UKBM X 3.2 4.2 9 12 proyeksi vektor
1. Identitas
3.2 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut
antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga
berkomunikasi, berkolaborasi, berkreasi(4C)
4.3.1 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan proyeksi vektor Melalui diskusi, tanya jawab, penugasan, presentasi dan analisis, peserta didik dapat menemukan rumus proyeksi skalar, proyeksi orthogonal dan dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan proyeksi vektor, sehingga peserta didik dapat menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya, mengembangkan sikap jujur, peduli, dan bertanggungjawab, serta dapat mengembangankan kemampuan berpikir kritis,
3.2.12 Menentukan hasil proyeksi orthogonal dua buah vektor.
3.2.11 Menentukan hasil proyeksi skalar dua buah vektor.
3.2.10 Menjelaskan sendiri rumus proyeksi orthogonal dua buah vektor.
3.2.9 Menjelaskan sendiri rumus proyeksi skalar dua buah vektor.
4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga
2. PetaKonsep
Proyeksi Dua buah Vektor Konsep Vektor Satuan
Proyeksi Skalar Dua Buah Vektor Proyeksi Skalar Dua Buah Vektor
UNIT KEGIATAN BELAJAR
UKB 3.2 - 4.2
Lihat dan baca pada Buku Teks Pelajaran (BTP): Kanginan, Nurdiansyah, dkk. 2016.
o
h. Materi Pembelajaran
g. Tujuan Pembelajaran :
f. Alokasi Waktu : 9JP ( 3 x pertemuan )
d. Indikator Pencapaian Kompetensi : e. MateriPokok : Proyeksi dua buah vektor.
c. Kompetensi Dasar :
b. Semester : Genap
a. Nama Mata Pelajaran : Matematika X (Peminatan)
Matematika untuk SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Bandung: Yrama Widya .
3. Kegiatan Pembelajaran
a. Pendahuluan
Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan memahami cerita di bawah ini.
“Pak. Yunus, bersama anak didiknya mengadakan
kegiatan karyawisata ke Jatim Park 2, Batu .Di dalamruangan geografi, Pak. Yunus menunjukkan sebuah
kristal kalium karbonat yang memiliki bentuk sebuah segidelapan (Oktagon) seperti ditunjukkan dalam gambar Jika titik-titik sudutnya sumbu koordinat yang sesuai A(1,-5,2), B(6, -3,4), C(7,1,0), D(2,-1,-2), E(- 4,9,10) dan F(12,-13,-8). Analisa dan temukan jawaban, hipotesa bahwa pernyataan diagonal ruang AC dan EF dari kristal iniGambar Kristal Kalium Karbonat
Untuk dapat menyelesaikan persoalan tersebut, silahkan kalian lanjutkan ke kegiatan belajar berikut dan ikuti petunjuk yang ada dalam UKB ini.
b. Kegiatan Inti 1) Petunjuk Umum UKB
a) Baca dan pahami materi pada Buku Teks Pelajaran (BTP): Kanginan, Nurdiansyah, dkk. 2016.
Matematika untuk SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Bandung: Yrama Widya, Hal. 239 s.d 251
b) Setelah memahami isi materi dalam bacaan
berlatihlah untuk berfikir tinggi melalui tugas-
tugas yang terdapat pada UKB ini baik bekerja sendiri maupun bersama teman sebangku atau teman lainnya.
c) Kerjakan UKB ini dibuku kerja atau langsung mengisikan pada bagian yang telah disediakan.
d) Kalian dapat belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan ayo berlatih, apabila kalian yakin sudah paham dan mampu menyelesaikan permasalahan-permasalahan dalam kegiatan belajar 1, 2, dan 3 kalian boleh sendiri atau mengajak teman lain yang sudah siap untuk mengikuti tes formatif
agar kalian dapat belajar ke UKB berikutnya. 2) Kegiatan Belajar
Ayo…… ikuti kegiatan belajar berikut dengan penuh kesabaran dan konsentrasi
!!! Kegiatan Belajar 1
Pada kegiatan 1 ini, kalian diharapkan dapat menemukan sendiri rumus vektor satuan. Kerjakan dan lengkapi titi-titik pada kolom penyelesaian dengan benar, sehingga kalian diharapkan menuliskan dikolom kesimpulan. Harus Semangat! Bacalah uraian singkat materi dan contoh berikut dengan penuh konsentrasi!
Definisi Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dalam arah a ditulis e a , Demikian juga vektor
e
satuan dalam arah b ditulis
b
NO Permasalahan Penyelesaian
Berapa panjang vektor AB 1. .............................................. ....... Berapa panjang vektor CD. .............................................. ....... Nyatakan vektor CD dalam AB ..............................................
.............
2. Berapa panjang vektor AB ..............................................
....... Berapa panjang vektor CD. .............................................. ....... Nyatakan vektor CD dalam vektor AB .............................................. .........................
3. Berapa panjang vektor AB ..............................................
....... Berapa panjang vektor CD. .............................................. ....... Nyatakan vektor CD dalam vektor AB .............................................. .........................
Ayo .... Berfikir kritis!!
⃗ Vektor⃗ CD di atas adalah vektor satuan dari vektor AB . ⃗
Apakah panjang vektor pada permasalahan no. 1, no. 2 dan no. 3
CD
di atas sama.?
.................................................................................................................. ...................................................
⃗ Sebutkan perbedaan vektor CD pada permalahan no1, no. Dan no.3! ..................................................................................................................
................................................... Analisislah permasalahan no. 1, no 2 dan no.3 pada bagian “Nyatakan vektor CD dalam vektor AB” kemudian tulislah rumus untuk vektor satuan di bawah ini.
e a = xi +yj+zk, panjang vektor a = a
Diberikan vektor | | , jika
a e
adalah vektor satuan dari vektor a tuliskan vektor dalam
a vektor a e a
Vektor-vektor satuan dan
^i , ^j, ^k termasuk vektor satuan karena besar vektor-vektor ini sama dengan satu.
Jadi,
| ^i | = | ^j | = | | =
1 ^k
Contoh
Berikutadalahcontohvektor satuan
1 −
Diketahui a = 2 . Tentukan vektor satuan dari vektor a.
−
3
( )
Penyelesaian
1
1 − −
2
2
a a=
1 ^
− =
3
3
( ) ( )
1
a | |
= =
2
2
2
2
14
14
√ √
1) 2) 3) (− +( +(−
√ (
3 )
Ayooberlatih!
Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, maka:
Soal terbuka ( No. 1 dan 2 )
1. Buatlah dua buah vektor sebarang yang unsur vektornya
berbeda dengan unsur vektor temanmu.
2. Dari dua buah vektor yang kalian buat di atas, tentukan
masing-masing vektor satuannya.3. Perhatikan gambar berikut!
⃗ Berapa panjang vektor ?
AE
⃗ Vektor mana yang merupakan vektor satuan dari vektor ?
AE
Lengkapi titik-titik di bawah ini! ⃗
a. AC=… … .⃗ AE ⃗
b. AD=… … .⃗ AE ⃗
c. AE=… … .⃗ AD
Berpikirah lebih tinggi!!
i – 2j +5k, b = i – 7j + ak, c =
4. Diberikan tiga buah vektor, a = 3 10 i+6j-2k. Dari ketiga vektor di atas, vektor satuan mana yang paling besar(panjang), dan mengapa vektor satuan tersebut yang terpanjang?
Jelaskan jawabanmu dan tuliskan pada buku kerja kalian! Apabila kalian telah mampu menyelesaikan soal di atas, maka kalian bisa melanjutkan pada kegiatan belajar 2 berikut.
KegiatanBelajar 2
Pada kegiatan belajar 2 ini, kalian diharapkan dapat menemukan sendiri rumus proyeksi skalar dua buah vektor dan sekaligus dapat menentukan hasil proyeksi skalar dua buah vektor.
Bacalah uraian singkat materi dan contoh berikut dengan penuh konsentrasi
!
Glosarium Orthogonal = tegak lurus Skalar = bilangan yang memiliki nilai tetapi tidak memiliki arah.
Proyeksi vektor = bayangan vektor , Definisi
Proyeksi vektor a pada b adalah panjang vektor hasil proyeksi vektor a pada vektor b
Pada Kegiatan ini, kalian diharapkan dapat menemukan sendiri rumus proyeksi skalar vektor a pada byaitu
OC=⃗c . Selanjutnya
................. ...................................................... ................. Bagaimana panjang vektor hasil proyeksi dengan panjang vektor
a pada b ? ......................................................
Tuliskan hasil proyeksi
No . Permasalahan Penyelesaian 1.
Diskusikan dengan teman, mintalah penjelasan tambahan apabila engkau masih menemukan kesulitan dalam melengkapi titik-titik di bawah ini. Permasalahan di bawah ini adalah berbagai kasus pada proyeksi skalar dua buah vektor.
Substitusikan (1) ke (2) | c | = .................................................................................
⃗ a . ⃗b= ................................................................................ ( 2 ) = ................................................................................
............................................................... ( 1 ) Perhatikan vektor a dan b,
… … … … … … ..
… … … … … … … … … … … … … … | c | = … … … … … ..
=
x o
Perhatikan segitiga OAC , Cos
adalah vektor ⃗
| c
OB =⃗b
⃗
OA =⃗a pada
proyeksi vektor ⃗
OC=⃗c .
dan ⃗
OA =⃗a
, ⃗
OB =⃗b
Vektor ⃗
| , serta dapat menerapkan dalam kontekstual sehari-hari terkait proyeksi vektor.
| b
| = a .b
b. .................................................. ......................... .................................................. .........................
a pada b ?
Tuliskan hasil proyeksi ...................................................... ................. ................. Bagaimana panjang vektor hasil proyeksi dengan panjang vektor
b. .................................................. ...................... .................................................. ......................
Tuliskan hasil proyeksi a pada b ? ...................................................... .................
3.
...................................................... ................. Bagaimana panjang vektor hasil proyeksi dengan panjang vektor
b. .................................................. ....................... .................................................. .......................
Apa yang bisa kalian simpulkan dari ketiga hasil jawaban permasalahan di atas. .................................................................................................................... .............................
Conto h
1. Tentukan proyeksi skalar vektor a= 3i+4j+6k pada b = i -3j +2k! Penyelesaian :
a.b | c|==| | b|
| ( 3)(1)+(4)(−3)+(6)(2)
3
3 | = = c|=
14
√2
2
2
14
14 √
( 1) +(− 3) +( 2) √
2. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A( -2,1,3), B(3, -1, 4) dan B(- 4, 2, -1).
⃗ ⃗ Tentukan Proyeksi skalar vektor AB pada AC ! Penyelesaian :
⃗
AC=c−a
⃗
AB=b−a
2 −
− 4 −
1 AB= ⃗ −
⃗ 2 −
AB = −
1
1
1
3
( − ) ( )
4
3
( ) ( )
−
2
5 ⃗
1 AB = ⃗
AB = −
2
4 −
( )
1
( ) ⃗ ( 5)(−2)+(−2)(1)+(1)(−4)
AB.⃗ AC
16
16 | |=| |= = c|=|
21 √
2
2
2
21 |⃗ AC| 21 (− 2) +( 1) +(− 4) √
√ Ayo berlatih!!
Setelah memahami contoh di atas, maka selesaikanlah soal-soal berikut di buku kerja kalian!
1. Diketahui a= -2 i +3j + k, b = i - 2j +3k dan c = 3i+ 2j - 4k Tentukan proyeksi skalar vektor ( a + b) pada ( b – c ).
2. Diberikan dua vektor a = 2 i - 3j +6k, dan b = -2i + 2j – k
Proyeksi skalar a pada b β= β
Misalkan . Tentukan nilai !
Proyeksi skalar b pada a
3. Ditentukan koordinat titik-titik A(-2,6,5); B(2,6,9) dan C(5,5,7); AP : PB = 3: 1. Tentukan :
a. Vektor PC b. Panjang proyeksi vektor PC pada AB.
Apabila kalian sudah mampu menyelesaikan soal ini, maka kalian bisa melanjutkan pada kegiatan belajar 3 berikut.
KegiatanBelajar 3
Ayo… sekarang perhatikan lagi rumus proyeksi skalar vektor a dan
b ,dengan baik, selanjutnya kita akan berusaha menemukan rumus
proyeksi orthogonal vektor a pada b, misalkan c = vektor hasil
a.b c= .b
2 | b|
( )
proyeksi vektor a pada b. Kita akan membuktikan bahwa ! Perhatikan gambar berikut : Panjang vektor AB = 2, panjang vektor AC= 5. Jika panjang vektor AB dinyatakan dengan panjang vektor AC.
2 ⃗
AB= .⃗ AC
… … …
⃗ ⃗ Vektor OB = . OC … …… .
Mengingatkan pada kegiatan Belajar 2, ⃗
Perlu kalian ketahui bahwa vektor OC=⃗c adalah vektor hasil proyeksi vektor a pada vektor b. Vektor c itu biasanya disebut sebagai proyeksi orthogonal vektor a pada b. Kita sudah menemukan rumus proyeksi skalar vektor a pada b ,
a.b | c|=
| b| ...................................................................................................
...... ( 1 ) Pada gambar di atas terlihat
| c | | c |
⃗
OC= .⃗ OB atau ⃗c= . ⃗b ...............................................................( 2 ) b b
| | | | Ayo Kamu Pasti Bisa !
Substitusikan persamaan ( 1) ke persaman ( 2)
c | | c= ⃗ . ⃗b
| b | … …… … …… .. c= . … …
⃗ ⃗
… … … … … … … …………….. c= ⃗ . ….
⃗
………………… … …… … …… .. c= ⃗ . … …
⃗ … …… … …… .
Tuliskan hasil akhir sebagai rumus proyeksi orthogonal vektor a pada b di dalam kotak di bawah ini.
Ayo berpikir kritis!! Ayo berkolaborasi dengan teman!!
Diskusikan dengan teman, mintalah penjelasan tambahan apabila engkau masih menemukan kesulitan dalam melengkapi titik-titik di bawah ini .
Tuliskan proyeksi orthogonal vektor
a pada b ? .........................................................
......................................................... .............. Bagaimana arah vektor hasil proyeksi atau vekor c dengan arah vektor b.
.................................................... ...........
Tuliskan proyeksi orthogonal vektor
a pada b ? .........................................................
.............. ......................................................... .............. Bagaimana arah vektor hasil proyeksi atau vekor c dengan arah vektor b.
.................................................... ............
Tuliskan proyeksi orthogonal vektor
a pada b ? .........................................................
.............. ......................................................... .............. Bagaimana arah vektor hasil proyeksi atau vekor c dengan arah vektor b.
.................................................... ...........
Apa yang bisa kalian simpulkan dari ketiga gambar di atas. .................................................................................................................... .............................
Alternatifpenyelesaiandaripermasalahan di atassebagaiberikut.
....................................................................................................................
Ayo berpikir kritis!!
Mari bereskplorasi !
OH NT CO
Kerjakan dengan soal berikut dengan semangat kebersamaan!
1. Tentukan proyeksi orthogonal vektor a = 2i+4j- 3k pada b = i +2j
- 5k! Penyelesaian:
a.b ⃗ c= .⃗b
2 | b| −
1
6
1
1 ( 2 )(1 )+( 4 )(2)+(−3 )( 5)
−
1 −
1
⃗
c=
2 = 2 =
2
2
2
3
6 (( 1) +( 2 ) +( 5 ) ) −
5
5
5
( ) ( )
6 ( )
2. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(3,-1,2), B(-2, -1, 3) dan ⃗ ⃗
B(-5,- 2, 1). Tentukan Proyeksi orthogonal vektor AB pada AC ! Penyelesaian : ⃗
AB=b−a
⃗
AC=c−a
2
3 −
−
5
3 ⃗ 1 −
1 AB = − − ⃗
1 AC=
− 2 − −
3
2
( ) ( )
1
2
( ) ( )
5 −
−
8 ⃗
AB =
⃗
1 AC = −
1
( )
1 −
( ) −
8 ⃗ (− 5)(−8)+(0)(−1)+(1)(−1)
AB.⃗ AC c= .⃗ AC= −
1
2
2
2
|⃗ AC|( ) (− 8) +(− 1) +(− 1) ( )
( ) −
1 ( )
−
8 − 41 =
−
1
66 −
1 ( )
3. Diketahui vektor a = -3i- j+xk pada b =3 i- 2j +6k! Jika Proyeksi skalar vektor a pada b adalah 5. Hitunglah nilai x ! Penyelesaian :
⃗ a=−3i−j+xk
- (− 2)
- 6
7 = 5 ⇔− 7+6 x=35
2. Diberikan sebuah belah ketupat PQRS. Seperti pada gambar di bawah ini!
c. Proyeksi orthogonal vektor AE pada vektor AC. Analisislah jawaban-jawaban dari 3a., 3b, dan 3c. Hasil proyeksi orthogonal mana yang berlawanan arah dengan arah vektor AC. ......................................................................................................... .................................................... ......................................................................................................... ....................................................
b. Proyeksi orthogonal vektor AD pada vektor AC.
Tentukan; a. Proyeksi orthogonal vektor AB pada vektor AC.
Ayoo berlatih berikut! Ayoo berlatih!! Ayo Berpikir lebih kritik lagi ! Soal mulai HOTS
Jadi nilai x = 7 Dari contoh penyelesaian di atas, apakah ada hal yang belum kalian pahami?J ika kalian sudah paham kerjakanlah soal pada bagian
⇔ 6 x=42 ⇔ x=7
5 ⇔ − 7+6 x
⃗ a⋅⃗b=(−3)(3)+(−1)(−2)+x(6) =− 9+2+6x =− 7+6 x | b|=
a.b | b| =
Proyeksi skalar orthogonal vektor a pada b adalah 5, ini berarti;
√ 49=7
2 =
2
2
3
√
1. Diketahui A(1,1), B(5,4), C(11,-1), D(8,3) dan E(-1,5)
PQRS adalah belah ketupat dengan panjang sisi 4 satuan. Titik K, L, M dan N berturut-turut titik tengah PQ, QR, RS, dan SP. Jika vektor SN mewakili u dan vektor SM mewakili v. Buktikan bahwa ⃗
SK.⃗ SL=5 v +16 u Ayo...Browsing !! Ayo Bereksplorasi!!
Untuk lebih memahami aplikasi vektor satuan, kalian bisa melihat atau browsing di laman di bawah ini.
http://ipa3sanmar.blogspot.co.id/2013/09/aplikasi- vektor-satuan-dalam-kehidupan.html
Kerjakan bersama teman kalian di buku kerja masing-masing! Periksakan seluruh pekerjaan kalian kepada Guru agar dapat diketahui penguasaan materi sebelum kalian diperbolehkan belajar ke UKB berikutnya.
a. Penutup Bagaimana kalian sekarang?
Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1, 2, dan 3, berikut diberikan Tabel untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang sudah kalian pelajari. Jawablah sejujurnya terkait dengan penguasaan materi pada UKB ini di Tabel berikut.
TabelRefleksiDiriPemahamanMateri
No Pertanyaan Ya Tida k
1. Apakah kalian telah memahami pengertian vektor satuan?
2. Dapatkah kalian menjelaskan proyeksi skalar dua buah vektor?
3. Dapatkah kalian menjelaskan proyeksi orthogonal dua buah vektor??
4. Dapatkah kalian menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan proyeksi vektor. Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang kegiatanbelajar 1, 2, atau 3 yang sekiranya perlu kalian ulang dengan bimbingan Guru atau teman sejawat. Jangan putus asa untuk mengulang
lagi!. Dan apabila kalian menjawab “YA” pada semua pertanyaan, makalanjutkan berikut.
2 3 )
pusat sisi BCGF. Tentukan proyeksi vektor FP pada vektor AC.
AB=⃗i= ( 1,0,0 ) ,⃗ AD=⃗j= ( 0,1,0 ) ,⃗ AE=⃗k = ( 1,0,0 ) , Titik P adalah titik
⃗
adalah suatu vektor satuan. Carilah nilai q yang memungkinkan. 3) Diketahui kubus ABCD. EFGH. Misalkan vektor-vektor
PQ
. Jika ⃗
2q )
( q
⃗ OQ=
dan
(
Dimana posisi mu?
⃗ OP=
adalah vektor vektor satuan. 2) Diberikan tiga titik O, P dan Q sedemikian sehingga
( cosα )i−(sin α) j
dan
2
i+ j √
1) Buktikanlah bahwa
Agar dapat dipastikan bahwa kalian telah menguasi materi Proyeksi Skalar dan Proyeksi vektor, maka kerjakan soal berikut secara mandiri di buku kerja kalian masing-masing.
Yuk Cek Penguasaanmu terhadap Materi Proyeksi Vektor!
Setelah kalian menuliskan penguasaanmu terhadap materi Proyeksi skalar dan proyeksi vektor, lanjutkan kegaitan berikut untuk mengevaluasi penguasaan kalian!.
Ukurlah diri kalian dalam menguasai materi Proyeksi skalar dan proyeksi vektor orthogonal dua buah vektor dalam rentang 0 – 100, tuliskan ke dalam kotak yang tersedia.
4) Kerjakan soal ini secara aljabar dan geometri !
Pada gambar di samping adalah kubus ABCDEFGH dengan panjang
rusuk 2 satuan, M titik tengah HG dan N titik tengah CD, tentukan
⃗ ⃗
a. panjang proyeksi vektor AM pada AN ?
⃗ ⃗
b. panjang proyeksi vektor DM pada DC ?
⃗ ⃗
c. proyeksi vektor pada ?
AG AC
⃗ ⃗
d.proyeksi vektor pada ?
EM FG
Setelah menyelesaikan soal di atas dan mengikuti kegiatan belajar 1, 2, dan 3, bagaimana penyelesaian permasalahan
pada Pak Yunus dan peserta didiknya bagian awal
pembelajaran tadi ? Silahkan kalian berdiskusi dengan teman
sebangku atau teman lain. Kemudian tuliskan penyelesaian matematika tersebut di buku kerja masing-masing!. Ini adalah bagian akhir dari UKB materi proyeksi dua buah vektor, mintalah tes for matif kepada Guru kalian sebelum belajar ke UKB berikutnya. Sukses untuk kalian!!! Tetap
Semangat !