FUNGSI DAN FUNGSI KUADRAT 1

Buku Siswa

FUNGSI DAN FUNGSI KUADRAT
STANDAR
KOMPETENSI
Memecahkan masalah yang
berkaitan dengan fungsi
kuadrat

Kompetensi Dasar.
1. Menggunakan konsep yang dimiliki
pemetaan dan fungsi untuk melukis dan
menggambar grafik fungsi kuadrat
2. Membuat model matematika yang
berkaitan dengan fungsi kuadrat serta
menyelesaikan masalah matematikanya.

Indikator
1. Menemukan ciri-ciri fungsi kuadrat dari contoh berlabel
2. Menjelaskan karakterstik masalah autentik yang pemecahan
masalahnya terkait dengan fungsi kuadrat

3. Menemukan definisi fungsi kuadrat dari contoh berlabel.
4. Melukis dan menyusun grafik fungsi kuadrat
5. Membuat model matematika yang berkaitan dengan fungsi kuadrat
serta menyelesaikan masalah matematikanya.

Pengantar
Peta
Konsep

1

Buku Siswa

Keterangan Petakonsep
Suatu relasi f yang memetakan dari suatu himpunan A ke himpunan B
dikatakan fungsi apabila relasi tersebut memasangkan setiap elemen dari
himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B, dan dinotasikan dengan:
f : A  B  xA  y!B
Himpunan A disebut Domain / daerah asal dari f(x), dinotasikan Df , sedang
{yf(x) = y, xA B} disebut Range / daerah hasil dari f(x) dinotasikan Rf.

Jika daerah asal suatu fungsi merupakan himpunan bilangan rill maka dalam
selang interval dapat di notasikan dengan Df = R Df = {xR:-x}, dan jika
daerah hasil suatu fungsi merupakan himpunan bilangan rill maka dalam selang
interval dapat di notasikan dengan Rf = R Rf = {yR:-x}.
Suatu fungsi f yang memiliki bentuk umum f(x)= a0+a1x +….+anxn
disebut dengan bentuk umum dari fungsi polinom. Fungsi folinom yang memiliki
bentuk f(x)= a0 disebut dengan fungsi konstanta, fungsi folinom yang memiliki
bentuk f(x)= a0 + a1x disebut dengan fungsi linier, fungsi folinom yang memiliki
bentuk f(x)= a0 + a1x + a2x2 disebut dengan fungsi kuadrat.

Materi Pengantar
Sebelum kita membahas tentang materi fungsi kuadrat, ada baiknya kita
membahas terlebih dahulu relasi, fungsi, fungsi konstanta, dan fungsi linier.
Relasi.
Misalkan ada tiga orang siswa, yait Arman, Beni, dan Elma memilih
mata pelajaran yang mereka sukai. Arman dan Elma memilih mata pelajaran
Fisika, Beni dan Elma memilih mata pelajaran Matematika, Arman, Beni, dan
Elma memilih mata pelajaran Biologi.
Jika A = {Arman, Beni, Elma} dan B = {Fiska, Matematika, Biologi}
maka dapat dibentuk relasi (hubungan) antara anggota A dan B seperti gambar

dibawah ini

2

Buku Siswa

Relasi yang tepat dari himpunan A ke himpunan
B pada gambar di samping adalah relasi
menyukai. Relasi dari himpunan A ke himpunan
B adalah suatu aturan yang memasangkan
anggota-anggota himpunan A dengan anggotaanggota himpunan B.
Pada relasi himpunan A ke B di atas, setiap anggota A dapat dipasangkan
dengan satu atau beberapa anggota himpunan B bahkan dapat terjadi ada anggota
himpunan A yang tidak memiliki pasangan dengan anggota himpunan B.
Pernyataan x anggota A berelasi dengan y anggota B dinotasikan dengan xRy.
Misalnya,
R = {(a,2), (a,4), (b,2), (b,4)},
relasi ini dapat dinyatakan dengan aR2, aR4, bR2, bR4. Pernyataan bahwa x
anggota A tidak berelasi dengan y anggota B dinotasikan dengan xRy. Dari
contoh diatas dapat dituliskan bahwa aR5 atau (a,5)  R.

Fungsi atau Pemetaan.
konsep “fungsi merupakan hal yang penting dalam berbagai cabang matematika.
Pengertian fungsi dalam matematika berbeda dengan pengertian dalam kehidupan
sehari-hari.dalam pengertian sehari-hari “fungsi”adalah guna atau manfaat. Kata
fungsi dalam matematika sebagaiman diperkenalkan oleh Leibniz (1646-1716)
digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau kaitan yang khas antar dua
himpunan, sehingga fungsi dapat dikatakan merupakan hal yang istimewa dari
suatu relasi antara dua buah himpunan.
perhatika gambar disamping.
Lima buah gelas yang sama ukurannya, tingginya masing-masing
12 cm disusun seperti gambar tersebut. Gelas kedua sapai kelima
hanya separoh yang dapat masuk ke gelas di bawahnya. Jika diukur
tinggi keseluruhannya diperoleh:

3

Buku Siswa

Banyak Gelas
Tinggi Tumpukan

1
12 cm

2
3
4
5
18 cm
24 cm
30 cm
36 cm
Dari hal di atas maka dapat kita nyatakan bahwa
tinggi tumpukan merupakan “fungsi” dari banyak
gelas. Perubahan banyak gelas terkait atau berelasi
langsung dengan perubahan tinggi tumpukan.
Sekarang, jika tinggi gelas kita nyatakan dengan t
dan banyak gelas kita nyatakan dengan g maka
dapat kita nyakatan sebuah fungsi yang menyatakan

sebuah hubungan antara tinggi tumpukan dan banyak gelas yang ditumpuk.
Perhatika gambar disamping.
Pada gambar tersebut terdapat dua himpunan, yaitu himpunan P = {Nisa, Asep,
Made, Cucu, Butet} dan himpunan Q = {A, B, O, AB}. Setiap anak anggota P
dipasangkan dengan tepat satu golongan darah anggota Q. Bentuk relasi seperti ini
disebut Fungsi atau Pemetaan.
Perhatikan contoh berlabel 1 berikut:

4

Buku Siswa

Gambar diatas merupakan bentuk contoh dan non-contoh dari suatu
fungsi. Untuk mengetahui alasannya, perhatikan definisi fungsi pada keterangan
peta konsep.
Selanjutnya perhatikan contoh berlabel 2 berikut.
1.

Misalkan ada dua buah himpunan A dan B, dimana himpunan A = {1, 2,
3} dan B = {a, b, c, d} maka R = {(1,a), (2,b), (3,d)}, dan R = {(a,1), (b,1),

(c,2), (d,3)} merupakan contoh fungsi, sedangkan R = {(1,a), (2,b), (2,c),
(3,d)}, dan R = {(a,1), (c,2), (d,3)} merupakan non-contoh fungsi. Untuk
mengetahui alasannya, perhatikan definisi fungsi pada keterangan peta konsep.

2.

Perhatikan gambar dibawah ini

Dari gambar diatas dapat kita katakan bahwa (i) merupakan contoh grafik
fungsi karena untuk setiap elemen di sumbu x dipasangkan tepat satu pada
elemen di sumbu y, sedangkan gambar (ii) merupakan non-contoh fungsi

5

Buku Siswa

karena ada elemen di sumbu x dipasangkan dua kali dengan elemen di sumbu
y. Yang menjadi pertanyaan sekarang, manakah pasangan dari setiap elemen
dari kedua gambar itu? Untuk menjawabnya silahkan kerjakan LKS halama1
latiha 1 nomor.

Diketahui relasi F = {(x,y) | y = x 2, -3 ≤ x ≤ 3, maka secara gambar dapat

3.

kita lihat sebagai berikut:
Gambar

1.4

merupakan

di

samping

suatu

kurva

parabola terbuka ke atas dan

melalui titik (0,0). Relasi F
merupakan suatu fungsi sebab
tidak ada satupun garis vertikal
yang memotong grafik di dua
titik. Sehingga:
Df={x|-3 ≤ x ≤ 3},
Rf = {y|0 ≤ y ≤ 9}.
Gambar 1.6.
Dari contoh dan non-contoh diatas, coba ceritakan hasil pengamatan
kamu mengenai fungsi berdasakan kalimat kamu sendiri ditempat yang di
sediakan pada LKS latihan 1, nomor 1, halaman 1. Selanjutnya

perhatikan

contoh Kasus 1 berikut:
a.

Ya

Ya

Tidak

Tidak

i

ii

Gambar 1.7
b. A = {a, b, c, d, e} dan B = {k, l, m, n}, maka:

6

Buku Siswa

i. R1 = {(a,k), (b,m), (c,n), (d,l), (e,k)}

Ya

Tidak.

ii.R2 = {(a,n), (b,k), (d,m), (e,l)}

Ya

Tidak

c.

Ya
Tidak

Gambar 1.7. (i)

Ya
Tidak

Gambar 1.7. (ii)

Selanjutnya kerjakan LKS latihan 1, nomor 3 – 5, halaman 1 – 2.
Setelah kamu mengetahui definisi suatu fungsi maka kita harus bisa
menyelidiki suatu relasi itu merupakan fungsi atau tidak. Untuk itu perhatikan
contoh berlabel berikut:

7

Buku Siswa

1. Suatu relasi f : R  R dengan f(x) = x merupakan suatu fungsi kaerena jika kita
ambil sembarang x,y  R sembarang dengan x = y maka:
Dari nilai f(x) = x dan x = y
Kita peroleh nilai f(x) = y.
Hal ini menunjukkan bahwa untuk setip xR dikaikan secara tunggal dengan
yR, sehingga relasi f : R  R dengan f(x) = x merupakan suatu fungsi.
2. Suatu relasi g(x) : [0,+∞]  R dengan g(x) = bukan merupakan fungsi karena
kalau kita ambil 4[0,+∞] maka:
g(x) =

4

=  2  g(x) = 2R atau g(x) = - 2R

Ini artinya ada 4[0,+∞] mempunyai pasangan yang tidak tunggal sehingga
relasi g(x) : [0,+∞]  R dengan g(x) =

x

bukan merupakan fungsi.

3. Suatu relasi h(x) : [1,+∞]  [0,+∞] dengan g(x) =

x

merupakan fungsi

karena kalau kita ambil sembarang x,y  R sembarang dengan x = y maka:
g(x) =

4

=  2  g(x) = 2R atau g(x) = - 2R

Ini artinya ada 4[0,+∞] mempunyai pasangan yang tidak tunggal sehingga
relasi g(x) : [0,+∞]  R dengan g(x) =

x

bukan merupakan fungsi.

Daerah Asal, Daerah Kawan, Daerah Hasil.
Perhatikan contoh berlabel 3 berikut:
1. Misalkan fungsi f memetakan setiap anggota himpunan A ke himpunan B,
maka:
Humpunan A dinamakan daerah asal atau domain atau prapeta dari fungsi f.
Himpunan B disebut denagan daerah kawan atau kodomain fungsi f.
Himpunan yang beranggotakan

himpunan B yang dipasangkan dengan

anggota himpunan A disebut dengan daerah ahsi atau range atau peta fungsi f.
2. Perhatikan gambar berikut:
maka:
daerah asal fungsi tersebut adalah A = {1,2,3}

8

Buku Siswa

daerah kawan fungsi tersebut adalah B = {a,b,c,d}
daerah hasil fungsi tersebut adalah {a,b, d}.
Gambar 1.7

3. Suatu fungsi f dan g didefinisikan oleh f(x) = x – 1 dan g(x) = 2x2 + 3
Maka:
f(0) = (0) – 1 = -1

g(0) = 2(02) + 3 = 3

f(1) = (1) – 1 = 0

g(1) = 2(12) + 3 = 2 + 3 = 5

f(2) = (2) – 1 = 1

g(2) = 2(22) + 3 = 8 + 3 = 11

dst.

dst.

4. Diketahui A = {x| -3 x  3, xR}, dan suatu fungsi f : A  R ditentukan oleh
rumus f(x) = x2 + 1.
f(x) = x2 + 1  f(-1) = (-1)2 + 1 = 1+1=2
 f(0) = 02 + 1 = 1
Prapeta dari 5  x2 + 1 = 5  x2 = 4  x = ±2
Jadi prapeta dari 5 adalah -2 dan 2
5. Suat fungsi f didefinisikan dengan f(x) = 2x +3, maka daerah asal dari fungsi
tersebut adalah nilai x yang terdefinisi pada fungsi tersebut. Karena untuk
setiap x anggota bilangan rill, f(x) = 2x+3 terdefinisi pada bilangan rill juga,
maka daerah asal fungsi f adalah x  R atau Df = {x | x  R}. Daerah hasi atau
range dari fungsi tersebut adalah semuanilai y yang mendefinisikan nilai x.
Karena setiap nilai x anggota bilangan ril terdefinisi pada nilai y anggota
bilangan rill maka daerah hasil fungsi f adalah y  R atau Rf = {y | y  R}.
6. Suatu fungsi f didefinisikan dengan f (x) = 3x + 4 , x = 2, maka daerah asal
fungsi f atau Df = {x | x = 2}, daerah kawanl fungsi f atau Rf = {y| y = 10},
relasi fungsi f adalah xRy = {(x,y) | (2,10)}
7. Perhatikan kembali contoh berlabel 2 nomor 3.
Relasi F = {(x,y) | y = x2, -3 ≤ x ≤ 3},

9

Buku Siswa

Sehingga
Df

= {x | -3 ≤ x ≤ 3},

Rf

= {y | 0 ≤ y ≤ 9},

xRy = {(x,y) | (-3,9) ≤ (x,y) ≤ (0,0)  (0,0) ≤ (x,y) ≤ (3,9)}
= {(x,y) | (-3,9) ≤ (x,y) ≤ (3,9)}
Dari contoh berlabel 3 diatas, tentunya kamu telah memahami tentang
daerah asala, daerah kawan, dan daerah hasil.
Selanjutnya perhatikan contoh Kasus 2 berikut.
gambar

disamping

adalah

merupakan bongkahan batu di
pegunungan. Akibat kikisan
air,

pegunungan

tersebut

menjadi berbentuk. Apabila
ditarik gari, diperoleh fungsi f
(x) = x2 + 3,
Yang

-2 ≤ x ≤ 4.

menjadi

apakah

kamu

masalah,
dapat

menentukan daerah asal dan
daerah hasil untuk fungsi yang
terbentuk?
Gambar 1.8
Untuk menjawabnya, kerjakan LKS halaman 3, latihan 1, nomor 6.

10