BAB 3 RUMUS – RUMUS TRIGONOMETRI - BAB 3 Rumus rumus Trigonometri

 cos x cos y  sin x sin y 

2 2 2 = 2 cos x cos y  sin x sin y

 1  sin y   1  cos x  sin y

2 2 2 = 2 cos x

2 = 2 cos x  sin y

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 51

2. a. cos 90 2 x 1 3    = cos 90  cos x  sin 90  sin x

b. cos  270 x   = cos 270  cos x  sin 270  sin x

1 cos Q 

= 0 . cos x     1 . sin x 

3  Q  30 

R = 180    P  Q   105 

= sin x 

c. cos  270 x   = cos 270  cos x  sin 270  sin x

cos R  cos 105  = cos  60  45   

= 0 . cos x     1 . sin x 

= cos 60  cos 45   sin 60  sin 45  =  sin x 

2 d. cos x   90   = cos x cos 90  sin x sin 90

1 = 0 . cos x  1 . sin x

sin x

e. cos x  180   = cos x cos 180  sin x sin 180

15. B.

=   1 . cos x  0 . sin x

cos C = cos  180    A  B  

=  cos x 

= cos 180  cos  A  B    sin 180  sin  A  B  

f. cos    5   =

=  1 . cos  A  B   0 . sin  A  B 

=   cos A cos B  sin A sin B 

    = cos    cos 5   sin    sin 5 

= 0 . cos 5     1 . sin  5  

= 0 . cos     1 . sin 

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan

Materi

=  sin 

h. cos  2     = cos 2  cos   sin 2  sin 

1. a. cos  2 a   3 b   = cos 2 a  cos 3 b   sin 2 a  sin 3 b 

b. cos  3 x y    = cos 3 x  cos y   sin 3 x  sin y 

= 1 . cos   0 . sin 

c. cos x   45   = cos x cos 45   sin x sin 45 

= cos 

2  cos x  sin x 

cos  cos 3. a.   sin  sin  cos    =    =1

d. cos x   15   = cos x cos 15   sin x sin 15 

2  cos x  3 sin x 

= 3  3 cos x  sin x

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 52

4. a. cos 180  cos   60    sin 180  sin   60   =

cos    

= cos  180  60   

2 .   sin  

b. cos   150   cos 90   sin   150   sin 90  =

2  cos  sin   

= cos   240  

= cos  240  

h. cos     = cos  cos  sin   sin 

cos 180  60  

3 . cos   .   sin  

=  3 cos  sin   

c. cos 140  cos 10   sin 140  sin 10  =

= cos  140  10  

= cos  150  

2 d. cos 200  cos 20   sin 200  sin 20  =

= cos  200  20    = cos  180   = -1

7. a. cos  A  B  = cos A cos B  sin A sin B = 3

5. a. cos      = cos  cos   sin  sin 

1 1 cos A cos B 

A cos B =  3  1

65 b. cos  A  B  = cos A cos B  sin A sin B

b. cos      = cos  cos   sin  sin 

c. cos      = cos  cos   sin  sin 

8. a. cos  A  B  = cos A cos B  sin A sin B

d. cos      = cos  cos   sin  sin 

b. cos  A  B  = cos A cos B  sin A sin B

c. cos  A  B  = cos A cos B  sin A sin B

d. cos  A  B  = cos A cos B  sin A sin B

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 53 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 53

19  1 9  cos A cos B  sin A sin B  

  10 . 10 10  cos A cos B  sin A sin B 

2 2 2 = 2 cos A cos B  sin A sin B 1881  9

=  1  sin A  cos B  sin A  1  cos B 

2 f. 2 cos 

A  B  = cos A cos B  sin A sin B = cos B  sin A

10   10  10 10 12.  P  Q  =   sin x  sin y   cos x  cos y      2 2 

1  sin 2 x sin 2 y  cos 2 x cos  2 1881  9 y   =

2  2  cos x cos y  sin x sin y  

9. a. cos  A  B  = cos A cos B  sin A sin B =  2  cos 2  x  y  2 

=    .  . = 1 + cos(x – y)

13. 2 cos  x  45   = cos x   45  

= 2  cos x cos 45  sin x sin 45  =

b. cos  A  B  = cos A cos B  sin A sin B cos x cos 45  sin x sin 45

c. cos  A  B  = cos A cos B  sin A sin B sin x 1

7 12 24 5 c. cos  30 x    = cos 30 cos x  sin 30 sin x

25 13 25 13 1 = 1 3 cos x  sin x 204

=  3 cos x  sin x 

d. cos  A  B  = cos A cos B  sin A sin B 2

7 12 24 5 d. cos x   30    = cos x cos 30  sin x sin 30

25 13 25 13 1 = 1 3 cos x  sin x  36

=  3 cos x  sin x

10. a. cos  A  B  = cos A cos B  sin A sin B

cos  30  t   cos 30 cos t  sin 30 sin t

cos  30  t   cos 30 cos t  sin 30 sin t

b. cos  A  B  = cos A cos B  sin A sin B 1 3 1 cos t  1  n  = sin t  n  1 

11. a.  cos A  cos B   sin A  sin B 

2  cos A cos B  sin A sin B 

= 2  cos 2  A  B 

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 54

15. a. cos A  cos   A    cos   A  

3. cos  + cos      =

cos   cos  cos   sin  sin 

= cos  180          cos  cos    sin  sin 

cos A  cos A cos

 sin A sin

=  cos       cos  cos   sin  sin 

3  sin A cos  A  B  cos A cos B  sin A sin B

b. cos      + cos      = cos  A  B  cos A cos B  sin A sin B

cos  A  B  cos A cos B  sin A sin B

c. =

c. cos      - cos      =

cos  A  B  cos A cos B  sin A sin B  cos  cos   sin  sin  

cos  A  B  cos A cos B  sin A sin B

e. =

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

 sin A sin B  sin A sin B

= 1  cot

1. cos      =2 cos      cos  A  B  cos A cos B  sin A sin B

2  cos  cos   sin  sin  

= cot A . 1  1 tan B = cot A  tan B

= cos  cos    3 sin  sin 

cos  A  B  cos A cos B  sin A sin B

3 3 cos  A  B  cos A cos B  sin A sin B

=-  1  cot A cot B 

2 2 14 jadi, a = 2 dan b =  2 3

= cos x sin  x jadi, a = 1 dan b =  1

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 55

9. a. 8 sin   6 cos   r . cos     

= r  cos  cos   sin  sin  

 dari soal no.11b bagian B diperoleh :  

 8 4 cos 75   sin 15  = cos  75   15   cos 75   15  

b. 4 sin   3 cos   r . cos     

= r  cos  cos   sin  sin  

r cos    3  r 

Latihan Kompetensi Siswa 2

cos 

r sin   4  r 

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

= r  cos  cos   sin  sin  

d. 12 sin   5 cos   r . cos     

= r  cos  cos   sin  sin  

2  sin x  cos x 

sin x   45   = sin x cos 45   cos x sin 45 

r sin    12  r 

2  sin x  cos x 

5 5. A.  2 6   1  6

tan  

cos

sin x   30   = sin x cos 30   cos x sin 30 

cos b. 2    60 

  cos  60      sin

= sin x   30  

cos  cos 60  sin  sin 60  +

7. A. 1  a

cos 60 cos  sin 60 sin

sin  2  - 

sin 140  = sin  90  50   

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 56 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 56

sin  A  B  = sin A cos B  cos A sin B

sin 75  = sin  45  30  

sin C = sin  180    A  B  

4  2 =    1 sin A  B 

1 2 = sin 180 cos  A  B   cos 180 sin A  B

= sin  A  B 

sin  x  sin y  x  y  =  sin x cos y  cos x sin y    B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan

sin x cos y  cos x sin y 

Materi

= sin 2 x cos 2 y  cos 2 x sin 2 y

=  1  cos x  cos y  cos x  1  cos y

2 2 2 2 1. a. sin  A  B  = sin  30  60

sin  A  B  = sin  30  60  =  sin 30  

cos 2 y  cos 2

b. sin  A  B  = sin  60  30  =1

11. D. 2 sin 

sin  A  B  = sin  60  30  = sin 30 

c. 

sin      = sin  cos   cos  sin  = sin 30 

=  cos  sin  

1 d. sin  A  B  = sin  30  40   sin 70

cos  sin  

6 sin  A  B  = sin  30  40    = sin   10  

=  sin 10  Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino

Bab 3 | page 57 Bab 3 | page 57

e. sin  A  B  = sin    = sin  

4. a.

sin  A  B  sin A cos B  cos A sin B

sin  A  B  = sin    = sin   

2 sin  A  B  sin A cos B  cos A sin B

sin  A  B sin      

b. =

sin A sin B sin A sin  B

sin  A  B  sin A cos B  cos A sin B

c. =

2. a. sin  A  B  = sin A cos B  cos A sin B sin A sin B sin A sin B

4 12 3 5 63 = cot  B cot A = .  .

5 13 5 13 65 sin  A  B  sin A cos B  sin B cos d. A =

b. sin  A  B  = sin A cos B  cos A sin B cos A cos B cos A cos B

= tan  A tan B

5 13 5 13 65 5. a. sin 105  = sin  60  45   

c. sin  A  B  + sin  A  B  = + =

d. sin  A  B  - sin  A  B

e. sin  A  B  . sin  A  B  = . =

sin  A  B  63 65 63 =

f. = x

sin  A  B  65 33 33

b. sin  105   =  sin 105 

3. a. sin    x  = sin  cos x  cos  sin x

= 0 . cos x    1 sin x =  sin x

b. sin    x  = sin  cos x  cos  sin x

c. sin 195 = sin  150  45 

= 0 . cos x    1 sin x = sin x

= sin 150 cos 45  cos 150 sin 45

3 3 3  1     = 2  sin  90  60   cos 90  60

=   1 . cos x  0 . sin x =  cos x

d. sin  x  =  cos x  2 

e. sin   x  = sin x cos  cos x sin 

d. sin 255 = sin  210  45   

2 2 = sin 210 cos 45  cos 210 sin 45

= sin x . 0  1 . cos x =  cos x

2  sin  180  30   cos  180  30  

f. sin  x    = sin x cos   cos x sin 

2 2 cos       cos     

= 0 . sin x    1 . cos x = cos x

6. a.

sin       sin     

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 58 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 58

1 1 a. cos      = cos  cos   sin sin

2 2 = 0,1 + (-0,4) = -0,3

b.  cos      = cos  cos   sin  sin 

cos   sin  cos   cos

sin 

2 2 2 2 2 = 0,1 + (-0,4) = -0,3

cos  180         sin  cos 

c. sin      = -0,1

d. sin      = -0,1

1  1 cos  sin 

10. 2  cos A cos B  sin A sin B  +

= sin       sin  cos   cos  sin 

2 2 2 2 2  cos A sin B  sin A cos B 

= sin A  sin B  cos B   cos A  sin B  cos 1 B 1 

= 2 sin  cos 

 sin A  cos A   sin B  cos B 

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

sin 5  cos 5 

1. a. sin  A  B  C  = sin  A   B  C  

b. cos      + cos      = = sin A cos  B  C   cos A sin  B  C 

cos  cos   sin  sin  + cos  cos   sin  sin 

sin A  cos B cos C  sin B sin C 

= 2 cos  cos

cos A  sin B cos C  cos B sin C

c. cos   

  - cos      = 2 sin  cos 

d. sin      + sin      =

b. cos  A  B  C  =

e. sin      - sin      = 2 cos  sin 

cos A cos  B  C   sin A sin  B  C 

cos A cos B cos C  cos A sin B sin C  8. a. 2 sin

sin A sin B cos C  sin A cos B sin C dari soal no.7 (d) diperoleh :

A cos B

A cos B = sin  A  B  + sin  A  B 

2 sin

3. cos  sin  A    = cos  sin    A 

cos  sin A cos   cos  cos A sin  = b. 2 cos

A sin B cos  sin  cos A  cos  cos  sin A dari soal no.7 (e) diperoleh :

A sin B = sin  A  B  - sin  A  B 

sin A  2 cos  cos   

2 cos

cos A  sin  cos   cos  sin  

= 0,7 - 0,5 = 0,2

c. cos  A  B  = cos A cos B  sin A sin B sin A sin   tan  A   

=  cos  A  B   cos  A  B   -

1 cos A 2 cos  cos 

cos  A  B   cos  A  B  

4. cos  A  B  = cos A cos B  sin A sin B =

= cos  A  B  = 3 tan A tan B =

d. sin  A  B  = 0,5

sin

A sin B = 2 cos A cos B

cos  A  B  = 3 cos A cos B =

9. cos      = cos  cos   sin  sin  = cos

sin  sin  = -0,4

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 59 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 59

2 2 2 5. a. 2 sin 75   sin 15  = 

sin  90   15     sin 15 

r sin  6 

sin  cos  sin  dari soal no.11(b) bagian B :

= cos 15   sin 15 

sin tan   3

= cos  15  15  cos 15  15 

cos  4

= cos 30 cos 0 b. r sin      = r sin  cos   r cos  sin 

= 4 sin   3 cos 

r cos   4  r 

2 2 b. 2 cos 15   cos 75  = cos 15   cos 

7. a. cos  A  B  = cos A cos B  sin A sin B cos 

b. sin  A  B  = sin A cos B  cos A sin B tan  

c. sin  A  B  = 

d. cos  A  B

8. a. sin  A  B  = sin A cos B  cos A sin B

b. cos  A  B  = cos A cos B  sin A sin B

6 6  c. kuadran III, karena

 dan 

sin A  B cos A  B 

 1 1  bernilai negatif.

= 2  3 sin x  cos x   2 2 

9. y  a sin 2  ft cos B  a cos 2  ft sin B = 3 sin x  cos x

 a . sin  2  ft  B 

d. sin   x  - cos   x  =

10. y 1  y 2 = A

1 cos   t    A 2 cos   t   

A 2  cos  t cos   sin  t sin  

=  sin x  3 cos x   3 cos x  sin x 

= A 1   sin  t  + A 2   cos  t 

=  A 2 cos  t  A 1 sin  t

= sin x

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 60

8. B. tan 34 

15. 2 sin  A  B  cos A  B   2 sin  A  B  cos A  B 

cos 11   sin 11 

1  tan 11 

= 2  sin A cos B  cos A sin B 

cos 11   sin 11 

1  tan 11 

 cos A cos B  sin A sin B  -

tan 45   tan 11 

2  sin A cos B  cos A sin B

1  tan 45  . tan 11   = tan  45  11   

 cos A cos B  sin A sin B 

2 2 = tan 34 

= 4 sin A sin B cos B  4 sin A cos A sin B

A sin B  sin A cos B  cos A sin B 

= 4 sin

= 4 sin A sin B  sin  A  B  

9. B. 1

= 4 sin A sin B sin  180  C 

= 4 sin A sin B sin C cot  A  B  =

Latihan Kompetensi Siswa 3

tan A  tan B tan A  tan B

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

a 1 tan 1 A  tan B a cot A  cot B

1. C. tan (-x)

1  tan  x   4  tan  4  tan  x   4 

1  tan  x   4  1  tan  4 . tan  x   4 

 4   tan  4  tan    = tan (-x)

2 1 2  tan 

1  tan 4  . tan  =

2   45   tan 45   tan  2   45  

2 1 2  tan 

2   45   1  tan 45  . tan  2   45  

tan  4  tan 

= tan  45    2   45   

3. A. tan  A  B  C 

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan

4. C. tan  A  B  C 

Materi

5. A. -1 tan 69   tan 66 

tan 155  115   69  66   1. a. =  

= tan  180  45  

 = -1

3  = 1 tan 

= tan 54 

tan 175   tan 150 

b. = tan 175  150  4   

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 61

2. a. tan  15   = tan  45  60   

tan  A  B  =

b. tan  A  B

tan  A  B  15 = 33  

b. tan   75   =  tan 75 

c. tan  A  B

=  tan  45   30  

d. tan  A  B  =

c. tan 255  = tan  180  75 

tan  A  B  = 

d. tan  105   =  tan 105 

=  tan  60  45 

c. tan  45 A   . tan  45 A   =

e. tan  195   =  tan 195 

f. tan 285  = tan  180  105 

5. a. tan  A  B  =

1  tan A . tan B g. tan 105  = 1  3

2  tan B = 0,75

b. tan  A  B  =

3. a. A  A B 

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 62 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 62

10. a. tan  A  B  =

tan A  tan B 4 tan A  tan B

1  tan A . tan B 3 1  tan A . tan B

tan A  1

1  tan A . 1 2 3 1  5 12 .   15 8 21

tan A    tan A

b. tan  A  B

tan A 

3 6 c. sudut (A - B) di kuadran III

tan A  

d. sudut (A + B) di kuadran IV

7. a. tan    1  . tan    1  =

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

tan  tan   tan   tan   1

1. tan  45 A   = 4 tan  45 A  

 1  tan A  = 4  1  tan A 

1  tan   tan  1  tan 2 A  2 tan A 4  4 tan = 2 A  8 tan A

tan 2     

tan      1  tan  . tan  tan   tan 

 3 tan A  1  tan A  3  =0

tan   tan 

tan A  atau tan A  3

1  1 tan   tan 

2. tan  x  y  =

tan x  tan y

1  tan x . tan y 8. a.

tan  A  B   tan A

=a

= tan  A  B  A  = tan B

1  tan  A  B  . tan B

tan  x  y  =

tan x  tan y

tan A  tan  A  B 

1  tan x . tan y

=b

b. = tan  A   A  B   =  tan B

1  tan A tan  A  B  tan x tan y = a   tan x  tan y  = tan x  tan y  b

c. cot  A  B  =

d. cot  A  B  =

1 tan  x  y  =

9. a. tan  A  B

a  a   b 2

tan y  1  a a  b

b. tan  A  B

 a   

 1  a  

2 tan y

c. sudut (A + B) di kuadran III

b. tan 2 y

a  b d. sudut (A - B) di kuadran III 2 1  tan y  a   

1  a  a  b 2   

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 63 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 63

tan   tan

b. tan      =

1  tan  . tan 

9. cot  A  B  =

tan A  tan B  tan  180   A  B  

tan 180  tan  A  B

xy

tan  A tan B 

1  tan 180 . tan  A  B 

Latihan Kompetensi Siswa 4

 2 tan A  tan B  tan A tan B  

 tan A tan 2 B  tan A  tan B 

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

1  tan A . tan B 7 = tan A tan B tan C 1. C.  25

b. tan C = tan  180   A  B  

=  tan  A  B 

jadi, A = C

 2 x x 1   1   0 119

a. tan      = 2  2  3

b. tan      = 2  2  

6. a. tan  A  B  =  tan  180   A  B  

3 16 24 = tan C

b. tan  A  B  =

7. a. tan      =

1  tan  . tan  m 1  m 2

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 64

6. E. -1

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan

cos 3 x = cos  2 x  x 

Materi

= cos 2 x cos x  sin 2 x sin x

=  2 cos x  1  cos x  2 sin x cos x

2 2 1. cos 3 A = cos  2 A  A 

2 2 = cos 2 A cos A  sin 2 A sin  A  1 

=  1  2 sin A  cos x  2 sin A cos A

= 2 cos A  4 sin A cos A

= cos A  1  4 sin A 

3 = 2  1 = -1

4 4 cos 4 A = cos  2 A2  A 

7. A. tan x = cos 2 A cos 2 A  sin 2 A sin 2 A

 1  2 sin A  2 cos x  1   4 sin A cos A

 sin A  cos A   1  8 sin A cos A

2 2 tan 3 A = tan  2 A  A 

P  cos x  sin x  

tan 2 A  tan 2 A P cos 2 x  Q sin 2 x =

1  tan 2 A . tan  A 

 1  tan x   Q  2 tan x 

1  tan A  2 tan 2  A

 Q

3 tan A  tan 3 A

1  3 tan 2 A

PQ 2  P 3  2PQ 2 3 PQ = 2 =  P 3 tan 4 A = tan  2 A  2 A 

 1  tan 2 A 

=  1  tan 2 A  2     4 tan 2

1  cos 2 x 1  1  2 sin x

1  cos 2 x 1   2 cos x  1  2 cos x

4 tan A  1  tan 2 A 

 1  tan A   4 tan A

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 65

4. a. 2 4 sin 2 A cos 2 A = 2 

2 sin 2 A cos 2 A 

= 2 sin 4 A

 1  2 sin A  2 sin

b. 4 sin x cos x =  2 sin x cos x   2 sin x cos x 

c. = tan  2 . 3 B   tan 6 B sin 2 A 2 sin A cos A

1  tan 2 3 B

b. =

1  cos 2 A 1   2 cos A  1

2 = tan A

d. 16 sin A  8 = 8  2 sin A  1  =  8  1  2 sin A 

1   1 2 4 3  4  1  tan  4 . tan  1  tan 

c. tan  x  2 y  =

d. tan  2 x  2 y  =

6. tan  = tan  180        

=  tan     

= 2 cos   1  sin  

cot 2   1

2 = cot  1  20 2

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 66 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 66

1 2   tan   tan  

sin B sin 2 B  cos B cos 2 B cos  B  2 B 

cos 2  

f.  2 cos A  1  2 cos A  1  = 4 cos A  1

4 sin 2 A cos = 2  2 cos 2 2 A A cos 2 A

2 cos = 2 A  2 sin 2 A  cos 2 A 

= 2 2 cos  2 A  1   1

= 2 cos 2 A 2 sin 2 A   1 2 sin

cos C  sin C  cos C  sin C 

i.

 cos C  sin C 

= sec2C

2 cos x  1  cos x  1 

j. cosec2B + cot2B =

sin 2 B sin 2 B =

cos x  1 

1   2 cos B  1 

sin 2 x  sin x   0  sin   11. a.

cos 2 

2 sin x cos x sin x   0 cos   sin   cos   sin  

1 sin x  2 cos x  1   0

 2 cos x  1  cos x  1   0  1  tan

1  tan 2  c. 2 =

 cos   sin  2  2 sin  cos    

 2 cos A  1  cos A

2 1   cos 2 A 1   1  2 sin A  sin 2 A c. cos 2 x  3 sin x  5  0

cos x  1  2 cos x

sin x  1  2 cos x

x = arcsin

; atau

2  cos 2    1  2 sin

1  2 sin 1 1 2

cos 1 2   2 sin 1 2   2 cos 1 2  

x = arcsin

sin 1 2 sin 1 2 cos 2 1   2   2  

1 = cot 

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 67

12. a. 2  2  2  2 cos 8 

8. b. tan 15   tan 30   tan 15  tan 30 

= tan  30   15   1  tan 15 tan 30   tan 15  tan 30 

= 2  2  2  2  2 cos

= sin 2 A  sin 2 B  sin 2 180 2   2  2 cos 4   A  B  

= sin 2 A  sin 2 B  sin 2  A  B 

= 2  2  2  2 cos

= sin 2 A  sin 2 B  sin 2 A cos 2 B  cos 2 A sin 2 B

2 = sin 2 A  1  cos 2 B   sin 2 B  1  cos 2 A 

= 2  2  2 cos

= 4 cos A cos B  sin A cos B  cos A sin B 

= 2 cos 

= 4 cos A cos B sin  A  B  = 4 cos A cos B sin  180   A  B  

b. 2  2  2  2 cos 8  = 2  2 cos 2 

= 2  2  1  2 sin  

4 cos A cos B sin

b. cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C

= cos 2 A  cos 2 B  cos 2  180   A  B  

= 2 sin 

= cos 2 A  cos 2 B  cos 2  A  B 

cos 2 A  1  cos 2 B   cos 2 B 

 1  2 sin  

2 = 2 2 sin   2

4 sin A sin B cos A cos B

 2 cos A  1  2 cos B   2 cos B  1  

2  1  2 sin 2

4 sin A sin B cos A cos B

= 2 2 . cos  = cos  2 = 4 cos A cos B  cos A cos B  sin A sin B   1

= 4 cos A cos B cos  A B   1

d. 2 cos   2  2  2 cos 8 

= 4 cos A cos B cos  180   A  B    1

= 2 2 cos   2 cos 2 

=  1  4 cos A cos B cos C 2 2 cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C

= 2 cos   2  2 cos   1  c.

= cos 2 A  cos 2 B  cos 2  180   A  B  

 1  2 cos  

= cos 2 A  cos 2 B  cos 2  A  B 

= cos 2 A  cos 2 B   cos 2 A cos 2 B  sin 2 A sin 2 B  = cos 2 A  1  cos 2 B   cos 2 B  sin 2 A sin 2 B

= 2 sin 

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

 2 sin = B   cos 2 B  x 2  y 2 x 6. 2  y 2  3 4 sin A sin B cos A cos  B   2 2 2

cos 2 2 A

1  2 sin A  2 sin B   1  2 sin B  

2 sin 2 A  sin 2 A  cos A  cos 2 A 

2 2 4 sin A sin B cos A cos  B 

sin A  sin 2 A   cos A  cos 2 A   3 

= 4 sin A sin B  cos A cos B  sin A sin B   1

 sin 2 A  cos 2 A  sin 2 2 A  cos 2 2 A  

= 4 sin A sin B cos  A B   1

 x  2 sin A sin 2 A  2 cos A cos 2 A 

= 4 sin A sin B cos  180   A  B    1

=  2  2 sin A sin 2 A  2 cos A cos 2 A  x  2  2 sin A sin 2 A  2 cos A cos 2 A  1  =  2  2 cos  2 A  A     2 cos  2 A  A   1 

= 4 cos A  4 cos 2 A  2  2 cos A

= 4 cos 2 A  2 cos A  2

= 2  2 cos

  2 cos A

= 2 cos 2 A  2 cos A

= 2  cos A  cos 2 A  = 2y

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 68

Latihan Kompetensi Siswa 5

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

1 1   cos    2 cos 

1  tan 2   1  1  cos

4 B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan 2  2 Materi

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 69

A 1    24 25

sin A

1   1  2 sin A 2 

3. a. 2 tan =

2 sin A cos 2 A 2

A 1    24 7

A 1    24 25 2 1

A sin A  1  cos A A 1  cos A 

b. tan  cos A  1

sin A  2 1   2 cos A  1

= 2 sin cos = sinA = 

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 70

1   cos  2  1 

sin  A  D 2 2 1  cos  A  D 

7. n  =

sin  A 2 2 1  cos A 1  tan  . tan 2

1  cos  1   2 cos   1 

2 13 2 13 10. a. 2 1  2 sin 15  = cos 30  = 0,866

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 71

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

tan   arccos

= sin A  sin B  sin  180   A  B  

= sin A  sin B  sin  A  B 

= sin A  sin B  sin A cos B  cos A sin B 1  2 a  2 a b

= sin A  1  cos B   sin B  1  cos A

A A 2 B B B 2 A 1   1  a 2 b a

Latihan Kompetensi Siswa 6

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

4 sin 45  cos 15  = 2  sin 60  sin 30 

2 2 2 b. sin A  sin B  sin C

= sin A  sin B  sin  180   A  B  

= sin A  sin B  sin  A  B 

= sin A  sin B   sin A cos B  cos A sin B 

= sin A  1  cos B   sin B  1  cos A 

2. A.

sin 75  cos 15  =  sin 90  sin 60 

3. a. tan   arccos   = tan   

sin 105  sin 75  =   cos 180  cos 30 

tan   arccos    =

1  a sin 7  cos 37 

 sin 45  sin 4 30 2 b = 

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 72

8. D. cos 2 

A sin B =  sin  A  B   sin  A  B  

2 cos  45     cos 45     = cos 90  cos 2 

4. a. sin

= cos 2 

b. cos 5 x sin x =  sin 6 x  sin 4 x 

9. A.  sin 2 

c. 5 cos x sin x =  sin 4 x  sin x 

2 cos    sin   

2 2  2      = sin   sin 2 

d. cos  3 x  5 y  cos x  y  =

= 0  sin 2 

cos  4 x  6 y   cos  2 x  4 y  

=  sin 2 

e. cos  A  B  C  sin A  B  C  =

sin 2 A  sin 2  B  C  

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan 1

f. sin 5 A cos 3 A =  sin 8 A  sin 2 A 

Materi

g. cos 200  cos 40  =  cos 240   cos 160  

1. a. sin 4  cos  =  sin 5   sin 3  

h.     cos     =

10 sin

b. 2 sin  A  B  cos A  B  = sin 2 A  sin 2 B  4   4 

c. cos  A  B  sin  A  B sin A  sin B 

 sin 2   sin 

d. 2 cos  90     sin  90     = sin 180  sin 2 

i. sin  A  B  sin   sin 2  A B  =   cos  A cos B 

e. 2 sin 15  cos 85  = sin 100  sin   70 

j. cos  A  B  sin  A  3 B  =  2   2 

= sin 100  sin 70 1

 sin  10 A  4 B   sin   3 A  2 B  

f. 2 cos  sin  = sin 2   sin 

k. 3 cos 7 A cos 8 A =  cos 15 A  cos   A 

l. 8 sin A cos 4 A = 4  sin 5 A  sin   3 A

2. a. 2 cos  a  cos b  a  b  = cos 2 a  cos 2 b

b. 2 cos  a  b  cos  a  b  = cos a  cos b 1

2 2 5. a. sin 75  cos 15  =  sin 90  sin 60 2 

c. sin  2 a  b  sin 2 a  b  =   cos 4 a  cos 2 b 

d. 2 sin  a  b  c  sin a  b  c  =

  cos 2 a  cos 2  b  c  

cos

e.  cos  =  cos   cos  

b. cos 75  sin 15  =  sin 90  sin 60 

f. 2 sin 200  sin 20  =   cos 220  cos 180 

3. a. 2 cos 70  cos 110  = cos 180  cos   40 

 1  cos 40

b. 2 sin 40  sin 50  =   cos 90  cos   10  

=   0  cos 10 

c. cos 75  cos 15  =  cos 90  cos 60 

d. sin 75  sin 15  =   cos 90  cos 60 

e.

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 73

7. a. 2 sin 3  sin 4   2 cos 5  cos 2   cos 3  =

6. B. tan  A  B 

  cos 7   cos      cos 7   cos 3   cos 3 

cos 2 B  cos 2 A 2 sin  A  B  sin A  B 

sin 2 B  sin 2 A 2 sin  A  B  cos A  B 

cos

= tan  A  B 

2 sin  2  cos  

sin 2 A  sin   A  sin 4 A  sin A  sin 5 A 

sin   2 A 

2 cos    cos    = tan 

 cos 64   cos 32   cos 128   cos 64  

cos  cos

=   cos 128   cos 2  

cos 4   cos 2    cos 8   cos 4    cos 16  

1  sin 2 A  cos 2 A

1  sin 2 A  cos 2 A

cos 8    cos 32   cos 16  

 1  2 sin A 

1 2  2 sin A cos A 

= cos 2   cos 32 

1  2 sin A cos A  2 cos  2 A  1 

sin A  2 cos A  2 sin A 

cos A  2 sin A  2 cos A 

= tan A

Latihan Kompetensi Siswa 7

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

1. a. sin   sin 3  = 2 sin 2  cos   

c. cos   cos 3  = 2 sin 2  sin   

cos 105   cos 15  = 2  cos 60  . cos 45  

f. cos  x  y   cos  x  y  = 2 cos x cos y

g. sin  4 A  2 B   sin  2 A  6 B  =

2 cos  3 A  4 B  sin A  2 B 

h. sin  3 p  5 q   sin  p  q  =

2 sin  2 p  2 q  cos p  3 q 

i. cos  2 x  y   cos  4 x  3 y  =

2 cos  3 x  y  cos  x  2 y  j. cos  A  2 B   cos  A  2 B  = 2 sin A sin   2 B 

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 74

2. a. sin 40   sin 50  = 2 sin 45  cos   5  = 2 cos 5 

2 cos    sin   2 2

2 cos      sin     = cot 30 h. cos = 2   cos 2  2 cos      cos    

= tan     

2 sin  s  t cos s  t 2 2

1 j.

cos s  cos t 2 cos s  t

s  = t  3 

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 75

= 2 . 2 . 3 = sin A  sin B  sin 

180   A  B  

2 2 = sin A  sin B  sin  A  B 

6 = sin A  sin B   sin A cos B  cos A sin B 

sin 3   sin 33 

2 sin 18  cos   15 

= sin A  1  cos B   sin B  1  cos A 

e. =

cos 3   cos 33  2 cos 18  cos   15  

A B  C  20  

= 4 sin sin f. cos =

2 cos 30 sin

cos 20   cos 40   2 sin 30 sin   10 

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

 180   A  B  

= sin 2 A  sin 2 B  sin 2  180   A  B  

= sin 2 A  sin 2 B    sin 2  A  B  

A B A B = cos   + cos   + sin cos  cos sin

= sin 2 A  sin 2 B   sin 2 A cos 2 B  cos 2 A sin 2 B  2  

= sin 2 A  1  cos 2 B  sin 2 B 1  cos 2 A  A 

= cos     1 sin  + cos     1 sin 

4 sin A sin B cos A sin B  sin A cos B   

= 4 sin A sin B sin  A  B 

= 4 sin A sin B sin  180   A  B  

= 4 sin A sin B sin C

b. cos A  cos B  cos C sin A  sin B  sin C 4 cos  A cos B cos  2 C 2 2

= cos A  cos B  cos  180   A  B  

4. a.

sin A  sin B  sin C 4 sin  A sin B cos  2 C 2 2

= cos A  cos B    cos  A  B  

= cos A  cos B   cos A cos B  sin A sin B 

= cot   cot    2 

= cos A  1  cos B   cos B  sin A sin B sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C 4 sin A sin B sin C

= sin A  sin B  sin  180   A  B   = sin A  sin B  sin  A  B 

= sin A  sin B  sin A cos B  cos A sin B

= sin A  1  cos B   sin B  1  cos A 

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 76

9. D.  15  3 

Ujian Kompetensi Akhir Bab 3

A. Pilihan Ganda

cos  x  y  = cos x cos y  sin x sin y = 5

1 1. A. 1 

cos x cos y =

sin  A  B   sin A cos B  cos A sin B  q

sin      = sin  cos   cos  sin 

sin      = sin  cos   cos  sin  =n = cos 2  2   p cos  

 cos  sin  = m-n

1  p 2 cos = 2   

5. A. 0 2

sin  A  B  = sin A cos B  cos A sin B = sin 30 =

sin  A  B  =  

sin  4      sin  4      = 2 cos 4  sin 

 cos 3  sin

  cos

 = cos 6 

sin      = sin  cos   cos  sin 

tan 840   tan 660  =

= p 1  q  1  p . q =  tan 120  tan 300

2 tan 2 

2 . 360  120   tan  360  300 

=  tan 120  tan  180  120 

13. C. 2 x  1

=  tan 120  tan 120

=  2 tan 120 =  2 tan  180  60 

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 77 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 77

x 2 sin 3  sin  2 sin 3 sin   y 2    =  cos 2 3   cos 2   2 cos 3  cos 

15. A.  5  1 

2  cos 60  cos   10  k  

x 1  tan x  1  0 cos 25  cos 35 

tan 2

 1 2  cos 30  cos    10

tan x 1 =   1  5  ; tan x 2 =

2 2 1 cos 1 10  k  1    k 3

cos  B cos C = 2 cos  B  C  cos B  C 

2 cos 45 cos   30 

2  cos 90  cos   60  

sin 1     

sin  cos   cos  sin  cos  cos 

cos      cos  cos   sin  sin 

sin  2 A3  B  = sin 2 A cos 3 B  cos 2 A sin 3 B 38. D. 1 sin A

sin  2 A3  B  cos  2 A3  B  =

1 2 sin     sin     

 sin 4 A  sin 6 B  = 2   8 2   8 2  

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 78

T  x  h   T x tan  x  h   tan x

tan x  = tanh tan 45   tan 

1  tan x tanh  tan x

tan 30   tan 15 

1 2  tan 30  tan 15  tan x  tanh  tan x  tan x tanh

2 tan 2 15 

1  tan 15   tan 15 

h  1  tan x . tanh 

1 2 tan 15 

1  tan 2 15  . tan 15 

tanh 1  tan x

h  1  tan x . tanh 

3 tan 15   tan 15 

= 1  3 tan 2

15 2  tanh sec x

h 1  tan x tanh 1  tan A tan B 1

3 1 1 3. a. cot  A  B

 sin A 

b. cot  A  B  =

B. Bentuk Uraian

1  tan  2 1  2 x 1  x

1. a. sin  s  t  = sin s cos t  cos s sin t

b. cos  s  t  = cos s cos t  sin s sin t

f  x  h   f x sin  x  h   sin x

2. a. =

h h x tan 2  sin  2  6. a. 

sin x cosh  cos x sinh  sin x

g  x  h   g x cos  x  h   cos x

  tan 2   sin 2    tan 2   sin 2   

2 2 b. 2

cos x cosh  sin x sinh  cos x =

4 tan 2  sin 2  

2  2 cosh  1   sinh  = 16 tan 2  sin 2 

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab 3 | page 79

 1  cos 2  2

= 16  2 tan 2   sin

= 16  tan 2   sin 2    tan 2   sin 2  

 1  m   1  m

a. sin 2 x 

b. sin 3 x  sin  2 x  x 

= sin 2 x cos x  cos 2 x sin x

d. cos 3 x = .

10. a. sin 5 x = sin  2 x  3 x 

= sin 2 x cos 3 x  cos 2 x sin 3 x = 2 sin 2 x cos 2 x cos x  sin 2 x sin x

sin 2 2 x cos 2 x cos x  cos 2 x sin x = sin x cos 4 x  2 sin 2 x cos 2 x cos x

b. cos 5 x = cos  2 x  3 x 

= cos 2 x cos 3 x  sin 2 x sin 3 x = 2 cos 2 x cos x  cos 2 x sin 2 x sin x 

sin 2 2 x cos x  sin 2 x cos 2 x sin x = cos x cos 4 x  2 sin x sin 2 x cos 2 x

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jl.2A- Sukino Bab3 | page 80