MAKALAH GEOMETRI ANALITIK RUANG HASIL KA
MAKALAH GEOMETRI ANALITIK RUANG
HASIL KALI SILANG VEKTOR
(CROSS PRODUCT)
KELOMPOK III
Anggota :
Reny Rosida
Aprillia Anggraini
Sri Utami
14.05.0.047
14.05.0.072
14.05.0.063
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
MATEMATIKA SEMESTER IV UNIVERSITAS RIAU
KEPULAUAN TAHUN 2015/2016
HASIL KALI SILANG VEKTOR
A. Pengertian Perkalian Silang Vektor
Perkalian silang A x B pada vektor didefinisikan sebagai suatu vektor C yang
arahnya tegak lurus pada bidang dimana vektor A dan B berada dan mengikuti aturan
tangan kanan, sementara besarnya vektor tersebut sama dengan hasil kali dari besar
kedua vektor dengan sinus sudut apit antara kedua vektor tersebut. Secara matematis
dirumuskan :
C=A x B= AB sinθ
Hasil kali silang dua vektor dalam ruang.
Misalkan u=u 1 i+u2 j+u3 k dan v =v 1 i+ v 2 j+ v 3 k adalah vektor-vektor dalam
ruang. Hasil kali silang u dan v adalah vektor :
u x v=( u2 v 3−u 3 v 2) i−( u1 v 3−u3 v 1 ) j +(u1 v 2−u2 v 1)k
Cara yang mudah untuk menghitung u x v adalah menggunakan bentuk determinan
dengan ekspansi kofaktor seperti yang ditunjukkan dibawah ini :
i
j k
u u
u u
u u
¿ 2 3 i− 1 3 j+ 1 2 k
u x v= u1 u2 u 3
v2 v 3
v1 v3
v1 v2
v1 v 2 v 3
| |
| || || |
¿ ( u2 v 3−u 3 v 2) i−( u 1 v3 −u3 v 1 ) j+(u 1 v 2−u2 v 1)k
Contoh :
u=i−2 j+ k dan v =3i+ j−2 k . Tentukan hasil kali silang untuk masing-masing
vektor berikut :
a. u x v
b. v x u
c. v x v
jawab :
a.
|
|
i
j
k
u x v= 1 −2 1
3 1 −2
|
|| ||
|
¿ −2 1 i− 1 1 j + 1 −2 k
1 −2
3 −2
3 1
¿ ( (−2 )(−2 )−( 1 ) ( 1 ) ) i−( ( 1 )(−2 )−( 1 ) ( 3 ) ) j + ( ( 1 ) (1 ) −(−2 )( 3 ) ) k
¿ ( 4−1 ) i−(−2−3 ) j+ ( 1+6 ) k
b.
|
|
i
j
k
v x u= 3 1 −2
1 −2 1
|
¿ 3 i+5 j+7 k
|| ||
|
¿ 1 −2 i− 3 −2 j + 3 1 k
−2 1
1 1
1 −2
¿ ( ( 1 )( 1 ) −(−2 ) (−2 ) ) i−( ( 3 )( 1 ) −(−2 ) ( 1 ) ) j + ( ( 3 ) (−2 )−( 1 )( 1 ) ) k
¿ ( 1−4 ) i−( 3+2 ) j+ (−6−1 ) k
¿−3i−5 j−7 k
c.
|
|
i j k
v x v= 3 1 −2
3 1 −2
| || | | |
¿ 1 −2 i− 3 −2 j+ 3 1 k
1 −2
3 −2
3 1
¿ ( ( 1 )(−2 )−(−2 ) ( 1 ) ) i−( ( 3 )(−2 )−(−2 ) ( 3 ) ) j+ ( ( 3 ) ( 1 )−( 1 ) ( 3 ) ) k
¿ (−2+2 ) i−(−6+6 ) j+ (3−3 ) k
¿0
B. Besar dan Arah Vektor Hasil Perkalian Silang
Hasil perkalian silang vektor A dan B ( A X B ) adalah hasil besar vektor A dengan
komponen vektor B yang tegak lurus pada kedua vektor tersebut.
AxB= A ( B sin θ )=AB sin θ dengan 0 ° ≤ θ ≤180 °
Arah vektor C tegak lurus dengan dengan bidang vektor A dan B. Untuk
menentukan arahnya bisa menggunakan kaidah tangan kanan. Keempat jari
digenggamkan dan ibu jari yang diacungkan. Genggamkan jari searah dengan
arah dari A ke B sehingga arahnya akan berlawanan dengan arah jarum jam.
Tegakkan ibu jari dan arah yang ditunjukkan oleh ibu jari tersebut adalah arah
vektor C yaitu keatas.
Hasil perkalian silang vektor B dan A (B X A) adalah hasil kali besar vektor
dengan komponen vektor A yang tegak lurus pada vektor B.
θ
A sin ¿=BA sin θ ,
B x A=B ¿
dengan 0 ° ≤ θ ≤180 ° .
Arah Vektor C tegak lurus dengan
bidang vektor B dan A. Untuk
menentukan arahnya,genggamkan
keempat jari sesuai dengan arah
dari vektor B ke vektor A sehingga
arahnya akan searah dengan jarum
jam. Tegakkan ibu jari dan arah yang
ditunjukkan oleh ibu jari tersebut
adalah arah vektor C yaitu
kebawah.
C. Sifat-sifat hasil kali silang
u x v=−( v x u ) , anti
komutatif
| |
i
j k
u x v= u1 u2 u 3
v1 v 2 v 3
¿ ( u2 v 3−u 3 v 2) i−( u 1 v3 −u3 v 1 ) j+ ( u1 v 2−u 2 v 1) k
¿−( ( u3 v 2−u 2 v 3 ) i−( u3 v 1−u1 v 3 ) j+ ( u2 v 1−u1 v 2 ) k )
¿−( v x u)
( u x v ) x w ≠u x (v x w) , tidak asosiatif
i
j
k
( u x v ) x w= u2 v 3−u3 v 2 −u1 v 3 +u3 v 1 u 1 v 2−u2 v 1
w1
w2
w3
|
|
¿ [ (−u1 v 3+ u3 v 1 ) w3− ( u1 v 2−u2 v 1 ) w2 ] i−[ ( u 2 v 3−u3 v 2 ) w3 −( u1 v 2−u2 v 1 ) w 1 ] j+ [ ( u2 v 3−u3 v2 ) w 2−(−u1
|
u x ( v x w )=
|
i
j
k
u1
u2
u3
v 2 w3 −v 3 w2 −v 1 w 3+ v 3 w1 v 1 w2−v 2 w1
¿ [ u2 ( v 1 w2−v 2 w1 )−u3 ( −v 1 w 3+ v 3 w1 ) ] i−[ u 1 ( v 1 w 2−v 2 w 1) −u3 ( v 2 w3 −v 3 w 2) ] j+ [ u1 ( −v 1 w 3+ v 3 w1 ) −u
u x u=0
i
j k
u x u= u1 u2 u3
u1 u2 u3
u x 0=0 x u=0
| |
¿ ( u2 u3−u3 u2 ) i−( u1 u3−u3 u1 ) j+ ( u1 u2−u 2 u1 ) k =0
|
|
i
j k
0 x u= 0 0 0
u1 u 2 u3
u x ( v + w )=(u x v)+(u x w)
|
|
i
j k
u x 0= u1 u 2 u3
0 0 0
¿ ( u2 0−u 3 0 ) i−( u1 0−u3 0 ) j+ ( u 1 0−u2 0 ) k=0
¿ ( 0 u3−0u 2) i−( 0u 3−0 u1 ) j+ ( 0 u 2−0 u1 ) k=0
|
|
i
j
k
u2
u3
u x ( v + w )= u1
( v 1 + w1 ) ( v 2+ w 2 ) ( v 3 + w 3 )
¿ ( u2 ( v 3 + w3 )−u 3 ( v 2+ w2 ) ) i−( u1 ( v 3 +w 3 )−u3 ( v 1+ w1 ) ) j+ ( u1 ( v 2 +w 2) −u2 ( v 1 +w 1 ) ) k
¿ ( u2 v 3 +u2 w3 −u3 v 2−u3 w 2) i−( u 1 v 3+u 1 w 3−u3 v 1−u 3 w1 ) j+ ( u1 v 2 +u1 w2−u 2 v 1−u2 w1 ) k
¿ [ ( u2 v 3−u 3 v 2 ) i−( u1 v 3−u3 v 1 ) j + ( u1 v 2−u2 v 1 ) k ] + [ ( u2 w 3−u3 w2 ) i−( u 1 w 3−u3 w1 ) j+ ( u1 w2−u2 w 1) k ]
¿ ( u x v ) +(u x w)
( u+ v ) x w= (u x w ) +(v x w)
|
|
i
j
k
( u+ v ) x w= ( u1 +v 1 ) ( u2 +v 2 ) ( u3 +v 3 )
w1
w2
w3
¿ ( ( u2 + v 2 ) w3−( u3+ v 3 ) w 2) i−( ( u1 + v1 ) w 3−( u3 + v 3 ) w1 ) j+ ( ( u1 +v 1 ) w 2−( u2 + v 2) w1 ) k
¿ ( u2 w3 + v 2 w 3−u3 w 2−v 3 w 2) i−( u 1 w 3 +v 1 w3 −u3 w1−v 3 w1 ) j+ ( u1 w2 + v 1 w2−u2 w1 −v 2 w1 ) k
¿ [ ( u2 w3 −u3 w2 ) i−( u1 w 3−u3 w1 ) j+ ( u 1 w 2−u2 w1 ) k ]+ [ ( v 2 w 3−v 3 w 2) i−( v 1 w3−v 3 w1 ) j+ ( v 1 w 2−v2 w 1)
¿ ( u x w )+(v x w)
ku x v=u x kv
|
|
i
j
k
ku x v= ku1 ku2 ku 3
v1 v 2 v 3
¿ ( ku 2 v 3 −ku3 v 2 ) i−( ku1 v 3−ku 3 v 1) j+ ( k u1 v 2−ku 2 v 1) k
¿ ( u2 k v 3−u 3 kv 2 ) i−( u 1 k v 3−u3 kv 1 ) j+ ( u1 kv 2−u2 kv 1 ) k
¿ u x kv
Berikut beberapa hal penting dan umum yang berlaku dalam perkalian silang dua vektor :
1. Nilai 0 ° ≤ θ ≤180 ° , maka nilai sin θ selalu positifsehingga nilai C dalam
C=AB sin θ selalu positif.
2. Dua vektor saling tegak lurus. Jika kedua vektor saling tegak lurus maka sudut
antara kedua vektor adalah 90 ° , sehingga :
A x B= AB sinθ
| A x B|=| A||B|sin 90 ° | A x B|=| A||B|∙1
| A x B|=| A||B|
3. Dua vektor segaris.
Jika kedua vektor berada satu garis dan searah, maka sudut antara kedua
vektor adalah 0 ° , sehingga :
| A x B|=| A||B|sin θ | A x B|=| A||B|sin 0 ° | A x B|=| A||B|∙ 0
| A x B|=0
Jika kedua vektor berada satu garis dan berlawanan arah maka sudut antara
dua vektor tersebut adalah 180 ° , sehingga :
| A x B|=| A||B|sin θ | A x B|=| A||B|sin 180 ° | A x B|=| A||B|∙ 0
| A x B|=0
D. Hubungan antara cross product dan dot product
1. u´ ∙ ( u´ x ´v )=0
( u´ x ´v ) orthogonal terhadap u´
u´ ∙ ( u´ x ´v )=u1 i+ u2 j+ u3 k ( ( u2 v 3−u 3 v 2) i−( u 1 v3 −u3 v 1 ) j+ ( u1 v 2−u 2 v1 ) k )
u
u
¿
2
u
v
−u
u
v
(¿
1 3
2 3 1)+(u3 u 1 v 2−u3 u 2 v 1)
(¿ ¿ 1 u2 v 3−u1 u3 v 2)−¿
¿¿
u
u2 u 3 v 1−u3 u2 v 1 ¿=0
¿
1u
v
−u
u
v
(¿
2 3
2 1 3)+(−u 1 u3 v 2 +u3 u1 v 2)+¿ (
¿¿
2.
v´ ∙ (u´ x v´ )=0
( u´ x ´v ) orthogonal terhadap v´
v´ ∙ (u´ x v´ )=v 1 i+ v2 j+ v 3 k ( ( u2 v 3−u3 v 2 ) i−( u 1 v 3 −u3 v 1 ) j+ ( u1 v 2−u 2 v1 ) k )
v
v
(¿ ¿ 2 u1 v 3−v2 u3 v 1)+(v 3 u1 v 2−v 3 u2 v 1 )
(¿ ¿ 1 u2 v 3−v 1 u3 v 2 )−¿
¿¿
v
(¿ ¿ 1u 2 v 3−v 2 u1 v 3)+(−v 1 u 3 v 2+ v 3 u 1 v2 )+¿ ( v 2 u3 v 1−v 3 u2 v 1 ¿=0
¿¿
2
2
2
|u´ x ´v| =|u| |v| −( u´ ∙ v´ )2
3.
Identitas Lagrange
2
2
2
|u´ x ´v| =|u| |v| −( u´ ∙ v´ )2
2
2
2
¿|u| |v| −(|u||v|cos θ )
2
2
2
2
¿|u| |v| −(|u| |v| cos2 θ )
2
2
¿|u| |v| ( 1−cos2 θ )
2
2
¿|u| |v| sin2 θ
Sehingga |u´ x ´v|=|u||v|sin θ
Interpretasi geometri dari |u´ x ´v|=|u||v|sin θ
sin θ=
t
→ t=|v|sin θ
|v|
Luas jajargenjang yang dibentuk dari
u´ dan v´ adalah
|u||v|sinθ=|u´ x v´ |
Luas segitiga adalah
1
1
|u||v|sin θ= |u´ x ´v|
2
2
Contoh soal :
1. Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik sudut A(2,-3,1) , B(-1,4,-1) dan
C(2,0,3). Tentukan :
u´ ∙ ( u´ x ´v )
a.
b. v´ ∙ (u´ x v´ )
c. Luas jajargenjang
d. Luas segitiga
Jawab :
Misal u´ merupakan vektor
garis AB, dan v´ merupakan vektor posisi ruas garis AC.
−1
2
−3
Maka u´ = 4 − −3 = 7
−1
1
−2
( )( )( )
posisi dari ruas
() ( ) ()
2
2
0
Dan v´ = 0 − −3 = 3
3
1
2
i
j k
u´ x ´v = −3 7 −2
0 3 2
¿ ( ( 7 ∙2 ) −(−2 ∙ 3 ) ) i−( (−3 ∙ 2 )−(−2 ∙0 ) ) j+ ( (−3 ∙ 3 )−( 7 ∙ 0 ) ) k
¿ ( 14+6 ) i−(−6−0 ) j+ (−9−0 ) k=20 i+6 j−9 k
|
a.
|
( )( )
( )( )
−3 20
u´ ∙ ( u´ x ´v )= 7 ∙ 6 =−60+ 42+ 18=0
−2 −9
0 20
v
´
∙
(
u
´
x
v
´
)
=
b.
3 ∙ 6 =0+18−18=0
2 −9
c. Luas jajargenjang = |u´ x ´v|=√ 202 +62 + (−9 )2= √ 400+36+81=√ 517
d. Luas segitiga ABC =
1
1
|u´ x ´v|= √ 517
2
2
HASIL KALI SILANG VEKTOR
(CROSS PRODUCT)
KELOMPOK III
Anggota :
Reny Rosida
Aprillia Anggraini
Sri Utami
14.05.0.047
14.05.0.072
14.05.0.063
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
MATEMATIKA SEMESTER IV UNIVERSITAS RIAU
KEPULAUAN TAHUN 2015/2016
HASIL KALI SILANG VEKTOR
A. Pengertian Perkalian Silang Vektor
Perkalian silang A x B pada vektor didefinisikan sebagai suatu vektor C yang
arahnya tegak lurus pada bidang dimana vektor A dan B berada dan mengikuti aturan
tangan kanan, sementara besarnya vektor tersebut sama dengan hasil kali dari besar
kedua vektor dengan sinus sudut apit antara kedua vektor tersebut. Secara matematis
dirumuskan :
C=A x B= AB sinθ
Hasil kali silang dua vektor dalam ruang.
Misalkan u=u 1 i+u2 j+u3 k dan v =v 1 i+ v 2 j+ v 3 k adalah vektor-vektor dalam
ruang. Hasil kali silang u dan v adalah vektor :
u x v=( u2 v 3−u 3 v 2) i−( u1 v 3−u3 v 1 ) j +(u1 v 2−u2 v 1)k
Cara yang mudah untuk menghitung u x v adalah menggunakan bentuk determinan
dengan ekspansi kofaktor seperti yang ditunjukkan dibawah ini :
i
j k
u u
u u
u u
¿ 2 3 i− 1 3 j+ 1 2 k
u x v= u1 u2 u 3
v2 v 3
v1 v3
v1 v2
v1 v 2 v 3
| |
| || || |
¿ ( u2 v 3−u 3 v 2) i−( u 1 v3 −u3 v 1 ) j+(u 1 v 2−u2 v 1)k
Contoh :
u=i−2 j+ k dan v =3i+ j−2 k . Tentukan hasil kali silang untuk masing-masing
vektor berikut :
a. u x v
b. v x u
c. v x v
jawab :
a.
|
|
i
j
k
u x v= 1 −2 1
3 1 −2
|
|| ||
|
¿ −2 1 i− 1 1 j + 1 −2 k
1 −2
3 −2
3 1
¿ ( (−2 )(−2 )−( 1 ) ( 1 ) ) i−( ( 1 )(−2 )−( 1 ) ( 3 ) ) j + ( ( 1 ) (1 ) −(−2 )( 3 ) ) k
¿ ( 4−1 ) i−(−2−3 ) j+ ( 1+6 ) k
b.
|
|
i
j
k
v x u= 3 1 −2
1 −2 1
|
¿ 3 i+5 j+7 k
|| ||
|
¿ 1 −2 i− 3 −2 j + 3 1 k
−2 1
1 1
1 −2
¿ ( ( 1 )( 1 ) −(−2 ) (−2 ) ) i−( ( 3 )( 1 ) −(−2 ) ( 1 ) ) j + ( ( 3 ) (−2 )−( 1 )( 1 ) ) k
¿ ( 1−4 ) i−( 3+2 ) j+ (−6−1 ) k
¿−3i−5 j−7 k
c.
|
|
i j k
v x v= 3 1 −2
3 1 −2
| || | | |
¿ 1 −2 i− 3 −2 j+ 3 1 k
1 −2
3 −2
3 1
¿ ( ( 1 )(−2 )−(−2 ) ( 1 ) ) i−( ( 3 )(−2 )−(−2 ) ( 3 ) ) j+ ( ( 3 ) ( 1 )−( 1 ) ( 3 ) ) k
¿ (−2+2 ) i−(−6+6 ) j+ (3−3 ) k
¿0
B. Besar dan Arah Vektor Hasil Perkalian Silang
Hasil perkalian silang vektor A dan B ( A X B ) adalah hasil besar vektor A dengan
komponen vektor B yang tegak lurus pada kedua vektor tersebut.
AxB= A ( B sin θ )=AB sin θ dengan 0 ° ≤ θ ≤180 °
Arah vektor C tegak lurus dengan dengan bidang vektor A dan B. Untuk
menentukan arahnya bisa menggunakan kaidah tangan kanan. Keempat jari
digenggamkan dan ibu jari yang diacungkan. Genggamkan jari searah dengan
arah dari A ke B sehingga arahnya akan berlawanan dengan arah jarum jam.
Tegakkan ibu jari dan arah yang ditunjukkan oleh ibu jari tersebut adalah arah
vektor C yaitu keatas.
Hasil perkalian silang vektor B dan A (B X A) adalah hasil kali besar vektor
dengan komponen vektor A yang tegak lurus pada vektor B.
θ
A sin ¿=BA sin θ ,
B x A=B ¿
dengan 0 ° ≤ θ ≤180 ° .
Arah Vektor C tegak lurus dengan
bidang vektor B dan A. Untuk
menentukan arahnya,genggamkan
keempat jari sesuai dengan arah
dari vektor B ke vektor A sehingga
arahnya akan searah dengan jarum
jam. Tegakkan ibu jari dan arah yang
ditunjukkan oleh ibu jari tersebut
adalah arah vektor C yaitu
kebawah.
C. Sifat-sifat hasil kali silang
u x v=−( v x u ) , anti
komutatif
| |
i
j k
u x v= u1 u2 u 3
v1 v 2 v 3
¿ ( u2 v 3−u 3 v 2) i−( u 1 v3 −u3 v 1 ) j+ ( u1 v 2−u 2 v 1) k
¿−( ( u3 v 2−u 2 v 3 ) i−( u3 v 1−u1 v 3 ) j+ ( u2 v 1−u1 v 2 ) k )
¿−( v x u)
( u x v ) x w ≠u x (v x w) , tidak asosiatif
i
j
k
( u x v ) x w= u2 v 3−u3 v 2 −u1 v 3 +u3 v 1 u 1 v 2−u2 v 1
w1
w2
w3
|
|
¿ [ (−u1 v 3+ u3 v 1 ) w3− ( u1 v 2−u2 v 1 ) w2 ] i−[ ( u 2 v 3−u3 v 2 ) w3 −( u1 v 2−u2 v 1 ) w 1 ] j+ [ ( u2 v 3−u3 v2 ) w 2−(−u1
|
u x ( v x w )=
|
i
j
k
u1
u2
u3
v 2 w3 −v 3 w2 −v 1 w 3+ v 3 w1 v 1 w2−v 2 w1
¿ [ u2 ( v 1 w2−v 2 w1 )−u3 ( −v 1 w 3+ v 3 w1 ) ] i−[ u 1 ( v 1 w 2−v 2 w 1) −u3 ( v 2 w3 −v 3 w 2) ] j+ [ u1 ( −v 1 w 3+ v 3 w1 ) −u
u x u=0
i
j k
u x u= u1 u2 u3
u1 u2 u3
u x 0=0 x u=0
| |
¿ ( u2 u3−u3 u2 ) i−( u1 u3−u3 u1 ) j+ ( u1 u2−u 2 u1 ) k =0
|
|
i
j k
0 x u= 0 0 0
u1 u 2 u3
u x ( v + w )=(u x v)+(u x w)
|
|
i
j k
u x 0= u1 u 2 u3
0 0 0
¿ ( u2 0−u 3 0 ) i−( u1 0−u3 0 ) j+ ( u 1 0−u2 0 ) k=0
¿ ( 0 u3−0u 2) i−( 0u 3−0 u1 ) j+ ( 0 u 2−0 u1 ) k=0
|
|
i
j
k
u2
u3
u x ( v + w )= u1
( v 1 + w1 ) ( v 2+ w 2 ) ( v 3 + w 3 )
¿ ( u2 ( v 3 + w3 )−u 3 ( v 2+ w2 ) ) i−( u1 ( v 3 +w 3 )−u3 ( v 1+ w1 ) ) j+ ( u1 ( v 2 +w 2) −u2 ( v 1 +w 1 ) ) k
¿ ( u2 v 3 +u2 w3 −u3 v 2−u3 w 2) i−( u 1 v 3+u 1 w 3−u3 v 1−u 3 w1 ) j+ ( u1 v 2 +u1 w2−u 2 v 1−u2 w1 ) k
¿ [ ( u2 v 3−u 3 v 2 ) i−( u1 v 3−u3 v 1 ) j + ( u1 v 2−u2 v 1 ) k ] + [ ( u2 w 3−u3 w2 ) i−( u 1 w 3−u3 w1 ) j+ ( u1 w2−u2 w 1) k ]
¿ ( u x v ) +(u x w)
( u+ v ) x w= (u x w ) +(v x w)
|
|
i
j
k
( u+ v ) x w= ( u1 +v 1 ) ( u2 +v 2 ) ( u3 +v 3 )
w1
w2
w3
¿ ( ( u2 + v 2 ) w3−( u3+ v 3 ) w 2) i−( ( u1 + v1 ) w 3−( u3 + v 3 ) w1 ) j+ ( ( u1 +v 1 ) w 2−( u2 + v 2) w1 ) k
¿ ( u2 w3 + v 2 w 3−u3 w 2−v 3 w 2) i−( u 1 w 3 +v 1 w3 −u3 w1−v 3 w1 ) j+ ( u1 w2 + v 1 w2−u2 w1 −v 2 w1 ) k
¿ [ ( u2 w3 −u3 w2 ) i−( u1 w 3−u3 w1 ) j+ ( u 1 w 2−u2 w1 ) k ]+ [ ( v 2 w 3−v 3 w 2) i−( v 1 w3−v 3 w1 ) j+ ( v 1 w 2−v2 w 1)
¿ ( u x w )+(v x w)
ku x v=u x kv
|
|
i
j
k
ku x v= ku1 ku2 ku 3
v1 v 2 v 3
¿ ( ku 2 v 3 −ku3 v 2 ) i−( ku1 v 3−ku 3 v 1) j+ ( k u1 v 2−ku 2 v 1) k
¿ ( u2 k v 3−u 3 kv 2 ) i−( u 1 k v 3−u3 kv 1 ) j+ ( u1 kv 2−u2 kv 1 ) k
¿ u x kv
Berikut beberapa hal penting dan umum yang berlaku dalam perkalian silang dua vektor :
1. Nilai 0 ° ≤ θ ≤180 ° , maka nilai sin θ selalu positifsehingga nilai C dalam
C=AB sin θ selalu positif.
2. Dua vektor saling tegak lurus. Jika kedua vektor saling tegak lurus maka sudut
antara kedua vektor adalah 90 ° , sehingga :
A x B= AB sinθ
| A x B|=| A||B|sin 90 ° | A x B|=| A||B|∙1
| A x B|=| A||B|
3. Dua vektor segaris.
Jika kedua vektor berada satu garis dan searah, maka sudut antara kedua
vektor adalah 0 ° , sehingga :
| A x B|=| A||B|sin θ | A x B|=| A||B|sin 0 ° | A x B|=| A||B|∙ 0
| A x B|=0
Jika kedua vektor berada satu garis dan berlawanan arah maka sudut antara
dua vektor tersebut adalah 180 ° , sehingga :
| A x B|=| A||B|sin θ | A x B|=| A||B|sin 180 ° | A x B|=| A||B|∙ 0
| A x B|=0
D. Hubungan antara cross product dan dot product
1. u´ ∙ ( u´ x ´v )=0
( u´ x ´v ) orthogonal terhadap u´
u´ ∙ ( u´ x ´v )=u1 i+ u2 j+ u3 k ( ( u2 v 3−u 3 v 2) i−( u 1 v3 −u3 v 1 ) j+ ( u1 v 2−u 2 v1 ) k )
u
u
¿
2
u
v
−u
u
v
(¿
1 3
2 3 1)+(u3 u 1 v 2−u3 u 2 v 1)
(¿ ¿ 1 u2 v 3−u1 u3 v 2)−¿
¿¿
u
u2 u 3 v 1−u3 u2 v 1 ¿=0
¿
1u
v
−u
u
v
(¿
2 3
2 1 3)+(−u 1 u3 v 2 +u3 u1 v 2)+¿ (
¿¿
2.
v´ ∙ (u´ x v´ )=0
( u´ x ´v ) orthogonal terhadap v´
v´ ∙ (u´ x v´ )=v 1 i+ v2 j+ v 3 k ( ( u2 v 3−u3 v 2 ) i−( u 1 v 3 −u3 v 1 ) j+ ( u1 v 2−u 2 v1 ) k )
v
v
(¿ ¿ 2 u1 v 3−v2 u3 v 1)+(v 3 u1 v 2−v 3 u2 v 1 )
(¿ ¿ 1 u2 v 3−v 1 u3 v 2 )−¿
¿¿
v
(¿ ¿ 1u 2 v 3−v 2 u1 v 3)+(−v 1 u 3 v 2+ v 3 u 1 v2 )+¿ ( v 2 u3 v 1−v 3 u2 v 1 ¿=0
¿¿
2
2
2
|u´ x ´v| =|u| |v| −( u´ ∙ v´ )2
3.
Identitas Lagrange
2
2
2
|u´ x ´v| =|u| |v| −( u´ ∙ v´ )2
2
2
2
¿|u| |v| −(|u||v|cos θ )
2
2
2
2
¿|u| |v| −(|u| |v| cos2 θ )
2
2
¿|u| |v| ( 1−cos2 θ )
2
2
¿|u| |v| sin2 θ
Sehingga |u´ x ´v|=|u||v|sin θ
Interpretasi geometri dari |u´ x ´v|=|u||v|sin θ
sin θ=
t
→ t=|v|sin θ
|v|
Luas jajargenjang yang dibentuk dari
u´ dan v´ adalah
|u||v|sinθ=|u´ x v´ |
Luas segitiga adalah
1
1
|u||v|sin θ= |u´ x ´v|
2
2
Contoh soal :
1. Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik sudut A(2,-3,1) , B(-1,4,-1) dan
C(2,0,3). Tentukan :
u´ ∙ ( u´ x ´v )
a.
b. v´ ∙ (u´ x v´ )
c. Luas jajargenjang
d. Luas segitiga
Jawab :
Misal u´ merupakan vektor
garis AB, dan v´ merupakan vektor posisi ruas garis AC.
−1
2
−3
Maka u´ = 4 − −3 = 7
−1
1
−2
( )( )( )
posisi dari ruas
() ( ) ()
2
2
0
Dan v´ = 0 − −3 = 3
3
1
2
i
j k
u´ x ´v = −3 7 −2
0 3 2
¿ ( ( 7 ∙2 ) −(−2 ∙ 3 ) ) i−( (−3 ∙ 2 )−(−2 ∙0 ) ) j+ ( (−3 ∙ 3 )−( 7 ∙ 0 ) ) k
¿ ( 14+6 ) i−(−6−0 ) j+ (−9−0 ) k=20 i+6 j−9 k
|
a.
|
( )( )
( )( )
−3 20
u´ ∙ ( u´ x ´v )= 7 ∙ 6 =−60+ 42+ 18=0
−2 −9
0 20
v
´
∙
(
u
´
x
v
´
)
=
b.
3 ∙ 6 =0+18−18=0
2 −9
c. Luas jajargenjang = |u´ x ´v|=√ 202 +62 + (−9 )2= √ 400+36+81=√ 517
d. Luas segitiga ABC =
1
1
|u´ x ´v|= √ 517
2
2