PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT (1)

-1-

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
A. PERSAMAAN KUADRAT
1. PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax 2  bx  c  0 , dimana a  0 dan a,b,c  R .
Pembuat nol dari persamaan di atas merupakan penyelesaian persamaan kuadrat. Himpunan dari
penyelesaian di atas disebut Himpunan Penyelesaian (HP). Menentukan penyelesaian persamaan
kuadrat sama dengan menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Secara geometri, menentukan
penyelesaian persamaan kuadrat berarti menentukan titik-titik potong kurva y  ax 2  bx  c
dengan sumbu X.
Cara menentukan penyelesaian persamaan kuadrat ada 3 cara, yaitu :
1. memfaktorkan
2. melengkapkan kuadrat sempurna
3. rumus kuadrat (rumus abc)

1.1 Penyelesaian persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
Jika suatu persamaan kuadrat dapat diubah menjadi bentuk AB = 0, maka penyelesaiannya adalah
A = 0 atau B = 0. Langkah pertama untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat
ax 2  bx  c  0 dengan pemfaktoran yaitu dengan menentukan faktor dari perkalian ac yang
jumlahnya adalah b, misalnya faktornya p dan q. Sehingga perkalian luar dan perkalian dalam dari

koefisiennya besarnya p dan q. Perhatikan pola di bawah ini :
Perkalian dalam
(…x + …)(…x + …) = 0

Perkalian luar
Contoh 1: Tentukan Himpunan Penyelesaian dari x 2  2 x  8  0
Jawab

: x2  2x  8  0 

(x - ….)(x + ….) = 0
x1  ....

x2  ....

Jadi HP:{….,…..}

Contoh 2: Tentukan penyelesaian dari 6 x 2  x  5  0
Jawab

: 6x2  x  5  0 

(…...-……)(……+……) = 0
x1  ....

x2  ....

LATIHAN SOAL
Tentukan HPnya dengan menggunakan cara pemfaktoran !
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

x 2  x  12  0
x 2  7 x  12  0
x 2  8 x  16  0

x2  9  0
 x 2  81  0
2 x 2  10  0
x2  a  0

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

-2-

8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

x 2  3x  0
3 x 2  12 x  0

ax 2  bx  0
2x2  x  6  0
5x 2  8x  4  0
6 x 2  11 x  3  0
 8 x 2  18 x  5  0
12 x 2  20 x  3  0

1.2

Penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

2
Yaitu dengan mengubah persamaan ax 2  bx  c  0 menjadi bentuk x  p   q

penyelesaiannya

x  p 

q

sehingga

b
c
2
. Pertama, usahakan menjadi bentuk x  x   . Kemudian
a
a

menjadikan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna, yaitu dengan menambahkan kedua ruas
dengan (

b 2
) .
2a

Contoh 3: Tentukan HP dari x 2  2 x  8  0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Jawab

: x2  2x  8  0 

….

= …..

………………………….

Jadi HP : {……,…….}

Contoh 4: Tentukan HP dari 6 x 2  x  5  0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Jawab

: 6x2  x  5  0 
………………………………..

Jadi HP:{

….

….

= ….

: 6

}

LATIHAN SOAL
Tentukan HPnya dengan melengkapkan kuadrat sempurna, dari :
1.
2.
3.

x 2  x  12  0
x 2  7 x  12  0
x 2  8 x  16  0

11. 2 x 2  x  6  0
12. 5 x 2  8 x  4  0
13. 6 x 2  11x  3  0

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

-3-

4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

14.  8 x 2  18 x  5  0
15. 12 x 2  20 x  3  0

x2  9  0
 x 2  81  0
2 x 2  10  0
x2  a  0

x 2  3x  0
3 x 2  12 x  0
ax 2  bx  0

1.3

Penyelesaian Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat (Rumus abc)
ax 2  bx  c  0









Sehingga : x1.2 

b 

….
….
….

: a
=…
=…
+ …. = …. + ….

....  ....2
…+…
x=…

 ....

=…

b 2  4ac
2a

dimana b 2  4ac disebut dengan diskriminan (D)

Jadi D = b 2  4ac
Rumus di atas dikenal dengan nama rumus kuadrat atau sering dikenal dengan rumus abc.

Contoh 5: Tentukan HP dari x 2  2 x  8  0 dengan menggunakan rumus kuadrat
Jawab

:a=…
x1.2 

, b = ….
b 

, c = ….

b 2  4ac
= …
2a

=…

x1  ....
x2  ....

Jadi HP:{

….

}

Contoh 6: Tentukan HP dari 5  9 x  2 x 2  0 dengan menggunakan rumus kuadrat
Jawab

:a=…
x1.2 

, b= ….
b 

Jadi HP:{

, c = ….

b 2  4ac
= …
2a

….

}

LATIHAN SOAL

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

-4-

Tentukan HPnya dengan menggunakan rumus kuadrat (abc) dari :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

11.
12.
13.
14.
15.

x 2  x  12  0
x 2  7 x  12  0
x 2  8 x  16  0
x2  9  0
 x 2  81  0
2 x 2  10  0
 5 x 2  40  0
x 2  3x  0
3 x 2  12 x  0
 6 x 2  60 x  0

2x2  x  6  0
5x 2  8x  4  0
6 x 2  11x  3  0
5  18 x  8 x 2  0
 20 x  3  12 x 2  0

2. JENIS-JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jenis-jenis akar persamaan kuadrat :
- Jika D < 0 maka akar-akarnya imajiner/ireal/tidak nyata
- Jika D = 0 maka akar-akarnya real dan sama (akar kembar)
- Jika D > 0 maka akar-akarnya real dan berlainan
Jika D > 0 dan D merupakan bentuk akar, maka akar-akarnya irasional dan berlainan
Jika D > 0 dan D bukan bentuk akar, maka akar-akarnya rasional dan berlainan
Harga a pada ax 2  bx  c  0 menentukan kurva parabola menghadap ke atas atau ke bawah.
- Jika a < 0 maka parabola menghadap ke bawah
- Jika a > 0 maka parabola menghadap ke atas
Definit negatif dan definit positif
- Jika a < 0 dan D < 0 maka berapapun nilai x selalu menghasilkan nilai ax 2  bx  c yang negatif
(definit negatif)
- Jika a > 0 dan D < 0 maka berapapun nilai x selalu menghasilkan ax 2  bx  c yang positif
(definit positif)

Perhatikan gambar berikut :
a >0
D 0
D=0

a >0
D >0

Sb X

a0

a