Permasalahan Kombinatorial Dalam Menyelesaikan Sistem Linier
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sistem persamaan linier dapat ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, bidang ekonomi, teknik listrik dan lain sebagainya.
Suatu sistem linier Ax = b, yang mempunyai satu dan hanya satu penyelesaian
untuk setiap sisi kanan b dan fokus pada sistem yang mempunyai jumlah persamaan tepat sama dengan jumlah variabelnya, yakni untuk matriks yang koefisiennya A dan dapat diinverskan.
Pada faktanya seringkali terdapat masalah dapat tidaknya suatu matriks
diinverskan, didasarkan pada konsep determinan. Teorema penting yang bersangkutan menyatakan bahwa matriks A mempunyai invers, jika hanya jika det
(A) 6= 0 (sebagaimana Dalil Cramer) yang menyatakan penyelesaian dari Ax = b
dalam determinan. Namun demikian, determinan tidak penting untuk praktek
penyelesaian sistem linier karena perhitungan determinan biasanya mempunyai
kesulitan yang sama dengan penyelesaian sistem linier. Karena alasan tersebut
determinan tidak digunakan dalam penyelesaian sistem linier dan juga tidak perlu
mendefinisikan determinan itu sendiri (Warsito, 2009).
Matriks yang berkaitan dengan sistem linier digolongkan dalam matriks padat (dense) dan matriks jarang (sparse). Matriks dense mempunyai sedikit sekali
entri nol dan orde matriks itu cenderung relatif kecil, mungkin berorde 100 atau
lebih kecil. Sedangkan matriks sparse mempunyai sedikit sekali entri tak nol dan
orde matriksnya cenderung besar. Dalam algoritma sparse, entri nol diabaikan sehingga dalam komputasinya lebih cepat dibandingkan jika mengoperasikan semua
entrinya. Karena orde matriks sparse yang besar, matriks sparse dapat menimbulkan sejumlah masalah kombinatorial.
Metode komputasi numerik untuk penyelesaian sistem persamaan linier dapat dibagi dalam dua jenis, langsung (direct) dan iteratif (iterative). Metode
langsung adalah metode yang tidak memiliki kesalahan dalam pembulatan atau
1
Universitas Sumatera Utara
2
lain-lainnya. Metode langsung akan memberikan penyelesaian yang tepat dalam
jumlah operasi aritmetika elementer yang jumlahnya terbatas. Metode dasar yang
digunakan adalah eliminasi Gauss dan ada beberapa pilihan metode yang bervariasi dalam efisiensi dan kecermatan perhitungan. Teknik kombinatorial telah memberikan kontribusi terhadap kinerja dalam semua tahapan proses penyelesaian
sistem linier sparse dengan metode langsung. Seperti penggunaan metode permutasi yang diterapkan untuk pertukaran baris dan kolom, metode pemotongan
bertingkat (nested dissection) berbasis ordering dan beberapa teknik kombinatorial lainnya.
Metode iteratif adalah metode yang dimulai dengan nilai pendekatan menggunakan algoritma yang sesuai, untuk mendapatkan hasil pendekatan yang lebih
baik. Metode iteratif bervariasi dalam algoritma dan kecepatan konvergensi.
Menggunakan metode iteratif merupakan salah satu cara menyelesaikan permasalahan kombinatorial dalam menyelesaikan sistem linier yang rumit. Metode iteratif menggunakan teknik preconditioning yang meliputi faktorisasi tidak lengkap
preconditioners, graf pendukung preconditioners dan aljabar multigrid.
Penggunaan teknik matriks preconditioning akan sangat mempercepat konvergensi. Selanjutnya dilakukan identifikasi matriks sparse dengan graf yang
menghasilkan analogi yang tepat terhadap algoritma pada graf dan memeriksa
analogi tersebut terhadap solusi yang diperoleh. Kelebihan metode iteratif adalah kesederhanaan dan keseragamannya dari operasi yang dilakukan.
Penelitian tentang komputasi kombinatorial ilmiah yang telah dilakukan
Hendrickson dan Pothen (2007) fokus pada peran yang memungkinkan algoritma kombinatorial dalam komputasi ilmiah yang mengamati berbagai aplikasi:
komputasi paralel, generasi mesh, solusi sistem linier sparse, diferensiasi otomatis untuk optimasi, fisika statistik, kimia komputasi, bioinformatika, pengolahan
informasi. Bollhofer dan Schenk (2004) memberikan gambaran aspek kombinatorial dari faktorisasi LU. Penelitian sebelumnya, yang dilakukan oleh Heath et
al. (1991) meneliti tentang algoritma paralel untuk faktorisasi Cholesky-sparse
dengan membahas isu yang berkaitan dengan paralelisasi dari langkah-langkah
utama dari pemecah langsung.
Universitas Sumatera Utara
3
Duff dan Ucar (2009) meneliti interaksi antara solusi sistem linier sparse
dan kombinatorika. Sebagian besar hubungan yang kuat berasal dari identifikasi
matriks sparse dengan graf sehingga sebagian algoritma berhubungan dengan matriks sparse memiliki pendekatan analogi atau analogi yang tepat untuk algoritma
pada graf. Pada akhirnya memeriksa analogi tersebut baik dalam hal solusi langsung persamaan linier sparse dan solusi dengan metode iteratif, terutama berfokus
pada preconditioning.
Brualdi dan Cvetkovic (2009) dalam bukunya mencakup perhitungan matriks standart di mana kombinatorial diangkat ke permukaan dan menggunakan
graf untuk menjelaskan perhitungan matriks standart. Isi buku tersebut termasuk kekuatan matriks dan deskripsi sistem linier dan kombinatorial menggunakan
graf berarah, graf-teoritis mendefinisikan determinan matriks, dan interpretasi invers matriks dan solusi sistem linier. Brualdi dan Ryser (1991) dan Saad (2003)
tentang sistem linier, matriks sparse dan metode-metode iteratif untuk sparse.
1.2 Perumusan Masalah
Sistem linier dan kombinatorial optimisasi merupakan topik yang sangat luas. Namun untuk permasalahan yang rumit, yang berukuran besar dan bersifat sparse
diperlukan perhitungan khusus untuk mendapatkan solusinya. Salah satu cara
yaitu dengan pendekatan graf menggunakan metode langsung. Dengan menggunakan metode tersebut akan meminimumkan waktu perhitungan yang menghasilkan solusi terbaik.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menyelesaikan sistem linier yang berukuran besar atau rumit dan bersifat sparse dengan pendekatan graf menggunakan metode
langsung.
Universitas Sumatera Utara
4
1.4 Manfaat Penelitian
Hasil yang diperoleh pada penelitian ini dapat menjadi bahan rujukkan dalam
permasalahan kombinatorial dalam menyelesaikan sistem linier.
1.5 Metodologi Penelitian
Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan. Untuk mengetahui metode yang memiliki solusi terbaik dalam menyelesaikan sistem linier dengan menggunakan pendekatan graf, berikut adalah langkah-langkah yang akan dilakukan
yaitu pada metode langsung, akan didiskusikan tentang matriks ordering (pengalamatan matriks), pencocokan bipartisi dan matriks skala untuk pivoting yang
lebih baik, penugasan dan penjadwalan untuk menyelesaikan multifrontal paralel.
Universitas Sumatera Utara
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sistem persamaan linier dapat ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, bidang ekonomi, teknik listrik dan lain sebagainya.
Suatu sistem linier Ax = b, yang mempunyai satu dan hanya satu penyelesaian
untuk setiap sisi kanan b dan fokus pada sistem yang mempunyai jumlah persamaan tepat sama dengan jumlah variabelnya, yakni untuk matriks yang koefisiennya A dan dapat diinverskan.
Pada faktanya seringkali terdapat masalah dapat tidaknya suatu matriks
diinverskan, didasarkan pada konsep determinan. Teorema penting yang bersangkutan menyatakan bahwa matriks A mempunyai invers, jika hanya jika det
(A) 6= 0 (sebagaimana Dalil Cramer) yang menyatakan penyelesaian dari Ax = b
dalam determinan. Namun demikian, determinan tidak penting untuk praktek
penyelesaian sistem linier karena perhitungan determinan biasanya mempunyai
kesulitan yang sama dengan penyelesaian sistem linier. Karena alasan tersebut
determinan tidak digunakan dalam penyelesaian sistem linier dan juga tidak perlu
mendefinisikan determinan itu sendiri (Warsito, 2009).
Matriks yang berkaitan dengan sistem linier digolongkan dalam matriks padat (dense) dan matriks jarang (sparse). Matriks dense mempunyai sedikit sekali
entri nol dan orde matriks itu cenderung relatif kecil, mungkin berorde 100 atau
lebih kecil. Sedangkan matriks sparse mempunyai sedikit sekali entri tak nol dan
orde matriksnya cenderung besar. Dalam algoritma sparse, entri nol diabaikan sehingga dalam komputasinya lebih cepat dibandingkan jika mengoperasikan semua
entrinya. Karena orde matriks sparse yang besar, matriks sparse dapat menimbulkan sejumlah masalah kombinatorial.
Metode komputasi numerik untuk penyelesaian sistem persamaan linier dapat dibagi dalam dua jenis, langsung (direct) dan iteratif (iterative). Metode
langsung adalah metode yang tidak memiliki kesalahan dalam pembulatan atau
1
Universitas Sumatera Utara
2
lain-lainnya. Metode langsung akan memberikan penyelesaian yang tepat dalam
jumlah operasi aritmetika elementer yang jumlahnya terbatas. Metode dasar yang
digunakan adalah eliminasi Gauss dan ada beberapa pilihan metode yang bervariasi dalam efisiensi dan kecermatan perhitungan. Teknik kombinatorial telah memberikan kontribusi terhadap kinerja dalam semua tahapan proses penyelesaian
sistem linier sparse dengan metode langsung. Seperti penggunaan metode permutasi yang diterapkan untuk pertukaran baris dan kolom, metode pemotongan
bertingkat (nested dissection) berbasis ordering dan beberapa teknik kombinatorial lainnya.
Metode iteratif adalah metode yang dimulai dengan nilai pendekatan menggunakan algoritma yang sesuai, untuk mendapatkan hasil pendekatan yang lebih
baik. Metode iteratif bervariasi dalam algoritma dan kecepatan konvergensi.
Menggunakan metode iteratif merupakan salah satu cara menyelesaikan permasalahan kombinatorial dalam menyelesaikan sistem linier yang rumit. Metode iteratif menggunakan teknik preconditioning yang meliputi faktorisasi tidak lengkap
preconditioners, graf pendukung preconditioners dan aljabar multigrid.
Penggunaan teknik matriks preconditioning akan sangat mempercepat konvergensi. Selanjutnya dilakukan identifikasi matriks sparse dengan graf yang
menghasilkan analogi yang tepat terhadap algoritma pada graf dan memeriksa
analogi tersebut terhadap solusi yang diperoleh. Kelebihan metode iteratif adalah kesederhanaan dan keseragamannya dari operasi yang dilakukan.
Penelitian tentang komputasi kombinatorial ilmiah yang telah dilakukan
Hendrickson dan Pothen (2007) fokus pada peran yang memungkinkan algoritma kombinatorial dalam komputasi ilmiah yang mengamati berbagai aplikasi:
komputasi paralel, generasi mesh, solusi sistem linier sparse, diferensiasi otomatis untuk optimasi, fisika statistik, kimia komputasi, bioinformatika, pengolahan
informasi. Bollhofer dan Schenk (2004) memberikan gambaran aspek kombinatorial dari faktorisasi LU. Penelitian sebelumnya, yang dilakukan oleh Heath et
al. (1991) meneliti tentang algoritma paralel untuk faktorisasi Cholesky-sparse
dengan membahas isu yang berkaitan dengan paralelisasi dari langkah-langkah
utama dari pemecah langsung.
Universitas Sumatera Utara
3
Duff dan Ucar (2009) meneliti interaksi antara solusi sistem linier sparse
dan kombinatorika. Sebagian besar hubungan yang kuat berasal dari identifikasi
matriks sparse dengan graf sehingga sebagian algoritma berhubungan dengan matriks sparse memiliki pendekatan analogi atau analogi yang tepat untuk algoritma
pada graf. Pada akhirnya memeriksa analogi tersebut baik dalam hal solusi langsung persamaan linier sparse dan solusi dengan metode iteratif, terutama berfokus
pada preconditioning.
Brualdi dan Cvetkovic (2009) dalam bukunya mencakup perhitungan matriks standart di mana kombinatorial diangkat ke permukaan dan menggunakan
graf untuk menjelaskan perhitungan matriks standart. Isi buku tersebut termasuk kekuatan matriks dan deskripsi sistem linier dan kombinatorial menggunakan
graf berarah, graf-teoritis mendefinisikan determinan matriks, dan interpretasi invers matriks dan solusi sistem linier. Brualdi dan Ryser (1991) dan Saad (2003)
tentang sistem linier, matriks sparse dan metode-metode iteratif untuk sparse.
1.2 Perumusan Masalah
Sistem linier dan kombinatorial optimisasi merupakan topik yang sangat luas. Namun untuk permasalahan yang rumit, yang berukuran besar dan bersifat sparse
diperlukan perhitungan khusus untuk mendapatkan solusinya. Salah satu cara
yaitu dengan pendekatan graf menggunakan metode langsung. Dengan menggunakan metode tersebut akan meminimumkan waktu perhitungan yang menghasilkan solusi terbaik.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menyelesaikan sistem linier yang berukuran besar atau rumit dan bersifat sparse dengan pendekatan graf menggunakan metode
langsung.
Universitas Sumatera Utara
4
1.4 Manfaat Penelitian
Hasil yang diperoleh pada penelitian ini dapat menjadi bahan rujukkan dalam
permasalahan kombinatorial dalam menyelesaikan sistem linier.
1.5 Metodologi Penelitian
Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan. Untuk mengetahui metode yang memiliki solusi terbaik dalam menyelesaikan sistem linier dengan menggunakan pendekatan graf, berikut adalah langkah-langkah yang akan dilakukan
yaitu pada metode langsung, akan didiskusikan tentang matriks ordering (pengalamatan matriks), pencocokan bipartisi dan matriks skala untuk pivoting yang
lebih baik, penugasan dan penjadwalan untuk menyelesaikan multifrontal paralel.
Universitas Sumatera Utara