Metode Bound and Decomposition Untuk Menyelesaikan Permasalahan Program Linier Fuzzy Penuh

METODE BOUND AND DECOMPOSITION UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PROGRAM LINIER FUZZY PENUH

SKRIPSI

MILA HANDAYANI

100803008

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2014

METODE BOUND AND DECOMPOSITION UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PROGRAM LINIER FUZZY PENUH

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai gelar sarjana sains

MILA HANDAYANI 100803008

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2014

PERSETUJUAN

Judul :Metode Bound and Decomposition Untuk

Menyelesaikan Permasalahan Program Linier Fuzzy Penuh

Kategori : Skripsi

Nama : Mila Handayani

Nomor Induk Mahasiswa : 100803008

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara

Diluluskan di Medan, Juli 2014 Komisi pembimbing :

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Drs. Partano Siagian, M.Sc. Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si. NIP. 19511227 198003 1 001 NIP. 19460404 197107 1 001

Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Drs. Tulus, M.Si NIP. 196209011988031002

PERNYATAAN

METODE BOUND AND DECOMPOSITION UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PROGRAM LINIER FUZZY PENUH

SKRIPSI

Saya mengaku bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing–masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2014

Mila Handayani 100803008

PENGHARGAAN

Assalamu’alaikum Wr.Wb

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT Yang Maha Esa dan Kuasa atas limpahan rahmat dan karuniaNYA sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.Pada skripsi ini, penulis mengambil judul Metode Bound and Decomposition Untuk Menyelesaikan Permasalahn Program Linier Fuzzy Penuh.

Dalam penyusunan skripsi ini banyak pihak yang membantu, sehingga dengan segala rasa hormat penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si.selaku dosen pembimbing 1 yang berkenan dan rela mengorbankan waktu, tenaga, dan fikiran guna memberikan petunjuk dan bimbingannya dalam penulisan skripsi ini.

2. Bapak Drs. Partano Siagian, M.Sc. selaku dosen pembimbing 2 yang juga berkenan dan rela mengorbankan waktu, tenaga, dan fikiran guna memberikan petunjuk dan bimbingannya dalam penulisan skripsi ini.

3. Bapak Syahriol Sitorus, S.Si., M.IT dan Bapak Drs. Sawaluddin, M.IT selaku komisi penguji atas saran yang telah diberikan demi perbaikan skripsi ini.

4. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku dekan FMIPA USU

5. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku ketua dan sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU.

6. Ibunda tercinta Yetri, S.Pd., Ayahanda tercinta Masni, S.Pd., serta adik-adikku tersayang Reza Dwi Rahmi dan Fitri Latifa atas segala perhatian, pengertian, kesabaran, do’a, dukungan dan kasih sayang yang telah diberikan kepada penulis selama di bangku perkuliahan hingga akhirnya menyelesaikan skripsi ini.

7. Untuk orang–orang tersayang khususnya Imel, Wewen, Nita, Zati, Yundi, Lita, Ade, Eti, Vela, Sharah dan Komutatif 2010 yang telah membantu penulis dengan memberikan semangat dan do’a dalam menyelesaikan skripsi ini.

8. Untuk semua senior dan junior yang telah membantu penulis dengan memberikan semangat dan do’a dalam menyelesaikan tulisan ini.

Penulis juga menyadari masih banyak kekurangan dalam skripsi ini, baik dalam teori maupun penulisannya. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dari pembaca demi perbaikan bagi penulis. Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Allah SWT. Akhir kata penulis berharap semoga tulisan ini bermanfaat bagi para pembaca.

Medan, Juli 2014 Penulis,

METODE BOUND AND DECOMPOSITION UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PROGRAM LINIER FUZZY PENUH

ABSTRAK

Asumsi kepastian tentang nilai-nilai parameter pada masalah pengambilan keputusan yang dimodelkan dengan program linier dalam praktek kenyataannya sering sulit untuk dipenuhi. Untuk mengatasi ketidakpastian tersebut diterapkanlah teori himpunan fuzzy pada program linier yang selanjutanya disebut Program Linier Fuzzy. Model Program Linier Fuzzy ini terus dikembangkan hingga terbentuklah model Program Linier Fuzzy Penuh yang semua nilai-nilai parameternya berupa bilngan fuzzy. Dalam tulisan ini dekemukakan sebuah metode untuk mencari solusi optimal dari permasalahan Program Linier Fuzzy Penuh untuk bilangan trapezoidal fuzzy yaitu Metode Bound andDecomposition. Program Linier Fuzzy Penuh akan diuraikan ke dalam empat Crisp Linier Programming (CLP) atau bentuk program linier tegas dengan dibatasi oleh variabel-variabel kendala. Keempat permasalahan CLP tersebut akan diselesaikan secara terpisah dengan metode simplek dan solusi optimal yang diperoleh menjadi solusi optimal dari permasalahan Program Linier Fuzzy Penuh.

Kata Kunci: Program Linier, Program Linier Fuzzy Penuh, Metode Bound and Decomposition.

BOUND AND DECOMPOSITION METHOD TO SOLVING FULLY FUZZY LINEAR PROGRAMMING PROBLEM

ABSTRACT

The assumption of certainty about the values of the parameters in the decision making problem which is modeled with linear programming in real world systems are too complex to be defined. Then to overcome this uncertainty applied the fuzzy set theory on linear programming that called as Fuzzy Linear Programming. This Fuzzy Linear Programming is continue to be developed till formed Fully Fuzzy Linear Programming that all values of the parameters are fuzzy numbers. In this paper told a method to finding an optimal solution to Fully Fuzzy Linear Programming for trapezoidal fuzzy is Bound and Decomposition Method. The Fully Fuzzy Linear Programming problem is decomposed into four Crisp Linear programming (CLP) problems with bounded variabels constraints. The four CLP problems are solved separately using simplex method and the optimal solution which obtained becoming an optimal solution for Fully Fuzzy Liner Programming problem.

Keyword: Linear Programming, Fully Fuzzy Linear Programming, Bound and Decomposition Method.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan i

Pernyataan ii

Penghargaan iii

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel viii

Daftar gambar ix

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1Latar Belakang Masalah 1

1.2Rumusan Masalah 3

1.3Batasan Masalah 3

1.4Tinjauan Pustaka 3

1.5Tujuan Penelitian 5

1.6Kontribusi Penelitian 5

1.7Metodologi Penelitian 5

Bab 2 Landasan Teori 7

2.1 Program Linier 7

2.1.1 Syarat Utama Program Linier 7

2.1.2 Asumsi dalam Model Program Linier 8

2.1.3 Karakteristik Program Linier 9

2.2 Metode Simpleks 10

2.3 Himpunan Fuzzy 12

2.4 Fungsi Keanggotaan Fuzzy 13

2.5 Bilangan Fuzzy 14

2.6 Program Linier Fuzzy 15

2.7 Program Linier Fuzzy Penuh 16

Bab 3 Analisis 17

Bab 4 Pembahasan 21

Bab 5 Kesimpulan dan Saran 28

5.1 Kesimpulan 28

5.2 Saran 28

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

2.1 Bentuk Tabel Simpleks 11

3.1 Tabel Simpleks Awal 22

3.2 Tabel Simpleks Iterasi 1 23

3.3 Tabel Simpleks Iterasi 2 23

3.4 Tabel Optimal Simpleks MLP II 24

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

METODE BOUND AND DECOMPOSITION UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PROGRAM LINIER FUZZY PENUH

ABSTRAK

Asumsi kepastian tentang nilai-nilai parameter pada masalah pengambilan keputusan yang dimodelkan dengan program linier dalam praktek kenyataannya sering sulit untuk dipenuhi. Untuk mengatasi ketidakpastian tersebut diterapkanlah teori himpunan fuzzy pada program linier yang selanjutanya disebut Program Linier Fuzzy. Model Program Linier Fuzzy ini terus dikembangkan hingga terbentuklah model Program Linier Fuzzy Penuh yang semua nilai-nilai parameternya berupa bilngan fuzzy. Dalam tulisan ini dekemukakan sebuah metode untuk mencari solusi optimal dari permasalahan Program Linier Fuzzy Penuh untuk bilangan trapezoidal fuzzy yaitu Metode Bound andDecomposition. Program Linier Fuzzy Penuh akan diuraikan ke dalam empat Crisp Linier Programming (CLP) atau bentuk program linier tegas dengan dibatasi oleh variabel-variabel kendala. Keempat permasalahan CLP tersebut akan diselesaikan secara terpisah dengan metode simplek dan solusi optimal yang diperoleh menjadi solusi optimal dari permasalahan Program Linier Fuzzy Penuh.

Kata Kunci: Program Linier, Program Linier Fuzzy Penuh, Metode Bound and Decomposition.

BOUND AND DECOMPOSITION METHOD TO SOLVING FULLY FUZZY LINEAR PROGRAMMING PROBLEM

ABSTRACT

The assumption of certainty about the values of the parameters in the decision making problem which is modeled with linear programming in real world systems are too complex to be defined. Then to overcome this uncertainty applied the fuzzy set theory on linear programming that called as Fuzzy Linear Programming. This Fuzzy Linear Programming is continue to be developed till formed Fully Fuzzy Linear Programming that all values of the parameters are fuzzy numbers. In this paper told a method to finding an optimal solution to Fully Fuzzy Linear Programming for trapezoidal fuzzy is Bound and Decomposition Method. The Fully Fuzzy Linear Programming problem is decomposed into four Crisp Linear programming (CLP) problems with bounded variabels constraints. The four CLP problems are solved separately using simplex method and the optimal solution which obtained becoming an optimal solution for Fully Fuzzy Liner Programming problem.

Keyword: Linear Programming, Fully Fuzzy Linear Programming, Bound and Decomposition Method.

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Program linear merupakan model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber yang terbatas secara optimal yaitu memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. Ide mengenai program linier pertama kali dicetuskan oleh seorang ahli matematika asal Rusia bernama L.V. Kantorivich dalam bukunya yang berjudul Mathematical Method in The Organization and Planning of Production. Pada buku ini, beliau telah merumuskan pertama kalinya permasalahn program linier. Namun, cara-cara pemecahan persoalan ini di Rusia tidak berkembang dengan baik dan ternyata para ahli di negara Barat dan AS yang menggunakan cara ini dan dimanfaatkan dengan baik.

Pada tahun 1947, seorang ahli matematika dari AS yang bernama George B. Dantzig menemukan suatu metode untuk memecahkan persoalan-persoalan program linier. Metode pemecahan ini dinamakan metode simpleks, yang diuraikan dalam bukunya Linear Programming and Extention. Selanjutnya teori ini berkembang pesat sekali terutama dibidang kemiliteran yang menyangkut optimisasi dalam strategi perang dan di bidang-bidang lainnya.

Salah satu asumsi dasar dalam program linier adalah asumsi kepastian, yaitu setiap parameter, data dalam pemodelan program linier, yang terdiri dari koefisisen-koefisien fungsi tujuan, konstanta-konstanta sebelah kanan dan koefisien-koefisien fungsi kendala, diketahui secara pasti. Namun dalam prakteknya asumsi tersebut sulit untuk dipenuhi, karena banyak dari informasi bukanlah data yang deterministik. Untuk mengatasi persoalan ketidakpastian tersebut munculah sebuah teori yang disebut teori himpunan fuzzy yang

dikenalkan pertama kali oleh L. A. Zadeh pada tahun 1965. Zadeh memodifikasi teori himpunan dimana setiap anggotanya memiliki derajat keanggotaan yang bernilai kontinu antara 0 dan 1. Penerapan teori himpunan fuzzy pada program linier kemudian disebut program linier fuzzy.

Program linier fuzzy merupakan program linier yang dinyatakan dengan fungsi objektif dan fungsi kendala yang mengandung parameter fuzzy dan ketidaksamaan fuzzy. Rumusan mengenai program linier fuzzy pertamakali diajukan oleh Zimmerman (1978). Sejak saat itu, para peneliti terus mengembangkan jenis-jenis yang berbeda dari permasalahan program linier fuzzy dan mengajukan beberapa pendekatan sebagai solusi dari permasalahan tersebut. Hingga dikemukakan bentuk permasalahan program linier fuzzy dimana semua parameter dan variabel baik dalam fungsi objektif, fungsi kendala dan ketidaksamaan merupakan bilangan fuzzy. Persoalan seperti ini disebut persoalan program linier fuzzy penuh.

T. Allahviranloo et al (2008) menyelesaiakan permasalahan program linier fuzzy penuh menggunakan fungsi rangking. A. Kumar et al(2010) mengajukan sebuah metode untuk menyelesaikan permasalahan program linier fuzzy penuh dengan ketidaksamaan fungsi kendala. S.H. Nasseri et al(2010) memperkenalkan teori dualitas pada program linier fuzzy dengan bilangan symetric trapezoidal fuzzy. A. Kumar dan J. Kaur (2011) memperkenalkan sebuah metode baru yang diberi nama Mehar’s Method untuk menyelesaiakan permasalahan program linier fuzzy. A.T. Afriani dkk (2012) menyelesaiakan permasalahn program linierr fuzzy dengan variabel trapezoidal fuzzy dengan metode SimpleksFuzzy.Jayalakshmi dan Pandian (2012) mengajukan sebuah metode baru untuk solusi permasalahan program linier fuzzy penuh yaitu metode Bound and Decomposition. Metode ini diterapkan pada program linier fuzzy penuh bilangan triangular fuzzy. Penyelesaian didapat secara tepat untuk semua kendala dengan perhitungan yang lebih sederhana. Dalam tulisan ini penulis akan menerapkan metode Bound and Decompositionuntuk permasalahan program linier fuzzy penuh untuk trapezoidal fuzzy.

Kendala

1.2 Rumusan Masalah

Bagaimana penerapan metode Bound and Decomposition untuk menentukan penyelesaian permasalahan program linier fuzzy penuh.

1.3 Batasan Masalah

Dalam tulisan ini yang akan dibahas hanya program linier fuzzy penuh yang mana semua parameter dan variabel yang terdapat dalam fungsi objektif, fungsi kendala dan ketidaksamaannya adalah bilangan trapezoidal fuzzy.

1.4 Tinjauan Pustaka

P. Siagian (2006) dalam bukunya “Penelitian Operasional: Teori dan Praktek” menyatakan bahwa pokok pikiran yang utama dalam menggunkan program linier ialah merumuskan masalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah terumuskan dengan baik, maka langkah berikutnya adalah menerjemahkan masalah ini ke dalam bentuk model matematika yang terang mempunyai cara pemecahan yang lebih mudah dan rapi guna menemukan jawaban terhadap masalah yang dihadapai.

Siringoringo, Hotniar. 2005. “Seri Teknik Operasional”, menyatakan bahwa bentuk umum model program linier adalah sebagai berikut:

�=� �_��_�

�

�=1

� ����� ≤ �� �

�=1

(�= 1, 2, … ,�) �� ≥0 (� = 1, 2, … ,�)

Keterangan:

�� = variabel keputusan Maksimumkan atau minimumkan

Kendala

Kendala

�� = koefisien fungsi tujuan ��� = koefisien fungsi kendala

�� = jumlah masing-masing sumber daya yang ada

L.A. Zadeh (1965, hal: 338) menyatakan bahwa suatu himpunan fuzzy merupakansebuah kelas dari objek – objek dengan suatu rangkaian kesatuan dari nilai keanggotaan. Demikian sebuah himpunan digolongkan oleh sebuah fungsi (karakteristik) keanggotaan yang memberikan setiap objek sebuah nilai keanggotaanyang berkisar antara 0 dan 1.

Sri Kusumadewi, 2002. “Analisa & Desain Sistem Fuzzy menggunakan Toolbox Mathlab” menyatakan bahwa bentuk umum fuzzy linier programming adalah:

�=� �̃_��_�

�

�=1

� ������ ≤ ��� �

�=1

(�= 1, 2, … ,�) �� ≥0 (� = 1, 2, … ,�)

dimana�̃_�,��_��, dan��_�semuanya adalah bilangan fuzzy.

Jayalakshmi dan Pandian (2012) dalam tulisannya menyatakan bahwa bentuk umum program linier fuzzy penuh adalah:

�=� �̃_���_�

�

�=1

� ������� ≤ℜ��� �

�=1

(�= 1, 2, … ,�) ��� ≥ℜ0� (�= 1, 2, … ,�)

Maksimumkan atau minimumkan

dengan��_��,�̃_�,��_�,��_�adalah bagian dari himpunan semua bilangan fuzzy yang terdefinisi dalam himpunan bilangan rill.

1.5 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan penyelesaian dari permasalahanprogram linier fuzzy penuh untuk trapezodal fuzzy dengan metode Bound and Decomposition.

1.6 Kontribusi Penelitian

Dengan adanya tulisan ini, penulis berharap dapat menambah referensi bagi pembaca dan pengambil keputusan dalam menyelesaikan program linier fuzzy penuh untuk trapezoidal fuzzy.

1.7 Metodologi Penelitian

Penelitian ini bersifat literatur yang disusun berdasarkan rujukan pustaka dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Langkah-1 : Memaparkan konsep bilangan fuzzy terutama trapezoidal fuzzydanprosedur perhitungan aritmatikanya.

Langkah-2 : Menjelaskan konsep program linear fuzzy penuh untuk trapezoidal fuzzy.

Langkah-3 : Menjelaskan prosedur metode Bound and Decompositionuntuk pencarian solusi permasalahan program linier fuzzy penuh untuk trapezoidal fuzzy.

Langkah-4 : Menyelesaikan contoh numerik permasalahan dalam program linier fuzzy penuh untuk trapezoidal fuzzy dengan metode Bound and Decomposition.

Langkah-5 : Menyimpulkan dari penerapan metode terhadap contoh numerik sekaligus memberikan saran untuk pengembangan penelitian selanjutnya.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Program Linier

Program linier merupakan model umum yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang bersaing secara optimal, dengan cara yang terbaik yang mungkin dilakukan. Sebagai contoh sederhana sebuah bank hendak mengalokasikan dananya untuk mencapai kemungkinan hasil tertinggi.Dalam hal ini bank tersebut harus beroperasi dalam peraturan likuiditas yang dibuat oleh pemerintah dan harus mampu menjaga fleksibilitas yang memadai untuk memenuhi permintaan pinjaman dari para nasabah.

Dalam penerapannya program linier menggunakan model matematis dalam pemecahan berbagai persoalan.Kata sifat linier digunakan untuk menggambarkan hubungan antara dua atau lebih variabel, hubungan yang berlangsung haruslah berupa fungsi yang linier.Sedangkan kata program menyatakan penggunaan teknik matematika tertentu untuk mendapatkan kemungkinan pemecahan terbaik dari persolan yang melibatkan sumber yang serba terbatas.memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.

2.1.1 Syarat Utama Program Linier

Agar dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahanyang dihadapi ke dalam model program linier, maka ada lima syarat yang harus dipenuhi:

1. Tujuan

Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsitujuan.

2. Alternatif perbandingan

Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan, misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktuterlambat dan biaya terendah.

3. Sumber daya

Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas. 4. Perumusan kuantitatif

Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif dalamapa yang disebut model matematika.

5. Keterkaitan peubah

Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harusmemiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.

2.1.2 Asumsi dalam Model Program Linier

Dalam menggunakan model program linear, diperlukan beberapa asumsi sebagai berikut:

1. Asumsi kesebandingan (proportionality)

a. Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan.

b. Konstribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas linier juga sebanding dengan nilai keputusan itu.

2. Asumsi penambahan (additivity)

a. Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi keputusan bersifat bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain.

b. Konstribusi suatu variabel keputusan pada nilai dari variabel keputusan ruas kiri dari setiap pembatas linier bersifat tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain.

3. Asumsi pembagian(divisiblity)

Dalam persoalan program linier, variabel keputusan boleh diasumsikan berupa pecahan.

4. Asumsi kepastian (certainty)

Setiap parameter, yaitu koefisien fungsi tujuan, ruas kanan, dan koefisien fungsi kendala diasumsikan dapat diketahui secara pasti.

2.1.3 Karakteristik Program Linier

Dalam membangun model dari formulasi suatu persoalan akan digunakan karakteristik-karakteristik yang biasa digunakan dalam persoalan program linier, yaitu:

1. Peubah keputusan

Peubah keputusan adalah peubah yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat.

2. Fungsi tujuan (objective function)

Fungsi tujuan merupakan fungsi dari peubah keputusan yang akan dimaksimumkan (untuk pendapatan) atau diminimumkan (untuk ongkos). Untuk menyatakan fungsi tujuan biasanya digunakan peubah z sehingga fungsi tujuan dapat dinyatakan:

�= �(�) 3. Pembatas Linier (linier constraints)

Pembatas linear merupakan kendala yang dihadapi sehingga kita tidak dapat menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang. Koefisien dari variabel keputusan pada pembatas linear dinamakan koefisien fungsi kendala, sedangkan bilangan yang ada di sisi (ruas) kanan setiap pembatas linear dinamakan ruas kanan pembatas.

4. Pembatas tanda / kondisi pengetat

Pembatas tanda adalah pembatas yang menjelaskan apakah variabel keputusannya diasumsikan hanya berharga nonnegatif atau variabel keputusannya tidak terbatas dalam tanda (boleh positif - boleh negatif).

Secara umum model program linier dapat dirumuskan sebagai berikut: Maksimum atau minimumkan �=� �_��_�

�

�=1

Kendala � �_���_� �

�=1

≤ ��(�= 1, 2, … ,�) �� ≥ 0 (�= 1, 2, … ,�) Keterangan:

�� = variabel keputusan �� = koefisien fungsi tujuan ��� = koefisien fungsi kendala

�� = jumlah masing-masing sumber daya yang ada (ruas kanan pembatas)

2.2 Metode Simpleks

Cara yang paling sederhana unrtuk menyelesaikan permasalahan program linier adalah dengan pendekatan grafikal. Namun cara tersebut hanya bisa diterapkan untuk program linier dengan dua variabel keputusan. Pada kenyataannya sebagian besar permasalahan program linier mempunyai lebih dari dua variabel keputusan.Hal ini tentu sulit untuk menerapkan pendekatan grafikal untuk memperoleh penyelesaian dari permasalahan tersebut.

Oleh karen itu, pada tahun 1947 George Dantzig mengajukan suatu metode yang tepat untuk menyelesaiakn permasalahan program linier yang disebut metode simpleks. Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari titik ekstrim pada daerah feasible (ruang sousi) menuju titik ekstrim yang optimum.

Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan program linier dengan metode simpleks:

Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian daerah kelayakan (feasible) maka semua pertidaksamaan diubah menjadi persamaan dengan cara menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan (artifisial variabel) pada tiap batasan (constraint) serta memberi harga nol pada setiap koefisien tujuannya. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut:

a. Untuk batasan bernotasi (≤) diubah ke dalam bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack.

b. Untuk batsan bernotasi (≥) atau (=) deselesaikan dengan menambahkan variabel surplus dan variabel buatan. Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan penalty M (M bilangan positif yang sangan besar) sebagai harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Untuk kasus maksimasi maka dibuat –M sebagai harga dari variabel buatan dan untuk kasus minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M method).

2. Susun persamaan-persamaan ke dalam tabel simpleks Tabel 2.1. Bentuk Tabel Simpleks

�� �1 ... ��

Basis Variabel

Basis

Harga

Basis �1 ... ��

��1 ��1 �11 ... �1� �1

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

��� ��� ��1 ... ��� ��

3. Pilih kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai ��_� − �_�� yang paling positif untuk kasus maksimasi atau yang memiliki nilai ��_� − �_�� yang paling negatif untuk kasus minimasi.

4. Pilih baris kunci yang memiliki nilai indeks terkecil. Nilai indeks adalah perbandingan nilai kanan dengan kolom kunci,

5. Tentukan nilai elemen cell, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci.

6. Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris Z baru, dan baris variabel-variabel slack baru.

a. Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan elemen cell.

b. Baris Z baru dan baris-baris lainnya ditentukan dengan cara:

Baris lama – (nilai kolom kunci baris yang sesuai × baris kunci baru) c. Letakkan nilai-nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel.

7. Lakukan uji optimalisasi. Jika semua koefisien pada baris ��_� − �_�� sudah tidak ada lagi yang bernilai positif (untuk kasus maksimasi) atau sudah tidak ada lagi yang bernilai negatif (untuk kasus minimasi) berarti sudah optiamal. Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah 3.

2.3 HimpunanFuzzy

Istilah fuzzylahir dari gagasan seorang guru besar pada University of California, Berkeley, Amerika Serikat, Prof. Lotfi Asker Zadeh.Sejak tahun 1960 Zadeh telah merasa bahwa sistem analisis matematika tradisional yang dikenal sampai saat itu bersifat terlalu eksak sehingga tidak dapat berfungsi dalam banyak masalah dunia nyata yang seringkali amat kompleks.Pada akhirnya di tahun 1965 Zadeh mempublikasikan karangan ilmiahnya berjudul “Fuzzy Set”. Terobosan baru yang deperkenalkan oleh Zadeh ini telah memperluas konsep himpunan klasik menjadi himpunan fuzzy yang dapat mempresentasikan nilai-nilai ketidakpastian yang ditemui dalam kehidupan nyata.

Menurut Zadeh, himpunan fuzzy (fuzzy set) adalah sebuah kelas dari obyek denganserangkaian kesatuan dari nilai keanggotaan. Sebuah set dikarakterisasikan oleh sebuah fungsi keanggotaan yang memberikan tiap obyek sebuah nilai keanggotaan yang rentang nilainya antara 0 dan 1.

2.4 Fungsi Keanggotaan Fuzzy

Sebuah himpunan fuzzy �̃ pada X ditandai oleh fungsi keanggotaan �_��(�) yang berhubungan dengan setiap titik di X, sebuah bilangan riilpada interval [0,1] dengan nilai dari �_��(�) pada x mewakili derajat keanggotaan x pada �̃. Maka, semakin dekat nilai �_��(�)ke semesta pembicaraan, semakin tinggi derajat keanggotaan x pada �̃. Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik – titik input data ke dalam nilai keanggotaan yang mempunyai interval antara 0 sampai 1.

Definisi 2.1: X adalah sebuah himpunan tak kosong. Sebuah himpunan fuzzy �̃pada X ditandai oleh fungsi keanggotaannya:

�̃:� →[0,1]

Dan �̃(�)diinterpretasikan sebagai derajat keanggotaan dari elemen x pada himpunan fuzzy�̃.untuk setiap � ∈ �.

Nilai 0 digunakan untuk mewakili bukan anggota, nilai 1 digunakan untukmewakili keanggotaan penuh, dan nilai – nilai di antaranya digunakan untuk mewakili derajat keanggotaan menengah. Pemetaan �̃juga disebut sebagai fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzy�̃.

Definisi 2.2: Sebuah himpunan fuzzy adalah kosong jika dan hanya jika fungsi keanggotaannya sama dengan 0 pada �̃.

2.5 Bilangan Fuzzy

Konsep bilangan fuzzy muncul dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam aplikasi teori fuzzy dalam bentuk besaran yang dinyatakan dengan bilangan yang tidak tepat, misalnya “kurang lebih 10 orang”, kira-kira 3 jam”, “sekitar 5 km”, dan lain sebagainya. Secara intuitif dapat diterima bahwa ungkapan “kurang lebih 10” dapat dinyatakan dengan suatu himpunan kaburpada semesta bilangan riil, di mana bilangan 10 mempunyai derajat keanggotaan kurang dari 1, dan semakin jauh bilangan itu dari derajat keanggotaanya semakin mendekati 0.

Definisi 2.3: Sebuah bilangan fuzzy �̃ adalah himpunan fuzzy dalam semesta bilangan riil yang memenuhi kondisi normal dan konveks.

Definisi 2.4: Sebuah bilangan fuzzy �̃ = (�,�,�,�)disebut bilanga trapezoidal fuzzy jika fungsi keanggotaanya diberikan oleh:

���(�) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪

⎧_{� − �}0 ; lainnya � − � ; � ≤ � ≤ �

1 ; � ≤ � ≤ � � − �

� − �; � ≤ � ≤ �

Fungsi keanggotaan trapezoidalfuzzy �̃= (�,�,�,�)digambarkan sebagai berikut:

Gambar 2.1Grafikfungsikeanggotaantrapezoidal fuzzy (Sumber: Sri Kusumadewi, 2002)

�(�)

1

0

Definisi 2.5: Misalkan �̃ = (�,�,�,�) dan ��= (�,�,�,ℎ) adalah dua bilangan trapezoidal fuzzy, maka

(i) �̃ ⊕ ��= (�,�,�,�)⊕(�,�,�,ℎ) = (�+�,�+�,��,�+ℎ) (ii) �̃ ⊝ ��= (�,�,�,�)⊝(�,�,�,ℎ) = (�+�,�+�,��,�+ℎ) (iii) �̃ ⊗ �� ≈(�,�,�,�)

di mana �= minimum (��,�ℎ,��,�ℎ) � = minimum (��,��,��,��) � = maksimum (��,��,��,��) �= maksimum (��,�ℎ,��,�ℎ) (iv) �(�,�,�,�) = (��,��,��,��) untuk � ≥0 (v) �(�,�,�,�) = (��,��,��,��) untuk � ≤0

Definisi 2.6: Sebuah fungsi rangking ℜ:�(�)→ �, di mana �(�) adalah himpunan dari semua bilangan fuzzy yang terdefinisi dalam himpunan bilngan rill, adalah pemetaan setiap bilangan fuzzy ke dalam himpunan bilangan rill. Untuk bilngan trapezoidal fuzzy�̃ = (�,�,�,�), maka fungsi rangkingnya adalah:

ℜ��̃�= 1

4(�+�+�+�)

2.6 Program Linier Fuzzy

Program Linier Fuzzy adalah sebuah aplikasi dari teori himpunan fuzzy pada masalah proses pengambilan keputusan linear, di mana sebagian besar dari masalah tersebut terkait dengan permasalahan program linear dengan variabel fuzzy.

Secara umum model program linier fuzzy dinyatakan oleh:

�=� �_���_�

�

�=1 Maksimumkan atau minimumkan

Kendala _{� �}

����� ≤ℜ��� �

�=1

(�= 1, 2, … ,�) ��� ≥ℜ0� (�= 1, 2, … ,�)

di mana koefisien fungsi tujuan (�_�) dan koefisien fungsi kendala (�_��) adalah koefisien crisp dan ��_� adalah konstanta fuzzyserta ��_� adalah variabel keputusan fuzzy.

2.7 Program Linier Fuzzy Penuh

Program Linier Fuzzy adalah sebuah aplikasi dari teori himpunan fuzzy pada masalah proses pengambilan keputusan linear, di mana semua parameter yaitu koefisien, variabel maupun konstanta dalam model berupa bilangan fuzzy.

Bentuk umum program linier fuzzy penuh dengan � buah kendala pertidaksamaan fuzzy dan � buah variabel fuzzy:

Maksimumkan atau Minimumkan �=� �̃_���_�

�

�=1

Kendala � ��_����_� ≤_ℜ��_� �

�=1

(�= 1, 2, … ,�) ��� ≥ℜ 0� (� = 1, 2, … ,�)

dengan��_��,�̃_�,��_�,��_�adalah bagian dari himpunan semua bilangan fuzzy yang terdefinisi dalam himpunan bilangan rill.

BAB 3 ANALISIS

Ambil sebuah permasalahan program linier fuzzy penuh sebagai berikut:

Maksimumkan atau Minimumkan �̃=� �̃_���_�

�

�=1

Kendala � ��_����_� ≤_ℜ��_� �

�=1

(�= 1, 2, … ,�) ��� ≥ℜ 0� (� = 1, 2, … ,�)

Dengan ��_��,�̃_�,��_�,��_� adalah bagian dari himpunan semua bilangan fuzzy secara berurut (�_��,�_��,�_��,ℎ��),���,��,��,���,���,��,��,���, (��,��,��,��)yang

terdefinisi dalam himpunan bilangan rill.

Maka permasalahan tersebut dapat ditulis sebagai berikut: Maks (Min)��_1,�₂,�₃,�₄� =�(�_�,�_�,�_�,�_�)⨂(

�

�=1

��,��,��,��)

Kendala���_��,���,���,ℎ���⨂���,��,��,��� ≤ℜ���,��,��,���; � = 1,2, … ,� �

�=1

���,��,��,��� ≥ℜ 0� ; �= 1,2, … ,�

Artinya ��_�,�_�,�_�,�_�� merupakan bilangan fuzzy dari variabel keputusan ��_�yang nilainya haruslah besar sama dengan nol (non-negative) yang terdefinisi dalam bilangan rill.

Karena ��_�,�_�,�_�,�_�� adalah bilangan trapezoidal fuzzy, maka �� ≤ �� ≤ �� ≤ �� ; � = 1,2, …�

Maks(Min) Maks(Min)

Maks(Min)

Maks(Min)

Tanda ⨁,⊝, ⊗, ≤_ℜ, ≥_ℜ, =_ℜ merupakan operator yang digunakan dalam perhitungan fuzzy.Artinya oerator tesebut menandakan bahwa parameter yang terlibat dalam perhitung merupakan bilangan fuzzy yang terefinisi dalam himpunan bilangan rill.

Langkah-langkah dalam menerapkan metode Bound and Decomposition pada permasalahan program linier fuzzy penuh untuk trapezoidal fuzzy adalah:

1. Uraikan permasalahan program linier fuzzy penuh ke dalam empat bentuk Crisp Linear Programming(CLP) yaitu Middle Level Problem I (MLP I),Middle Level Problem II (MLP II), Upper Level Problem (ULP),dan Lower Level Problem (LLP).

Gunakan operasi aritmatika bilanangan trapezoidal fuzzy untuk menguraikan model permasalahan program linier fuzzy penuh sebagai berikut:

�1 =�nilai bawah dari (��,��,��,��)⨂( �

�=1

��,��,��,��)

�2 = �nilai tengah I dari (��,��,��,��)⨂( �

�=1

��,��,��,��)

�3 = �nilai tengah II dari (��,��,��,��)⨂( �

�=1

��,��,��,��)

�4 = �nilai atas dari (��,��,��,��)⨂( �

�=1

��,��,��,��) Kendala

�nilai bawah dari �

�=1

����,���,���,ℎ���⨂���,��,��,��� ≤ℜ ��

untuk �= 1,2, … ,� �nilai tengah I dari

�

�=1

Maks(Min)

Maks(Min)

untuk�= 1,2, … ,� �nilai tengah II dari

�

�=1

����,���,���,ℎ���⨂���,��,��,��� ≤ℜ ��

untuk �= 1,2, … ,� �nilai atas dari

�

�=1

����,���,���,ℎ���⨂���,��,��,��� ≤ℜ��

untuk �= 1,2, … ,�

dan semua variabel keputusan adalah non-negative.

Dari hasil penguraianmodel permasalahan program linier fuzzy penuh tersebut, bentuklah permasalahan menjadi empat model Crisp Linier Programming (CLP) yang terdiri dari Middle Level Problem I (MLP I), Middle Level Problem II (MLP II), Upper Level Problem (ULP),dan Lower Level Problem (LLP)sebagai berikut:

(MLP I)

�2 =�nilai tengah I dari(��,��,��,��)⨂( �

�=1

��,��,��,��) Kendala

�nilai tengah I dari �

�=1

����,���,���,ℎ���⨂���,��,��,��� ≤ℜ��

untuk �= 1,2, … ,�

���,��,��,��� ≥ℜ0� ; �= 1,2, … ,� (MLP II)

�₃ =�nilai tengah II dari (�_�,�_�,�_�,�_�)⨂( �

�=1

��,��,��,��) Kendala

�nilai tengah II dari �

�=1

����,���,���,ℎ���⨂���,��,��,��� ≤ℜ��

Maks(Min)

Maks(Min)

���,��,��,��� ≥ℜ0� ; �= 1,2, … ,� (ULP)

�4 =�nilai atas dari (��,��,��,��)⨂( �

�=1

��,��,��,��) Kendala

�nilai atas dari �

�=1

����,���,���,ℎ���⨂���,��,��,��� ≤ℜ��

untuk �= 1,2, … ,�

���,��,��,��� ≥ℜ0� ; �= 1,2, … ,� (LLP)

�1 =�nilai bawah dari (��,��,��,��)⨂( �

�=1

��,��,��,��) Kendala

�nilai bawah dari �

�=1

����,���,���,ℎ���⨂���,��,��,��� ≤ℜ ��

untuk �= 1,2, … ,�

���,��,��,��� ≥ℜ0� ; �= 1,2, … ,�

2. Gunakan teknik penyelesaian pada program linier untuk mendapatkan penyelesaian optiml dari MLP I, MLP II, ULP, dan LLP

3. Penyelesaian optimal dari MLP I, MLP II, ULP, dan LLP merupakan penyelesaian optimal dari permasalahan program linier fuzzy penuh.

BAB 4 PEMBAHASAN

Diberikan sebuah permasalahan program linier fuzzy penuh tikutip dari tulisan A. Kumuar et all (2010) sebagai berikut:

Maksimumkan �̃=�(0,1,2,3)⊗ ��₁⊕(2,3,4,5)⊗ ��₂�

Kendala (1,2,3,4)⊗ ��₁⊕(−3,2,5,10)⊗ ��₂ ≤_ℜ(−15,10,32,72) (−2,3,5,6)⊗ ��1⊕(4,5,7,11)⊗ ��2 ≥ℜ(−8,21,48,76) (0,1,2,3)⊗ ��₁⊕(2,4,6,8)⊗ ��₂ = (2,14,32,58) ��1,��2adalah bilangan non-negativetrapezoidal fuzzy.

Langkah pertama, uraikan bentuk permasalahan program linier fuzzy penuh dengan menerapkan aritmatika perhitungan bilangan trapezoidal fuzzy ke dalam bentuk permasalahan program linier.

Maksimumkan �̃=�(0,1,2,3)⊗(�₁,�_1,�_1,�₁)⊕(2,3,4,5)⊗(�₂,�_2,�_2,�₂)� =�min(0�1, 0�1, 3�1, 3�1), min��1,�1,2�1,2�1�,

max��1,�1,2�1,2�1�, max(0�1, 0�1, 3�1, 3�1)

� ⨁ �min(2�2, 2�2, 5�2, 5�2), min�3�2, 3�2,4�2,4�2�,

max�3�2, 3�2,4�2,4�2�, max(2�2, 2�2, 5�2, 5�2)

� = (0�1,�1, 2�1, 3�1)⊕(2�2, 3�2, 4�2, 5�2)

=�(0�₁+ 2�2), (�1 + 3�2), (2�1+ 4�2), (3�1 + 5�2)�

Perhitungan yang sama juga dilakukan pada fungsi kendala, sehingga diperoleh: Kendala

((�₁−3�2), (2�1+ 2�2), (3�1+ 5�2), (4�1+ 10�2))≤ℜ(−15,10,32,74) ((−2�₁+ 4�₂), (3�₁+ 5�₂), (5�₁+ 7�₂), (6�₁+ 11�₂))≥_ℜ (−8,21,48,76) ((0�₁+�₂), (�₁+ 4�₂), (2�₁+ 6�₂), (3�₁+ 8�₂)) = (2,14,32,58)

Dari hasil penguraian permasalahan program linier fuzzy penuh tersebut, selanjutnya kelompokkan permasalahan tersebut menjadi empat bentuk persoalan CLP yaitu Middle Level Problem I (MLP I),Middle Level Problem II (MLP II),Upper Level Problem (ULP), dan Lower Level Problem (LLP) dan masing-masing diselesaikan dengan metodeBig M sebagai berikut:

Middle Level Problem I (MLP I)

Maksimumkan �₂ =�1 + 3�2

Kendala 2�₁ + 2�₂ ≤ 10 3�₁+ 5�₂ ≥ 21 �1+ 4�2 = 1

Bentuk umum:

Maksimumkan �₂ =�₁ + 3�₂ Kendala 2�₁ + 2�₂+�₄ = 10

3�1+ 5�2− �3+�5 = 21 �1+ 4�2+�6 = 14

Tabel 3.1 Tabel Simpleks Awal

Basis /C

1 3 0 0 -M -M

B

�1 �2 �3 �4 �5 �6

�4 0 2 2 0 1 0 0 10

�5 -M 3 5 -1 0 1 0 21

�6 -M 1 4 0 0 0 1 14

Zj - Cj -4M-1 -9M-3 M 0 0 0 -35M

Dari tabel 3.1terlihat bahwa penyelesaian optimal belum dicapai, karena nilai pada baris Zj - Cj< 0 (masih mengandung harga negatif). Harga Zj - Cj terkecildari tabel diatas adalah -9M-3, sehingga variabel yang masuk dalam basis adalahvariabel �₂, kolom variabel �₂menjadi kolom kunci, harga positif terkecil pada kolom� yang dapat masuk ke dalam basis adalah :

���� �10₂ ,21₅ ,14₄�= 14₄ = 3,5 Maka variabel �₆ keluar dari basis.

Tabel 3.2 Tabel Simpleks Iterasi 1

Basis /C

1 3 0 0 -M -M

B

�1 �2 �3 �4 �5 �6

�4 0

3

2 0 0 1 0 −

1

2 3

�5 -M

7

4 0 -1 0 1 −

5 4

7 2

�2 3

1

4 1 0 0 0

1 4

7 2

Zj - Cj −7

4M− 1

4 0 M 0 0

9 4M +

3

4 21M + 21

2

Dari tabel 3.2terlihat bahwa penyelesaian optimal masih belum dicapai, karena masih adanilai pada baris Zj - Cj< 0.Harga Zj - Cj terkecildari tabel diatas adalah −7

4M−

1

4, sehingga variabel yang masuk dalam basis adalahvariabel �1,kolom

variabel �₁menjadi kolom kunci, harga positif terkecil pada kolom�₁yang dapat masuk ke dalam basis adalah :

���� � 3 3 2 � , 7 2 � 7 4 � , 7 2 � 1 4 � �= 3 3 2 � = 2 Maka variabel �₄ keluar dari basis.

Tabel 3.3 Tabel Simpleks Iterasi 2

Basis /C

1 3 0 0 -M -M

B

�1 �2 �3 �4 �5 �6

�1 1 1 0 0

2

3 0 −

1

3 2

�5 -M 0 0 -1 −

7

6 1 −

2

3 0

�2 3 0 1 0 −

1

6 0

1

Zj - Cj 0 0 M 7 6M−

1

2 0

5

3M + 1 11

Karena nilai pada baris �_� − �_� ≥0, maka penyelesaian optimal telah terpenuhi dengan nilai maksimum �₂ = 11 untuk �₁ = 2 dan �₂ = 3.

Middle Level Problem II (MLP II)

Maksimumkan �₃ = 2�1 + 4�2

Kendala 3�₁+ 5�₂ ≤32 5�1+ 7�2 ≥48 2�1+ 6�2 = 32

Bentuk umum:

Maksimumkan �₃ = 2�₁ + 4�₂ Kendala 3�1+ 5�2+�4 = 32

5�1+ 7�2 − �3 +�5 ≥48 2�₁+ 6�₂ +�₆ = 32

Dengan perhitungan metode Big M diperoleh tabel optimal simpleks sebagai berikut:

Tabel 3.4 Tabel Optimal Simpleks MLP II

Basis /C

2 4 0 0 -M -M

B

�1 �2 �3 �4 �5 �6

�1 2 1 0 0

3

4 0 −

5

8 4

�5 -M 0 0 -1 −2 1

1

2 0

�2 4 0 1 0 −

1

4 0

3

8 4

Zj - Cj 0 0 0 _{2M +}1

2 0

1 2M +

1

4 24

Penyelesaian optimal telah terpenuhi dengan nilai maksimum �₃ = 24 untuk �1 = 4dan �2 = 4.

Upper Level Problem (ULP)

Maksimumkan �₄ = 3�1+ 5�2

Kendala 4�1+ 10�2 ≤ 74 6�₁ + 8�₂ ≥ 76

3�1+ 8�2 = 58

Bentuk umum:

Maksimumkan �₄ = 3�₁+ 5�₂ Kendala 4�1+ 10�2+�4 = 74

6�1 + 11�2− �3+�5 = 76 3�₁ + 8�₂+�₆ = 58

Dengan perhitunganmetode Big M diperoleh tabel optimal simpleks sebagai berikut:

Tabel 3.5 Tabel Optimal Simpleks ULP

Basis /C

3 5 0 0 -M -M

B

�1 �2 �3 �4 �5 �6

�1 3 1 0 0 4 0 −5 6

�2 5 0 1 0 −

3

2 0 2 5

�3 0 0 0 1

15

2 -1 −8 15

Zj - Cj 0 0 0 9

2 0 M−5 43

Penyelesaian optimal telah terpenuhi dengan nilai maksimum �₄ = 32 untuk �1 = 6dan �2 = 5.

Lower Level Problem (LLP)

Maksimumkan �₁ = 0�1+ 2�2

Kendala �₁−3�₂ ≤ −15 −2�1 + 4�2 ≥ −8

Untuk permaslahan ini dapat diperoleh penyelesaian secara langsung tanpa menggunkan metode Big M yaitu maksimum �₁ = 2 untuk �₁ = 0 dan �₂ = 1.

Berdasarka teori metode Bound and Decomposition, penyelesaian optimal dari MLP I, MLP II, ULP dan LLP merupakan penyelesaian dari permasalahan program linier fuzzy penuh. Dari proses perhitungan yang telah dilakukan diperoh penyelessaian untuk

LLP : maksimum �₁ = 2 untuk �₁ = 0 dan �₂ = 1 MLP I : maksimum �₂ = 11 untuk �₁ = 2 dan �₂ = 3 MLP II : maksimum �₃ = 24 untuk �₁ = 4 dan �₂ = 4 ULP : maksimum �₄ = 32 untuk �₁ = 6 dan �₂ = 5

Sehingga nilai maksimum �̃= (�₁,�₂,�₃,�₄) = (2, 11, 24, 32)untuk ��₁ = (�₁,�₁,�₁,�₁) = (0, 2, 4, 6)dan ��₂ = (�₂,�₂,�₂,�₂) = (1, 3, 4, 5).

Jika diujikan kembali ke dalam fungsi tujian dengan mensubstitusikan nilai ��₁ = (0, 2, 4, 6)dan ��₂ = (1, 3, 4, 5), maka akan diperoleh:

Maksimum�̃ =�(0,1,2,3)⊗ ��₁⊕(2,3,4,5)⊗ ��₂�

= �(0,1,2,3)⊗(�1,�1,�1,�1)⊕(2,3,4,5)⊗(�2,�2,�2,�2)� = ((0,1,2,3)⊗(0,2,4,6)⊕(2,3,4,5)⊗(1,3,4,5))

= �min(0,0,0,18), min(2,4,4,8), max(2,4,4,8), max(0,0,0,18)� ⨁ �min(2,10,5,25), min(9,12,12,16),_{max(9,12,12,16), max(2,10,5,25)}� = (0,2,8,18)⊕(2,9,16,25)

= �(0 + 2), (2 + 9), (8 + 16), (18 + 25)� = (2,11,24,43)

Dengan menggunakan fungsi rangking diperoleh penyelesaian optimal sebagai berikut:

ℜ(�̃) =1

Sehingga maksimum �̃ = 20.

Jadi, dengan menguraikan bentuk permasalahan program linier fuzzy penuh yang mana semua parameter dan variabelnya merupakan bilangan fuzzy menjadi bentuk program linier, yang artinya semua variabel dan parameternya berbentuk bilangan rill akan lebih mudah untuk menemukan penyelesaian optimalnya.

BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Metode Bound and Decomposition memberikan prosedur yang mudah dalam menentukan penyelesaian optimal dari permasalahan program linier fuzzy penuh. Dengan menguraikan permasalahn program linier fuzzy penuh ke dalam bentuk program linier, penyelesaian optimal akan mudah untuk diperoleh.

5.2 Saran

Penulis berharap ada penelitian lebih lanjut tentang cara menyelesaikan permasalahan Program Linier Fuzzy Penuhyang lebih praktis dan mudah dimengerti dan tidak hanya sebatas untuk bilangan trapezoidal fuzzy.

DAFTAR PUSTAKA

Afriani, A.T., Kusumastuti, N., dan Prihandono, B. 2012. Metode Simpleks Fuzzy untuk Permasalahn Pemograman Linier Variabel Trapezoidal Fuzzy.Buletin Ilmiah Mat.Stat. Dan Terapannya (Bimaster), Vol. 2, No.1, hal 23 – 30.

Allahviranloo, T., Lotfi, F.H., Kiasary, M.Kh., Kiani, N.A., and Alzadeh, L. 2008. Solving Fully Fuzzy Linear Programming Problem by Ranking Function.Applied Mathematical Sciences, Vol. 2, No. 1, 19 – 32.

Jayalakshmi, M. and Pandian, P. 2012. A New Method for Finding an Optimal Fuzzy Solution for Fully Fuzzy Linear Programming Problems.International Journl of Enginnering Research and Applications (IJERA), Vol 2, Issue 4, pp. 247-254.

Kumar, A. and Kaur, J. 2011. A New Method for Solving Fuzzy Linear Programs with Trapezoidal Fuzzy Number.Journal of Fuzzy Set Value Analysis, Vol. 2011, Article ID jfsva-00102, 12 pages.

Kusumadewi, Sri. 2002. Analisis & Desain Sistem Fuzzy Menggunakan Toolbox Mathlab. Yogjakarta: Graha Ilmu.

Nasseri, S.H., Ebrahimnejad, A., Mizuno, S. 2010. Duality in Fuzzy Linear Programming with Symmetric Trapezoidal Number.Aplication and Applied Mathematics: An International Journal (AAM), Vol 05, Issue 10, pp, 1467 – 1482.

Siagian, P. 2006. Penelitian Operasional : Teori dan Praktek. Jakarta: UI-Press. Siringoringo, Hotniar. 2005.Seri Teknik Riset Operasional. Pemrograman Linier.

Yogyakarta: Graha Ilmu.

Susilo, Frans. 2006. Himpuan & Logika Kabur Serta Aplikasinya. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Zj - Cj 0 0 M 7 6M−

1

2 0

5

3M + 1 11

Karena nilai pada baris �_� − �_� ≥0, maka penyelesaian optimal telah terpenuhi dengan nilai maksimum �2 = 11 untuk �1 = 2 dan �2 = 3.

Middle Level Problem II (MLP II) Maksimumkan �3 = 2�1 + 4�2

Kendala 3�₁+ 5�₂ ≤32 5�1+ 7�2 ≥48

2�1+ 6�2 = 32

Bentuk umum:

Maksimumkan �3 = 2�₁ + 4�₂

Kendala 3�1+ 5�2+�4 = 32

5�1+ 7�2 − �3 +�5 ≥48

2�₁+ 6�₂ +�₆ = 32

Dengan perhitungan metode Big M diperoleh tabel optimal simpleks sebagai berikut:

Tabel 3.4 Tabel Optimal Simpleks MLP II

Basis /C

2 4 0 0 -M -M

B

�1 �2 �3 �4 �5 �6

�1 2 1 0 0

3

4 0 −

5

8 4

�5 -M 0 0 -1 −2 1

1

2 0

�2 4 0 1 0 −

1

4 0

3

8 4

Zj - Cj 0 0 0 _{2M +}1

2 0

1 2M +

1

4 24

Penyelesaian optimal telah terpenuhi dengan nilai maksimum �3 = 24 untuk

Upper Level Problem (ULP) Maksimumkan �4 = 3�1+ 5�2

Kendala 4�1+ 10�2 ≤ 74 6�1 + 8�2 ≥ 76

3�1+ 8�2 = 58

Bentuk umum:

Maksimumkan �4 = 3�1+ 5�2

Kendala 4�1+ 10�2+�4 = 74 6�1 + 11�2− �3+�5 = 76 3�1 + 8�2+�6 = 58

Dengan perhitunganmetode Big M diperoleh tabel optimal simpleks sebagai berikut:

Tabel 3.5 Tabel Optimal Simpleks ULP

Basis /C

3 5 0 0 -M -M

B

�1 �2 �3 �4 �5 �6

�1 3 1 0 0 4 0 −5 6

�2 5 0 1 0 ₋3

2 0 2 5

�3 0 0 0 1 15

2 -1 −8 15

Zj - Cj 0 0 0 9

2 0 M−5 43

Penyelesaian optimal telah terpenuhi dengan nilai maksimum �4 = 32 untuk

�1 = 6dan �2 = 5.

Lower Level Problem (LLP) Maksimumkan �₁ = 0�1+ 2�2

Kendala �1−3�2 ≤ −15

−2�1 + 4�2 ≥ −8 0�1+ 2�2 = 2

Untuk permaslahan ini dapat diperoleh penyelesaian secara langsung tanpa menggunkan metode Big M yaitu maksimum �1 = 2 untuk �1 = 0 dan �2 = 1.

Berdasarka teori metode Bound and Decomposition, penyelesaian optimal dari MLP I, MLP II, ULP dan LLP merupakan penyelesaian dari permasalahan program linier fuzzy penuh. Dari proses perhitungan yang telah dilakukan diperoh penyelessaian untuk

LLP : maksimum �₁ = 2 untuk �1 = 0 dan �2 = 1

MLP I : maksimum �2 = 11 untuk �1 = 2 dan �2 = 3

MLP II : maksimum �3 = 24 untuk �₁ = 4 dan �₂ = 4

ULP : maksimum �4 = 32 untuk �1 = 6 dan �2 = 5

Sehingga nilai maksimum �̃= (�1,�2,�3,�4) = (2, 11, 24, 32)untuk ��1 = (�1,�1,�₁,�1) = (0, 2, 4, 6)dan ��2 = (�2,�2,�₂,�2) = (1, 3, 4, 5).

Jika diujikan kembali ke dalam fungsi tujian dengan mensubstitusikan nilai ��1 = (0, 2, 4, 6)dan ��2 = (1, 3, 4, 5), maka akan diperoleh:

Maksimum�̃ =�(0,1,2,3)⊗ ��1⊕(2,3,4,5)⊗ ��2�

= �(0,1,2,3)⊗(�1,�1,�1,�1)⊕(2,3,4,5)⊗(�2,�2,�2,�2)� = ((0,1,2,3)⊗(0,2,4,6)⊕(2,3,4,5)⊗(1,3,4,5))

= �min(0,0,0,18), min(2,4,4,8), max(2,4,4,8), max(0,0,0,18)� ⨁

�min(2,10,5,25), min(9,12,12,16),_{max(9,12,12,16), max(2,10,5,25)}�

= (0,2,8,18)⊕(2,9,16,25)

= �(0 + 2), (2 + 9), (8 + 16), (18 + 25)� = (2,11,24,43)

Dengan menggunakan fungsi rangking diperoleh penyelesaian optimal sebagai berikut:

ℜ(�̃) =1

Sehingga maksimum �̃ = 20.

Jadi, dengan menguraikan bentuk permasalahan program linier fuzzy penuh yang mana semua parameter dan variabelnya merupakan bilangan fuzzy menjadi bentuk program linier, yang artinya semua variabel dan parameternya berbentuk bilangan rill akan lebih mudah untuk menemukan penyelesaian optimalnya.

BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Metode Bound and Decomposition memberikan prosedur yang mudah dalam menentukan penyelesaian optimal dari permasalahan program linier fuzzy penuh. Dengan menguraikan permasalahn program linier fuzzy penuh ke dalam bentuk program linier, penyelesaian optimal akan mudah untuk diperoleh.

5.2 Saran

Penulis berharap ada penelitian lebih lanjut tentang cara menyelesaikan permasalahan Program Linier Fuzzy Penuhyang lebih praktis dan mudah dimengerti dan tidak hanya sebatas untuk bilangan trapezoidal fuzzy.

DAFTAR PUSTAKA

Afriani, A.T., Kusumastuti, N., dan Prihandono, B. 2012. Metode Simpleks Fuzzy

untuk Permasalahn Pemograman Linier Variabel Trapezoidal

Fuzzy.Buletin Ilmiah Mat.Stat. Dan Terapannya (Bimaster), Vol. 2, No.1, hal 23 – 30.

Allahviranloo, T., Lotfi, F.H., Kiasary, M.Kh., Kiani, N.A., and Alzadeh, L. 2008. Solving Fully Fuzzy Linear Programming Problem by Ranking Function.Applied Mathematical Sciences, Vol. 2, No. 1, 19 – 32.

Jayalakshmi, M. and Pandian, P. 2012. A New Method for Finding an Optimal Fuzzy Solution for Fully Fuzzy Linear Programming Problems.International Journl of Enginnering Research and Applications (IJERA), Vol 2, Issue 4, pp. 247-254.

Kumar, A. and Kaur, J. 2011. A New Method for Solving Fuzzy Linear Programs with Trapezoidal Fuzzy Number.Journal of Fuzzy Set Value Analysis, Vol. 2011, Article ID jfsva-00102, 12 pages.

Kusumadewi, Sri. 2002. Analisis & Desain Sistem Fuzzy Menggunakan Toolbox Mathlab. Yogjakarta: Graha Ilmu.

Nasseri, S.H., Ebrahimnejad, A., Mizuno, S. 2010. Duality in Fuzzy Linear Programming with Symmetric Trapezoidal Number.Aplication and Applied Mathematics: An International Journal (AAM), Vol 05, Issue 10, pp, 1467 – 1482.

Siagian, P. 2006. Penelitian Operasional : Teori dan Praktek. Jakarta: UI-Press. Siringoringo, Hotniar. 2005.Seri Teknik Riset Operasional. Pemrograman Linier.

Yogyakarta: Graha Ilmu.

Susilo, Frans. 2006. Himpuan & Logika Kabur Serta Aplikasinya. Yogyakarta: Graha Ilmu.