getdoca265. 197KB Jun 04 2011 12:04:47 AM
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Z
1{Z (n) ≤x} = P(Y0 ≤ x | I n ),
k
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1
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=
lim P(Y0 ≤ x | I n )
n→∞
lim E(P(Y0 ≤ x | I Y ) | I n )
✪✇✸➺✬✥✰
n→∞
= P(Y0 ≤ x | I Y ).
B
η(B) := P(Y0 ∈ B | I Y ).
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E
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1
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ϕα (0)
µ
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1
1
1
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−
m(E) (α − β) Gα (0, 0) Gβ (0, 0)
=
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µ
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¢
¡
¢
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µ
Z ∞
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= exp −s
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n+ (dt) =
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d
Px (H0 ∈ dt)¯x=0+
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P(−g0 ∈ dt) = P(d0 ∈ dt) =
n+ (t, ∞)
dt,
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P(V ∈ dv) =
V
✠➁✓✖✞❽❼
v
n+ (dv)
m(E)
P(d0 ∈ dt, −g0 ∈ ds)/dt ds = −
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✸✦✮❸✸
✞❽❼❸✄✃✙✛✣✶✕➾➄✥✌✏✎ ➇➈✣✶✙✲✓▲✣✢✜◗✁☎✄
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(0, V ).
V := d0 − g0 ;
¯
1 d +
¯
n (v, ∞)¯
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m(E) dv
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✪✇✸➺✳✥✰
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α (0)
,
E (exp(−αd )) = −
0
m(E) α ϕα (0)
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α (x) = 0
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(−g0 , d0 ) = (U V, (1 − U )V ),
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❀❀✂✆✠✕✔✙✗✝ ✖✠✟❏✡☞⑥ ➑◗❰ Xb ×✩➑ Ñ❸➚ ❰✤➑❅❰✛ß❸➑ã×✩➔☎Û ❐ ÏÙ➔ ➚✢Ñ ➚ ➶✩❰
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✽✒❂❅❈❉❈❉❊✴❄❇❆✦✽☞❋✾✿❁❆✦❂●❄■❍
❏▲❑◆▼ ❀❃❂❅❖✑❋❃❖✑❆✟✻P❆◗✿❙❘
❚
❯ ❱❨❳❬❩ ❱❭❯
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✐❅❳✫❚❞❳❞❡❢❱❴❯❦❚❫❧♥♠
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➊⑨➋✲➌✡➍➏➎✢➐✢➎✥➎✒➀✾✜✝✌➈❿⑦➊✍✓✖✕➆✁☎✣✏✕✹➄
➑◗➒❅➓✢➔☎→↔➣➆↕➆➙❸➛✥➜❸➝➞➛✢➟✩➠➏➡➞➠✶➢❸➛P➤✡➥➆➦
➧➨q①q❢⑧①③➫➩❸q①⑥➭♣rt✇✈➲➯P✈
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② ➑◗Õ➏Ö ➚ ➹✤×❹Ï◗➣⑨Ø✼Õ✩❮✟→➱➔➱❮✦➓✶→➱→☎Õ④ÏÙ❰✤➓✶❰✛➔ ➚✢Ñ ➓✢➹✛Õ ➮ ➹ ➚ ❮◗➑✦Ï✤ÏÙ➑➺Ï ✱✶Ú ➔ÜÛ ❐ Ï✛➔ ➚✥Ñ✒➮ ➹ ➚ ❮✟➑✦Ï✤Ï✛➑✦Ï ✱✶② ➹✤➑◗➔ ÑÞÝ Ï❢❰✤ß❸➑ ➚ ➹✛Õ ➚✢à ÏÙ❰✛➹✤➔ Ñ❸á Ï ✶✱ ➧ ✶➓ →➱➒
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Ö✼➑æÏ✛ß ➚ Ö◆❰✤ß❹➓✏❰✂❰✛ß❸➑ ➮ ➓✢➔☎➹✝Ï (I + , I − ) ➓ Ñ × (t − gt , dt − t) ➓✶➹✤➑①➔â×✩➑ Ñ ❰✛➔â❮◗➓✶→➱→➱Õ❅×✩➔âÏÙ❰✛➹✤➔☎➶ ❐ ❰✛➑✦× è➁é ß❸➔âÏ✂Ï ➚ ➒✒➑✦Ö✉ß❹➓✏❰
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X = {Xs : s ∈ R}
D ⊂ E →➱➑✟❰
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E⊂R
cl
M := {s ∈ R : Xs ∈ D} ,
cl
➒✒➑✦➓ Ñ Ï✂❰✛ß❸➑❁❮◗→ ➚ Ï ❐ ✛➹ ➑ ✢➚ à ✛❰ ß❸➑❁Ï✛➑✟❰➲➔ Ñ ❰✛ß❸➑❙➶❹➹✤➓✥❮✟➑✦Ï ⑦è ✈ ✟➑ å➏❰①×✩➑✟Ð Ñ ➑ ❽à ➚ ✚
➹ Ð❸å✩➑✦×
gt := sup{s ≤ t : s ∈ M },
It+
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Z
dt
1{Xs >Xt } ds,
dt := inf{s > t : s ∈ M },
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1
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lim P(Y0 ≤ x | I n )
n→∞
lim E(P(Y0 ≤ x | I Y ) | I n )
✪✇✸➺✬✥✰
n→∞
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η(B) := P(Y0 ∈ B | I Y ).
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P(Y0 ∈ B | η) = E(P(Y0 ∈ B | FY ) | η) = E(η(B) | η) = η(B)
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❰✤ß❹➓✏❰ η((−∞, Y0 ]) ➔âÏ ❐❸Ñ ➔ à❽➚ ➹✤➒✒→☎Õã×✩➔âÏ✇❰✤➹✤➔☎➶ ❐ ❰✤➑✦× ➚✢Ñ (0, 1), ➓✥Ï✉❮✟→â➓✶➔➱➒✑➑➺× è
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✒
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➯ →☎➑➺❮✲❰✤➹ ➚✥Ñ ➔➱❮④Ø ➚ ➒✒➒ ❐❸Ñ ➔â❮◗➓✶❰✛➔ ➚✢Ñ Ï✚➔ Ñ✴➧ ➹ ➚ ➶➆➓✶➶❸➔➱→☎➔☎❰✇Õ
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➑ ß❹➓ ➪ ➑✴❰✛ß❸➑ ❽à ➚ ➱→ → ➚ Ö✉➔ Ñ❸á Ï ❐ ➹ ➮ ➹✤➔âÏÙ➔ Ñ❸á →☎Õ á ➑ Ñ ➑◗➹✝➓✶→✉❮ ➚ ➹ ➚ →☎→â➓✶➹✛Õ ❮ ➈➚ ➪ ✦➑ ➹✛➔ Ñ❸á❹✱ ➑ è á❹è➱✱ ➓✶→➱→✉➑✟å❸❮ ❐ ➹✤Ï✛➔ ➚✥Ñ ➓ Ñ × ➚ ❰✛ß❹➑◗➹
➶❸➹✤➔➱× á ➑✦Ï è
✽❱☎✞✝✟☎✁✂ ✙✝☎✄✝✆ ✡ ➭✄◗✞ Z = {Z : 0 ≤ t < l} ✜✝✄✴✣r✎❅✄✤✣✏❾ ➽ ✙✛✣✥✜✟✁☎✄❁❶✹✙Ù✌➺✆✤✄✟❾✝❾ã✣✏✕✹➄
➄✏✓â❾✲✞↔✙✲✓▲✜ ➽ ✞✡✄✤➄●✙✛✣✶✕➾➄✥✌✏✎ ✏➇ ✣✏✙✲✓▲✣✥✜✟✁☎✄✑t ✓✖✕➾➄✥✄✡❶❸✄✟✕✹➄✢✄◗✕❹✞✉✌Ù❺ Z ✠✚➂æ❾✝❾ ➽ ✎✒✄❁✞✖❼❹✣✏✞
✔
✂
Leb{t : Zt = ZU } = 0
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(0, l)
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0
(0, l).
✂✗ ✙✛✌✦✌Ù❺✟✠ ä ➚ ➹✴➓✢→☎→ s ∈ [0, l] ✱ ✛❰ ß❸➑➘➹✤➓ Ñ × ➚ ➒ ➪ ➓✢➹✛➔â➓✶➶❸→➱➑
×✩➔âÏ✇❰✤➹✛➔➱➶ ❐ ❰✤➑✦× ➚✢Ñ (0, l), ➓ Ñ × ✱ ✛❰ ß ❐ Ï ✱ Y = {Yt : 0
ÏÙ❰✤➓✏❰✤➔ ➚✥Ñ ➓✶➹✤Õ è❢ì ➑❙ß❹➓ ➪ ➑
Z
l
1{Zt 0.
➶➾➑●➔☎➒ ➮➾➚ Ï✛➑✦× è✴é ß❹➑ Ñ❸➚ ✝❰ ➓✏❰✤➔ ➚✥Ñ
ä ➚ ➹ Ñ ψα ❰✛ß❸➑❃ë➞➔➱→➱→☎➪ ➔ Ñ❸á ➪ ❮ ➚✢Ñ ×✩➔Ü❰✤➔ ➚✥Ñ ψ➮ α (0+)➚ = 0 ➒ ❐ Ï✇❰☞
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❸
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➒✒➑✦➓ ✂Ï ❰✛ß❹➑❁×✩➑◗➹✤➔ ➓✏❰✛➔ ➑æÖ✉➔☎❰✛ß✘➹✤➑✦Ï ➑✦❮✲❰✚❰ ❰✛ß❹➑❁Ï✛❮✦➓✶→➱➑ Ñ ❮✟❰✛➔ ➚✢ÑÞèP✈ ➑◗å➏❰ Ñ❹➚ ❰✛➔ Ñ❸á ❰✤❹ß ➓✏❰
ϕ+
β,
¢
d
d ¡ +
r(y) :=
ψ (y) ϕβ (y) − ψα (y) ϕ+
β (y) = (α − β)ψα (y) ϕβ (y)
dm
dm α
✪✇✸➺÷✥✰
à❽➚ ➹❁➔ Ñ ÏÙ❰✤➓ Ñ ❮✟➑ ✱
✸✦✮✥✮
➯ →☎➑➺❮✲❰✤➹ ➚✥Ñ ➔➱❮④Ø ➚ ➒✒➒ ❐❸Ñ ➔â❮◗➓✶❰✛➔ ➚✢Ñ Ï✚➔ Ñ✴➧ ➹ ➚ ➶➆➓✶➶❸➔➱→☎➔☎❰✇Õ
➓ Ñ × ❐ ÏÙ➔ Ñ❸á ❰✤ß❸➑✾❰✛➔➱➒✒➑❙➹✛➑ ➪ ➑◗➹✝ÏÙ➔➱➶❸➔➱→☎➔☎❰✇Õ ✶➚ à ✇Ï ❰✝➓✏❰✛➔ ➚✢Ñ ➓✶➹✤Õ●×✩➔ÜÛ ❐ Ï✛➔ ➚✥Ñ Ï✉Ö✼➑✾ß❹➓ ➪ ➑
¡
¢
E exp(−αIt− − βIt+ )
Z
¡
¢
=
E exp(−αIt− − βIt+ ) | Xt = y P(Xt ∈ dy)
ZE
¡
¢2
=
u(y) µ(dy)
E
¢2 Z
µ
¶
ψα+ (0)
1
ϕβ (y) d
−
µ(dy)
α−β
ψα (y) dm
r(y)
E
à +
!
ϕβ (0) ϕ+
1
(0)
=
− α
m(E) (α − β) ϕβ (0)
ϕα (0)
µ
¶
1
1
1
=
,
−
m(E) (α − β) Gα (0, 0) Gβ (0, 0)
=
¡
✪✇✸✦✵➞✰
Ö✉ß❸➑✦➹✛➑ ✱ ➔ Ñ ❰✛ß❸➑ Ñ ➑◗å➞❰➁❰ ➚ ❰✛ß❸➑✉→➱➓✥Ï✇❰✍ÏÙ❰✛➑ ➮Þ✱ Ö✼➑✚ß➆➓ ➪ ➑✚➔ Ñ ❰✛➑ á ➹✝➓✏❰✛➑➺×④➶➞Õ ➮ ➓✢➹Ù❰✝Ï⑦➓ Ñ × Gα (0, 0) ×✩➑ Ñ❸➚ ❰✤➑✦Ï⑨❰✤ß❸➑ Ó ➹✛➑✦➑ Ñ
ë✢➑◗➹ Ñ ➑✦→Þ➓✏❰ (0, 0) à❽➚ ➹ X ✪✖à❽➚ ➹➲➒ ➚ ➹✤➑æ➔ Ñ✩à❽➚ ➹✤➒❅➓✏❰✛➔ ➚✥Ñ ➓✶➶ ➚✥❐ ❰ Ó ➹✛➑✦➑ Ñ ë✢➑◗➹ Ñ ➑✦→➱Ï✉ÏÙ➑✦➑ ❳➱✸ ❩ ✰✲è
t ❰⑨➔âÏ⑨Ï✛➑◗➑ Ñ ➔ Ñ ❰✛ß❸➑✚ÏÙ➔➱➒✒➔☎→â➓✶➹⑨Ö✂➓➺Õ ➚ ➹❢➶➞Õ ❐ ÏÙ➔ Ñ❸á ❰✛ß❸➑➲Ø✼ß❹➓ ➮ ➒✒➓ Ñ✙❞❷②✔➚ →➱➒ ➚✢á✢➚ ➹ ➚➈➪ ➑➺ê ❐ ➓✏❰✤➔ ➚✥Ñ❃✪ Ï✛➑◗➑ ❳ ➬ ❩ ➧ ➹ ➚✢➮➾➚ Ï✛➔☎❰✛➔ ➚✢Ñ
÷❸è ✵➞✰ ❰✛ß❹➓✶❰➲❰✤ß❸➑✉❒ ➚ ➔ Ñ ❰ ⑥ ➓ ➮ →â➓✢❮◗➑✾❰✛➹✝➓ Ñ Ï à❽➚ ➹✤➒ ➚✶à (t − g , d − t) ➔➱Ï①➓✢→➱Ï ➚❅á ➔ ➪ ➑ Ñ ➶➏Õ❃❰✤ß❸➑❁➹✤➔ á ß✥❰ ❞ ß➆➓ Ñ ×✘Ï✛➔➱×✩➑ ➚✢à
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(14)
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d
(It+ , It− ) = (U V, (1 − U )V ),
Ö✉ß❸➑✦➹✛➑ V = I + + I − ➓ Ñ × U ➔âÏæ➓ ❐❸Ñ ➔ à❽➚ ✛➹ ➒✒→➱Õ ➚✢Ñ (0, 1) ×✩➔âÏ✇❰✤➹✛➔➱➶ ❐ ✤❰ ➑✦×r➹✝➓ Ñ × ➚ ➒ ➪ ✢➓ ➹✛➔â➓✶➶❹→☎➑❁➔ Ñ ×✩➑ ➮ ➑ Ñ ×✩➑ Ñ ❰
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(−g0 , d0 )
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¶
µ
Z ∞
¡
¢
¡
¢
1 − e−αt n+ (dt)
E0 exp(−αAs ) = exp −s
0
¶
µ
Z ∞
α e−αt n+ (t, ∞) dt ,
= exp −s
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n+ ➔➱Ï ➔ ➑ ➶➞Õ ÏÙ➑✦➑
n+ (dt) =
¯
d
Px (H0 ∈ dt)¯x=0+
dS(x)
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▼ ✝✟☎☞☛⑩☎✍✌ ❏✎✄✦❏ ☎ ❑
P(−g0 ∈ dt) = P(d0 ∈ dt) =
n+ (t, ∞)
dt,
m(E)
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P(V ∈ dv) =
V
✠➁✓✖✞❽❼
v
n+ (dv)
m(E)
P(d0 ∈ dt, −g0 ∈ ds)/dt ds = −
☛✍✌✏✕❹❾◗✄✁ ➽ ✄✟✕➆✞✭✁ ➉➈❿✄✂✢✓✖➇➈✄◗✕
✸✦✮❸✸
✞❽❼❸✄✃✙✛✣✶✕➾➄✥✌✏✎ ➇➈✣✶✙✲✓▲✣✢✜◗✁☎✄
−g0
(0, V ).
V := d0 − g0 ;
¯
1 d +
¯
n (v, ∞)¯
.
m(E) dv
v=t+s
☎
✣✏✕➾➄◆✣✏✁ ❾◗✌
d0 ✆
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✪✇✸➺✳✥✰
ϕ+
α (0)
,
E (exp(−αd )) = −
0
m(E) α ϕα (0)
➓ Ñ × à ➹ ➚ ➒❭ß❸➑✦➹✛➑æ❰✛ß❹➑✾➔ Ñ➞➪ ➑◗➹✝Ï✛➔ ➚✥Ñ ✦❮ ➓ Ñ ➶➾➑❙× ✢➚ Ñ ❙
➑ ➓✢Ï✚➔ Ñ ❳ ✬ ❩ ➮ÞèP✬❸✸➺✯❸✱ Ï✛➑◗➑❙➓✶→âÏ ➚❯❳➱✸✦÷❸✱➨✸◗✵ ❩ è✍✈➲➚ ❰✛➔â❮✟➑æ❰✤ß❹➓✏❰ ✖à ➚ ✚
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lim ϕ+
α (x) = 0
x→r
Ï✛➔ Ñ ❮◗➑ r ➔âÏ✂➑◗➔☎❰✛ß❹➑◗➹ Ñ ➓✏❰ ❐ ➹✤➓✢→ ➚ ➹✂➑ Ñ ❰✛➹✝➓ Ñ ❮◗➑ ❷❞ Ñ❸➚ ❰ ❞ ➑◗å✩➔Ü❰ ➚ ➹✂➹✛➑ á✢❐ →â➓✶➹✂➓ Ñ ×●➹✤➑❁❬❹➑✦❮✟❰✛➔ Ñ❸á❹è➁✈ ➑◗å➏❰✉❮ ➚✥Ñ ÏÙ➔â×✩➑◗➹ à❽➚ ➹✛➒ ❐ →â➓✶➑
✪Ù✸✗✒✶✰ ➓ Ñ × ✪✇✸➺➬✥✰✟è ❭✂➑✦❮✦➓ ❐ Ï✛➑
d
(−g0 , d0 ) = (U V, (1 − U )V ),
Ö✉ß❸➑✦➹✛➑ V = d0 − g0 ➓ Ñ × U ➔âÏ✉➓ ❐❸Ñ ➔ à❽➚ ➹✤➒✒→☎Õ ➚✥Ñ (0, 1) ×✩➔âÏ✇❰✤➹✛➔➱➶ ❐ ❰✤➑✦×ã➹✝➓ Ñ × ➚ ➒ ➪ ➓✶➹✤➔➱➓✢➶❸→☎➑✔➔ Ñ ✩× ➑ ➮ ➑ Ñ ×✩➑ Ñ ❰ ➚✢à
à❽➚ →➱→ ➚ Ö➲Ï ✪ Ï✛➑◗➑ ❳➱✸✗✒ ❩ ➧ ➹ ➚✢➮➾➚ ÏÙ➔☎❰✛➔ ➚✢Ñ✃✬❸è ✵➏✰ ❰✤ß❹➓✏❰æ❰✛ß❹➑✑×✩➑ Ñ Ï✛➔Ü❰✇Õ f ➚✶à V ➔âÏ ➚ ✩➶ ❰✤➓✢➔ Ñ ➑✦× à ➹ ➚ ➒ ✛❰ ß❹➑✑×❸➑ Ñ Ï✛Ü➔ ❰✇Õ
V ➔☎❰
V
✶
➚
à
❐
f
−g ➶➏Õ❅❰✤ß❸➑❙➹ →☎➑
g0
0
d
fg (v)
dv 0
✢
➚
à
fg0 ,d0
(−g0 , d0 )
fV (v) = v
Õ➏➔➱➑◗→â×✩➔ Ñ❹á❇✪✇✸✗✒✢✰✲è✍♣❇➚ ➹✤➑ ✏➚ ➪ ◗➑ ➹ ✱ ❰✛ß❹➑✂❒ ➚ ➔ Ñ ①
❰ ×✩➑ Ñ ÏÙ➔☎❰✇Õ
➔➱Ï á ➔ ➪ ➑ Ñ ➞➶ Õ
fg0 ,d0 (u, v) = fV (u + v)/(u + v)
➓ Ñ ×❃❰✛ß❸➔âÏ✉➔âÏ✚➑➺ê ❐ ➔ ➪ ➓✢→➱➑ Ñ ❰✉Ö✉➔☎❰✛ß ✪Ù✸✦➬✥✰✟è
❀❀✂✆✠✕✔✙✗✝ ✖✠✟❏✡☞⑥ ➑◗❰ Xb ×✩➑ Ñ❸➚ ❰✤➑❅❰✛ß❸➑ã×✩➔☎Û ❐ ÏÙ➔ ➚✢Ñ ➚ ➶✩❰