Modul Siap UN Matematika SMK Kelompok TKP
BAB 4
MATRIKS A. Pengertian Matriks Matriks adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom yang dibatasi oleh kurung biasa atau kurung siku. B. Bentuk Umum Matriks a a a ... 11 12 13 a a a ...
21 22 23
A
a a a ... 31 32 33
... ... ... ... C.
Elemen-elemen Matriks Elemen-elemen matriks adalah bilangan-bilangan pada matriks.
Pada matriks A di atas, a berarti elemen matriks A yang terletak pada baris ke-1 sekaligus kolom
12 ke-2.
D. Ordo matriks
Ordo matriks = banyak baris x banyak kolom Jika suatu matriks tertulis ordo 2 x 3, berarti matriks tersebut terdiri dari 2 baris dan 3 kolom.
E. Kesamaan Dua Matriks
Jika ordo (banyak kolom x banyak baris) dua matriks sama dan elemen-elemen yang seletak mempunyai nilai yang sama juga, maka disebut kesamaan dua matriks. Contoh:
x
2 4
2 2 Diketahui A = dan B = . Jika A = B, tentukan nilai x dan y !
y
6
8
2
8
Jawab: A = B
2
4
2 2 x
=
6
8 2 y
8
Sehingga: 2x = 4 x = 2
2y = 6 y = 3
F. Transpose Suatu Matriks T
Transpose matriks A adalah suatu matriks baru yang dapat ditulis dengan A dengan cara
T
memindahkan elemen pada baris matriks A menjadi elemen kolom pada matriks baru (A ) dan
T elemen pada kolom matriks A menjadi elemen baris pada matriks baru (A ).
Contoh:
1
2
3
Tentukanlah tranpose dari matriks A = !
4
5
6
Jawab:
1
4
T
A =
2
5
3
6
G. Operasi Hitung Matriks a.
Perkalian Skalar dengan Matriks Jika A adalah suatu matriks dan k adalah suatu bilangan riil, maka kA adalah suatu matriks yang diperoleh dari hasil perkalian k dengan setiap elemen matriks A.
2 =
Penjumlahan Dua Matriks
Jawab:
2 , tentukanlah – 7P !
6
3
1
4
5
Contoh: Jika P =
c.
3
22 22
21
21 12 1211
11 22 21 12 11 22 21 12 11b a b a
b a b a
b b b b a a a a
Operasi Pengurangan Dua Matriks
b.
22 22
21
21 12 1211
11 22 21 12 11 22 21 12 11b a b a
b a b a
b b b b a a a a
6
- – 7P = – 7
4
4).
Perkalian matriks berordo 2 x 2 dengan matriks berordo 2 x 2
22 22 12 21 21 22 11 21 22 12 12 11 21 12 11 11 22 21 12 11 22 21 12 11 . . . .
. . . . b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a a
5).
Perkalian matriks berordo 3 x 3 dengan matriks berordo 3 x 1
21 22 11 21 21 12 11 11 21 11 22 21 12 11 . .
31 33 21 32 11 31 31 23 21 22 11 21 31 13 21 12 11 11 31 21 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11
. . .
. . .
. . .
b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a a a a a a a H.Determinan Matriks berordo 2 x 2
Determinan matriks berordo 2 x 2 adalah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dikurangi dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan matriks A dapat dituliskan dengan det (A) atau |A|.
A =
d c b a
det (A) = ad – bc
. . b a b a b a b a b b a a a a
1
14 d. Perkalian Matriks dengan Matriks
5
35
28
7
42
Syarat: banyak kolom matriks A = banyak baris matriks B 1).
Perkalian matriks berordo 1 x 2 dengan matriks berordo 2 x 1
21 12 11 11 21 11 12 11 . . b a b a b b a a
2).
Perkalian matriks berordo 2 x 1 dengan matriks berordo 1 x 2
12 21 11 21 12 11 11 11 12 11 21 11 . .
. . b a b a b a b a b b a a 3).
Perkalian matriks berordo 2 x 2 dengan matriks berordo 2 x 1
21
I. Determinan Matriks berordo 3 x 3 Untuk menentukan determinan matriks berordo 3 x 3 digunakan metode Sarrus.
1 K.
B =
i h g f e d c b a
det (B) =
h g e d b a i h g f e d c b a
= a.e.i + b.f.g + c.d.h – c.e.g – a.f.h – b.d.i J.
Invers Matriks Berordo 2 x 2
Jika A dan B adalah matriks-matriks persegi yang ordonya sama dan berlaku AB = BA = I, maka B adalah invers dari A dan A invers dari B.
Jika A =
d c b a
dan ad – bc 0, maka invers dari matriks A adalah: A
- 1
- 1
- 1
16
17 y
2
8
3
17
2 3 .
51 8 .
=
35
10
D
3 x
2
2
3
3
2 3 .
D =
34
4
D D x y =
y
2
7 x dan
Jadi,
D D y
10
5
2
5 35
24 2 .
7
x =
3
17
2
8
3
17 8 .
9 2 .
D =
5
y x y x
3
2
17
2
3
8
Contoh: Diketahui sistem persamaan
1) Menggunakan Metode Determinan Matriks
.B L. Penerapan Matriks pada Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
A.Y = B Y = A
X.A = B X = B.A
Perkalian Bentuk Invers
=
a c b d bc ad
. Nilai y x dan adalah .... Pembahasan:
2
y x y x y x
3
2
17
2
3
3
2
3
17
8
8
20 8 = 28
Diketahui matriks A =
x
15
3
2 , B =
1
2 y
1
7
x x
, C =
5
10
6
Contoh: 1.
7 x dan
, A + B = C. Nilai y x 2 adalah .... Pembahasan:
35
5
10
5
y x
Jadi,
2
7
y x
y
A + B = C
1
y
10
2
x x x
=
5
10
6
Berdasarkan elemen sesuai letak matriks kiri dan kanan, maka:
1
5 1 x 1 5 x 4 x
Untuk
4 x , maka: y x
1
15
y x 16 y 16
4 20 y Jadi, y x 2 = ) ) 20 (
4 ( 2 =
15
1
7
x
15
3
2
1
1
x x
=
5
10
6
y
y x
5
2) Menggunakan Metode Invers Matriks
2
3
2
2
3
8
3
2
17
3
8
y x y x y x
17
17 .
3
Contoh: Diketahui sistem persamaan
8
3
2
17
2
y x y x
. Nilai y x dan adalah .... Pembahasan:
8
3
35
4
24
34
16
51
9
1
y x
10
y x
2
2
3 1
y x
1
8
17
3
2
2
3 2 .
2 3 .
3
-
5
7 2
3
2. , B = , dan C = A + B. Nilai determinan matriks C adalah Diketahui matriks A =
3
6
4
5 ....
Pembahasan: C = A + B
5
7 2
3
= +
3
6
4
5 5
2 7 ( 3 )
= 3
4 6
5
7
4
C =
7
11
7
4
C =
7
11
Determinan (C) = 7.11 – 4.7 = 77 – 28 = 49
1
2 2
3 3. , B = , dan X = A + B, maka invers matriks X adalah ....
Jika matriks A =
3
4 5
4
Pembahasan: X = A + B
1
2 2
3
= +
3
4 5
4
1
2 2
3
=
3
5 4 ( 4 ) 1
1
X =
2 1
Invers matriks P ditulis P
a b d b
1
1
Jika P = , maka P =
c d a . d b . c c a
Sehingga: 1
1
X =
2
1
1
1 X = 1 . (
1 ). 2
2
1
1
1
1 X =
2
2
1
1
1 =
2
2
1
Pembahasan Soal-soal:
2 x y 8 x
. Nilai yang memenuhi adalah .... Diketahui perkalian matriks
x y 1.
1
2
2
1
6
2
Pembahasan:
x y x
2 8
1
2
2
1
6
2
y x x x
2 . .
2 2 . . 1 8
y
1 . 2 . 2 1 . 2 .
1
6
2
y x x x
2 2 8
y
4
2
6
2
y x x x
2 2 8
y
4
2
6
2
y 4
6 2 y x 2
8 y 6
4 2 ( 2 ) 2 x
8 y 2 x
4 2
8 y
2 x
2 8
4
12 x
2 x
6 x y
6 ( 2 ) 6 2
8
3 1
5 2 2 2 2. , B = , dan C = , maka determinan matriks (AB –
Jika matriks A =
2 1
4
1
1
7 C) adalah ....
Pembahasan:
3 1
5
2
AB =
2 1
4
1 3 .(
5 ) 1 .( 4 ) 3 . 2 1 .
1
=
2 .( 5 ) ( 1 ).( 4 ) 2 . 2 ( 1 ).
1
15
4 6
1
= 10
4 4
1
19
7
AB = 14
5
19
7 2
2
AB – C = 14
5
1
7
19
2 7 ( 2 )
= 14
1 5
7
21
9
AB – C = 13
12 det(AB – C) = (– 21). (– 12) – 9.13
= 252 – 117 = 135
5 3 1 1 3. dan B = . Invers matriks AB adalah .... Diketahui matriks A =
2
1 1
3
- 1
- 1
7
4 1 =
21
6
18
4
1
1
3
5 ) 1 ).(
3 ( 5 .
4
1 =
3
5
4 18 . 1 ) 6 .(
1
21
6
18
7 X .
5
3
7
4 X =
21
6
18
21 .
4 7 .
17
1 X =
6
1
9
1 5. X adalah matriks persegi ordo 2 yang memenuhi operasi hitung
17 153
8
5
8
4
3
2
2
1 . X . Matriks X tersebut adalah ....
17
102
1 21 .
84
3 18 . 5 ) 6 .(
3 7 .
5
3
20
1 =
18
24
7
63
90
18
35
17
1 =
4 adalah .... Pembahasan:
Pembahasan: AB =
5 AB =
3
2
1
2
9
5
3
3 1 ). 5 (
1
1
4
2 (AB)
=
=
5 ( 1 .
1
1
3
1
1
1
) 3 .( 3 ) 1 ).(
2
3
5 =
) 3 .( 1 ) 1 ).(
2 ( 1 .
1 1 ). 2 (
2
4
3
1
2
1
2
2
1 4.
Matriks X yang memenuhi
1 (AB)
21
6
18
7 X .
5
1
=
2
1 ) 1 ).(
1
) 4 ( 1 ).( 2 (
1 =
2
1
4
4
1
2
1 =
2
1
4
Pembahasan:
1
2
4
8
X .
2
3
5
8 1
4
8
1
2
X =
5
8
2
3
4
8 3
2
1 = .
5
8 1 . 3 2 . 2
2
1
4
8 3
2
1 = .
1 . 3 2 .
2
5 8
2
1 4 . 3 8 .( 2 ) 4 .( 2 ) 8 .
1
1 = .
3 4 5 . 3 8 .( 2 ) 5 .( 2 ) 8 .
1 12
16 8
8
1 = .
1 15 16 10
8
4
=
1
1
2
4
X =
1
2
LATIHAN SOAL UN: 1 2 2 3 1
1. , , dan . Jika matriks A B C
Diketahui matriks
3 1
3
2
5 t D
2A 3B C , maka matriks D adalah ….
1 2 A.
4
20
9 4 B.
2
6
4 2 C.
2
5
1 5 D.
3
16
1 3 E.
3
11
p q
2
1
2 3
11 9 2. dan B = . Jika matriks A = B, maka nilai
Diketahui matriks A =
r
5
7
2
1
7 p q r adalah ....
A.
14 B.
10 C.
2 D.
- –2 E.
- –12
2 3. 7 dan N = 5 . Matriks hasil dari M x N adalah ….
8
3 Diketahui matriks M =
10
35
40 A.
6 21
24 10
35
40 B.
6
21
24
10
6 C. 35
21 40
24 4
D.
14
16
E.
4
14
16
2
1
1
2
3 4.
1 3 dan matriks B = . Matriks A x B adalah ....
Diketahui matriks A =
2
3
4
4
2
4
1
10 A.
5 11
9 8
2
20
10
1
4
B.
9
11
5 20
2
8 10
1
4
C.
9 11
5
20
2
8
1
4
10
D.
11 5
9
2
8
20 4
1
10
E.
5 11
9 8
2
20 4 1
2
5
4
5. K
2
1 3 dan L 6 3 . Jika matriks K L M , maka
Diketahui matriks
5
6
2 4 2
1
nilai determinan matriks M adalah ….
A.
- –27 B.
- –23 C.
13 D.
27 E.
73
2
8 6. A . Invers matriks A tersebut adalah ….
Diketahui matriks
1
5
1
4
1
5 A.
2 2
1
4
1
5 B.
2 2
5
4 2
C.
1 1
2
5
4 2
D.
1
1 2
2
1 E.
8
5