LOGIKA MATEMATIKA (2) LOGIKA MATEMATIKA (2) LOGIKA MATEMATIKA (2)

Jurnal Modul 1 Mata Kuliah :
Fondasi Dan Bukti Matematika

LOGIKA MATEMATIKA
Deni Solehudin
Nim. 530011582
Mahasiswa Pendidikan Matematika PPS online
UPBJJ UT Bandung
E-mail : deniptrl@gmail.com
Abstrak
Logika Matematika ialah logika yang menggunakan bahasa
Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau
simbol-simbol. Pernyataan-pernyataan universal menyebutkan bahwa
semua anggota dari suatu himpunan memiliki sifat tertentu,
sedangkan pernyataan-pernyataan eksistensial menyebutkan bahwa
sekurang-kurangnya satu anggota dari suatu himpunan memiliki
suatu sifat tertentu. Kata-kata dan, atau, serta tidak sangatlah penting
dalam studi logika. Hukum-hukum De Morgan dapat digunakan untuk
membuat negasi dari bentuk-bentuk logis yang memuat dan serta
atau. Suatu bentuk argumen adalah tidak valid jika dan hanya jika
terdapat argumen-argumen di mana premis-premisnya benar dan

konklusinya salah. Kekeliruan Konvers, Kekeliruan Invers, dan
Induksi Tidak Berterima adalah bentuk-bentuk argumen yang tidak
valid.
Kata Kunci : Logika Matematika, Negasi, Konvers, Invers, Induksi
PENDAHULUAN
Untuk membangun sebuah fakta merupakan motivasi paling dasar
mengapa orang perlu membuktikan suatu pernyataan matematika, yaitu untuk
meyakinkan bahwa apa yang selama ini dianggap benar adalah memang benar.
Tidak dapat dipungkiri selama ini banyak kebenaran fakta di dalam matematika
hanya dipercaya begitu saja tanpa adanya kecurigaan terhadap kebenaran tersebut,
tidak berusaha membuktikan sendiri, termasuk fakta-fakta yang sangat sederhana.
Kita hanya menggunakan fakta tersebut karena sudah ada dalam, atau karena
sudah pernah disampaikan oleh guru kita. Memang tidak semua fakta matematika
yang dipelajari harus dipahami buktinya. Namun beberapa fakta sederhana pun
sering diabaikan pembuktiannya.
PEMBAHASAN
Pengertian Logika Matematika
Logika Matematika atau Logika Simbol ialah logika yang menggunakan
bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbol-

1

Jurnal Modul 1 Mata Kuliah :
Fondasi Dan Bukti Matematika

simbol. Keuntungan atau kekuatan bahasa simbol adalah:
univalent/bermakna tunggal, dan universal/dapat dipakai dimana-mana.

ringkas,

Pernyataan
Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah,
tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Benar diartikan ada kesesuaian antara apa
yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya. Perhatikan beberapa contoh
berikut!
1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam
2. 4 +3=8
3. Rapikan tempat tidurmu!
Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah, dan
keduanya adalah pernyataan. Kalimat 3 di atas tidak mempunyai nilai benar atau

salah, sehingga bukan pernyataan. Frasa “untuk semua” disebut kuantor dan
diwakili dalam logika oleh simbol ∀.
Definisi 1.1
Misalkan S suatu himpunan dan p( x) suatu sifat yang mungkin berlaku
atau tidak berlaku untuk sebarang anggota x dari S . Suatu pernyataan
universal adalah berbentuk :
Untuk semua x dalam S , p( x)
Atau secara simbolis :
∀ x dalam S , p( x)
Suatu pernyataan universal adalah benar jika dan hanya jika p( x) benar untuk
setiap anggota x dalam S ; kalau tidak deikian, pernyatan itu salah.
Berikut ini ringkasan sifat-sifat dari pernyataan universal dan pernyataan
eksistensial.
pernyataa
universal
eksistensial
n
bentuk
Untuk semua x dalam S
Terdapat suatu x dalam S

, p(x)
sedemikian hingga p( x)
kuantor
Untuk semua
Terdapat (ada)
∃
∀
simbol
benar
Jika benar untuk semua nilai- Jika benar untuk paling sedikit
nilai x dalam S
satu nilai x dalam S
Kata Hubung Kalimat
1) Ingkaran atau Negasi
Sebuah pernyataan mestilah benar atau salah. Setiap pernyataan memiliki negasi
(sangkalan) yang juga merupakan pernyataan.
Definisi 1.4
Ingkaran/Negasi dari suatu pernyataan p adalah suatu pernyataan, disebut
tidak p , yang jika benar, secara tepat menyebutkan apa yang salah bagi p .
2

Jurnal Modul 1 Mata Kuliah :
Fondasi Dan Bukti Matematika

Ingkaran dari suatu pernyataan p disajikan dengan lambang atau – p atau
p , dan dibaca: ”tidak p ”. Bila peryataan p bernilai benar, maka
ingkarannya bernilai salah dan sebaliknya.
Contoh Soal :
Misalkan pernyataan adalah p : Tembakau yang mengandung nikotin.
p adalah p
Ingkaran penyataan
: Tidak benar bahwa tembakau
mengandung nikotin.
Tabel Kebenaran untuk Negasi
p
∼p
B
S
S
B

Dan dan Atau dan Hukum De Morgan
Di dalam matematika dan di dalam bahasa yang lazim, pernyataanpernyataan seringkali digabungkan dengan menggunakan kata-kata dan, atau,
tidak, baik ...ataupun, tidak ... ataupun.
Definisi 1.5
a. Kalimat p dan q adalah benar bila, dan hanya bila, p dan q
kedua-duanya benar.
b. Kalimat p atau q adalah benar dalam semua kasus kecuali bila p dan
q kedua-duanya salah.
Nilai-nilai kebenaran dalam definisi dan dan atau dirangkumkan dalam tabel
kebenaran berikut ini.
Tabel Kebenaran untuk dan Tabel Kebenaran untuk atau
p
q
p
q
p dan q
p atau q
B
B
B

B
B
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
B
B
S
S
S
S
S

S
Jika dua bentuk logis memiliki nilai-nilai kebenaran yang sama untuk
semua substitusi pernyataan untuk variabel-variabel pernyataannya, maka kita
katakan bahwa dua bentuk tersebut ekuivalen logis. Simbol ≡ kadang-kadang
digunakan untuk melambangkan ekuivalensi logis. Sebagai contoh,
∼(∼ p )≡ p .
Hukum De Morgan
Untuk semua pernyataan p dan q .
1. ∼ ( p dan q ) ≡ ( ∼ p ) atau (∼q)
2. ∼ ( p atau q ) ≡ ( ∼ p ) dan (∼q)

3

Jurnal Modul 1 Mata Kuliah :
Fondasi Dan Bukti Matematika

Untuk menghindari ambiguitas (kebergandaan-makna), untuk atau ekslusif kita
katakan baik a ataupun b tetapi tidak sekaligus kedua-duanya.

Jaringan Logika Komputer

Gerbang logika
Kabel input
Kabel output
Kabel input
Kabel-kabel input dan output membawa sinyal-sinyal listrik yang berada
dalam salah satu dari dua keadaan yang saling ekslusif. Dua keadaan itu sebagai
arus ON atau arus OFF. Demi kemudahan, kita sebut saja keadaan sinyal ini
sebagai 1 atau 0. Ini berkorespondensi, berturut-turut, dengan Benar dan Salah
dalam logika. Benar adalah 1 adalah ON; Salah adalah 0 adalah OFF.
Input
Output
p
q
1
1
0
1
0
1
0

1
1
0
0
1
Simbol gerbang tiga logika :

Perhatikan bahwa
a. Sinyal output gerbang TIDAK (atau, NOT) adalah 0 jika sinyal inputnya 1, dan
bahwa sinyal outputnya 1 jika sinyal inputnya 0;
b. Sinyal output gerbang DAN (atau, AND) adalah 1 jika kabel input p dan kabel
input q membawa sebuah sinyal 1. Jika tidak demikian, maka sinyal outputnya
adalah 0; dan
c. Sinyal output gerbang ATAU (atau, OR) adalah 1 jika kabel input p atau kabel
input q (atau kedua-duanya) membawa sebuah sinyal 1. Jika tidak demikian,
maka sinyal outputnya 0.

4

Jurnal Modul 1 Mata Kuliah :

Fondasi Dan Bukti Matematika

Pernyataan Jika-maka
q disebut pernyataan
Suatu pernyataan berbentuk Jika p maka
“ p⟹q
kondisional/bersyarat, dilambangkan dengan
dan dibaca
p menyimpulkan q.
Pernyataan p disebut hipotesis atau anteseden, dan
pernyataan q disebut konklusi atau konsekuen.
Jadi, dalam sebuah pernyataan kondisional yang benar, kita mungkin
mendapatkan nilai-nilai kebenaran berikut ini untuk anteseden dan konsekuen :
anteseden
konsekuen
B
B
S
B
S
S
Definisi 1.8
p
q
Misalkan
dan
mewakili pernyataan-pernyataan.
kondisional p⟹ q adalah
Salah bilamana p benar dan q salah
Benar dalam semua kasus lainnya.

Pernyataan

Seperti halnya dengan tidak , dan , dan atau , definisi ini dapat dirangkum
dalam sebuah tabel kebenaran yang menunjukan nilai-nilai kebenaran untuk
jika p maka q yang berkorespondensi dengan semua pemberian nilai-nilai
kebenaran yang mungkin untuk p dan q .
Tabel Kebenaran untuk Pernyataan Kondisional
p
q
Jika p maka q
p⇒ q
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Teorema 1.3 (Negasi Pernyataan Kondisional Sederhana)
Negasi dari pernyataan kondisional jika p maka q adalah p dan (tidak q).
Dituliskan secara simbolis : ∼ ( p ⟹ q ) ≡ p dan (∼q)
Negasi dari suatu pernyataan kondisional bukan merupakan suatu pernyataan
kondisional lainnya, melainkan suatu pernyataan-dan.
Contoh
Tuliskan negasi dari pernyataan kondisional,
Jika Tino tinggal di Bandung, maka Tino tinggal di Jawa Barat.
Jawab
Misalkan p : Tino tinggal di Bandung, dan q : Tino tinggal di Jawa Barat.

5

Jurnal Modul 1 Mata Kuliah :
Fondasi Dan Bukti Matematika

Pernyataan yang diberikan itu adalah pernyataan kondisional berbentuk jika p
maka q. Oleh karena itu, negasinya berbentuk p dan (tidak q), atau Tino tinggal di
Bandung dan Tino tidak tinggal di Jawa Barat.

Teorema 1.4 (Negasi Pernyataan Kondisional Universal)
Misalkan S suatu himpunan dan misalkan p(x) dan q(x) pernyataan-pernyataan
yang mungkin berlaku atau tidak berlaku untuk elemen-elemen x dalam S. Negasi
dari
∀ x dalam S , jika p ( x)maka q( x )
Adalah ∃ x dalam S sedemikianhingga p ( x ) dan tidak q ( x)
Definisi 1.9
Kontrapositif dari p⟹ q adalah q ⟹ p .
Kontrapositif dari ∀ x dalam S , jika p ( x ) maka q ( x ) adalah
∀ x dalam S , jika q (x) maka p ( x ) .
Tabel di bawah ini menunjukan bahwa nilai-nilai kebenaran dari pernyataan
kondisional p⟹ q dan kontrapositifnya q( x)maka p ( x ) adalah sama.
p
q
p⟹ q
q
p
q⟹ p
B
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
S
S
B
B
S
B
B
S
S
B
B
B
B
Nilai-nilai kebenaran sama

Teorema 1.5 Kontrapositif
Suatu pernyataan kondisional dan kontrapositifnya adalah ekuivalen logis. Yaitu,
keduanya selalu memiliki nilai kebenaran yang sama.
Dengan mengambil negasi atau menukarkan anteseden dan konsekuen dari
suatu pernyataan kondisional, tetapi bukan melakukan keduanya sekaligus, dua
pernyataan kondisional lainnya dapat dimunculkan.
Definisi 1.10
Konvers dari p⟹ q adalah q ⟹ p .
Konvers
dari
∀ x dalam S , jika p ( x ) maka q ( x ) adalah ∀
x dalam S , jika q ( x ) maka p ( x ) .
p⟹ q.
Invers dari p⟹ q adalah
Invers
dari
∀ x dalam S , jika p ( x ) maka q ( x ) adalah ∀
x dalam S , jika p ( x ) maka q ( x ) .

6

Jurnal Modul 1 Mata Kuliah :
Fondasi Dan Bukti Matematika

Konvers dan invers mungkin tampak mirip dengan kontapositif, tetapi
tidak seperti kontapositif, baik konvers maupun invers tidak mesti memiliki nilai
kebenaran yang sama dengan nilai kebenaran dari pernyataan aslinya.
Argumen yang valid
Di dalam logika dan matematika, argumen tidak berarti perdebatan. Suatu
argumen adalah serangkaian pernyataan-pernyataan di mana seluruh
pernyataannya, kecuali yang terakhir, disebut premis-premis, sedangkan
pernyataan akhirnya itu disebut konklusi (kesimpulan). Pada umumnya, kata-kata
dengan demikian, atau sinonimnya, atau simbol ringkas ∴ (dibaca ‘dengan
demikian”), ditulis tepat sebelum konklusi.
Teorema 1.6 (Modus Ponens atau Hukum Ketidakberpihakan)
Berikut ini bentuk-bentuk argumen yang valid :
Jika p maka q
∀ x , jika p ( x ) ,maka q(x )
p
p ( c ) , untuk suatuc tertentu
∴q
∴ q (c)
Bukti
Premis-premisnya adalah ( p ⟹q ) dan p . Untuk membuktikan Hukum
Ketidakberpihakan, kita harus menunjukan bahwa pernyataan kondisional
( ( p ⟹q ) dan p)⟹ q
Adalah selalu benar. Karena semua baris dalam kolom bentuk itu benar, maka
argumen tersebut adalah valid.
premis-premis

p
B
B
S
S

q
B
S
B
S

p⟹ q
B
S
B
B

p
B
B
S
S

konklusi

( p⟹ q ) dan p
B
S
S
S

q
B
S
B
S

bentuk

( ( p ⟹q ) dan p) ⟹ q
B
B
B
B

Teorema 1.7 (Hukum Transitifitas)
Berikut ini adalah bentuk-bentuk argumen yang valid :
Bentuk sederhana
Bentuk universal
jika p maka q
∀ x , jika p ( x ) ,maka q(x )
Jika q maka r
∀ x , jika q ( x ) , makar (x)
∴ jika p maka r
∴ ∀ x , jika p ( x ) , maka r (x)
Teorema 1.8 (Modus Tollens atau Hukum Penalaran Tidak-langsung)
Berikut ini bentuk argumen yang valid :
Bentuk sederhana
Bentuk universal
jika p maka q
∀ x , jika p ( x ) ,maka q( x )

7

Jurnal Modul 1 Mata Kuliah :
Fondasi Dan Bukti Matematika

tidak q
∴ t idak p

tidak q ( c ) untuk sebuah c tertentu
∴ tidak p (c)untuk c itu

Contoh
Misalkan premis (1) dan premis (2) adalah kedua-duanya benar.
(1) Jika Lisa sakit, maka dia demam.
(2) Lisa tidak demam.
Konklusi benar, apakah yang dapat Anda deduksi?
Jawab
Premis-premis di atas sesuai dengan bentuk premis-premis dari modus tollens.
Konklusi benar yang dapat Anda deduksi adalah Lisa tidak sakit.
KESIMPULAN
Belajar matematika dengan cara memahami bukti tidaklah mudah.
Dibutuhkan waktu untuk memahami matematika sebagai bahasa logika. Juga,
dibutuhkan wawasan matematika yang luas untuk belajar membuktikan faktafakta yang lebih rumit. Di dalam bukti termuat nilai-nilai strategis yang dapat
melatih kita berpikir secara logis. Keindahan matematika juga banyak terdapat
pada harmonisasi penalaran-penalaran dalam bukti. Dengan memahami bukti kita
dapat mengikuti alur berpikir para ahli yang pertama kali menemukannya.
DAFTAR PUSTAKA
Julan H, 2007. Materi kuliah Logika Matematika, jurusan matematika FMIPA,
UAD, Yogyakarta.
Wahyudin. 2014. Fondasi dan Bukti Matematika. Edisi Ketiga. Tangerang
Selatan: Universitas Terbuka

8