAM LINEAR
9 TRIGONOMETRI
9 GEOMETRI DIMENSI DUA
9 GEOMETRI DIMENSI TIGA
9 VEKTOR
9 PELUANG
9 LIMIT FUNGSI
9 TRY OUT UNAS 2011
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
A. BILANGAN BERPANGKAT (EKSPONEN)
1. Untuk
2. Untuk n = 0
3. Untuk
a a a a a n × × × × = .......
Sebanyak n faktor
Sebanyak n faktor
5. ,dimana b ≠0
, dimana b ≠0
Dengan n ≥2
6. a a a m
a c b c a c ⇔ = log =
Sifat-sifat bilangan berpangkat
A. BENTUK AKAR (BILANGAN IRASIONAL)
Definisi
Sifat-sifat bentuk akar:
Merasionalkan penyebut
B. LOGARITMA
Keterangan :
• a disebut bilangan pokok atau basis
logaritma dengan ketentuan ( 0 < a < 1) atau (a > 1)
Jika a = 10 maka penulisan log 10 log
ditulis dengan
log x
Jika a = e (e
7128 , 2 ≈ 2 ) maka
penulisan
e x log ditulis dengan x ln • b disebut numerus dengan ketentuan
b>0 • c disebut hasil logaritma b>0 • c disebut hasil logaritma
E-learning Matematika, GRATIS 61
Sifat-sifat Logaritma
6. a log b + a log c = a log( b × c ) 11. a
log b b × a log c = log c
Latihan 1
1. Perbandingan gaji seorang suami dengan gaji istrinya adalah 5 : 3. Jika gaji suami Rp 2.600.000,00 maka gaji istrinya adalah ............
a. Rp 1.480.000,00
c. Rp 1.550.000,00
e. Rp 1.620.000,00
b. Rp 1.520.000,00
d. Rp 1.560.000,00
2. Jika a = 27 dan b = 32 maka nilai dari 3(a 3 ) x 4b 5 adalah .................
2 3. Diketahui log 5 3 = a dan log 2 = b, nilai log 30 = .......
4. Seorang pedagang membeli 1 lusin gelas seharga Rp 45.000,00, dan pedagang
2 tersebut telah menjual 5 gelas seharga Rp 10.000,00. Jika semua gelas telah terjual dengan harga tersebut, maka persentase kerugian pedagang adalah .......
5. Bentuk sederhana dari
6. Jika p=
dan q=
maka p + q sama dengan …
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
62 www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
7. Diketahui log 5 = 0,699. log 3 = 0,477 dan log 2 = 0,301. Nilai log 125 adalah …
8. Nilai dari log (2 3 × 10 ) – log 2 adalah …
3 3 9. Jika 8 log 4 = a dan log 5 = b , maka log 20 = …
a. c. e.
b. d.
10. Bentuk sederhana dari 48 − 4 75 + 2 243 adalah ….
a. 2 35 c. 6 3 e. 10 3
b. 4 3 d. 83
2 2 11. Nilai dari 2 log 12 + log 6 − log 9 adalah …..
2 5 12. Nilai dari 2 ( log 5 × log 6 ) − log 24 adalah …..
13. Bentuk sederhana dari
14. Bentuk sederhana dari 2 48 −
15. Nilai dari 3 log 8 3
16. Menjelang hari raya, sebuah toko memberikan diskon 15% untuk setiap pembelian barang. Jika Rini membayar pada kasir sebesar Rp 127.500,00, maka harga barang yang dibeli Rini sebelum dikenakan diskon adalah ……
a. Rp 146.625,00
c. Rp 152.500,00
e. Rp 191.250,00
b. Rp 150.000,00
d. Rp 172.500,00
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
E-learning Matematika, GRATIS 63
Ingkaran (Negasi ; ~ p dibaca tidak p)
BS Kontraposisi : ~q → ~p
Negasi Pernyataan Majemuk
Konjungsi ( p q ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
SB
∧ dibaca p dan q) p
q p ∧ q ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
~( p → q) ≡ p ∧ ~q
Pernyataan Berkuantor
1. Kuantor Universal S
∀ (x) p(x) dibaca : setiap (semua) x bersifat p.
SS
Disjungsi ( p ∨ dibaca p atau q) q
pq p ∨ q ∃(x)~p(x) dibaca : ada beberapa x
Negasinya :
tidak bersifat p.
B B 2. Kuantor Eksistensial S
∃(x) p(x) dibaca : ada (beberapa) Implikasi ( p → dibaca jika p q x bersifat p
maka q )
pq p → q ∀(x) ~p(x) dibaca : setiap (semua)
Negasinya :
x tidak bersifat p.
Penarikan Kesimpulan
B B a. Modus ponens : S
B p → q (B) Biimplikasi ( p ↔ dibaca p jika dan q
p (B) hanya jika q )
∴q (B) p
b. Modus tollens :
B c. Silogisme :
Konvers, Invers, Kontraposisi
p → q (B) Dari implikasi p → q dapat
q → r (B) dibentuk implikasi baru, yaitu :
∴ p→ r (B)
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
64 www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
Latihan 2
1. Perhatikan tabel berikut : pq {(p → ~q) ∧ q} → ~p
SS
Nilai kebenaran kolom ketiga pada table di atas adalah …
a. SSSS
c. BS
e. BSBS
b. BBBB
d. SB
2. Jika p bernilai salah, q bernilai benar, sedangkan ~p dan ~q berturut-turut ingkaran dari p dan q, maka diantara pernyataan berikut yang benar adalah : …
a. ~p → ~q benilai benar
c. q → p benilai benar
e. ~p → q benilai salah
b. ~q → ~p benilai benar
d. p → q benilai salah
3. Ingkaran dari pernyataan “Semua makhluk hidup perlu makan dan minum” adalah..
a. Semua makhluk hidup tidak perlu makan dan minum
b. Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau minum
c. Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan minum
d. Semua makhluk hidup perlu makan dan minum
e. Semua makhluk hidup perlu makan tetapi tidak perlu minum
4. Nilai kebenaran dari p ∧ ~q ekuivalen (setara) dengan nilai kebenaran dari …
5. Ditentukan pernyataan (p ∨ ~q) → p. Konvers dari pernyataan tersebut adalah …
6. Invers dari pernyataan (p ∧ ~q) → p adalah …
a. ~p → (p ∧ ~q) d. (p ∨ ~q)→~p
b. ~p → (p ∨ q) e. (~p ∨ q)→ p
c. (~p ∨ q)→~p
7. Ingkaran dari (p ∧ q) → r adalah …
a. ~p ∨~q∨r
8. Konvers dari “ Jika sungai itu dalam maka di sungai itu banyak ikan” adalah …
a. Jika di sungai itu banyak ikan maka sungai itu da-lam
b. Jika di sungai itu banyak ikan maka sungai itu tidak dalam
c. Jika tidak benar sungai itu dalam maka tidak benar di sungai itu banyak ikan
d. Jika tidak benar di sungai itu banyak ikan maka ti-dak benar sungai itu dalam
e. Jika di sungai itu banyak tidak ikan maka sungai itu dalam
9. Cara mengambil kesimpulan :
p → q ( B) disebut...
p (B) q (B)
a. modus tolens d. implikasi
b. modus ponens
e. bi-implikasi
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
E-learning Matematika, GRATIS 65
c. silogisme
10. Ingkaran dari pernyataan : ′′Semua peserta EBTANAS berdoa sebelum mengerjakan soal ′′ adalah …
a. Semua peserta EBTANAS tidak berdoa sebelum mengerjakan soal
b. Beberapa peserta EBTANAS berdoa sebelum mengerjakan soal
c. Beberapa peserta EBTANAS tidak berdoa sebe-lum mengerjakan soal
d. Semua peserta EBTANAS berdoa sesudah mengerjakan soal
e. Beberapa peserta EBTANAS berdoa sesudah mengerjakan soal
11. Ingkaran pernyataan : “Apabila guru tidak hadir maka semua murid bersukaria “ adalah …
a. Guru hadir dan semua murid tidak bersukaria
b. Guru hadir dan ada beberapa murid bersukaria
c. Guru hadir dan semua murid bersukaria
d. Guru tidak hadir dan ada beberapa murid tidak bersukaria
e. Guru tidak hadir dan semua murid tidak bersukaria
12. Kontra posisi dari pernyataan ′′Jika semua siswa menyukai matematika maka guru senang mengajar ′′ adalah …
a. Jika guru senang mengajar maka ada siswa yang tidak suka matematika
b. Jika tidak semua siswa menyukai matematika maka guru tidak sengang mengajar
c. Jika guru tidak senang mengajar maka ada siswa yang suka matematika
d. Jika semua siswa menyukai matematika maka guru tidak senang mengajar
e. Jika guru tidak senang mengajar maka ada siswa yang tidak suka matematika
13. Kontra posisi dari implikasi : ”Jika Ali lulus ujian maka Ali membeli motor” adalah …
a. Jika Ali membeli motor maka Ali lulus ujian
b. Jika Ali lulus ujian, maka Ali tidak membeli motor
c. Jika Ali tidak lulus ujian, maka Ali membeli motor
d. Jika Ali tidak lulus ujian, maka Ali tidak membeli motor
e. Jika Ali tidak membeli motor, maka Ali tidak lulus ujian
14. Pernyataan : ′′ Jika laut pasang maka tiang dermaga tenggelam ′′ ekivalen dengan…
a. Jika laut pasang maka dermaga tenggelam
b. Jika laut pasang maka tiang dermaga tidak teng-gelam
c. Jika laut tidak pasang maka tiang dermaga teng-gelam
d. Jika laut tidak pasang maka tiang dermaga tidak tenggelam
e. Jika tiang dermaga tidak tenggelam maka laut tidak pasang
15. Diketahui : Premis 1 : Jika x adalah bilangan irasional maka x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan. Premis 2 : x dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan. Kesimpulan dari premis di atas adalah …
a. x dapat dinyatakan dalam bentuk rasional
b. x bukan akar sempurna
c. x bukan bilangan irasional
d. x adalah bilangan irasional dan dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan
e. x adalah bilangan irasional atau dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
66 www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
det (A) =
= ad − bc ⎛ Determinan matriks ordo 3 x 3
Matriks dan Ordo matriks
K1 K2 ⎡ p q r ⎤ p q Matriks A terdiri dari 3 baris dan 2 kolom. det( A) = ⎢ s t u ⎥
⎥ s t Ukuran / Ordo matrikas A adalah 3 x 2 ⎢ v w x ⎥ v w
⎦ Syarat : ordonya sama
Penjumlahan dan pengurangan matriks
= ptx+quv+ rsw–rtv–qsx–puw ⎛ 2 5 ⎞ ⎛ 5 4 ⎞ ⎛ 2 + 5 5 + 4 ⎞ Matriks yang nilai determinan = 0 disebut
a. ⎜⎜ + =
1 3 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 1 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 + 1 3 + 1 ⎟⎟ ⎝ matriks singular ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Matriks yang nilai determinan ≠ 0 disebut
matriks non-singular
2 ⎟⎟ ⎝ Kofaktor matriks 4 ⎠
Adjoin matriks
− 3 − 9 ⎛ adalah transpose dari kofaktor-kofaktor ⎞ = ⎜⎜
⎟⎟ matriks tersebut, dilambangkan dengan
Adj A = (k t
ij )
Perkalian matriks
Invers Matriks
a. dengan skalar
A − 1 adalah invers matriks A bila :
2 ⎟ Ax A − 1 = A − 1 xA=I
a. Invers matriks ordo 2 x 2
b. perkalian dua matriks
, − syarat : banyaknya kolom matriks 1 ⎢ A dirumuskan :
A=
pertama sama dengan
banyaknya baris matriks kedua. − 1 1 ⎡ d − b A ⎤ =
⎥ ; syarat det(A) ≠0 Contoh :
⎣ − c a ⎦ ⎜⎜
det( A) ⎢
1 3 ⎟⎟ x ⎜⎜ ⎝
b. Invers matriks ordo 3 x 3 = ⎜⎜
⎟ Jika A = a a a , maka
Determinan matriks ordo 2 x 2
a b − 1 ⎡ 1 ⎤ A = .Adj(A) ; syarat det(A) ≠0 A= ⎢
maka
det( A )
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
E-learning Matematika, GRATIS 67
Latihan 3
1. Jika A= ⎜⎜ ⎟⎟ dan B = ⎜⎜ ⎟⎟ maka determinan (A . B ) –1 =… ⎝ 1 3 ⎠
2. Invers matriks A = ⎜⎜
3. Jika 2 X adalah invers dari matriks ⎜⎜ , maka X adalah matriks …
4. Diketahui matriks A = ⎜⎜
. Nilai k yang
memenuhi A + B = C –1 ; (C –1 = invers matriks C) adalah …
5. Bila matriks A berordo 3 × 2 dan matriks B berordo 2 × 1 maka matriks perkalian AB mempunyai ordo …
7. Diketahui matriks A = ⎜⎜
,B=
⎜⎜ 0 3 2 ⎟⎟ dan C = ⎜⎜ ⎟⎟ , maka
⎝ 2 0 5 ⎠ matriks 2B – A + 3C adalah …..
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
68 www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
8. Diketahui matriks A = ⎜⎜
⎝ 3 5 − 2 ⎠ maka matriks A + C - B adalah …..
9. Diketahui matriks A = ⎜⎜
, maka A+2B–3C
10. Diketahui matriks A = ⎜⎜
, maka 2A–B+C
11. Invers dari matriks A = ⎜⎜
12. Diketahui matriks A = t ⎜⎜ ⎟⎟ ;B =
⎜⎜ 2 5 ⎟⎟ .Jika D = 2A - 3B + C
(C t = transpose dari matrikas C) maka matriks D adalah …….
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
E-learning Matematika, GRATIS 69
13. Diketahui matriks
Jika A + B = C maka nilai p , q dan r berturut-turut adalah …
⎟⎟ , maka nilai y adalah ……
15. Diketahui A = ⎜⎜
Jika determinan A = determinan B, maka harga x yang memenuhi adalah …
c. 3 atau − 4 e. 3 atau 5 − − atau 4 b. 3
a. 3 atau 4
− atau 5 d. 4
16. Diketahui A = ⎢
. Jika determinan dari matriks
2A – B + 3C adalah 10 maka nilai x adalah…….
17. Invers matriks A = ⎢
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
70 www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
Persamaan linier satu variabel
Bentuk Umum ax
+b = 0 ;a,b ∈R ;a ≠0
Contoh : Tentukan Hp yang memenuhi
1 ⎫ persamaan linear : 2x + 1 = 3x – 5
Hp = ⎨ x x < − , x ∈ R ⎬ Jawab :
2 ⎭ x – 3x = –5 – 1
2x + 1 = 3x – 5
Persamaan Kuadrat
–x = –6 Bentuk Umum ax 2 + bx + c = 0 ; a, b, c
x=6
∈R;a ≠0
Hp = {x = 6} Nilai x yang memenuhi persamaan
Pertidaksamaan linier satu variabel
kuadrat disebut penyelesaian (akar)
Bentuk umum: ax +b < 0 atau
Ada 3 cara mencari akar persamaan
ax +b ≤ 0 atau ax +b > 0 atau
kuadrat:
ax +b ≥ 0 1. Pemfaktoran
Ingat : Tanda pertidaksamaan Contoh : Tentukan akar persamaan berubah (dibalik) bila kedua
kuadrat : 2 x +x 3 − 28 = 0 ruas pertidaksamaan dikali atau
dibagi dengan bilangan negatif. Jawab : x +x 3 − 28 = 0
( x − 4 )( x + 7 ) = 0
Himpunan Penyelesaian (Hp) berupa
( x − 4 ) = 0 atau ( x + 7 ) = 0
daerah pada interval (selang) yang
memenuhi pertidak samaan tersebut. x 1 = 4 atau x 2 = − 7 Contoh:
1. Tentukan Hp pertidaksamaan :
2. Melengkapkan kuadrat sempurna
2 + 6 x x 1 − Contoh : Tentukan akar persamaan
a. 3 − 4 x ≥ 9 − x b. <
kuadrat : x 2 +x 6 − 16 = 0
Jawab : Jawab : x +x 6 − 16 = 0
a. 3 − 4 x ≥ 9 − x x 2 +x 6 = 16 − 4 x + x ≥ 9 − 3 2 2
1 −x 1
3 ≥ 6 x 2 tanda dibalik ⎛ +x 6 + ⎜ . 6 ⎞ ⎟ = 16 ⎛ ⎞ + ⎜ . 6 ⎟
−x 3 6 kenapa?
3 − 3 x +x 6 + 3 = 16 + 3
Hp = { x x ≤ − 2 , x ∈ R } x + 3 = ± 5
2 + 6 x x − 1 x + 3 = 5 atau x + 3 = − 5
b. <
2 3 x = 5 − 3 atau x = − 5 − 3
3 ( 2 + 6 x )( < 2 x − 1 ) x = 2 atau x = –8
6 + 18 x < 2 x − 2
3.Rumus abc
18 x −x 2 < − 2 − 6
16 x < − 8 Contoh : Tentukan akar persamaan kuadrat : x 2 +x 3 − 28 0 x
16 16 Jawab : x +x 3 − 28 = 0 ;
a = 1, b = 3, dan c= –8
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
E-learning Matematika, GRATIS 71
− Pertidaksamaan kuadrat
b ± b 2 − 4 ac
2 a Bentuk umum : ax 2 + bx + c < 0 atau
ax + bx + c ≤ 0 atau ax + bx + c > 0 ( − 28 )
2 . 1 atau 0 ax 2 + bx + c ≥
− Langkah-langkah untuk menentukan
himpunan penyelesaian pertidaksamaan
2 kuadrat adalah :
1. = Nyatakan pertidaksamaan
2 kuadrat dalam bentuk persamaan − kuadrat.
atau x 2 =
2. Carilah akar-akar dari
2 2 persamaan kuadrat tersebut. = 4 atau
= − 7 3. Buatlah garis bilangan yang
Diskriminan (D) dan jenis-jenis akar
memuat akar-akar tersebut,
kemudian tentukan tanda (positif D= b − 4 ac atau negatif) pada masing- Beberapa jenis akar berdasarkan nilai
masing interval.
diskriminan adalah :
4. Himpunan penyelesaian
a. Jika D > 0, maka persamaan diperoleh dari interval yang
kuadrat memiliki dua akar real memenuhi pertidaksamaan yang berbeda.
tersebut.
b. Jika D = 0, maka persamaan Contoh : Tentukan Hp pertidaksamaan
kuadrat memiliki dua akar real yang sama (dua akar kembar).
kuadrat : x 2 −x 6 + 5 ≥ 0
c. Jika D < 0, maka persamaan
Jawab :
kuadrat memiliki akar-akar yang
tidak real (imajiner).
( x − 1 )( x − 5 ) = 0
Jumlah dan hasil kali akar-akar
x − 1 = 0 atau x − 5 = 0 Persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 x = 1 x = 5
persamaan kuadrat
memiliki akar-akar persamaan kuadrat
a. Jumlah akar x 1 + x 2 =
a Jadi HP = { x x ≤ 1 atau x ≥ 5 }
b. Hasil kali akar x 1 ⋅ x 2 =
c Sistem Persamaan Linier Dua
a Variabel
Menyusun persamaan kuadrat
⎧ ax + by = p
; a, b, Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar
Bentuk umum : ⎨
cx + dy = q
persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 ,
c, d, p, q ∈R
maka dapat disusun suatu persamaan Himpunan penyelesaian sistem kuadrat dengan rumus :
( persamaan linier dapat dicari dengan
x − x 1 )( x − x 2 ) = 0 atau
cara grafik, substitusi, eliminasi, atau
x − ( x 1 + x 2 )( x + x 1 ⋅ x 2 ) = 0
gabungan (eliminasi dan substitusi).
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
72 www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
Latihan 4
1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
2. Nilai x yang memenuhi persamaan
3. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ( 6 x − 12 ) ≥ 2 ( 6 x + 2 ) adalah …..
a. ⎨ x ≤ − ⎬ c. ⎨ ⎧≥ x ⎬
e. { x ≥ 20 }
d. { x ≤ 20 }
b. ⎨ x ≥ − ⎬ ⎩
4. Himpunan penyelesaian dari persamaan x 2 – 2x – 24 = 0 adalah …
a. { − 4 , 6 } c. { − 4 , − 6 } e. {} 8 , − 3
b. { 4 , − d. 6 } { − 3 , 8 }
5. Himpunan penyelesaian dari persamaan
adalah …
a. ∅ c. {} − e. 2 {} 0 , 2
b. {} 0 d. { 0 , − 2 }
6. Himpunan penyelesaian dari persamaan 6x 2 + 11x = 10 adalah …
a. {2 , } c. {2 ,– } e. {–2 , }
b. {–2 ,– } d. {–2 , }
2 2 7. Akar-akar persamaan 2x 2 + 6x = 1 adalah p dan q. Nilai dari p +q adalah … − a. 8
c. − e. 2 10 − b. 3
d. 9
8. Bila x 2
1 dan x 2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x – 6x + 5 = 0 , maka nilai
2 dari x 2
9. Keliling sebuah persegi panjang adalah 42 cm dan luas-nya 108 cm 2 . Perbandingan
panjang dan lebarnya adalah ……
10. Himpunan jawab dari pertidaksamaan x 2 – 3 > 0 adalah ...
a. { x | x > ± √3}
c. { x | x < – √3} e. { x | x < –3 atau x > √3}
b. { x | x > √3} d. { x | –√3 < x < √3}
11. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x 2 – 2x – 8 > 0 untuk x ∈ R adalah …
3 4 a. { x | x > 2 atau x < – 4
4 } c. { x|– 3 < x < 2}
e. { x | x > 3 atau x < – 2}
4 b. { x | x > 2 atau x < – 3 } d. { x | – < x < 2}
12. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x 2 – 5x – 6 > 0 , untuk x ∈ R, adalah…
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
E-learning Matematika, GRATIS 73
a. { x | – 6 < x < 1}
c. { x | x < – 1 atau x > 6}
e. { x | x < 2 atau x > 3}
b. { x | – 3 < x < 2}
d. { x | x < – 6 atau x > 6}
13. Harga-harga x yang memenuhi pertidaksamaan –x 2 + x + 6 > 0 adalah …
d. x > 3 atau x < –2
⎧ 2 x − 5 y = − 21
14. Penyelesaian system persamaan linier ⎨ adalah x dan y . Nilai dari
4 x + 6 y adalah …. − a. 6
15. Jika x dan y adalah penyelesaian dari system persamaan ⎨ maka ⎩ y − 5 = 2 ( x − 2 ) nilai dari x + adalah … y
16. Jika luas segitiga pada gambar adalah 60 cm 2 ,
maka kelilingnya adalah…cm
17. Harga tiket bus Semarang – Surabaya kelas ekonomi Rp 25.000,00 dan kelas eksekutuif Rp 65.000,00. Jika dari 200 tiket yang terjual diperoleh uang Rp 9.600.000,00 maka banyak penumpang kelas ekonomi dan kelas eksekutif masing- masing adalah….
A. 75 orang dan 125 orang
D. 110 orang dan 90 orang
B. 80 orang dan 120 orang
E. 115 orang dan 85 orang
C. 85 orang dan 115 orang
18. Himpunan penyelesaian dari 2 ( x + 5 ) ≥ 2 ( 2 x + 3 ) adalah …..
A. { x | x ≥, 2 x ∈ R } D. { x | x ≤ − 2 , x ∈ R }
B. { x | x ≤, 2 x ∈ R } E. { x | x ≤ − 4 , x ∈ R }
C. { x | x ≥ − 2 , x ∈ R }
⎧ 4 x − y = 11
19.Sistem persamaan linear ⎨ . Nilai dari 4x – 2y = …..
20. Himpunan penyelesaian dari:
< 3 adalah……
A. { x | x > − 4 } D. { x | x < 4 }
B. { x | x < − 4 } E. { x | x < 3 }
{ C. x | x > 4 }
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
74 www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
Fungsi Linear
Bentuk umum :
f(x) = mx + c atau y = mx + c b
m adalah gradien / kemiringan / kecondongan dan c adalah konstanta. Grafik fungsi linear berbentuk garis
a x lurus.
Dari grafik di atas, persamaan
A. Gradien garisnya adalah y = b x
a dan B (x 2 ,y 2 )
Garis lurus melalui titik A (x 1 ,y 1 )
E. Hubungan dua buah garis y 1 − y 2 y 2 − y 1 Dua garis yang bergradien m 1 dan m 2
m= atau m = x
dikatakan:
B. Persamaan garis lurus yang melalui • sejajar jika m 1 =m 2
• tegak lurus jika m 1 xm 2 = –1
titik A(x 1 ,y 1 ) dan B(x 2 ,y 2 ) adalah:
Fungsi Kuadrat
f(x) = ax + bx + c atau y = ax + bx + c y 2 − y 1 x 2 − x 1 dimana a, b, c ∈ R dan a ≠ 0.
C. Persamaan garis lurus (pgl) yang Grafik fungsi kuadrat berbentuk bergradien m dan melalui titik
parabola
A (x 1 ,y 1 ) adalah: Langkah-langkah menggambar grafik
1 y–y = m (x – x 1 )
fungsi kuadrat adalah:
a. Titik potong sumbu x ; y = 0 grafiknya
D. Membuat persamaan garis lurus dari
(belum tentu ada) y
b. Titik potong sumbu y (pasti ada) (0 , c)
c. Sumbu simetri x = −
d. Koordinat titik balik atau titik
puncak (x, y) dimana
a b D Dari grafik di atas, persamaan
dan y = − garisnya adalah bx + ay = ab
x= −
dengan D = b – 4ac.
e. Grafik terbuka ke bawah jika a < 0 dan terbuka ke atas jika a > 0
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
E-learning Matematika, GRATIS 75
Latihan 5
1. Persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 6), ialah ...
2. Diketahui garis g dengan persamaan y = 3x + 1. Garis h sejajar dengan garis g dan melalui A (2, 3), maka garis h mempunyai persamaan…
3. Nilai k yang membuat garis kx – 3y = 10 tegak lurus garis y = 3x – 3 adalah …
4. Grafik fungsi kuadrat f(x) = 8 – 2x – x 2 koordinat titik baliknya adalah …
a. ( − 5) c. 3 , ( − 9) 1 ,
e. ( 2 − ,9)
b. ( 2 − ,10) d. ( 1 − ,5)
5. Persamaan kurva yang sesuai
dengan grafik di samping adalah
d. 2 y=3+x–x 0 1
e. 2 y = 3 – 3x – x
6. Grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (1,–4 ) dan melalui titik (2, –3) persamaannya adalah …
2 2 a. y = x 2 – 2x - 7 c. y = x –2x – 4 e. y = x + 2x – 7
2 b. y = x 2 –x–5 d. y = x – 2x – 3
7. Jika parabola f(x) = x 2 – bx + 7 puncaknya mempunyai absis 4 , maka ordinatnya adalah …
8. Nilai minimum dari f(x) = 2x 2 + 14x + 24 adalah …
9. Persamaan sumbu simetri pada grafik f(x) = –x 2 + 2x + 15 adalah …
10. Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang persamaannya y = (x – 1)(x – 3) adalah …
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
76 www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
11. Persamaan garis yang melalui titik-titik A (2, 0) dan B (0, 4) adalah …
12. Garis ax – y = 3 dan x + 2y = b berpotongan di (2, 1) jika …
13. 19. Persamaan garis melalui titik P(4, 6) dan sejajar garis 3x – 2y = 1 ialah …
14. Persamaan garis melalui titik (0, 0) dan tegak lurus garis 2x – 3y = 5 … 3y – 2x = 0
15. Grafik fungsi kuadrat di samping persamaannya adalah …
16. Garis yang melalui titik (1, 1) dan (2, 3) adalah tegak lurus dengan garis ….
17. Nilai minimum fungsi kuadrat f(x) = 3x 2 – 24x + 7 adalah…
18. Persamaan garis lurus yang melelui titik (2, 1) dan membuat sudut 45° dengan sumbu x positif adalah….
19. Dari grafik disamping, koordinat titik puncak P adalah….
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
E-learning Matematika, GRATIS 77
A. Sistem Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya satu. Gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linear disebut sistem pertidaksamaan linear. Hp suatu pertidaksamaan linear dua variabel adalah himpunan pasangan titik (x,y) yang memenuhi pertidaksamaan linear tersebut. Hp dari pertidaksamaan ax + by ≤ c dapat ditentukan dengan metode grafik dan uji titik, dengan langkah-langkah sebagai berikut : (i) Gambar garis ax + by = c (ii) Uji titik : ambil sembarang titik diluar garis ax + by = c kemudian substitusikan
ke pertidaksamaan ax + by ≤ c , jika :
a. BENAR, maka Hp adalah daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c
b. SALAH, maka Hp adalah daerah yang TIDAK memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c
Tips Menentukan Persamaan Garis Berdasarkan Grafiknya
B. Program Linear dan Model Matematika
Program linear adalah bagian matematika terapan yang digunakan untuk memecahkan masalah pengoptimalan (memaksimumkan / meminimumkan) suatu tujuan. Dalam memecahkan pengoptimalan terdapat kendala-kendala / batasan-batasan yang harus diterjemahkan ke dalam suatu sistem pertidaksamaan linear (model matematika).
C. Nilai Optimum bentuk Objektif
Dalam program linear bentuk objektif / fungsi objektif adalah fungsi f(x,y) = ax + by yang hendak dioptimumkan. Nilai optimum bentuk objektif dapat ditentukan dengan : (i) metode titik pojok (titik ekstrem)
Dilakukan dengan cara menghitung nilai fungsi objektif f(x,y) = ax + by untuk setiap titik pojok pada daerah himpunan penyelesaian.
(ii) garis selidik Garis selidik dari fungsi objektif f(x,y) = ax + by mempubyai persamaan ax + by = k. Dengan mengambil beberapa nilai k akan diperoleh himpunan garis- garis saling sejajar yang dinamakan garis selidik. Satu diantara garis-garis selidik tersebut akan melalui suatu titik yang mengakibatkan nilai bentuk objektif mencapai optimum.
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
78 www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
Latihan 6
1. Nilai minimum dari z = 3x + 6y yang memenuhi syarat 4x + y ≥20 x+y ≤ 20 x+y ≥ 10
2. Nilai maksimum untuk 20x + 30y yang memenuhi sistem pertidaksamaan x + y ≤4 , x + 3y ≤ 6 , x, y bilangan cacah adalah …
a. 60 b. 70 c. 80 d. 90 e. 100
3. Nilai maksimum fungsi sasaran z = 8x + 6y dengan syarat : 4x + 2y ≤ 60, 2x + 4y ≤ 48, x ≥ 0 , y ≥ 0 adalah …
a. 132 b.134 c.136 d. 144 e. 152
4. Dengan persediaan kain polos 20 m dan kain bergaris 10 m seorang penjahit akan membuat pakaian jadi. Mo-del I memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain ber- garis, model II memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Jumlah total pakaian jadi akan maksi-mum, jika jumlah model I dan model II masing-masing
Jika segilima OPQRS merupakan himpunan penyelesaian program linier, maka maksimum fungsi sasaran x + 3y terletak di titik ...
6. Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan …
e. y ≤4 ; y–x≥5 ; y–x≥4
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
E-learning Matematika, GRATIS 79
7. Jika daerah yang diarsir pada digram di samping ini merupakan daerah penyelesaian untuk soal program linier dengan fungsi sasaran f(x,y) = x – y , maka nilai maksimum f(x,y) adalah …
a. f(3,1)
b. f(4,1)
c. 5 f(2,
d. f(3,2)
5 -3 0 2 X
e. f(4, 2 )
8. Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan …
e. y ≤4 ; y–x≥5 ; y–x≥4
9. Nilai maksimum f (x,y) = 5x + 10y di daerah yang di-arsir adalah …
10. Seorang pedagang kaki lima menyediakan uang Rp. 165.000,00 untuk membeli
kemeja dengan harga @ Rp 2.000,00 dan celana @ Rp 5.000,00. Jumlah kemeja yang ia beli tidak kurang dari 3 kali jumlah celana, Ia mengambil keuntungan Rp 300,00 untuk setiap potong celana. Jika barang-barang yang ia beli dengan cara tersebut di atas terjual habis, berapa keuntungan sebesar-besarnya yang ia peroleh …
a. Rp 25.000,00
d. Rp 28.500,00
b. Rp 26.500,00
e. Rp 29.500,00
c. Rp 27.500,00
11. Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kur-si. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa ba-gasi 60 kg sedang kelas ekonomi 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp. 150.000,- dan kelas ekonomi Rp. 100.000,-. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesa-wat penuh mencapai maksimum, jumlah tempat duduk kelas utama haruslah …
a. 12 b. 20 c. 24 d.25 e.30
12. Dengan persediaan kain polos 20 m dan kain bergaris 10 m seorang penjahit akan membuat pakaian jadi. Mo-del I memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain ber- garis, model II memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Jumlah total pakaian jadi akan maksi-mum, jika jumlah model I dan model II masing-masing
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
80 www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
13. Nilai minimum f(x,y)= 2x + 3y untuk x,y di daerah yang diarsiradalah …
14. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut dapat memuat 400 pasang sepatu. Keuntungan stiap pasang sepatu laki-laki Rp. 10.000,- dan setiap pasang sepatu wanita Rp. 5.000,-. Jika banyak sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang, maka keuntungan terbesar diperoleh …
a. Rp. 2.750.000,-
d. Rp. 3.500.000,-
b. Rp. 3.000.000,-
e. Rp. 3.750.000,-
c. Rp. 3.250.000,-
15. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah himpun-an penyelesaian suatu program linear. Himpunan penyelesaian itu adalah …
16. Untuk membuat roti jenis I dibutuhkan 50 gram terigu dan 50 gram mentega, sedang roti jenis II dibutuhkan 100 gram terigu dan 25 gram mentega. Tersedia 1,5 kg terigu dan 1 kg mentega. Jika banyaknya roti jenis I adalah x dan banyaknya roti jenis II adalah y maka model matematika dari masalah ini adalah…..
17. Harga pembungkus lilin A Rp 4.000,00 dan lilin B Rp 2.000,00. Jika pedagang mempunyai modal Rp 1.000.000,00 dan kiosnya mampu menampung 700 bungkus lilin maka model matematika dari persoalan adalah…
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
E-learning Matematika, GRATIS 81
Hubungan satuan Sudut
Kuadran II
1 kali putaran lingkaran = 360° = 2 o π rad Sin ( 180 – α ) = Sin α
1 rad = 57,3 o Cos ( 180 – α ) = – Cos α
Perbandingan Trigonometri o Tan ( 180 – α ) = – Tan α depan
sin α = y=
Kuadran III
r miring Sin ( 180 o + o α ) = – Sin o
samping Cos ( 180 + α ) = – Cos α cos α = x=
r miring Tan ( 180 + α ) = Tan α
Kuadran IV
tan α = y=
depan
Sin (360 – α ) = – Sin α
x o samping y Cos (360 – α ) = Cos α
Tan (360 o – α ) = – Tan α r
miring cos ec α = = α Merubah koord. Cartesius ke kutub y samping
P(x, y) →P(r, α x ) = …..? berlaku :
miring r = x + y ; Tan α = sec α = r=
x samping
o = arc Tan ⎛ y ⎞ α
⎜ x ⎟ samping
⎝ ⎠ cot α = x=
Merubah Koord. kutub ke Cartesius
y depan P(r, o α ) →P(x, y) = …..?
Nilai trigonometri sudut istimewa
y = r Sin α ° ; x = r Cos α °
Aturan Sinus
α sin β α0 sin 1 sin γ
Aturan Cosinus
Nilai pada ke-empat kuadran
Perhatikan gambar pada aturan sinus
2 2 Kuadran I 2 = 0 < α < 90 a = b + c – 2 b c cos α Kuadran II 2 o
2 = 90 2 < o α < 180 b = a + c – 2 a c cos β Kuadran III = 180 o <
= a 2 + b o 2 c – 2 a b cos γ Kuadran IV = 270 < α < 360
α < 270 o 2
Kw I Kw II Kw III Kw IV Luas segitiga
Sin α
++ – – Luas 1 = 1 ⋅ a ⋅ t
Cos α
Tan α +– + – Luas 2 = s ( s − a )( s − b )( s − c )
Sudut berelasi
1 Kuadran I
dengan s = (a+b+c) Sin (90 o
2 – α ) = Cos α Cos (90 o –
α ) = Sin α o Luas 3 = 1 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin α
2 Tan (90 – α ) = Cot α
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
82 www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
Rumus Jumlah dan selisih sudut
cos ( A + B ) = cos A . cos B − sin A . sin B Rumus perkalian sinus cosinus
cos ( A − B ) = cos A . cos B + sin A . sin B 2 . cos . A cos B = cos ( A + B ) + cos ( A − B ) sin ( A + B ) = sin A . cos B + cos A . sin B 2 . sin . A sin B = cos ( A + B ) − cos ( A − B ) sin ( A − B ) = sin A . cos B − cos A . sin B 2 . sin . A cos B = sin ( A + B ) + sin ( A − B )
tan A + tan B 2 . cos . A sin B = sin ( A +
B ) − sin ( A − B )
tan ( A B ) =
1 − tan A . tan B
tan ( A − B ) =
tan A − tan B
Rumus jumlah selisih sinus cosinus
2 cos ( +
Rumus sudut rangkap
a. sin 2 A = 2 sin A . cos A 2 cos ( C + cos D C − cos D = − ) . cos ( C − D )
2 b. 2 cos 2 A = cos A − sin A
= 2 sin (
( − ) sin C sin D cos
1 − 2 sin 2 A 2 2
2 = 2 cos ( C + D ) ( C − D = ) 2 cos A − 1 sin C − sin D . sin
1. Koordinat Cartesius dari titik
4. cos 150 +sin 45 + cot (–330 ) =..
2. 2 Perhatikan gambar menara di
samping yang terlihat dari titik
a. √3
A dengan jarak 42 m, dan sudut
b. – √3
elevasi 60 . Tinggi menara adalah
c. 1 2 √2
a. 42 meter
c. 21 2 meter
60 sin 270 o cos 135 tan 135 d. o 42 3 meter 5. =…
A sin 150 cos 225
e. 42 2 meter
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
E-learning Matematika, GRATIS 83
6. Pada segitiga ABC diketahui sisi a =
0 a. d. 4 , sisi b = 6 dan sudut B = 45 .
Nilai kosinus sudut A adalah …
7. Dalam segitiga ABC diketahui
c. 1
b = 8 cm , c = 5 cm dan sudut
0 d. 2– A = 60 √3 . Maka a = ….
e. 2+ √3
a. √7 cm
13. Diketahui sudut lancip A dengan
b. 7 cm
c. 89 cm cos 2A = . Nilai sin A = …
d. 49 cm
a. 1 d. 2
e. √129 cm
8. Pada segitiga ABC diketahui sisi
b. 2 e. 6
AB = 6 cm, AC = 10 cm dan sudut
A = 60 . Panjang sisi BC = …
a. 2 c. 6 √19 cm 3
b. 3 √19 cm
14. Ditetahui tan A = p , maka cos 2A =
9. Suatu segitiga ABC diketahui A =
150 , sisi a = 12 cm dan sisi c = 5
cm, maka luas segitiga ABC = …
10. Diketahui cos A = 3 , cos B = 5 .
2 A dan B lancip. Nilai dari 2 p + 1
e.
cos (A + B) adalah ……
a. 7 (3 – 2 √5) 15. Diketahui sin A =
25 dan sudut A
2 lancip. Nilai dari sin 2A adalah …
c. 2 (5 – √3)v
11. Bila sin α= 13 , cos β= 5 dengan α
e. 14
dan β lancip, maka nilai dari
tan ( α + β) adalah …
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
84 www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
Geometri Dimensi 2 Geometri Dimensi 3
1. Persegi
1. Kubus
Luas = s x s 3 Volume = s Keliling = 4s
Luas permukaan = 6 x s 2
2. Persegi panjang
2. Balok
Luas = p x l Volume = p x l x t Keliling = 2(p + l)
Luas perm = 2( pl + pt + lt)
3. Segitiga
3. Prisma
1 Volume = L alas xt Luas = xaxt
2 Luas perm = 2 L alas +L selimut alas =2 L + (Kel alas x t) Keliling = jumlah seluruh sisi
4. Limas
4. Trapesium
1 Volume = xL alas xt
3 Luas = x (a + b) x t,
2 L perm= Luas seluruh sisi dengan a dan b adalah sisi-sisi yang sejajar.
5. Tabung
Volume = Keliling = jumlah seluruh sisi 2 πr t Luas permukaan =2 L alas +L selimut
5. Jajar genjang
Luas = a x t πr +2 =2 πrt
Keliling = jumlah seluruh sisi π r (r + t) =2
6. Kerucut
6. Belah ketupat
1 Luas = 2 xd
Volume = 1πr t
1 xd 2 ,
3 Luas permukaan = L alas +L selimut
dengan d 1 dan d 2 adalah masing-
πr 2 + πrs = masing diagonal
π r (r + s) = Keliling = jumlah seluruh sisi
Luas = xd 1 xd 2 ,
2 Luas permukaan = 4 πr
dengan d 1 dan d 2 adalah masing-
masing diagonal Keliling = jumlah seluruh sisi
8. Lingkaran
Luas = 2 πr Keliling = 2 πr
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
E-learning Matematika, GRATIS 85
Latihan 8
1. Luas daerah yang diarsir pada gambar Di samping adalah …
2. Keliling persegi panjang yang luas dan panjangnya berturut-turut 105 cm dan 15 cm adalah …
3. Keliling daerah yang diarsir adalah….
4. Diketahui luas lingkaran adalah 314 cm 2 . Jika π = 3,14 maka keliling lingkaran tersebut adalah …cm.
5. Diketahui prisma ABC.DEF seperti gambar berikut. E 12 cm Volume prisma adalah …
6. Diketahui prisma ABC.DEF dengan alas segitiga siku-siku ABC. D F Luas permukaan prisma adalah….
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
86 www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
7. Luas lingkaran yang kelilingnya 88 cm adalah …cm 22 2 .( π= )
8. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah….
9. Volum kerucut pada gambar di samping adalah….
A. 325 cm 3
B. 528 cm 3 25 cm
C. 1.232 cm 3
D. 3.696 cm 3
E. 4.928 cm 3 14 cm
10. Volume bandul tersebut adalah….
A. 1633 π cm 3
B. 2100 π 3 cm
9cm
C. 2766 π cm
3 18c
D. 2776 π cm 10 cm
E. 2776 π 3 cm
11. Luas daerah yang diarsir pada gambar di samping adalah … cm 2 .
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
E-learning Matematika, GRATIS 87
12. Keliling daerah yang diarsir pada gambar
berikut adalah …cm ( π=
13. Luas gambar di samping adalah …
14. Sebuah persegi panjang diketahui panjang diagonalnya adalah 100 cm. Jika lebar persegi panjang adalah 60 cm, maka kelilingnya adalah …cm.
15. Volum bola terbesar yang dapat dimasukkan ke dalam kubus yang berusuk 12 cm adalah …
3 3 A. 691,72 cm D. 904,32 cm
3 3 B. 772,21 cm E. 940,23 cm
C. 813,40 cm 3
16. Panjang suatu persegi panjang 5 cm lebih panjang dari lebarnya. Jika luasnya 24
cm 2 maka kelilingnya adalah….
17. Gambar bak mandi berbentuk kubus tanpa tutup dengan rusuk 80 cm. Jika alas dan diding bak mempunyai ketebalan 10 cm
10 cm
maka banyak air yang diperlukan untuk mengisi bak hingga penuh adalah….
A. 828 liter
B. 882 liter
C. 282 liter
D. 228 liter 80cm
80cm
E. 288 liter
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
88 www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
Pengertian dan Penulisan vektor
⎛ x − x ⎞ Vektor adalah besaran yang mempunyai
2 = 1 − = ⎜⎜ y − y ⎟⎟ atau besar dan arah.
AB OB OA
y 1 z 1 A(x → 1 ,y 1 )
AB = ( x 2 − x 1 ) i + ( y 2 − y 1 ) j Panjang vektor AB dirumuskan :
P(x 1 ,y 1 ,z 1 )
AB = ( x
a = 1 Vektor OA pada ruang dimensi 2 ditulis :
Vektor pada dimensi 2 Vektor pada dimensi 3
Vektor satuan
⎜⎜ dirumuskan : ⎝ a
OA = x 1 i + y 1 j Penjumlahan dan Pengurangan
Vektor OP pada ruang dimensi 3 ditulis : Diketahui vektor dalam dimensi 2 yaitu : ⎛ x 1 − 0 ⎞ ⎛ x ⎞
a = ⎜⎜ ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ ⎟⎟ , maka OP = ⎜ y 1 − 0 ⎟ = ⎜ y 1 ⎟ atau
Perkalian vektor dengan skalar Besar/Panjang vektor
Diketahui : a =
1 ⎜⎜ ⎟⎟ = x 1 + y 1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ a 2 ⎠
Panjang vektor OA
k ⋅ = a k 1 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ dirumuskan OA = x 2 1 + y 2 1 ⎝ a 2 ⎠ ⎝ k ⋅ a 2 ⎠
Perkalian skalar dua vektor (dot)
Panjang vektor ⎛ a 1 ⎞ ⎛ b ⎞
Diketahui : a = ⎜⎜ ⎟⎟ dan b = 1
OP = x 1 i + y 1 j + z 1 k = ⎜ y 1 ⎟ ⎜ ⎟
a • = b a ⋅b ⋅ cos θ
dengan θ : sudut terkecil antara a dan dirumuskan OP
Vektor AB dan panjang vektor AB y Cosinus sudut dan Sudut diantara
y 2 B(x 2 ,y 2 )
dua vektor
a • cos b θ =
y 1 a ⋅ A(x b 1 ,y 1 ) x x 1 x 2 dengan θ : sudut antara vektor a dan
Vektor AB pada ruang dimensi 2 ditulis vektor b :
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
E-learning Matematika, GRATIS 89
Latihan 9
r ⎛ 12 ⎞
1. Panjang vektor v = ⎜⎜ ⎟⎟ adalah …
A. ⎢ 3 ⎥
A. 7 D.17 ⎡ 4 ⎤
2. Diketahui titik A (1, 7) dan B (–3, –3).
Bila M merupa-kan titik tengah AB,
7. Jika vektor a = ⎜ 2 ⎟ ,b= maka vektor posisi M adalah …
c = ⎜ − 1 ⎟ , maka vektor a + 2b – 3c
sama dengan …
3. Diketahui titik A (10, –2) dan B (–2, 3).
Besar vektor yang diwakili AB adalah..
A. 7 D.15 ⎜ ⎟
B. 12 E.17 B. ⎜ 13 ⎟ E. ⎜ − 12 ⎟ ⎜
C. 13
4. Jika koordinat titik P (6, –2) dan
Q (2, 5), maka komponen vektor yang
C. ⎜ 13 ⎟
diwakili oleh QP adalah …
8. Diketahui a = 3i – 2j , b = –i + 4j
⎠ Jika r = ka + mb, maka k + m = …
5. Jika a = ⎜⎜ ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ ⎟⎟ , maka hasil
9. Vektor PQ = (2 , 0 , 1) dan vektor
dari 2a – b adalah … PR = (1 , 1 , 2). Jika PS = 2 PQ ,
A. ⎜⎜ ⎟⎟ D. ⎜⎜ ⎟⎟ maka vektor RS =…
6. Jika A B = ⎢ 3 ⎥ maka 4 AB adalah …
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
90 www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
10. Diketahui titik P (1, –2, 5) ,
17. Diketahui vektor-vektor : r
Q (2, –4, 4) dan R (–1, 2, 7).
Jika vektor a tegak lurus terhadap
B. 3 QR QR E. –3 vektor b dan vektor c tegak lurus
terhadap vektor d , maka a – b =…
11. Diketahui a + b = i - j + 4k dan
rr
4 i −2 j − k
| a + b |= √14. Hasil dari a . b =…
18. Diketahui titik-titik A(2, –1, 4),
12. Diberikan vektor a = 4 i − 8 j + 4 k dan
B(4, 1, 3) dan C(2, 0, 5). Kosinus
b = 2 i + j − 2 k . Nilai a . b =…
sudut antara AB dan AC adalah …
13. Jika vektor a dan b membuat sudut
60 0 ,| a | = 2 dan | b | = 5, maka
D. 1 √2
a .( b + a ) sama dengan …
B. 7 E.10
19. Diketahui A (3 , 2 , – 1) ,
C. 8 ⎛ B (2 , 1 , 0) dan C (–1 , 2 , 3)
Kosinus sudut antara garis AB dan
14. Vektor-vektor a = ⎜ 1 ⎟ dan b= ⎜ 4 ⎟
AC adalah …
A. 1 –
adalah saling tegak lurus. Nilai x
Diketahui dua buah vektor 1 E.
a = ⎜ − 5 ⎟ ⎟ dan b ⎜ 2 = − ⎟ ⎜ kedua vektor itu ⎟
20. Kosinus sudut antara dua vektor saling tegak lurus. Nilai x adalah …
a = –i + j dan b = i – 2j + 2k adalah..
16. Jika vektor-vektor a = 2 i - 5 j - k
vvvr
D. – 1 √2
dan b = x i - 2 j - 4 k saling tegak
2 lurus, maka 1 x=… E. –
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
E-learning Matematika, GRATIS 91
A.Pengisian Tempat (Filling Slots) Apabila suatu peristiwa pertama dapat dikerjakan dengan k 1 cara yang berbeda, peristiwa kedua dapat dikerjakan dengan k 2 yang berbeda dan seterusnya sampai peristiwa ke-n, maka banyaknya cara yang berbeda dari semua peristiwa tersebut
adalah K, di mana : K = k 1 xk 2 x ... xk n
B.Faktorial
n faktorial adalah hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n.
n ! = 1 . 2 . 3 . . . (n – 2) . (n – 1) . n
C.Permutasi unsur beda
Adalah susunan k objek yang berbeda dari n objek yang tersedia di mana k ≤ n. Banyak permutasi k objek dari n objek di tulis n P k dapat dirumuskan :
( n − k )!
D . Permutasi yang memuat unsur yang sama Banyaknya permutasi n P n di mana ada a objek yang sama, b objek yang sama,
dan seterusnya ditulis P, dirumuskan : P =
a ! ⋅ b ! ⋅ ....
E. Permutasi siklik Jika ada n objek yang berbeda dan disusun dalam bentuk siklik (melingkar), maka banyaknya susunan yang terjadi (permutasi siklik atau Psiklik)adalah:
P siklik = (n – 1)!
F. Kombinasi Susunan k objek dengan urutan tidak diperhatikan dari n objek yang tersedia di mana k ≤ n sering dipopulerkan dengan istilah Kombinasi k objek dari n objek yang
tersedia.Banyaknya kombinasi k objek dari n objek di tulis n C k dirumuskan:
( n − k )! k !
G.Peluang
Nilai yang menunjukan kemungkinan terjadinya suatu perustiwa. Dirumuskan : n ( A )
P ( A ) = ; Nilai peluang 0 ≤ P(A) ≤ 1 n ( S )
H .Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan suatu kejadian Fh dari suatu percobaan adalah hasil kali peluang P(A) dengan banyaknya percobaan n : Fh = P(A) x n
I. Peluang Komplemen Suatu Kejadian P ( A c ) = 1 − P ( A )
J. Peluang kejadian majemuk
K. Peluang dua kejadian saling lepas/saling asing
L. Peluang dua kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
M. Peluang kejadian bersyarat
P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A)
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
92 www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
Latihan 10
1. Sebuah kotak berisi enam boneka berwarna merah dan empat boneka berwarna kuning. Jika diambil sebuah boneka sebanyak dua kali secara acak tanpa pengembalian, maka peluang terambilnya boneka pertama dan kedua berwarna kuning adalah …
(UNAS ULANG SMK 09-10)
2. Suatu tim bulutangkis terdiri dari 10 pemain. Banyaknya pasangan pemain ganda yang dapat dibentuk dari tim tersebut adalah …
(UNAS SMK 02-03)
3. Sebuah keluarga merencanakan ingin mempunyai 3 orang anak. Peluang keluarga
tersebut mempunyai anak paling sedikit dua laki-laki adalah … (UNAS SMK 02-03)
4. Dari 5 orang finalis salah satu cabang olahraga akan dipilih juara I, II, dan III. Banyaknya susunan berbeda yang mungkin terjadi adalah …
(UNAS SMK 04-05)
5. Seorang peñata tari menampilkan suatu tarian yang terdiri dari 4 orang. Peluang komposisi penari terdiri dari 3 perempuan dan 1 laki-laki adalah …
3 1 (UNAS SMK 04-05)
6. Sebuah dadu dilempar sebanyak 120 kali. Frekuensi harapan munculnya mata 4 pada percobaan tersebut adalah …kali.
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
E-learning Matematika, GRATIS 93
7. Sekeping uang logam dan sebuah dadu dilemparkan bersama-sama satu kali. Peluang munculnya angka pada uang logam dan bilangan prima pada mata dadu adalah …
(UNAS SMK 07-08)
A. c. E.
B. D.
8. Lima staf akuntan masuk ke ruang rapat dan terdapat delapan ruang duduk kosong.
Banyaknya cara kelima orang tersebut duduk adalah … (UNAS ULANG SMK 09-10)
A. 120 cara
C.5040
E. 40320 cara
B. 336 cara
D.6720
9. Banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata ‘KAKAK’ adalah …
A. 20
C.10 E. 5
D.8
B. 14
10. Dari 6 siswa akan diambil 3 orang untuk mengikuti lomba debat bahasa Inggris. Banyaknya susunan peserta yang dapat dibentuk adalah …
A. 120
C.20 E. 720
B. 40
D.360
11. Tiga buah dadu dilempar undi bersama-sama satu kali. Peluang munculnya angka yang sama pada ketiga dadu adalah …
(UNAS SMK 09-10)
12. Akan disusun bilangan yang terdiri dari dua angka dari angka-angka 4, 5, 6, dan 7 yang tersedia. Banyaknya bilangan yang dapat dibuat jika tidak boleh ada angka yang berulang adalah …
13. Suatu organisasi akan memilih ketua, wakil, sekretaris, bendahara, dan humas. Jika ketua dan wakil ketua dipilih dari 5 orang, sedangkan sekretaris, bendahara dan humas dipilih dari 7 orang yang lain. Banyak cara menyusun pengurus organisasi tersebut adalah ..
14. Suatu perkumpulan terdiri dari 7 pria dan 5 wanita akan mengirim utusan untuk mengikuti rapat yang hanya terdiri dari 3 pria dan 2 wanita. Banyak susunan utusan tersebut adalah…
A. 28 C.350 E. 4200
B. 147
D.792
15. Suatu kantong berisi 5 bola Merah dan 4 bola Putih. Peluang terambilnya 3 bola Merah, dengan pengambilan sekaligus secara acak adalah …
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
94 www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
Definisi: Lim f ( x ) = L , mempunyai
3. Mengalikan dengan faktor sekawan
arti jika x mendekati a maka nilai f(x)
lim
mendekati L.
Teorema Limit
Jawab :
Untuk setiap a bilangan Real dan k konstanta berlaku :
x → a x → a Cara menyelesaikan limit Aljabar di x → ∞
4. a. Lim [ f ( x ) + g ( x ) ] = Lim f ( x ) + Lim g ( x )
x → a x → a x → a ax m + bx m − 1 + ......
b. Lim [ f ( x ) − g ( x ) ] = Lim f ( x ) − Lim g ( x )
1.Bentuk lim
x → a x → a x → a x → ∞ px n + qx n − 1 + ......
5.a. lim [ f ( x ). g ( x ) ] = ⎢ lim f ( x ) ⎥ . ⎢ lim g ( x ) ⎥ a
Jika : a. m = n maka nilai limitnya p
lim f ( x )
b. lim = x → a m b. < maka nilai limitnya 0 n
x → a g ( x ) lim g ( x )
x → a m c. > maka nilai limitnya ∞ n
dengan syarat lim g ( x ) ≠ 0
x → a 2. Bentuk lim ax 2 + bx + c − px 2 + qx + r
6. a. lim ( ) n ⎡ [ f x ] = lim f ( x ) ⎤
x → a ⎢⎣ x → a ⎥⎦
b − q Jika : a. a = p maka nilai limitnya
b. lim n f ( x ) = n lim f ( x ) ;
a b. < maka nilai limitnya ∞ p −
dengan syarat lim f ( x ) ≥ 0
a c. > maka nilai limitnya ∞ p
Cara menyelesaikan limit Aljabar
1.Substitusi langsung
Definisi Limit Trigonometri
x → 0 sin x 2.Pemfaktoran dan penyederhanaan
u → 0 sin u Jawab : Dengan subtitusi langsung:
= (bentuk tak tentu)
0 tan x
Dengan cara memfaktorkan:
=–3 Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK =–3 Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
E-learning Matematika, GRATIS 95
Latihan 11
x 2 + 3 x − 18
1. Lim = adalah …
6. Lim
A. 0 x → 0 x + x
2. Nilai Lim
E. ∞
A. 1 – ⎛ 2 2
4 7. Lim ⎜ x + x + 5 − x − 2 x + 3
3 E. ∞ t − 8
3. Lim = =…
t → 2 t 2 +t − 6
8. Nilai Lim ( 5 x + 1 − 3 x + 7
sin 5 x
9. Lim
x → 0 sin 3 x
9 − 2 A. x 1
4. Lim = = ...
E. tan 3 ∞ t 10. Lim = adalah …
5. Jika f (x) =
maka Lim f ( x ) =
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
96 www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
16. Lim (
t 2 − 5 t + 6 sin ( t − 2 )
11. Jika lim = 1 , maka t → 2 t 2
( x + 6 )( sin x + 2 )
13. Nilai A. lim =… 0
sin( x − 2 )
1 20. Nilai dari lim
( 4 x − 10 ) sin( x
B. − 0 5 )
15. Nilai lim
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
E-learning Matematika, GRATIS 97
Definisi Turunan fungsi
2. y = sin 3 (4x) , tentukan y l Jika f(x) terdefinisi maka
Jawab
f l (x ) didefinisikan sebagai :
Rumus-rumus turunan Aljabar
dx
Untuk k konstanta ; U dan V fungsi
dy du = dv ⋅ ⋅
dalam x
du dv dx
1. f(x) = k ⇒ f l ( x ) = 0 = 3 u 2 ⋅ cos v ⋅ 4
2. f(x) = k x n ⇒ f l ( x ) = k ⋅ n ⋅ x n − 1 = 3 sin 2 ( 4 x ) ⋅ cos( 4 x ) ⋅ 4
3. f(x) = kU ⇒ f l ( x ) = k ⋅ n ⋅ U l = 12 sin 2 ( 4 x ) cos( 4 x )
4. f(x) = U V l
± l ⇒ f ( x ) = U ± V Tafsiran geometris dari turunan
1. Gradien garis yang melalui titik
5. f ( x ) = U ⋅ V ⇒ f l ( x ) = U l ⋅ V + V l ⋅ U (x 1 ,y 1 ) pada kurva f(x) adalah m. U
6. f ( x ) = ⇒ f l ( x ) = Dirumuskan : m = f ( x 1 )
V V 2 2. Persamaan garis singgung kurva dengan syarat V ≠0
f(x) di titik (x 1 ,y 1 ) dirumuskan :
Turunan Fungsi Trigonometri
1. a. f ( x ) = sin x ⇒ f l ( x ) = cos x dengan ) m = f l ( x 1
b. f ( x ) = k ⋅ sin U ⇒ f l ( x ) = k ⋅ U l ⋅ cos U 3. Kurva naik / turun / stasioner:
2. . a. f ( x ) = cos x
f ⇒ l ( x ) = − sin x a. Jika f ( x ) > 0 pada selang I, maka kurva f(x) naik pada selang I.
b. f ( x ) = k ⋅ cos U ⇒ f l ( x ) = − k ⋅ U l ⋅ sin U
b. Jika Aturan Rantai l f ( x ) < 0 pada selang I,
1. f(x) = U ⇒ f l ( x ) = n ⋅ U n −1 ⋅ U l
maka kurva f(x) turun pada selang I.
c. Jika f l ( x ) = 0 pada selang I, 2.Jika y = f(u) ; u = f(v) ; dan v = f(x)
dy maka kurva f(x) stasioner (tidak maka y l =
dirumuskan : naik tidak turun) pada selang I. dx
4. Turunan kedua dan titik balik
dy dy du dv = ⋅ ⋅
maksimum/minimum/titik belok.
dx du dv dx Diketahui fungsi f(x) dan Contoh soal :
titik (x 1 ,y 1 ) pada kurva f(x)
1 ) < 0 , Jawab
1. y = (2x + 7) 6 , tentukan y l
a. Jika f l ( x 1 )
= ll 0 dan f ( x
maka titik (x 1 ,y 1 ) disebut Misal U = 2x + 7 ⇒ U l = 2 titik balik maksimum. y=U 6
b. Jika f l ( x 1 ) = 0 dan f ll ( x 1 ) > 0 , y l = 6 ⋅ U 6 −1 ⋅ U l maka titik (x 1 ,y 1 ) disebut = titik balik minimum.
c. Jika f l ( x ) = 0 dan f ll ( x ) = 0 , = 12 ( 2 x + 7 ) 5 1 1 maka titik (x 1 ,y 1 ) disebut
titik belok.
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
98 www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning Matematika, GRATIS
Latihan 12
1. 3 Bila F(x) = 2x 2 – 3x + x – 10 maka
E. 2x + 1
F'(x) = …
A. 2 2x – 3x + 1
3 2 6. Apabila f(x) = x – B. + 1 maka f'(x) 6x – 6x +x
2. Turunan pertama dari fungsi F(x) = 2
E. 2x + x –2
adalah F ′(x)= …
A. 5
2 7. Turunan pertama dari fungsi f yang
ditentukan oleh
B. − 10
f(x) = ( 2 − 3 x ) 3 adalah f ′(x) = …
3 B. – ( 2 − 3 x ) x 8 3
C. ( 2 − 3 x ) 3 (2 – 3x)
E. 8 15x 3 3 8/3
3. f ( x ) = 4 x 2
, 2 maka f ' 1
D. –5 ( 2 − 3 x ) 3
A. 2
E. 5 2 ( 2 − 3 x ) 3
B. 4
C.
D. 8. y = (x 2 + 1) (x 3 12 – 1) maka y ' = … 3
4. Turunan dari f(x) = adalah
f ׳(x) =
E. 5x 4 + 3x 2 – 2x
A. 2 ( 2 x + 1 ) 9. Turunan pertama dari
B. 2
8 ( 4 x + 1 ) y = (x + 1) (x + 2) adalah ..
A. 2x 2 + 8x + 2
C. − 8 ( 4 x + 1 ) 2
10. Turunan pertama dari fungsi yang
dinyatakan dengan
Diketahui f (x) = 3x – 5x + 2 dan g (x)
f (x) =
adalah f ’(x) = …
=x + 3x – 3 Jika h (x) = f (x) – 2g (x),
A. ′(x) adalah …
maka h
Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK Penajaman Materi UNAS Teknik kelas XII SMK
E-learning Matematika, GRATIS 99
C. 10 15. Grafik dari :
2 3 f(x) = 2
3 x –x – 12x + 10 = 0 naik
D. 5
2 ( untuk interval … x − 5 )
A. 3 < x < –2
E. 10 2 B. –2 < x < 3
C. x < 2 atau x > –3
2 x 11. − 1
Turunan pertama dari f(x) =
D. x < –2 atau x > 3 x + 2 E. x < –3 atau x > –2
adalah...
A. 16. 2 Fungsi f yang dirumuskan dengan
3 f(x) = x 2 + 3x – 9x – 1 naik dalam
4x + 3
interval …
B. (x + 2) 2 A. x < –3 atau x > 1
C. 4
2 B. x < –1 atau x > 1 ( x + 2 )
C. –3 < x < 1