SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 2.17 DERET GEOMETRI)
Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
2. 17.
Menyelesaikan masalah deret geometri.
Deret Geometri
Barisan Bilangan
Deret Bilangan
� , � , � , … , ��
�� = � + � + � + … + ��
Barisan Geometri
Deret Geometri
�� = �
�( � − )
,| | >
−
�( − �)
,| | <
�� =
−
�−
�� =
Deret Geometri
Tak Hingga
�
�∞ = −
Hubungan �� dan ��
�� = �� − ��−
Keterangan:
��
��
�∞
�
= suku ke-�
= jumlah � suku pertama
= jumlah deret geometri tak hingga
= suku pertama
= rasio
� = banyaknya suku
Halaman 130
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Rasio Barisan Geometri
Jika diketahui dua suku pada barisan geometri,
maka rasio dari barisan geometri tersebut bisa ditentukan dengan:
=
Bukti:
−
�
√
�
� = � �− …………..
� = � �− …………..
Dengan membagi pada persamaan (1) dan (2) akan diperoleh:
�
�
=
�
�
�−
�−
�
=
�
�
=
⇔
�
�
⇔
=
�
⇒
⇔
=
�−
−
− �−
−
−
−
√
�
�
Jika jarak antar dua suku barisan geometri itu sama, maka rasio antar dua suku barisan tersebut juga sama.
Jika jarak indeks antar dua suku barisan sama,
��
��
��
Maka rasio antar dua suku suku barisan juga sama.
Bukti:
Dari rumus suku ke-n �� = �
� =�
� =�
� =�
�
Rasio � dan � adalah � =
Rasio � dan �
�
adalah �
=
�
�
�
�
�−
diperoleh:
=
=
Terbukti bahwa jika selisih indeks antar dua suku sama,
maka rasio antar dua suku tersebut juga sama.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 131
Logika Praktis pada Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan rasio jika diketahui dua suku dari barisan geometri:
Jika diketahui � =
Langkah logika praktis:
=
−
�
√ =√
�
dan � =
=√
, rasio barisan geometri tersebut adalah ….
=
Rasio adalah hasil pembagian suku besar dengan suku kecil,
lalu hasilnya diakar pangkat selisih indeks suku besar dikurangi indeks suku kecil.
Atau
Pembagian suku diakar pangkat selisih indeks suku.
SELESAI.
Menentukan suku ke-� jika diketahui dua suku dari barisan geometri:
Jika diketahui � =
dan � =
, tentukan suku ke-9 dari barisan tersebut!
Langkah logika praktis:
Suku ke 9 adalah suku ke-7 dikalikan rasio pangkat 2.
=
−
�
√ =√
�
=√
=
Jadi, � = � ×
=
×
=
×
=
SELESAI.
Menentukan suku ke-� jika diketahui dua suku dari barisan geometri dan selisih
indeksnya sama:
Jika diketahui � =
dan � =
, tentukan suku ke-6 dari barisan tersebut!
Langkah logika praktis:
Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-2, suku ke-4 dan suku ke-6.
Bukankah indeks suku barisan tersebut selisihnya sama? − = − , yaitu sama-sama berselisih 2.
Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut sama maka rasio suku tersebut juga sama!
Suku ke 4 adalah suku ke-2 ditambah rasio suku ke-4 dan suku ke-2.
�
Jadi, � = � × �
=
Atau
=
×
6 ke 24 itu dikali 4, maka 24 dikali 4 lagi sama dengan 96.
SELESAI.
Halaman 132
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan suku ke-� jika diketahui dua suku dari barisan geometri dan selisih
indeksnya berkelipatan.
Jika diketahui � =
dan � =
, tentukan suku ke-11 dari barisan tersebut!
Langkah logika praktis:
Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-2, suku ke-5 dan suku ke-11.
Bukankah indeks suku barisan tersebut berkelipatan?
Selisih dari
− adalah 6, sementara itu selisih − adalah 3.
Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut 2 kali lebih besar maka rasio suku tersebut adalah pangkat
2 lebih besar!
Suku ke 14 adalah suku ke-5 dikali pangkat tiga dari rasio suku ke-5 dan suku ke-2.
Jadi, �
SELESAI.
=� ×
=
=
=
=
×
�
�
×
×
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 133
TRIK SUPERKILAT deret geometri tak hingga
Apabila yang ditanyakan adalah lintasan bola yang jatuh dengan rasio pemantulan maka lintasan yang
ditempuh bola sampai berhenti adalah sebagai berikut:
�∞ = � (
Bukti:
+
)
−
Perhatikan gambar lintasan bola berikut:
dst …
Mari kita ringkas rumus deret geometri tak hingga berikut:
Untuk lintasan bola ke bawah dimulai dengan �, sedang untuk lintasan ke atas dimulai oleh � , sehingga
diperoleh rumus panjang seluruh lintasan bola:
�
� +
�
+
=
�∞ =
−
−
−
Misal = , maka diperoleh:
�∞ =
�
Jadi, �∞ = �
+
−
+
−
=
�
+
−
= �(
+
)(
−
) = �(
+
)
−
Logika Praktis pada Tipe Soal yang Sering Muncul
Aplikasi jumlah deret geometri tak hingga.
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian dari ketinggian
sebelumnya. Maka panjang lintasan yang dilalui bola sampai berhenti adalah ….
Langkah logika praktis:
Misal =
= , maka
=
Ketinggian awal bola, � =
+
Jadi, �∞ = �
−
+
=
−
=
∙
=
m
dan
m.
= ;
SELESAI.
Halaman 134
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Barisan geometri dengan suku ke-5 adalah
adalah ....
A. 27
B. 9
1
C.
27
1
D.
81
1
E.
243
2.
3.
� =
=
� =?
� =�
1
1
dan rasio , maka suku ke-9 barisan geometri tersebut
3
3
=�
= �
= ( )( ) =
=
Barisan geometri dengan U 7 384 dan rasio = 2. Suku ke-10 barisan tersebut adalah ....
A. 1.920 � = � =
B. 3.072
=
�
=
?
C. 4.052
=
∙ = .
=
D. 4.608 � = � = �
E. 6.144
Suku ke-tiga dan suku ke-tujuh suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256. Jumlah tujuh suku pertama
deret tersebut adalah ....
�
−
A. 500 � = = �
� =
�
=
=
�
−
B. 504
−
C. 508 � = ?
=
�
−
D. 512 � =
⇒
=
⇒
=
⇒ =
=
�
�
E. 516
=
� =
⇒�
=
⇒ �=
⇒�=
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 135
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
2. 17.
Menyelesaikan masalah deret geometri.
Deret Geometri
Barisan Bilangan
Deret Bilangan
� , � , � , … , ��
�� = � + � + � + … + ��
Barisan Geometri
Deret Geometri
�� = �
�( � − )
,| | >
−
�( − �)
,| | <
�� =
−
�−
�� =
Deret Geometri
Tak Hingga
�
�∞ = −
Hubungan �� dan ��
�� = �� − ��−
Keterangan:
��
��
�∞
�
= suku ke-�
= jumlah � suku pertama
= jumlah deret geometri tak hingga
= suku pertama
= rasio
� = banyaknya suku
Halaman 130
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Rasio Barisan Geometri
Jika diketahui dua suku pada barisan geometri,
maka rasio dari barisan geometri tersebut bisa ditentukan dengan:
=
Bukti:
−
�
√
�
� = � �− …………..
� = � �− …………..
Dengan membagi pada persamaan (1) dan (2) akan diperoleh:
�
�
=
�
�
�−
�−
�
=
�
�
=
⇔
�
�
⇔
=
�
⇒
⇔
=
�−
−
− �−
−
−
−
√
�
�
Jika jarak antar dua suku barisan geometri itu sama, maka rasio antar dua suku barisan tersebut juga sama.
Jika jarak indeks antar dua suku barisan sama,
��
��
��
Maka rasio antar dua suku suku barisan juga sama.
Bukti:
Dari rumus suku ke-n �� = �
� =�
� =�
� =�
�
Rasio � dan � adalah � =
Rasio � dan �
�
adalah �
=
�
�
�
�
�−
diperoleh:
=
=
Terbukti bahwa jika selisih indeks antar dua suku sama,
maka rasio antar dua suku tersebut juga sama.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 131
Logika Praktis pada Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan rasio jika diketahui dua suku dari barisan geometri:
Jika diketahui � =
Langkah logika praktis:
=
−
�
√ =√
�
dan � =
=√
, rasio barisan geometri tersebut adalah ….
=
Rasio adalah hasil pembagian suku besar dengan suku kecil,
lalu hasilnya diakar pangkat selisih indeks suku besar dikurangi indeks suku kecil.
Atau
Pembagian suku diakar pangkat selisih indeks suku.
SELESAI.
Menentukan suku ke-� jika diketahui dua suku dari barisan geometri:
Jika diketahui � =
dan � =
, tentukan suku ke-9 dari barisan tersebut!
Langkah logika praktis:
Suku ke 9 adalah suku ke-7 dikalikan rasio pangkat 2.
=
−
�
√ =√
�
=√
=
Jadi, � = � ×
=
×
=
×
=
SELESAI.
Menentukan suku ke-� jika diketahui dua suku dari barisan geometri dan selisih
indeksnya sama:
Jika diketahui � =
dan � =
, tentukan suku ke-6 dari barisan tersebut!
Langkah logika praktis:
Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-2, suku ke-4 dan suku ke-6.
Bukankah indeks suku barisan tersebut selisihnya sama? − = − , yaitu sama-sama berselisih 2.
Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut sama maka rasio suku tersebut juga sama!
Suku ke 4 adalah suku ke-2 ditambah rasio suku ke-4 dan suku ke-2.
�
Jadi, � = � × �
=
Atau
=
×
6 ke 24 itu dikali 4, maka 24 dikali 4 lagi sama dengan 96.
SELESAI.
Halaman 132
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan suku ke-� jika diketahui dua suku dari barisan geometri dan selisih
indeksnya berkelipatan.
Jika diketahui � =
dan � =
, tentukan suku ke-11 dari barisan tersebut!
Langkah logika praktis:
Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-2, suku ke-5 dan suku ke-11.
Bukankah indeks suku barisan tersebut berkelipatan?
Selisih dari
− adalah 6, sementara itu selisih − adalah 3.
Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut 2 kali lebih besar maka rasio suku tersebut adalah pangkat
2 lebih besar!
Suku ke 14 adalah suku ke-5 dikali pangkat tiga dari rasio suku ke-5 dan suku ke-2.
Jadi, �
SELESAI.
=� ×
=
=
=
=
×
�
�
×
×
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 133
TRIK SUPERKILAT deret geometri tak hingga
Apabila yang ditanyakan adalah lintasan bola yang jatuh dengan rasio pemantulan maka lintasan yang
ditempuh bola sampai berhenti adalah sebagai berikut:
�∞ = � (
Bukti:
+
)
−
Perhatikan gambar lintasan bola berikut:
dst …
Mari kita ringkas rumus deret geometri tak hingga berikut:
Untuk lintasan bola ke bawah dimulai dengan �, sedang untuk lintasan ke atas dimulai oleh � , sehingga
diperoleh rumus panjang seluruh lintasan bola:
�
� +
�
+
=
�∞ =
−
−
−
Misal = , maka diperoleh:
�∞ =
�
Jadi, �∞ = �
+
−
+
−
=
�
+
−
= �(
+
)(
−
) = �(
+
)
−
Logika Praktis pada Tipe Soal yang Sering Muncul
Aplikasi jumlah deret geometri tak hingga.
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian dari ketinggian
sebelumnya. Maka panjang lintasan yang dilalui bola sampai berhenti adalah ….
Langkah logika praktis:
Misal =
= , maka
=
Ketinggian awal bola, � =
+
Jadi, �∞ = �
−
+
=
−
=
∙
=
m
dan
m.
= ;
SELESAI.
Halaman 134
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Barisan geometri dengan suku ke-5 adalah
adalah ....
A. 27
B. 9
1
C.
27
1
D.
81
1
E.
243
2.
3.
� =
=
� =?
� =�
1
1
dan rasio , maka suku ke-9 barisan geometri tersebut
3
3
=�
= �
= ( )( ) =
=
Barisan geometri dengan U 7 384 dan rasio = 2. Suku ke-10 barisan tersebut adalah ....
A. 1.920 � = � =
B. 3.072
=
�
=
?
C. 4.052
=
∙ = .
=
D. 4.608 � = � = �
E. 6.144
Suku ke-tiga dan suku ke-tujuh suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256. Jumlah tujuh suku pertama
deret tersebut adalah ....
�
−
A. 500 � = = �
� =
�
=
=
�
−
B. 504
−
C. 508 � = ?
=
�
−
D. 512 � =
⇒
=
⇒
=
⇒ =
=
�
�
E. 516
=
� =
⇒�
=
⇒ �=
⇒�=
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 135