T1__Full text Institutional Repository | Satya Wacana Christian University: Skim Penjumlahan Bilangan Bulat oleh Siswa SD T1 Full text
SKIM PENJUMLAHAN BILANGAN BULAT
OLEH SISWA SD
JURNAL
Diajukan untuk memenuhi syarat guna mencapai Gelar Sarjana
Program Studi S1 Pendidikan Matematika
Disusun Oleh
Ayu Ostyaningsih
202013020
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA
SALATIGA
2017
SKIM PENJUMLAHAN BILANGAN BULAT OLEH SISWA SD
Ayu Ostyaningsih1
Sutriyono2
202013020@student.uksw.edu1, sutriyono@staff.uksw.edu2
Program Studi Pendidikan Matematika
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponogoro 52-60 Salatiga
ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui secara pasti tentang skim penjumlahan bilangan bulat yang
dimiliki oleh siswa SD. Penelitian ini berjenis kualitatif deskriptif, untuk mengetahui skim
penjumlahan bilangan bulat. Subjek dalam penelitian ini adalah siswa kelas V SD yang terdiri dari 4
siswa perempuan. Data diperoleh dari jawaban tertulis atas tes dan wawancara, ditemukan bahwa
terdapat empat skim penjumlahan bilangan bulat. Empat skim tersebut antara lain skim penjumlahan
bersusun, skim garis bilangan, skim menjumlah dengan jari dan skim hutang piutang. Ditemukan
bahwa pada keempat subjek memiliki skim lebih dari satu dan tiap subjek memiliki skim yang
berbeda-beda.
Kata Kunci: Skim, Penjumlahan Bilangan Bulat
dua bilangan bulat bertanda sama dan
penjumlahan dua bilangan bulat tanda
berlawanan. Hasil dari penjumlahan
bilangan bulat dapat berupa bilangan
positif, negatif, atau nol.
Sementara itu, kajian yang mencoba
melihat dan melibatkan proses mental
sewaktu siswa menyelesaikan operasi
penjumlahan bilangan bulat masih sulit
dijumpai. Mengetahui cara berpikir siswa
untuk dapat mengenal secara pasti cara
pemikiran yang ada dalam diri siswa. Guru
dapat memberikan bimbingan yang tepat
sesuai pola pikir yang telah dimiliki oleh
siswa. Menurut Sutriyono (2002: 153)
dalam menyelesaikan soal, banyak jawaban
yang sama dari beberapa siswa tetapi cara
berpikir yang digunakan siswa sangat
berbeda antara siswa satu dengan siswa
yang lainnya, mungkin siswa masih
menggunakan cara berpikir primitif tetapi
mungkin saja telah menggunakan corak
berpikir yang canggih.
PENDAHULUAN
Matematika merupakan salah satu mata
pelajaran yang diajarkan di tingkat
pendidikan jenjang SD, SMP, dan SMA.
Pada pembelajaran matematika pada satuan
pendidikan SD mempunyai tahapantahapan aspek yang berurutan, meliputi:
bilangan, geometri dan pengukuran serta
pengolahan data, (Fathani, 2012: 144).
Salah satu aspek atau tahapan yang pertama
dalam pembelajaran matematika adalah
bilangan.
Operasi
bilangan
pada
pembelajaran
matematika
meliputi
penjumlahan, pengurangan, perkalian,
pembagian, operasi hitung campuran dan
penarikan akar pangkat.
Penjumlahan adalah salah satu operasi
aritmatika dasar. Penjumlahan merupakan
penambahan sekelompok bilangan yang
merupakan jumlah. Penjumlahan ditulis
dengan menggunakan tanda tambah “+”
diantara kedua bilangan.
Operasi hitung penjumlahan bilangan
bulat terdapat dua jenis yaitu penjumlahan
2
Identifikasi corak berpikir siswa sangat
penting
untuk
mengembangkan
pengetahuan dalam diri siswa dengan skim
yang kelih canggih dari skim yang ada
dalam diri siswa sebelumnya (Afriani,
2009). Skim merupakan tindakan operasi
yang digunakan untuk menggeneralisasikan
obyek tertentu (Hackenberg Tillema, 2009).
Pola-pola tindakan dan operasi yang
berlaku secara berulang kali dan relatif
tetap
dalam
setiap
situasi
yang
diperhatikan, dapat menjadi dasar untuk
pembetukan model skim yang dimiliki oleh
siswa (Sutriyono, 2012). Skim digunakan
untuk
mengetahui
konstruksi
yang
memberikan penjelasan tindakan dan model
struktur kognitif siswa (McCloskey,
Norton, 2009). Skim merupakan satu
susunan tiga serangkai yang terdiri dari
suasana pencetus, tindakan atau operasi,
dan hasil yang diharapkan. Menurut Piaget
(dalam Sutriyono, 2007) semua tindakan
yang diulangi atau dirumuskan melalui
pengalaman baru dapat dianggap sebagai
skim. Skim dapat menjelaskan dan
memprediksi tindakan operasi pikiran yang
dimiliki siswa. Faham ini menganggap
skim matematika yang dikonstruksi oleh
siswa sebagai hasil dari proses refleksi dan
abstraksi (Sutriyono, 2012; Sagala, 2012).
Kajian penelitian yang relevan yang
menyinggung
tentang
penjumlahan
bilangan bulat telah dilakukan oleh Steffe
(1983) dengan judul “Children’s Algoritms
ass Schemes” mencoba mengkaji kualitas
penyelesaian yang digunakan pada soal
penambahan siswa berumur 7 tahun dengan
tujuan
untuk
mengkaji
kualitas
penyelesaian yang digunakan pada soal
penambahan. Hasil wawancara menunjukan
bahwa dalam operasi penambahan bilangan
bulat yang sama, dua siswa menggunakan
skim yang berbeda. Seorang siswa
menggunakan skim operatif, manakala
siswa yang lain menggunakan skim
membilang figurative. Penelitian yang
dilakukan Sutriyono (2012) yang berjudul
“Skim Pengurangan Bilangan Bulat Siswa
SD Kelas 2 & 3” menunjukkan bahwa
siswa pada peringkat kognitif yang sama
tidak selalu mempunyai skim pengurangan
bilangan bulat yang sama pula. Kondisi
tersebut menunjukkan bahwa tidak selalu
pengajaran yang diberikan oleh guru
dipahami secara sama pula oleh semua
siswa. Oleh karena itu guru harus
memberikan berbagai pendekatan dalam
mengajar pengurangan bilangan bulat yang
berpadukan
kepada
mutu
skim
pengurangan
bilangan
bulat
yang
mempunyai siswa guna membantu siswa
mengkonstruksi
skim
pengurangan
bilangan bulat telah diperoleh.
Begitu pentingnya mengetahui corak
berpikir yang dipunyai siswa khususnya
materi penjumlahan bilangan bulat dan
untuk membantu guru mengajarkan materi
sesuai dengan skim yang dipunyai siswa
menjadi dasar pemilihan topik skim
penjumlahan bilangan bulat.
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk
mengetahui secara pasti skim pejumlahan
bilangan bulat yang dimiliki oleh siswa
kelas 5 SD. Penelitian ini diharapkan dapat
membantu siswa dalam mengetahui skim
penjumlahan bilangan bulat yang dimiliki
sehingga siswa dapat mengembangkan
skim yang telah ada dan dapat memberikan
pengetahuan bagi guru tentang skim
penjumlahan bilangan bulat yang dimiliki
siswa, sehingga guru dapat mengetahui
pola pikir yang dimiliki siswa dalam
menyelesaikan persoalan yang berkaitan
dengan penjumlahan bilangan bulat.
METODE PENELITIAN
Jenis penelitian yang digunakan dalam
penelitian ini adalah penelitian deskriptif
3
membahas jenis-jenis skim penjumlahan
bilangan bulat yang dimiliki oleh siswa.
kualitatif. Subjek dalam penelitian ini
adalah siswa SD kelas V. Subjek penelitian
ini ditentukan dengan menggunakan teknik
purposive
sampling,
yakni
suatu
pengambilan sampel sebagai sumber data
dengan berdasarkan pada tujuan dan
pertimbangan tertentu (Sugiyono, 2010).
Pengambilan sampel penelitian adalah
berdasarkan pada hal-hal berikut 1)
Kebersediaan subjek untuk terlibat secara
aktif dalam penelitian, 2) Kesanggupan
subjek
untuk
diwawancarai,
3)
Memperoleh izin dari orang tua subjek, 4)
Kepercayaan orang tua bahwa subjek akan
melibatkan diri secaara aktif dalam
kegiatan wawancara. Penelitian dilakukan
pada bulan Februari 2017 pada semester 2.
Teknik pengumpulan data yang
diperlukan dalam penelitian ini adalah
dengan melakukan triangulasi, yaitu
observasi, wawancara dan dokumentasi
(Sugiyono, 2010). Instrumen utama dalam
penelitian ini adalah peneliti sendiri, tetapi
dalam penelitian ini terdapat instrumen
pendukung berupa soal uraian secara
simbolik.
Tahap analisis data merupakan proses
penyusunan
data
agar
dapat
diinterpretasikan. Langkah-langkah yang
dilakukan dalam analisis data dalam
penelitian ini terdapat 4 tahap yaitu 1) data
collection memindahkan video dan hasil
rekaman wawancara, 2) data reduction
yaitu mendiskripsikan identitas subjek,
memilih hal-hal pokok, memfokuskan pada
hal-hal yang penting, 3) data display yaitu
menyajikan data dengan mengelompokkan
pola-pola perilaku yang ditunjukkan siswa
dalam menyelesaikan soal, 4) conclution
drawing/ verification yaitu merumuskan
skim berdasarkan pola tingkah laku yang
telah dikenal pasti (Huberman dalam
Sugiyono, 2007: 337). Analisis ini hanya
HASIL
Bentuk soal a + b = □, a + (-b) = □, -a
+ b = □, dan -a + (-b) = □ diberikan dalam
3 soal secara simbolik. Keempat bentuk
soal tersebut terdiri dari tiga kriteria soal
berdasarkan pada jenis sukunya. Kriteria
pertama adalah penjumlahan 1 digit dengan
1 digit, kriteria kedua adalah penjumlahan
2 digit dengan 1 digit, dan kriteria ketiga
adalah penjumlahan 2 digit dengan 2 digit.
1. Bentuk Penjumlahan a + b = □
Subjek
menyelesaikan
bentuk
penjumlahan a + b = □ dengan
berbagai cara, antara lain sebagi
berikut:
a. Menjumlah
dengan
cara
bersusun
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 4
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan cara bersusun.
Pada kriteria 2 digit + 1 digit
mereka menjumlahkan bilangan
bernilai satuan dengan satuan lalu
menurunkan bilangan bernilai
puluhan. Sedangkan pada kriteria
2 digit + 2 digit mereka
menjumlahkan bilangan bernilai
satuan
dengan
satuan
lalu
menjumlahkan bilangan bernilai
puluhan dengan puluhan.
b. Menjumlah
dengan
menggunakan garis bilangan
Garis bilangan adalah gambar
garis tempat bilangan-bilangan
ditulis dari yang terkecil hingga
yang terbesar. Hasil dari penelitian
ini menunjukkan bahwa terdapat 4
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan menggunakan
garis bilangan. Dalam menghitung
4
hasil penjumlahan bilangan bulat
positif ini mereka menggambarkan
garis bilangan beserta menuliskan
bilangan
yang
dijumlahkan.
Bilangan
yang
dijumlahkan
digambarkan dengan setengah
lingkaran tepat diatas garis
bilangan.
c. Menjumlah
dengan
menggunakan jari
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 1
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan menggunakan
jari. Mereka menjumlahkan kedua
bilangan
tersebut
dengan
menggunakan 10 jari jika hasil
dari kedua bilangan itu tidak lebih
dari 10. Tetapi, pada saat mereka
menjumpai soal yang hasilnya
melebihi
10,
mereka
menjumlahkan dengan angka yang
bernilai besar dengan cara
mengucapkan
dengan
mulut
sedangkan angka yang lebih kecil
menggunakan jari, kemudian
dijumlahkan
degan
cara
meneruskan angka yang telah
diucapkan dengan angka yang di
jari.
penjumlahan
pertama
yang
bernilai positif dengan bilangan
kedua yang bernilai negatif dengan
memperhatikan nilai tempat.
b. Menjumlah
dengan
menggunakan garis bilangan
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 3
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan menggunakan
garis bilangan. Dalam menghitung
hasil penjumlahan bilangan bulat
positif dengan negatif ini mereka
menggambarkan garis bilangan
beserta menuliskan bilangan yang
dijumlahkan.
Bilangan
yang
dijumlahkan digambarkan dengan
bentuk setengah lingkaran tepat
diatas garis bilangan yang berjalan
ke arah kiri.
c. Menjumlah
dengan
menggunakan jari
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 1
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan menggunakan
jari.
Subjek
menghitungnya
dengan menyebutkan bilangan
pertama atau bilangan yang lebih
besar di sebutkan sedangkan untuk
bilangan
kedua
subjek
menggunakan jarinya. Kemudian,
mengurangkan kedua bilangan
tersebut.
d. Menjumlah
dengan
menggunakan konsep hutang
piutang
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 2
subjek yang menggunakan konsep
hutang piutang. Subjek tersebut
mengumpamakan bahwa bilangan
yang bernilai positif sebagai alat
untuk
membayar
hutang,
2. Bentuk Penjumlahan a + (-b) = □
Subyek
menyelesaikan
bentuk
penjumlahan a + (-b) = □ dengan
berbagai cara, antara lain sebagi
berikut:
a. Menjumlah
dengan
cara
bersusun
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 4
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan cara bersusun.
Mereka
menghitung
dengan
mengurangkan
bilangan
5
sedangkan bilangan yang bernilai
negatif itu sebagai hutang. Jadi,
jika bilangan yang bernilai positif
itu lebih besar daripada angka
yang bernilai negatif hasil
penjumlahan tersebut pasti bernilai
positif.
dan digambarkan dengan bentuk
setengah lingkaran tepat diatas
garis bilangan yang berjalan ke
arah kiri.
c. Menjumlah
dengan
menggunakan jari
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 1
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan menggunakan
jari.
Subjek
menghitungnya
dengan menyebutkan bilangan
pertama atau bilangan yang lebih
besar di sebutkan sedangkan untuk
bilangan
kedua
subyek
menggunakan jarinya. Kemudian,
mengurangkan kedua bilangan
tersebut.
d. Menjumlah
dengan
menggunakan konsep hutang
piutang
Hasil dari penelitian ini
menunjukan bahwa terdapat 2
subjek yang menggunakan konsep
hutang
piutang.
Subjek
mengumpamakan jika bilangan
pertama bernilai negatif itu
sebagai hutang dan bilangan kedua
bernilai positif sebagai alat untuk
melunasi hutang tersebut. Jadi,
jika bilangan pertama bernilai
negatif
lebih
besar
dari
penjumlahan bilangan kedua yang
benilai positif maka hasil dari
penjumlahan tersebut dikatakan
sebagai sisa hutang yang masih
harus dibayarkan maka hasil
tersebut bernilaikan negatif.
3. Bentuk Penjumlahan -a + b = □
Subjek
menyelesaikan
bentuk
penjumlahan -a + b = □ dengan
berbagai cara, antara lain sebagi
berikut:
a. Menjumlah
dengan
cara
bersusun
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 4
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan cara bersusun.
Pada penjumlahan ini mereka
menempatkan bilangan terbesar
pada baris pertama dan bilangan
terkecil di baris kedua, kemudian
mengurangkan kedua bilangan
tersebut. Bilangan pertama benilai
negatif dan lebih besar daripada
bilangan kedua yang
bernilai
positif,
maka
hasil
dari
penjumlahan bilangan tersebut
akan bernilai negatif.
b. Menjumlah
dengan
menggunakan garis bilangan
Hasil dari penelitian ini
menunjukan bahwa terdapat 3
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan menggunakan
garis bilangan. Dalam menghitung
hasil penjumlahan bilangan bulat
negatif dengan positif ini mereka
menggambarkan garis bilangan
beserta menuliskan bilangannya
dan menetapkan angka pertama
dalam
soal
tersebut
lalu
dijumlahkan dengan angka kedua
4. Bentuk Penjumlahan -a + (-b) = □
Subjek
menyelesaikan
bentuk
penjumlahan -a + (-b) = □ dengan
berbagai cara, antara lain sebagi
berikut:
6
a. Menjumlah
dengan
cara
bersusun
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 4
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan cara bersusun.
Pada kriteria 2 digit + 1 digit
mereka menjumlahkan bilangan
bernilai satuan dengan satuan lalu
menurunkan bilangan bernilai
puluhan. Sedangkan pada kriteria
2 digit + 2 digit mereka
menjumlahkan bilangan bernilai
satuan
dengan
satuan
lalu
menjumlahkan bilangan bernilai
puluhan dengan puluhan. Jika
pada penjumlahan satuan dengan
satuan tersebut hasilnya lebih dari
9 maka hasil penjumlahan itu
hanya
ditulis
bilangan
belakangnya saja atau bilangan
yang sebagai satuan dan bilangan
pertama yang sebagai puluhan
ditambahkan dengan puluhan
dengan puluhan.
b. Menjumlah
dengan
menggunakan garis bilangan
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 4
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan menggunakan
garis bilangan. Dalam menghitung
hasil penjumlahan bilangan bulat
negatif dengan negatif ini mereka
menggambarkan garis bilangan
beserta menuliskan bilangannya
dan menetapkan bilangan pertama
dalam
soal
tersebut
lalu
dijumlahkan dengan bilangan
kedua dan digambarkan dengan
bentuk setengah lingkaran yang
berjalan ke arah kiri.
c. Menjumlah
dengan
menggunakan jari
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 1
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan menggunakan
jari. Subjek menjumlahkan kedua
bilangan
tersebut
dengan
menggunakan
10
jari
jika
penjumlahan dari kedua bilangan
tersebut
memungkinkan
menggunakan 10 jari. Tetapi, saat
subjek menjumpai soal yang salah
satu bilangannya melebihi 10 jari,
mereka menjumlahkan dengan
bilangan yang bernilai besar
dengan cara mengucapkan dengan
mulut sedangkan bilangan yang
lebih kecil menggunakan jari,
kemudian dijumlahkan degan cara
mneruskan bbilangan yang telah
diucapkan dengan bilangan di jari.
Karena kedua bilangan tersebut
sama-sama bernilai negatif maka
hasil dari penjumlahan tersebut
juga bernilai negatif.
d. Menjumlah
dengan
menggunakan konsep hutang
piutang
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 2
subjek yang menggunakan konsep
hutang
piutang.
Subjek
mengumpamakan jika subjek yang
bernilai negatif itu sebagai hutang
dan kedua bilangan penjumlahan
tersebut bernilai negatif maka
hutang ditambah dengan hutang
maka hutangnya akan bertambah.
Jadi, hasil penjumlahan kedua
bilangan bernilai negatif tersebut
pasti akan bernilai negatif juga.
7
PEMBAHASAN
Berdasarkan analisis pekerjaan subjek
dan wawancara, terdapat empat skim
penjumlahan
bilangan
bulat
telah
teridentifikasi dalam penelitian ini. Skim
terdapat 3 urutan komponen dasar
diantaranya adalah pencetus, tindakan dan
operasi, serta hasil yang diharapkan.
Melalui kajian ini diketahui bahwa semua
subjek mempunyai lebih dari satu skim,
akan tetapi tetap ditemukan skim yang
dominan yang dimiliki oleh subjek.
a. Skim Penjumlahan Bersusun
Skim penjumlahan bersusun ini
digunakan subjek untuk menyelesaikan
soal yang bersifat simbolik. Pencetus
skim ini adalah dua bilangan yang
disusun dalam bentuk bersusun,
dimana
penjumlahan
dilakukan
mengikuti nilai tempat. Tindakan dan
operasi dalam skim ini melibatkan
aktivitas penjumlahan mengikuti nilai
tempat. Hasil yang diharapkan dari
skim
ini
adalah
keseluruhan
penjumlahan yang dilakukan disetiap
nilai tempat.
Berikut contoh pekerjaan subjek
dengan menggunakan penjumlahan
bersusun dapat dilihat pada gambar 1
beserta petikan wawancara.
:
:
:
:
:
S
:
P
:
S
:
b. Skim Garis Bilangan
Skim garis bilangan ini digunakan
subjek untuk menyelesaikan soal yang
bersifat simbolik. Pencetus skim ini
adalah sebagi berikut 1) dalam konteks
a + b, bilangan a ditafsirkan sebagai
jarak satuan pergerakan dari titik 0
(nol) ke kanan dan bilangan b
ditafsirkan sebagai jarak satuan
pergerakan kanan apakah mulai dari
titik 0 (nol) atau yang lain, 2) dalam
konteks a + (-b), bilangan a ditafsirkan
sebagai jarak satuan pergerakan dari
titik 0 (nol) ke kanan dan bilangan (-b)
ditafsirkan sebagai jarak satuan
pergerakan ke kiri apakah mulai dari
titik 0 (nol) atau yang lain, 3) dalam
konteks –a + b, bilangan (–a)
ditafsirkan sebagai jarak satuan
pergerakan dari titik 0 (nol) ke kiri dan
bilangan b ditafsirkan sebagai jarak
satuan dengan pergerakan ke kanan
apakah mulai dari titik 0 (nol) atau
yang lain, 4) dalam konteks –a + (-b),
bilangan (–a) ditafsirkan sebagai jarak
satuan pergerakan dari titik 0 (nol) ke
kiri dan bilangan (-b) ditafsirkan
sebagai
jarak
satuan
dengan
pergerakan ke kiri apakah mulai dari
Gambar 1
Skim Penjumlahan Bersusun
P
S
P
S
P
belas hasilnya berapa?
Dua puluh tujuh
Mengerjakan
soal
tersebut
menggunakan cara apa?
Dengan
menggunakan
cara
bersusun
Jelaskan
bagaimana
cara
menghitung dengan menggunakan
cara bersusun!
Lima belas ditambah dua belas.
Lima ditambah dua hasilnya tujuh.
Kemudian, satu ditambah satu
hasilnya dua. Jadi, hasil dari lima
belas ditambah dua belas adalah
dua puluh tujuh
Peneliti
Subjek
Pada soal, lima belas ditambah dua
8
titik 0 (nol) atau yang lain. Tindakan
dan operasi dalam skim ini dengan
beberapa
pergerakan
melibatkan
aktivitas berikut melukis garis lurus
dengan menandakan titik yang
berkaitan, melukis garis dari titik 0
(nol) ke kanan jika bilangan tertambah
bernilai positif, melukis garis dari titik
0 (nol) ke kiri jika bilangan tertambah
negatif, melukis garis ke kiri atau ke
kanan sejauh bilangan penjumlahnya,
dan menentukan titik akhir dari
pergerakan atau bilangan diantara dua
titik terakhir dari dua pergerakan ke
kanan atau ke kiri yang bermula dari
titik 0 (nol). Hasil yang diharapkan
adalah titik terakhir dari pergerakan
atau banyaknya unit diantara dua titik
pergerakan tersebut.
Berikut contoh pekerjaan subjek
dengan menggunakan penjumlahan
bersusun dapat dilihat pada gambar 2
beserta petikan wawancara.
:
:
:
S
P
:
:
S
:
:
S
:
Bagaimana
cara
menghitung
dengan
menggunakan
garis
bilangan?
Dari nol berjalan kearah kanan ke
bilangan sebelas lalu ditambah
empat ke kanan. Jadi, hasil dari
dsebelas ditambah empat yaitu lima
belas
c. Skim Menjumlah dengan Jari
Skim menjumlah dengan jari ini
digunakan subjek untuk menyelesaikan
soal yang bersifat simbolik. Pencetus
skim ini adalah membetuk jari
sejumlah kedua bilangan penjumlahan
tersebut. Tindakan dan operasi untuk
skim ini melibatkan aktivitas dengan
menjumlah kedua bilangan tersebut
dengan jari. Hasil yang diharapkan
jumlah
bilangan
terakhir
pada
penjumlahan bilangan yang telah di
bentuk dengan jari.
Berikut adalah petikan wawancara
subjek tentang menjumlah dengan
menggunakan jari.
Gambar 2
Skim Garis Bilangan
P
S
P
P
Peneliti
Subjek
Berapakah hasil penjumlahan dari
sebelas ditambah empat?
Lima belas
Mengerjakan soal itu dengan cara
apa?
Dengan garis bilangan
P
S
P
:
:
:
S
P
:
:
S
P
:
:
S
:
Peneliti
Subjek
Pada soal no 1, tiga ditambah lima
hasilnya berapa?
Hasilnya delapan
Mengerjakan soal itu dengan cara
apa?
Dengan jari
Jadi bagaimana cara menghitung
dengan menggunkan jari?
Jadi, lima di mulut dan pada tangan
membentuk jari sebanyak tiga.
Kemudian, enam, tujuh, delapan
(melanjutkan
dengan
menjumlahkan bilangan pada jari)
d. Skim Hutang Piutang
Skim hutang piutang ini digunakan
subjek untuk menyelesaikan soal yang
bersifat simbolik. Pencetus skim ini
adalah memisalkan bilangan yang
9
berbagai bentuk soal yang dilakukan oleh
bernilai negatif sebagai hutang dan
bilangan yang bernilai positif sebagai
bilangan yang digunakan untuk
membayar hutang tersebut. Tindakan
dan operasi ini melibatkan aktivitas
penjumlahan kedua bilangan tersebut
dengan memisalkan bilangan yang
bernilai negatif sebagai hutang. Hasil
yang diharapkan dari skim ini adalah
jika bilangan yang bernilai negatif
yang dianggap sebagai hutang lebih
besar daripada bilangan positif maka
hasilnya akan bernilai negatif, dan jika
bilangan yang bernilai positif lebih
besar daripada bilangan yang bernilai
negatif yang dianggap sebagai hutang
maka hasilnya akan bernilai positif.
Berikut adalah petikan wawancara
subjek tentang menjumlah dengan
menggunakan model hutang piutang.
P
S
P
:
:
:
S
P
:
:
S
P
:
:
S
:
P
S
:
:
setiap subjek dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1
Penggunaan Skim Tiap Siswa
Subjek
AZ
1.
TT
2.
3.
1.
2.
3.
CN
4.
1.
DV
2.
1.
2.
Skim yang Digunakan
Skim Penjumlahan
Bersusun
Skim Garis Bilangan
Skim Hutang Piutang
Skim
Penjumlahan
Bersusun
Skim Garis Bilangan
Skim Menjumlah dengan
Jari
Skim Hutang Piutang
Skim
Penjumlahan
Bersusun
Skim Garis Bilangan
Skim
Penjumlahan
Bersusun
Skim Garis Bilangan
PENUTUP
Berdasarkan hasil penelitian dan
pembahasan dalam penelitian yang telah
dilaksanakan, dapat disimpulkan bahwa
terdapat empat skim penjumlahan bilangan
bulat siswa SD yang dimiliki oleh 4 subjek.
Keempat skim tersebut adalah skim
penjumlahan bersusun, skim garis bilangan,
skim menjumlah dengan jari dan skim
hutang piutang. Dan skim yang banyak
digunakan oleh subjek adalah skim
penjumlahan bersusun dan skim garis
bilangan.
Skim yang telah disebutkan diatas
merupakan bagian dari skim penjumlahan
bilangan bulat. Dimungkinkan bahwa
masih terdapat skim-skim lain yang
dimiliki oleh subjek serta masalah-masalah
yang diberikan kepada subjek.
Peneliti
Subjek
Pada soal nomor 2. Negatif empat
ditambah negatif lima hasilnya
berapa?
Negatif sembilan
Mengerjakan soal itu dengan cara
apa?
Hutang-hutangan
Bagaimana
cara
menghitung
dengan cara hutang-hutangan?
Misalkan negatif itu sebagai
hutang. Jadi hutang empat lalu
hutang lagi sebanyak lima. Jadi
hutang nya bertambah sembilan
Sembilan itu hutang atau bukan?
Iya hutang. Jadi hasilnya negatif
sembilan
Skim penjumlahan bilangan bulat yang
SARAN
Dari kesimpulan tersebut, peneliti
dapat memberikan saran antara lain. Bagi
guru, diharapkan memberikan pengajaran
penjumlahan bilangan bulat dengan
dimiliki siswa yang satu dengan yang
lainnya berbeda. Penggunaan skim dalam
10
berbagai pendekatan kepada siswa yang
memiliki jenis dan kualitas penjumlahan
bilangan bulat yang berbeda dengan skim
penjumlahan bilangan bulat yang dimiliki
oleh guru. Bagi siswa, diharapkan siswa
dapat mengembangkan skim yang dimiliki
menjadi skim yang canggih dengan
bimbingan dari guru dan menyelesaikan
soal penjumlahan bilangan bulat dalam
berbagai bentuk serta menggunakan cara
yang bervariasi. Sedangkan bagi peneliti
lain, melihat keberagaman skim yang
dimiliki oleh sejumlah siswa yang menjadi
subjek penelitian hendaknya dilakukan
penelitian lanjut mengenai berbagai skim
yang dimiliki siswa dalam menyelesaikan
soal penjumlahan bilangan bulat pada
tingkat sekolah dasar agar menjadI evaluasi
bagi proses berpikir siswa lainnya.
Kristanto, Faustinus Adven. 2014. Skim
Perkalian Bilangan Pecahan Kelas
VI SD Negeri Lopait 02 Tuntang.
Salatiga: Universitas Kristen Satya
Wacana
Lexy J, Moleong. 2007. Metodologi
Penelitian Kualitatif. Bandung:
Remaja Rosdakarya
Mulyoto. 2010. Perolehan dan Penerapan
Pengetahuan. Jurnal Ilmiah Inkoma
Volume 21 Nomor 2, 81-95
Nur Akhsin, 2006. Matematika Untuk
Kelas IV SD/MI. Klaten: Cempaka
Putih
Riska, Kumalasari, Agustina. 2008. Skim
Penambahan
Bilangan
Pecahan.
Salatiga: FKIP Matematika UKSW
Smith, Mark K. 2009. Teori Pembelajaran
DAFTAR PUSTAKA
dan Pengajaran. Jogjakarta: Mirza
Darhim, 1993. Pendidikan Matematika II.
Jakarta: Departemen Pendidikan
dan Kebudayaan
Hackenberg, A. J., & Tillema, E. S. 2009.
Students’Whole Number
Multiplicatcative
Concepts:
A
Critical Constructive Resource for
Faction Composition Schemes. The
Journal of Mathematics Behavior ,
1-18
http://eprints.ung.ac.id/554/3/2013-286206-151409469-bab210012014124620.pdf
Karso, 1998. Pendidikan Matematika I.
Jakarta: CV. Ricardo
Kismiantini, 2008. BSE Dunia Matematika.
Jakarta:
Departemen
Media Pustaka
Soewito,
Paul.
1991.
Pendidikan
Matematika I. Jakarta: Departemen
Pendidikan dan Kebudayaan
Steffe. 1983. Children’s Algorithms As
Schemes. Educational Studies in
Mathematics pp. 109-125
Sugiyono. 2010. Metode Penelitian
Pendidikan
(Pendekatan
Kuantitatif, Kualitatif, dan R&D).
Bandung: Alfabeta
Sugiyono.
Pendidikan
2014.
Metode
Penelitian
Kuantitatif, Kualitatif, dan R&D .
Nasional
Bandung: Alfabeta
11
Sutriyono. 2002. Satya Widya: Skim
Penambahan
Jurnal
Bilangan
Penelitian
Kependidikan.
Cacah.
Pengembangan
Salatiga:
FKIP-
UKSW
Sutriyono. 2007. Konstruktivisme dalam
Pendidikan Matematika. Salatiga:
UKSW
Sutriyono. 2012. Skim Pengurangan
Bilangan Bulat Siswa SD Kelas 2
3. Salatiga: UKSW
12
OLEH SISWA SD
JURNAL
Diajukan untuk memenuhi syarat guna mencapai Gelar Sarjana
Program Studi S1 Pendidikan Matematika
Disusun Oleh
Ayu Ostyaningsih
202013020
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA
SALATIGA
2017
SKIM PENJUMLAHAN BILANGAN BULAT OLEH SISWA SD
Ayu Ostyaningsih1
Sutriyono2
202013020@student.uksw.edu1, sutriyono@staff.uksw.edu2
Program Studi Pendidikan Matematika
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponogoro 52-60 Salatiga
ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui secara pasti tentang skim penjumlahan bilangan bulat yang
dimiliki oleh siswa SD. Penelitian ini berjenis kualitatif deskriptif, untuk mengetahui skim
penjumlahan bilangan bulat. Subjek dalam penelitian ini adalah siswa kelas V SD yang terdiri dari 4
siswa perempuan. Data diperoleh dari jawaban tertulis atas tes dan wawancara, ditemukan bahwa
terdapat empat skim penjumlahan bilangan bulat. Empat skim tersebut antara lain skim penjumlahan
bersusun, skim garis bilangan, skim menjumlah dengan jari dan skim hutang piutang. Ditemukan
bahwa pada keempat subjek memiliki skim lebih dari satu dan tiap subjek memiliki skim yang
berbeda-beda.
Kata Kunci: Skim, Penjumlahan Bilangan Bulat
dua bilangan bulat bertanda sama dan
penjumlahan dua bilangan bulat tanda
berlawanan. Hasil dari penjumlahan
bilangan bulat dapat berupa bilangan
positif, negatif, atau nol.
Sementara itu, kajian yang mencoba
melihat dan melibatkan proses mental
sewaktu siswa menyelesaikan operasi
penjumlahan bilangan bulat masih sulit
dijumpai. Mengetahui cara berpikir siswa
untuk dapat mengenal secara pasti cara
pemikiran yang ada dalam diri siswa. Guru
dapat memberikan bimbingan yang tepat
sesuai pola pikir yang telah dimiliki oleh
siswa. Menurut Sutriyono (2002: 153)
dalam menyelesaikan soal, banyak jawaban
yang sama dari beberapa siswa tetapi cara
berpikir yang digunakan siswa sangat
berbeda antara siswa satu dengan siswa
yang lainnya, mungkin siswa masih
menggunakan cara berpikir primitif tetapi
mungkin saja telah menggunakan corak
berpikir yang canggih.
PENDAHULUAN
Matematika merupakan salah satu mata
pelajaran yang diajarkan di tingkat
pendidikan jenjang SD, SMP, dan SMA.
Pada pembelajaran matematika pada satuan
pendidikan SD mempunyai tahapantahapan aspek yang berurutan, meliputi:
bilangan, geometri dan pengukuran serta
pengolahan data, (Fathani, 2012: 144).
Salah satu aspek atau tahapan yang pertama
dalam pembelajaran matematika adalah
bilangan.
Operasi
bilangan
pada
pembelajaran
matematika
meliputi
penjumlahan, pengurangan, perkalian,
pembagian, operasi hitung campuran dan
penarikan akar pangkat.
Penjumlahan adalah salah satu operasi
aritmatika dasar. Penjumlahan merupakan
penambahan sekelompok bilangan yang
merupakan jumlah. Penjumlahan ditulis
dengan menggunakan tanda tambah “+”
diantara kedua bilangan.
Operasi hitung penjumlahan bilangan
bulat terdapat dua jenis yaitu penjumlahan
2
Identifikasi corak berpikir siswa sangat
penting
untuk
mengembangkan
pengetahuan dalam diri siswa dengan skim
yang kelih canggih dari skim yang ada
dalam diri siswa sebelumnya (Afriani,
2009). Skim merupakan tindakan operasi
yang digunakan untuk menggeneralisasikan
obyek tertentu (Hackenberg Tillema, 2009).
Pola-pola tindakan dan operasi yang
berlaku secara berulang kali dan relatif
tetap
dalam
setiap
situasi
yang
diperhatikan, dapat menjadi dasar untuk
pembetukan model skim yang dimiliki oleh
siswa (Sutriyono, 2012). Skim digunakan
untuk
mengetahui
konstruksi
yang
memberikan penjelasan tindakan dan model
struktur kognitif siswa (McCloskey,
Norton, 2009). Skim merupakan satu
susunan tiga serangkai yang terdiri dari
suasana pencetus, tindakan atau operasi,
dan hasil yang diharapkan. Menurut Piaget
(dalam Sutriyono, 2007) semua tindakan
yang diulangi atau dirumuskan melalui
pengalaman baru dapat dianggap sebagai
skim. Skim dapat menjelaskan dan
memprediksi tindakan operasi pikiran yang
dimiliki siswa. Faham ini menganggap
skim matematika yang dikonstruksi oleh
siswa sebagai hasil dari proses refleksi dan
abstraksi (Sutriyono, 2012; Sagala, 2012).
Kajian penelitian yang relevan yang
menyinggung
tentang
penjumlahan
bilangan bulat telah dilakukan oleh Steffe
(1983) dengan judul “Children’s Algoritms
ass Schemes” mencoba mengkaji kualitas
penyelesaian yang digunakan pada soal
penambahan siswa berumur 7 tahun dengan
tujuan
untuk
mengkaji
kualitas
penyelesaian yang digunakan pada soal
penambahan. Hasil wawancara menunjukan
bahwa dalam operasi penambahan bilangan
bulat yang sama, dua siswa menggunakan
skim yang berbeda. Seorang siswa
menggunakan skim operatif, manakala
siswa yang lain menggunakan skim
membilang figurative. Penelitian yang
dilakukan Sutriyono (2012) yang berjudul
“Skim Pengurangan Bilangan Bulat Siswa
SD Kelas 2 & 3” menunjukkan bahwa
siswa pada peringkat kognitif yang sama
tidak selalu mempunyai skim pengurangan
bilangan bulat yang sama pula. Kondisi
tersebut menunjukkan bahwa tidak selalu
pengajaran yang diberikan oleh guru
dipahami secara sama pula oleh semua
siswa. Oleh karena itu guru harus
memberikan berbagai pendekatan dalam
mengajar pengurangan bilangan bulat yang
berpadukan
kepada
mutu
skim
pengurangan
bilangan
bulat
yang
mempunyai siswa guna membantu siswa
mengkonstruksi
skim
pengurangan
bilangan bulat telah diperoleh.
Begitu pentingnya mengetahui corak
berpikir yang dipunyai siswa khususnya
materi penjumlahan bilangan bulat dan
untuk membantu guru mengajarkan materi
sesuai dengan skim yang dipunyai siswa
menjadi dasar pemilihan topik skim
penjumlahan bilangan bulat.
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk
mengetahui secara pasti skim pejumlahan
bilangan bulat yang dimiliki oleh siswa
kelas 5 SD. Penelitian ini diharapkan dapat
membantu siswa dalam mengetahui skim
penjumlahan bilangan bulat yang dimiliki
sehingga siswa dapat mengembangkan
skim yang telah ada dan dapat memberikan
pengetahuan bagi guru tentang skim
penjumlahan bilangan bulat yang dimiliki
siswa, sehingga guru dapat mengetahui
pola pikir yang dimiliki siswa dalam
menyelesaikan persoalan yang berkaitan
dengan penjumlahan bilangan bulat.
METODE PENELITIAN
Jenis penelitian yang digunakan dalam
penelitian ini adalah penelitian deskriptif
3
membahas jenis-jenis skim penjumlahan
bilangan bulat yang dimiliki oleh siswa.
kualitatif. Subjek dalam penelitian ini
adalah siswa SD kelas V. Subjek penelitian
ini ditentukan dengan menggunakan teknik
purposive
sampling,
yakni
suatu
pengambilan sampel sebagai sumber data
dengan berdasarkan pada tujuan dan
pertimbangan tertentu (Sugiyono, 2010).
Pengambilan sampel penelitian adalah
berdasarkan pada hal-hal berikut 1)
Kebersediaan subjek untuk terlibat secara
aktif dalam penelitian, 2) Kesanggupan
subjek
untuk
diwawancarai,
3)
Memperoleh izin dari orang tua subjek, 4)
Kepercayaan orang tua bahwa subjek akan
melibatkan diri secaara aktif dalam
kegiatan wawancara. Penelitian dilakukan
pada bulan Februari 2017 pada semester 2.
Teknik pengumpulan data yang
diperlukan dalam penelitian ini adalah
dengan melakukan triangulasi, yaitu
observasi, wawancara dan dokumentasi
(Sugiyono, 2010). Instrumen utama dalam
penelitian ini adalah peneliti sendiri, tetapi
dalam penelitian ini terdapat instrumen
pendukung berupa soal uraian secara
simbolik.
Tahap analisis data merupakan proses
penyusunan
data
agar
dapat
diinterpretasikan. Langkah-langkah yang
dilakukan dalam analisis data dalam
penelitian ini terdapat 4 tahap yaitu 1) data
collection memindahkan video dan hasil
rekaman wawancara, 2) data reduction
yaitu mendiskripsikan identitas subjek,
memilih hal-hal pokok, memfokuskan pada
hal-hal yang penting, 3) data display yaitu
menyajikan data dengan mengelompokkan
pola-pola perilaku yang ditunjukkan siswa
dalam menyelesaikan soal, 4) conclution
drawing/ verification yaitu merumuskan
skim berdasarkan pola tingkah laku yang
telah dikenal pasti (Huberman dalam
Sugiyono, 2007: 337). Analisis ini hanya
HASIL
Bentuk soal a + b = □, a + (-b) = □, -a
+ b = □, dan -a + (-b) = □ diberikan dalam
3 soal secara simbolik. Keempat bentuk
soal tersebut terdiri dari tiga kriteria soal
berdasarkan pada jenis sukunya. Kriteria
pertama adalah penjumlahan 1 digit dengan
1 digit, kriteria kedua adalah penjumlahan
2 digit dengan 1 digit, dan kriteria ketiga
adalah penjumlahan 2 digit dengan 2 digit.
1. Bentuk Penjumlahan a + b = □
Subjek
menyelesaikan
bentuk
penjumlahan a + b = □ dengan
berbagai cara, antara lain sebagi
berikut:
a. Menjumlah
dengan
cara
bersusun
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 4
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan cara bersusun.
Pada kriteria 2 digit + 1 digit
mereka menjumlahkan bilangan
bernilai satuan dengan satuan lalu
menurunkan bilangan bernilai
puluhan. Sedangkan pada kriteria
2 digit + 2 digit mereka
menjumlahkan bilangan bernilai
satuan
dengan
satuan
lalu
menjumlahkan bilangan bernilai
puluhan dengan puluhan.
b. Menjumlah
dengan
menggunakan garis bilangan
Garis bilangan adalah gambar
garis tempat bilangan-bilangan
ditulis dari yang terkecil hingga
yang terbesar. Hasil dari penelitian
ini menunjukkan bahwa terdapat 4
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan menggunakan
garis bilangan. Dalam menghitung
4
hasil penjumlahan bilangan bulat
positif ini mereka menggambarkan
garis bilangan beserta menuliskan
bilangan
yang
dijumlahkan.
Bilangan
yang
dijumlahkan
digambarkan dengan setengah
lingkaran tepat diatas garis
bilangan.
c. Menjumlah
dengan
menggunakan jari
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 1
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan menggunakan
jari. Mereka menjumlahkan kedua
bilangan
tersebut
dengan
menggunakan 10 jari jika hasil
dari kedua bilangan itu tidak lebih
dari 10. Tetapi, pada saat mereka
menjumpai soal yang hasilnya
melebihi
10,
mereka
menjumlahkan dengan angka yang
bernilai besar dengan cara
mengucapkan
dengan
mulut
sedangkan angka yang lebih kecil
menggunakan jari, kemudian
dijumlahkan
degan
cara
meneruskan angka yang telah
diucapkan dengan angka yang di
jari.
penjumlahan
pertama
yang
bernilai positif dengan bilangan
kedua yang bernilai negatif dengan
memperhatikan nilai tempat.
b. Menjumlah
dengan
menggunakan garis bilangan
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 3
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan menggunakan
garis bilangan. Dalam menghitung
hasil penjumlahan bilangan bulat
positif dengan negatif ini mereka
menggambarkan garis bilangan
beserta menuliskan bilangan yang
dijumlahkan.
Bilangan
yang
dijumlahkan digambarkan dengan
bentuk setengah lingkaran tepat
diatas garis bilangan yang berjalan
ke arah kiri.
c. Menjumlah
dengan
menggunakan jari
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 1
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan menggunakan
jari.
Subjek
menghitungnya
dengan menyebutkan bilangan
pertama atau bilangan yang lebih
besar di sebutkan sedangkan untuk
bilangan
kedua
subjek
menggunakan jarinya. Kemudian,
mengurangkan kedua bilangan
tersebut.
d. Menjumlah
dengan
menggunakan konsep hutang
piutang
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 2
subjek yang menggunakan konsep
hutang piutang. Subjek tersebut
mengumpamakan bahwa bilangan
yang bernilai positif sebagai alat
untuk
membayar
hutang,
2. Bentuk Penjumlahan a + (-b) = □
Subyek
menyelesaikan
bentuk
penjumlahan a + (-b) = □ dengan
berbagai cara, antara lain sebagi
berikut:
a. Menjumlah
dengan
cara
bersusun
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 4
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan cara bersusun.
Mereka
menghitung
dengan
mengurangkan
bilangan
5
sedangkan bilangan yang bernilai
negatif itu sebagai hutang. Jadi,
jika bilangan yang bernilai positif
itu lebih besar daripada angka
yang bernilai negatif hasil
penjumlahan tersebut pasti bernilai
positif.
dan digambarkan dengan bentuk
setengah lingkaran tepat diatas
garis bilangan yang berjalan ke
arah kiri.
c. Menjumlah
dengan
menggunakan jari
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 1
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan menggunakan
jari.
Subjek
menghitungnya
dengan menyebutkan bilangan
pertama atau bilangan yang lebih
besar di sebutkan sedangkan untuk
bilangan
kedua
subyek
menggunakan jarinya. Kemudian,
mengurangkan kedua bilangan
tersebut.
d. Menjumlah
dengan
menggunakan konsep hutang
piutang
Hasil dari penelitian ini
menunjukan bahwa terdapat 2
subjek yang menggunakan konsep
hutang
piutang.
Subjek
mengumpamakan jika bilangan
pertama bernilai negatif itu
sebagai hutang dan bilangan kedua
bernilai positif sebagai alat untuk
melunasi hutang tersebut. Jadi,
jika bilangan pertama bernilai
negatif
lebih
besar
dari
penjumlahan bilangan kedua yang
benilai positif maka hasil dari
penjumlahan tersebut dikatakan
sebagai sisa hutang yang masih
harus dibayarkan maka hasil
tersebut bernilaikan negatif.
3. Bentuk Penjumlahan -a + b = □
Subjek
menyelesaikan
bentuk
penjumlahan -a + b = □ dengan
berbagai cara, antara lain sebagi
berikut:
a. Menjumlah
dengan
cara
bersusun
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 4
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan cara bersusun.
Pada penjumlahan ini mereka
menempatkan bilangan terbesar
pada baris pertama dan bilangan
terkecil di baris kedua, kemudian
mengurangkan kedua bilangan
tersebut. Bilangan pertama benilai
negatif dan lebih besar daripada
bilangan kedua yang
bernilai
positif,
maka
hasil
dari
penjumlahan bilangan tersebut
akan bernilai negatif.
b. Menjumlah
dengan
menggunakan garis bilangan
Hasil dari penelitian ini
menunjukan bahwa terdapat 3
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan menggunakan
garis bilangan. Dalam menghitung
hasil penjumlahan bilangan bulat
negatif dengan positif ini mereka
menggambarkan garis bilangan
beserta menuliskan bilangannya
dan menetapkan angka pertama
dalam
soal
tersebut
lalu
dijumlahkan dengan angka kedua
4. Bentuk Penjumlahan -a + (-b) = □
Subjek
menyelesaikan
bentuk
penjumlahan -a + (-b) = □ dengan
berbagai cara, antara lain sebagi
berikut:
6
a. Menjumlah
dengan
cara
bersusun
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 4
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan cara bersusun.
Pada kriteria 2 digit + 1 digit
mereka menjumlahkan bilangan
bernilai satuan dengan satuan lalu
menurunkan bilangan bernilai
puluhan. Sedangkan pada kriteria
2 digit + 2 digit mereka
menjumlahkan bilangan bernilai
satuan
dengan
satuan
lalu
menjumlahkan bilangan bernilai
puluhan dengan puluhan. Jika
pada penjumlahan satuan dengan
satuan tersebut hasilnya lebih dari
9 maka hasil penjumlahan itu
hanya
ditulis
bilangan
belakangnya saja atau bilangan
yang sebagai satuan dan bilangan
pertama yang sebagai puluhan
ditambahkan dengan puluhan
dengan puluhan.
b. Menjumlah
dengan
menggunakan garis bilangan
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 4
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan menggunakan
garis bilangan. Dalam menghitung
hasil penjumlahan bilangan bulat
negatif dengan negatif ini mereka
menggambarkan garis bilangan
beserta menuliskan bilangannya
dan menetapkan bilangan pertama
dalam
soal
tersebut
lalu
dijumlahkan dengan bilangan
kedua dan digambarkan dengan
bentuk setengah lingkaran yang
berjalan ke arah kiri.
c. Menjumlah
dengan
menggunakan jari
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 1
subjek yang menggunakan model
menjumlah dengan menggunakan
jari. Subjek menjumlahkan kedua
bilangan
tersebut
dengan
menggunakan
10
jari
jika
penjumlahan dari kedua bilangan
tersebut
memungkinkan
menggunakan 10 jari. Tetapi, saat
subjek menjumpai soal yang salah
satu bilangannya melebihi 10 jari,
mereka menjumlahkan dengan
bilangan yang bernilai besar
dengan cara mengucapkan dengan
mulut sedangkan bilangan yang
lebih kecil menggunakan jari,
kemudian dijumlahkan degan cara
mneruskan bbilangan yang telah
diucapkan dengan bilangan di jari.
Karena kedua bilangan tersebut
sama-sama bernilai negatif maka
hasil dari penjumlahan tersebut
juga bernilai negatif.
d. Menjumlah
dengan
menggunakan konsep hutang
piutang
Hasil dari penelitian ini
menunjukkan bahwa terdapat 2
subjek yang menggunakan konsep
hutang
piutang.
Subjek
mengumpamakan jika subjek yang
bernilai negatif itu sebagai hutang
dan kedua bilangan penjumlahan
tersebut bernilai negatif maka
hutang ditambah dengan hutang
maka hutangnya akan bertambah.
Jadi, hasil penjumlahan kedua
bilangan bernilai negatif tersebut
pasti akan bernilai negatif juga.
7
PEMBAHASAN
Berdasarkan analisis pekerjaan subjek
dan wawancara, terdapat empat skim
penjumlahan
bilangan
bulat
telah
teridentifikasi dalam penelitian ini. Skim
terdapat 3 urutan komponen dasar
diantaranya adalah pencetus, tindakan dan
operasi, serta hasil yang diharapkan.
Melalui kajian ini diketahui bahwa semua
subjek mempunyai lebih dari satu skim,
akan tetapi tetap ditemukan skim yang
dominan yang dimiliki oleh subjek.
a. Skim Penjumlahan Bersusun
Skim penjumlahan bersusun ini
digunakan subjek untuk menyelesaikan
soal yang bersifat simbolik. Pencetus
skim ini adalah dua bilangan yang
disusun dalam bentuk bersusun,
dimana
penjumlahan
dilakukan
mengikuti nilai tempat. Tindakan dan
operasi dalam skim ini melibatkan
aktivitas penjumlahan mengikuti nilai
tempat. Hasil yang diharapkan dari
skim
ini
adalah
keseluruhan
penjumlahan yang dilakukan disetiap
nilai tempat.
Berikut contoh pekerjaan subjek
dengan menggunakan penjumlahan
bersusun dapat dilihat pada gambar 1
beserta petikan wawancara.
:
:
:
:
:
S
:
P
:
S
:
b. Skim Garis Bilangan
Skim garis bilangan ini digunakan
subjek untuk menyelesaikan soal yang
bersifat simbolik. Pencetus skim ini
adalah sebagi berikut 1) dalam konteks
a + b, bilangan a ditafsirkan sebagai
jarak satuan pergerakan dari titik 0
(nol) ke kanan dan bilangan b
ditafsirkan sebagai jarak satuan
pergerakan kanan apakah mulai dari
titik 0 (nol) atau yang lain, 2) dalam
konteks a + (-b), bilangan a ditafsirkan
sebagai jarak satuan pergerakan dari
titik 0 (nol) ke kanan dan bilangan (-b)
ditafsirkan sebagai jarak satuan
pergerakan ke kiri apakah mulai dari
titik 0 (nol) atau yang lain, 3) dalam
konteks –a + b, bilangan (–a)
ditafsirkan sebagai jarak satuan
pergerakan dari titik 0 (nol) ke kiri dan
bilangan b ditafsirkan sebagai jarak
satuan dengan pergerakan ke kanan
apakah mulai dari titik 0 (nol) atau
yang lain, 4) dalam konteks –a + (-b),
bilangan (–a) ditafsirkan sebagai jarak
satuan pergerakan dari titik 0 (nol) ke
kiri dan bilangan (-b) ditafsirkan
sebagai
jarak
satuan
dengan
pergerakan ke kiri apakah mulai dari
Gambar 1
Skim Penjumlahan Bersusun
P
S
P
S
P
belas hasilnya berapa?
Dua puluh tujuh
Mengerjakan
soal
tersebut
menggunakan cara apa?
Dengan
menggunakan
cara
bersusun
Jelaskan
bagaimana
cara
menghitung dengan menggunakan
cara bersusun!
Lima belas ditambah dua belas.
Lima ditambah dua hasilnya tujuh.
Kemudian, satu ditambah satu
hasilnya dua. Jadi, hasil dari lima
belas ditambah dua belas adalah
dua puluh tujuh
Peneliti
Subjek
Pada soal, lima belas ditambah dua
8
titik 0 (nol) atau yang lain. Tindakan
dan operasi dalam skim ini dengan
beberapa
pergerakan
melibatkan
aktivitas berikut melukis garis lurus
dengan menandakan titik yang
berkaitan, melukis garis dari titik 0
(nol) ke kanan jika bilangan tertambah
bernilai positif, melukis garis dari titik
0 (nol) ke kiri jika bilangan tertambah
negatif, melukis garis ke kiri atau ke
kanan sejauh bilangan penjumlahnya,
dan menentukan titik akhir dari
pergerakan atau bilangan diantara dua
titik terakhir dari dua pergerakan ke
kanan atau ke kiri yang bermula dari
titik 0 (nol). Hasil yang diharapkan
adalah titik terakhir dari pergerakan
atau banyaknya unit diantara dua titik
pergerakan tersebut.
Berikut contoh pekerjaan subjek
dengan menggunakan penjumlahan
bersusun dapat dilihat pada gambar 2
beserta petikan wawancara.
:
:
:
S
P
:
:
S
:
:
S
:
Bagaimana
cara
menghitung
dengan
menggunakan
garis
bilangan?
Dari nol berjalan kearah kanan ke
bilangan sebelas lalu ditambah
empat ke kanan. Jadi, hasil dari
dsebelas ditambah empat yaitu lima
belas
c. Skim Menjumlah dengan Jari
Skim menjumlah dengan jari ini
digunakan subjek untuk menyelesaikan
soal yang bersifat simbolik. Pencetus
skim ini adalah membetuk jari
sejumlah kedua bilangan penjumlahan
tersebut. Tindakan dan operasi untuk
skim ini melibatkan aktivitas dengan
menjumlah kedua bilangan tersebut
dengan jari. Hasil yang diharapkan
jumlah
bilangan
terakhir
pada
penjumlahan bilangan yang telah di
bentuk dengan jari.
Berikut adalah petikan wawancara
subjek tentang menjumlah dengan
menggunakan jari.
Gambar 2
Skim Garis Bilangan
P
S
P
P
Peneliti
Subjek
Berapakah hasil penjumlahan dari
sebelas ditambah empat?
Lima belas
Mengerjakan soal itu dengan cara
apa?
Dengan garis bilangan
P
S
P
:
:
:
S
P
:
:
S
P
:
:
S
:
Peneliti
Subjek
Pada soal no 1, tiga ditambah lima
hasilnya berapa?
Hasilnya delapan
Mengerjakan soal itu dengan cara
apa?
Dengan jari
Jadi bagaimana cara menghitung
dengan menggunkan jari?
Jadi, lima di mulut dan pada tangan
membentuk jari sebanyak tiga.
Kemudian, enam, tujuh, delapan
(melanjutkan
dengan
menjumlahkan bilangan pada jari)
d. Skim Hutang Piutang
Skim hutang piutang ini digunakan
subjek untuk menyelesaikan soal yang
bersifat simbolik. Pencetus skim ini
adalah memisalkan bilangan yang
9
berbagai bentuk soal yang dilakukan oleh
bernilai negatif sebagai hutang dan
bilangan yang bernilai positif sebagai
bilangan yang digunakan untuk
membayar hutang tersebut. Tindakan
dan operasi ini melibatkan aktivitas
penjumlahan kedua bilangan tersebut
dengan memisalkan bilangan yang
bernilai negatif sebagai hutang. Hasil
yang diharapkan dari skim ini adalah
jika bilangan yang bernilai negatif
yang dianggap sebagai hutang lebih
besar daripada bilangan positif maka
hasilnya akan bernilai negatif, dan jika
bilangan yang bernilai positif lebih
besar daripada bilangan yang bernilai
negatif yang dianggap sebagai hutang
maka hasilnya akan bernilai positif.
Berikut adalah petikan wawancara
subjek tentang menjumlah dengan
menggunakan model hutang piutang.
P
S
P
:
:
:
S
P
:
:
S
P
:
:
S
:
P
S
:
:
setiap subjek dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1
Penggunaan Skim Tiap Siswa
Subjek
AZ
1.
TT
2.
3.
1.
2.
3.
CN
4.
1.
DV
2.
1.
2.
Skim yang Digunakan
Skim Penjumlahan
Bersusun
Skim Garis Bilangan
Skim Hutang Piutang
Skim
Penjumlahan
Bersusun
Skim Garis Bilangan
Skim Menjumlah dengan
Jari
Skim Hutang Piutang
Skim
Penjumlahan
Bersusun
Skim Garis Bilangan
Skim
Penjumlahan
Bersusun
Skim Garis Bilangan
PENUTUP
Berdasarkan hasil penelitian dan
pembahasan dalam penelitian yang telah
dilaksanakan, dapat disimpulkan bahwa
terdapat empat skim penjumlahan bilangan
bulat siswa SD yang dimiliki oleh 4 subjek.
Keempat skim tersebut adalah skim
penjumlahan bersusun, skim garis bilangan,
skim menjumlah dengan jari dan skim
hutang piutang. Dan skim yang banyak
digunakan oleh subjek adalah skim
penjumlahan bersusun dan skim garis
bilangan.
Skim yang telah disebutkan diatas
merupakan bagian dari skim penjumlahan
bilangan bulat. Dimungkinkan bahwa
masih terdapat skim-skim lain yang
dimiliki oleh subjek serta masalah-masalah
yang diberikan kepada subjek.
Peneliti
Subjek
Pada soal nomor 2. Negatif empat
ditambah negatif lima hasilnya
berapa?
Negatif sembilan
Mengerjakan soal itu dengan cara
apa?
Hutang-hutangan
Bagaimana
cara
menghitung
dengan cara hutang-hutangan?
Misalkan negatif itu sebagai
hutang. Jadi hutang empat lalu
hutang lagi sebanyak lima. Jadi
hutang nya bertambah sembilan
Sembilan itu hutang atau bukan?
Iya hutang. Jadi hasilnya negatif
sembilan
Skim penjumlahan bilangan bulat yang
SARAN
Dari kesimpulan tersebut, peneliti
dapat memberikan saran antara lain. Bagi
guru, diharapkan memberikan pengajaran
penjumlahan bilangan bulat dengan
dimiliki siswa yang satu dengan yang
lainnya berbeda. Penggunaan skim dalam
10
berbagai pendekatan kepada siswa yang
memiliki jenis dan kualitas penjumlahan
bilangan bulat yang berbeda dengan skim
penjumlahan bilangan bulat yang dimiliki
oleh guru. Bagi siswa, diharapkan siswa
dapat mengembangkan skim yang dimiliki
menjadi skim yang canggih dengan
bimbingan dari guru dan menyelesaikan
soal penjumlahan bilangan bulat dalam
berbagai bentuk serta menggunakan cara
yang bervariasi. Sedangkan bagi peneliti
lain, melihat keberagaman skim yang
dimiliki oleh sejumlah siswa yang menjadi
subjek penelitian hendaknya dilakukan
penelitian lanjut mengenai berbagai skim
yang dimiliki siswa dalam menyelesaikan
soal penjumlahan bilangan bulat pada
tingkat sekolah dasar agar menjadI evaluasi
bagi proses berpikir siswa lainnya.
Kristanto, Faustinus Adven. 2014. Skim
Perkalian Bilangan Pecahan Kelas
VI SD Negeri Lopait 02 Tuntang.
Salatiga: Universitas Kristen Satya
Wacana
Lexy J, Moleong. 2007. Metodologi
Penelitian Kualitatif. Bandung:
Remaja Rosdakarya
Mulyoto. 2010. Perolehan dan Penerapan
Pengetahuan. Jurnal Ilmiah Inkoma
Volume 21 Nomor 2, 81-95
Nur Akhsin, 2006. Matematika Untuk
Kelas IV SD/MI. Klaten: Cempaka
Putih
Riska, Kumalasari, Agustina. 2008. Skim
Penambahan
Bilangan
Pecahan.
Salatiga: FKIP Matematika UKSW
Smith, Mark K. 2009. Teori Pembelajaran
DAFTAR PUSTAKA
dan Pengajaran. Jogjakarta: Mirza
Darhim, 1993. Pendidikan Matematika II.
Jakarta: Departemen Pendidikan
dan Kebudayaan
Hackenberg, A. J., & Tillema, E. S. 2009.
Students’Whole Number
Multiplicatcative
Concepts:
A
Critical Constructive Resource for
Faction Composition Schemes. The
Journal of Mathematics Behavior ,
1-18
http://eprints.ung.ac.id/554/3/2013-286206-151409469-bab210012014124620.pdf
Karso, 1998. Pendidikan Matematika I.
Jakarta: CV. Ricardo
Kismiantini, 2008. BSE Dunia Matematika.
Jakarta:
Departemen
Media Pustaka
Soewito,
Paul.
1991.
Pendidikan
Matematika I. Jakarta: Departemen
Pendidikan dan Kebudayaan
Steffe. 1983. Children’s Algorithms As
Schemes. Educational Studies in
Mathematics pp. 109-125
Sugiyono. 2010. Metode Penelitian
Pendidikan
(Pendekatan
Kuantitatif, Kualitatif, dan R&D).
Bandung: Alfabeta
Sugiyono.
Pendidikan
2014.
Metode
Penelitian
Kuantitatif, Kualitatif, dan R&D .
Nasional
Bandung: Alfabeta
11
Sutriyono. 2002. Satya Widya: Skim
Penambahan
Jurnal
Bilangan
Penelitian
Kependidikan.
Cacah.
Pengembangan
Salatiga:
FKIP-
UKSW
Sutriyono. 2007. Konstruktivisme dalam
Pendidikan Matematika. Salatiga:
UKSW
Sutriyono. 2012. Skim Pengurangan
Bilangan Bulat Siswa SD Kelas 2
3. Salatiga: UKSW
12