PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI (1)

-1-

PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI
A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
1. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DARI SUATU SUDUT SEGITIGA SIKU-SIKU
Y
P(x,y)
r



0
r 

x disebut absis
y disebut ordinat
r jari-jari
sudut  positif diukur dari sumbu X berlawanan
arah putaran jarum jam.

y

x

X

x2  y 2

Definisi :
sin  

y
r

x
r
r
sec 
x
cos  

r

y

cos ec 

tg 

y
x

ctg 

x
y

Ketentuan di atas juga berlaku untuk kuadran II, III dan IV. Karena x  r dan y  r maka berlaku
 1  cos   1 dan  1  sin   1 . Khusus untuk tg dan ctg dapat bernilai setiap harga
positif dan negatif.
Secara umum, perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku sembarang adalah sebagai berikut :
hipotenusa
(sisi miring)

sisi di depan sudut


sisi di samping sudut
Jadi :
sin  

depan
miring

cos ec 

1
cos 

cos  

samping
miring

sec 

1
sin 

depan
samping
1
ctg 
tg

tg 

Contoh 1: Tentukan nilai sin  , cos  dan tg dari gambar berikut :
a.
b.



c

b

q

p


a

Jawab

...
...
...
b. sin  
...

: a. sin  

Contoh 2: Diketahui tg 
Jawab

: tg 

4
...
=
3
...

r

...
...
...
cos  
...
cos  

4
. Tentukan sin  dan
3

...
...
...
tg 
...

tg 

cos  !

 r  ....
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

-2-

sin  =

...
 ....
...

cos  =

...
 ....
...

2. SUDUT-SUDUT ISTIMEWA UNTUK 0     90 
Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri pada sudut-sudut istimewa 0     90  kita
pergunakan gambar sebagai berikut :
Y
45

1

2

P(0,r)

60

2

1

45



30

X
1

3

P(r,0)
Dari gambar di atas jika kita nyatakan dengan tabel sebagai berikut :



cos

sin 

tg

ctg

sec

cos ec

0

…
…
…
…
…

…
…
…
…
…

…
…
…
…
…

…
…
…
…
…

…
…
…
…
…

…
…
…
…
…



30
45
60
90

C
Contoh 3:

Tentukan AC dan AB !
5
60

A

B

.....
: tg 60  =
.....

Jawab


cos 60 

.....

.....



AC  ....

AB  ....

LATIHAN SOAL
1. Tentukan nilai sin  , cos  dan tg
c
a)
b

 dari gambar berikut :
b)



a



p

q
r

2. Tentukan nilai sin  , cos  dan tg  dari gambar berikut :
a)

B

b)

P

6

8

2



6

6

R



A

C
Q

3.

A

60 B

Jika DC = 6 cm, maka tentukan AB

Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

-3-

45

D

C

4. Jika sin  

3
maka tentukan cos
10

 dan tg 

5. Jika tg   2 maka tentukan sin  dan cos 
6. Tentukan nilainya :
a. 2 sin 30   3 cos 30 
b.

6

3tg 30 

 3tg 60  6 sin 60
2 sin 45   6 cos 30 




C
7.

Tentukan AB dan BC

30

B
12

A

3. SUDUT-SUDUT BERELASI
3.1 RELASI

 DAN 180 

 

Y
P’(-x,y)

P(x,y)

180  



3.2 RELASI

....
 ....
....
....
cos 180   
 ....
....
....
tg 180   
 ....
....









sin 180   

 DAN 180 
Y

X



 

P(x,y)



180  



X

....
 ....
....
....
cos 180    
 ....
....
....
tg 180    
 ....
....









sin 180    





P’(-x,-y)
3.3 RELASI
Y

 DAN 360 

   ATAU   

P(x,y)




X

sin 360      sin     ....
cos360      cos    ....
tg 360      tg     ....

P’(x,-y)
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

-4-

 DAN 90 

3.4 RELASI
Y

 

....
 ....
....
....
cos 90    
 ....
....
....
tg 90    
 ....
....

P’(y,x)









sin 90    

P(x,y)

90  





X

 DAN 90    

3.5 RELASI

Y

....
 ....
....
....
cos 90    
 ....
....
....
tg 90    
 ....
....

P’(-y,-x)









sin 90    

P(x,y)

90  







X

 DAN 270 

3.6 RELASI

 

Y
P(x,y)
270  

....
 ....
....
....
cos 270    
 ....
....
....
tg 270    
 ....
....









sin 270    



X





P’(-y,-x)

3.7 RELASI
Y

 DAN 270    
P(x,y)



....
 ....
....
....
cos 270    
 ....
....
....
tg 270    
 ....
....









sin 270    

X



270   



P’(y,-x)

Contoh 1: Tentukan nilai dari :
a. sin 150 
Jawab

b. cos 225 

: a. sin 150  = sin( … - … ) = sin …
b. cos 225  = ….
c. tg 330  = ….

c.

tg 330 

= ….

LATIHAN SOAL
1. Tentukan nilainya dari :
a. sin 120 
b. sin 135 

e. cos 330
f. tg150 

i. cos 135
j. tg 210 

m. sin  150 
n. cos 300  

c. cos 240 
g. sin 240 
k. sin 180 
l.
o. tg  210  

d. tg 300 
h. cos 120 
tg 270 

Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

-5-

2. Jika sin  
3. Jika

3
dan 90     180  maka tentukan cos
5

tg  

4. Tentukan

3

dan 270     360  maka tentukan sin

 untuk

a. sin  

 dan tg 
 dan cos 

0     360  dari :

1
2

b. cos  

1
2

c.

2

tg  

3

5. Sederhanakan !
a. 4 sin 225  2 cos 300   2 sin 315  2 cos 315
b. 3 tg 240   2 sin 210   2 sin 315   3 3 tg 330 

4. KOORDINAT KUTUB
Y

P(x,y)

Koordinat Cartesius P(x,y)
Koordinat Kutub P(r,  )

r



X

Hubungan koordinat Cartesius dan koordinat Kutub :
1. Dari koordinat Cartesius ke Kutub
P(x,y) = P(r,  )
r 

x2  y2

tg 

y
y
   arctg
x
x

2. Dari koordinat Kutub ke Cartesius
P(r,  )  P ( x, y )

x  r cos 
y  r sin 

Contoh 1: Tentukan koordinat Cartesius dari titik P(10, 45  )
Jawab

:x=…
=…
y=…
=…
Jadi koordinat Cartesius P(….,….)

Contoh 2: Tentukan koordinat kutub dari titik Q(-3,-4)
Jawab

:r=…
=…
   ....
Arctg   ....
=…
Jadi koordinat kutub Q(……,……)

LATIHAN SOAL
1. Tentukan koordinat Cartesius dari :
a. A8,60  
b. B 10,120  

c. C 6,210  

d. D 4,300  

Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

-6-

e. E 3 2 ,325   f. F  3 ,300  
i. I 12,0  
j. J 6,90  
2. Tentukan koordinat
a. A(5,5)
e. E(-8,0)
i. I ( 3 ,1)

g. G 4,60  

Kutub dari :
b. B(-4,4)
f. F(-10,-10)
j. J(1,-1)

c. C(2,  2 3 )
g. G (5 3 ,5)

h. H 2,225  

d. D(0,5)
h. H (1,

3)

5. HUBUNGAN PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU SUDUT
Y

P(x,y)

…(1)

x2  y2  r 2
x  r cos  

y  r sin  

r



…(2)

0. X
Dari (1) dan (2) didapat hubungan :

x2  y2  r 2
…

cos 2   sin 2   ......
y
................


x
................

Contoh 1: Jika cos  
Jawab

tg 

cos 2   ....

2
sin   ....

.......
.......

8
, maka tentukan sin
10

 dan tg 

: sin 2   .....
sin 

........



tg  

.......
= ….
.......

Contoh 2: Buktikan sin  cos  (1  tg 2 )  tg
Jawab

: sin  cos  (1  tg 2 )  ....
= ….
= ….

LATIHAN SOAL
1. Diketahui  A lancip dan sin A 
2. Jika cos B 

8
. Hitung cos A dan tg A !
17

9
dan 90   B  180  , maka tentukan sin B dan tg B !
15

3. Tunjukkan bahwa :
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

-7-

a. cos 2 120   sin 2 120   1
b. sin 2 270   cos 2 270   1
4. Buktikan identitas berikut :
a. 2 cos 2   1  1  2 sin 2 
tg 2
 sin 2 
b.
1  tg 2
1  cos 
sin 
2


c.
sin 
1  cos 
cos 
d. sin P  cos P cos P  sin P   1  2 sin 2 P
e. 1  cos  1  sec  ctg   sin 
f. 1  cos 2   sin 2  tg 2  tg 2

6. PENGUKURAN SUDUT DENGAN DERAJAT DAN RADIAN
1

putaran = 360




atau 1 

1
putaran
360

1  60' (menit) dan 1’ = 60’’ (detik)

Definisi : 1 radian adalah sudut pusat yang busurnya sama dengan jari-jari lingkarannya.
Q
r
1 rad =  POQ jika busur PQ = r
Jadi radian yaitu ukuran sudut yang diperoleh dari perbandingan
O
r
P
panjang busur lingkaran dengan jari-jarinya.

Keliling
Q

O

P

1
lingkaran =
2

r

Jadi  POQ = 180  =

r
r

  rad

Jadi 180    rad atau cukup ditulis dengan 180   
1 rad =

180 





180 
 57,296   57 17'45' '
3,14

Contoh 1: Nyatakan 120  dengan ukuran radian !
Jawab

: 120  = ….

Contoh 2: Nyatakan
Jawab

:

4
dengan ukuran derajat !
3

4
= ….
3

LATIHAN SOAL
1. Nyatakan ke dalam ukuran radian dari :
a. 45 
b. 90 
c. 135 


f. 330
g. 270
h. 360 

i. 420

2. Nyatakan ke dalam ukuran derajat dari :

2
5
a.
b.
c.

d.

3
5
e.
12

3
5
f.
18

3

g. 2

d. 210 


e. 240 
j. 540 

11
6

h. 30
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

-8-

3. Berapa radian ukuran 1 ?

4. Tentukan nilai dari :
3
11
a. sin
b. sin

c. cos

6

2

4
3

d. tg

5
4

e. sin 30

B. FUNGSI TRIGONOMETRI
Domain fungsi trigonometri berupa himpunan sudut-sudut dan kodomainnya berupa bilangan real.
Fungsi trigonometri merupakan fungsi yang periodik, artinya pada selang sudut tertentu nilai fungsi itu
akan berulang sama nilainya. Periode sin dan cos adalah 360  atau 2 . Sedangkan periode tg
adalah 180 atau  .
Jadi sin x = sin (x + k. 2 )
cos x = cos (x + k. 2 )
tg x = tg (x + k.  )
dimana k  B
Contoh 1: Tentukan nilai dari :
a. sin 480 
Jawab
: a. sin 480  = …
b. cos 960  = …
c. tg1290  = …

b. cos 960 

c.

tg1290 

1. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
1.1 Grafik y = sin x, y = cos x dan y = tg x pada 0   x  360 
Y = sin x
Y
1

X
0

30

60

90

120

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

360

150

180

210

240

270

300

330

360

-1

y = cos x
Y
1

X
0

30

-1
y = tg x
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

-9-

Y

X
0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

360

LATIHAN SOAL
Lukislah grafik di bawah ini untuk 0  x  360 !
1.

y  2 sin 

2.

y  5 cos x 

3.

y  2 sin   1

4.

y  3 cos x   2

5.

y  sin 2 x 

6.

y  sin 2 x   1

7.

y  3 cos 2 x 

8.

y  2 sin 3 x   1

Perbandingan dan Fungsi Trigonometri