SOAL SOAL DAN JAWABAN LOGIKA KUANTOR
SOAL DAN JAWABAN LOGIKA
KUANTOR
LATIHAN SOAL 4 NO. 3-22
DOSEN PENGAMPU : BENI ASYHAR, M.Pd
KELOMPOK 4:
ISTIQOMAH
2814133094
IZAELATUL LAELA
2814133095
IZATUL FUADAH
2814133096
MAHMUD HADI KUNCORO
2814133107
MIFTAKHUL MA’RUF
2814133113
M. RIZAL SUKMA
2814133119
MUFA LATIFATUL UMMA 2814133120
Kelas : TMT 2-D
FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN
INSTITUS AGAMA ISLAM NEGRI (IAIN)
TULUNGAGUNG
2014
3. Apabila kalimat-kalimat terbuka terbuka
p (x ) : x ≤ 3
q ( x ) : x +1 ganjil
r ( x ) : x> 0
a) Tentukan semua nilai x sedemikian hingga pernyataan [ p (x)∧q ( x) ] ∧r ( x ) benar.
b) Tentukan lima bilangan bulat positif terkecil x sehingga pernyataan
p(x)→ [ ¬ q( x )∧ r (x) ] benar.
Jawab :
a) ∃ x [ ( p ( x ) ∧q ( x ) ) ∧r ( x ) ]
∃ x [( x ≤3 ∧ x +1 ganjil ) ∧ x >0 ]
∃ x [ ( x ≤3, x genap ) ∧ x >0 ]
∃ x [ 0< x ≤ 3, x genap ]
Jadi, x bernilai benar jika 0< x ≤3 dan x genap sehingga x=2.
b) ∃ x [ p( x)→ [ ¬ q( x )∧r ( x) ] ]
∃ x [ x ≤3 → [ ¬ ( x +1 ganjil ) ∧ x> 0 ] ]
∃ x [ x ≤3 → [ x >0, x genap ] ]
∃ x [ ¬ ( x ≤ 3 ) ∨ [ x >0, x genap ] ]
∃ x [ x >3 ∨ x >0, xgenap ]
Jadi, x bernilai benar jika x> 0 dan x genap seningga x={ 2,4,6,8,10 }
4. Misalkan kalimat terbuka p(x): “ x 2> x ” dengan semesta terdiri dari semua bilangan
riil. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut:
a. p(0)
b. p(2/3)
∃ x p(x)
c.
d. ∀ x p(x)
Jawab:
a. p(0) = 02 > 0
(salah)
b. p(2/3) = (2/3)2 > 2/3 = 4/9 > 2/3
(salah)
c. ∃ x p(x)
(benar) → misal p(2)=22 > 2
d. ∀ x
(salah)
p(x)
5. Misalkan semesta terdiri dari semua segi banyak dengan tiga sisi atau empat sisi.
Didefinisikan kalimat-kalimat terbuka sebagai berikut:
p(x) : Semua sudut (dalam) dari x sama.
q( x) : Segitiga sama sisi.
r ( x ) : Semua sisi x sama.
a(x ): x mempunyai sudut (dalam) melebihi 180°.
b(x ) : x empat sisi.
c (x) : x bujur sangkar.
d ( x): x empat persegi.
e (x) : x segitiga.
Terjemahkan dan tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut:
(a)
∃ x [ a ( x ) ⋀e ( x ) ]
(b)
∀ x [s (x ) → e ( x )]
(c)
∀ x [e ( x ) → a ( x )]
(d)
∀ x [ p (x ) → q (x )]
(e)
∃ x [b ( x ) ⋀a ( x ) ]
(f)
∃ x [c ( x )⋀ d ( x )]
(g)
∀ x [ r ( x) → q ( x ) ]
(h)
p ( x )⋀ e ( x )
∀ x [ ¿↔ q (x) ]
(i)
r ( x ) ⋀b ( x )
∀ x [ ¿→ d (x ) ]
(j)
d ( x )↔ p (x )
¿
∀ x [ ⋀r ( x )¿ ]
(k)
e ( x ) → p ( x ) ↔ r ( x)
∀ x [¿ ]
(l)
∀ x [ p ( x ) →(q ( x ) ∨( x )) ]
Jawab:
(a) Terdapat x, x mempunyai sudut (dalam) melebihi 180° dan x segitiga, nilai (S)
(b) Untuk semua x, jika x segitiga sama kaki maka x segitiga, nilai (B)
(c) Untuk semua x, jika x segitiga maka x tidak mempunyai sudut (dalam) melebihi 180°,
nilai (B)
(d) Untuk semua x,jika semua sudut (dalam) dari x sama maka maka x segitiga sama sisi,
nilai (S)
(e) Terdapat xempat sisi dan x mempunyai sudut (dalam) melebihi 180°, nilai (B)
(f) Terdapat x segitiga dan x tidak empat persegi,nilai
(g) Untuk semua x,jika semua sisi x sama maka x segitiga sama sisi, nilai (B)
(h) Untuk semua x semua sudut (dalam) dari x sama dan x segitiga jika dan hanya jika x
segitiga sama sisi, nilai (B)
(i) Untuk semua x,jika semua sisi x sama dan x empat sisi maka x empat persegi, nilai
(B)
(j) Untuk semua x,x empat persegi jika dan hanya jika semua sudut (dalam) dari x sama
dan semua sisi x sama, nilai (B)
(k) Untuk semua x, jika x segitiga maka semua sudut (dalam) dari x sama jika dan hanya
jika semua sisi xsama, nilai (B)
(l) Untuk semua x,jika semua sudut (dalam) dari x sama maka x segitiga sama sisi atau x
bujur, nilai (B).
6. Misalkan semesta dari semua bilangan bulat, didefinisikan sebagai kalimat-kalimat
terbuka sebagai berikut :
p ( x ) : x> 0
s ( x ) : x dapat dibagi 4
q ( x ) : x genap
t ( x ) : x dapat dibagi 5
r ( x ) : xkuadrat sempurna
Tuliskan pernyataan-pernyataan berikut menggunakan kuantor dan penghubung logika.
Selanjutnya, tentukan nilai-nilai kebenarannya.
a) Sekurang-kurangnya satu bilangan bulat adalah genap.
Jawab :
∃ x ∈ Z q ( x ) , salah, karena sekurang-kurangnya satu bilangan bulat bisa juga
ganjil.
b) Terdapatlah bilangan bulat positif yang genap.
Jawab :
∃ x ∈ Z [ p ( x ) →q ( x ) ] , benar, karena terdapatlah bilangan bulat positif yang
genap.
c) Jika x genap , maka x dapat dibagi 5 .
Jawab :
∀ x ∈ Z [ q ( x ) →t ( x ) ] , salah, karena terdapat x genap yang dapat dibagi 5 .
d) Tidak ada bilangan bulat genap yang dapat dibagi 5.
Jawab :
¬∃ x ∈ Z [ q ( x ) →t ( x ) ] , salah, karena terdapat x genap yang dapat dibagi 5 .
7. Menggunakan p(x), q(x), r(x), s(x) dan t(x) didalam soal (6), terjemahkan pernyataanpernyataan berikut dalam bentuk kalimat:
(a). ∀ x [r (x )⟶ p(x)]
(b).
s ( x) ⟶ q(x )
∀ x¿
(c). ∀ x [ s(x )⟶ t (x)]
(d). ∀ x [∼ r (x )∨∼ q(x )∨ s (x)]
Penyelesaian:
Diketahui:
p(x) =
x> 0
q(x) =
x genap
s(x) = x dapat dibagi 4
t(x) = x dapat dibagi 5
r(x) = x kuadrat sempurna
Ditanyakan:
(a). ∀ x [r (x )⟶ p(x)]
(b).
s ( x) ⟶ q(x )
∀ x¿
(c). ∀ x [ s(x )⟶ t (x)]
(d). ∀ x [∼ r (x )∨∼ q(x )∨ s (x)]
Jawab:
(a). ∀ x [r (x )⟶ p(x)]
Setiap ∈ Z
(b).
; jika x kuadrat sempurna, maka
x> 0
s ( x) ⟶ q(x )
∀ x¿
Setiap ∈ Z
; jika x dapat dibagi 4, maka
x genap
(c). ∀ x [ s(x )⟶ t (x)]
Setiap ∈ Z
; jika x dapat dibagi 4, maka x dapat dibagi 5
(d). ∀ x [∼ r (x )∨∼ q(x )∨ s (x)]
Setiap ∈ Z
dibagi 4
; jika x bukan kuadrat sempurna atau
x ganjil atau x tidak dapat
8. Misalkan semesta terdiri dari kumpulan semua obyek dan kalimat-kalimat terbuka p(x) ;
“x adalah buku”, q(x) : “x adalah mahal”, dan r(x): “x adalah bagus”. Tulislah
pernyataan-pernyataan berikut menggunakan kuantor dan penghubung logika.
a) Tidak ada buku yang mahal
b) Semua buku yang mahal adalah bagus
c) Tidak ada buku yang bagus
d) Apakah (c) diturunan dari (a) dan (b) ?
Jawab:
a) ∀ x [ p( x) →¬ q( x)]
b) ∀ x [ q( x)→ r ( x ) ]
c) ∀ x [ p( x)→¬ r (x) ]
d) .
9. Diketahui :
p ( x )=x 2−2 x−3=0
q ( x )=x ganjil
r ( x ) =x> 0
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan dibawah ini
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
∀ x [ p (x ) → q (x )]
∀ x [q ( x )→ p (x )]
∃ x [ p ( x )→ q ( x )]
∃ x [ p ( x )∧ r ( x )]
∀ x [ p ( x ) →r ( x ) ]
∃ x [r ( x ) → p ( x ) ]
∀ x [ ∼ p ( x ) ∨q ( x ) ]
∀ x [∼q ( x )→ ∼ p ( x )]
∃ x [ p ( x ) → ( q ( x ) ∧r ( x )) ]
∀ x [ ( p ( x ) ∨ q ( x ))→r (x ) ]
k) Jawab
a) Akan dibuktikan nilai kebenaran ∀ x [ p ( x ) → q ( x ) ]
Ambil sebarang x ∈ 2n+ 1
p ( x )=x 2−2 x−3=0
p (1 ) =12−2.1−3 ¿−4
karena ada x ∈ 2n+ 1 yaitu 1 maka p (1 ) =−4 (genap)
sehingga x genap ,
jadi ∀ x [ p ( x ) → q ( x ) ] , bernilai salah
b) Akan dibuktikan nilai kebenaran ∀ x [ q ( x ) → p ( x ) ]
Ambil sebarang x ∈ 2n+ 1 , misal x=1
p ( x )=x 2−2 x−3=0
p (1 ) =12−2.1−3 ¿−4 sehingga p ( x ) dengan
x=1 maka p ( x )=−4 karena −4 ≠ 0 jadi pemisalan salah
jadi ∀ x [ q ( x ) → p ( x ) ] , bernilai salah
c) Akan dibuktikan nilai kebenaran ∃ x [ p ( x ) → q ( x ) ]
Ambil sebarang
x ∈ 2n+ 1
p ( x )=x 2−2 x−3=0
p (1 ) =12−2.1−3
¿−4
Ambil sebarang
x ∈ 2n
p ( x )=x 2−2 x−3=0
p (2 )=22−2.2−3
karena ada x ∈2 n+1 yaitu 1 maka
sehingga x genap ,
jadi ∃ x [ p ( x ) → q ( x ) ] ,bernilai benar
¿ 4−4−3
p (1 ) =−4
¿−3
(genap)
d)
e) Akan dibuktikan nilai kebenaran ∀ x [ p ( x ) →r ( x ) ]
Akan ditunjukkan nilai x dari x 2−2 x −3=0
2
x=3 ∨ x=−1 karena ada x< 0 yaitu
x −2 x −3=0 ( x−3 ) ( x+1 ) =0
x=−1 ,
jadi ∀ x [ p ( x ) →r ( x ) ] bernilai salah
f) Akan dibuktikan nilai kebenaran ∃ x [ r ( x ) → p ( x ) ]
-Ambil sebarang x> 0 , misal x=3
p ( x )=x 2−2 x−3=0
g)
p (3 )=32−2.3−3=0 ¿ 9−6−3=0 -Ambil sebarang x< 0 , misal
x=−2
2
2
p (−2 )= (−2 ) −2. (−2 )−3=0 ¿ 4 +4−3 ¿ 5 karena ada
p ( x )=x −2 x−3=0
x> 0 , yaitu x=3 , sehingga nilai x 2−2 x −3=0 maka pernyataan p(x)
bernilai benar dan ada x< 0 , yaitu x=−2 , sehingga nilai x 2−2 x −3=5
maka pernyataan p(x) bernilai salah
jadi ∃ x [r ( x ) → p ( x ) ] bernilai benar
h)
i) Akan dibuktikan nilai kebenaran ∀ x [ ∼q ( x ) → ∼ p ( x ) ]
Akan ditunjukkan faktor dari x 2−2 x −3=0
x=3 ∨ x=−1 karena faktor dari
x 2−2 x −3=0 ( x−3 ) ( x+1 ) =0
2
x −2 x −3=0 adalah x=3 ∨ x=−1 , x ∈ 2n+ 1
sehingga setiap x ∈ 2n , maka x 2−2 x −3≠ 0
jadi ∀ x [ ∼ q ( x ) → ∼ p ( x ) ] , bernilaibenar
j)
k)
l)
10. Diketahui : kalimat terbuka P(x,y) : “x lebih besar dari y” dengan semesta
semua bilangan riil
m)
Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan dibawah ini:
a)
b)
c)
d)
P(2,1)
P(4,4)
P(5,-5)
P( 35 ,243 ¿
n)
Jawab:
a) 2 lebih besar dari 1 (benar)
b) 4 lebih besar dari 4 (salah)
c) 5 lebih besar dari -5 (benar)
d) 35 lebih besar dari 243 (salah)
o)
11. Misalkan semesta terdiri dari semua bilangan bulat. Didefinisikan kalimat terbuka
p(x,y): “x factor y” . Untuk bilangan-bilangan bulat x dan y, tentukan nilai kebenaran
dari pernyataan-pernyataan berikut dan beri alas an.
a) p(2,9)
e) ∀ x p ( x , x )
b) p(9,2)
f) ∀ y ∃ x p ( x , y )
c) p(3,27)
g) ∃ y ∀ x p ( x , y )
d) ∀ y p(1, y )
h) ∀ x ∀ y [ ( p( x , y)∧ p( y , x) ) → ( x= y ) ]
p)
Jawab :
a) p(2,9) salah, karena 9 tidak habis membagi 2
b) p(9,2) salah, karena 2 tidak habis membagi 9
c) p(3,27) benar, karena 27 habis membagi 3
d) ∀ y p(1, y ) benar, karena Z habis membagi 1
e) ∀ x p ( x , x ) benar, karena bilangan yang dibagi bilangan itu sendiri hasilnya 1
∀ y ∃ x p ( x , y ) , “untuk setiap bilangan bulat y terdapat bilangan bulat x yang
f)
merupakan factor bilangan bulat y”. Jadi ∀ y ∃ x p ( x , y ) benar, karena bilangan
bulat x habis membagi bilangan y.
g) ∃ y ∀ x p ( x , y ) , “terdapat bilangan bulat y yang habis dibagi dari setiap bilangan
bulat x”. Jadi, ∃ y ∀ x p (x , y ) salah karena ada bilangan bulat y yang tidak habis
dibagi bilangan bulat x, misal p(2,9)
h) ∀ x ∀ y [ ( p( x , y)∧ p( y , x) ) → ( x= y ) ] , benar karena x dan y akan bernilai sama
jika x factor y dan y factor x , missal p (3,3 ) ∧ p ( 3,3 ) →3=3 dan x ≠ y jika x
bukan factor y tetapiy factor x atau sebaliknya, x factor y tetapi y bukan factor x,
( x= y )
( p(x , y )∧ p ( y , x ) )
sehingga
salah
dan
salah
maka
[ ( p(x , y )∧ p ( y , x ) ) → ( x= y ) ]=s → s
.
12. Misalkan kalimat terbuka p(x,y) dengan semesta {2,3,5}.
∃ y p (2, y)⇔[(2,2)∨(2,3)∨(2,5)]
q)
Pernyataan
berkuantor
dan
∃ x ∀ y p ( x , y )⇔[(2,2) ∧(2,3) ∧(2,5)]∨[(3,2)∧(3,3)∧(3,5)]∨[(5,2)∧(5,3)∧(5,5)]
r) Tuliskan pernyataan- pernyataan kalimat berikut menggunakan disjungsi atau
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
konjungsi.
(a). ∃ x p( x , 5)
(d). ∃ x ∃ y p( x , y)
(b). ∀ x p(x ,3)
(e). ∃ x ∀ y p (x , y )
(c). ∀ x p(2, y)
(f). ∀ y ∃ x p ( x , y )
Penyelesain:
(a). ∃ x p( x , 5)⇔ [(2,5)∨(3,5)∨(5,5)]
(b). ∀ x p(x ,3) ⇔[(3,2)∧(3,3)∧(3,5)]
(c). ∀ x p(2, y)⇔ [(2,2)∧(3,2)∧(5,2)]
z) (d).
∃ x ∃ y p(x , y) ⇔[(2,2)∨(2,3)∨(2,5)]∨[( 3,2)∨(3,3)∨( 3,5)]∨[(5,2)∨(5,3)∨(5,5)]
aa) (e).
∃ x ∀ y p ( x , y )⇔ [(2,2) ∧(2,3)∧(2,5)]∧[(3,2)∧(3,3)∧(3,5)]∧[(5,2)∧(5,3)∧(5,5)]
bb) (f).
∀ y ∃ x p ( x , y )⇔ [(2,2) ∨(3,2)∨(5,2)]∧[( 2,3) ∨(3,3) ∨(5,3)]∧[(2,5)∨(3,5)∨(5,5)]
13. Misalkan kalimat terbuka p(x , y ) dengan semesta { 1,2,3 } . Teliskan pernyataanpernyataan berikut menggunakan disjungsi atau konjungsi.
a) ∃ x p ( x ,3 )
cc) Jawab :
p (1,3 ) ∨ p ( 2,3 ) ∨ p ( 3,3 )
dd)
b) ∀ x p (1, x )
ee) Jawab :
p (1,1 ) ∧ p ( 1,2 ) ∧ p ( 1,3 )
ff)
c) ∀ x ∀ y p ( x , y )
gg) Jawab :
hh)
[ p ( 1,1 ) ∧ p ( 1,2 ) ∧ p ( 1,3 ) ] ∧ [ p ( 2,1 ) ∧ p ( 2,2 ) ∧ p (3,3 ) ] ∧ [ p ( 3,1 ) ∧ p (3,2 ) ∧ p ( 3,3 ) ]
d) ∃ x ∃ y p ( x , y )
ii)
Jawab :
jj)
[ p ( 1,1 ) ∨ p ( 1,2 ) ∨ p ( 1,3 ) ] ∨ [ p ( 2,1 ) ∨ p ( 2,2 ) ∨ p (3,3 ) ] ∨ [ p ( 3,1 ) ∨ p (3,2 ) ∨ p ( 3,3 ) ]
e) ∀ y ∀ x p ( x , y )
kk) Jawab :
ll)
[ p ( 1,1 ) ∧ p ( 1,2 ) ∧ p ( 1,3 ) ] ∧ [ p ( 2,1 ) ∧ p ( 2,2 ) ∧ p (3,3 ) ] ∧ [ p ( 3,1 ) ∧ p (3,2 ) ∧ p ( 3,3 ) ]
14. Misalkan semesta terdiri dari semua orang dan kalimat terbuka p(x,y) : “x menyukai y”.
Tulislah pernyataan-pernyataan berikut menggunakan kuantor.
a. Semua orang menyukai setiap orang
b. Semua orang menyukai seseorang
c. Seseorang tidak menyukai siapa saja
d. Semua orang menyukai Cinderela
e. Terdapat seseorang yang menyukai semua orang
f. Tidak ada orang yang menyukai semua orang
mm)
Jawab:
∀ x ∀ y p(x,y)
a.
b. ∀ x ∃ y p(x,y)
∃ x ∀ y ̴p(x,y)
c.
d. ∀ x ∃ y p(x,y)
∃ x ∀ y p(x,y)
e.
∀ x ∀ y ̴p(x,y)
f.
15. Misalkan semesta terdiri dari semua bilangan bulat. Didefinisikan kalimat-kalimat
terbuka sebagai berikut:
nn) P(x): x ganjil.
oo) q(x):
x
2
ganjil.
pp) Diantara pernyataan-pernyataan berikut, manakah diantaranya yang ekuivalen satu
sama lain.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Jika kuadrat dari sebarang bilangan bulat ganjil, maka bilangan bulat tersebut ganjil.
∀ x [p(x) syarat perlu untuk q(x)].
Kuadrat dari sebarang bilangan bulat ganjil adalah ganjil.
Terdapat beberapa bilangan bulat yang kuadratnya adalah ganjil.
Sebarang bilangan bulat yang kuadratnya ganjil, bilangan bulat tersebut ganjil.
∀ x [ p (x) → q( x)¿ .
Setiap bilangan bulat dengan kuadrat ganjil adalah ganjil.
Setiap bilangan bulat dengan kuadrat genap adalah genap.
∀ x [p(x) syarat cukup untuk q( x)¿ .
qq) Jawab:
a ≡c ≡ g
b ≡i
d ≡e
f ≡h
16. Untuk semua pasang dari pernyataan-pernyataan berikut, tentukan apakah negasi usulan
benar. Jika negasi usulan salah, tentukan versi negasi yang benar.
(a) Pernyataan: untuk semua bilangan rill x,y, jika x 2> y2 , maka x> y
rr) Negasi usulan: terdapatlah bialangan riil x,y sedemikian hingga x 2> y2
tetap x> y
(b) Pernyataan: terdapatlah bilangan riil x,y sedemikian hingga x,y rasional tetapi
x+y irasional.
ss)Negasi usulan: untuk setiap bilangan riil x,y, x+y rasional, maka x,y rasional.
(c) Pernyataan: untuk setiap bilangan riil x, jika x tidak nol yang tidak mempunyai
invers terhadap penggandaan.
tt) Negasi usulan: terdapatlah bilangan riil yang tidak nolyang tidak mempunyai
invers terhadap penggandaan.
(d) Pernyataan: terdapatlah bilangan-bilangan bilangan bulat ganjil yang hasil
kalinya ganjil.
uu)
Negasi usulan: hasil kali dari dua sembarang bilangan ganjil adalah
ganjil.
vv) Jawab :
a) .
b) ∃ x , y ∈ R [ x , y Q∧ x+ y Q℩ ]
ww)
Misal :
p = x, y Q
xx)
q = x+ y Q ℩
yy)
maka : ( ∃ x , y ∈ R [ p ∧q ] )
zz)
ditanya : ¬ ( ∃ x , y ∈ R [ p ∧q ] ) ≡ ∀ x , y ∈ R¬ [ p ∧ q ]
≡ ∀ x , y ∈ R ¬ p ∨¬ q
aaa)
≡ ∀ x , y ∈ R p→ ¬ q
bbb)
ccc)
℩
≡ ∀ x , y ∈ R [( x , y Q )→ ¬( x + y Q )]
∴ negasi usulan salah karena untuk setiap x,y bilangan riil
ddd)
sedemikian hingga jika x,y rasional maka x+y rasional.
x
c) ∀ x ∈ R ( p( x )→ q( ¿) ]
¿
eee)
misal : p ( x )=x tidak nol
q ( x )=x mempunyaiinvers terhadap penggandaan
fff)
x
ggg)
Ditanya : ∀ x ∈ R ( p( x )→ q( ¿) ]
¬¿
hhh)
Jawab :
x
∀ x ∈ R ( p( x )→ q( ¿) ]
iii)
¬¿
≡∃ x ∈ R ¬ ( p ( x ) → q ( x ) )
jjj)
≡∃ x ∈ R ¬ ( ¬ p ( x ) ∨q ( x ) )
kkk)
≡∃ x ∈ R ( p ( x ) ∨¬ q ( x ) )
lll)
∴ negasi usulan benar, karena terdapat bilangan riil x sedemikian
mmm)
hingga x tidak nol dan tidak mempunyai invers terhadap penggandaan.
d) [ ∃ x ( x ∈ ( 2 n+1 ) → x . x ∈2 n ) ]
nnn)
Misal :
p(x) = x ∈ ( 2n+1 )
ooo)
q(x)= x . x ∈ 2n
ppp)
maka : [ ∃ x ( p (x) →q ( x) ) ]
qqq)
ditanya : ¬ [ ∃ x ( p(x) → q(x ) ) ]
rrr)
jawab :
¬ [ ∃ x ( p( x)→ q(x ) ) ] ≡ [ ∀ x ¬ ( p(x )→ q (x) ) ]
sss)
≡ [ ∀ x ( p( x )∧ ¬q (x) ) ]
ttt)
∴ negasi usulan salah karena untuk setiap bilangan ganjil
uuu)
dan hasil kalinya genap.
17. Negasikan dan sederhanakan pernyataan-pernyataan berikut:
a) ∀ x [ p(x)→ q(x ) ]
c) ∀ x [ p( x)∧¬ q(x ) ]
b) ∃ x [ p(x )∨ q(x ) ]
d) ∃ x [ ( p (x)∧q (x) ) →r (x ) ]
vvv)
Jawab :
a) ¬ ( ∀ x [ p( x)→ q ( x) ])
≡∃ x ¬ [ p( x )→ q(x ) ]
www)
≡∃ x ¬ [ ¬ p( x)∨ q( x) ]
xxx)
≡∃ x [ p (x)∧¬ q( x ) ]
yyy)
b) ∃ x [ p(x )∨ q(x ) ]
¿ ¬ [ ∃ x [ p (x) ∨q ( x) ] ]
zzz)
≡ ∀ x ¬ [ p (x) ∨q ( x) ]
aaaa)
≡∀ x
¬ p( x )∧¬ q ( x)
bbbb)
∀ x [ p( x)∧¬ q( x )]
cccc)
¿ ¬ ∀ x [ p(x )∧¬ q( x) ]
dddd)
≡∃ x ¬ [ p( x )∧¬ q( x) ]
≡∃ x ¬ p( x )∨ q( x )
eeee)
≡∃ x [ p (x)→ q( x) ]
ffff)
d) ∃ x [ ( p (x)∧q (x) ) →r (x ) ]
¿ ¬∃ x [ ( p(x) ∧q ( x) ) → r (x) ]
gggg)
≡ ∀ x ¬ [ ( p (x) ∧q (x) ) →r (x) ]
hhhh)
≡ ∀ x ¬ [ ¬ ( p( x )∧ q( x ) ) ∨ r ( x)]
iiii)
≡ ∀ x [ ( p( x )∧ q( x )) ∧ ¬r (x ) ]
jjjj)
18. Misalkan semesta terdiri darisemua bilangan bulat. Tentukan nilai
kebenaran pernyataan-pernyataan berikut. Kemudian tentukan
konvers, invers, kontrapositif serta nilai kebenarannya.
a) Jika x> y , maka x 2> y2 .
b) Jika x factor dari y dan y factor dari z, maka x factor dari z.
c) Setiap bilangan bulat yang dapat dibagi oleh 8 juga dapat dibagi
oleh 4.
kkkk)
Jawab :
1>−2
a) ∀ x , y [ x > y → x 2 > y 2 ] , salah misal x=-2, y=1, maka
c)
bernilai
benar
2
12>−22
dan
bernilai
salah,
sehingga
2
x> y → x > y =B → S
Konvers : ∀ x , y [ x 2 > y 2 → x > y ] , salah. Misal x=1, y=-2,
2
2
−2>1
benar dan
salah, sehingga
−2 >1
2
2
x> y → x > y salah.
Invers : ∀ x , y [ x ≤ y → x 2 ≤ y 2 ] , salah. Misal x=-2, y=1, maka
2
2
−2 ≤ 1
benar
dan
salah.
Sehingga
−2 ≤1
maka
∀ x , y [ x ≤ y → x 2 ≤ y 2 ] salah.
Kontrapositif :
∀ x , y [ x2 ≤ y2 → x ≤ y ] ,
2
b) Misal
2
2
salah.
Karena
2
x> y → x > y ⟺ x ≤ y → x ≤ y
p(x,y):
“x
factor
y”,
maka
∀ x ∀ y ∀ z [ ( p( x , y) ∧ p( y , z) ) → p( x , z) ] benar.
llll)
Bukti :
x, y ,z ∈Z ,
mmmm)
AS,
misal
2,4,8
berarti
p (2,4 ) ∧ p ( 4,8 ) maka p(2,8)
Konvers : ∀ x ∀ y ∀ z [ p( x , z)→ ( p( x , y) ∧ p( y , z) ) ] salah. AS.
x, y ,z ∈Z ,
p(2,5)
misal
2,5,8
berarti
maka
( p(2,5)∧ p (5,8) ) .
Invers :
salah,
∀ x ∀ y ∀ z [ ( ¬ p (x , y )∨ ¬ p( y , z) ) →¬ p ( x , z) ]
As. x , y , z ∈ Z , misal 2,3,6 berarti
nnnn)
[ ( ¬ p(2,3) ∨¬ p(3,6)) → ¬ p(2,6)] =[ B ∨ S ] → S=B → S=S
Kontrapositif :
∀ x ∀ y ∀ z [ ¬ p (x , z)→ ( ¬ p(x , y ) ∨¬ p( y , z) ) ]
benar
karena
untuk
semua
bilangan
bulat
[ ( p(x , y )∧ p ( y , z )) → p( x , z )] ⟺ [ ¬ p ( x , z)→ ( ¬ p( x , y )∨ ¬ p( y , z)) ]
.
19. Misalkan semesta terdiri dari semua bilangan bulat non negatif.
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut.
a) ∀ x ∃ y [ xy =1 ]
b) ∃ x ∀ y [ xy =1 ]
c) ∀ x ∀ y [ sin 2 x+ cos2 x=sin2 y +cos2 x ]
d) ∃ x ∃ y [ ( 2 x+ y=5 ) ∧ ( x−3 y=−8 ) ]
oooo) Jawab :
∀ x ∃ y [ xy =1 ] , untuk setiap bilangan bulat non negatif x
terdapat bilangan bulat negatif y sedemikian hingga xy=1.
Jadi, ∀ x ∃ y [ xy =1 ] salah.
b) ∃ x ∀ y [ xy =1 ] , terdapat bilangan bulat non negatif x untuk
setiap bilangan bulat non negatif y sedeian hingga xy=1 .
Jadi, xy=1 salah.
c) ∀ x ∀ y [ sin 2 x+ cos2 x=sin2 y +cos2 x ] , untuk setiap bilangan bulat
non negatif x berlaku untuk semua bilangan bulat non negatif
2
2
2
2
y
sedemikian
hingga
Jadi,
sin x+cos x =sin y + cos x .
a)
∀ x ∀ y [ sin 2 x+ cos2 x=sin2 y +cos2 x ]
d) ∃ x ∃ y [ ( 2 x+ y=5 ) ∧ ( x−3 y=−8 ) ] , terdapat bilangan bulat negatif
x berlaku terdapat bilangan bulat non negatif y sedemikian
( 2 x + y =5 ) ∧ ( x−3 y=−8 ) .
hingga
Jadi,
∃ x ∃ y [ ( 2 x+ y=5 ) ∧ ( x−3 y=−8 ) ] benar jika x = 1 dan y = 3.
20. Misalkan semesta terdiri dari semua bilangan riil. Sederhanakan
pernyataan-pernyataan berikut:
a) ∀ x ∀ y [ ( x > y ) → ( x− y >0 ) ]
b) ∀ x ∀ y [ [ ( x >0 ) ∧ ( x=logx ) ] ] → ( x=10 y )
c) ∀ x ∀ y [ ( x < y ) → ∃ z ( x< z < y ) ]
d) ∀ x ∀ y [ (| x|=| y|) → ( y=± x ) ]
21. Misalkan p(x) dan q(x) kalimat-kalimat terbuka di dalam semesta.
Tujukkan ekuivalensi-ekuivalensi (logis) berikut :
a) ∀ x ¬ [ p( x )∧ q( x ) ] ↔ ∀ x [ ¬ p( x )∨¬ q( x ) ]
b) ∀ x ¬ [ p( x )∨ q( x ) ] ↔ ∀ x [ ¬ p( x )∧¬ q( x ) ]
pppp)Jawab :
a) Untuk setiap ɑ di dalam semesta, perhatikan pernyataan-pernyataan ¬[p(ɑ) ˄
q(ɑ)] dan [¬p(ɑ) ˅ ¬q(ɑ)]. Menggunakan hukum de Morgan, ¬[p(ɑ) ˄ q(ɑ)]↔
[¬p(ɑ) ˅ ¬q(ɑ)].
qqqq)
Jadi, ∀ x
¬[p(x) ˄ q(x)]↔ ∀ x
[¬p(x) ˅ ¬q(x)].
b) Untuk setiap ɑ di dalam semesta, perhatikan pernyataan-pernyataan ¬[p(ɑ) ˅q(ɑ)]
dan [¬p(ɑ) ˄ ¬q(ɑ)]. Menggunakan hukum de Morgan, ¬[p(ɑ) ˅ q(ɑ)]↔ [¬p(ɑ) ˄
22.
¬q(ɑ)].
rrrr)
Jadi, ∀ x ¬[p(x) ˅ q(x)]↔ ∀ x [¬p(x) ˄ ¬q(x)].
Menggunakan konsep limit untuk barisan dari bilangan-bilangan riil, tulislah
pernyataan lim an ≠ L dalam bentuk simbolik.
a→∞
ssss)
Jawab:
(n>k )
an =L↔ ∀ x >0 ∃ k >0 ∀ n[¿ →(|a n−L|< ε)]
lim ¿
tttt)
x →∞
negasinya
uuuu)
(n>k )
∀ x >0 ∃ k >0 ∀ n[¿ →(|a n−L|< ε) ]
an ≠ L ↔ ¿
lim ¿
x →∞
↔∃ x> 0 ∀ k > 0∃ n [( n>k )→(|an−L|< ε )]
vvvv)
wwww)
xxxx)
↔∃ x> 0 ∀ k > 0∃ n [ ( n>k ) ˅ (|an−L|< ε )]
yyyy)
↔∃ x> 0 ∀ k > 0∃ n[ ( n> k ) ˅ (|an−L|< ε)]
KUANTOR
LATIHAN SOAL 4 NO. 3-22
DOSEN PENGAMPU : BENI ASYHAR, M.Pd
KELOMPOK 4:
ISTIQOMAH
2814133094
IZAELATUL LAELA
2814133095
IZATUL FUADAH
2814133096
MAHMUD HADI KUNCORO
2814133107
MIFTAKHUL MA’RUF
2814133113
M. RIZAL SUKMA
2814133119
MUFA LATIFATUL UMMA 2814133120
Kelas : TMT 2-D
FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN
INSTITUS AGAMA ISLAM NEGRI (IAIN)
TULUNGAGUNG
2014
3. Apabila kalimat-kalimat terbuka terbuka
p (x ) : x ≤ 3
q ( x ) : x +1 ganjil
r ( x ) : x> 0
a) Tentukan semua nilai x sedemikian hingga pernyataan [ p (x)∧q ( x) ] ∧r ( x ) benar.
b) Tentukan lima bilangan bulat positif terkecil x sehingga pernyataan
p(x)→ [ ¬ q( x )∧ r (x) ] benar.
Jawab :
a) ∃ x [ ( p ( x ) ∧q ( x ) ) ∧r ( x ) ]
∃ x [( x ≤3 ∧ x +1 ganjil ) ∧ x >0 ]
∃ x [ ( x ≤3, x genap ) ∧ x >0 ]
∃ x [ 0< x ≤ 3, x genap ]
Jadi, x bernilai benar jika 0< x ≤3 dan x genap sehingga x=2.
b) ∃ x [ p( x)→ [ ¬ q( x )∧r ( x) ] ]
∃ x [ x ≤3 → [ ¬ ( x +1 ganjil ) ∧ x> 0 ] ]
∃ x [ x ≤3 → [ x >0, x genap ] ]
∃ x [ ¬ ( x ≤ 3 ) ∨ [ x >0, x genap ] ]
∃ x [ x >3 ∨ x >0, xgenap ]
Jadi, x bernilai benar jika x> 0 dan x genap seningga x={ 2,4,6,8,10 }
4. Misalkan kalimat terbuka p(x): “ x 2> x ” dengan semesta terdiri dari semua bilangan
riil. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut:
a. p(0)
b. p(2/3)
∃ x p(x)
c.
d. ∀ x p(x)
Jawab:
a. p(0) = 02 > 0
(salah)
b. p(2/3) = (2/3)2 > 2/3 = 4/9 > 2/3
(salah)
c. ∃ x p(x)
(benar) → misal p(2)=22 > 2
d. ∀ x
(salah)
p(x)
5. Misalkan semesta terdiri dari semua segi banyak dengan tiga sisi atau empat sisi.
Didefinisikan kalimat-kalimat terbuka sebagai berikut:
p(x) : Semua sudut (dalam) dari x sama.
q( x) : Segitiga sama sisi.
r ( x ) : Semua sisi x sama.
a(x ): x mempunyai sudut (dalam) melebihi 180°.
b(x ) : x empat sisi.
c (x) : x bujur sangkar.
d ( x): x empat persegi.
e (x) : x segitiga.
Terjemahkan dan tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut:
(a)
∃ x [ a ( x ) ⋀e ( x ) ]
(b)
∀ x [s (x ) → e ( x )]
(c)
∀ x [e ( x ) → a ( x )]
(d)
∀ x [ p (x ) → q (x )]
(e)
∃ x [b ( x ) ⋀a ( x ) ]
(f)
∃ x [c ( x )⋀ d ( x )]
(g)
∀ x [ r ( x) → q ( x ) ]
(h)
p ( x )⋀ e ( x )
∀ x [ ¿↔ q (x) ]
(i)
r ( x ) ⋀b ( x )
∀ x [ ¿→ d (x ) ]
(j)
d ( x )↔ p (x )
¿
∀ x [ ⋀r ( x )¿ ]
(k)
e ( x ) → p ( x ) ↔ r ( x)
∀ x [¿ ]
(l)
∀ x [ p ( x ) →(q ( x ) ∨( x )) ]
Jawab:
(a) Terdapat x, x mempunyai sudut (dalam) melebihi 180° dan x segitiga, nilai (S)
(b) Untuk semua x, jika x segitiga sama kaki maka x segitiga, nilai (B)
(c) Untuk semua x, jika x segitiga maka x tidak mempunyai sudut (dalam) melebihi 180°,
nilai (B)
(d) Untuk semua x,jika semua sudut (dalam) dari x sama maka maka x segitiga sama sisi,
nilai (S)
(e) Terdapat xempat sisi dan x mempunyai sudut (dalam) melebihi 180°, nilai (B)
(f) Terdapat x segitiga dan x tidak empat persegi,nilai
(g) Untuk semua x,jika semua sisi x sama maka x segitiga sama sisi, nilai (B)
(h) Untuk semua x semua sudut (dalam) dari x sama dan x segitiga jika dan hanya jika x
segitiga sama sisi, nilai (B)
(i) Untuk semua x,jika semua sisi x sama dan x empat sisi maka x empat persegi, nilai
(B)
(j) Untuk semua x,x empat persegi jika dan hanya jika semua sudut (dalam) dari x sama
dan semua sisi x sama, nilai (B)
(k) Untuk semua x, jika x segitiga maka semua sudut (dalam) dari x sama jika dan hanya
jika semua sisi xsama, nilai (B)
(l) Untuk semua x,jika semua sudut (dalam) dari x sama maka x segitiga sama sisi atau x
bujur, nilai (B).
6. Misalkan semesta dari semua bilangan bulat, didefinisikan sebagai kalimat-kalimat
terbuka sebagai berikut :
p ( x ) : x> 0
s ( x ) : x dapat dibagi 4
q ( x ) : x genap
t ( x ) : x dapat dibagi 5
r ( x ) : xkuadrat sempurna
Tuliskan pernyataan-pernyataan berikut menggunakan kuantor dan penghubung logika.
Selanjutnya, tentukan nilai-nilai kebenarannya.
a) Sekurang-kurangnya satu bilangan bulat adalah genap.
Jawab :
∃ x ∈ Z q ( x ) , salah, karena sekurang-kurangnya satu bilangan bulat bisa juga
ganjil.
b) Terdapatlah bilangan bulat positif yang genap.
Jawab :
∃ x ∈ Z [ p ( x ) →q ( x ) ] , benar, karena terdapatlah bilangan bulat positif yang
genap.
c) Jika x genap , maka x dapat dibagi 5 .
Jawab :
∀ x ∈ Z [ q ( x ) →t ( x ) ] , salah, karena terdapat x genap yang dapat dibagi 5 .
d) Tidak ada bilangan bulat genap yang dapat dibagi 5.
Jawab :
¬∃ x ∈ Z [ q ( x ) →t ( x ) ] , salah, karena terdapat x genap yang dapat dibagi 5 .
7. Menggunakan p(x), q(x), r(x), s(x) dan t(x) didalam soal (6), terjemahkan pernyataanpernyataan berikut dalam bentuk kalimat:
(a). ∀ x [r (x )⟶ p(x)]
(b).
s ( x) ⟶ q(x )
∀ x¿
(c). ∀ x [ s(x )⟶ t (x)]
(d). ∀ x [∼ r (x )∨∼ q(x )∨ s (x)]
Penyelesaian:
Diketahui:
p(x) =
x> 0
q(x) =
x genap
s(x) = x dapat dibagi 4
t(x) = x dapat dibagi 5
r(x) = x kuadrat sempurna
Ditanyakan:
(a). ∀ x [r (x )⟶ p(x)]
(b).
s ( x) ⟶ q(x )
∀ x¿
(c). ∀ x [ s(x )⟶ t (x)]
(d). ∀ x [∼ r (x )∨∼ q(x )∨ s (x)]
Jawab:
(a). ∀ x [r (x )⟶ p(x)]
Setiap ∈ Z
(b).
; jika x kuadrat sempurna, maka
x> 0
s ( x) ⟶ q(x )
∀ x¿
Setiap ∈ Z
; jika x dapat dibagi 4, maka
x genap
(c). ∀ x [ s(x )⟶ t (x)]
Setiap ∈ Z
; jika x dapat dibagi 4, maka x dapat dibagi 5
(d). ∀ x [∼ r (x )∨∼ q(x )∨ s (x)]
Setiap ∈ Z
dibagi 4
; jika x bukan kuadrat sempurna atau
x ganjil atau x tidak dapat
8. Misalkan semesta terdiri dari kumpulan semua obyek dan kalimat-kalimat terbuka p(x) ;
“x adalah buku”, q(x) : “x adalah mahal”, dan r(x): “x adalah bagus”. Tulislah
pernyataan-pernyataan berikut menggunakan kuantor dan penghubung logika.
a) Tidak ada buku yang mahal
b) Semua buku yang mahal adalah bagus
c) Tidak ada buku yang bagus
d) Apakah (c) diturunan dari (a) dan (b) ?
Jawab:
a) ∀ x [ p( x) →¬ q( x)]
b) ∀ x [ q( x)→ r ( x ) ]
c) ∀ x [ p( x)→¬ r (x) ]
d) .
9. Diketahui :
p ( x )=x 2−2 x−3=0
q ( x )=x ganjil
r ( x ) =x> 0
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan dibawah ini
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
∀ x [ p (x ) → q (x )]
∀ x [q ( x )→ p (x )]
∃ x [ p ( x )→ q ( x )]
∃ x [ p ( x )∧ r ( x )]
∀ x [ p ( x ) →r ( x ) ]
∃ x [r ( x ) → p ( x ) ]
∀ x [ ∼ p ( x ) ∨q ( x ) ]
∀ x [∼q ( x )→ ∼ p ( x )]
∃ x [ p ( x ) → ( q ( x ) ∧r ( x )) ]
∀ x [ ( p ( x ) ∨ q ( x ))→r (x ) ]
k) Jawab
a) Akan dibuktikan nilai kebenaran ∀ x [ p ( x ) → q ( x ) ]
Ambil sebarang x ∈ 2n+ 1
p ( x )=x 2−2 x−3=0
p (1 ) =12−2.1−3 ¿−4
karena ada x ∈ 2n+ 1 yaitu 1 maka p (1 ) =−4 (genap)
sehingga x genap ,
jadi ∀ x [ p ( x ) → q ( x ) ] , bernilai salah
b) Akan dibuktikan nilai kebenaran ∀ x [ q ( x ) → p ( x ) ]
Ambil sebarang x ∈ 2n+ 1 , misal x=1
p ( x )=x 2−2 x−3=0
p (1 ) =12−2.1−3 ¿−4 sehingga p ( x ) dengan
x=1 maka p ( x )=−4 karena −4 ≠ 0 jadi pemisalan salah
jadi ∀ x [ q ( x ) → p ( x ) ] , bernilai salah
c) Akan dibuktikan nilai kebenaran ∃ x [ p ( x ) → q ( x ) ]
Ambil sebarang
x ∈ 2n+ 1
p ( x )=x 2−2 x−3=0
p (1 ) =12−2.1−3
¿−4
Ambil sebarang
x ∈ 2n
p ( x )=x 2−2 x−3=0
p (2 )=22−2.2−3
karena ada x ∈2 n+1 yaitu 1 maka
sehingga x genap ,
jadi ∃ x [ p ( x ) → q ( x ) ] ,bernilai benar
¿ 4−4−3
p (1 ) =−4
¿−3
(genap)
d)
e) Akan dibuktikan nilai kebenaran ∀ x [ p ( x ) →r ( x ) ]
Akan ditunjukkan nilai x dari x 2−2 x −3=0
2
x=3 ∨ x=−1 karena ada x< 0 yaitu
x −2 x −3=0 ( x−3 ) ( x+1 ) =0
x=−1 ,
jadi ∀ x [ p ( x ) →r ( x ) ] bernilai salah
f) Akan dibuktikan nilai kebenaran ∃ x [ r ( x ) → p ( x ) ]
-Ambil sebarang x> 0 , misal x=3
p ( x )=x 2−2 x−3=0
g)
p (3 )=32−2.3−3=0 ¿ 9−6−3=0 -Ambil sebarang x< 0 , misal
x=−2
2
2
p (−2 )= (−2 ) −2. (−2 )−3=0 ¿ 4 +4−3 ¿ 5 karena ada
p ( x )=x −2 x−3=0
x> 0 , yaitu x=3 , sehingga nilai x 2−2 x −3=0 maka pernyataan p(x)
bernilai benar dan ada x< 0 , yaitu x=−2 , sehingga nilai x 2−2 x −3=5
maka pernyataan p(x) bernilai salah
jadi ∃ x [r ( x ) → p ( x ) ] bernilai benar
h)
i) Akan dibuktikan nilai kebenaran ∀ x [ ∼q ( x ) → ∼ p ( x ) ]
Akan ditunjukkan faktor dari x 2−2 x −3=0
x=3 ∨ x=−1 karena faktor dari
x 2−2 x −3=0 ( x−3 ) ( x+1 ) =0
2
x −2 x −3=0 adalah x=3 ∨ x=−1 , x ∈ 2n+ 1
sehingga setiap x ∈ 2n , maka x 2−2 x −3≠ 0
jadi ∀ x [ ∼ q ( x ) → ∼ p ( x ) ] , bernilaibenar
j)
k)
l)
10. Diketahui : kalimat terbuka P(x,y) : “x lebih besar dari y” dengan semesta
semua bilangan riil
m)
Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan dibawah ini:
a)
b)
c)
d)
P(2,1)
P(4,4)
P(5,-5)
P( 35 ,243 ¿
n)
Jawab:
a) 2 lebih besar dari 1 (benar)
b) 4 lebih besar dari 4 (salah)
c) 5 lebih besar dari -5 (benar)
d) 35 lebih besar dari 243 (salah)
o)
11. Misalkan semesta terdiri dari semua bilangan bulat. Didefinisikan kalimat terbuka
p(x,y): “x factor y” . Untuk bilangan-bilangan bulat x dan y, tentukan nilai kebenaran
dari pernyataan-pernyataan berikut dan beri alas an.
a) p(2,9)
e) ∀ x p ( x , x )
b) p(9,2)
f) ∀ y ∃ x p ( x , y )
c) p(3,27)
g) ∃ y ∀ x p ( x , y )
d) ∀ y p(1, y )
h) ∀ x ∀ y [ ( p( x , y)∧ p( y , x) ) → ( x= y ) ]
p)
Jawab :
a) p(2,9) salah, karena 9 tidak habis membagi 2
b) p(9,2) salah, karena 2 tidak habis membagi 9
c) p(3,27) benar, karena 27 habis membagi 3
d) ∀ y p(1, y ) benar, karena Z habis membagi 1
e) ∀ x p ( x , x ) benar, karena bilangan yang dibagi bilangan itu sendiri hasilnya 1
∀ y ∃ x p ( x , y ) , “untuk setiap bilangan bulat y terdapat bilangan bulat x yang
f)
merupakan factor bilangan bulat y”. Jadi ∀ y ∃ x p ( x , y ) benar, karena bilangan
bulat x habis membagi bilangan y.
g) ∃ y ∀ x p ( x , y ) , “terdapat bilangan bulat y yang habis dibagi dari setiap bilangan
bulat x”. Jadi, ∃ y ∀ x p (x , y ) salah karena ada bilangan bulat y yang tidak habis
dibagi bilangan bulat x, misal p(2,9)
h) ∀ x ∀ y [ ( p( x , y)∧ p( y , x) ) → ( x= y ) ] , benar karena x dan y akan bernilai sama
jika x factor y dan y factor x , missal p (3,3 ) ∧ p ( 3,3 ) →3=3 dan x ≠ y jika x
bukan factor y tetapiy factor x atau sebaliknya, x factor y tetapi y bukan factor x,
( x= y )
( p(x , y )∧ p ( y , x ) )
sehingga
salah
dan
salah
maka
[ ( p(x , y )∧ p ( y , x ) ) → ( x= y ) ]=s → s
.
12. Misalkan kalimat terbuka p(x,y) dengan semesta {2,3,5}.
∃ y p (2, y)⇔[(2,2)∨(2,3)∨(2,5)]
q)
Pernyataan
berkuantor
dan
∃ x ∀ y p ( x , y )⇔[(2,2) ∧(2,3) ∧(2,5)]∨[(3,2)∧(3,3)∧(3,5)]∨[(5,2)∧(5,3)∧(5,5)]
r) Tuliskan pernyataan- pernyataan kalimat berikut menggunakan disjungsi atau
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
konjungsi.
(a). ∃ x p( x , 5)
(d). ∃ x ∃ y p( x , y)
(b). ∀ x p(x ,3)
(e). ∃ x ∀ y p (x , y )
(c). ∀ x p(2, y)
(f). ∀ y ∃ x p ( x , y )
Penyelesain:
(a). ∃ x p( x , 5)⇔ [(2,5)∨(3,5)∨(5,5)]
(b). ∀ x p(x ,3) ⇔[(3,2)∧(3,3)∧(3,5)]
(c). ∀ x p(2, y)⇔ [(2,2)∧(3,2)∧(5,2)]
z) (d).
∃ x ∃ y p(x , y) ⇔[(2,2)∨(2,3)∨(2,5)]∨[( 3,2)∨(3,3)∨( 3,5)]∨[(5,2)∨(5,3)∨(5,5)]
aa) (e).
∃ x ∀ y p ( x , y )⇔ [(2,2) ∧(2,3)∧(2,5)]∧[(3,2)∧(3,3)∧(3,5)]∧[(5,2)∧(5,3)∧(5,5)]
bb) (f).
∀ y ∃ x p ( x , y )⇔ [(2,2) ∨(3,2)∨(5,2)]∧[( 2,3) ∨(3,3) ∨(5,3)]∧[(2,5)∨(3,5)∨(5,5)]
13. Misalkan kalimat terbuka p(x , y ) dengan semesta { 1,2,3 } . Teliskan pernyataanpernyataan berikut menggunakan disjungsi atau konjungsi.
a) ∃ x p ( x ,3 )
cc) Jawab :
p (1,3 ) ∨ p ( 2,3 ) ∨ p ( 3,3 )
dd)
b) ∀ x p (1, x )
ee) Jawab :
p (1,1 ) ∧ p ( 1,2 ) ∧ p ( 1,3 )
ff)
c) ∀ x ∀ y p ( x , y )
gg) Jawab :
hh)
[ p ( 1,1 ) ∧ p ( 1,2 ) ∧ p ( 1,3 ) ] ∧ [ p ( 2,1 ) ∧ p ( 2,2 ) ∧ p (3,3 ) ] ∧ [ p ( 3,1 ) ∧ p (3,2 ) ∧ p ( 3,3 ) ]
d) ∃ x ∃ y p ( x , y )
ii)
Jawab :
jj)
[ p ( 1,1 ) ∨ p ( 1,2 ) ∨ p ( 1,3 ) ] ∨ [ p ( 2,1 ) ∨ p ( 2,2 ) ∨ p (3,3 ) ] ∨ [ p ( 3,1 ) ∨ p (3,2 ) ∨ p ( 3,3 ) ]
e) ∀ y ∀ x p ( x , y )
kk) Jawab :
ll)
[ p ( 1,1 ) ∧ p ( 1,2 ) ∧ p ( 1,3 ) ] ∧ [ p ( 2,1 ) ∧ p ( 2,2 ) ∧ p (3,3 ) ] ∧ [ p ( 3,1 ) ∧ p (3,2 ) ∧ p ( 3,3 ) ]
14. Misalkan semesta terdiri dari semua orang dan kalimat terbuka p(x,y) : “x menyukai y”.
Tulislah pernyataan-pernyataan berikut menggunakan kuantor.
a. Semua orang menyukai setiap orang
b. Semua orang menyukai seseorang
c. Seseorang tidak menyukai siapa saja
d. Semua orang menyukai Cinderela
e. Terdapat seseorang yang menyukai semua orang
f. Tidak ada orang yang menyukai semua orang
mm)
Jawab:
∀ x ∀ y p(x,y)
a.
b. ∀ x ∃ y p(x,y)
∃ x ∀ y ̴p(x,y)
c.
d. ∀ x ∃ y p(x,y)
∃ x ∀ y p(x,y)
e.
∀ x ∀ y ̴p(x,y)
f.
15. Misalkan semesta terdiri dari semua bilangan bulat. Didefinisikan kalimat-kalimat
terbuka sebagai berikut:
nn) P(x): x ganjil.
oo) q(x):
x
2
ganjil.
pp) Diantara pernyataan-pernyataan berikut, manakah diantaranya yang ekuivalen satu
sama lain.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Jika kuadrat dari sebarang bilangan bulat ganjil, maka bilangan bulat tersebut ganjil.
∀ x [p(x) syarat perlu untuk q(x)].
Kuadrat dari sebarang bilangan bulat ganjil adalah ganjil.
Terdapat beberapa bilangan bulat yang kuadratnya adalah ganjil.
Sebarang bilangan bulat yang kuadratnya ganjil, bilangan bulat tersebut ganjil.
∀ x [ p (x) → q( x)¿ .
Setiap bilangan bulat dengan kuadrat ganjil adalah ganjil.
Setiap bilangan bulat dengan kuadrat genap adalah genap.
∀ x [p(x) syarat cukup untuk q( x)¿ .
qq) Jawab:
a ≡c ≡ g
b ≡i
d ≡e
f ≡h
16. Untuk semua pasang dari pernyataan-pernyataan berikut, tentukan apakah negasi usulan
benar. Jika negasi usulan salah, tentukan versi negasi yang benar.
(a) Pernyataan: untuk semua bilangan rill x,y, jika x 2> y2 , maka x> y
rr) Negasi usulan: terdapatlah bialangan riil x,y sedemikian hingga x 2> y2
tetap x> y
(b) Pernyataan: terdapatlah bilangan riil x,y sedemikian hingga x,y rasional tetapi
x+y irasional.
ss)Negasi usulan: untuk setiap bilangan riil x,y, x+y rasional, maka x,y rasional.
(c) Pernyataan: untuk setiap bilangan riil x, jika x tidak nol yang tidak mempunyai
invers terhadap penggandaan.
tt) Negasi usulan: terdapatlah bilangan riil yang tidak nolyang tidak mempunyai
invers terhadap penggandaan.
(d) Pernyataan: terdapatlah bilangan-bilangan bilangan bulat ganjil yang hasil
kalinya ganjil.
uu)
Negasi usulan: hasil kali dari dua sembarang bilangan ganjil adalah
ganjil.
vv) Jawab :
a) .
b) ∃ x , y ∈ R [ x , y Q∧ x+ y Q℩ ]
ww)
Misal :
p = x, y Q
xx)
q = x+ y Q ℩
yy)
maka : ( ∃ x , y ∈ R [ p ∧q ] )
zz)
ditanya : ¬ ( ∃ x , y ∈ R [ p ∧q ] ) ≡ ∀ x , y ∈ R¬ [ p ∧ q ]
≡ ∀ x , y ∈ R ¬ p ∨¬ q
aaa)
≡ ∀ x , y ∈ R p→ ¬ q
bbb)
ccc)
℩
≡ ∀ x , y ∈ R [( x , y Q )→ ¬( x + y Q )]
∴ negasi usulan salah karena untuk setiap x,y bilangan riil
ddd)
sedemikian hingga jika x,y rasional maka x+y rasional.
x
c) ∀ x ∈ R ( p( x )→ q( ¿) ]
¿
eee)
misal : p ( x )=x tidak nol
q ( x )=x mempunyaiinvers terhadap penggandaan
fff)
x
ggg)
Ditanya : ∀ x ∈ R ( p( x )→ q( ¿) ]
¬¿
hhh)
Jawab :
x
∀ x ∈ R ( p( x )→ q( ¿) ]
iii)
¬¿
≡∃ x ∈ R ¬ ( p ( x ) → q ( x ) )
jjj)
≡∃ x ∈ R ¬ ( ¬ p ( x ) ∨q ( x ) )
kkk)
≡∃ x ∈ R ( p ( x ) ∨¬ q ( x ) )
lll)
∴ negasi usulan benar, karena terdapat bilangan riil x sedemikian
mmm)
hingga x tidak nol dan tidak mempunyai invers terhadap penggandaan.
d) [ ∃ x ( x ∈ ( 2 n+1 ) → x . x ∈2 n ) ]
nnn)
Misal :
p(x) = x ∈ ( 2n+1 )
ooo)
q(x)= x . x ∈ 2n
ppp)
maka : [ ∃ x ( p (x) →q ( x) ) ]
qqq)
ditanya : ¬ [ ∃ x ( p(x) → q(x ) ) ]
rrr)
jawab :
¬ [ ∃ x ( p( x)→ q(x ) ) ] ≡ [ ∀ x ¬ ( p(x )→ q (x) ) ]
sss)
≡ [ ∀ x ( p( x )∧ ¬q (x) ) ]
ttt)
∴ negasi usulan salah karena untuk setiap bilangan ganjil
uuu)
dan hasil kalinya genap.
17. Negasikan dan sederhanakan pernyataan-pernyataan berikut:
a) ∀ x [ p(x)→ q(x ) ]
c) ∀ x [ p( x)∧¬ q(x ) ]
b) ∃ x [ p(x )∨ q(x ) ]
d) ∃ x [ ( p (x)∧q (x) ) →r (x ) ]
vvv)
Jawab :
a) ¬ ( ∀ x [ p( x)→ q ( x) ])
≡∃ x ¬ [ p( x )→ q(x ) ]
www)
≡∃ x ¬ [ ¬ p( x)∨ q( x) ]
xxx)
≡∃ x [ p (x)∧¬ q( x ) ]
yyy)
b) ∃ x [ p(x )∨ q(x ) ]
¿ ¬ [ ∃ x [ p (x) ∨q ( x) ] ]
zzz)
≡ ∀ x ¬ [ p (x) ∨q ( x) ]
aaaa)
≡∀ x
¬ p( x )∧¬ q ( x)
bbbb)
∀ x [ p( x)∧¬ q( x )]
cccc)
¿ ¬ ∀ x [ p(x )∧¬ q( x) ]
dddd)
≡∃ x ¬ [ p( x )∧¬ q( x) ]
≡∃ x ¬ p( x )∨ q( x )
eeee)
≡∃ x [ p (x)→ q( x) ]
ffff)
d) ∃ x [ ( p (x)∧q (x) ) →r (x ) ]
¿ ¬∃ x [ ( p(x) ∧q ( x) ) → r (x) ]
gggg)
≡ ∀ x ¬ [ ( p (x) ∧q (x) ) →r (x) ]
hhhh)
≡ ∀ x ¬ [ ¬ ( p( x )∧ q( x ) ) ∨ r ( x)]
iiii)
≡ ∀ x [ ( p( x )∧ q( x )) ∧ ¬r (x ) ]
jjjj)
18. Misalkan semesta terdiri darisemua bilangan bulat. Tentukan nilai
kebenaran pernyataan-pernyataan berikut. Kemudian tentukan
konvers, invers, kontrapositif serta nilai kebenarannya.
a) Jika x> y , maka x 2> y2 .
b) Jika x factor dari y dan y factor dari z, maka x factor dari z.
c) Setiap bilangan bulat yang dapat dibagi oleh 8 juga dapat dibagi
oleh 4.
kkkk)
Jawab :
1>−2
a) ∀ x , y [ x > y → x 2 > y 2 ] , salah misal x=-2, y=1, maka
c)
bernilai
benar
2
12>−22
dan
bernilai
salah,
sehingga
2
x> y → x > y =B → S
Konvers : ∀ x , y [ x 2 > y 2 → x > y ] , salah. Misal x=1, y=-2,
2
2
−2>1
benar dan
salah, sehingga
−2 >1
2
2
x> y → x > y salah.
Invers : ∀ x , y [ x ≤ y → x 2 ≤ y 2 ] , salah. Misal x=-2, y=1, maka
2
2
−2 ≤ 1
benar
dan
salah.
Sehingga
−2 ≤1
maka
∀ x , y [ x ≤ y → x 2 ≤ y 2 ] salah.
Kontrapositif :
∀ x , y [ x2 ≤ y2 → x ≤ y ] ,
2
b) Misal
2
2
salah.
Karena
2
x> y → x > y ⟺ x ≤ y → x ≤ y
p(x,y):
“x
factor
y”,
maka
∀ x ∀ y ∀ z [ ( p( x , y) ∧ p( y , z) ) → p( x , z) ] benar.
llll)
Bukti :
x, y ,z ∈Z ,
mmmm)
AS,
misal
2,4,8
berarti
p (2,4 ) ∧ p ( 4,8 ) maka p(2,8)
Konvers : ∀ x ∀ y ∀ z [ p( x , z)→ ( p( x , y) ∧ p( y , z) ) ] salah. AS.
x, y ,z ∈Z ,
p(2,5)
misal
2,5,8
berarti
maka
( p(2,5)∧ p (5,8) ) .
Invers :
salah,
∀ x ∀ y ∀ z [ ( ¬ p (x , y )∨ ¬ p( y , z) ) →¬ p ( x , z) ]
As. x , y , z ∈ Z , misal 2,3,6 berarti
nnnn)
[ ( ¬ p(2,3) ∨¬ p(3,6)) → ¬ p(2,6)] =[ B ∨ S ] → S=B → S=S
Kontrapositif :
∀ x ∀ y ∀ z [ ¬ p (x , z)→ ( ¬ p(x , y ) ∨¬ p( y , z) ) ]
benar
karena
untuk
semua
bilangan
bulat
[ ( p(x , y )∧ p ( y , z )) → p( x , z )] ⟺ [ ¬ p ( x , z)→ ( ¬ p( x , y )∨ ¬ p( y , z)) ]
.
19. Misalkan semesta terdiri dari semua bilangan bulat non negatif.
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut.
a) ∀ x ∃ y [ xy =1 ]
b) ∃ x ∀ y [ xy =1 ]
c) ∀ x ∀ y [ sin 2 x+ cos2 x=sin2 y +cos2 x ]
d) ∃ x ∃ y [ ( 2 x+ y=5 ) ∧ ( x−3 y=−8 ) ]
oooo) Jawab :
∀ x ∃ y [ xy =1 ] , untuk setiap bilangan bulat non negatif x
terdapat bilangan bulat negatif y sedemikian hingga xy=1.
Jadi, ∀ x ∃ y [ xy =1 ] salah.
b) ∃ x ∀ y [ xy =1 ] , terdapat bilangan bulat non negatif x untuk
setiap bilangan bulat non negatif y sedeian hingga xy=1 .
Jadi, xy=1 salah.
c) ∀ x ∀ y [ sin 2 x+ cos2 x=sin2 y +cos2 x ] , untuk setiap bilangan bulat
non negatif x berlaku untuk semua bilangan bulat non negatif
2
2
2
2
y
sedemikian
hingga
Jadi,
sin x+cos x =sin y + cos x .
a)
∀ x ∀ y [ sin 2 x+ cos2 x=sin2 y +cos2 x ]
d) ∃ x ∃ y [ ( 2 x+ y=5 ) ∧ ( x−3 y=−8 ) ] , terdapat bilangan bulat negatif
x berlaku terdapat bilangan bulat non negatif y sedemikian
( 2 x + y =5 ) ∧ ( x−3 y=−8 ) .
hingga
Jadi,
∃ x ∃ y [ ( 2 x+ y=5 ) ∧ ( x−3 y=−8 ) ] benar jika x = 1 dan y = 3.
20. Misalkan semesta terdiri dari semua bilangan riil. Sederhanakan
pernyataan-pernyataan berikut:
a) ∀ x ∀ y [ ( x > y ) → ( x− y >0 ) ]
b) ∀ x ∀ y [ [ ( x >0 ) ∧ ( x=logx ) ] ] → ( x=10 y )
c) ∀ x ∀ y [ ( x < y ) → ∃ z ( x< z < y ) ]
d) ∀ x ∀ y [ (| x|=| y|) → ( y=± x ) ]
21. Misalkan p(x) dan q(x) kalimat-kalimat terbuka di dalam semesta.
Tujukkan ekuivalensi-ekuivalensi (logis) berikut :
a) ∀ x ¬ [ p( x )∧ q( x ) ] ↔ ∀ x [ ¬ p( x )∨¬ q( x ) ]
b) ∀ x ¬ [ p( x )∨ q( x ) ] ↔ ∀ x [ ¬ p( x )∧¬ q( x ) ]
pppp)Jawab :
a) Untuk setiap ɑ di dalam semesta, perhatikan pernyataan-pernyataan ¬[p(ɑ) ˄
q(ɑ)] dan [¬p(ɑ) ˅ ¬q(ɑ)]. Menggunakan hukum de Morgan, ¬[p(ɑ) ˄ q(ɑ)]↔
[¬p(ɑ) ˅ ¬q(ɑ)].
qqqq)
Jadi, ∀ x
¬[p(x) ˄ q(x)]↔ ∀ x
[¬p(x) ˅ ¬q(x)].
b) Untuk setiap ɑ di dalam semesta, perhatikan pernyataan-pernyataan ¬[p(ɑ) ˅q(ɑ)]
dan [¬p(ɑ) ˄ ¬q(ɑ)]. Menggunakan hukum de Morgan, ¬[p(ɑ) ˅ q(ɑ)]↔ [¬p(ɑ) ˄
22.
¬q(ɑ)].
rrrr)
Jadi, ∀ x ¬[p(x) ˅ q(x)]↔ ∀ x [¬p(x) ˄ ¬q(x)].
Menggunakan konsep limit untuk barisan dari bilangan-bilangan riil, tulislah
pernyataan lim an ≠ L dalam bentuk simbolik.
a→∞
ssss)
Jawab:
(n>k )
an =L↔ ∀ x >0 ∃ k >0 ∀ n[¿ →(|a n−L|< ε)]
lim ¿
tttt)
x →∞
negasinya
uuuu)
(n>k )
∀ x >0 ∃ k >0 ∀ n[¿ →(|a n−L|< ε) ]
an ≠ L ↔ ¿
lim ¿
x →∞
↔∃ x> 0 ∀ k > 0∃ n [( n>k )→(|an−L|< ε )]
vvvv)
wwww)
xxxx)
↔∃ x> 0 ∀ k > 0∃ n [ ( n>k ) ˅ (|an−L|< ε )]
yyyy)
↔∃ x> 0 ∀ k > 0∃ n[ ( n> k ) ˅ (|an−L|< ε)]