INTISARI MATEMATIKA blm slesai INTISARI MATEMATIKA blm slesai

Materi Matematika :


Operasi Hitung Campuran Bilangan Bulat



Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat



FPB dan KPK



Akar dan pangkat



Perbandingan



Operasi hitung pada pecahan



Operasi hitung pada bilangan desimal



Penulisan Bilangan Bentuk Baku



Aljabar



Aritmatika sosial



Persamaan linear satu variabel



Himpunan



Luas bangun datar



Keliling bangun datar



Volume bangun ruang



Luas permukaan bangun ruang



Prisma



Limas



Kubus dan Balok



Fungsi



Persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabel



Persamaan garis



Eksponen dan logaritma



Persamaan dan pertidaksamaan eksponen dan logaritma



Transformasi Geometri



Permutasi dan kombinasi



Peluang



Trigonometri



Diferensial



Integral



Logika



Limit



Komposisi fungsi



Lingkaran



Polinomial



Persamaan dan Pertidaksamaan



Program Linear



Vektor Notasi sigma dan induksi matematika

FPB & KPK

Faktor
prima

56

28

63

Keterangan

2

28

14

2

14

7

2

7

7

63 Semua bilangan prima dibagi dengan
faktor prima, jika ada bilangan yang tidak
63
dapat dibagi maka turunkan. Begitu
63 seterusnya sampai berakhir 1.

7

1

1

9

3

1

1

3

1

1

1

MENENTUKAN KPK DAN FPB
1. Menentukan Faktorisasi Prima untuk Mencari KPK
Contoh soal : tentukanlah KPK dari 56, 28 dan 63
KPK dari 56, 28, dan 63 dalam bentuk faktorisasi prima adalah 2 X 2 X 2 X 7 X 3
dan ditulis =

23X7X3

=

8 X7X3

Maka KPK dari 56, 28 dan 63 adalah 168 yaitu hasil kali faktor-faktor prima

2. Menentukan Faktorisasi Prima untuk Mencari FPB
Contoh soal : Tentukanlah FPB dari 64, 80 dan 96 !

Penyelesaian :

Faktor Prima

70

80

90

2

35

40

45

5

7

8

Bilangan 7, 8 dan 9 sudah
tidak dapat dibagi dengan
bilangan prima yang sama,
maka hentikan.

Keterangan

Semua bilangan prima dibagi dengan
faktor prima dengan pembagi yang
9
sama, begitu seterusnya sampai tidak
dapat dibagi dengan pembagi yang
sama

FPB dari 70, 80, dan 90 dalam bentuk faktorisasi prima adalah 2 X 5
Maka FPB dari 70, 80, dan 90 adalah 10 yaitu hasil kali faktor-faktor prima.

____________________________________________________________________________

OPERASI HITUNG CAMPURAN BILANGAN CACAH DAN BILANGAN
BULAT

Operasi hitung campuran adalah operasi hitung yang melibatkan penjumlahan, pengurangan,
perkalian dan pembagian.
hal yang harus kita perhatikan, yaitu :
1. Kerjakan lebih dahulu operasi hitung yang berada dalam kurung
2. Penjumlahan dan pengurangan sama kuat, maka kerjakanlah secara berutan dari depan
atau dari kiri ke kanan
3. Perkalian dan pembagian lebih kuat daripada penjumlahan dan pengurangan maka
dahulukanlah mengerjakannya.
4. Perkalian dan pembagian sama kuat, maka kerjakan secara berurutan dari kiri ke kanan.
5. Mengetahui operasi perkalian bilangan positif X positit, positif X negatif, negatif X negatif
dan negatif X negatif

6. Mengetahui operasi pembagian bilangan positif : positif, Positif : negatif, negatif : negatif
dan negatif : negatif

Perhatikan contoh soal berikut !

dan juga perhatikan contoh berikut !

____________________________________________________________________________________

MENGHITUNG BILANGAN KUADRAT

Berdasarkan tabel bilangan di atas kita buat penyederhanaannya menjadi :

selanjutnya

contoh :

MENARIK AKAR PANGKAT TIGA (KUBIK)
untuk dikalikan, jika belum ditemukan cari
terus 3 angka tersebut sehingga ditemukan
hasil dari akar pangkat tiga tersebut.
2. Faktor Prima : Mencari faktor prima dari
akar pangkat tiga tersebut, secara berantai.
. Mari kita lihat contoh berikut :

METODE LAIN
Metode yang digunakan biasanya yaitu :
1. Trial Error : Mencari 3 angka yang sama

Akar pangkat tiga dari kubik sempurna
Bilangan 216.000 adalah bilangan kubik sempurna karena 216.000 = 60 3.
Semua bilangan yang memiliki angka terakhir 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dapat menghasilkan nilai akar
pangkat 3 yang bilangannya memiliki angka terakhir sebagai berikut:
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

8

7

4

5

6

3

2

9

Atau dapat disimpulkan, sbb :

Bilangan depan antara

“

1 s/d 8

8 s/d 27

hasil puluhannya adalah

1

“

2

“

27 s/d 64

“

3

“

64 s/d 125

“

4

“

125 s/d 216

“

5

“

216 s/d 343

“

6

“

343 s/d 512

“

7

“

512 s/d 729

“

8

“

729 s/d 999

“

9

Sifat-sifat perpangkatan (bentuk aljabar)
Untuk setiap a, b, c, bilangan cacah berlaku:

1. (a x b)c = ac x bc atau

(an)m = an x m

(an x bm)p = anp x bnp
2. [a/b]c = ac : bc
3. ab x ac = ab+c

acbc

ab : ac = ab-c

; syarat: b ≥ c, (ab)c = abc

4. a-b = 1/pa
5. Bilangan nol dalam perpangkatan
0a = 0
a0 = 1

Sifat-sifat penarikan akar
Untuk setiap a, b, c bilangan cacah berlaku :

_______________________________________________
OPERASI MENARIK AKAR ( yg bilangannya bukan kuadrat).

a. Dengan perkalian factor

Contoh :

150

=

25 x 6

= 5

6

25 salah satu factor dari 125 yg merupakan bilangan kuadrat .

200

=

100 x 2 = 10

2

100 salah satu factor 200 yg merupakan bilangan kuadrat.

3

16

3

=

8x2 = 2

3

2

8 adalah salah satu factor 16 yang merupakan bilangan kubik.

3

54

3

=

27 x 2

=

3

3

2

b. Dengan menghitung sampai ke satu angka decimal.

Contoh :

1.

150

150

=

144 <

150 <

=

12

15

=

12

<

150 – 144

169

<

= 12

13

6/19

= 12, 2

169 – 150

2.

200 =

196

<

200

=

14

<

200 <

=

14

200-196

200

<

225

25

14 4/25 = 14, 1

=

225-200

3.

3

16

=

3

8

=

3

16

=

2

2

<

3

16

<

<

3

16

<

16 - 8
27- 8

3

27

3

= 2 8/19 = 2,4

4.

3

54

3

=

=

3

54

=

27

3

<

3

<

3

54 – 27

54

3

54

=

3

<

<

3

64

4

27/37 = 3,7

64 - 27

c. Menarik akar kuadrat dengan grafik kartesius dengan y = x 2.

Contoh :

60

=

7

11/15 =

7,7

0

BANGUN DATAR

Persegi Panjang



Keempat sudutnya siku-siku

Sifat - sifat :



Memiliki 2 diagonal yang sama
panjang



Memiliki 2 simetri lipat



Memiliki Simetri putar tingkat 2



Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut



Memiliki 2 pasang sisi sejajar,
berhadapan dan sama panjang



Memiliki 4 sudut yang besarnya 90
derajat

 Luas = p x l
 Keliling = 2x(p+l)

Persegi



Sudut
besar



Diagonalnya tidak sama panjang



Tidak memiliki simetri lipat



Memiliki simetri putar tingkat 2



Luas = a x t



Keliling = AB + BC + CD + AD

Sifat - sifat :



Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut



Memiliki 2 pasang sisi yang sejajar
dan sama panjang



Keempat sisinya sama panjang



Keempat Sudutnya sama
yaitu 90 derajat (siku-siku)



Memiliki 4 simetri lipat



Memiliki simetri putar tingkat 4



Luas = s x s



Keliling = 4 x s

besar



Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut



Memiliki 2 pasang sisi yang sejajar
dan sama panjang



Memiliki 2 sudut tumpul dan 2
sudut lancip

berhadapan

sama

Belah Ketupat
Sifat - sifat :



Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut



Keempat sisinya sama panjang



Memiliki 2 pasang sudut yang
berhadapan sama besar



Diagonalnya
lurus



Memiliki 2 simetri lipat



Memiliki simetri putar tingkat 2



Luas = ½ AC x BD



Keliling = AB + BC + CD + AD

Jajar Genjang
Sifat-sifat :

yang

Layang- layang
Sifat - sifat :

berpotongan

tegak



Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut



Memiliki 2 pasang sisi yang sama
panjang



Memiliki 2 sudut yang sama besar



Diagonalnya
lurus



Salah satu diagonalnya membagi
diagonal yang lain sama panjang



Memiliki 1 simetri lipat.

berpotongan



Trapesium sama kaki : Sisi
diantara sisi sejajar sama panjang.
Memiliki 2 pasang sudut yang
sama besar, diagonalnya sama
panjang, Memiliki 1 simetri lipat.



Trapesium siku-siku : Memiliki 2
sudut siku-siku. Diagonalnya tidak
sama panjang. Tidak memiliki
simetri lipat.



Trapesium sembarang : Keempat
sisinya
tidak
sama
panjang,
Keempat sudutnya tidak sama
besar. Diagonalnya tidak sama
panjang, Tidak memiliki simetri
lipat.

tegak

Segitiga
Sifat-sifat




Luas = ½ x AC x BD


Mempunyai 3 sisi dan 3 titik sudut



Jumlah
derajat



Luas = ½ x a x t



Keliling = AB + BC + AC

Keliling = AB + BC + CD + AD

Trapesium
Sifat -sifat :

ketiga

sudutnya

180



Memiliki 4 sisi dan 4 titik sudut



Memiliki sepasang sisi yang sejajar
tetapi tidak sama panjang



Sudut - sudut diantara sisi sejajar
besarnya 180 derajat



Mempunyai 3 buah sisi
panjang, yaitu AB=BC=CA;



Luas = (a+b) x t/2



Mempunyai 3 buah sudut yang
besar , yaitu A = Himpunan kosong.
5. Himpunan Kuasa (Power Set)
Adalah himpunan yang anggota-anggotanya berasal dari semua himpunan bagian suatu
himpunan.
Contoh :
Jika A = { 1,2,3 } ,maka himpunan kuasa A (2A) adalah :
2A = { [1],[2],[3].[1,2],[1,3],[2,3],[1,2,3],[ ] }

Jika n (A) = n maka n (2A) = 2n
6. Himpunan Penyelesaian
Adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan jawaban dari suatu soal.
Contoh :
A = { x│x2 – 5x + 6 = 0 }
himpunan penyelesaian : { 2,3 }
D. OPERASI HIMPUNAN
1. Gabungan (union)
Adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota-anggota himpunan asal

Jika di gambar dengan diagram venn,maka :

2. Irisan (Interseksi)
Adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota-anggota kedua himpunan
sekaligus.
Jika di gambar dengan diagram venn,maka :

Yang diarsir adalah A ∩ B

3. Selisih (Difference) A - B
Adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota A tetapi tidak menjadi
anggota B.

Yang diarsir adalah A - B

Kemungkinan :


A – B = sebagian dari A,jika A berpotongan dengan B



A – B = A ,jika A saling asing dengan B



A – B = { } ,jika A = B
4. Tambah (Plus) A + B
Adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota gabungan dan tidak
merupakan anggota irisan.

Diagram vennya :

Yang diarsir adalah A + B
E. HUKUM-HUKUM DALAM HIMPUNAN
1. Komutatif
5.

Demorgan

6.

Identitas

7.

Komplemen

2. Asosiatif

3.

4.

Distributif

Absorbsi

F. PENGGUNAAN DIAGRAM VENN
1. Menentukan daerah hasil suatu operasi himpunan
Contoh :
Arsirlah operasi himpunan (A – B) ∩ C ,jika B,C,A dan B ∩ C ≠ Ø
Jawab :

2. Menetukan hasil operasi himpunan yang diagramnya sudah diketahui.

Yang diarsir adalah :
1. (B ∩ C) - A
2. AC ∩ B ∩ C

3. Menentukan banyaknya anggota himpunan.
Cara : a. Gunakan diagram venn ,atau
b. gunakan rumus-rumus :

Contoh :
Dari 30 orang terdapat 20 orang yang senang matematika,15 orang senang biologi dan 10 orang
senang kedua-duanya. Berapakah yang tidak senang kedua-duanya.
Jawab :

30 = 10 + 5 + x + 10 =====> x = 5
Jadi yang tidak senang kedua-duanya adalah 5 orang.

Rangkuman


Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang ciri-cirinya jelas, sehingga dengan
tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam
himpunan tersebut.



Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A,
B, C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis
dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.



Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan kata-kata, dengan notasi
pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-anggotanya.



Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga.
Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.



Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua
anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya
dilambangkan dengan S.



a. Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi
anggota B dan dinotasikan
b. Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jika terdapat anggota A yang
bukan anggota B dan dinotasikan
c. Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan A sendiri, ditulis .
d. Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah , dengan n banyaknya
anggota himpunan tersebut.



a. Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua
himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan.
b. Dua himpunan dikatakan sama, jika kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat
sama.
c. Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika n(A) = n(B).



Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan
anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut. Irisan himpunan A dan B dinotasikan
dengan



Gabungan (union) himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri
atas anggota-anggota A atau anggotaanggota B. Gabungan himpunan A dan B dinotasikan
dengan

Banyak anggota dari gabungan himpunan A dan B dirumuskan dengan
.


Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif.

Jenis Himpunan
Jenis
Himpunan A yang anggotaanggotanya semua huruf
kecil dalam abjad (latin).
Himpunan yang
anggotanya sama banyak

Notasi
A = {a, b, c, ...}

Keterangan
A adalah nama yang diberikan kepada
suatu himpunan

ARB

A = {1, 2, 3, 4}
B = {a, b, c, d}
Banyaknya anggota A = 4 ditulis n(A) =
4.
Banyaknya anggota B = 4, ditulis n(B) =
4.

Himpunan yang sama

A=B

n(A) = n(B) = 4
Himpunan A dikatakan sama dengan
himpunan B bila setiap anggota A juga

Himpunan kosong

{ } atau Ø

Himpunan bagian
Himpunan universum atau
semesta pembicaraan
Himpunan komplemen

A T B
U atau S

Himpunan lepas (disjoint)

A || B

A’ Atau Ac

menjadi anggota B dan sebaliknya.
Himpunan yang tidak mempunyai
anggota sama sekali.
A himpunan bagian dari himpunan B.
Adalah himpunan dari semua unsur yang
dibicarakan.
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A = {3, 5}
A’ = Ac = himpunan komplemen dari A =
{1, 2, 4, 6}
Himpunan A lepas dari himpunan B bila
tidak ada anggota A yang menjadi
anggota B.

Operasi Himpunan
Jenis Operasi
1 Gabunan (Union)

2 Irisan
(intersection)

Hukum dan sifat-sifat Operasi
A U B = B U A disebut sifat komutatif gabungan
(A U B) U C = A U (B U C) disebut sifat asosiatif gabungan
AUØ=A
AUU=U
AUA=A
A U A’ = U Disebut sifat komplemen gabungan
A W B = B W A disebut sifat komutatif irisan
AWA=A
AW = Ø
AWU=A
A W A’ = Ø disebut sifat komplemen irisan
(A W B) W C = A W (B W A) disebut sifat asosiatif irisan

2 Distributif

A U (B W C) = (A U B) W (A U C); disebut sifat distributif
gabungan terhadap irisan.
A W (B U C) = (A W B) U (A W C); disebut sifat distributif irisan
terhadap gabungan.

3 Selisih

A–A= Ø
A–Ø=A
A – B = A W B’
A – (BUC) = (A – B)W (A – C)
A – (B W C) = (A – B)U(A – C)
(A’)’ = A
U’ = Ø
Ø’ = U
AUA’ = U
AWA’ = U
AWA’= Ø
n(A) + n(B) K n(AUB)
n(AUB) = n(A) + n(B) – n(AWB)
n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AWB) – n(BWC) – n(CWA) +
n(AWBWC)
n(A) + n(B) = n(AUB) + n(AWB)
n(A) + n(B) + n(C) =n(AUBUC) + n(AWB) + n(AWC) + n(BWC) –
n(AWBWC)

4 Komplemen

5 Banyaknya
Anggota

Diagram Venn
Pernyataan
1 Himpunan Semesta
U

2

U=
{1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Diagram

3

ATU

4

ATU
BTA
BTU

5

A=B

6

CTBTATU
Contoh {Bilangan
Asli}
A = {1,2,3,... 10}
B = {1,3,5,9}
C = {1,3}

Operasi
Gabungan
Himpunan

Diagram
A = {a,b,c,d}
B = {e,f}
AUB=
{a,b,c,d,e,f,}

A = {1,2,3,4}
C = {3,4,5}
A U C = {1,2,3,4,5}

E = {x,y,z}
F = {x}
E U F = {x,y,z}

Irisan

A = {a,b,c,d}
B = {c,d,e}
A W B= {c,d}

C = {a,b,c,d}
D = {a,b}
C W D = {a,b}

E = {a,b,c}
F = {1,2,3}
EWF={Ø}

Selisih
Himpunan

A = {a,b,c}
B = {d,e}
A / B = {a,b,c}

C = {1,2,3}
D = {3,4}
C / D = {1,2}

D / C = {4}

Himpunan
Komplemen

A’ atau komplemen
dari A

(A W B)’ = A’ U B’

A’ W B’ = (AUB)’

Perkalian Himpunan (Cartesian Product)
Notasi:
A x B = ...???
A = {a,b,c}
B = {p,q}
A x B = {(a,p),(a,q),(b,p),(b,q),(c,p),(c,q)}
Catatan:
(a,b) = (a,b)
(a,b) K (b,a)

Sifat-Sifat pada Operasi Bilangan Cacah (Aritmetika Bagian-01)
01. Sifat-Sifat pada Operasi Bilangan Cacah
{0,1,2,3,4,...} = Himpunan bilangan Cacah
{1,2,3,4,5,...} = Himpunan bilangan Asli

a. Sifat-sifat penjumlahan
Untuk setiap a, b, c, bilangan cacah berlaku:
- Sifat komutatif

: a+b = b+a

- Sifat Asosiatif

: (a+b)+c = a+(b+c)

- Elemen Identitas pada Penjumlahan

: a+0 = 0+a

b. Sifat-sifat pengurangan
Untuk setiap a,b,c,p,q, dan r bilangan cacah berlaku
1. (a - b) + c = (a + c) - b

; syarat
:

a>b

2. (a - b) + c = a - (b - c)

; syarat
:

a > b dan b > c

3. a - b = (a + c) - (b + c)

; syarat
:

a>b

4. (a - b) - c = (a - c) - b

; syarat
:

a > b dan (a-b) > c

5. (a - b) - c = a - (b + c)

; syarat
:

a > b dan (a-b) > c

6. a - b = (a - c) - (b - c)

; syarat
:

a > b dan b > c

7. (a + b + c) - (p + q + r) = (a - p) + (b - q) + (c - r)

; syarat
:

a > p, b > q, dan c > r

c. Sifat-sifat perkalian
Untuk setiap a, b, c, bilangan cacah berlaku
- Sifat Komutatif

: axb=bxa

- Sifat Asosiatif

: (a x b) x c = a x (b x c)

- Sifat Distributif

: (b + c) x a = (b x a) + (c x a)

perkalian terhadap penjumlahan
- Sifat Distributif

: a x (b - c) = (a x b) - (a x c)

perkalian terhadap pengurangan
- Unsur identitas pada perkalian

: ax1=1xa=a

- Sifat perkalian dengan bilangan Nol

: ax0=0xa=0

- Sifat perkalian untuk urutan

: Jika a < b, c ≠ 0, maka a x c < b x c

d. Sifat-sifat pembagian
1

Sifat bilangan nol dalam pembagian:
Untuk setiap a, b, c, p, q, dan r, bilangan cacah berlaku
0 : a = 0 untuk a ≠ 0
a : 0 = tidak didefinisikan
0 : 0 = tidak tentu

2.

(a : b) : c = a : (b : c)

; syarat
:

b faktor dari a dan c faktor dari b.

3.

(abc) : (pqr) = a/p x b/q x
c/r

; syarat
:

a, b, c, p, q, r merupakan bilangan-asli
- p faktor dari a
- q faktor dari b, dan
- r faktor dari c

4.

a : b = (ca) : (cb)

; syarat
:

c ≠ 0, dan b faktor dari a

5.

a : b = [a/c] : [b/c]

; syarat
:

b faktor dari a dan c faktor dari b

6.

(a : b) : c = a : (b : c)

; syarat
:

b dan c faktor-faktor dari a

7.

(a : b) : c = (a : c) : b

; syarat
:

b dan c faktor-faktor dari a

8.

Sifat distributif pembagian terhadap penjumlahan:
(a + b) : c = [a/c] + [b/c]

9.

; syarat
:

c faktor dari a dan b

Sifat distributif pembagian terhadap pengurangan:

(a - b) : c = a/c - b/c

; syarat
:

a > b dan c faktor dari a dan b

10. Jika a < b, c faktor dari a dan b, maka a/c < b/c

e. Sifat-sifat perpangkatan
Untuk setiap a, b, c, bilangan cacah berlaku:
1. (a x b)c = ac x bc
2. [a/b]c = ac : bc
3. ab x ac = ab+c
ab : ac = ab-c

; syarat:

b≥
c,

(ab)c = abc

4. Bilangan nol dalam perpangkatan
0a = 0
a0 = 1

f. Sifat-sifat penarikan akar
Untuk setiap a, b, c bilangan cacah berlaku

g. Sifat-sifat penarikan Logaritma

Cara Cepat Mengalikan Bilangan dengan 5, 10, 11, 25, 99, 999, 9999, ...
(Aritemetika Bagian-02)
1. Mengalikan Bilangan dengan 5, 10, 11, 25, 99, 999, 9999, ...
a. Mengalikan dengan 5
Cara Biasa:

Dengan Cara Singkat:

dengan cara mengalikan:

Dengan cara menambahkan “0” dibelakang 1575, kemudian dibagi 2.

1575

Contoh:

5 x
7875

15750 : 2 = 7875

b. Mengalikan dengan 10 dan kelipatannya
Bilangan Bulat:
100 x 10 =
15 x 10 =
15 x 100 =

Bilangan Desimal:
1.000
150
1.500

Cara mengalikan suatu bilangan dengan 10, 100,
1.000, ...; adalah dengan menambahkan 1, 2,
3, ...; angka Nol di belakang bilangan tersebut.

c. Mengalikan dengan 11

0,1 x 10 =

1

1,25 x 10 =

12,5

0,200 x 1.000 =

200

Mengalikan suatu bilangan desimal dengan 10,
100, 1000, ...; dengan cara memindahkan koma
(tanda desimal) sebanyak 1, 2, 3, ...tempat ke
kanan

11 x
1

11 = 121 contoh lain:
1

2

+
1

243 x 11 = 2673
4
+

2 1

3
+

2 6 7 3

d. Mengalikan dengan 25
Cara Biasa:
2138

Tambahkan dua angka nol di belakang 2138,

25 x
10690
4276

Cara Singkat:

kemudian bagi dengan 4
yaitu:

+

53450

213800 : 4 = 53450

e. Mengalikan dengan 99, 999, 9999, ...
3415 x 99 = 338085
Cara
Singkat:

Tambahkan dua angka nol dibelakang 3415,
kemudian kurangkan dengan bilangan itu sendiri
341500
3415 338085

3415 x 999 = 3411585
Cara
Singkat:

Tambahkan tiga angka nol dibelakang 3415,
kemudian kurangkan dengan bilangan itu sendiri

3415000
3415 3411585

3415 x 9999 = 34146585
Cara
Singkat:

Tambahkan empat angka nol dibelakang 3415,
kemudian kurangkan dengan bilangan itu sendiri
34150000
3415 34146585

2. Perbandingan

1. a : b = c : d ; seharga dengan a x d = b x c
2. a : b = c : d ; dapat diubah menjadi 4 perbandingan lain yaitu:
d:b=c:a
a:c=b:d
c:d=a:b
b:a=d:c

3. Pada setiap perbandingan suku-sukunya boleh dikalikan atau
dibagi dengan bilangan yang sama
a : b = c : d ; dapat diubah menjadi:
ma : mb =

m
c

b. ma : mb =

c.

a.

: md

atau:

c

:

atau:

d

:

b

=

m
c

: md atau:

d. ma :

b

=

m
c

:

: mb =

c

: md atau:

c

:

a

e.

a

f.

am :

b

=

d

d
m

atau:

atau:

a
m
a
m
a
a
m

:

:

b
m
b
m

=

=

:

b

=

:

b

=

b

a

:

a

: mb =

3. Bilangan Kuadrat dan Akar Kuadrat

m

=

c
m
c
c
m
c
m
c
c
m

:

:

:

:

:

:

d
m
d
d
m
d
d
m
d

a. Bilangan kuadrat dengan 5 sebagai angka terakhir
Bilangan 25 adalah bilangan kuadrat dengan 5 sebagai angka terakhir.
Himpunan bilangan kuadrat dengan 5 sebagai angka terakhir adalah 25, 225, 625, 1225, 2025.
Untuk mendapatkan bilangan kuadrat dengan 5 sebagai angka terakhir, perhatikan pola
berikut:
5 x 5 = 25
15 x 15 = 1 x 2

25 = 225

25 x 25 = 2 x 3

25 = 625

35 x 35 = 3 x 4

25 = 1.225

45 x 45 = 4 x 5

25 = 2.025

55 x 55 = 5 x 6

25 = 3.025

65 x 65 = 6 x 7

25 = 4.225

75 x 75 = 7 x 8

25 = 5.625

85 x 85 = 8 x 9

25 = 7.225

95 x 95 = 9 x 10 25 = 9.025

Angka terakhir Bilangan

Angka terakhir hasil akar

yang mau dicari akarnya
0

0

1

1 dan 9

4

2 dan 8

5

5

6

4 dan 6

9

3 dan 7

Contoh:
√3969 = ...?
bilangan 3969 memiliki angka terakhir “9”
Maka akar kuadratnya memiliki angka terakhir 3 dan 7
3969 > 3600 = 602 dan
3969 > 4225 = 652 atau 602 < √3969 < 652
Karena akar dari 3969 memiliki angka terakhir 3 atau 7, maka akar
kuadratnya 63 atau 67, dan yang paling mungkin adalah 63, jadi √3969
= 63
√2601 = ...?
Bilangan 2601 memiliki angka terakhir “1”
502 = 2500; 552 = 3025;
50 < √2601 < 55
Maka:
Akar kuadratnya memiliki angka terakhir 1 atau 9, maka nilai yang
mungkin adalah 51.
Jadi, √2601 = 51

Kubik dan Akar Pangkat Tiga (Aritmetika Bagian-08)

4. Kubik dan Akar Pangkat Tiga
a. Kubik

Bilangan berpangkat tiga antara lain adalah:
13

= 1

23

= 8

33

= 27

43

= 64

103

= 1.000

203

= 8.000

303

= 27.00
0

403

= 64.00
0

b. Akar pangkat tiga dari kubik sempurna
Bilangan 216.000 adalah bilangan kubik sempurna karena 216.000 = 60 3.
Semua bilangan yang memiliki angka terakhir 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dapat menghasilkan nilai akar
pangkat 3 yang bilangannya memiliki angka terakhir sebagai berikut:
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

8

7

4

5

6

3

2

9

Luas, Volume dan Perimeter
N
o
1

Bangun

Formula

Persegi
Panjang

Luas Daerah:
=pxl
Keliling:
= 2 x (p + l)

Diagram

Persegi Panjang
2

Persegi

Luas Daerah:
=sxs
Keliling:
= 4 x s atau 4∙s

Persegi
3

Lingkaran

Luas Daerah:
= ∙r2
Keliling:
= 2 r = d

Lingkaran
4

Segitiga

Luas Daerah:
= ½ alas x tinggi
= ½ ab sin 
= w {s(s-a)(s-b)(s-c)}
dimana s= (a+b+c)/2
Segitiga

5

Jajaran
Genjang

Luas Daerah:
= alas x tinggi
= x∙y sin Ø

Jajaran Genjang
6

Trapesium

Luas Daerah:
= ½ (a + b) ∙h

Trapesium
7

Belah Ketupat

Luas Daerah:
= ½ ∙p∙q

Belah Ketupat
8

Balok
(Kuboid)

Volume:
=pxlxt

Balok/Kuboid
9

Kubus

Volume:
= p3

Kubus

10

Tabung

Volume:
= r2t
Luas Bidang Lengkung
(selimut):
= 2 rt
Luas Alas = Luas Lingkaran:
= r2

11

Limas

Tabung

Volume Limas Alas
Segiempat:
= 1/3 Luas Alas x Tinggi
Volume Limas Alas Segitiga:
= 1/3 Luas Alas x Tinggi

Limas Alas Segi Empat

Limas Alas Segitiga

12

Kerucut

Volume:
= 1/3 Luas Alas x Tinggi
= 1/3 r2t
Luas Selimut Kerucut:
= rs
s = panjang garis pelukis
kerucut

Kerucut

13

Sektor

Luas sektor:
= /360 x r2
Panjang Busur:
= /360 x 2 r

Sektor
14

Prisma

Volume Prisma:
= Luas Alas x Tinggi
atau: v = Lt

Prisma
15

Bola

Luas Bola:
= 4 r2
Luas ½ Bola:
={ ½ 4r2} + r2
Volume Bola:
= 4/3 rt3

Bola

PERSAMAAN KUADRAT
SOAL-SOAL
1. UMPTN ’91/A/Matematika Dasar/No. 60
Jika akar-akar persamaan x2 + 2x – 8 = 0 ialah x1 dan x2,sedangkan akar-akar pesamaan x2 +
10x – 16p = 0 ialah 3x1 dan 4x2,maka nilai p adalah :
Jawab :
Cara Biasa :
x2 + 2x – 8 = 0
(x – 2) (x + 4) = 0
x1 = 2
x2 = -4
3x1 = 6
4x2 = -16
Persamaan yang dimaksud :
(x – 6) (x + 16) = 0
x2 + 10x – 96 = 0
16p = 96
p=6

2. SIP/88 dan PS I/83
x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan x2 – (p + 3)x + (2p + 2) = 0. Jika p bilangan asli dan
x1 = 3x2,maka p adalah :
Cara Biasa :
x2 – (p + 3) x + (2p + 2) = 0 ........(1)
x1 = 3x2,maka akar-akar dari persamaan kuadrat yang dimaksud :
(x – x2) (x – 3x2) = 0 ..........(2)
Dari persamaan (1) d