PENAKSIRAN PARAMETER MODEL AUTOREGRESSIV. pdf

PENAKSIRAN PARAMETER MODEL AUTOREGRESSIVE EXOGENOUS DENGAN METODE ORDINARY LEAST SQUARE SKRIPSI

Diajukan untuk menempuh Ujian Sarjana pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Padjadjaran

TAMARA PUTRI ANDINI 140110130087 UNIVERSITAS PADJADJARAN FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA JATINANGOR 2017

JUDUL : PENAKSIRAN PARAMETER MODEL AUTOREGRESSIVE EXOGENOUS DENGAN METODE ORDINARY LEAST SQUARE

PENYUSUN : TAMARA PUTRI ANDINI NPM

Jatinangor, Februari 2017

Menyetujui,

Pembimbing Utama Pembimbing Pendamping

Prof. Dr. Budi Nurani Ruchjana, MS Iin Irianingsih, Dra., M.Stat. NIP 19631223 198803 2 001

NIP 19620305 198703 2 002

Mengetahui, Ketua Prodi S-1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Padjadjaran

Dr. Ema Carnia, M.Si.

ABSTRAK

Curah hujan merupakan ketinggian air hujan yang terkumpul di tempat yang datar, tidak menguap, tidak meresap, dan tidak mengalir, Kelembaban udara adalah jumlah kandungan uap air yang ada dalam udara. Data curah hujan merupakan data yang berpola musiman sehingga membentuk model deret waktu. Pada skripsi ini, analisis deret waktu digunakan untuk memodelkan data deret waktu curah hujan dan kelembaban. Model Autoregressive Exogenous (ARX) adalah model yang menyatakan pengamatan pada waktu sekarang dipengaruhi waktu sebelumnya dan dipengaruhi oleh faktor eksogen pada waktu sekarang.

Dalam penelitian ini, dikaji model ARX untuk memodelkan data curah hujan sebagai faktor endogen serta sejauh mana faktor eksogen khususnya kelembaban udara memengaruhi faktor endogennya dengan bantuan software R. Identifikasi orde AR terhadap data curah hujan di beberapa lokasi provinsi Jawa Barat menunjukkan orde AR(3) dari tiga lokasi pengamatan. Estimasi parameter model ARX(3) menggunakan metode Ordinary Least Square (OLS). Hasil ramalan pada penelitian ini untuk ketiga lokasi digunakan model ARX(3) dengan dihasilkan MAPE lebih dari 10%, namun model ARX diharapkan dapat menjadi alternatif dalam peramalan curah hujan di wilayah Jawa Barat.

Kata kunci: Curah Hujan, Kelembaban, Autoregressive Exogenous , Ordinary Least Square , Software R

ABSTRACT

Rainfall is the height of rainwater that collected in flat place, not evaporate, not flow, and impermeable. Humidity is the amount of water vapor in the air. Rainfall data is a sea sonal data thus forming a time series model. In this resea rch, time series analysis is used for rainfall and humidity data modeling. Autoregressive Exogenous (ARX) model state that value at the present time is affected by value at earlier times and affected by exogenous factor at the present time.

In this resea rch, ARX model is studied for rainfall and humidity data modeling by processing the data using R softwa re, with rainfall as endogenous factor and humidity as exogenous factor. AR model identification of the rainfall data at several locations in West Java is indicates the model order AR(3) for three locations. Parameters estimation for ARX(3) model is using Ordinary Least Square (OLS) method. Foreca st results for three locations generate MAPE value more than 10%, yet ARX model can be one alternative for rainfall forecasting in West Java.

Keywords: Rainfall, Humidity, Autoregressive Exogenous, Ordinary Least Square, R Software

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala rahmat, karunia dan pertolongan-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang

berjudul “PENAKSIRAN PARAMETER MODEL AUTOREGRESSIVE

EXOGENOUS DENGAN METODE ORDINARY LEAST SQUARE ”.

Skripsi ini diajukan untuk memenuhi salah satu syarat dalam menempuh ujian sidang sarjana pada Prodi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Padjadjaran.

Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada Ibu

Prof. Dr. Budi Nurani Ruchjana, MS selaku pembimbing utama penulis dan Ibu Iin Irianingsih, Dra., M.Stat. selaku pembimbing pendamping yang telah meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan serta masukan-masukan yang sangat berharga kepada penulis pada saat penyusunan skripsi ini. Selain itu, penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan bantuan, terutama kepada:

1. Bapak Prof. Dr. Sudrajat, MS, selaku dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Padjadjaran.

2. Bapak Prof. Dr. Asep K. Supriatna, MS, selaku Ketua Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Padjadjaran.

3. Ibu Dr. Ema Carnia, M.Si., selaku Koordinator Prodi S1 Matematika, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

4. Seluruh staf dosen dan Tata Usaha Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Padjadjaran.

5. Ibu Badrulfalah, Dra. MS, selaku dosen wali penulis.

6. Bapak Sony Surya Nurcahya, Ibu Regina Purba, dan Tania Putri Andari selaku keluarga penulis yang selalu memotivasi dan mendoakan penulis.

7. Teman-teman mahasiswa Departemen Matematika FMIPA Unpad terutama 2013, sahabat seperjuangan (Della, Novi, Kukuh, Cyntia, Ninis, Ieva, dan Belda), Aktuaria 2013, BS, dan Mathcapela yang telah mengisi hari-hari di kampus.

8. Rizki Nadiari yang selalu memotivasi, mendukung, dan memberi masukan untuk penulis dalam menyelesaikan skripsi.

9. Seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu, yang telah memberikan motivasi kepada penulis.

Penulis terbuka atas segala kritik dan saran yang membangun. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat khususnya bagi pengembangan ilmu matematika dan bagi pembaca pada umumnya. Amin.

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Nilai Statistik Deskriptif dari Data 5 Lokasi ................................ 29 Tabel 4.2

Nilai Estimasi Parameter Model AR(3) Lokasi Indramayu .......... 33 Tabel 4.3

Nilai Estimasi Parameter Model AR(3) Lokasi Bandung ............. 33 Tabel 4.4

Nilai Estimasi Parameter Model AR(3) Lokasi Tasikmalaya ....... 33 Tabel 4.5

Uji ADF Data Curah Hujan pada 5 Lokasi .................................. 35 Tabel 4.6

Nilai Statistik Deskriptif dari Data Kelembaban .......................... 36 Tabel 4.7

Nilai Estimasi Parameter Model ARX(3) Lokasi Indramayu ....... 37 Tabel 4.8

Nilai Estimasi Parameter Model ARX(3) Lokasi Bandung .......... 38 Tabel 4.9

Nilai Estimasi Parameter Model ARX(3) Lokasi Tasikmalaya .... 39 Tabel 4.10

Perbandingan � � dan �̂ � untuk 3 Lokasi ...................................... 41 Tabel 4.11

Nilai MAPE untuk 3 Lokasi ........................................................ 42 Tabel 4.12

Nilai Ramalan Curah Hujan di 3 Lokasi ...................................... 43

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Analisis deret waktu univariat merupakan bagian dari proses stokastik. Proses stokastik adalah barisan variabel acak yang diberi urutan atau indeks

{� � | � = , ± , ± , ± , … }, dengan � � adalah variabel acak untuk setiap waktu t dan t merupakan tahun, bulan, minggu, hari, jam, atau waktu lainnya tergantung

situasi (Cryer, 2008). Model Autoregressive (AR) adalah suatu model deret waktu univariat yang menggambarkan pengamatan suatu variabel yang dipengaruhi variabel itu sendiri pada periode sebelumnya untuk data stasioner. Model Autoregressive Exogenous (ARX) merupakan pengembangan dari model AR, namun pada model ARX nilai pengamatan saat ini dipengaruhi atau bergantung pada nilai-nilai pengamatan waktu-waktu sebelumnya serta dipengaruhi oleh faktor luar yaitu variabel eksogen.

Pada skripsi ini, analisis deret waktu digunakan untuk memodelkan data deret waktu curah hujan dan kelembaban. Data curah hujan merupakan data yang berpola musiman sehingga membentuk model deret waktu. Curah hujan yang terjadi di wilayah Indonesia terdiri dari tiga pola yaitu: monsunal, ekuatorial dan lokal. Pola monsunal memiliki grafik curah hujan yang bersifat unimodal dengan satu puncak musim hujan dalam setahun yang terjadi pada bulan Desember hingga Februari. Curah hujan merupakan ketinggian air hujan yang terkumpul di tempat Pada skripsi ini, analisis deret waktu digunakan untuk memodelkan data deret waktu curah hujan dan kelembaban. Data curah hujan merupakan data yang berpola musiman sehingga membentuk model deret waktu. Curah hujan yang terjadi di wilayah Indonesia terdiri dari tiga pola yaitu: monsunal, ekuatorial dan lokal. Pola monsunal memiliki grafik curah hujan yang bersifat unimodal dengan satu puncak musim hujan dalam setahun yang terjadi pada bulan Desember hingga Februari. Curah hujan merupakan ketinggian air hujan yang terkumpul di tempat

Model AR dan ARX telah digunakan pada penelitian sebelumnya yang dilakukan oleh Dany Aryanto (2014) yaitu untuk meneliti perbandingan model AR dan ARX pada data Indeks Harga Saham Gabungan dan kurs Rupiah terhadap Dolar Amerika. Telah diketahui dari penelitian tersebut bahwa model ARX adalah model terbaik untuk memodelkan data IHSG dan kurs Rupiah terhadap Dolar Amerika.

Model ARX termasuk ke dalam model linier sehingga salah satu metode penaksiran parameter model yang dapat digunakan adalah Metode Ordinary Least Square (OLS). Pada skripsi ini, penulis ingin mengetahui bagaimana menaksir parameter model ARX dengan OLS dan bagaimana penerapannya pada data curah hujan dan kelembaban.

1.2 Identifikasi Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dijelaskan, masalah yang akan diteliti adalah:

1. Bagaimana penaksiran parameter model ARX dengan OLS?

2. Bagaimana penerapan model ARX pada data curah hujan dengan penambahan variabel eksogen kelembaban?

1.3 Batasan Masalah

Pada penelitian ini penulis membatasi masalah yang akan dibahas agar jelas dan terarah, yaitu:

1. Model yang digunakan dalam skripsi ini adalah model Autoregressive Exogenous (ARX).

2. Penaksiran parameter model menggunakan Metode Ordinary Least Squa re (OLS).

3. Kriteria galat pada model ARX menggunakan MAPE.

4. Pada penelitian ini softwa re yang digunakan adalah Microsoft Excel 2010 dan R versi 3.1.1.

1.4 Maksud dan Tujuan Penelitian

Maksud penelitian ini adalah untuk mengaplikasikan model ARX dengan OLS pada data curah hujan dan kelembaban.

Tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Menaksir parameter model ARX dengan OLS.

2. Menerapkan model ARX pada data curah hujan dengan penambahan

1.5 Kegunaan Penelitian

Kegunaan penelitian ini adalah:

1. Bagi penulis, skripsi ini dapat menerapkan ilmu yang sudah diperoleh pada masa perkuliahan mengenai analisis deret waktu.

2. Bagi pembaca, skripsi ini dapat menjadi referensi untuk penelitian selanjutnya mengenai penaksiran parameter model ARX dan penerapannya pada data curah hujan dengan penambahan variabel eksogen kelembaban.

1.6 Metodologi Penelitian

Prosedur yang digunakan dalam penelitian ini yaitu:

1. Studi Literatur

Bentuk penelitian yang dilakukan penulis adalah dengan mempelajari teori- teori dasar yang dapat menunjang penulisan skripsi ini, seperti: analisis deret waktu, Autocorrelation Function (ACF), Partia l Autocorrelation Function (PACF), kestasioneran, proses stokastik, Augmented Dickey Fuller Test , Ordinary Lea st Square (OLS), Q-Q Plot , dan model Autoregressive Exogenous (ARX).

2. Studi Eksperimental

Data curah hujan dan kelembaban yang didapat akan diolah menggunakan software R dengan mengaplikasikan teori yang telah dipelajari pada studi literatur untuk melakukan penaksiran model.

1.7 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan yang penulis gunakan dalam skripsi ini adalah sebagai berikut:

BAB I. PENDAHULUAN. Bab ini membahas hal-hal yang mendasari dan melatarbelakangi penelitian ini, identifikasi masalah, pembatasan masalah, maksud dan tujuan penelitian, kegunaan penelitian, dan sistematika penulisan.

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA. Bab ini menjelaskan teori dan konsep dasar dari analisis deret waktu seperti: analisis deret waktu, Autocorrelation Function (ACF), Pa rtial Autocorrelation Function (PACF), kestasioneran, proses stokastik, Augmented Dickey Fuller Test , Ordinary Least Square (OLS), Q-Q Plot , dan model Autoregressive Exogenous (ARX).

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN. Bab ini membahas mengenai data dan langkah-langkah untuk mengestimasi parameter model.

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN. Bab ini membahas tentang pengolahan data curah hujan dan kelembaban dengan menggunakan model ARX

BAB V. SIMPULAN DAN SARAN. Bab ini berisi tentang simpulan dari penelitian telah dilakukan serta saran yang berisi tentang rekomendasi untuk penelitian selanjutnya agar dapat mengembangkan model menjadi lebih luas.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini dijelaskan teori-teori yang mendukung untuk menaksir parameter model Autoregressive Exogenous (ARX) dan menerapkannya pada data curah hujan dan kelembaban.

2.1 Analisis Deret Waktu

Analisis deret waktu adalah analisis yang memodelkan serangkaian data pengamatan yang terjadi berdasarkan indeks waktu secara berurutan dengan interval tetap. Analisis deret waktu merupakan salah satu prosedur statistika yang diterapkan untuk meramalkan keadaan yang akan terjadi sebagai pertimbangan untuk mengambil keputusan. Analisis deret waktu univariat merupakan bagian dari proses stokastik. Proses stokastik adalah barisan variabel acak yang diberi urutan atau indeks {� � | � = , ± , ± , ± , … }, dengan � � adalah variabel acak untuk setiap waktu t dan t merupakan tahun, bulan, minggu, hari, jam, atau waktu lainnya tergantung situasi (Cryer, 2008).

Dalam analisis deret waktu terdapat beberapa jenis model, yaitu model deret waktu stasioner, model deret waktu non-stasioner, dan model deret waktu heteroskedastik. Model deret waktu yang paling sering digunakan adalah model deret waktu stasioner antara lain model Autoregressive Exogenous (ARX). ARX merupakan pengembangan dari model autoregressive yang didalamnya terdapat dua macam variabel yaitu variabel endogen dan eksogen.

2.2 Fungsi Autokorelasi (ACF) dan Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)

Dalam analisis deret waktu, fungsi autokovariansi, fungsi autokorelasi, dan fungsi autokorelasi parsial digunakan untuk menentukan model apa yang akan digunakan untuk pemodelan deret waktu (Wei, 2006). Koefisien autokorelasi artinya adalah hubungan antara data pada waktu t dengan data pada waktu t+ k yang memiliki selisih waktu k (lag- k ).

Jika {� � } merupakan suatu proses stasioner dengan

fungsi autokorelasi antara � � dan � �+� adalah

dengan =� � � =� � �+� dan � =�� � ,� �+� = � � −�� �+� −�

Sifat-sifat fungsi autokovariansi � pada proses stasioner adalah sebagai berikut:

3. � = −� untuk semua k Sedangkan sifat fungsi autokorelasi � pada proses stasioner adalah sebagai

berikut:

3. � = −� untuk semua k Berdasarkan sifat-sifatnya dapat dilihat bahwa fungsi autokovariansi dan fungsi autokorelasi adalah fungsi genap. Pada deret waktu stasioner, autokorelasi parsial pada lag ke k digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara keadaan � � dan � �−� dengan tidak mempertimbangkan pengaruh dari � �− ,� �− , …, dan � �−� . Partial Autocorrelation Function (PACF) didefinisikan sebagai berikut:

(2.2) � �� adalah koefisien korelasi dalam distribusi bivariat, � � ,� �+� yang

bersyarat � �+ ,� �+ ,…,� �+�− (Wei, 2006). Jika {� � } adalah deret waktu yang berdistribusi normal, maka fungsi autokorelasi parsial (PACF) antara � � dan � �+� akan sama dengan autokorelasi biasa antara � � − �̂ � dan � �+� − �̂ �+� , yang dinotasikan � yaitu (Wei, 2006):

2.3 Kestasioneran Data

Data stasioner artinya data tidak terjadinya pertumbuhan dan penurunan pola. Data dikatakan stasioner apabila pola data tersebut berada pada kesetimbangan di sekitar nilai rata-rata dan konstan selama waktu tertentu. Suatu proses stokastik {� � , � ∈ �} dikatakan stasioner lemah jika:

1. Rataan : � � = � konstan

2. Kovariansi: � =�� � ,� �+� = � � −�� �+� −�, hanya

3. Variansi : � = � � −�= � �+ −�=� � � adalah hingga. (Wei, 2006).

Secara visual, kestasioneran data dalam mean dapat dilihat dari plot data deret waktu dan plot ACF data untuk masing-masing variabel secara univariat. Plot deret waktu yang berfluktuansi dengan ragam yang konstan disekitar rataan yang konstan menunjukkan bahwa deret waktu tersebut stasioner, sedangkan plot deret

waktu yang tidak berfluktuansi mengindikasikan bahwa data deret waktu tidak stasioner. Jika korelogram ACF dari data membentuk pola cut-off (memotong garis) atau tails off (turun secara cepat membentuk sinosaidal), maka data diperkirakan stasioner. Sedangkan jika ACF membentuk tails off secara lambat, maka data dapat diindikasikan sebagai data tidak stasioner (Wei, 2006).

2.4 Augmented Dickey Fuller Test Augmented Dickey Fuller (ADF) test adalah uji statistik untuk mengetahui data adalah stasioner atau tidak stasioner. Uji statistik ADF digunakan pada bilangan negatif. Jika lebih negatif, maka kuat menolak hipotesis yang terdapat unit root artinya data tidak stasioner. Terdapat unit root ketika koefisien parameter � adalah bernilai satu. Unit root dapat dinyatakan sebagai =�−.

Δ� � = +��− + ∑ � �= Δ� � − � + +� (2.3) Digunakan hipotesis seperti yang diterapkan oleh (Mulyaningsih, T.,

2015) sebagai berikut: � : = , data tidak stasioner

� : ≠ , data stasioner Statistik uji yang digunakan adalah:

. ( ̂) dengan ̂: nilai dugaan

. ( ̂): simpangan baku dari Jika � hitung adalah kurang daripada nilai kritis pada tabel uji Dickey-Fuller , maka tolak � yang artinya data stasioner.

2.5 Metode Ordinary Least Square

Metode Ordinary Least Square (OLS) merupakan salah satu penaksir parameter untuk model linear secara umum. Analisis regresi adalah metode statistik yang paling sering digunakan dalam analisis data (Wei, 2006). Akibatnya, estimasi metode OLS berkembang untuk model regresi standar, juga bisa menjadi metode yang paling sering digunakan sebagai prosedur estimasi dalam statistik.

Perhatikan model persamaan linear berikut:

(2.4) dengan ~

,�. Taksiran parameter model linear diatas dapat diselesaikan dengan metode OLS dengan cara mengalikan kedua ruas dengan �′ sehingga diperoleh:

2.6 Model AR(1)

Model Autoregressive (AR) adalah model deret waktu univariat yang menyatakan bahwa nilai pengamatan pada waktu saat ini dipengaruhi atau bergantung pada nilai pengamatan pada waktu-waktu sebelumnya. Nilai pada waktu ke � disebut � � yang diregresikan dengan nilai-nilai sebelumnya pada dirinya sendiri ditambah dengan white noise pada lag ke- p dinamakan model AR( p ).

Autoregressive mewakili sebuah proses, jika hanya ada sebuah bilangan hingga tak nol yang dinotasikan dengan , maka

= � , dan � = untuk � > , maka proses ini dikatakan model autoregressive orde p , yang dinotasikan dengan AR( p ). Model dinaytakan dengan persamaan sebagai berikut (Wei, 2006):

� � =�� �− +�� �− +⋯+�� �− + � (2.5) dengan asumsi:

,� dengan:

� � : variabel acak pada waktu � � : parameter model AR pada lag ke- p

� : error model AR

� merupakan error dari model yang diasumsikan berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan nilai varians konstan �.

Jika pada persamaan (2.5) nilai p =1 maka model menjadi:

Jika model AR(1) dibentuk dengan menggunakan operator backshift maka persamaannya menjadi:

Proses AR(1) dikatakan stasioner apabila akar-akar polinom dari �

− � = terletak di luar lingkaran satuan (Wei, 2006). Oleh karena itu, � � −� = �

dengan � =−�=, maka

dan akar dari � =,

Maka AR(1) stasioner bila | B| >1, maka | �|<1 atau − < � < .

2.6.1 Penaksiran Model AR(1) dengan Metode OLS Model autoregressive orde satu AR(1) adalah turunan dari model AR( p ) dimana AR(1) adalah model deret waktu yang menyatakan bahwa pengamatan pada waktu � dipengaruhi oleh satu waktu sebelumnya � − , model AR(1) ditulis sebagai berikut:

� � = �� �− + � (2.6) dengan asumsi: ��

� ~ ,� dengan:

� � : variabel acak pada waktu � � �− : variabel acak pada waktu �− � : parameter model AR(1)

� : error model AR(1) Untuk menaksir parameter � pada model AR(1) akan digunakan metode

OLS. Model AR(1) dinyatakan sebagai berikut:

Misalkan M adalah fungsi � dikuadratkan,

Untuk mendapatkan error yang minimum, turunan pertama � terhadap � harus sama dengan 0:

Nilai �̂ bernilai konstan pada model AR(1) dengan nilai variansi model adalah:

Nilai � harus berhingga dan terletak diantara − < � < , hal ini merupakan syarat agar deret waktu bersifat stasioner (Wei, 2006).

2.7 Model ARX(1)

ARX adalah model deret waktu univariat yang menyatakan bahwa nilai pengamatan pada waktu saat ini dipengaruhi atau bergantung oleh nilai pada waktu-waktu sebelumnya serta dipengaruhi oleh faktor luar yaitu variabel eksogen. Model ARX merupakan pengembangan dari model AR namun pada model ARX terdapat dua variabel yaitu variabel endogen dan variabel eksogen. Variabel eksogen adalah variabel yang memiliki pengaruh terhadap variabel yang lain, namun tidak dipengaruhi oleh variabel lain dalam model. Model ARX(1) dapat ditulis sebagai berikut (Qin, P., Nishii, R., Nakagawa, T., Nakamoto, T., 2010):

� � = �� �− + �� � + � (2.7) dengan:

� �− : variabel acak endogen pada waktu t -1 � � : variabel acak eksogen pada waktu t �

: parameter variabel endogen model ARX(1) �

: parameter variabel eksogen model ARX(1) � : error pada model ARX(1)

� merupakan error dari model yang diasumsikan berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan nilai varians konstan �.

2.7.1 Penaksiran Model ARX(1) dengan Metode OLS

Model ARX(1) merupakan pengembangan dari model AR(1). Oleh karena itu, langkah untuk mngestimasi model ARX(1) tidak jauh berbeda dengan model AR(1). Berikut uraian pengestimasian parameter model ARX(1) dengan menggunakan metode OLS:

1. Model ARX(1) sebagai berikut: � � = �� �− + �� � + � (2.8)

dengan asumsi � ~

2. Dari persamaan (2.8) bentuk � menjadi � =� � − �� �− − �� � (2.9)

3. Persamaan (2.9) dikuadratkan kedua ruas dan dimisalkan dengan = � =� � − �� �− − �� �

4. Turunkan persamaan (2.10) terhadap �

6. Untuk meminimumkan error pada model maka turunan pertama persamaan (2.11) dan (2.12) harus sama dengan nol:

7. Lalu dari persamaan (2.13) dan (2.14) dicari nilai � dan � dengan menggunakan matriks: �� �− + �� � � �− =� � � �− �� �− � � + �� � =� � � �

Untuk � = , , … , maka didapat

2.8 (Q-Q) Plot Cek diagnostik model dilakukan untuk mengetahui apakah asumsi residual sudah terpenuhi dengan melihat quantile-quantile (Q-Q) plot. Apabila residual model berada pada garis normalnya maka residual tidak berkorelasi, dan memiliki rata- rata nol dan varians konstan. Gambar berikut merupakan contoh kenormalan residual melalui Q-Q plot:

Sumber: https://en.wikipedia.org/wiki/Q%E2%80%93Q_plot Gambar 2.1 Kenormalan Residual Melalui Q-Q Plot

2.9 Mean Absolute Percentage Error (MAPE)

Mean Absolute Percentage Error (MAPE) merupakan persentase dari rata- rata mutlak error pada tiap periode dibagi dengan nilai aktual pada periode Mean Absolute Percentage Error (MAPE) merupakan persentase dari rata- rata mutlak error pada tiap periode dibagi dengan nilai aktual pada periode

MAPE =∑ �= | | (2.16)

� � merupakan data ramalan pada periode � dan adalah banyaknya periode waktu.

2.10 Curah Hujan

Berdasarkan distribusi data rata-rata curah hujan bulanan, umumnya wilayah Indonesia dibagi menjadi 3 (tiga) pola hujan, yaitu:

1. Pola hujan monsun, yang wilayahnya memiliki perbedaan yang jelas antara periode musim hujan dan periode musim kemarau kemudian dikelompokan dalam Zona Musim (ZOM), tipe curah hujan yang bersifat unimodial (satu puncak musim hujan, Desember-Januari-Februari musim hujan, Juni-Juli-Agustus musim kemarau).

2. Pola hujan equatorial, yang wilayahnya memiliki distribusi hujan bulanan bimodial dengan dua puncak musim hujan maksimum dan hampir sepanjang tahun masuk dalam kriteria musim hujan. Pola ekuatorial dicirikan oleh tipe curah hujan dengan bentuk bimodial (dua puncak hujan) yang biasanya terjadi sekitar bulan Maret dan Oktober atau pada saat terjadi ekinoks.

3. Pola hujan lokal, yang wilayahnya memiliki distribusi hujan bulanan kebalikan dengan pola monsun. Pola lokal dicirikan oleh bentuk pola hujan unimodial (satu puncak hujan), tetapi bentuknya berlawanan dengan tipe hujan monsun.

Curah hujan di Indonesia beragam menurut waktu dan tempat (http://repository.ipb.ac.id/handle/123456789/60623?show=full).

Keragaman curah hujan dipengaruhi oleh unsur-unsur cuaca lainnya, salah satunya adalah kelembaban. Keterkaitan curah hujan dengan unsur cuaca lain tercermin dari siklus hidrologi yang berpengaruh terhadap kehidupan manusia. Kelembaban udara memiliki peranan penting pada siklus hidrologi yaitu dalam pembentukan dan pertumbuhan awan yang berkaitan dengan kejadian hujan.

2.11 Kelembaban

Kelembaban udara adalah jumlah kandungan uap air yang ada dalam udara. Banyaknya uap air di atmosfer antara 0-5% adalah tidak konstan. Jika kadar uap air naik, maka akan menyebabkan energi potensial naik, sehingga dapat mengakibatkan turunnya hujan.

Kandungan uap air di udara berubah-ubah bergantung pada suhu, semakin tinggi suhu maka semakin banyak kandungan uap airnya. Alat pengukur kelembaban udara adalah higrometer (http://dataonline.bmkg.go.id/webfaq).

Kelembaban udara ada 2 jenis sebagai berikut:

1. Kelembaban mutlak (absolut) yaitu bilangan yang menunjukkan jumlah uap air dalam satuan gram pada satu meter kubik udara.

2. Kelembaban relatif (nisbi), yaitu angka dalam persen yang menunjukkan perbandingan antara banyaknya uap air yang dikandung udara pada suhu tertentu dan jumlah uap air maksimum yang dapat dikandung udara.

Kelembaban relatif dihitung dengan menggunakan rumus berikut:

Keterangan: : kelembaban relatif.

� : uap air yang dikandung udara pada temperatur tertentu. � : kapasitas kandungan uap air maksimum.

BAB III OBJEK DAN METODE PENELITIAN

Pada bab ini akan dibahas data penelitian, variabel penelitian, dan langkah-langkah yang digunakan untuk mengestimasi parameter model ARX.

3.1 Data Penelitian

Data dalam penelitian ini adalah data sekunder yaitu data curah hujan dan data kelembaban di beberapa lokasi pada provinsi Jawa Barat. Data curah hujan dan data kelembaban tersebut diperoleh dari PSTA LAPAN Bandung. Data yang digunakan adalah data bulanan pada musim hujan menurut pola hujan monsun yaitu setiap bulan basah yang diantaranya adalah Desember, Januari, dan Februari dari tahun 1981 hingga 2015. Jumlah data yang digunakan dalam penelitian ini adalah masing-masing 102 data curah hujan dan data kelembaban pada masing- masing lokasi.

3.2 Variabel Penelitian

Variabel yang digunakan dalam penelitian ini terdiri:

� � = Nilai curah hujan sebagai variabel endogen pada waktu � � � = Nilai kelembaban sebagai variabel eksogen pada waktu �

3.3 Tahapan Analisis Data

 Tahap 1: Pengumpulan Data Tahap ini merupakan tahap mencari dan mengumpulkan data deret waktu.

Data yang dibutuhkan yaitu data curah hujan dan data kelembaban di beberapa lokasi pada provinsi Jawa Barat. Data yang digunakan merupakan data sekunder yang didapat dari LAPAN Bandung. Model yang digunakan adalah model ARX yang mengharuskan data bersifat stasioner.

 Tahap 2: Identifikasi Model Pada tahap ini dilakukan pengidentifikasian model dengan menggunakan

plot ACF dan PACF. Jika plot ACF menurun secara eksponensial mulai pada lag pertama dan plot PACF siginfikan pada lag ke- p , maka model yang digunakan adalah model AR( p ). Dalam penelitian ini, plot PACF signifikan pada lag ke-3.

 Tahap 3: Menaksir parameter model AR(3) Setelah dilakukan plot ACF dan PACF dapat diketahui bahwa model yang akan digunakan adalah model AR(3). Oleh karena itu, untuk tahapan

selanjutnya adalah mengestimasi parameter model AR(3) dengan menggunakan metode OLS. Parameter yang harus diestimasi dalam model AR(3) yaitu �,�,�.

 Tahap 4: Menentukan kestasioneran data Kestasioneran data ditentukan dengan Augmented Dickey Fuller (ADF)  Tahap 4: Menentukan kestasioneran data Kestasioneran data ditentukan dengan Augmented Dickey Fuller (ADF)

 Tahap 5: Menambahkan variabel eksogen pada model AR(3) Setelah diketahui bahwa data yang dimodelkan AR(3) merupakan data stasioner maka tahap selanjutnya menambahkan variabel eksogen ke

dalam model AR(3) sehingga model berubah menjadi model ARX(3).

 Tahap 6: Menaksir parameter model ARX(3) Model ARX(3) ditaksir dengan menggunakan metode OLS. Parameter yang harus ditaksir yaitu � , � , � , �.

 Tahap 7: Checking diagnostic Setelah berhasil menaksir nilai-nilai parameter dari model ARX(3),

selanjutnya perlu dilakukan cek diagnostik untuk mengetahui apakah model yang didapat sudah baik atau belum yaitu apabila asumsi residual sudah terpenuhi dengan melihat quantile-quantile (Q-Q) plot. Apabila residual model berada pada garis normalnya maka residual tidak berkorelasi, dan memiliki rata-rata nol dan varians konstan. Lalu dihitung pula Mean Absolute Percentage Error (MAPE) dari perbandingan data aktual in-sample dengan data taksiran.

 Tahap 8: Peramalan Dari model yang sudah didapat dari penaksiran parameter, dapat dihitung nilai ramalan curah hujan pada waktu yang akan datang.

Untuk mempermudah dalam analisis data, selanjutnya dibuat tahapan analisis yang disajikan dalam bentuk diagram pada Gambar 3.2 sebagai berikut:

Start Tambahkan Variabel

Eksogen pada Model AR Data Curah Hujan

Identifikasi Model AR dengan Plot ACF dan

Penaksiran Parameter PACF

Model ARX dengan OLS

Penaksiran Parameter Model AR dengan OLS

Model ARX

Check Diagnostic Model AR

Peramalan Kestasioneran

Gambar 3.1 Tahapan Analisis Data

3.4 Prosedur Penggunaan Software R untuk Identifikasi Model ARX

Perangkat lunak R dapat membantu dalam menentukan statistik deskriptif data, penentuan plot data deret waktu, estimasi parameter model ARX, dan nilai data peramalan. Langkah-langkah penggunaan perangkat lunak R dalam mengidentifikasi model ARX adalah sebagai berikut:

1. Buka perangkat lunak R versi 3.1.1.

2. Input data

Data yang digunakan adalah data dari Microsoft Excel , sehingga diperlukan import data dengan mengubah ekstensi file menjadi “.csv”. Lalu ketik pada R:

3. Statistika deskriptif data

4. Analisis deret waktu

Plot data deret waktu, plot autokorelasi (ACF) dan autokorelasi parsial (PACF), dan uji kestasioneran data dalam mean dengan metode Augmented Dickey Fuller test (ADF).

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

Bab ini membahas tentang pengolahan data curah hujan dengan penambahan variabel eksogen kelembaban menggunakan model ARX.

4.1 Data Curah Hujan dan Kelembaban

Data yang digunakan adalah data bulanan pada musim hujan menurut pola hujan monsun yaitu setiap bulan Desember, Januari, dan Februari dari tahun 1981 hingga 2015. Jumlah data yang digunakan dalam penelitian ini adalah masing-masing 102 data curah hujan dan data kelembaban pada setiap lokasi. Data curah hujan akan digunakan sebagai variabel endogen dan data kelembaban sebagai variabel eksogen pada model ARX. Data curah hujan dan kelembaban dapat dilihat di Lampiran.

4.2 Penaksiran Parameter Model AR

4.2.1 Plotting Data Curah Hujan

Gambar 4.1 hingga 4.5 memperlihatkan grafik data curah hujan masing- masing sebanyak 102 data pada 5 lokasi.

Gambar 4.1 Plot Data Curah Hujan Indramayu

Gambar 4.2 Plot Data Curah Hujan Bandung

Gambar 4.3 Plot Data Curah Hujan Bogor

Gambar 4.4 Plot Data Curah Hujan Sumedang

Gambar 4.5 Plot Data Curah Hujan Tasikmalaya

Tabel 4.1 menyajikan nilai statistika deskriptif dari data curah hujan pada kelima lokasi yang terdiri dari rataan, variansi, maksimum, median, dan minimum.

Tabel 4.1 Nilai Statistika Deskriptif dari Data Curah Hujan di 5 Lokasi

Lokasi Rataan

Variansi

Maksimum

Median Minimum

Indramayu 2 298 mm 9030,108 mm 683,7 mm 288,7 mm 89,51 mm Bandung 2 224,1 mm 4380,837 mm 504,7 mm 219,1 mm 103,3 mm

Bogor 2 388,1 mm 13642,9 mm 943,8 mm 368,4 mm 161,6 mm Sumedang 2 386,6 mm 8988,661 mm 784,1 mm 383,1 mm 142,4 mm

Tasikmalaya 333,9 mm 2 12159,33 mm 864 mm

323,2 mm 111 mm

4.2.2 Identifikasi Model AR

Selanjutnya data curah hujan diidentifikasi dengan melihat plot ACF dan plot PACFnya. Gambar 4.6 hingga 4.10 memperlihatkan korelogram dari data curah hujan pada kelima lokasi.

Gambar 4.6 Plot ACF dan PACF Data Curah Hujan Indramayu

Gambar 4.7 Plot ACF dan PACF Data Curah Hujan Bandung

Gambar 4.8 Plot ACF dan PACF Data Curah Hujan Bogor

Gambar 4.9 Plot ACF dan PACF Data Curah Hujan Sumedang

Gambar 4.10 Plot ACF dan PACF Data Curah Hujan Tasikmalaya

Berdasarkan gambar di atas, dapat terlihat bahwa ACF menurun secara eksponensial dan pada PACF data signifikan pada lag ke-3 untuk lokasi Indramayu, Bandung, dan Tasikmalaya sehingga data tersebut dapat dimodelkan dengan menggunakan model AR(3) yang dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut:

dengan � adalah parameter AR(3) dari data curah hujan. Sedangkan pada lokasi Bogor dan Sumedang, data curah hujan tidak cocok dengan model ARX.

4.2.3 Penaksiran Parameter Model AR(3)

Setelah diketahui bahwa model yang digunakan adalah model AR(3) maka langkah selanjutnya adalah menaksir parameter model AR(3). Penaksiran parameter model AR(3) menggunakan bantuan software R dengan metode Ordinary Least

Square . Tabel 4.2, Tabel 4.3, dan Tabel 4.4 menunjukkan nilai taksiran dari model AR(3) untuk ketiga lokasi.

Tabel 4.2 Nilai Taksiran Parameter Model AR(3) untuk Lokasi Indramayu

Tabel 4.3 Nilai Taksiran Parameter Model AR(3) untuk Lokasi Bandung

Tabel 4.4 Nilai Taksiran Parameter Model AR(3) untuk Lokasi Tasikmalaya

Untuk lokasi Indramayu, pada Tabel 4.2 diperoleh nilai taksiran dari parameter �=,

. Jadi persamaan (4.1) dapat ditulis menjadi:

dan �=,

Dari model tersebut, nilai curah hujan pada satu waktu dipengaruhi oleh satu waktu sebelumnya sebesar ,

, dua waktu sebelumnya sebesar , dan tiga waktu sebelumnya sebesar ,

Untuk lokasi Bandung, pada Tabel 4.3 diperoleh nilai taksiran dari parameter �=,

. Jadi persamaan (4.1) dapat ditulis menjadi:

Dari model tersebut, nilai curah hujan pada satu waktu dipengaruhi oleh satu waktu sebelumnya sebesar ,

, dua waktu sebelumnya sebesar , dan tiga waktu sebelumnya sebesar ,

Untuk lokasi Tasikmalaya, pada Tabel 4.4 diperoleh nilai taksiran dari parameter �=,

. Jadi persamaan (4.1) dapat ditulis menjadi:

Dari model tersebut, nilai curah hujan pada satu waktu dipengaruhi oleh satu waktu sebelumnya sebesar ,

, dua waktu sebelumnya sebesar , dan tiga waktu sebelumnya sebesar ,

4.2.4 Kestasioneran

Uji Augmented Dickey Fuller (ADF) digunakan untuk menentukan kestasioneran data. Tabel 4.5 menunjukkan hasil uji ADF yang didapat dengan bantuan software R:

Tabel 4.5 Uji ADF Data Curah Hujan pada 5 Lokasi

Lokasi

ADF

Orde Lag

Berdasarkan uji ADF, terlihat bahwa untuk data curah hujan di Indramayu, Bandung, dan Tasikmalaya diperoleh nilai ADF di setiap lokasi lebih kecil dari nilai kritis yaitu -1,645 dengan derajat kepercayaan 0,95 sehingga dapat disimpulkan data sudah stasioner.

4.3 Variabel Eksogen

Setelah model AR(3) didapat maka selanjutnya model tersebut akan ditambahkan dengan variabel eksogen yaitu data kelembaban sehingga model berubah menjadi model ARX(3) yaitu sebagai berikut:

dengan � adalah parameter AR(3) dari data curah hujan dan � adalah parameter dari variabel eksogen kelembaban. Data kelembaban dapat dilihat di Lampiran 4. Gambar

4.7 memperlihatkan grafik data kelembaban sebanyak 102 data.

Gambar 4.11 Plot Data Kelembaban

Tabel 4.6 menyajikan nilai statistika deskriptif dari data curah hujan pada kelima lokasi yang terdiri dari rataan, variansi, maksimum, median, dan minimum.

Tabel 4.6 Nilai Statistika Deskriptif dari Data Kelembaban di Jawa Barat

Rataan Variansi

Minimum 85,85

Maksimum

Median

Pada penaksiran parameter model ARX, metode yang digunakan sama dengan penaksiran parameter model AR. Perbedaannya adalah parameter yang ditaksir yaitu � dan �.

4.4 Penaksiran Parameter Model ARX(3) untuk Lokasi Indramayu

Berikut nilai taksiran parameter � dan � yang didapat dengan bantuan software R:

Tabel 4.7 Nilai Taksiran Parameter Model ARX(3) untuk Lokasi Indramayu

Dari Tabel 4.7 didapat nilai taksiran parameter model ARX(3) yaitu �=−,

sehingga model ARX(3) dapat ditulis menjadi:

Dari model tersebut, nilai curah hujan di lokasi Indramayu pada satu waktu dipengaruhi oleh nilai curah hujan pada satu waktu sebelumnya sebesar -0,0319, dua waktu sebelumnya sebesar -0,1574, tiga waktu sebelumnya sebesar 0,2084 dan variabel eksogen yaitu nilai kelembaban pada waktu tersebut sebesar 3,474.

4.5 Penaksiran Parameter Model ARX(3) untuk Lokasi Bandung

Berikut nilai taksiran parameter � dan � yang didapat dengan bantuan software R:

Tabel 4.8 Nilai Taksiran Parameter Model ARX(3) untuk Lokasi Bandung

Dari Tabel 4.8 didapat nilai taksiran parameter model ARX(3) yaitu �=−,

sehingga model ARX(3) dapat ditulis menjadi:

Dari model tersebut, nilai curah hujan di lokasi Bandung pada satu waktu dipengaruhi oleh nilai curah hujan pada satu waktu sebelumnya sebesar -0,0584, dua waktu sebelumnya sebesar -0,0711, tiga waktu sebelumnya sebesar 0,2387 dan variabel eksogen yaitu nilai kelembaban pada waktu tersebut sebesar 2,6331.

4.6 Penaksiran Parameter Model ARX(3) untuk Lokasi Tasikmalaya

Berikut nilai taksiran parameter � dan � yang didapat dengan bantuan software R:

Tabel 4.9 Nilai Taksiran Parameter Model ARX(3) untuk Lokasi Tasikmalaya

Dari Tabel 4.9 didapat nilai taksiran parameter model ARX(3) yaitu �=−,

sehingga model ARX(3) dapat ditulis menjadi:

Dari model tersebut, nilai curah hujan di lokasi Tasikmalaya pada satu waktu dipengaruhi oleh nilai curah hujan pada satu waktu sebelumnya sebesar -0,053, dua waktu sebelumnya sebesar -0,0825, tiga waktu sebelumnya sebesar 0,264 dan variabel eksogen yaitu nilai kelembaban pada waktu tersebut sebesar 3,8837.

4.7 Checking Diagnostic

Model dikatakan layak digunakan apabila residual data bersifat normal atau independen. Secara visual, uji kenormalan residual dapat dilakukan dengan melihat

Q-Q plot ( quantile-quantile plot ). Gambar 4.8 menunjukkan Q-Q Plot model ARX(3) untuk ketiga lokasi yang sudah didapat dengan bantuan software R:

Lokasi Indramayu

Lokasi Bandung

Lokasi Tasikmalaya

Gambar 4.12 Kenormalan Residual Melalui (Q-Q) Plot

Gambar 4.12 menunjukkan bahwa berdasarkan kenormalan Q-Q plot, residual data prediksi adalah normal pada ketiga lokasi karena terletak di sekitar garis normalnya. Residual data bersifat normal sehingga model sudah layak digunakan.

Nilai MAPE pada data in-sample digunakan untuk melihat bagaimana ketepatan ramalan dalam suatu pemodelan. Sedangkan ketepatan ramalan dapat Nilai MAPE pada data in-sample digunakan untuk melihat bagaimana ketepatan ramalan dalam suatu pemodelan. Sedangkan ketepatan ramalan dapat

Tabel 4.10 Perbandingan � � dan �̂ � untuk Lokasi Indramayu, Bandung, Tasikmalaya

Tasikmalaya Waktu � � �̂ � � � �̂ � � � �̂ �

Indramayu

Bandung

283,1389 389,55 Feb 2010 284,7902

Jan 2010 371,4963

302,1643 370,23 Des 2010 240,7751

428,1644 370,45 Jan 2011 358,6133

233,1346 365,75 Feb 2011 207,4751

235,5483 368,28 Des 2011 286,6815

367,3596 421,441 Jan 2012 308,5687

315,4457 363,79 Feb 2012 236,0243

205,284 356,08 Des 2012 328,7466

525,2095 404,04 Jan 2013 565,2444

371,5808 383,909 Feb 2013 233,5737

305,2331 323,83 Des 2013 358,6109

469,1769 436,402 Jan 2014 683,7448

412,877 394,69 Feb 2014 317,6502

Dari tabel di atas, didapat perhitungan nilai MAPE berdasarkan rumus persamaan (2.16) yang ditunjukkan pada tabel berikut:

Tabel 4.11 Nilai Mean Percentage Error (MAPE) untuk 3 Lokasi

Lokasi MAPE Indramayu

Masing-masing lokasi diperoleh nilai MAPE yang sedikit lebih dari 10%. Namun, model ARX(3) dapat dijadikan salah satu alternatif model bagi instansi terkait dalam meramalkan curah hujan pada fenomena musim hujan pada pola hujan monsun (Desember, Januari, Februari).

4.8 Peramalan

Berdasarkan model ARX(3) yang sudah diperoleh pada persamaan (4.6), (4.7), dan (4.8), didapat nilai ramalan curah hujan di Indramayu, Bandung, dan Tasikmalaya. Nilai ramalan yang diperoleh dengan bantuan Microsoft Excel 2010 dapat dilihat pada tabel berikut:

Tabel 4.12 Nilai Ramalan Curah Hujan di Indramayu, Bandung, dan Tasikmalaya

Tasikmalaya Waktu � � �̂ � � � �̂ � � � �̂ �

MAPE antara nilai ramalan yang dibandingkan dengan nilai aktual pada data outsample untuk lokasi Indramayu, Bandung dan Tasikmalaya berturut-turut adalah 33%, 19,7% dan 18,5%. Pencilan pada data curah hujan dan kelembaban pada penelitian ini merupakan salah satu penyebab nilai MAPE yang masih cukup besar. Model ARX(3) dapat menjadi alternatif dalam peramalan curah hujan di wilayah Jawa Barat.

BAB V SIMPULAN DAN SARAN

Bab ini berisi tentang simpulan dari penelitian telah dilakukan serta saran yang berisi tentang rekomendasi untuk penelitian selanjutnya.

5.1 Simpulan

Model Autoregressive Exogenous (ARX) merupakan pengembangan dari model Autoregressive (AR) yang didalamnya terdapat dua macam variabel yaitu variabel endogen dan eksogen. Penelitian ini menerapkan model ARX untuk data curah hujan pada beberapa lokasi di Jawa Barat dengan penambahan variabel eksogen kelembaban. Penaksiran parameter model ARX dapat dilakukan dengan metode OLS yaitu dengan meminimumkan jumlah kuadrat error data curah hujan di ketiga lokasi.

Penerapan model ARX pada data curah hujan dengan penambahan variabel eksogen berupa kelembaban di tiga lokasi menghasilkan model ARX(3) di setiap lokasi. Taksiran parameter pada setiap lokasi memiliki pola yang mirip karena lokasinya berada pada satu wilayah pengamatan.

5.2 Saran

1. Pada penelitian ini, metode yang digunakan adalah metode ordinary least square dengan error model diasumsikan berdistribusi normal. Diharapkan

pada penelitian selanjutnya penaksiran dapat dilakukan dengan metode lainnya.

2. Nilai curah hujan dan kelembaban pada satu lokasi tidak hanya dipengaruhi oleh lokasi itu sendiri, namun dapat dipengaruhi oleh lokasi lainnya. Untuk itu, data curah hujan dan kelembaban dapat diolah menggunakan model Vector Autoregressive Exogenous (VARX).

DAFTAR PUSTAKA

Cryer, J. D. and Chan, K. S. 2008. Time Series Analysis with Application in R . Second Edition, Springer Science Business Media. New York.

Mulyaningsih, T. 2015. Model Generalized Space Time Autoregressive Integrated

untuk Peramalan Indeks Harga Konsumen Beberapa Kota di Jawa Tengah . Tesis tidak diterbitkan. Bandung: Program Pendidikan Magister Program Studi Statistika Terapan Konsentrasi Statistika Sosial Universitas Padjadjaran.

Qin, P., Nishii, R., Nakagawa, T., Nakamoto, T. 2010. ARX models for time- varying systems estimated by recursive penalized weighted least squares method. Journal of Math-for-Industry, 2 (2010A-11) , pp.109-114.

Wei, W. W. S. 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods. Second Edition. Pearson Education, Inc. Bonston.

http://repository.ipb.ac.id/handle/123456789/60623?show=full , (diakses pada tanggal 18 Oktober 2016)

http://dataonline.bmkg.go.id/webfaq , (diakses pada tanggal 18 Oktober 2016)

https://en.wikipedia.org/wiki/Q%E2%80%93Q_plot , (diakses tanggal 23 November 2016)

LAMPIRAN

Lampiran 1: Data Curah Hujan di Indramayu, Bandung, Bogor, Sumedang, dan Tasikmalaya Tahun 1981-2016

Tasikmalaya Jan-81

Indramayu Bandung

Bogor

Sumedang

Feb-81

Mar-81

Apr-81

May-81

Jun-81

Jul-81

Aug-81

Sep-81

Oct-81

Nov-81

Dec-81

Jan-82

Feb-82

Mar-82

Apr-82

May-82

Jun-82

Jul-82

Aug-82

Sep-82

Oct-82

Nov-82

Dec-82

Jan-83

Feb-83

Mar-83

Apr-83

May-83

Jun-83

Jul-83

Sep-83

Oct-83

Nov-83

Dec-83

Jan-84

Feb-84

Mar-84

Apr-84

May-84

Jun-84

Jul-84

Aug-84

Sep-84

Oct-84

Nov-84

Dec-84

Jan-85

Feb-85

Mar-85

Apr-85

May-85

Jun-85

Jul-85

Aug-85

Sep-85

Oct-85

Nov-85

Dec-85

Jan-86

Feb-86

Mar-86

Apr-86

May-86

Jun-86

Jul-86

Aug-86

Sep-86

Oct-86

Nov-86

Dec-86

Feb-87

Mar-87

Apr-87

May-87

Jun-87

Jul-87

Aug-87

Sep-87

Oct-87

Nov-87

Dec-87

Jan-88

Feb-88

Mar-88

Apr-88

May-88

Jun-88

Jul-88

Aug-88

Sep-88

Oct-88

Nov-88

Dec-88

Jan-89

Feb-89

Mar-89

Apr-89

May-89

Jun-89

Jul-89

Aug-89

Sep-89

Oct-89

Nov-89

Dec-89

Jan-90

Feb-90

Mar-90

Apr-90

May-90

Jul-90

Aug-90

Sep-90

Oct-90

Nov-90

Dec-90

Jan-91

Feb-91

Mar-91

Apr-91

May-91

Jun-91

Jul-91

Aug-91

Sep-91

Oct-91

Nov-91

Dec-91

Jan-92

Feb-92

Mar-92

Apr-92

May-92

Jun-92

Jul-92

Aug-92

Sep-92

Oct-92

Nov-92

Dec-92

Jan-93

Feb-93

Mar-93

Apr-93

May-93

Jun-93

Jul-93

Aug-93

Sep-93

Oct-93

Dec-93

Jan-94

Feb-94

Mar-94

Apr-94

May-94

Jun-94

Jul-94

Aug-94

Sep-94

Oct-94

Nov-94

Dec-94

Jan-95

Feb-95

Mar-95

Apr-95

May-95

Jun-95

Jul-95

Aug-95

Sep-95

Oct-95

Nov-95

Dec-95

Jan-96

Feb-96

Mar-96

Apr-96

May-96

Jun-96

Jul-96

Aug-96

Sep-96

Oct-96

Nov-96

Dec-96

Jan-97

Feb-97

Mar-97

May-97

Jun-97

Jul-97

Aug-97

Sep-97

Oct-97

Nov-97

Dec-97

Jan-98

Feb-98

Mar-98

Apr-98

May-98

Jun-98

Jul-98

Aug-98

Sep-98

Oct-98

Nov-98

Dec-98

Jan-99

Feb-99

Mar-99

Apr-99

May-99

Jun-99

Jul-99

Aug-99

Sep-99

Oct-99

Nov-99

Dec-99

Jan-00

Feb-00

Mar-00

Apr-00

May-00

Jun-00

Jul-00

Aug-00

Oct-00

Nov-00

Dec-00

Jan-01

Feb-01

Mar-01

Apr-01

May-01

Jun-01

Jul-01

Aug-01

Sep-01

Oct-01

Nov-01

Dec-01

Jan-02

Feb-02

Mar-02

Apr-02

May-02

Jun-02

Jul-02

Aug-02

Sep-02

Oct-02

Nov-02

Dec-02

Jan-03

Feb-03

Mar-03

Apr-03

May-03

Jun-03

Jul-03

Aug-03

Sep-03

Oct-03

Nov-03

Dec-03

Jan-04

Mar-04

Apr-04

May-04

Jun-04

Jul-04

Aug-04

Sep-04

Oct-04

Nov-04

Dec-04

Jan-05

Feb-05

Mar-05

Apr-05

May-05

Jun-05

Jul-05

Aug-05

Sep-05

Oct-05

Nov-05

Dec-05

Jan-06

Feb-06

Mar-06

Apr-06

May-06

Jun-06

Jul-06

Aug-06

Sep-06

Oct-06

Nov-06

Dec-06

Jan-07

Feb-07

Mar-07

Apr-07

May-07

Jun-07

Aug-07

Sep-07

Oct-07

Nov-07

Dec-07

Jan-08

Feb-08

Mar-08

Apr-08

May-08

Jun-08

Jul-08

Aug-08

Sep-08

Oct-08

Nov-08

Dec-08

Jan-09

Feb-09

Mar-09

Apr-09

May-09

Jun-09

Jul-09

Aug-09

Sep-09

Oct-09

Nov-09

Dec-09

Jan-10

Feb-10

Mar-10

Apr-10

May-10

Jun-10

Jul-10

Aug-10

Sep-10

Oct-10

Nov-10

Jan-11

358,6133

196,3444 300,7657

346,966

233,1346

Feb-11

207,4751

121,3158 245,8612

238,9084

235,5483

Mar-11

220,2008

204,2055 257,2477

423,8048

344,3444

Apr-11

201,9958

267,6242

363,877

382,9103

313,6543

May-11

132,6575

234,3546

396,595

235,5073

255,9743

Jun-11

75,76192

64,22272 217,5142

98,9305

135,3223

Jul-11

27,60816

34,40571 132,9558

21,24719

85,22823

Aug-11

4,874442

15,75472 62,76841

10,8379

20,18619

Sep-11

2,450245

35,96671 102,3781

13,22722

34,63928

Oct-11

63,4412

94,63194 303,5722

90,27486

217,0933

Nov-11

235,3235

297,6975 531,8898

443,8429

442,0383

Dec-11

286,6815

280,3582 386,1087

426,8917

367,3596

Jan-12

308,5687

168,5135 327,3098

343,6227

315,4457

Feb-12

236,0243

165,7552 288,7079

304,6501

205,284

Mar-12

219,9962

177,2186 220,0077

352,3777

265,7577

Apr-12

138,6596

299,3083 581,7391

267,3208

291,6997

May-12

107,7123

147,988

309,9074

134,7284

238,0616

Jun-12

78,41

64,67417 141,4681

76,42719

92,45602

Jul-12

25,26844

22,62866 59,26775

18,53763

49,25976

Aug-12

11,55668

33,26734 87,33065

24,84586

52,21506

Sep-12

3,534364

32,27095 99,32357

18,89547

40,82617

Oct-12

63,19364

150,3095 439,0435

124,8123

402,6804

Nov-12

209,718

259,3343 510,6104

291,8182

372,343

Dec-12

328,7466

324,8996 439,8253

429,2248

525,2095

Jan-13

565,2444

333,1516

526,639

557,5436

371,5808

Feb-13

233,5737

165,3197 259,4798

300,6139

305,2331

Mar-13

231,2684

219,2005

317,322

391,7448

349,9252

Apr-13

191,1877

259,7153 386,7318

276,5183

225,5551

May-13

343,5482

502,4694 534,8888

488,5544

642,3284

Jun-13

172,4568

160,6292 278,0474

213,0342

428,6648

Jul-13

205,541

177,0899 507,9761

190,7421

490,9443

Aug-13

30,077

29,03601 201,4206

16,86674

63,07466

Sep-13

10,5624

71,22688 218,4845

39,69835

98,75127

Oct-13

41,94204

132,5421 352,4055

67,04988

189,2242

Nov-13

148,0994

183,0663 393,3526

245,8792

232,3046

Dec-13

358,6109

408,5109 642,4552

503,1191

469,1769

Jan-14

683,7448

349,4264 703,0349

608,573