REKAYASA DAN OPTIMASI PROSES Mata Kuliah
2
0
1
1
REKAYASA DAN OPTIMASI PROSES
Lagrange Multipliers
Ir. Usman Effendi, MS
Br
Lab. Komputasi Dan Analisis Sistem, FTP, Universitas Brawijaya
a
Email : [email protected]
wi
ja
M
y
1. PENDAHULUAN
b. Determination Of
a
1.1 Pengantar
Minimum Or
t
U
1.2 Tujuan
Maximum
a
ni
2. PENGANTAR METODE
c. Penentuan Minimum
KALKULUS
Atau Maksimum
K
v
3.
METODE
LAGRANGE
d.
Konversi Dibatasi
ul
er
MULTIPLIER
Untuk Masalah
ia
si
4. METODE LAGRANGE
Dibatasi
h
ty
MULTIPLIER OPTIMASI tidak
7. MASALAH OPTIMASI
/
BERKENDALA
BERKENDALA
5.
OPTIMASI
BERKENDALA
8.
OPTIMASI
DENGAN
M
6.
MASALAH
DALAM
OPT
TIDAK
KENDALA
KETIMPANGAN:
a
Minggu
BERKENDALA
KONDISI KUHN-TUCKER
t
a. Penggunaan Gradien
e
Untuk Optimasi
ri
1. PENDAHULUAN
S
K
ul 1.1 PENGANTAR
E
ia
L
Jika fungsi ini kontinu dan terdiferensialkan, turunannya menjadi nol
h
MODU
L
3
pada titik ekstrem tersebut. Untuk fungsi y (x), kondisi ini ditulis
sebagai
di mana x adalah variabel independen. Dasar untuk properti ini dapat
dijelaskan dalam hal ekstrem yang ditunjukkan pada Gambar 1.
Sebagai maksimum pada titik A adalah mendekati, nilai fungsi y (x)
meningkat dan hanya di luar titik ini, itu berkurang, sehingga nol
gradien di A. Demikian pula, nilai fungsi menurun hingga minimum
pada titik B dan meningkat melampaui B, memberikan nol kemiringan
di B. Dalam rangka untuk menentukan apakah titik adalah maksimum
atau minimum, derivatif kedua dihitung. Karena lereng pergi dari
positif ke negatif, melalui nol, maksimum, turunan kedua adalah
negatif. Demikian pula, kemiringan meningkat minimal dan, dengan
demikian, turunan kedua adalah positif. Ini kondisi dapat ditulis
sebagai (Keisler, 1986).
FP
R
O
P
A
G
A
TI
N
G
E
N
T
R
E
P
R
E
3
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
1.2 TUJUAN
1.2.1 Tujuan Instruksional Umum
Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa akan memiliki kemampuan melakukan
analisis suatu proses dan melakukan optimasi dengan metode yang telah dipelajarinya
1.2.2 Tujuan Instruksional Khusus
Setelah mempelajari pokok bahasan mahasiswa dapat ;
Menjelaskan ulang metode optimasi analitik, mampu menentukan kriteria
optimum untuk optimasi variabel tunggal dan ganda.,
Mengetahui karakteristik Optimasi tidak Berkendala dan Berkendala
Mampu merubah kondisi berkendala ke dalam tidak berkendala.
Menguasi Optimasi fungsi non linear dengan kendala persamaan dan ketidak
samaan
Menerapkan metode lagrange multiplier dan Kondisi Kunh Tucker
2. PENGANTAR METODE KALKULUS
Kondisi yang disampaikan sebelumnya berlaku untuk y fungsi nonlinear (x) dan,
karena itu, metode kalkulus berguna untuk sistem termal, yang umumnya diatur oleh
nonlinier ekspresi. Namun, baik fungsi dan turunannya harus terus menerus untuk
analisis sebelumnya untuk menerapkan.Dengan demikian, dengan menetapkan gradien
sama dengan nol, lokasi dari ekstrem dapat diperoleh dan turunan kedua kemudian
dapat digunakan untuk menentukan Sifat ekstrem masing-masing. Ada beberapa kasus
di mana kedua pertama dan kedua derivatif adalah nol.
Hal ini menunjukkan titik
perubahan, sebagaimana sketsa di Gambar 1 (c), titik pelana, atau kurva datar, seperti
di punggung bukit atau lembah. Ini harus dicatat bahwa kondisi hanya disebutkan
menunjukkan hanya ekstrem lokal. Mungkin ada beberapa ekstrem lokal seperti dalam
domain yang diberikan. Karena ketertarikan kami terletak pada keseluruhan maksimum
atau minimum di seluruh domain untuk mengoptimalkan sistem, kami akan mencari
ekstrem global, yang biasanya unik dan merupakan yang terbesar atau terkecil nilai
fungsi tujuan. Contoh sederhana berikut menggambarkan penggunaan prosedur
sebelumnya untuk optimasi.
Gambar 1. Seketsa memperlihatkan maksimum, minimum dan titik belok fungsi
y(x)
CONTOH 1:
Page 2 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
Terapkan teknik kalkulus berbasis optimasi hanya diberikan kepada meminimalkan biaya
C untuk panas bergulir jumlah yang diberikan dari logam. Biaya ini dinyatakan dalam hal
laju aliran massa m � bahan sebagai berikut
di mana istilah pertama di sisi kanan merupakan biaya peralatan, yang meningkat
dengan meningkatnya laju alir, dan istilah kedua merupakan operasi biaya, yang turun
dengan meningkatnya m.
SOLUSI
Nilai ekstrem diberikan oleh
Karena itu
Turunan kedua diperoleh sebagai berikut
yang bernilai positip karena m adalah positip
3. METODE LAGRANGE MULTIPLIER
Ini adalah metode yang paling penting dan berguna untuk optimasi berdasarkan
kalkulus. Hal ini dapat digunakan untuk mengoptimalkan fungsi yang bergantung pada
sejumlah independen variabel dan ketika kendala fungsional terlibat. Dengan demikian,
dapat diterapkan untuk berbagai situasi praktis disediakan fungsi tujuan dan kendala
dapat dinyatakan sebagai fungsi kontinu dan terdiferensialkan. Selain itu, kendala
kesetaraan hanya dapat dipertimbangkan dalam proses optimasi.
DASAR PENDEKATAN
Pernyataan matematika dari masalah optimasi diberikan dalam sebelumnya
bab sebagai
Page 3 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
tunduk pada kendala
dimana U adalah fungsi tujuan yang akan dioptimalkan dan Gi = 0, dengan i bervariasi
dari 1 sampai n, merupakan kendala kesetaraan n. Seperti disebutkan sebelumnya, jika
kendala ketimpangan muncul dalam masalah, ini harus diubah menjadi kesetaraan
kendala untuk menerapkan metode ini. Selain itu, dalam beberapa kasus,
ketidaksetaraan kendala hanya mendefinisikan domain diterima dan tidak digunakan
dalam optimasi proses. Namun demikian, solusi yang diperoleh diperiksa untuk
memastikan bahwa kendala puas.
Metode Lagrange pada dasarnya mengubah masalah sebelumnya untuk menemukan
minimum atau maksimum ke solusi dari sistem aljabar persamaan, sehingga
memberikan skema yang nyaman untuk menentukan optimal. Itu fungsi tujuan dan
kendala digabungkan menjadi Y fungsi baru, yang dikenal sebagai ekspresi Lagrange dan
didefinisikan sebagai
dimana λ adalah parameter yang tidak diketahui, yang dikenal sebagai pengali Lagrange.
Kemudian, menurut metode ini, optimum terjadi pada solusi dari sistem persamaan yang
dibentuk oleh persamaan berikut:
Page 4 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
Ketika pembedaan diterapkan pada ekspresi Lagrange, menemukan bahwa optimum
diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan berikut:
Jika U fungsi tujuan dan kendala Gi yang terus menerus dan terdiferensialkan,
sistem persamaan aljabar diperoleh. Karena ada persamaan m untuk kendala dan
persamaan tambahan n berasal dari ekspresi Lagrange, total m+ n persamaan simultan
diperoleh. Yang tidak diketahui adalah m pengganda, sesuai dengan kendala m, dan
variabel independen n. Oleh karena itu, sistem ini dapat diselesaikan untuk
mendapatkan nilai-nilai variabel independen, yang menentukan lokasi yang optimum,
serta multiplier. Analytical metode untuk memecahkan sistem persamaan aljabar dapat
digunakan jika persamaan linier diperoleh dan / atau ketika jumlah persamaan kecil,
biasanya sampai dengan sekitar lima. untuk nonlinear persamaan dan untuk set yang
lebih besar, metode numerik umumnya lebih tepat. Nilai optimum dari fungsi tujuan ini
kemudian ditentukan dengan menggantikan nilai-nilai yang diperoleh untuk variabel
independen terhadap ekspresi untuk U. optimum sering diwakili oleh tanda bintang,
yaitu, X1*, X2*, …. Xn* dan U*.
4. METODE LAGRANGE MULTIPLIER (MLM) OPTIMASI
TIDAK BERKENDALA
Page 5 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
Mari mempertimbangkan masalah tak terbatas untuk dua variabel independen
x dan y. Kemudian metode pengali Lagrange menghasilkan lokasi optimal sebagai solusi
untuk persamaan
Gambar 2 Minimum dan Maksimum dalam masalah tidak berkendala
∇ U=0
Oleh karena itu, vektor gradien, yang normal dengan kontur U konstan, adalah nol,
menyiratkan bahwa tingkat perubahan U adalah nol sebagai salah satu bergerak
menjauh dari titik dimana persamaan ini puas. Ini menunjukkan titik stasioner, atau
ekstrem, seperti ditunjukkan secara kualitatif pada Gambar 2 untuk satu atau dua
variabel independen. Intinya mungkin minimum atau maksimum. Hal ini juga dapat
menjadi titik pelana, ridge, atau lembah (lihat Gambar 2). Informasi tambahan yang
diperlukan untuk menentukan sifat stasioner titik, seperti yang dibahas kemudian.
Karena Persamaan
adalah persamaan vektor, masing-masing komponen dapat
ditetapkan sama dengan nol, sehingga menimbulkan dua persamaan berikut:
yang dapat diselesaikan untuk mendapatkan x dan y di optimal, dilambangkan sebagai
x* dan y*. Nilai U* optimal kemudian dihitung dari ekspresi untuk U. Jumlah persamaan
yang diperoleh adalah sama dengan jumlah variabel independen dan optimal dapat
ditentukan dengan memecahkan persamaan.
5. MLM UNTUK OPTIMASI BERKENDALA
The optimum untuk masalah dengan kendala tunggal diperoleh dengan
memecahkan persamaan
Page 6 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
Gambar 3. Interpretasi fisik metode lagrange multiplier untuk dua variabel independen
dan kendala tunggal
Gradien vektor ∇ U normal dengan kontur U konstan, sedangkan
∇ G adalah
vektor normal terhadap kontur G konstan. Pengganda Lagrange hanya konstan. Oleh
karena itu, persamaan ini menyiratkan bahwa dua vektor gradien yang selaras, yaitu,
keduanya berada dalam garis lurus yang sama. Besaran dapat berbeda dan dapat
disesuaikan untuk memastikan bahwa Persamaan sesuai. Namun, jika dua vektor tidak
berada dalam garis yang sama, jumlah itu tidak boleh nol kecuali kedua vektor adalah
nol. Hasil ini ditunjukkan secara grafik pada Gambar 3 untuk minimum di U. Sebagai
salah satu bergerak di sepanjang kendala, yang diberikan oleh G-0, dalam rangka untuk
memastikan bahwa kendala puas, gradien
∇ G bervariasi arah. Titik di mana menjadi
collinear dengan
∇ U adalah optimal. Pada titik ini, dua kurva yang tangensial dan
dengan demikian menghasilkan nilai minimum U sementara memenuhi kendala.
Kurva U konstan di bawah kurva kendala tidak memenuhi kendala dan yang di
atas itu memberikan nilai U lebih besar dari optimum pada lokasi di mana mereka
bersinggungan dengan kurva kendala. Jelas, nilai U lebih kecil dari yang di yang optimal
ditunjukkan pada gambar bisa diperoleh jika ada kendala tidak ada, dalam hal
persamaan yang mengatur akan diperoleh dari Persamaan
∇ U . Sebagai contoh,
mempertimbangkan U fungsi tujuan dalam bentuk
dengan bentuk kendala
Kendala ini dapat ditulis sebagai berikut untuk meletakkannya dalam bentuk yang
diberikan oleh Persamaan :
Page 7 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
Berikut E, koefisien A dan B, dan eksponen a, b, c, dan d diasumsikan menjadi
konstanta yang diketahui. Ekspresi seperti yang sering ditemui dalam termal sistem.
Misalnya, U mungkin biaya keseluruhan dan x dan y pompa yang dibutuhkan dan
diameter pipa, masing-masing, dalam sistem aliran air. Tekanan menurun dengan
meningkatnya diameter, sehingga biaya lebih rendah untuk pompa, dan biaya untuk
meningkatkan pipa. Hal ini menimbulkan hubungan seperti Persamaan untuk E. Dengan
demikian, kontur U konstan dapat ditarik bersama dengan kurva kendala sebuah bidang
x - y, seperti sketsa pada Gambar 4 (a). Kemudian optimal ditunjukkan dengan lokasi di
mana kontur U konstan menjadi tangensial dengan kendala kurva, sehingga
menyelaraskan
∇ U dan
∇ G vektor. Untuk kasus sederhana ketika semua
konstanta dalam ekspresi kesatuan, yaitu, U = x+y dan G = xy - 1 = 0, U konstan kontur
berupa garis lurus dan kurva kendala diberikan oleh x = 1 / y, seperti sketsa pada
Gambar 4 (b). Optimum adalah pada x* = 1,0 dan y* = 1,0, dan nilai U* optimum adalah
2,0 untuk kasus ini.
Meskipun hanya dua variabel independen dianggap sini untuk kemudahan
visualisasi dan pemahaman fisik, ide-ide dasar dengan mudah dapat diperpanjang untuk
sejumlah besar variabel. Sistem persamaan yang harus diselesaikan untuk mendapatkan
optimal diberikan oleh persamaan skalar n berasal dari persamaan vektor
dan m kendala kesetaraan
untuk
Gambar 4. (a). Optimisasi masalah kendala sederhana dan (b) hasil dari semua
kendala diberikan oleh ekpresi adalah satu.
6. MASALAH DALAM OPTIMASI TIDAK BERKENDALA
Page 8 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
Sebagian besar masalah yang dihadapi dalam optimasi desain sistem termal
terhambat karena prinsip-prinsip konservasi dan keterbatasan yang ditetapkan oleh
bahan yang digunakan peraturan ruang, tersedia, keselamatan dan lingkungan, dll
Namun, seringkali kendala yang digunakan untuk mendapatkan hubungan antara
berbeda desain variabel. Jika ini kemudian diganti menjadi ekspresi untuk
fungsi tujuan, masalah tak terbatas diperoleh karena kendala telah terpenuhi. Kadangkadang, dalam perumusan masalah optimasi sendiri, kendala bekerja untuk menurunkan
ekspresi yang tepat dan kendala tambahan tidak diperlukan. Dengan demikian, suatu
hasil masalah tak terbatas. Tentu saja, dalam beberapa kasus, tidak ada kendala yang
signifikan, dan masalah diperlakukan sebagai tak terbatas. Dengan demikian, masalah
optimasi tidak dibatasi adalah minat banyak sistem termal praktis dan proses.
Penggunaan Gradien Untuk Optimasi
Jika tidak ada kendala dalam masalah, optimal diberikan oleh solusi untuk
persamaan berikut vektor untuk U (x1, x2, x3, ..., xn):
Sekali lagi, mudah untuk memvisualisasikan vektor gradien jika hanya dua
atau tiga variabel terlibat, seperti yang terlihat di bagian sebelumnya. Namun,
konsep-konsep dasar yang sama dan dapat diperpanjang untuk setiap nomor yang
sesuai dari variabel. Semua komponen Persamaan vektor persamaan, ∇ U,
harus nol agar vektor menjadi nol karena semua variabel diambil sebagai
independen satu sama lain. Oleh karena itu, optimal diperoleh dengan
memecahkan persamaan
Hal ini mirip dengan kondisi untuk titik stasioner diberikan oleh Persamaan
untuk variabel tunggal independen. Fungsi tujuan harus kontinu dan
terdiferensialkan fungsi dari variabel independen dalam masalah dan derivatif
harus kontinu.
Sistem persamaan diwakili oleh Persamaan dapat linear atau nonlinier,
persamaan nonlinier meskipun lebih sering ditemui untuk termal sistem dan
proses. Analisis matematis dapat digunakan dalam kasus-kasus sederhana untuk
mendapatkan solusi. Jika tidak, teknik numerik diperlukan. Metode ini sangat
berguna untuk sistem yang mungkin ditandai dengan ekspresi aljabar yang dapat
dengan mudah dibedakan. Situasi ini biasanya muncul dalam kasus-kasus di mana
curve fitting menghasilkan ekspresi seperti untuk karakteristik perilaku sistem dan
dalam sistem kecil, ideal, dan sederhana. Kendala diasumsikan absen atau diurus
dalam mengembangkan fungsi tujuan, seperti yang dibahas kemudian. Kami
sekarang mempertimbangkan menentukan apakah optimal adalah minimum atau
maksimum.
PENENTUAN MINIMUM ATAU MAKSIMUM
Dalam kebanyakan kasus, sifat fisik dari masalah akan menunjukkan
apakah
solusi yang diperoleh adalah maksimum, minimum, atau beberapa titik stasioner
Page 9 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
lainnya. Sering, diketahui dari pengalaman bahwa minimal atau maksimal ada di
domain yang diberikan. Misalnya, hal itu dapat diketahui bahwa minimal dalam
energi Konsumsi akan timbul jika tekanan kompresor yang bervariasi atas diterima
rentang dalam sistem refrigerasi. Demikian pula, efisiensi termal maksimum
diharapkan jika kecepatan, dalam revolusi per menit, dari mesin diesel adalah
bervariasi. Namun, dengan tidak adanya informasi tersebut, analisis lebih lanjut
dapat dilakukan untuk menentukan karakteristik optimal.
Telah dikenal persamaan-persamaan memberikan kondisi untuk maksimum
dan minimum, masing-masing, untuk satu variabel bebas. Jika turunan kedua
adalah nol pada titik stasioner, terjadinya titik pelana, titik infleksi, ridge, atau
lembah. Kondisi serupa mungkin diturunkan untuk dua atau lebih variabel
independen. Untuk kasus dua independen variabel, x1 dan x2, dengan U (x1, x2)
dan pertama dua derivatif terus menerus, ini kondisi diberikan sebagai
dimana
Oleh karena itu, untuk dua variabel independen, optimal dapat diperoleh
dengan memecahkan ∂U/∂1 = ∂U /∂x2 = 0 dan menerapkan kondisi sebelumnya.
Meskipun mirip kondisi dapat diturunkan untuk sejumlah besar variabel, analisis
menjadi cukup terlibat. Oleh karena itu, dalam keadaan paling praktis, yang
melibatkan tiga atau lebih variabel independen, akan lebih mudah dan efisien
bergantung pada sifat fisik dari masalah untuk menentukan apakah maksimum
minimum atau memiliki telah diperoleh. Selain itu, variabel independen dapat
berubah sedikit dekat optimal untuk menentukan apakah nilai meningkat fungsi
objektif atau menurun. Jika nilai berkurang sebagai salah satu bergerak menjauh
dari optimal, maksimal diindikasikan, sedangkan jika itu meningkat, minimal telah
diperoleh.
CONTOH
Biaya per unit massa dari bahan yang diproses di fasilitas ekstrusi diberikan oleh
ekspresi
di mana T adalah temperatur berdimensi dari bahan yang diekstrusi, V adalah laju
aliran volume berdimensi, dan C mencakup modal dan biaya operasional.
Tentukan biaya minimum.
SOLUSI
Karena tidak ada kendala, pendekatan yang diberikan dalam bagian sebelumnya
mungkin diadopsi. Oleh karena itu, lokasi optimal diberikan oleh solusi persamaan.
Page 10 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
Karena baik T dan V adalah jumlah positif, memiliki
Persamaan ini memberikan V* = 1,6930 dan T* = 0,6182. Bila ini diganti dalam
ekspresi untuk C, diperoleh C* = 5,1763. Sekarang turunan kedua mungkin
diperoleh untuk memastikan sifat dari titik kritis. Dengan demikian,
Mensubstitusikan nilai-nilai dari V dan T pada titik stasioner, menghitung ini tiga
derivatif kedua sebagai 1,3544, 23,7023, dan 1,2364, masing-masing. ini
memberikan S = 30,57. Oleh karena itu, S = 0 dan ∂2C /∂V2 = 0, menunjukkan
bahwa biaya minimum telah diperoleh.
Konversi Masalah Berkendala manjadi Masalah tidak Berkendala
Hal ini terbukti dari pembahasan sebelumnya bahwa optimasi dibatasi masalah
adalah jauh lebih mudah untuk memecahkan, dibandingkan dengan dibatasi sesua
salah, karena tidak diketahui jumlah lebih kecil dalam kasus mantan. Setiap kendala
memperkenalkan multiplier Lagrange sebagai diketahui dan persamaan tambahan
harus puas. Oleh karena itu, diinginkan untuk mengkonversi diberikan dibatasi
Masalah menjadi satu tak terbatas bila memungkinkan. Kendala mewakili hubungan
antara variabel independen berbagai yang harus dipenuhi. Jika persamaan ini dapat
digunakan untuk memperoleh ekspresi eksplisit untuk beberapa variable dalam hal
yang lain, ungkapan ini kemudian dapat disubstitusikan ke dalam tujuan berfungsi
untuk menghilangkan kendala dan dengan demikian mengubah masalah ke tidak
dibatasi satu. Bahkan jika semua kendala tidak dapat dihilangkan, akan lebih
bermanfaat untuk menghilangkan sebanyak ini mungkin untuk mengurangi
kompleksitas dari masalah. Persamaan dapat digunakan untuk mengekspresikan y
dalam x sebagai berikut
Mengganti ini nilai y ke Persamaan
Oleh karena itu, masalah tak terbatas diperoleh dengan U (x) sebagai fungsi
tujuan.Optimum ini diperoleh dengan mengatur ∂U/∂x = 0, yang menghasilkan nilai
x. Nilai y yang sesuai secara optimum diperoleh dari Persamaan y dan nilai
optimum U diperoleh dari Persamaan U. Sangat mudah untuk melihat bahwa x* y*
Page 11 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
= 1,0 dan U* = 2.0 untuk kasus sederhana ketika semua konstanta dan eksponen
adalah kesatuan.
Dengan demikian, hal ini diinginkan untuk mengurangi jumlah kendala,
yang juga akan mengurangi jumlah variabel yang tidak diketahui dan pengganda
Lagrange, dengan menggunakan kendala persamaan untuk menemukan ekspresi
eksplisit berkaitan variabel. Contoh telah menggambarkan solusi dari masalah
terkendala dengan mengubahnya menjadi satu tak terkendala. Hal ini kemudian
dipecahkan sebagai masalah dibatasi untuk menunjukkan perbedaan antara dua
pendekatan.
7. MASALAH OPTIMASI BERKENDALA
Optimasi sistem termal yang paling diatur oleh kendala yang timbul karena hukum
konservasi dan keterbatasan yang ditetapkan oleh materi, ruang, biaya, keamanan, dll
Seperti yang telah dibahas sebelumnya, jumlah kendala kesetaraan harus kurang dari
jumlah variabel independen untuk optimasi menjadi mungkin. Jika jumlah kendala sama
dengan jumlah variabel, masalah hanya mungkin diselesaikan untuk menghasilkan set
variabel yang memenuhi kendala. Fleksibilitas ada tersedia untuk memilih desain yang
terbaik atau optimal.
Jika jumlah kendala lebih besar dari jumlah variabel, masalah ini overconstrained
dan beberapa dari kendala harus dibuang, mengakibatkan kesewenang-wenangan dan
nonuniqueness dalam solusi. Pertimbangan ini terbukti dari Persamaan, dimana Kondisi
mn, masalah tersebut overconstrained, dan tidak
ada solusi yang mungkin kecuali m - n kendala yang dibuang. Mengingat masalah
optimisasi, yaitu, m
0
1
1
REKAYASA DAN OPTIMASI PROSES
Lagrange Multipliers
Ir. Usman Effendi, MS
Br
Lab. Komputasi Dan Analisis Sistem, FTP, Universitas Brawijaya
a
Email : [email protected]
wi
ja
M
y
1. PENDAHULUAN
b. Determination Of
a
1.1 Pengantar
Minimum Or
t
U
1.2 Tujuan
Maximum
a
ni
2. PENGANTAR METODE
c. Penentuan Minimum
KALKULUS
Atau Maksimum
K
v
3.
METODE
LAGRANGE
d.
Konversi Dibatasi
ul
er
MULTIPLIER
Untuk Masalah
ia
si
4. METODE LAGRANGE
Dibatasi
h
ty
MULTIPLIER OPTIMASI tidak
7. MASALAH OPTIMASI
/
BERKENDALA
BERKENDALA
5.
OPTIMASI
BERKENDALA
8.
OPTIMASI
DENGAN
M
6.
MASALAH
DALAM
OPT
TIDAK
KENDALA
KETIMPANGAN:
a
Minggu
BERKENDALA
KONDISI KUHN-TUCKER
t
a. Penggunaan Gradien
e
Untuk Optimasi
ri
1. PENDAHULUAN
S
K
ul 1.1 PENGANTAR
E
ia
L
Jika fungsi ini kontinu dan terdiferensialkan, turunannya menjadi nol
h
MODU
L
3
pada titik ekstrem tersebut. Untuk fungsi y (x), kondisi ini ditulis
sebagai
di mana x adalah variabel independen. Dasar untuk properti ini dapat
dijelaskan dalam hal ekstrem yang ditunjukkan pada Gambar 1.
Sebagai maksimum pada titik A adalah mendekati, nilai fungsi y (x)
meningkat dan hanya di luar titik ini, itu berkurang, sehingga nol
gradien di A. Demikian pula, nilai fungsi menurun hingga minimum
pada titik B dan meningkat melampaui B, memberikan nol kemiringan
di B. Dalam rangka untuk menentukan apakah titik adalah maksimum
atau minimum, derivatif kedua dihitung. Karena lereng pergi dari
positif ke negatif, melalui nol, maksimum, turunan kedua adalah
negatif. Demikian pula, kemiringan meningkat minimal dan, dengan
demikian, turunan kedua adalah positif. Ini kondisi dapat ditulis
sebagai (Keisler, 1986).
FP
R
O
P
A
G
A
TI
N
G
E
N
T
R
E
P
R
E
3
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
1.2 TUJUAN
1.2.1 Tujuan Instruksional Umum
Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa akan memiliki kemampuan melakukan
analisis suatu proses dan melakukan optimasi dengan metode yang telah dipelajarinya
1.2.2 Tujuan Instruksional Khusus
Setelah mempelajari pokok bahasan mahasiswa dapat ;
Menjelaskan ulang metode optimasi analitik, mampu menentukan kriteria
optimum untuk optimasi variabel tunggal dan ganda.,
Mengetahui karakteristik Optimasi tidak Berkendala dan Berkendala
Mampu merubah kondisi berkendala ke dalam tidak berkendala.
Menguasi Optimasi fungsi non linear dengan kendala persamaan dan ketidak
samaan
Menerapkan metode lagrange multiplier dan Kondisi Kunh Tucker
2. PENGANTAR METODE KALKULUS
Kondisi yang disampaikan sebelumnya berlaku untuk y fungsi nonlinear (x) dan,
karena itu, metode kalkulus berguna untuk sistem termal, yang umumnya diatur oleh
nonlinier ekspresi. Namun, baik fungsi dan turunannya harus terus menerus untuk
analisis sebelumnya untuk menerapkan.Dengan demikian, dengan menetapkan gradien
sama dengan nol, lokasi dari ekstrem dapat diperoleh dan turunan kedua kemudian
dapat digunakan untuk menentukan Sifat ekstrem masing-masing. Ada beberapa kasus
di mana kedua pertama dan kedua derivatif adalah nol.
Hal ini menunjukkan titik
perubahan, sebagaimana sketsa di Gambar 1 (c), titik pelana, atau kurva datar, seperti
di punggung bukit atau lembah. Ini harus dicatat bahwa kondisi hanya disebutkan
menunjukkan hanya ekstrem lokal. Mungkin ada beberapa ekstrem lokal seperti dalam
domain yang diberikan. Karena ketertarikan kami terletak pada keseluruhan maksimum
atau minimum di seluruh domain untuk mengoptimalkan sistem, kami akan mencari
ekstrem global, yang biasanya unik dan merupakan yang terbesar atau terkecil nilai
fungsi tujuan. Contoh sederhana berikut menggambarkan penggunaan prosedur
sebelumnya untuk optimasi.
Gambar 1. Seketsa memperlihatkan maksimum, minimum dan titik belok fungsi
y(x)
CONTOH 1:
Page 2 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
Terapkan teknik kalkulus berbasis optimasi hanya diberikan kepada meminimalkan biaya
C untuk panas bergulir jumlah yang diberikan dari logam. Biaya ini dinyatakan dalam hal
laju aliran massa m � bahan sebagai berikut
di mana istilah pertama di sisi kanan merupakan biaya peralatan, yang meningkat
dengan meningkatnya laju alir, dan istilah kedua merupakan operasi biaya, yang turun
dengan meningkatnya m.
SOLUSI
Nilai ekstrem diberikan oleh
Karena itu
Turunan kedua diperoleh sebagai berikut
yang bernilai positip karena m adalah positip
3. METODE LAGRANGE MULTIPLIER
Ini adalah metode yang paling penting dan berguna untuk optimasi berdasarkan
kalkulus. Hal ini dapat digunakan untuk mengoptimalkan fungsi yang bergantung pada
sejumlah independen variabel dan ketika kendala fungsional terlibat. Dengan demikian,
dapat diterapkan untuk berbagai situasi praktis disediakan fungsi tujuan dan kendala
dapat dinyatakan sebagai fungsi kontinu dan terdiferensialkan. Selain itu, kendala
kesetaraan hanya dapat dipertimbangkan dalam proses optimasi.
DASAR PENDEKATAN
Pernyataan matematika dari masalah optimasi diberikan dalam sebelumnya
bab sebagai
Page 3 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
tunduk pada kendala
dimana U adalah fungsi tujuan yang akan dioptimalkan dan Gi = 0, dengan i bervariasi
dari 1 sampai n, merupakan kendala kesetaraan n. Seperti disebutkan sebelumnya, jika
kendala ketimpangan muncul dalam masalah, ini harus diubah menjadi kesetaraan
kendala untuk menerapkan metode ini. Selain itu, dalam beberapa kasus,
ketidaksetaraan kendala hanya mendefinisikan domain diterima dan tidak digunakan
dalam optimasi proses. Namun demikian, solusi yang diperoleh diperiksa untuk
memastikan bahwa kendala puas.
Metode Lagrange pada dasarnya mengubah masalah sebelumnya untuk menemukan
minimum atau maksimum ke solusi dari sistem aljabar persamaan, sehingga
memberikan skema yang nyaman untuk menentukan optimal. Itu fungsi tujuan dan
kendala digabungkan menjadi Y fungsi baru, yang dikenal sebagai ekspresi Lagrange dan
didefinisikan sebagai
dimana λ adalah parameter yang tidak diketahui, yang dikenal sebagai pengali Lagrange.
Kemudian, menurut metode ini, optimum terjadi pada solusi dari sistem persamaan yang
dibentuk oleh persamaan berikut:
Page 4 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
Ketika pembedaan diterapkan pada ekspresi Lagrange, menemukan bahwa optimum
diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan berikut:
Jika U fungsi tujuan dan kendala Gi yang terus menerus dan terdiferensialkan,
sistem persamaan aljabar diperoleh. Karena ada persamaan m untuk kendala dan
persamaan tambahan n berasal dari ekspresi Lagrange, total m+ n persamaan simultan
diperoleh. Yang tidak diketahui adalah m pengganda, sesuai dengan kendala m, dan
variabel independen n. Oleh karena itu, sistem ini dapat diselesaikan untuk
mendapatkan nilai-nilai variabel independen, yang menentukan lokasi yang optimum,
serta multiplier. Analytical metode untuk memecahkan sistem persamaan aljabar dapat
digunakan jika persamaan linier diperoleh dan / atau ketika jumlah persamaan kecil,
biasanya sampai dengan sekitar lima. untuk nonlinear persamaan dan untuk set yang
lebih besar, metode numerik umumnya lebih tepat. Nilai optimum dari fungsi tujuan ini
kemudian ditentukan dengan menggantikan nilai-nilai yang diperoleh untuk variabel
independen terhadap ekspresi untuk U. optimum sering diwakili oleh tanda bintang,
yaitu, X1*, X2*, …. Xn* dan U*.
4. METODE LAGRANGE MULTIPLIER (MLM) OPTIMASI
TIDAK BERKENDALA
Page 5 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
Mari mempertimbangkan masalah tak terbatas untuk dua variabel independen
x dan y. Kemudian metode pengali Lagrange menghasilkan lokasi optimal sebagai solusi
untuk persamaan
Gambar 2 Minimum dan Maksimum dalam masalah tidak berkendala
∇ U=0
Oleh karena itu, vektor gradien, yang normal dengan kontur U konstan, adalah nol,
menyiratkan bahwa tingkat perubahan U adalah nol sebagai salah satu bergerak
menjauh dari titik dimana persamaan ini puas. Ini menunjukkan titik stasioner, atau
ekstrem, seperti ditunjukkan secara kualitatif pada Gambar 2 untuk satu atau dua
variabel independen. Intinya mungkin minimum atau maksimum. Hal ini juga dapat
menjadi titik pelana, ridge, atau lembah (lihat Gambar 2). Informasi tambahan yang
diperlukan untuk menentukan sifat stasioner titik, seperti yang dibahas kemudian.
Karena Persamaan
adalah persamaan vektor, masing-masing komponen dapat
ditetapkan sama dengan nol, sehingga menimbulkan dua persamaan berikut:
yang dapat diselesaikan untuk mendapatkan x dan y di optimal, dilambangkan sebagai
x* dan y*. Nilai U* optimal kemudian dihitung dari ekspresi untuk U. Jumlah persamaan
yang diperoleh adalah sama dengan jumlah variabel independen dan optimal dapat
ditentukan dengan memecahkan persamaan.
5. MLM UNTUK OPTIMASI BERKENDALA
The optimum untuk masalah dengan kendala tunggal diperoleh dengan
memecahkan persamaan
Page 6 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
Gambar 3. Interpretasi fisik metode lagrange multiplier untuk dua variabel independen
dan kendala tunggal
Gradien vektor ∇ U normal dengan kontur U konstan, sedangkan
∇ G adalah
vektor normal terhadap kontur G konstan. Pengganda Lagrange hanya konstan. Oleh
karena itu, persamaan ini menyiratkan bahwa dua vektor gradien yang selaras, yaitu,
keduanya berada dalam garis lurus yang sama. Besaran dapat berbeda dan dapat
disesuaikan untuk memastikan bahwa Persamaan sesuai. Namun, jika dua vektor tidak
berada dalam garis yang sama, jumlah itu tidak boleh nol kecuali kedua vektor adalah
nol. Hasil ini ditunjukkan secara grafik pada Gambar 3 untuk minimum di U. Sebagai
salah satu bergerak di sepanjang kendala, yang diberikan oleh G-0, dalam rangka untuk
memastikan bahwa kendala puas, gradien
∇ G bervariasi arah. Titik di mana menjadi
collinear dengan
∇ U adalah optimal. Pada titik ini, dua kurva yang tangensial dan
dengan demikian menghasilkan nilai minimum U sementara memenuhi kendala.
Kurva U konstan di bawah kurva kendala tidak memenuhi kendala dan yang di
atas itu memberikan nilai U lebih besar dari optimum pada lokasi di mana mereka
bersinggungan dengan kurva kendala. Jelas, nilai U lebih kecil dari yang di yang optimal
ditunjukkan pada gambar bisa diperoleh jika ada kendala tidak ada, dalam hal
persamaan yang mengatur akan diperoleh dari Persamaan
∇ U . Sebagai contoh,
mempertimbangkan U fungsi tujuan dalam bentuk
dengan bentuk kendala
Kendala ini dapat ditulis sebagai berikut untuk meletakkannya dalam bentuk yang
diberikan oleh Persamaan :
Page 7 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
Berikut E, koefisien A dan B, dan eksponen a, b, c, dan d diasumsikan menjadi
konstanta yang diketahui. Ekspresi seperti yang sering ditemui dalam termal sistem.
Misalnya, U mungkin biaya keseluruhan dan x dan y pompa yang dibutuhkan dan
diameter pipa, masing-masing, dalam sistem aliran air. Tekanan menurun dengan
meningkatnya diameter, sehingga biaya lebih rendah untuk pompa, dan biaya untuk
meningkatkan pipa. Hal ini menimbulkan hubungan seperti Persamaan untuk E. Dengan
demikian, kontur U konstan dapat ditarik bersama dengan kurva kendala sebuah bidang
x - y, seperti sketsa pada Gambar 4 (a). Kemudian optimal ditunjukkan dengan lokasi di
mana kontur U konstan menjadi tangensial dengan kendala kurva, sehingga
menyelaraskan
∇ U dan
∇ G vektor. Untuk kasus sederhana ketika semua
konstanta dalam ekspresi kesatuan, yaitu, U = x+y dan G = xy - 1 = 0, U konstan kontur
berupa garis lurus dan kurva kendala diberikan oleh x = 1 / y, seperti sketsa pada
Gambar 4 (b). Optimum adalah pada x* = 1,0 dan y* = 1,0, dan nilai U* optimum adalah
2,0 untuk kasus ini.
Meskipun hanya dua variabel independen dianggap sini untuk kemudahan
visualisasi dan pemahaman fisik, ide-ide dasar dengan mudah dapat diperpanjang untuk
sejumlah besar variabel. Sistem persamaan yang harus diselesaikan untuk mendapatkan
optimal diberikan oleh persamaan skalar n berasal dari persamaan vektor
dan m kendala kesetaraan
untuk
Gambar 4. (a). Optimisasi masalah kendala sederhana dan (b) hasil dari semua
kendala diberikan oleh ekpresi adalah satu.
6. MASALAH DALAM OPTIMASI TIDAK BERKENDALA
Page 8 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
Sebagian besar masalah yang dihadapi dalam optimasi desain sistem termal
terhambat karena prinsip-prinsip konservasi dan keterbatasan yang ditetapkan oleh
bahan yang digunakan peraturan ruang, tersedia, keselamatan dan lingkungan, dll
Namun, seringkali kendala yang digunakan untuk mendapatkan hubungan antara
berbeda desain variabel. Jika ini kemudian diganti menjadi ekspresi untuk
fungsi tujuan, masalah tak terbatas diperoleh karena kendala telah terpenuhi. Kadangkadang, dalam perumusan masalah optimasi sendiri, kendala bekerja untuk menurunkan
ekspresi yang tepat dan kendala tambahan tidak diperlukan. Dengan demikian, suatu
hasil masalah tak terbatas. Tentu saja, dalam beberapa kasus, tidak ada kendala yang
signifikan, dan masalah diperlakukan sebagai tak terbatas. Dengan demikian, masalah
optimasi tidak dibatasi adalah minat banyak sistem termal praktis dan proses.
Penggunaan Gradien Untuk Optimasi
Jika tidak ada kendala dalam masalah, optimal diberikan oleh solusi untuk
persamaan berikut vektor untuk U (x1, x2, x3, ..., xn):
Sekali lagi, mudah untuk memvisualisasikan vektor gradien jika hanya dua
atau tiga variabel terlibat, seperti yang terlihat di bagian sebelumnya. Namun,
konsep-konsep dasar yang sama dan dapat diperpanjang untuk setiap nomor yang
sesuai dari variabel. Semua komponen Persamaan vektor persamaan, ∇ U,
harus nol agar vektor menjadi nol karena semua variabel diambil sebagai
independen satu sama lain. Oleh karena itu, optimal diperoleh dengan
memecahkan persamaan
Hal ini mirip dengan kondisi untuk titik stasioner diberikan oleh Persamaan
untuk variabel tunggal independen. Fungsi tujuan harus kontinu dan
terdiferensialkan fungsi dari variabel independen dalam masalah dan derivatif
harus kontinu.
Sistem persamaan diwakili oleh Persamaan dapat linear atau nonlinier,
persamaan nonlinier meskipun lebih sering ditemui untuk termal sistem dan
proses. Analisis matematis dapat digunakan dalam kasus-kasus sederhana untuk
mendapatkan solusi. Jika tidak, teknik numerik diperlukan. Metode ini sangat
berguna untuk sistem yang mungkin ditandai dengan ekspresi aljabar yang dapat
dengan mudah dibedakan. Situasi ini biasanya muncul dalam kasus-kasus di mana
curve fitting menghasilkan ekspresi seperti untuk karakteristik perilaku sistem dan
dalam sistem kecil, ideal, dan sederhana. Kendala diasumsikan absen atau diurus
dalam mengembangkan fungsi tujuan, seperti yang dibahas kemudian. Kami
sekarang mempertimbangkan menentukan apakah optimal adalah minimum atau
maksimum.
PENENTUAN MINIMUM ATAU MAKSIMUM
Dalam kebanyakan kasus, sifat fisik dari masalah akan menunjukkan
apakah
solusi yang diperoleh adalah maksimum, minimum, atau beberapa titik stasioner
Page 9 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
lainnya. Sering, diketahui dari pengalaman bahwa minimal atau maksimal ada di
domain yang diberikan. Misalnya, hal itu dapat diketahui bahwa minimal dalam
energi Konsumsi akan timbul jika tekanan kompresor yang bervariasi atas diterima
rentang dalam sistem refrigerasi. Demikian pula, efisiensi termal maksimum
diharapkan jika kecepatan, dalam revolusi per menit, dari mesin diesel adalah
bervariasi. Namun, dengan tidak adanya informasi tersebut, analisis lebih lanjut
dapat dilakukan untuk menentukan karakteristik optimal.
Telah dikenal persamaan-persamaan memberikan kondisi untuk maksimum
dan minimum, masing-masing, untuk satu variabel bebas. Jika turunan kedua
adalah nol pada titik stasioner, terjadinya titik pelana, titik infleksi, ridge, atau
lembah. Kondisi serupa mungkin diturunkan untuk dua atau lebih variabel
independen. Untuk kasus dua independen variabel, x1 dan x2, dengan U (x1, x2)
dan pertama dua derivatif terus menerus, ini kondisi diberikan sebagai
dimana
Oleh karena itu, untuk dua variabel independen, optimal dapat diperoleh
dengan memecahkan ∂U/∂1 = ∂U /∂x2 = 0 dan menerapkan kondisi sebelumnya.
Meskipun mirip kondisi dapat diturunkan untuk sejumlah besar variabel, analisis
menjadi cukup terlibat. Oleh karena itu, dalam keadaan paling praktis, yang
melibatkan tiga atau lebih variabel independen, akan lebih mudah dan efisien
bergantung pada sifat fisik dari masalah untuk menentukan apakah maksimum
minimum atau memiliki telah diperoleh. Selain itu, variabel independen dapat
berubah sedikit dekat optimal untuk menentukan apakah nilai meningkat fungsi
objektif atau menurun. Jika nilai berkurang sebagai salah satu bergerak menjauh
dari optimal, maksimal diindikasikan, sedangkan jika itu meningkat, minimal telah
diperoleh.
CONTOH
Biaya per unit massa dari bahan yang diproses di fasilitas ekstrusi diberikan oleh
ekspresi
di mana T adalah temperatur berdimensi dari bahan yang diekstrusi, V adalah laju
aliran volume berdimensi, dan C mencakup modal dan biaya operasional.
Tentukan biaya minimum.
SOLUSI
Karena tidak ada kendala, pendekatan yang diberikan dalam bagian sebelumnya
mungkin diadopsi. Oleh karena itu, lokasi optimal diberikan oleh solusi persamaan.
Page 10 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
Karena baik T dan V adalah jumlah positif, memiliki
Persamaan ini memberikan V* = 1,6930 dan T* = 0,6182. Bila ini diganti dalam
ekspresi untuk C, diperoleh C* = 5,1763. Sekarang turunan kedua mungkin
diperoleh untuk memastikan sifat dari titik kritis. Dengan demikian,
Mensubstitusikan nilai-nilai dari V dan T pada titik stasioner, menghitung ini tiga
derivatif kedua sebagai 1,3544, 23,7023, dan 1,2364, masing-masing. ini
memberikan S = 30,57. Oleh karena itu, S = 0 dan ∂2C /∂V2 = 0, menunjukkan
bahwa biaya minimum telah diperoleh.
Konversi Masalah Berkendala manjadi Masalah tidak Berkendala
Hal ini terbukti dari pembahasan sebelumnya bahwa optimasi dibatasi masalah
adalah jauh lebih mudah untuk memecahkan, dibandingkan dengan dibatasi sesua
salah, karena tidak diketahui jumlah lebih kecil dalam kasus mantan. Setiap kendala
memperkenalkan multiplier Lagrange sebagai diketahui dan persamaan tambahan
harus puas. Oleh karena itu, diinginkan untuk mengkonversi diberikan dibatasi
Masalah menjadi satu tak terbatas bila memungkinkan. Kendala mewakili hubungan
antara variabel independen berbagai yang harus dipenuhi. Jika persamaan ini dapat
digunakan untuk memperoleh ekspresi eksplisit untuk beberapa variable dalam hal
yang lain, ungkapan ini kemudian dapat disubstitusikan ke dalam tujuan berfungsi
untuk menghilangkan kendala dan dengan demikian mengubah masalah ke tidak
dibatasi satu. Bahkan jika semua kendala tidak dapat dihilangkan, akan lebih
bermanfaat untuk menghilangkan sebanyak ini mungkin untuk mengurangi
kompleksitas dari masalah. Persamaan dapat digunakan untuk mengekspresikan y
dalam x sebagai berikut
Mengganti ini nilai y ke Persamaan
Oleh karena itu, masalah tak terbatas diperoleh dengan U (x) sebagai fungsi
tujuan.Optimum ini diperoleh dengan mengatur ∂U/∂x = 0, yang menghasilkan nilai
x. Nilai y yang sesuai secara optimum diperoleh dari Persamaan y dan nilai
optimum U diperoleh dari Persamaan U. Sangat mudah untuk melihat bahwa x* y*
Page 11 of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange MultiplierBrawijaya
2012
= 1,0 dan U* = 2.0 untuk kasus sederhana ketika semua konstanta dan eksponen
adalah kesatuan.
Dengan demikian, hal ini diinginkan untuk mengurangi jumlah kendala,
yang juga akan mengurangi jumlah variabel yang tidak diketahui dan pengganda
Lagrange, dengan menggunakan kendala persamaan untuk menemukan ekspresi
eksplisit berkaitan variabel. Contoh telah menggambarkan solusi dari masalah
terkendala dengan mengubahnya menjadi satu tak terkendala. Hal ini kemudian
dipecahkan sebagai masalah dibatasi untuk menunjukkan perbedaan antara dua
pendekatan.
7. MASALAH OPTIMASI BERKENDALA
Optimasi sistem termal yang paling diatur oleh kendala yang timbul karena hukum
konservasi dan keterbatasan yang ditetapkan oleh materi, ruang, biaya, keamanan, dll
Seperti yang telah dibahas sebelumnya, jumlah kendala kesetaraan harus kurang dari
jumlah variabel independen untuk optimasi menjadi mungkin. Jika jumlah kendala sama
dengan jumlah variabel, masalah hanya mungkin diselesaikan untuk menghasilkan set
variabel yang memenuhi kendala. Fleksibilitas ada tersedia untuk memilih desain yang
terbaik atau optimal.
Jika jumlah kendala lebih besar dari jumlah variabel, masalah ini overconstrained
dan beberapa dari kendala harus dibuang, mengakibatkan kesewenang-wenangan dan
nonuniqueness dalam solusi. Pertimbangan ini terbukti dari Persamaan, dimana Kondisi
mn, masalah tersebut overconstrained, dan tidak
ada solusi yang mungkin kecuali m - n kendala yang dibuang. Mengingat masalah
optimisasi, yaitu, m