SOAL DAN PEMBAHASAN LENGKAP OSN MATEMATI
SOAL DAN PEMBAHASAN LENGKAP OSN MATEMATIKA SMP
TINGKAT KAB/KOTA SABTU 9 MARET 2013
BAGIAN A: PILIHAN GANDA
1. Bentuk x4 – 1 mempunyai faktor sebanyak….
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 7
Jawab:
Soal ini menuntut kemampuan memfaktorkan bentuk aljabar pangkat
tinggi. Tetapi perhatikan bentuknya kita dapat memanfaatkan bentuk
selisih dua kuadrat; a2 – b2 = (a – b) (a + b).
x4 – 1 = (x2)2 – (12)2
= ( x2 – 1) ( x2 + 1)
= ( x + 1) ( x – 1)( x2 + 1).
Dengan pemfaktoran seperti di atas, tampak ada 3 faktornya, karena
bentuk terakhir tak dapat difaktorkan lagi.
Pemfaktoran bentuk lain , x4 – 1 = 1 (x4 – 1) .
Dengan demikian faktor-faktor dari x4 – 1 adalah 1, x4 – 1, x2 – 1, x2 + 1, x
+ 1, dan x – 1 .
Jadi, faktor dari x4 – 1 ada sebanyak 6
D.
2. Jika a, b, c , dan d adalah bilangan bulat positif dibagi 13 berturutturut sisanya 12, 9, 11, dan 7, maka 3a + 4b – 3c + 2d dibagi 13 akan
bersisa….
A. 0
B. 1
C. 7
D. 9
E. 11
Jawab:
Dalam menjawab soal sisa pembagian, kita cukup menghitung sisanya
saja!
3a + 4b – 3c + 2d = 3a – 3c + 4b + 2d = 3 ( a – c ) + 2 (2b + d)
= 3 (12 – 11) + 2 (18 + 7)
= 3 x 1 + 2 (5 + 7) (karena 18 :13 sisanya 5 )
= 3 + 24
= 27
27 dibagi 13 = 2 sisa 1
Jadi, 3a + 4b – 3c + 2d dibagi 13 akan bersisa 1 B
3. Nilai rata-rata kelas A adalah 73, sedangkan nilai rata-rata kelas B
adalah 88. Jika jumlah siswa kedua kelas tersebut adalah 75 dan nilai ratarata nilai kedua kelas adalah 80, maka banyak siswa kelas A adalah …
orang.
A. 35
B. 38
C. 40
D. 42
E. 45
Jawab:
Karena banyak siswa kelas A yang ditanyakan, tulis banyaknya siswa
kelas A = x orang dan banyak siswa kelas B = 75 – x .
Berdasarkan informasi soal bahwa; nilai rata-rata nilai kedua kelas adalah
80, maka
73 x + 75 . 88 – 88x = 80 . 75
- 15 x = 80 . 75 – 88 . 75
- 15 x = -8 . 75
- 15 x = – 15 . 5. 8
x = 5 . 8 = 40
Jadi, banyak siswa kelas A adalah 40 orang.
C
4. Suatu hari perbandingan jumlah uang Netty dan Agit adalah 2 : 1.
Sehari kemudian Netty memberikan uangnya sejumlah Rp 100.000,00
kepada Agit. Sekarang perbandingan uang Netty dan Agit menjadi 1 : 3.
Jumlah uang Netty sekarang adalah Rp ……
A. 240.000,00
C. 120.000,00
B. 180.000,00
D. 100.000,00
E. 60.000,00
Jawab:
Berdasarkan informasi soal, tulis jumlah uang Netty semula = 2x rupiah
dan jumlah uang Agit = x rupiah. Setelah uang Netty diberikan kepada
Agit, maka jumlah uang Netty menjadi = 2x – 100.000, dan Jumlah uang
Agit menjadi = x + 100.000.
6x – 300.000
= x + 100.000
5x = 400.000
x = 400.000/5
x = 80.0000 , maka 2x – 100.000 = 160.000 – 100.000 = 60.000
Jadi, Jumlah uang Netty sekarang adalah Rp. 60.000,00
E
5. Jika f adalah fungsi linier, f (1) = 2000, dan f (x + 1) + 12 = f (x), maka
nilai f (100) = …
A. 762
B. 812
C. 832
D. 912
E. 1012
Jawab:
Soal ini tentang nilai suatu fungsi linier yang berkaitan dengan pola
barisan bilangan.
Rumus fungsi tersebut bersifat rekursif artinya nilai fungsi berikutnya
diperoleh dari nilai fungsi sebelumnya dikurangi 12,
f (x + 1) = f (x) – 12, sehingga tampak polanya sebagai berikut:
Untuk nilai x = 1 diperoleh f (2)
= f (1) – 12
Untuk nilai x = 2 diperoleh f (3)
= f (2) – 12 = f (1)–12–12= f (1) – 2 x 12
Untuk nilai x = 3 diperoleh f (4)
= f (3)–12=f (1)–2x12–12= f (1) – 3 x 12
x = 4 = = f (1) – 4 x 12
.
.
= f (1) – . x 12
.
= .
= f (1) – . x 12
Untuk nilai x = 99 diperoleh f (100) = f (99) – 12 =
= f (1) – 99 x 12
Jadi, f (100) = f (99) – 12
= f (1) – 99 x 12
= 2000 – (100 – 1) x 12
= 2000 – 1200 + 12
= 812
B
6.
Banyaknya himpunan bagian dari himpunan H adalah ….
Jawab:
Banyaknya himpunan bagian dari himpunan H adalah 2 n(H).
Permasalahannya sekarang berapa banyaknya anggota himpunan H =
n(H ).
Harus kita temukan dalam rentang berapa nilai k yang merupakan
bilangan bulat tersebut !
Perhatikan bentuk pertidaksamaan x2 – 1 < x2 + k < 2(x + 1), jika ketiga ruas
dikurangi x2,maka diperoleh;
– 1 < k < 2(x + 1) – x2 atau
– 1 < k < – x2 + 2x + 2
Perhatikan batas atas rentang nilai k , merupakan fungsi kuadrat yang
bernilai maksimum (ekstrim maksimum, lihat pada buku kumpulan rumus
matematika).
Jika kita tulis;
y = – x2 + 2x + 2 ,maka ymaks diperoleh untuk nilai x = – koefisien x / (2.
Koefisien x2).
Untuk x = -2 / 2(-1) = 1 , diperoleh nilai ymaks = – (1)2 + 2 . 1 + 2 = 3
Dengan demikian pertidaksamaan tersebut menjadi ; – 1 < k < 3 .
Sehingga himpunan H dapat ditulis sbb:
H = { 0, 1 , 2 }, maka n (H ) = 3 .
Jadi, Banyaknya himpunan bagian dari himpunan H adalah 23 =
8
B
7.
Tiga orang A, B, dan C pinjam meminjam kelereng. Pada awalnya
ketiga orang tersebut telah memiliki sejumlah kelereng tertentu dan
selama pinjam meminjam mereka tidak melakukan penambahan kelereng
selain melalui pinjam meminjam diantara ketiga orang tersebut. Pada
suatu hari A meminjami sejumlah kelereng kepada B dan C sehingga
jumlah kelereng B dan C masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah
kelereng sebelumya. Hari berikutnya B meminjami sejumlah kelereng
kepada A dan C sehingga jumlah kelereng A dan C masing-masing
menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumya. Hari terakhir C
meminjami sejumlah kelereng kepada A dan B sehingga jumlah kelereng A
dan B masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumya.
Setelah dihitung akhirnya masing-masing memiliki 16 kelereng.
Banyaknya kelereng A mula-mula adalah ….
A. 8
B. 14
C. 26
D. 28
E. 32
Jawab:
Soal ini termasuk bentuk aljabar, yaitu soal cerita yang berkaitan dengan
Sistem Persamaan Linier Tiga variabel (SPLTV).
Soal ini menuntut peserta memahami soal, dan membuat kalimat
matematika dalam bentuk persamaan, kemudian menyelesaikannya. Tulis !
Banyaknya kelerang A mula-mula = x
Banyaknya kelerang B mula-mula = y
Banyaknya kelerang C mula-mula = z , dari informasi soal diperoleh
bahwa;
x + y + z = 48 ……..(1)
1). A meminjami kereng kepada B dan C, maka jumlah kelereng mereka
masing-masing pada hari pertama adalah
B = 2y , C = 2z , dan A = x – y – z .
2). B meminjami kereng kepada A dan C, maka jumlah kelereng mereka
masing-masing pada hari berikutnya adalah
A = 2( x – y – z ) , C = 4z , dan B = 2y – (x – y – z) – 2z = -x + 3y – z .
3). C meminjami kereng kepada A dan B, maka jumlah kelereng mereka
masing-masing pada hari terakhir adalah
A = 4( x – y – z ) , B = 2( -x + 3y – z) , dan C = 4z – [(-x + 3y – z) +2(x – y –
z)].
A = 4( x – y – z ) = 16 , atau
x – y – z = 16/4 = 4 ………………. (2)
Persamaan (1) + persamaan (2) diperoleh 2x = 48 + 4 = 52 , atau x = 26.
Jadi, kelereng A mula-mula adalah 26
C
8. Jika jumlah dua bilangan positif adalah 24, maka nilai terkecil dari
jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah…
A. 1
B. 1/2
C. 1/3
D. 1/4
E.
1/6
Jawab:
Misalkan kedua bilangan bulat positif itu adalah a dan b . a + b = 24.
Selanjutnya kita hitung nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilanganbilangan tersebut, yaitu:
Nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut diperoleh
jika nilai ab terbesar (maksimum).
Ada satu dalil tentang nilai maksimum fungsi kuadrat:
“Hasil kali dua variabel yang jumlahnya tetap bernilai maksimum, jika
kedua variabel tersebut bernilai sama”.
Tampak bahwa, kedua variabel tersebut berjumlah tetap, a + b =
24 (konstan), maka
a x b bernilai maksimum (terbesar) , untuk nilai a = b = 12 , sehingga nilai
terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut;
Jadi, nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah
1/6 .
E
9.
Jawab:
Bilangan itu merupakan bilangan rasional.
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk;
Karakteristik bilangan rasional, jika dinyatakan dalam bentuk pecahan
desimal, angka-angka penyusunnya berulang sedemikian rupa.
Ubahlah dalam bentuk pecahan desimal dengan melakukan pembagian
konvensional.
Tampak bilangan 20 merupakan bilangan pertama yang dibagi, jadi angkaangka hasil pembagiannya akan berulang seperti angka-angka semula.
Jadi, 2013 : 7000 = 0,2875714 2875714 …
Perhatikan bentuk pecahan desimal, berulang setiap 7 digit dengan angka
dibelakang koma yaitu 2875714.
7 x 287 = 2009, dan 2013 – 2009 = 4 dengan demikian 2013 : 7 bersisa 4.
Jadi, bilangan ke- 2013 dibelakang koma dari pecahan desimal 2013 : 7000
adalah urutan ke-4 di belakang tanda koma dari 0, 2875714
yaitu 5.
D
10. Diberikan angka yang disusun sebagai berikut: 987654321. Berapa
banyak tanda operasi penjumlahan harus disisipkan di antara angkaangka tersebut agar menghasilkan jumlah 99?
Jawab:
Jumlah bilangan dari 1 s.d. 9 adalah 45, dengan demikian untuk
memperoleh jumlah 99, harus memuat satu bilangan puluhan lebih dari 45
yang memungkinkan.
Yaitu 9 + 8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2 + 1 = 99
Jadi, sebanyak 7 tanda “+” yang disisipkan.
D
11. Jika barisan berikut adalah barisan bilangan bilangan bulat positif
berurutan yang dihilangkan bilangan kelipatan tiga: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11,
13, 14, …, maka suku ke-67 barisan tersebut adalah….
Jawab:
Soal rutin barisan bilangan biasanya menanyakan banyaknya bilangan
yang disisipkan sehingga membentuk barisan aritmetika , tetapi soal di
ubah dari biasanya (tidak rutin).
Perhatikan, bilangan kelipatan tiga yang dihilangkan, terletak di antara dua
bilangan dari barisan tersebut. Selanjutnya kita kita hitung banyaknya
bilangan kelipatan tiga yang dihilangkan.
Ada sebanyak 33 bilangan kelipatan tiga yang dihilangkan. Misalkan
bilangan ke-67 dari barisan bilangan tersebut adalah n. Karena barisan
bilangan itu bilangan bulat positif berurutan maka n– 33 = 67 atau
diperoleh n = 67 + 33 = 100
Jadi, bilangan ke-67 dari barisan adalah 100.
E
12. Jika rata-rata 51 bilangan bulat berurutan adalah 10, maka bilangan
terkecil dari semua bilangan tersebut adalah…
A. 5
B. 0
C. -5
D. -13
E.
-15
Jawab:
Kita ketahui bahwa pada bilangan bulat berurutan, selisih antara dua
bilangan berurutan adalah 1, maka dapat kita tulis 51 bilangan tersebut;
n , n + 1, n + 2, n + 3, …., n + 48, n + 49, n + 50.
Rata-ratanya 10, maka kita tulis;
51n +[ 1 + 2 + 3 +...+ 49 + 50] = 51 x 10.
Jumlah deret bilangan dari 1 s.d. 50 = ½ x 50 x (1 + 50) = 51 x 25, sehingga
ditulis;
51 n + 51 x 25 = 51 x 10
51 n = 51 x 10 – 51 x 25
51 n = 51 ( 10 – 25 )
51 n = 51 x (-15)
n = -15
Jadi, bilangan terkecil dari semua bilangan tersebut adalah – 15
.
E
13. Sebuah kantong berisi 15 bola merah, 12 bola biru dan 3 bola hijau.
Diambil sebuah bola secara acak sebanyak 2 kali tanpa pengembalian.
Peluang bola yang terambil merah pada pengambilan pertama dan hijau
pada pengambilan kedua adalah…
A. 1/20
B. 3/58
C. 1/5
D. 3/29
E. 6/29
Jawab:
Soal ini termasuk peluang bersyarat. (lihat Teori Peluang pada daftar isi !)
Misalkan A: kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan
pertama, ,maka
P(A) = 15/30.
Dan misalkan B: kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan
kedua, yaitu setelah pengambilan pertama.
Setelah bola pertama diambil satu maka di dalam kantong tersisa 29 bola,
sehingga
peluang terambilnya bola hijau pada pengambilan kedua, P(B/A)= 3/29.
Jadi, peluang bola yang terambil merah pada pengambilan pertama dan
hijau pada pengambilan kedua , atau P (A dan B) = P(A) x P(B/A)
= 15/30 x 3/29
= 1/2 x 3/29
= 3/58
B
14. Lima orang akan naik mobil dengan kapasitas enam tempat duduk,
yakni dua di depan termasuk pengemudi (sopir), dua di tengah, dua di
belakang. Jika hanya ada dua orang yang bisa mengemudi, banyak cara
mengatur tempat duduk mereka adalah ….
A. 120
B. 200
C. 220
D. 240
E. 280
Jawab:
Maksud mengatur tempat duduk penumpang dalam soal ini, bahwa mobil
akan berjalan, kalau hanya sekedar duduk, siapapun bisa duduk di tempat
duduk sopir.
Sedikitnya tiga langkah menghitung banyaknya cara mengatur tempat
duduk.
Langkah pertama menghitung banyaknya cara yang dapat menempati
tempat duduk sopir yaitu 2 cara.
Langkah kedua menghitung banyaknya cara duduk 4 orang pada tempat
duduk penumpang (selain tempat duduk sopir) tersedia 5 tempat duduk,
hal ini merupakan permutasi 4 unsur berbeda dari 5 unsur berbeda.
Banyaknya cara adalah sebanyak;
Langkah terakhir menghitung dua hasil perhitungan di atas.
Dua hal tersebut merupakan hal yang saling bebas, maka banyaknya cara
duduk keseluruhan adalah 2 x 120 = 240 cara.
D
15. Jika diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 1 satuan,
maka jarak titik E ke bidang datar AFH adalah … satuan.
Jawab:
Langkah awal dalam menjawab soal geometri, buatlah sketsa gambarnya
lengkapi dengan data-datanya, kemudian temukan strategi penyelesaian
yang menuju ke arah hal yang dicari!
Selanjutnya buatlah bidang yang memuat titik E dan tegak lurus
bidang AFH , yaitu bidang diagonal ACGE , karena besar sudut ETF = 900.
(diagonal HF saling tegak lurus EG ).
Diagonal sisi HF dan EG berpotongan di T, buatlah segmen garis AT,
kemudian buatlah garis EU tegak lurus AT, itulah jarak dari titik E ke
bidang datar AFH.
Selanjutnya hitung panjang segmen garis AT .
Perhatikan segitiga sama sisi AFH (karena panjang AF = HF = AH = akar 2)
Segitiga ABF siku-siku di B, menurut Teorema Pythagoras
diperoleh;
Perhatikan segitiga ATF siku-siku di T, maka menurut Teorema
Pythagoras diperoleh;
Terakhir kita hitung jarak EU , perhatikan segitiga AET siku-siku di E .
Dengan pendekatan luas daerah segitiga siku-siku AET , diperoleh;
1/2 x AT x EU = 1/2 x AE x ET
EU = (AE x ET ): AT
EU = (1 x 1/2 EG ) : AT
16. Diketahui sekelompok data memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
(i). Terdiri dari 5 data bilangan bulat positif dengan rataan = 7
(ii). Median = Modus = 9
Jika jangkauan didefinikan sebagai selisih data terbesar dengan data
terkecil, maka jangkauan terbesar yang mungkin adalah….
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
E. 15
Jawab:
Dari informasi soal diperoleh; jumlah lima bilangan = 5 x 7 = 35, dan
bilangan 9 ada sebanyak 2. Jangkauan terbesar dicapai jika data terkecil
yaitu 1, data kedua yaitu 2 dan data terbesar = 35 – (1 + 2 + 9 + 9)= 35 – 21
= 14.
Jadi, jangkauan terbesar yang mungkin adalah 14 – 1 = 13.
C
17. Di dalam suatu keranjang terdapat 12 apel Malang, dua diantaranya
diketahui busuk.
Jika diambil 3 apel secara acak (random), maka peluang tepat satu
diantaranya busuk adalah…
A. 9/22
B. 5/11
C. 4/11
D. 9/44
E. 5/22
Jawab:
Diketahui jumlah apel seluruhnya 12 terdiri dari 10 apel baik dan 2 apel
busuk.
Cara I:
Hitung banyaknya anggota ruang sampel, yaitu banyaknya semua
susunan yang terdiri dari 3 apel berbeda yang diambil dari 12 apel. Ini
persoalan kombinasi 3 unsur berbeda dari 12 unsur, ada sebanyak:
Selanjutnya hitung banyaknya susunan terambilnya 2 apel baik dan 1 apel
busuk, yaitu sebanyak;
Jadi, peluang terambilnya 2 apel baik dan 1 apel busuk adalah
Cara II:
Dengan pengambilan satu persatu tanpa pengembalian, maka
kemungkinan terambilnya apel baik pada pengambilan pertama, apel baik
pada pengambilan kedua, dan apel busuk pada pengambilan ketiga, ditulis
(baik, baik, busuk), kemungkinan lain (baik, busuk, baik) dan (busuk, baik,
baik).
Peluang 3 kejadian tersebut bernilai sama, maka peluang terambilnya
tepat satu apel busuk adalah;
Tampak cara ke-2 lebih sederhana.
18. Sebuah silinder tegak diletakkan di dalam
kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi kubus 2m. Selanjutnya silinder
dipancung oleh bidang miring yang melalui titik A, B,
dan T dimana Tadalah titik perpotongan diagonal bidang CDHG. Volume
terbesar silinder terpancung ini adalah …..
Jawab:
Buatlah sketsa gambarnya !
Menghitung volume silinder yang terpancung oleh sebuah bidang datar
yang miring (tidak sejajar dengan bidang alas) tidak dapat kita lakukan
secara langsung.
Langkah yang kita lakukan yaitu, dengan cara membandingkan volume
silinder terpancung dengan volume silinder utuh.
Perhatikan bangun ruang ADI.BCJ adalah prisma tegak.
Volum prisma tegak ADI.BCJ = 1/2 x AD x ID x AB = 1/2 x 2 x 1 x 2 = 2 m3
19. Jika gambar di bawah ini adalah segi delapan beraturan, maka
perbandingan luas antara daerah yang diarsir dan luas segi delapan
beraturan adalah….
A. 1 : 3
B. 1 : 4
C. 2 : 5
D. 3 : 8
E. 3 : 7
Jawab:
Segi delapan beraturan adalah segi delapan yang panjang sisi-sisinya
sama, dibentuk dari sebuah lingkaran dengan membagi besar sudut pusat
menjadi 8 bagian yang sama yaitu sebesar 360 : 8 = 45 0 .
Buatlah garis-garis seperti pada gambar berikut:
Diketahui:
panjang AB = BC = CD = DE = EF = FB = GH = AH.
panjang AO = OB = OC = OD = OE = r (jari-jari lingkaran O) dan panjang AC
= DF.
Perhatikan segiempat ABCD kongruen dengan segiempat AHGF.
Perhatikan segiempat ABCO adalah layang-layang (karena panjang AB=BC
dan AO=OC=r).
Perhatikan segiempat ADEF adalah layang-layang (karena panjang DE=EF
dan AF=AD).
Sehingga
2 x luas segiempat ABCD + luas layang-layang ADEF = luas segi-8
beraturan.
2 x luas segiempat ABCD + luas layang-layang ADEF = 4 x luas layanglayang ABCO.
2 x luas segiempat ABCD + 1/2 x AE x DF
= 4 x 1/2 x OB x AC
2 x luas segiempat ABCD + 1/2 x 2r x AC
DF=AC).
2 x luas segiempat ABCD + r x AC
2 x luas segiempat ABCD = r x AC , maka
= 2r x AC
(karena panjang
= 2r x AC
Sedangkan luas segi-8 beraturan = 2r x AC , maka
Jadi, perbandingan luas antara daerah yang diarsir dan luas segi-8
beraturan adalah 1 : 4
B.
20. Beberapa bilangan empat angka memiliki angka-angka penyusun tak
nol yang saling berbeda dan berjumlah 10. Banyak bilangan yang
dimaksud adalah ….
A. 24
B. 22
C. 20
D. 18
E. 16
Jawab:
Langkah pertama tentukan angka-angka penyusunya, yaitu 1, 2, 3, dan 4.
Langkah selanjutnya menghitung banyaknya susunan bilangan yang
mungkin. Hal ini merupakan permutasi 4 unsur berbeda dari 4 unsur, yaitu
sebanyak 4! =4 x 3 x 2 x 1 = 24 A
BAGIAN B: ISIAN SINGKAT
1. Tino sedang memanjat tangga dia berada tepat di tengah tangga. Jika
ia naik 3 anak tangga, kemudian turun 5 anak tangga, serta naik kembali
10 anak tangga, maka Tino akan sampai di puncak tangga. Banyak anak
tangga yang dimiliki tangga tersebut adalah….
Jawab:
Tulis banyaknya anak tangga = n, maka 1/2 n + 3 – 5 + 10 = n , atau 1/2 n =
8,
maka n = 16 . Jadi, banyak anak tangga yang dimiliki tangga tersebut
adalah 16.
2. Ani mempunyai uang Rp16.500,00. Sejumlah uang itu akan dihabiskan
untuk membeli 6 bukah peralatan sekolah. Ia membeli beberapa pensil
dengan harga Rp2.000,00 per pensil. Ia membeli beberapa buku dengan
harga Rp2.500,00 per buku, dan ia juga membeli beberapa kotak pensil
dengan harga Rp4.000,00 per kota pensil.
Banyak buku yang dibeli Ani adalah….
Jawab:
Misalkan banyak pensil yang dibeli sebayak x , banyak buku sebanyak y
dan kotak pensil sebanyak z . Maka x + y + z = 6 , dan 2.000 x + 2.500 y +
4.000 z = 16.500 .
Soal ini termasuk SPLTV.
Dengan melihat jumlah uang yang dimiliki Ani sebanyak Rp 16.500,00 dan
harga buku, maka banyaknya buku yang dibeli sebanyak ganjil.
Jika y = 1, maka x + z = 5 , dan 2.000 x + 4.000 z = 16.500 – 2.500 = 14.000
Dipenuhi untuk x = 3 dan z = 2 , atau x = 5 dan z = 1 .
Jadi, banyak buku yang dibeli Ani sebanyak 1 exemplar.
3.
Jawab:
Sedikit analisa, 2013 merupakan bilangan kelipatan 3. Ciri bilangan habis
dibagi 3, yaitu jumlah angka-angka penyusunnya habis dibagi 3, yaitu
2+0+1+3 = 6 , 6 habis dibagi 3.
Karena 2013 merupakan bilangan ganjil, agar hasil pembagian bilangan itu
merupakan bilangan bulat positif, maka haruslah (n 2 – 3) merupakan
bilangan bulat positif ganjil.
Karena (n 2 – 3) merupakan bilangan bulat positif ganjil, maka
haruslah n 2 merupakan bilangan kuadrat genap.
Selajutnya coba dan periksa.
Untuk n 2 = 4 atau n = 2, diperoleh 2013 : (4 – 3) = 2013 : 1 = 2013
Untuk n 2 = 16 atau n = 4, diperoleh 2013 : (16 – 3) = 2013 : 13 = bukan
bilangan bulat
Untuk n 2 = 36 atau n = 6, diperoleh 2013 : (36 – 3) = 2013 : 33 = 61
Untuk n 2 = 64 atau n = 8, diperoleh 2013 : (64 – 3) = 2013 : 61 = 33 .
Karena 61 bilangan prima, maka pemeriksaan tuntas.
Jadi banyaknya bilangan n ada sebanyak 3 .
4.
Diketahui tabel bilangan berikut :
Jika diketahui bahwa jumlah masing-masing baris, kolom, dan diagonal
adalah sama, maka nilai x+ y adalah ….
Jawab:
Berdasarkan informasi soal, maka nyatakan satu persamaan sehingga
diperoleh nilai satu variabel ;
- 7 + 2y + x – 2 = x – 2 – 10 + y
y
= – 10 + 7
y
=–3
x
x
–7+x–8
=–8–4+y
=–4–3+7
=0
Maka nilai x + y = - 3
5. Jika himpunan A mempunyai anggota sebanyak x dan himpunan B
mempunyai anggota sebanyak y , x ≤ y , maka himpunan A U B
mempunyai anggota (maksimum) sebanyak…
Jawab:
Diketahui: n(A) = x , n(B ) = y , dan x ≤ y .
n(A U B) = n(A) + n(B) – n (A ∩ B)
n(A U B) akan maksimum, jika n(A) = n(B), atau x = y , dan (A ∩ B) = Ø
atau n(A ∩ B)=0,
Sehingga n(A U B) = y + y = 2y .
Jadi, himpunan A U B mempunyai anggota (maksimum) sebanyak 2y .
6. Semua bilangan asli n yang memenuhi sifat bahwa 6n 2 + 5n – 4
adalah bilangan prima adalah….
Jawab:
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang mempunyai dua faktor,
oleh karena itu faktorkan bentuk aljabar tsb!
6n 2 + 5n – 4 = (3n + 4)(2n – 1)
Karena 6n 2 + 5n – 4 merupakan bilangan prima dan n bilangan asli, maka
haruslah 2n – 1 = 1 atau 2n = 1 + 1 = 2, atau n = 1 .
Jadi, n = 1 sehingga 6n 2 + 5n – 4 merupakan bilangan prima.
7. Jika S1= 1 , S2= S1– 3, S3= S2+ 5, S4= S3– 7 , S5= S4+ 9 …. adalah sukusuku suatu barisan bilangan, maka S2013= …..
Jawab:
S1= 1 , S2= 1 – 3 = -2 , S3= -2 + 5 = 3, S4= 3 – 7= – 4, dan S5= -4 + 9 = 5, …
Barisan bilangan tersebut; 1, – 2, 3, -4, 5, …..
Tampak suku ke-n dari barisan tersebut bernilai positif untuk n asli ganjil
(suku ganjil), dan
bernilai negatif untuk n asli genap, sehingga dapat kita tentukan rumus
suku ke-n adalah
Sn = (-1)n+1. n
Jadi, S2013 = (-1)2013+1. 2013 = 2013
8. Pada Δ ABC titik D pada BC sehingga BD:DC = 1 : 3. Titik L terletak
pada AD sehingga AL : LD = 1 : 4. Perbandingan luas
Δ ACL dan Δ BDL adalah …
Jawab:
Agar mudah dipahami, saya buat garis tinggi Δ ADC yaitu CE, dan garis
tinggi Δ BCL yaitu LF .
Perhatikan irisan Δ ADC dan Δ BCL adalah segitiga CDL.
Nyatakan luas Δ ACL dan luas Δ BDL masing-masing dalam luas Δ CDL,
seperti berikut:
Perhatikan Δ ADC !
Perhatikan Δ BCL !
Maka,
Jadi, perbandingan luas Δ ACL dan Δ BDL adalah 3 : 4
9.
Suatu string terdiri dari 10 angka 0, 1 atau 2.
Bobot string didefinisikan jumlah angka-angka dalam string tersebut.
Sebagai contoh string 0002002001 mempunyai bobot 5.
Banyakstring dengan bobot 4 adalah ….
Jawab:
Yang dimasud dengan string dalam matematika atau bahasa
pemrograman komputer adalah suatu penulisan dengan menggunakan
gabungan huruf, angka, atau simbol-simbol karakter lain dan bersifat
sebagai teks biasa. Contoh nomor peserta 001 sebagai teks, bukan
bilangan.
Kembali ke persoalan, string dengan bobot 4 mempunyai susunan angka
yang mungkin terdiri dari:
a. Angka 0 sebanyak 6 dan angka 1 sebanyak 4. Banyaknya
susunan string yang mungkin merupakan persoalan permutasi n unsur
yang terdiri dari p unsur yang sama, q unsur yang sama, dimana p + q ≤ n ,
yaitu sebanyak:
Banyaknya susunan string yang mungkin sebanyak=
b.
Angka 0 sebanyak 7, angka 1 sebanyak 2, dan angka 2 sebanyak 1.
Banyaknya susunan string yang mungkin
sebanyak=
c.
Angka 0 sebanyak 8, angka 2 sebanyak 2.
Banyaknya susunan string yang mungkin
sebanyak=
Jadi, banyak string dengan bobot 4 sebanyak= 210 + 360 + 45 = 615
10. Tita memiliki tetangga baru yang memiliki 2 anak. Jika salah satu
anak tetangga baru tersebut adalah perempuan, maka besar peluang anak
yang lain laki-laki adalah….
Jawab:
Tentukan semua kemungkinan anak tetangga itu, kemungkinannya anak
ke-1 laki-laki dan anak kedua perempuan tulis (LP), selanjutnya (PL), (PP),
(LL).
Ruang sampel = { (LP),(PL), (PP), (LL) }, maka n(RS)= 4
Jadi, peluang anak yang perempuan dan anak lainnya laki-laki = P[(PL),
(LP)] = 2/4 = 1/2 .
TINGKAT KAB/KOTA SABTU 9 MARET 2013
BAGIAN A: PILIHAN GANDA
1. Bentuk x4 – 1 mempunyai faktor sebanyak….
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 7
Jawab:
Soal ini menuntut kemampuan memfaktorkan bentuk aljabar pangkat
tinggi. Tetapi perhatikan bentuknya kita dapat memanfaatkan bentuk
selisih dua kuadrat; a2 – b2 = (a – b) (a + b).
x4 – 1 = (x2)2 – (12)2
= ( x2 – 1) ( x2 + 1)
= ( x + 1) ( x – 1)( x2 + 1).
Dengan pemfaktoran seperti di atas, tampak ada 3 faktornya, karena
bentuk terakhir tak dapat difaktorkan lagi.
Pemfaktoran bentuk lain , x4 – 1 = 1 (x4 – 1) .
Dengan demikian faktor-faktor dari x4 – 1 adalah 1, x4 – 1, x2 – 1, x2 + 1, x
+ 1, dan x – 1 .
Jadi, faktor dari x4 – 1 ada sebanyak 6
D.
2. Jika a, b, c , dan d adalah bilangan bulat positif dibagi 13 berturutturut sisanya 12, 9, 11, dan 7, maka 3a + 4b – 3c + 2d dibagi 13 akan
bersisa….
A. 0
B. 1
C. 7
D. 9
E. 11
Jawab:
Dalam menjawab soal sisa pembagian, kita cukup menghitung sisanya
saja!
3a + 4b – 3c + 2d = 3a – 3c + 4b + 2d = 3 ( a – c ) + 2 (2b + d)
= 3 (12 – 11) + 2 (18 + 7)
= 3 x 1 + 2 (5 + 7) (karena 18 :13 sisanya 5 )
= 3 + 24
= 27
27 dibagi 13 = 2 sisa 1
Jadi, 3a + 4b – 3c + 2d dibagi 13 akan bersisa 1 B
3. Nilai rata-rata kelas A adalah 73, sedangkan nilai rata-rata kelas B
adalah 88. Jika jumlah siswa kedua kelas tersebut adalah 75 dan nilai ratarata nilai kedua kelas adalah 80, maka banyak siswa kelas A adalah …
orang.
A. 35
B. 38
C. 40
D. 42
E. 45
Jawab:
Karena banyak siswa kelas A yang ditanyakan, tulis banyaknya siswa
kelas A = x orang dan banyak siswa kelas B = 75 – x .
Berdasarkan informasi soal bahwa; nilai rata-rata nilai kedua kelas adalah
80, maka
73 x + 75 . 88 – 88x = 80 . 75
- 15 x = 80 . 75 – 88 . 75
- 15 x = -8 . 75
- 15 x = – 15 . 5. 8
x = 5 . 8 = 40
Jadi, banyak siswa kelas A adalah 40 orang.
C
4. Suatu hari perbandingan jumlah uang Netty dan Agit adalah 2 : 1.
Sehari kemudian Netty memberikan uangnya sejumlah Rp 100.000,00
kepada Agit. Sekarang perbandingan uang Netty dan Agit menjadi 1 : 3.
Jumlah uang Netty sekarang adalah Rp ……
A. 240.000,00
C. 120.000,00
B. 180.000,00
D. 100.000,00
E. 60.000,00
Jawab:
Berdasarkan informasi soal, tulis jumlah uang Netty semula = 2x rupiah
dan jumlah uang Agit = x rupiah. Setelah uang Netty diberikan kepada
Agit, maka jumlah uang Netty menjadi = 2x – 100.000, dan Jumlah uang
Agit menjadi = x + 100.000.
6x – 300.000
= x + 100.000
5x = 400.000
x = 400.000/5
x = 80.0000 , maka 2x – 100.000 = 160.000 – 100.000 = 60.000
Jadi, Jumlah uang Netty sekarang adalah Rp. 60.000,00
E
5. Jika f adalah fungsi linier, f (1) = 2000, dan f (x + 1) + 12 = f (x), maka
nilai f (100) = …
A. 762
B. 812
C. 832
D. 912
E. 1012
Jawab:
Soal ini tentang nilai suatu fungsi linier yang berkaitan dengan pola
barisan bilangan.
Rumus fungsi tersebut bersifat rekursif artinya nilai fungsi berikutnya
diperoleh dari nilai fungsi sebelumnya dikurangi 12,
f (x + 1) = f (x) – 12, sehingga tampak polanya sebagai berikut:
Untuk nilai x = 1 diperoleh f (2)
= f (1) – 12
Untuk nilai x = 2 diperoleh f (3)
= f (2) – 12 = f (1)–12–12= f (1) – 2 x 12
Untuk nilai x = 3 diperoleh f (4)
= f (3)–12=f (1)–2x12–12= f (1) – 3 x 12
x = 4 = = f (1) – 4 x 12
.
.
= f (1) – . x 12
.
= .
= f (1) – . x 12
Untuk nilai x = 99 diperoleh f (100) = f (99) – 12 =
= f (1) – 99 x 12
Jadi, f (100) = f (99) – 12
= f (1) – 99 x 12
= 2000 – (100 – 1) x 12
= 2000 – 1200 + 12
= 812
B
6.
Banyaknya himpunan bagian dari himpunan H adalah ….
Jawab:
Banyaknya himpunan bagian dari himpunan H adalah 2 n(H).
Permasalahannya sekarang berapa banyaknya anggota himpunan H =
n(H ).
Harus kita temukan dalam rentang berapa nilai k yang merupakan
bilangan bulat tersebut !
Perhatikan bentuk pertidaksamaan x2 – 1 < x2 + k < 2(x + 1), jika ketiga ruas
dikurangi x2,maka diperoleh;
– 1 < k < 2(x + 1) – x2 atau
– 1 < k < – x2 + 2x + 2
Perhatikan batas atas rentang nilai k , merupakan fungsi kuadrat yang
bernilai maksimum (ekstrim maksimum, lihat pada buku kumpulan rumus
matematika).
Jika kita tulis;
y = – x2 + 2x + 2 ,maka ymaks diperoleh untuk nilai x = – koefisien x / (2.
Koefisien x2).
Untuk x = -2 / 2(-1) = 1 , diperoleh nilai ymaks = – (1)2 + 2 . 1 + 2 = 3
Dengan demikian pertidaksamaan tersebut menjadi ; – 1 < k < 3 .
Sehingga himpunan H dapat ditulis sbb:
H = { 0, 1 , 2 }, maka n (H ) = 3 .
Jadi, Banyaknya himpunan bagian dari himpunan H adalah 23 =
8
B
7.
Tiga orang A, B, dan C pinjam meminjam kelereng. Pada awalnya
ketiga orang tersebut telah memiliki sejumlah kelereng tertentu dan
selama pinjam meminjam mereka tidak melakukan penambahan kelereng
selain melalui pinjam meminjam diantara ketiga orang tersebut. Pada
suatu hari A meminjami sejumlah kelereng kepada B dan C sehingga
jumlah kelereng B dan C masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah
kelereng sebelumya. Hari berikutnya B meminjami sejumlah kelereng
kepada A dan C sehingga jumlah kelereng A dan C masing-masing
menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumya. Hari terakhir C
meminjami sejumlah kelereng kepada A dan B sehingga jumlah kelereng A
dan B masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumya.
Setelah dihitung akhirnya masing-masing memiliki 16 kelereng.
Banyaknya kelereng A mula-mula adalah ….
A. 8
B. 14
C. 26
D. 28
E. 32
Jawab:
Soal ini termasuk bentuk aljabar, yaitu soal cerita yang berkaitan dengan
Sistem Persamaan Linier Tiga variabel (SPLTV).
Soal ini menuntut peserta memahami soal, dan membuat kalimat
matematika dalam bentuk persamaan, kemudian menyelesaikannya. Tulis !
Banyaknya kelerang A mula-mula = x
Banyaknya kelerang B mula-mula = y
Banyaknya kelerang C mula-mula = z , dari informasi soal diperoleh
bahwa;
x + y + z = 48 ……..(1)
1). A meminjami kereng kepada B dan C, maka jumlah kelereng mereka
masing-masing pada hari pertama adalah
B = 2y , C = 2z , dan A = x – y – z .
2). B meminjami kereng kepada A dan C, maka jumlah kelereng mereka
masing-masing pada hari berikutnya adalah
A = 2( x – y – z ) , C = 4z , dan B = 2y – (x – y – z) – 2z = -x + 3y – z .
3). C meminjami kereng kepada A dan B, maka jumlah kelereng mereka
masing-masing pada hari terakhir adalah
A = 4( x – y – z ) , B = 2( -x + 3y – z) , dan C = 4z – [(-x + 3y – z) +2(x – y –
z)].
A = 4( x – y – z ) = 16 , atau
x – y – z = 16/4 = 4 ………………. (2)
Persamaan (1) + persamaan (2) diperoleh 2x = 48 + 4 = 52 , atau x = 26.
Jadi, kelereng A mula-mula adalah 26
C
8. Jika jumlah dua bilangan positif adalah 24, maka nilai terkecil dari
jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah…
A. 1
B. 1/2
C. 1/3
D. 1/4
E.
1/6
Jawab:
Misalkan kedua bilangan bulat positif itu adalah a dan b . a + b = 24.
Selanjutnya kita hitung nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilanganbilangan tersebut, yaitu:
Nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut diperoleh
jika nilai ab terbesar (maksimum).
Ada satu dalil tentang nilai maksimum fungsi kuadrat:
“Hasil kali dua variabel yang jumlahnya tetap bernilai maksimum, jika
kedua variabel tersebut bernilai sama”.
Tampak bahwa, kedua variabel tersebut berjumlah tetap, a + b =
24 (konstan), maka
a x b bernilai maksimum (terbesar) , untuk nilai a = b = 12 , sehingga nilai
terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut;
Jadi, nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah
1/6 .
E
9.
Jawab:
Bilangan itu merupakan bilangan rasional.
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk;
Karakteristik bilangan rasional, jika dinyatakan dalam bentuk pecahan
desimal, angka-angka penyusunnya berulang sedemikian rupa.
Ubahlah dalam bentuk pecahan desimal dengan melakukan pembagian
konvensional.
Tampak bilangan 20 merupakan bilangan pertama yang dibagi, jadi angkaangka hasil pembagiannya akan berulang seperti angka-angka semula.
Jadi, 2013 : 7000 = 0,2875714 2875714 …
Perhatikan bentuk pecahan desimal, berulang setiap 7 digit dengan angka
dibelakang koma yaitu 2875714.
7 x 287 = 2009, dan 2013 – 2009 = 4 dengan demikian 2013 : 7 bersisa 4.
Jadi, bilangan ke- 2013 dibelakang koma dari pecahan desimal 2013 : 7000
adalah urutan ke-4 di belakang tanda koma dari 0, 2875714
yaitu 5.
D
10. Diberikan angka yang disusun sebagai berikut: 987654321. Berapa
banyak tanda operasi penjumlahan harus disisipkan di antara angkaangka tersebut agar menghasilkan jumlah 99?
Jawab:
Jumlah bilangan dari 1 s.d. 9 adalah 45, dengan demikian untuk
memperoleh jumlah 99, harus memuat satu bilangan puluhan lebih dari 45
yang memungkinkan.
Yaitu 9 + 8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2 + 1 = 99
Jadi, sebanyak 7 tanda “+” yang disisipkan.
D
11. Jika barisan berikut adalah barisan bilangan bilangan bulat positif
berurutan yang dihilangkan bilangan kelipatan tiga: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11,
13, 14, …, maka suku ke-67 barisan tersebut adalah….
Jawab:
Soal rutin barisan bilangan biasanya menanyakan banyaknya bilangan
yang disisipkan sehingga membentuk barisan aritmetika , tetapi soal di
ubah dari biasanya (tidak rutin).
Perhatikan, bilangan kelipatan tiga yang dihilangkan, terletak di antara dua
bilangan dari barisan tersebut. Selanjutnya kita kita hitung banyaknya
bilangan kelipatan tiga yang dihilangkan.
Ada sebanyak 33 bilangan kelipatan tiga yang dihilangkan. Misalkan
bilangan ke-67 dari barisan bilangan tersebut adalah n. Karena barisan
bilangan itu bilangan bulat positif berurutan maka n– 33 = 67 atau
diperoleh n = 67 + 33 = 100
Jadi, bilangan ke-67 dari barisan adalah 100.
E
12. Jika rata-rata 51 bilangan bulat berurutan adalah 10, maka bilangan
terkecil dari semua bilangan tersebut adalah…
A. 5
B. 0
C. -5
D. -13
E.
-15
Jawab:
Kita ketahui bahwa pada bilangan bulat berurutan, selisih antara dua
bilangan berurutan adalah 1, maka dapat kita tulis 51 bilangan tersebut;
n , n + 1, n + 2, n + 3, …., n + 48, n + 49, n + 50.
Rata-ratanya 10, maka kita tulis;
51n +[ 1 + 2 + 3 +...+ 49 + 50] = 51 x 10.
Jumlah deret bilangan dari 1 s.d. 50 = ½ x 50 x (1 + 50) = 51 x 25, sehingga
ditulis;
51 n + 51 x 25 = 51 x 10
51 n = 51 x 10 – 51 x 25
51 n = 51 ( 10 – 25 )
51 n = 51 x (-15)
n = -15
Jadi, bilangan terkecil dari semua bilangan tersebut adalah – 15
.
E
13. Sebuah kantong berisi 15 bola merah, 12 bola biru dan 3 bola hijau.
Diambil sebuah bola secara acak sebanyak 2 kali tanpa pengembalian.
Peluang bola yang terambil merah pada pengambilan pertama dan hijau
pada pengambilan kedua adalah…
A. 1/20
B. 3/58
C. 1/5
D. 3/29
E. 6/29
Jawab:
Soal ini termasuk peluang bersyarat. (lihat Teori Peluang pada daftar isi !)
Misalkan A: kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan
pertama, ,maka
P(A) = 15/30.
Dan misalkan B: kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan
kedua, yaitu setelah pengambilan pertama.
Setelah bola pertama diambil satu maka di dalam kantong tersisa 29 bola,
sehingga
peluang terambilnya bola hijau pada pengambilan kedua, P(B/A)= 3/29.
Jadi, peluang bola yang terambil merah pada pengambilan pertama dan
hijau pada pengambilan kedua , atau P (A dan B) = P(A) x P(B/A)
= 15/30 x 3/29
= 1/2 x 3/29
= 3/58
B
14. Lima orang akan naik mobil dengan kapasitas enam tempat duduk,
yakni dua di depan termasuk pengemudi (sopir), dua di tengah, dua di
belakang. Jika hanya ada dua orang yang bisa mengemudi, banyak cara
mengatur tempat duduk mereka adalah ….
A. 120
B. 200
C. 220
D. 240
E. 280
Jawab:
Maksud mengatur tempat duduk penumpang dalam soal ini, bahwa mobil
akan berjalan, kalau hanya sekedar duduk, siapapun bisa duduk di tempat
duduk sopir.
Sedikitnya tiga langkah menghitung banyaknya cara mengatur tempat
duduk.
Langkah pertama menghitung banyaknya cara yang dapat menempati
tempat duduk sopir yaitu 2 cara.
Langkah kedua menghitung banyaknya cara duduk 4 orang pada tempat
duduk penumpang (selain tempat duduk sopir) tersedia 5 tempat duduk,
hal ini merupakan permutasi 4 unsur berbeda dari 5 unsur berbeda.
Banyaknya cara adalah sebanyak;
Langkah terakhir menghitung dua hasil perhitungan di atas.
Dua hal tersebut merupakan hal yang saling bebas, maka banyaknya cara
duduk keseluruhan adalah 2 x 120 = 240 cara.
D
15. Jika diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 1 satuan,
maka jarak titik E ke bidang datar AFH adalah … satuan.
Jawab:
Langkah awal dalam menjawab soal geometri, buatlah sketsa gambarnya
lengkapi dengan data-datanya, kemudian temukan strategi penyelesaian
yang menuju ke arah hal yang dicari!
Selanjutnya buatlah bidang yang memuat titik E dan tegak lurus
bidang AFH , yaitu bidang diagonal ACGE , karena besar sudut ETF = 900.
(diagonal HF saling tegak lurus EG ).
Diagonal sisi HF dan EG berpotongan di T, buatlah segmen garis AT,
kemudian buatlah garis EU tegak lurus AT, itulah jarak dari titik E ke
bidang datar AFH.
Selanjutnya hitung panjang segmen garis AT .
Perhatikan segitiga sama sisi AFH (karena panjang AF = HF = AH = akar 2)
Segitiga ABF siku-siku di B, menurut Teorema Pythagoras
diperoleh;
Perhatikan segitiga ATF siku-siku di T, maka menurut Teorema
Pythagoras diperoleh;
Terakhir kita hitung jarak EU , perhatikan segitiga AET siku-siku di E .
Dengan pendekatan luas daerah segitiga siku-siku AET , diperoleh;
1/2 x AT x EU = 1/2 x AE x ET
EU = (AE x ET ): AT
EU = (1 x 1/2 EG ) : AT
16. Diketahui sekelompok data memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
(i). Terdiri dari 5 data bilangan bulat positif dengan rataan = 7
(ii). Median = Modus = 9
Jika jangkauan didefinikan sebagai selisih data terbesar dengan data
terkecil, maka jangkauan terbesar yang mungkin adalah….
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
E. 15
Jawab:
Dari informasi soal diperoleh; jumlah lima bilangan = 5 x 7 = 35, dan
bilangan 9 ada sebanyak 2. Jangkauan terbesar dicapai jika data terkecil
yaitu 1, data kedua yaitu 2 dan data terbesar = 35 – (1 + 2 + 9 + 9)= 35 – 21
= 14.
Jadi, jangkauan terbesar yang mungkin adalah 14 – 1 = 13.
C
17. Di dalam suatu keranjang terdapat 12 apel Malang, dua diantaranya
diketahui busuk.
Jika diambil 3 apel secara acak (random), maka peluang tepat satu
diantaranya busuk adalah…
A. 9/22
B. 5/11
C. 4/11
D. 9/44
E. 5/22
Jawab:
Diketahui jumlah apel seluruhnya 12 terdiri dari 10 apel baik dan 2 apel
busuk.
Cara I:
Hitung banyaknya anggota ruang sampel, yaitu banyaknya semua
susunan yang terdiri dari 3 apel berbeda yang diambil dari 12 apel. Ini
persoalan kombinasi 3 unsur berbeda dari 12 unsur, ada sebanyak:
Selanjutnya hitung banyaknya susunan terambilnya 2 apel baik dan 1 apel
busuk, yaitu sebanyak;
Jadi, peluang terambilnya 2 apel baik dan 1 apel busuk adalah
Cara II:
Dengan pengambilan satu persatu tanpa pengembalian, maka
kemungkinan terambilnya apel baik pada pengambilan pertama, apel baik
pada pengambilan kedua, dan apel busuk pada pengambilan ketiga, ditulis
(baik, baik, busuk), kemungkinan lain (baik, busuk, baik) dan (busuk, baik,
baik).
Peluang 3 kejadian tersebut bernilai sama, maka peluang terambilnya
tepat satu apel busuk adalah;
Tampak cara ke-2 lebih sederhana.
18. Sebuah silinder tegak diletakkan di dalam
kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi kubus 2m. Selanjutnya silinder
dipancung oleh bidang miring yang melalui titik A, B,
dan T dimana Tadalah titik perpotongan diagonal bidang CDHG. Volume
terbesar silinder terpancung ini adalah …..
Jawab:
Buatlah sketsa gambarnya !
Menghitung volume silinder yang terpancung oleh sebuah bidang datar
yang miring (tidak sejajar dengan bidang alas) tidak dapat kita lakukan
secara langsung.
Langkah yang kita lakukan yaitu, dengan cara membandingkan volume
silinder terpancung dengan volume silinder utuh.
Perhatikan bangun ruang ADI.BCJ adalah prisma tegak.
Volum prisma tegak ADI.BCJ = 1/2 x AD x ID x AB = 1/2 x 2 x 1 x 2 = 2 m3
19. Jika gambar di bawah ini adalah segi delapan beraturan, maka
perbandingan luas antara daerah yang diarsir dan luas segi delapan
beraturan adalah….
A. 1 : 3
B. 1 : 4
C. 2 : 5
D. 3 : 8
E. 3 : 7
Jawab:
Segi delapan beraturan adalah segi delapan yang panjang sisi-sisinya
sama, dibentuk dari sebuah lingkaran dengan membagi besar sudut pusat
menjadi 8 bagian yang sama yaitu sebesar 360 : 8 = 45 0 .
Buatlah garis-garis seperti pada gambar berikut:
Diketahui:
panjang AB = BC = CD = DE = EF = FB = GH = AH.
panjang AO = OB = OC = OD = OE = r (jari-jari lingkaran O) dan panjang AC
= DF.
Perhatikan segiempat ABCD kongruen dengan segiempat AHGF.
Perhatikan segiempat ABCO adalah layang-layang (karena panjang AB=BC
dan AO=OC=r).
Perhatikan segiempat ADEF adalah layang-layang (karena panjang DE=EF
dan AF=AD).
Sehingga
2 x luas segiempat ABCD + luas layang-layang ADEF = luas segi-8
beraturan.
2 x luas segiempat ABCD + luas layang-layang ADEF = 4 x luas layanglayang ABCO.
2 x luas segiempat ABCD + 1/2 x AE x DF
= 4 x 1/2 x OB x AC
2 x luas segiempat ABCD + 1/2 x 2r x AC
DF=AC).
2 x luas segiempat ABCD + r x AC
2 x luas segiempat ABCD = r x AC , maka
= 2r x AC
(karena panjang
= 2r x AC
Sedangkan luas segi-8 beraturan = 2r x AC , maka
Jadi, perbandingan luas antara daerah yang diarsir dan luas segi-8
beraturan adalah 1 : 4
B.
20. Beberapa bilangan empat angka memiliki angka-angka penyusun tak
nol yang saling berbeda dan berjumlah 10. Banyak bilangan yang
dimaksud adalah ….
A. 24
B. 22
C. 20
D. 18
E. 16
Jawab:
Langkah pertama tentukan angka-angka penyusunya, yaitu 1, 2, 3, dan 4.
Langkah selanjutnya menghitung banyaknya susunan bilangan yang
mungkin. Hal ini merupakan permutasi 4 unsur berbeda dari 4 unsur, yaitu
sebanyak 4! =4 x 3 x 2 x 1 = 24 A
BAGIAN B: ISIAN SINGKAT
1. Tino sedang memanjat tangga dia berada tepat di tengah tangga. Jika
ia naik 3 anak tangga, kemudian turun 5 anak tangga, serta naik kembali
10 anak tangga, maka Tino akan sampai di puncak tangga. Banyak anak
tangga yang dimiliki tangga tersebut adalah….
Jawab:
Tulis banyaknya anak tangga = n, maka 1/2 n + 3 – 5 + 10 = n , atau 1/2 n =
8,
maka n = 16 . Jadi, banyak anak tangga yang dimiliki tangga tersebut
adalah 16.
2. Ani mempunyai uang Rp16.500,00. Sejumlah uang itu akan dihabiskan
untuk membeli 6 bukah peralatan sekolah. Ia membeli beberapa pensil
dengan harga Rp2.000,00 per pensil. Ia membeli beberapa buku dengan
harga Rp2.500,00 per buku, dan ia juga membeli beberapa kotak pensil
dengan harga Rp4.000,00 per kota pensil.
Banyak buku yang dibeli Ani adalah….
Jawab:
Misalkan banyak pensil yang dibeli sebayak x , banyak buku sebanyak y
dan kotak pensil sebanyak z . Maka x + y + z = 6 , dan 2.000 x + 2.500 y +
4.000 z = 16.500 .
Soal ini termasuk SPLTV.
Dengan melihat jumlah uang yang dimiliki Ani sebanyak Rp 16.500,00 dan
harga buku, maka banyaknya buku yang dibeli sebanyak ganjil.
Jika y = 1, maka x + z = 5 , dan 2.000 x + 4.000 z = 16.500 – 2.500 = 14.000
Dipenuhi untuk x = 3 dan z = 2 , atau x = 5 dan z = 1 .
Jadi, banyak buku yang dibeli Ani sebanyak 1 exemplar.
3.
Jawab:
Sedikit analisa, 2013 merupakan bilangan kelipatan 3. Ciri bilangan habis
dibagi 3, yaitu jumlah angka-angka penyusunnya habis dibagi 3, yaitu
2+0+1+3 = 6 , 6 habis dibagi 3.
Karena 2013 merupakan bilangan ganjil, agar hasil pembagian bilangan itu
merupakan bilangan bulat positif, maka haruslah (n 2 – 3) merupakan
bilangan bulat positif ganjil.
Karena (n 2 – 3) merupakan bilangan bulat positif ganjil, maka
haruslah n 2 merupakan bilangan kuadrat genap.
Selajutnya coba dan periksa.
Untuk n 2 = 4 atau n = 2, diperoleh 2013 : (4 – 3) = 2013 : 1 = 2013
Untuk n 2 = 16 atau n = 4, diperoleh 2013 : (16 – 3) = 2013 : 13 = bukan
bilangan bulat
Untuk n 2 = 36 atau n = 6, diperoleh 2013 : (36 – 3) = 2013 : 33 = 61
Untuk n 2 = 64 atau n = 8, diperoleh 2013 : (64 – 3) = 2013 : 61 = 33 .
Karena 61 bilangan prima, maka pemeriksaan tuntas.
Jadi banyaknya bilangan n ada sebanyak 3 .
4.
Diketahui tabel bilangan berikut :
Jika diketahui bahwa jumlah masing-masing baris, kolom, dan diagonal
adalah sama, maka nilai x+ y adalah ….
Jawab:
Berdasarkan informasi soal, maka nyatakan satu persamaan sehingga
diperoleh nilai satu variabel ;
- 7 + 2y + x – 2 = x – 2 – 10 + y
y
= – 10 + 7
y
=–3
x
x
–7+x–8
=–8–4+y
=–4–3+7
=0
Maka nilai x + y = - 3
5. Jika himpunan A mempunyai anggota sebanyak x dan himpunan B
mempunyai anggota sebanyak y , x ≤ y , maka himpunan A U B
mempunyai anggota (maksimum) sebanyak…
Jawab:
Diketahui: n(A) = x , n(B ) = y , dan x ≤ y .
n(A U B) = n(A) + n(B) – n (A ∩ B)
n(A U B) akan maksimum, jika n(A) = n(B), atau x = y , dan (A ∩ B) = Ø
atau n(A ∩ B)=0,
Sehingga n(A U B) = y + y = 2y .
Jadi, himpunan A U B mempunyai anggota (maksimum) sebanyak 2y .
6. Semua bilangan asli n yang memenuhi sifat bahwa 6n 2 + 5n – 4
adalah bilangan prima adalah….
Jawab:
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang mempunyai dua faktor,
oleh karena itu faktorkan bentuk aljabar tsb!
6n 2 + 5n – 4 = (3n + 4)(2n – 1)
Karena 6n 2 + 5n – 4 merupakan bilangan prima dan n bilangan asli, maka
haruslah 2n – 1 = 1 atau 2n = 1 + 1 = 2, atau n = 1 .
Jadi, n = 1 sehingga 6n 2 + 5n – 4 merupakan bilangan prima.
7. Jika S1= 1 , S2= S1– 3, S3= S2+ 5, S4= S3– 7 , S5= S4+ 9 …. adalah sukusuku suatu barisan bilangan, maka S2013= …..
Jawab:
S1= 1 , S2= 1 – 3 = -2 , S3= -2 + 5 = 3, S4= 3 – 7= – 4, dan S5= -4 + 9 = 5, …
Barisan bilangan tersebut; 1, – 2, 3, -4, 5, …..
Tampak suku ke-n dari barisan tersebut bernilai positif untuk n asli ganjil
(suku ganjil), dan
bernilai negatif untuk n asli genap, sehingga dapat kita tentukan rumus
suku ke-n adalah
Sn = (-1)n+1. n
Jadi, S2013 = (-1)2013+1. 2013 = 2013
8. Pada Δ ABC titik D pada BC sehingga BD:DC = 1 : 3. Titik L terletak
pada AD sehingga AL : LD = 1 : 4. Perbandingan luas
Δ ACL dan Δ BDL adalah …
Jawab:
Agar mudah dipahami, saya buat garis tinggi Δ ADC yaitu CE, dan garis
tinggi Δ BCL yaitu LF .
Perhatikan irisan Δ ADC dan Δ BCL adalah segitiga CDL.
Nyatakan luas Δ ACL dan luas Δ BDL masing-masing dalam luas Δ CDL,
seperti berikut:
Perhatikan Δ ADC !
Perhatikan Δ BCL !
Maka,
Jadi, perbandingan luas Δ ACL dan Δ BDL adalah 3 : 4
9.
Suatu string terdiri dari 10 angka 0, 1 atau 2.
Bobot string didefinisikan jumlah angka-angka dalam string tersebut.
Sebagai contoh string 0002002001 mempunyai bobot 5.
Banyakstring dengan bobot 4 adalah ….
Jawab:
Yang dimasud dengan string dalam matematika atau bahasa
pemrograman komputer adalah suatu penulisan dengan menggunakan
gabungan huruf, angka, atau simbol-simbol karakter lain dan bersifat
sebagai teks biasa. Contoh nomor peserta 001 sebagai teks, bukan
bilangan.
Kembali ke persoalan, string dengan bobot 4 mempunyai susunan angka
yang mungkin terdiri dari:
a. Angka 0 sebanyak 6 dan angka 1 sebanyak 4. Banyaknya
susunan string yang mungkin merupakan persoalan permutasi n unsur
yang terdiri dari p unsur yang sama, q unsur yang sama, dimana p + q ≤ n ,
yaitu sebanyak:
Banyaknya susunan string yang mungkin sebanyak=
b.
Angka 0 sebanyak 7, angka 1 sebanyak 2, dan angka 2 sebanyak 1.
Banyaknya susunan string yang mungkin
sebanyak=
c.
Angka 0 sebanyak 8, angka 2 sebanyak 2.
Banyaknya susunan string yang mungkin
sebanyak=
Jadi, banyak string dengan bobot 4 sebanyak= 210 + 360 + 45 = 615
10. Tita memiliki tetangga baru yang memiliki 2 anak. Jika salah satu
anak tetangga baru tersebut adalah perempuan, maka besar peluang anak
yang lain laki-laki adalah….
Jawab:
Tentukan semua kemungkinan anak tetangga itu, kemungkinannya anak
ke-1 laki-laki dan anak kedua perempuan tulis (LP), selanjutnya (PL), (PP),
(LL).
Ruang sampel = { (LP),(PL), (PP), (LL) }, maka n(RS)= 4
Jadi, peluang anak yang perempuan dan anak lainnya laki-laki = P[(PL),
(LP)] = 2/4 = 1/2 .