Sifat Penampang Material (Section Properties)

  Sifat Penampang Material (Section Properties) Mekanika Kekuatan Material STTM, 2013

  Titik Pusat Massa

  Q : first moment of

  x

  area dari elemen A terhadap sumbu x Q : first moment of

  Luas A dari sebuah elemen y

  area dari elemen A area dari elemen A

  pada bidang xy pada bidang xy

  terhadap sumbu y Titik pusat massa (centroid) dari luas A adalah di kordinat x dan y dari titik C yang memenuhi syarat sbb:

  Maka Titik pusat massa beberapa bentuk bidang Luas bidang dengan 2 sumbu simetri, Q

y

dan Q x adalah 0, titik pusat massa posisinya di pusat geometri

  Luas bidang dengan 1 sumbu simetri, Q

  y

  =0 dan

  = x

  

Ilustrasi

  Contoh

  Tentukan

  a. First moment of area dari segitiga di samping ini terhadap sumbu x dan y b. Ordinat titik pusat massa

  y

  Solusi: a. karena b.

First Moment dan centroid dari gabungan beberapa luas bidang

  karena Centroid gabungan beberapa luas bidang

Contoh

  Tentukan lokasi centroid C dari luas di sampingini Karena simetri terhadap sumbu y maka

  

Momen Inersia dari Luas, Radius Girasi

  Second moment of area atau momen inersia dari luas A Momen inersia

  rectangular

  (karena thd koordinat

  rectangular)

  Momen inersia polar (koordinat polar) Radius girasi, r harus

  x

  maka memenuhi

Ilustrasi

  Dari persegi empat di samping ini, tentukan momen inersia luasnya lalu tentukan juga radius girasi

  Integrasi dari hingga Momen inersia thd sumbu x

  Radius girasi

Ilustrasi

  Tentukan momen inersia polar dari luas berbentuk lingkaran di samping ini Integrasi r dari 0 ke c (radius terluar)

  Momen inersia rectangular Sumbu simetri

Teorema Sumbu Paralel

  Tinjau suatu luas A di samping ini Momen inersia A thd sumbu x adalah

  Jika terdapat sumbu x’ yg melalui centroid di mana jaraknya thd sb x adalah d, Jika terdapat sumbu x’ yg melalui centroid di mana jaraknya thd sb x adalah d, lalu jika jarak dA ke sumbu x’ kita sebut y’ maka y=y’+d Karena sumbu c melalui Centroid, y’=0

  Momen inersia maka

  First moment Q thd

  

x’

  thd sumbu x’ , Sumbu x’

  Momen Inersia dari gabungan beberapa luas

  Tentukan momen inersia di centroid dari luas bidang di samping ini Luas A

  1 Luas A

  2 Gabungan A1 dan A2

  Dengan teorema sumbu paralel

  Tentukan momen inersia dari penampang profil di samping ini terhadap sumbu x dan y Solusi:

  Jika luas dibagi 3 bagian, A B dan D A B D

  Total

Ringkasan

  Centroid gabungan beberapa luas Momen inersia thd suatu sumbu (rectangular) (rectangular)

  Momen inersia polar thd sumbu yg melalui O

Ringkasan

  Momen inersia thd sumbu x dari persegi panjang Momen inersia polar thd sumbu yg melalui O dari lingkaran melalui O dari lingkaran

  Teorema sumbu paralel

  Beberapa sifat geometri

Lenturan murni pada balok

  Lenturan murni pada balok diperlukan untuk analisis tegangan komponen mekanik yang mengalami beban lentur seperti balok dan girder

  Momen Kopel M menyebabkan momen lentur Lentur murni pada batang simetris

Deformasi akibat lentur murni

  Balok dengan bidang simetri yang mengalami lentur murni: Komponen tetap simetri (asumsi) Melentur secara seragam dan membentuk busur lingkaran Panjang bagian atas berkurang sedangkan panjang bagian bawah bertambah Terdapat permukaan netral yang sejajar dengan permukaan Terdapat permukaan netral yang sejajar dengan permukaan atas dan bawah di mana tidak terjadi pemanjangan/pemendekan

  Tegangan dan regangan negatif (tekan) terjadi di atas permukaan netral dan positif (tarik di bawah permukaan netral Regangan akibat lentur ( ) ( ) _x y y L

  L y y L L y

  ρ ρθ θ δ

  ε θ ρθ θ ρ δ

  θ ρ

  − = − = = − = − − = − = − = ′

  Tinjau sebuah bagian balok dengan panjang L Setelah deformasi, panjang permukaan netral

tetap L, sedangkan di permukaan lainnya:

m x ^{m m x} c y c ρ c L

  ε ε ε ρ

  ε ρ ρθ

  − = = = Tegangan akibat lentur y

  σ = E ε = − E ε _{x x m}

  c y = −

  σ _m

  c

• Kesetimbangan statik,
• Kesetimbangan statik,

  y F F = = = = dA dA = = − − dA dA

  σ σ σ σ

  x x ∫ ∫ x x ∫ ∫ m m c c

  σ

  m y 

  = − y dA

  − M = − y σ dA = − y σ dA _{x m}  

  ∫ ∫ ∫ c c

    σ σ _{m m}

  I M = y dA = First moment thd bidang netral =0, ∫ c c Mc M maka permukaan netral harus

  σ = = _m

  I S melalui centroid dari bagian y

  σ = − σ _{x m} tersebut. c My

  σ = − _x

  I Sifat penampang balok

• • Tegangan normal maksimum akibat lentur,

  penampang odulus c

  I S

  I S M

  I Mc _m = = =

  = = σ Sebuah balok dengan modulus penampang yang lebih besar akan mengalami tegangan normal maksimum yang lebih kecil normal maksimum yang lebih kecil

• • Misalnya sebuah balok dengan penampang

  segi empat,

  Ah bh h bh c

  I S = = = = Dua balok yang memiliki luas penampang yang sama, maka balok dengan ketinggian yang lebih besar akan lebih efektif menahan momen lentur

  

Deformasi akibat lentur

Deformasi akibat momen lentur diukur

dengan kurvatur pada permukaan netralnya

  Contoh soal

  

Sebuah komponen mesin terbuat dari

besi cor dikenakan kopel sebesar 3 kN-

m. Jika diketahui E=165 GPa tentukan

  

a. tegangan tarik dan tekan maksimum , b. radius kurvatur solusi

  Dari geometri penampang, cari centroid Dari penampang tersebut, jika penampang Dibagi 2 bagian maka

  y y A

  × = × × = ×

  A A = = y y A A = = × ×

  ∑ ∑ ∑ ∑

  y A ×

  ∑

  Y = = = A

  ∑

  I A d = bh A d

• I =

  ∑ + ∑

  ′ x ( ) ( )

• = × × × ×

  ( ) ( ) I = × = ×

• Gunakan rumus tegangan akibat momen lentur

  Mc =

  σ

  m

  I M c !" ⋅ × A

  σ + = % #$

  = =

  σ

  A A −

  I ×

  M c !" ⋅ × B

  σ = − #$

  = − = −

  σ

  B B −

  I ×

• Gunakan rumus kurvatur

  M =

  ρ EI

  !" ⋅ −

  = × =

  ρ

  &$ × ( )

  

( )

  ρ = % % Konsentrasi Tegangan

  I Mc K m

  = σ Beban Eksentris

• Tegangan akibat beban eksentris dicari dengan superposisi tegangan seragam akibat beban sentris dan distribusi tegangan linier akibat momen lentur murni
• =

  ( ) ( ) My P x x x

  − =

  ' ( (

  σ σ σ

• Beban eksentris

  Pd M P F

  = =

  I A

  − = Contoh soal beban eksentris

  Tegangan ijin terbesar untuk batang besi cor adalah 30 MPa untuk tarikan dan 120 MPa untuk tekan. Tentukan gaya P terbesar yang bisa diberikan ke batang.

  Dari soal sebelumnya, −

  A = × Y = −

  I = ×

• Tentukan beban sentris dan lentur ekivalen.
• Superposisi tegangan akibat beban sentris dan lentur
• ×
• = ×

  I Mc A P

  − − − −

  − = + − =

  − = − − =

  − ×

  − = ×

  %%

  I Mc A P A B A A

  P P P

  ( )( ) ( )( ) P P P

  !" %% = P

  P P

P P

_{B A} σ σ

  = − = − = = = + =

  !" %% #$ !" % #$ %%

  σ Contoh beban eksentris

• Tentukan beban maksimum yang boleh diberikan.

  A %% + = + − = + − =

  ( )( ) P P P Mc P

  P Pd M P eban d

  = = = = = − =

  σ σ

• Beban maksimum yg diijinkan