Transformasi geometri kul 2 web Copy

Transformasi geometri

Definisi :
Pemindahan objek (titik, garis, bidang datar)
pada bidang.
Perubahan yang (mungkin) terjadi:
• Kedudukan / letak
• Arah
• Ukuran

Jenis-jenis Transformasi Geometri
•
•
•
•
•
•

Proyeksi
Pergeseran tanpa merubah bentuk(Translasi)
Pencerminan (Refleksi)

Pemutaran (Rotasi)
Perkalian bangun/penskalaan (Dilatasi)
Pergeseran merubah bentuk(shear)

Proyeksi
• Suatu titik atau sistem diproyeksikan terhadap suatu garis
acuan sehingga setiap titik atau sistem tersebut sejajar
dengan garis acuan.
• Proyeksi merupakan jarak terpendek.
Jika titik A diproyeksikan terhadap sumbu x, maka hasil tersebut
adalah titik B dengan AB merupakan jarak terpendek titik A
terhadap sumbu x.
Jika diproyeksikan terhadap sumbu y, maka hasilnya adalah titik
C dengan AC merupakan jarak terpendek titik A terhadap
y
sumbu y
A
C

O

B

x

Proyeksi titik terhadap garis x= y
Titik A(a,b) diproyeksikan pada
garis y = x menghasilkan titik
A’(a’,b’)
Cara mencari matrik transformasinya adalah sebagai berikut :
Perhatikan bahwa :
a= r cos θ dan b = r sin θ
a’=OA’ cos 45 dan b’ = OA’ sin 45
OA’=r cos (45 – θ)
Maka :
a’= r cos (45 – θ) cos 45
a b
= r cos 45 cos 45 cos θ + r cos 45 sin 45 sin θ = 
2 2
a b

Karena a’ = b’, maka b’ = 2  2

Sehingga diperoleh :

a b�
�

1
1
�
�
a�
a
�
� �
��
2
2�
2
2

A�
 � � �

�
�
�
��
1
1
b�
b
a b�
�
� �
��
�
2
2�

�

2 2�
Matrik transformasi untuk titik
yang diproyeksikan pada garis y = x

 Translasi
• Suatu titik atau sistem mengalami pergeseran namun
tidak merubah bentuk, karena setiap titik penyusun
sistem mengalami pergeseran yang sama.
• Contoh : Sebuah titik P(x,y) ditranslasikan sejauh a
satuan sepanjang sumbu x dan y satuan sepanjang
sumbu y, diperoleh peta titik P’(x’,y’).
y’

Y

P’(x’,y’) = P’(x+a,y+b)

a
T= b

y

P(x,y)

b
a
X

O

x

x’

Translasi dari titik P ke titik P’ secara linier.
P’(x’,y’)

dy

P(x,y)

dx

x’ = x + dx
y’ = y + dy
Model Matrik:

 x'  x   dx 
 y '  y    dy 
     

• Sebuah buku yang terletak di atas meja digeser sejauh
h, maka setiap titik yang menyusun buku tersebut
harus bergeser sejauh h juga.

Buku bergeser dalam satu arah yaitu arah x positif

• Bagaimana jika buku digeser ke arah x dan y
sekaligus ?

• Penulisan proses translasi titik A menjadi titik M, dan
titik B menjadi titik N dengan
h
��
T  ��adalah :
s
��

A( a, c)

B(b, c)

h
��
T  ��
s
��

h
��

T  ��
s
��

M(a  h, c  s)

N(b  h, c  s)

Contoh soal :
Tentukan bayangan dari lingkaran (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9 jika
3
��
ditranslasikan oleh :
T  ��
4
��
Jawab :
Misalkan titik P(a,b) adalah titik pada lingkaran, sehingga
persamaan dapat ditulis : (a – 2)2 + (b – 1)2 = 9.
Titik P ditranslasi dengan

P(a, b)

3
��
T  ��
4
��

3
��
T  �� diperoleh titik T’ sbb :
4
��

P'(a  3, b  4)

Maka : a’ = a + 3 dan b’ = b + 3
a = a’ – 3 dan b = b’ – 3
Substitusi ke persamaan :

(a’ – 3– 2)2 + (b’ – 4– 1)2 = 9
(a’ – 5)2 + (b’ – 5)2 = 9
Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9
Cara lain :
Persamaan lingkaran mempunyai pusat (2,1). Dengan
dilakukan translasi pusat lingkaran diperoleh :

O(2,1)

3
��
T  ��
4
��

O'(2  3,1  4)  O '(5,5)

Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9

Pencerminan (refleksi)
• Transformasi pencerminan /refleksi menghasilkan
bayangan yang tergantung pada acuannya.

• Refleksi terhadap sumbu x
Refleksi titik A (a, c) terhadap sumbu x
menghasilkan bayangan yaitu A’(a’, c’),
demikian juga untuk titik B dan titik C.
Diperoleh persamaan bahwa : a’ = a,
b’ = b, c’= -c dan seterusnya sehingga
persamaan matrik transformasinya
adalah :
1 0�
�
Tx  � �
0 -1�
�

Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c)
Dengan notasi matrik :

sumbu x

x�
�
�
 Tx
�
�
y�
�
�

A’(a, -c)

x
1 0�
x
��
�
��
� �
��
��
y
0
-1
y
�� � �
��

•Refleksi terhadap sumbu y
Sama seperti refleksi terhadap
sumbu x menghasilkan persamaan
a’= - a, b’ = - b dan c’ = c dan
seterusnya. sehingga persamaan
matrik transformasinya adalah :
-1 0 �
�
Ty  � �
�0 1�

Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c)

Dengan notasi matrik :

sumbu y

x�
�
�
 Ty
�
�
y�
�
�

A’(-a, c)

x
-1 0 �
x
��
�
��
� �
��
��
y
0
1
y
�� � �
��

• Refleksi terhadap titik asal (0,0)
Menghasilkan persamaan :
a’= - a, dan c’ = -c,
b’= - b, dan c’ = -c,
d’= - d, dan c’ = -c,
sehingga persamaan matrik
transformasinya adalah :
-1 0 �
�
T(0,0)  � �
�0 -1�
Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c)

titik(0,0)

A’(-a,-c)

Dengan notasi matrik :

x�
x
-1 0 ���
x
�
�
��
�
 T(0,0) �� �
�
�
���
�
y
y
0
-1
y
��
�� �
���

• Refleksi terhadap garis y = x
Menghasilkan persamaan :
a’= c, dan c’ = a,
b’= c, dan c’’ = b,
d’= e, dan e’ = d dan seterusnya
sehingga persamaan matrik
transformasinya adalah :
Ty  x

0 1�
�
� �
1 0�
�

Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c)

y=x

A’(c,a)

Dengan notasi matrik :

x�
x
0 1���
x
�
�
��
�
 Ty  x �� � ���
�
�
y�
y
1 0 ���
y
�
�
��
�

• Refleksi terhadap garis y = - x
Menghasilkan persamaan :
a’= -c, dan c’ = -a,
b’= -c, dan c’’ = -b,
d’= -e, dan e’ = -d dan seterusnya,
sehingga persamaan matrik
transformasinya adalah :
Ty  x

0 -1�
�
� �
-1 0 �
�

Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c)

y =- x

A’(-c,-a)

x�
x
0 -1 �
x
�
�
��
�
��
 Ty  x �� �
Dengan notasi matrik : �
�
�
��
�
y
y
-1
0
y
��
�� �
�
��

• Refleksi terhadap garis y = h
Sumbu x digeser sejauh h,
menghasilkan persamaan :
a’= a, dan c’ = 2h-c,
b’= b, dan c’ = 2h-c,
d’= d, dan e’ = 2h-e,
sehingga notasi persamaan matrik
transformasinya adalah :
x�
1 0�
x
0 �
�
� �
��
�
� �
� �
�
�
��
y�
0 -1�
y �
2h �
�
� �
��

Bukti :
Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x yang baru
adalah y = h. Maka koefisien setiap titik berubah menjadi (x’,
y’) dengan :
x�
x ��
0 �x �
�
� ��
 �� �� � �
�
�
y�
y ��
h direfleksikan
y  h � pada sumbu-x yang baru
�tersebut
��
�
Kemudian�
titik

menjadi :
�
x�
1 0 �� x � � x �
�
� �
 � ��sumbu-x
�
�
�
�
� ke sumbu-x
Tahap terakhir,
menggeser
yang
baru
�
�
y
0
-1
y

h

y

h
� �
�� translasi
� �diperoleh:
�
semula �
dengan
memakai
�
�
x�
0
�
� � x � ��
� x �
�
 �� �
�
�
�
�
�
�
�
y

y

h
h

y

2
h
� � �
� �� �
�
x ��
0 � �
1 0 ���
x
0 �
�
�
 � � � � � ��� � �
- y� �
2h � �
0 -1���
y
2h �
�
�

• Refleksi terhadap garis x = k
Sekarang yang digeser adalah
sumbu y sejauh k, menghasilkan
persamaan :
a’= 2k-a, dan c’ = c,
b’= 2k-b, dan c’ = c,
d’= 2k-d, dan e’ = e,
sehingga notasinya adalah :
A(a,c)

Dengan notasi matrik :

x=k

A’(2k-a,c)

x�
-1 0 ���
x
2k �
�
� �
�
�
� �
�
�
�
��
y�
0 1 ���
y �
0 �
�
� �

Contoh Soal :
Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan titik
sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika direfleksikan
terhadap sumbu-x, kemudian dilanjutkan dengan refleksi
terhadap sumbu-y.
Jawab :
Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua tahap
yaitu mencari bayangan jajaran-genjang ABCD dari
refleksi terhadap sumbu-x, kemudian bayangan yang
terjadi direfleksikan terhadap sumbu-y.

Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut :

Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan pada sb-y

Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’ dengan
titik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-1,-11).
Coba pikirkan :
Bagaimana cara mendapatkan matrik transformasi pada
suatu sistem yang mengalami refleksi lebih dari satu
kali tetapi penyelesaiannya hanya dengan
mengunakan satu tahap saja ?

Perputaran (rotasi)
• Rotasi adalah perpindahan obyek dari titik
P ke titik P’, dengan cara diputar dengan
sudut 
y
P’(x’,y’)



x’ = x cos() - y sin()
y’ = x sin() + y cos()
P(x,y)
x

• Untuk memudahkan perhitungan, maka dibuat notasi
dalam bentuk matrik :

x�
cos  -sin ���
x
�
� �
�
�
�
�
��
�
y� �
sin cos ���
y
�
dengan :
- sin θ dan cos θ adalah fungsi linier dari θ
- x’ kombinasi linier dari x dan y
- y’ kombinasi linier dari x dan y

Bukti :
Titik A berpindah ke titik A’ sejauh α.
Dalam koordinat kutub, titik A(a,b) ditulis : A(r cos θ, r sin θ).
Sedangkan A’(a’,b’) ditulis : A’(r cos (θ + α), r sin (θ + α)).
Maka, diperoleh :

Matrik transformasi
untuk titik yang dirotasi
terhadap titik pusat O (0,0)

 Penskalaan (dilatasi)
• Merupakan transformasi suatu titik atau sistem
terhadap suatu acuan yang menyebabkan jarak titik
atau sistem berubah dengan perbandingan tertentu.
(Perpindahan titik P ke titik P’ dengan jarak titik P’
sebesar m kali titik P)
y
P’(x’,y’)

my.y

P(x,y)

mx.x

x

x’ = mx x
y’ = my y

• Dalam bentuk matrik dituliskan :

mx 0 ���
x
�x�
��
�
�y�
� �
��
0 my ���
y
�� �
• Transformasi ini tidak mengalami perubahan bentuk,
hanya mengalami perubahan ukuran karena jarak
titik-titik penyusun berubah dengan perbandingan
tertentu terhadap acuan.

• Dikenal suatu istilah faktor dilatasi k yang menyebabkan perbesaran atau perkecilan suatu sistem.
• Jika nilai k (bilangan nyata):
 k> 1 : hasil dilatasi diperbesar
 -1