BARISAN DAN DERET APLIKASI MHS 16

•
•
•
•
•
•
•

1.barisan dan deret
2.Nilai uang
aplikasi
Turunan 2 variabel dan aplikasinya
Integral dan alikasinya
Matrik dan alikasinya
Buku refrensi “matematika bisnis
“karangan Dumairi
• “Matematika ekonomi dan bisnis
“Dr.Drs.Rachmat Hidayat,M.Pd.

Barisan dan Deret

A. Barisan Aritmetika

 Definisi

Barisan aritmetika adalah suatu
barisan bilangan yang selisih
setiap dua suku berturutan
selalu merupakan bilangan
 Bilangan
tetap tersebut disebut beda dan
tetap yang
(konstan).
dilambangkan dengan b.
 Perhatikan juga barisan-barisan bilangan
berikut ini.
a. 1, 4, 7, 10, 13, ...
b. 2, 8, 14, 20, ...
Barisan
Aritmetika
c. 30, 25, 20, 15, ...

Contoh :
a. 1, 4, 7, 10, 13, ...
+3

+3

+3

+3

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan
bahwa beda sukunya 3 atau b =3.

b. 2, 8, 14, 20, ...
+6

+6

+6

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan
bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

c. 30, 25, 20, 15, ...
–5

–5

–5

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan
bahwa beda sukunya –5 atau b = –5.
Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.
Jika Un adalah suku ke-n dari suatu
barisan aritmetika maka berlaku b
= Un – Un – 1.

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan
suku pertama (U1) dilambangkan dengan a dan beda
dengan b dapat ditentukan seperti berikut.

U1 = a
U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b
U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
.
.
.
Un = Un-1 + b = a + (n – 1)b
Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah
Keterangan: Un = suku ke-n
a = suku pertama
Un = a + (n –
b = beda
1)b
n = banyak suku

Contoh 1 :
Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7,
12, ....
Jawab:
–3, 2, 7, 12, …
Suku pertama adalah a = –3 dan
bedanya b = 2 – (–3) = 5.
Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh :
Un = –3 + (n – 1)5.
Suku ke-8 : U8 = –3 + (8 – 1)5 = 32.
Suku ke-20 : U20 = –3 + (20 – 1)5 = 92.

Contoh 2 :
Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.
Tentukan banyak suku barisan tersebut.
Jawab:
Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.
Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2)
= 3,dan

Un = 40.
Rumus suku ke-n adalah Un = a + (n – 1)b sehingga;
40 = –2 + (n – 1)3
40 = 3n – 5
3n = 45
Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.
Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

B. Deret Aritmetika
• Definisi

Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan
suku-suku
dari
suatu
barisan
aritmetika. Dn = U1 + U2 + U3 + ... +
Undisebut deret aritmetika, dengan
• U
Deret

aritmetika adalah jumlah n suku pertama
n = a + (n – 1)b.
barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari
suatu barisan bilangan dinotasikan D .
Dengan demikian, Dn = U1 + U2 + U3 + ... + Un .
Untuk memahami langkah-langkah menentukan
rumus Dn , perhatikan contoh berikut :

Contoh 1 :

Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11,
14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.

Jawab:

Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat
dituliskansebagai berikut.
D5 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14
D5 = 14 + 11 + 8 + 5 + 2
2D5 = 16 + 16 + 16 + 16 + 16

2D5 = 5 x 16

D5

5 16
= 2

D5 = 40

Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

Menentukan rumus umum untuk D sebagai
berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n
dari barisan aritmetika adalah
Dn = U1 + U2 + U3 + …+Un-2 + Un-1 + Un.
Dapat dinyatakan bahwa besar setiap suku
adalah b kurang dari suku berikutnya.
Un-1 = Un – b
Un-2 = Un-1 – b = Un – 2b
Un-3 = Un-2 – b = Un – 3b

Demikian seterusnya sehingga Dn dapat
dituliskan

Dn= a + (a + b ) + (a + 2b ) + …+ (Un-2b) + (Unb) + Un…(1)

Persamaan 1 dapat ditulis dengan urutan terbalik
sebagai berikut:
Dn= Un+ (Un – b)+(Un – 2b)+ ... +(a+2b)+(a+b)+a …(2)
Jumlahkan Persamaan (1) dan (2) didapatkan
Dn= a + (a + b ) + (a + 2b ) + …+ (Un-2b) + (Un-b) + Un
Dn= Un+ (Un – b)+(Un – 2b)+ ... +(a+2b)+(a+b)+a
2Dn = (a + Un ) + (a + Un )+ (a + Un) + ... + (a + Un)
n suku

Dengan demikian, 2Dn = n(a + Un )
Dn = (1/2) n(a + Un )
Dn = (1/2) n(a + (a + (n – 1)b))
Dn = (1/2) n(2a + (n – 1)b)

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret

aritmetika adalah
Dn = (1/2) n(a + Un )
Dn = (1/2) n(2a + (n – 1)b)

Keterangan:
Dn = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
b = beda
Un = suku ke-n
n = banyak suku

Contoh 2:
Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 +
8 +....

Jawab:

Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.

D100

1
= 2 x 100 {2(2) + (100 – 1)2}

= 50 {4 + 198}
= 50 (202)
= 10.100
Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut
adalah 10.100.

Contoh 3:
Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3
yang kurang dari 100.

Jawab:
Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah
3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh
a = 3, b = 3, dan Un = 99.
Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;
Un = a + (n – 1)b
99 = 3 + (n – 1)3
3n = 99
n = 33
Jumlah dari deret tersebut adalah

Dn
D33

1
=
n (a + Un )
2
1
=
x 33(3 + 99)
2

= 1.683
Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang
dari 100 adalah 1.683

diketahui :
a  3000
b  500
di tan ya : suku ke5
jumlah sampai dengan sukku ke5( D5)
jaab :
u5  a  (n 1)b  3000  (5 1)500  5000
Dn     1/ 2  n(a     Un)



     Dn     1/ 2  n a       a       n   –  1 b 



     Dn     1/ 2  n  2a       n   –  1 b 
D5  1/ 2  n(a     Un)  1/ 2  5(3000    5000)
 20 000

Soal – soal
1. Carilah suku ke – 20 dari barisan aritmatika,
3, 8, 13, 18, …
2. Carilah suku ke – 27 pada setiap barisan
aritmatika berikut ini :
a. 3, 7, 11, …
b. 15, 13, 11, 9, …
c. -8, -4, 0, 4, … d. -6, -1, 4, 9, …
3. Suku ke -3 dan suku ke -16 dari barisan
aritmatika adalah 13 dan 78. Tentukanlah
suku pertama dan bedanya. Berapakah Un
dan Dn
4. Terdapat 60 suku dalam barisan aritmatika
yang mana suku pertama adalah 9 dan
suku terakhir adalah 27. Tentukan Un dan Dn

5. Carilah jumlah dari
a. 40 bilangan bulat positif ganjil
yang pertama
b. 25 bilangan bulat positif genap
yang pertama
c. 60 bilangan bulat positif yang
pertama

soal 2

Perusahaan keramik menghasilkan 5000buah
keramik pada pertama produksi. Dengan
adanya penambahan tenaga kerja maka jumlah
produk yang dihasilkan juga dapat ditingkatkan.
Akibatnya, perusahaan terebut mampu
menambah produksinya sebanyak 300 buah
setiap bulanya. Jika perkembangan produksinya
konstan setiap bulan. Berapa jumlah keramik
yang dihasilkan pada bulan ke-12? Berapa
buah jumlah keramik yang telah dihasilkan
selama 1 tahun pertama produksinya?

1.

Perusahaan genteng nglames menghasilkan
3000 buah genteng pada bulan pertama
produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja
dan peningkatan produktifitas, perusahaan
mampu menambah produksinya sebanyak 500
buah setiap bulan. Jika perkembangan
produksinya konstan, berapa buah genteng
yang dihasilkannya pada bulan kelima ? Berapa
buah yang telah dihasilkan sampai dengan
bulan tersebut ?

2. Besar penerimaan PT ABC dari hasil
penjualan barangnya Rp 720 juta pada
tahun kelima dan Rp 980 pada tahun
ketujuh. Apabila perkembangan hasil
penjualan tersebut berpola seperti
barisan aritmetika, berapa
perkembangan penerimaannya per
tahun ? Berapa besar penerimaan pada
tahun pertama dan pada tahun ke
berapa penerimaannya sebesar Rp 460
juta ?

Perusahaan keramik menghasilkan 5.000
buah keramik pada bulan pertama
produksinya. Dengan adanya penambahan
tenaga kerja, maka jumlah produk yang
dihasilkan juga ditingkatkan. Akibatnya,
perusahaan tersebut mampu menambah
produksinya sebanyak 300 buah setiap
bulannya. Jika perkembangan produksinya
konstan setiap bulan, berapa jumlah
keramik yang dihasilkannya pada bulan ke
12 ?. Berapa buah jumlah keramik yang
dihasilkannya selama tahun pertama
produksinya ?

Penerimaan Perusahaan Bagus dari hasil
penjualannya sebesar Rp. 1,2 miliar pada
tahun kelima dan sebesar Rp. 1,8 miliar pada
tahun ketujuh. Apabila perkembangan
penerimaan perusahaan tersebut konstan dari
tahun ke tahun, berapakah perkembangan
penerimaannya per tahun, berapakah
penerimaannya pada tahun pertama dan pada
tahun ke berapa penerimaannya mencapai
Rp. 2,7 miliar

1.diketahui u 5  720, U 7  980
cari :
perkemmbangan perthn(b)
th keberapa jika penerimaan  460 juta
Jawab : U 7  a  6b  980
U 5  a  4b  720 
2b  260  b  130  a  200
1
Dn  460 jt  n(2a  (n 1)b
2
460  1/ 2n(2(200) 130n 130)
460  135  65n  n  5th

3.

Pabrik sepatu jempol memproduksi 10.000
pasang sepatu pada tahun pertama operasinya.
Namun karena situasi perekonomian yang tidak
menguntungkan, produksinya terus menyusut
500 pasang setiap tahun. Berapa produksinya:
a. pada tahun keempat ?
b. pada tahun ke- lima belas ?
c. Berapa yang telah diproduksi sampai dengan
tahun kesepuluh ?

Ketika  awal  bekerja,  seorang  karyawan  sebuah  perusahaan
digaji  Rp  700.000, 00 per  bulan
Setahun  berikutnya,  gaji  per  bulannya  akan  naik  sebesar
Rp  125.000, 00. Demikian  seterusnya  untuk  tahun  tahun
berikutnya. Berapa  gaji  karyawan  itu  per  bulan  untuk  masa  kerjanya  
sampai  pada  tahun  ke  9?

Perusahaan keramik menghasilkan 500 buah
keramik pada pertama produksi. Dengan
adanya penambahan tenaga kerja maka jumlah
produk yang dihasilkan juga dapat ditingkatkan.
Akibatnya, perusahaan terebut mampu
menambah produksinya sebanyak 300 buah
setiap bulanya. Jika perkembangan produksinya
konstan setiap bulan. Berapa jumlah keramik
yang dihasilkan pada bulan ke-12? Berapa
buah jumlah keramik yang telah dihasilkan
selama 1 tahun pertama produksinya?

Jumlah keramik yang dihasilkan
pada bulan ke 12
an = a1 + (n-1) b
a12 = 5000 + (12-1)300
= 5000 + (11) 300
= 5000 + 3300
= 8300 buah keramik

Barisan dan Deret
Geometri

an   a1r n 1  atau Sn   a1r n 1
Dimana an  S n  suku ke –  n
 a1  suku pertama, r    rasio yang tetap , n    banyaknya suku
 
n

a(1  r )
a
a n
Dn 


r
1 r
1 r 1 r
n

if r  1  lim it r  0,
n 

a
a n
a
lim it Dn  lim it

r 
(kvg )
n 
1 r 1 r
1 r
n 

Barisan dan Deret Geometri
Barisan Geometri adalah susunan bilangan
yang dibentuk menurut urutan tertentu, di
mana susunan bilangan di antara dua suku
yang berurutan mempunyai rasio yang
tetap (dilambangkan dengan huruf r).
Jika a1 adalah suku pertama dan r adalah
rasio yang tetap, maka suku ke 2 dan
seterusnya adalah
a2 = a1r
a3 = a2r = a1r2
a4 = a3r = a1r3

Sehingga bentuk umum dari barisan
geometri untuk suku ke-n adalah
an = a1rn-1 atau Sn = a1rn-1
Di mana an = Sn = suku ke – n
a1 = suku pertama
r = rasio yang tetap
n = banyaknya suku

Contoh
Carilah suku ke delapan darii barisan
geometri di mana suku pertama
adalah 16 dan rasionya adalah 2
Jawab:
Diketahui : a1 = 16 , r = 2, n=8
Ditanyakan S8 = …?
S8 = a1r8-1= a1r7 = 16(2)7 = 2048

Contoh

Deret Geometri

Rumus Deret Geometri

Contoh

let Dn  a  ar  ar 2 ....................  ar n 1
rDn 

ar  ar 2 ....................  ar n 1  ar n

Dn (1  r )  a  ar n
a (1  r n )
a
a n
Dn 


r
1 r
1 r 1 r
if r  1  lim it r n  0, lim it Dn  lim it
n 

n 

a
a n
a

r 
(kvg )
1 r 1 r
1 r

n 

a
a n
if r  1  lim it r   , lim it Dn  lim it

r   (dvg )
n 
n 
n  1  r
1 r
n

contoh 2
Suku  pertama  suatu  deret  geometri  adalah  2 
dan  jumlah  sampai  tak  berhingga  adalah  4. 
Carilah  rasionya.
Kita  substitusikan  ke  dalam  rumus  S  .
a
2
D 
 4
1 r
1 r
1
4  4r  2  r 
2

Soal - soal
1. Carilah jumlah dari 6 suku pertama
pada setiap barisan berikut ini:
a.2, 10,50, 250, …
c. 6, 3, …
b.3, 9, 27, 81
d. 16,8, 4, 2, …
2. Carilah enam suku pertama dari
barisan geometri berikut
a.a = 2; r =1/2
d. a = 6; r = -1/2
b.a = 12; r =1/3
e. a = 4; r =1/3
c.a = 10 ; r = 1/4

3. Carilah nilai dari deret geometri
untuk 4 bilangan pertama dari setiap
barisan geometri dengan a dan r
diketahui di bawah ini
a.a = 4; r =1/4
d. a = 10; r = -2
b.a = 4; r =1/4
e. a = 15; r =1/3
c.a = 8 ; r = 3/2

Sebuah  bola  jatuh  dari  ketinggian  10 m
memantul  kembali  dengan  ketinggian  3 / 4 kali  tinggi  sebelumnya.
Pemantulan  berlangsung  terus  menerus  sehingga  bola  berhenti
Tentukan  jumlah  seluruh  lintasan  bola

Setiap  awal  bulan  Nyoman  menabung  Rp  50.000, 00 
di  suatu  bank yang  memberikan  bunga  1% per  bulan. 
Pada  tiap  akhir  bulan, bunganya  ditambahkan
 pada  tabungannya.
Berapakah  uang  Nyoman  di  bank  itu  pada  akhir  tahun  ke 1
jika  ia  tidak  pernah  mengambil  tabungannya
 sampai  akhir  tahun  ke 1?

Penerapan
Barisan dan Deret

PERHITUNGAN BUNGA
•Bunga merupakan biaya modal
•Besar kecilnya jumlah bunga yang merupakan
beban terhadap peminjam (debitor)sangat tergantung pada waktu,
jumlah pinjaman,dan tingkat bunga yang berlaku
•Terdapat3bentuk sistem perhitungan bunga
:1.Simple interest(bunga biasa)
2.Compound interest(bungamajemuk)
3.Annuity(anuitas).

Bunga Sederhana dan
Potongan Sederhana
Bunga merupakan suatu balas jasa yang
dibayarkan bilamana kita menggunakan uang.
Jika kita meminjam uang dari bank maka kita
membayar bunga kepada pihak bank tersebut
Jika kita menginvestasikan uang berupa
tabungan atau deposito di bank maka bank
membayar bunga kepada kita.
Jumlah uang yang dipinjamkan atau
diinvestasikan di bank disebut modal awal
atau pinjaman pokok(principal)

Bunga dilihat dari satu pihak
merupakan pendapatan tetapi di lain
pihak merupakan biaya.
Di pihak yang meminjamkan
merupakan pendapatan, sedang di
pihak yang meminjam merupakan
biaya

Misalkan kita berinvestasi p rupiah dengan
suku bunga tahunan i, maka pendapatan
bunga pada akhir tahun pertama adalah Pi
Sehingga nilai akumulasi tahun pertama
adalah
P + Pi
Pada akhir tahun kedua adalah P+P(2i)
Pada akhir tahun ketiga adalah P + P(3i)
Demikian seterusnya sampai pada akhir
tahun ke n nilai akumulasinya adalah P+P(ni)
Jadi pendapatan hanya didapatkan dari modal
awal saja setiap akhir tahun

Nilai dari pendapatan bunga ini tetap
setiap tahunnya.
Pendapatan bunga menurut metode ini
dinamakan bunga sederhana dan dapat
dinyatakan dengan rumus berikut:
I = Pin
Dengan I = Jumlah pendapatan bunga
P = Pinjaman pokok atau jumlah
investasi
i = tingkat bunga tahunan
n = jumlah tahun

Nilai dari modal awal pada akhir
periode ke n (Fn )adalah jumlah dari
modal awal P ditambah pendapatan
bunga selama periode waktu ke –n
Fn = P + Pin

Contoh
Hitunglah pendapatan bunga
sederhana dan berapa nilai yang
terakumulasi di masa datang dari
jumlah uang sebesar Rp. 12.000.000
yang diinvestasikan di Bank selama 4
tahun dengan bunga 15% per tahun

Contoh
Hitunglah pendapatan bunga sederhana dan
berapa nilai yang terakumulasi di masa datang
dari jumlah uang sebesar Rp. 12.000.000 yang
diinvestasikan di Bank selama 4 tahun dengan
bunga 15% per tahun
Jawab
Diketahui : P = Rp. 12.000.000; n = 4; I = 0.15
I = Pin
I = Rp. 12.000.000 (4)(0.15) = Rp. 7.200.000
Nilai yang terakumulasi di masa datang pada
tahun ke-4 adalah

Fn

= P + Pin
= Rp. 12.000.000 + 7.200.000
= Rp. 19.200.000

Potongan Sederhana (Simple
discount)

P= Nilai Sekarang
Fn = Nilai masa datang tahun ke – n
i = Tingkat bunga
n = jumlah tahun

Contoh

Koperasi Lestari memberikan
pinjaman kepada anggotanya atas
dasar bunga tunggal sebesar 2% per
bulan. Jika seorang anggota
meminjam modal sebesar Rp
3.000.000,00 dengan jangka waktu
pengembalian 1 tahun, tentukan
a. besar bunga setiap tahunnya;
b. besar uang yang harus
dikembalikan sesuai jangka waktu
yang ditentukan

Bunga Majemuk
• Misalkan suatu investasi dari P rupiah pada tingkat
bunga I per tahun, maka pendapatan bunga pada
tahun pertama adalah Pi,
• Selanjutnya nila investasi ini pada akhir tahun
pertama akan menjadi
P + Pi = P (1 + i)
• Hasil dari P(1+i) dianggap sebagai modal awal
pada permulaan tahun kedua dan pendapatan
bunga yang diperoleh adalah
P(1+i)I
• Sehingga hasil nilai investasi pada akhir tahun
kedua adalah
P(1+i) + P(1+i)I = P+Pi+Pi+Pii
= P(1+2i+i2) = P(1+i)2

• Selanjutnya hasil dari P(1+i)2 dianggap sebagai
modal awal pada permulaan tahun ketiga dan
pendapatan bunga yang diperoleh
P(1+i)2i,
• Sehingga total investasi tahun ketiga adalah
P(1+i)2 + P(1+i)2i = P(1+i)2(1+i) =P(1+i)3
• Demikian seterusnya sampai n sehingga rumusnya
adalah
Fn = P(1+i)n
dimana Fn = Nilai masa datang
P = Nilai sekarang
i = bunga per tahun
n = jumlah tahun

Contoh
Jika Bapak James mendepositokan uangnya di
Bank sebesar rp. 5.000.000 dengan tingkat
bunga yang belaku 12 presen per tahun
dimajemukkan, berapa nilai total deposito
Bapak James pada akhir tahun ketiga? Berapa
banyak pula pendapatan bunganya
Penyelesaian :
Diketahui P = Rp. 5.000.000; i=0.12 per tahun
n=3
Fn = P(1+i)n
F3 = Rp. 5.000.000 (1+0.12)3 = Rp 5.000.000(1,12)3
=Rp. 7.024.640

Contoh soal:
1. Nadhia meminjam uang di BCA
sebanyak Rp. 5 milyar untuk jangka
waktu 3 tahun, dengan tingkat
bunga 2% per tahun. Berapa jumlah
uang yang dikembalikan pada saat
pelunasan? Seandainya perhitungan
pembayar bunga bukan tiap tahun,
melainkan tiap semester, Berapa
jumlah yang harus dikembalikan
Nadhia?
65

2. Tabungan Arumi Bachsin di
BNI akan menjadi sebesar Rp.
532.400.000 tiga tahun akan
datang. Jika tingkat bunga bank
yang berlaku 10 % per tahun,
berapa tabungan Arumi Bachsin
tersebut pada saat sekarang
ini?
66

Ilustrasi 5 : Bunga Majemuk
Misalkan sekarang kita punya uang P0  rupiah.
Apabila tingkat bunga yang ditetapkan r per
tahun dan dibayarkan secara tahunan, pada t
tahun yang akan datang uang tersebut akan
menjadi berapa rupiah?

Penyelesaian :
Setelah satu tahun uang yang akan kita terima adalah
P0  rP0  P0 (1  r )
Setelah dua tahun uang akan kita terima adalah
P0 (1  r )  P0 (1  r )i   P0 (1  r )  (1  r )  P0 (1  r ) 2
Setelah tiga tahun uang akan kita terima adalah
2
3

P0 (1  r ) 2  P0 (1  r ) 2 r  
P
(1

r
)
(1

r
)

P
(1

r
)
0
0


Setelah t tahun uang akan kita terima adalah
S  P0 (1  r )t

Ilustrasi 6
a. Jika P0  100.000, r  0,1, t  3maka
S  P0 (1  r )3  100.000(1  0,1)3  133.100 
b. Persoalan penyusutan (depresiasi), i  0 (negatif)
Sebuah mesin foto copy harganya Rp 27.000.000.
Jika setiap tahun ada penyusutan sebesar 8% dari
nilai akhirnya, maka setelah t tahun harga mesin
foto copy P0 (1  i ) n  27.000.000(1  0, 08)1  24.840.000

Soal
Misalkan A menginvestasikan uang sebesar Rp 4.000.000
pada suatu bank dengan tingkat bunga 5% per tahun. Berapa
jumlah uang A (pokok tabungan+bunga) setelah 10 tahun
bila :
a. bunga dibayarkan setahun sekali
b. bunga dibayarkan semesteran
c. bunga dibayarkan per triwulan
d. bunga dibayarkan bulanan
e. bunga dibayarkan harian
f. bunga dibayarkan secara kontinyu

 Present Value
Perhitungan present value (nilai sekarang), karena 
nxk

 r
Pn  P0 1  
 k

 nxk

 r
Maka P0  Pn 1  
 k
P0  merupakan present value (nilai sekarang) dari uang
sebesar Pn  yang diinvestasikan selama waktu n tahun.
Jika uang dibungakan terus menerus, maka
Pn  P0 e rn
Dengan demikian present value :
P0  Pn e rn

hitung bungadari 1 jt selama 2th dengan
tingkat bunga 10% dihitung semesteran

tn

i 

Mn     M 1       
2 


2(2)

0,10 

M 2    1000000  1    

2 

M 2    1000000(1.215506)
jadi  nilai  akhir  modal  setelah  2 tahun
 adalah  Rp  1.215.506

Nilai Sekarang dengan
Bunga Majemuk

Ilustrasi 8
Empat tahun kedepan saya akan studi lanjut. 
Diperkirakan biaya yang harus dikeluarkan 
sebesar Rp.50.000.000. Jika bunga bank 7% 
per tahun yang dibayarkan triwulanan, berapa
uang yang harus diinvestasikan saat ini?

Penyelesaian :
Bunga dibayar tiga bulan sekali atau triwulanan, 
maka m  4, karena
 mn

 i 
P0  Fn 1  
 m

4.4

 0.07 
P0  50.000.000 1 
  37.880.815,328669168
4 

Jadi uang yang masih diinvestasikan saat ini 
sebesar Rp 37.880.815,33
Jika bunga dibayar secara kontinyu, maka
P0  50.000.000e 0,07 x 4  37.789.187, 072786272
Jadi uang yang masih diinvestasikan saat ini 
sebesar Rp 37.789.187, 0728

Ilustrasi 9
Jika bunga bank 6% per tahun yang dibayarkan 
kontinyu, berapa lama uang mesti diinvestasikan 
agar menjadi dua kali lipat?

Soal-Soal
1. Jika bunga bank 7% per tahun yang dibayarkan kontinyu,
berapa lama uang mesti diinvestasikan agar menjadi dua kali
lipat?
(Jawab : 9,902102579 tahun)
2. Jika bunga bank dibayarkan secara kontinyu dan uang menjadi
dua kali lipat setiap 13 tahun, berapa persen bunga yang ditetapkan
bank?
(Jawab : 5,622%)

3. Setelah diinvestasikan selama 5 tahun dengan tingkat
bunga 9% per tahun yang dibayarkan tahunan, modal 
sebesar P0  menjadi Rp 100.000. Berapakah P0 ?
(Jawab : P0  Rp 64.993,13863)
4. Berapa lama uang Rp 20.000.000 mesti diinvestasikan
agar menjadi Rp 50.000.000. Bunga bank 8% yang di
bayarkan : (a) triwulan, (b) harian?
(Jawab : (a) 11,57 tahun; (b) 10,06 tahun)

Menghitung Anuitas
Besar Anuitas

ANUITAS NILAI SEKARANG
Materi
•Pendahuluan
•Anuitas nilai sekarang
•Menentukan besarnya angsuran
•Menetukan jumlah periode
•Menentukan tingkat bunga
•Anuitas nilai sekarang tak berhingga

pendahuluan
• Anuitas a(annuity) adalah rangkaian
pembayaran atau penerimaan
sejumlah uang,dengan periode waktu
yang saa untuk setiap pembayaran
• Ada 3 jenis anuitas
• 1.anuitas biasa
• 2.anuitas dimuka (annuity due)
• 3.anuitas ditunda(deferred annuity)

• Besar anuitas adalah besarnya
angsuran ditambah dengan bunga
yang diperhitungkan.

• Misal :
• Pak Thomas tiap bulan membayar kredit
rumahnya yang terdiri dari angsuran sebesar
Rp. 300.000,00 dan bunga sebesar Rp.
125.000,00,
maka:
anuitas yang dibayarkan adalah Rp.
425.000,00 (Rp.300.000,00 + Rp.
125.000,00).
Artinya:
anuitas kredit rumah yang harus dibayar Pak
Thomas tiap bulan sebesar Rp. 425.000,00.

Menghitung Besarnya
Anuitas

1i
A
1 (a1n i) n

RUMUS ANUITAS
1.
2.

A = an + bn
A = a1 (1 + i)n

3.

1
iM
A M.
A
atau
n
a
1

(
1

i)
= Anuitasn

A
an
= angsuran periode ke-n
a1
= Angsuran periode ke-1
bn
= bunga periode ke- n
(1 + i)n
= faktor bunga majemuk
i
1
n
1 ( 1  i) atau a n
faktor bunga anuitas

• Josima meminjam uang dari Bank BRI
sebesar Rp. 10.000.000,00
pembayaran dilakukan dengan cara
anuitas dengan memperhitungkan
bunga 2% per bulan. Pinjaman lunas
selama 3 tahun dengan pembayaran
bulanan. Berapa jumlah pembayaran
(anuitas) yang harus dibayar Josima
tiap bulan?

• Penyelesaian :
• Diketahui :       M = Rp.
10.000.000,00
                        i   =  2% per bulan
                        n  = 3 tahun = 36
bulan

• Andra meminjam uang sebesar Rp.
50.000.000,00 pinjaman itu akan
dilunasi dengan cara anuitas selama
2 tahun yang pembayarannya setiap
6 bulan. Bunga yang ditetapkan 24%
per tahun. Hitunglah besarnya
Anuitas yang dibulatkan dalam
ratusan rupiah dan buatlah tabel
rencana angsuran !

• Diketahui :        M = Rp.
50.000.000,00
                         i  = 24% per tahun =
12% per 6 bulan (semester)
                         n = 2 tahun = 4
semester

Dibulatkan menjadi Rp. 16.461.700,00

• M = Rp. 50.000.000,00
i  = 24% per tahun = 12% per 6
bulan (semester)
n = 2 tahun = 4 semester

A = 16.461.761,82