LOGIKA MATEMATIKA (1) LOGIKA MATEMATIKA (1) LOGIKA MATEMATIKA (1)

LOGIKA MATEMATIKA
I. PENDAHULUAN

Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan
pelajaran-pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal
tambahan untuk menyampaikan pelajaran di sekolah. Dalam Logika dipelajari
metode-metode dan prinsip-prinsip yang dapat dipakai untuk membedakan cara
berpikir benar (correct) atau tidak benar (incorrect), sehingga dapat membantu
menyatakan ide-ide tepat dan tidak mempunyai arti ganda. Jadi, dalam ilmu logika
hanya mempelajari atau memperhatikan kebenaran dan kesalahan dari penalaran,
dan penarikan kesimpulan dari sebuah pernyataan atau lebih.
II. PERNYATAAN
Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar
saja atau salah saja dan tidak kedua-duanya.
Istilah-istilah lain dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat
tertutup, kalimat deklaratif, statement atau proposisi.
III. PERNYATAAN TUNGGAL DAN MAJEMUK
Suatu kalimat selain dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan,
kalimat juga dibedakan pula atas pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk.
Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak
memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya, sedangkan pernyataan majemuk

dapat merupakan kalimat baru yang diperoleh dengan cara menggabungkan
beberapa pernyataan tunggal.
Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah
kalimat baru yang merupakan pernyataan majemuk, sedangkan tiap pernyataan
bagian dari pernyataan majemuk disebut komponen-komponen pernyataan
majemuk. Komponen-komponen dari pernyataan majemuk itu tidak selamanya
harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja pernyataan majemuk. Namun yang
terpenting adalah bagaimana menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal
menjadi pernyataan majemuk.
Untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan
majemuk dapat dipakai kata gabung atau kata perangkai yang disebut operasioperasi logika matematika.
Contoh:
1. Jakarta adalah ibukota negara RI
2. Merah putih adalah bendera negara RI
3. 2 adalah bilangan prima yang genap
4. Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan itu genap
Soal:
Buatlah contoh pernyataan tunggal dan majemuk, kemudian tentukan nilai
kebenarannya!
IV. OPERASI LOGIKA

1.
2.
3.
4.
5.

Adapun operasi-operasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk adalah
Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai tidaklah benar, simbol “ ~ “
Konjungsi, dengan kata perangkai dan, simbol “  “
Disjungsi, dengan kata perangkai atau, simbol “  “
Implikasi, dengan kata perangkai Jika ……, maka …….., simbol “  “
Biimplikasi, dengan kata perangkai …….jika dan hanya jika ……., simbol “  “

Contoh pernyataan majemuk:
1. Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih
2. Ani dan Ana anak kembar
3. Cuaca hari ini mendung atau cerah
2

4. Jika x = 0 maka x  x
5. Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya
sama

V. TABEL KEBENARAN
1. Operasi Negasi
Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada
sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan “ ~ “
Jika p adalah pernyataan tunggal, maka ~p adalah pernyataan majemuk.
Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari
suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar.
Definisi: Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang
berlawanan
Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
p

~p

B

S

S

B

Contoh:
p : Jakarta ibukota negara Republik Indonesia
~ p : Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia
2. Operasi Konjungsi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua
pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai dan disebut konjungsi. Operasi
konjungsi dilambangkan dengan “  “

Definisi: Sebuah konjungsi bernilai benar jika komponen-komponennya bernilai
benar, dan bernilai salah jika salah satu dari komponennya bernilai salah

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
p

q

pq

B
B
S
S

B
S
B
S

B
S
S
S

3. Operasi Disjungsi

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua
pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai atau disebut disjungsi. Operasi
disjungsi dilambangkan dengan “  “
Definisi: Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu
komponennya bernilai benar, sedangkan disjungsi eksklusif bernilai benar
jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidak kedua-duanya.
Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
Disjungsi Inklusif:

Disjungsi Eksklusif:

p

q

pq

p

B

B
S
S

B
S
B
S

B
B
B
S

B
B
S
S

q

B
S
B
S

p q
S
B
B
S

4. Operasi Implikasi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua
pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai Jika …. maka ….. disebut
implikasi. Operasi implikasi dilambangkan dengan “  “
Definisi: Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar dan
konsekwennya salah, dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar.
Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

p

q

p  q

B
B
S
S

B
S
B
S

B
S
B
B

5. Operasi Bi-implikasi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua
pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai …… jika dan hanya jika ……
disebut biimplikasi. Operasi biimplikasi dilambangkan dengan “  “
Definisi: Sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponen-koponennya
mempunyai nilai kebenaran sama, dan jika komponen-koponennya
mempunyai nilai kebenaran tidak sama maka biimplikasi bernilai salah.
Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

p

q

p  q

B
B
S
S

B
S
B
S

B
S
S
B

VI. BENTUK-BENTUK PERNYATAAN
Bentuk-bentuk pernyataan dalam logika dibedakan dalam:
1. Kontradiksi
2. Tautologi
3. Kontingensi
Kontradiksi adalah suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh
substitusi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala
hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.
Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa
memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.
Kontingensi adalah sebuah pernyataan majemuk yang bukan suatu tautologi
maupun kontradiksi.
Contoh:
Selidiki pernyataan di bawah ini apakah suatu tautologi, kontradiksi atau kontingensi!
( ~p  q ) v ( q  p )
p

q

~p

~pq

B
B
S
S

B
S
B
S

S
S
B
B

S
S
B
S

q  p ( ~p  q ) v ( q  p )
B
B
S
B

B
B
B
B

Karena pada tabel kebenaran di atas benar semua, maka pernyataan di atas suatu
tautologi
Soal:
Selidiki apakah pernyataan-pernyataan di bawah ini suatu tautologi, kontradiksi atau
kontingensi!
1. ( p  q )  p
2. ( p  q )  [ ( ~ q  r )  ( r  p ) ]
3. ( p v q )  ( ~ p  q )
VII. IMPLIKASI LOGIS DAN EKWIVALEN LOGIS
Suatu bentuk pernyataan implikasi yang merupakan tautologi disebut
implikasi logis.
Contoh:
p

q

pq

(pq)p

[(pq)p]p

B
B
S
S

B
S
B
S

B
S
B
B

B
S
S
S

B
B
B
B

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama
disebut ekwivalen logis dengan notasi “  “ atau “  “
Contoh:
p

q

p q

pq

B
B
S
S

B
S
B
S

B
S
S
B

B
S
B
B

qp (pq)(qp)
B
B
S
B

B
S
S
B

Karena p  q mempunyai nilai kebenaran sama dengan ( p  q )  ( q  p ),
maka kedua pernyataan majemuk di atas disebut ekwivalen logis.
Jadi, p  q  ( p  q )  ( q  p )
Soal:
Selidiki apakah pernyataan di bawah ini apakah implikasi logis atau ekwivalen logis!
1. [( p  q ) v r ]  [( p  ~ q ) v r]
2. [ ~ ( p  q )]  ( p  q )
VIII. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI
 Jika suatu bentuk implikasi p  q diubah menjadi q  p disebut konvers
 Jika suatu bentuk implikasi p  q diubah menjadi ~ p  ~ q disebut invers

 Jika suatu bentuk implikasi p  q diubah menjadi ~ q  ~ p disebut
kontraposisi
Skema konvers, invers dan kontraposisi dapat dilihat sbb:
konvers
pq
invers

qp
kontraposisi

~p  ~q

invers
~q  ~p

konvers
Contoh:
Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:
“ Jika binatang itu bertubuh besar maka binatang itu disebut gajah “
Konvers
: Jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh besar
Invers
: Jika binatanag itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan gajah
Kontraposisi: Jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar
Soal:
Buatlah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:
1. Jika dua buah garis saling tegak lurus maka kedua garis itu membentuk sudut
siku-siku
2

2. Jika x = 3 maka x = 9
IX. PENGERTIAN KUANTOR
Suatu Kuantor adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu
kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat
tertutup atau pernyataan.
Kuantor dibedakan atas:
1. Kuantor Universal/ Umum ( Universal Quantifier ), notasinya : “  ”
2. Kuantor Khusus ( Kuantor ( Eksistensial Quantifier ), notasinya : “  “
Contoh:
Jika p(x) kalimat terbuka: x + 3 > 5
Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka:  x, x + 3 > 5 ( S )
atau  x, x + 3 > 5 ( B )
Jika x  bilangan bulat, maka tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan
di bawah ini!
1. (  x) (  y ) ( x + 2y = 7 )
2. (  x) (  y) (x + 2y = x)
3. (  x) (  y) ( x > y )
4. (  x) (  y) ( x.y = 1 )

X. PERNYATAAN BERKUANTOR
Contoh pernyataan berkuantor:
1. Semua manusia fana
2. Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa
3. Ada bunga mawar yang berwarna merah
4. Tidak ada manusia yang tingginya 3 meter
Untuk memberikan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi
proposisinya terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan “Semua manusia fana”
maka kita buat fungsi proposisi untuk manusia M(x) dan fana F(x), sehingga notasi
dari semua manusia fana adalah  x, M(x)  F(x)
Buatlah notasi untuk pernyataan berkuantor di bawah ini!
1. Semua pedagang asongan adalah pejalan kaki ( A(x), K(x) )
2. Ada mahasiswa yang tidak mengerjakan tugas ( M(x), T(x) )
3. Beberapa murid ikut lomba Porseni ( M(x), L(x) )
4. Semua guru diharuskan berpakaian seragam ( G(x), S(x) )
XI. NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR
Negasi pernyataan berkuantor adalah lawan/ kebalikan dari pernyataan
berkuantor tersebut.
Contoh:
Negasi dari pernyataan: “ Semua mahasiswa tidak mengerjakan tugas “ adalah
“ Ada mahasiswa yang mengerjakan tugas “
Jika diberikan notasi, maka pernyataan di atas menjadi:
 x, M(x)  T ( x ) , negasinya  x, M(x)  T(x)
Soal:
Buatlah negasi dari pernyataan-pernyataan berkuantor pada soal sebelumnya!

XII. ARGUMEN
Argumen adalah kumpulan pernyataan, baik tunggal maupun majemuk
dimana pernyataan-pernyataan sebelumnya disebut premis-premis dan pernyataan
terakhir disebut konklusi/ kesimpulan dari argumen.
Contoh:
1. p  q
2. p /  q
1. ( p  q )  ( r  s )
2. ~ q v ~ s / ~ p v ~ r
1. p
2. q / p  q
XIII. BUKTI KEABSAHAN ARGUMEN
Bukti keabsahan argumen dapat melalui:
1. Tabel Kebenaran

2. Aturan Penyimpulan
Untuk argumen sederhana atau argumen yang premis-premisnya hanya sedikit
bukti keabsahan argumen dapat menggunakan tabel kebenaran, namun untuk
argumen yang premis-premisnya kompleks harus menggunakan aturan-aturan yang
ada pada logika diantaranya aturan penyimpulan.
Contoh:
Buktikan keabsahan argumen
1. 1. p  q
2. ~ q / ~p
2. 1. a  b
2. c  d
3. ( ~b v ~d )  ( ~a v ~b )/ ~a v ~c

Bukti:
Soal no. 1 menggunakan tabel kebenaran
p

q ~p ~q p  q [( p  q)  ~q] [(p  q)  ~q]  ~p

B
B
S
S

B
S
B
S

S
S
B
B

S
B
S
B

B
S
B
B

S
S
S
B

B
B
B
B

Karena dari tabel kebenaran di atas menunjukkan tautologi, maka argumen sah
Soal no. 2 menggunakan aturan penyimpulan
1. a  b
2. c  d
3. ( ~b v ~d )  ( ~a v ~b )/ ~a v ~c
4. ( a  b )  ( c  d ) 1,2 Conj
5. ( ~b v ~d )
3, Simpl
6. ~ a v ~c
4,5 DD
Soal:
Buktikan keabsahan argumen:
1. e  ( f  ~g)
2. ( f v g )  h
3. e / h
XIV. ATURAN PENYIMPULAN
1. Modus Ponens (MP)
pq

p /q
2. Modus Tolens (MT)
pq
~q / ~p
3. Hypothetical Syllogisme (HS)
pq
q  r / p  r
4. Disjunctive Syllogisme (DS)
pvq
~p/q
5. Constructive Dillema (CD)
(pq)(rs)
p v r / q v s
6. Destructive Dillema (DD)
(pq)(rs)
~ q v ~ s / ~p v ~r
7. Conjunction (Conj)
p
q / p  q
8. Simplification (Simpl)
pq
p
9. Addition ( Add)
p
p v q
XV. ATURAN PENGGANTIAN
1. De Morgan
a. ~ ( p  q )  ~ p V ~ q
b. ~ ( p V q )  ~ p  ~ q
2. Komutatif
a. ( p  q )  ( q  p )
b. ( p V q )  ( q V p )
3. Asosiatif
a. ( p V q ) V r  p V ( q V r )
b. ( p  q )  r  p  ( q  r )
4. Distributif
a. ( p V q )  r  ( p  r ) V ( q  r )
b. ( p  q ) V r  ( p V r )  ( q V r )
5. Dobel Negasi

~(~p)p
6. Implikasi
pq~pVq
7. Material Equivalen
a. p  q  ( p  q )  ( q  p )
b. p  q  ( p  q ) V ( ~ p  ~ q )
8. Eksportasi
p(qr)(pq)r
9. Transposisi
pq~q~p
10. Tautologi
a. ( p v p )  p
b. ( p  p )  p
Contoh:
Selidiki keabsahan argumen di bawah ini!
1. a  ( b c )
2. c  ( d  e ) / a  ( b  d )
3. ( a  b )  c
1, Eksportasi
4. ( a  b )  ( d  e )
3,4, Hypothetical Syllogisme
5. ~ ( a  b ) V ( d  e )
4, Implikasi
6. ( ~ a V ~ b ) V ( d  e )
5, De Morgan
7. [(~ a V ~ b ) V d ]  [(~ a V ~ b ) V e ] 6, Distribusi
8. (~ a V ~ b ) V d
7, Simplifikasi
9. ~ a V ( ~ b V d )
8, Asosiasi
10. a  ( b  d )
9, Implikasi
Soal:
Buktikan keabsahan argumen di bawah ini!
1. ( k V l )  ~ ( m  n )
2. ( ~ m V ~ n )  ( o  p )
3. ( o  p )  ( q  r ) / ( l V k )  ( r  q )
XVI. HUBUNGAN ANTARA LOGIKA DAN HIMPUNAN
1. Semua bilangan bulat adalah bilangan real ( B(x); R(x) )
x, B(x)  R(x)
B(x)
R(x)
2. Ada bilangan prima yang genap ( P(x); G(x) )
 x, P(x)  G(x)

2
P(x)

G(x)

3. Tidak ada bilangan ganjil yang genap ( J(x); G(x) )
Ekuivalen dengan: Semua bilangan ganjil bukan bilangan genap
x, J(x)  ~ G(x)

J(x)

~ G(x)

Latihan
1. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini tautologi, kontradiksi atau kontingensi
a. ( p v q )  ( ~ p  r )
b. [( p  q )  ( q  p )]  ( p  q )
c. ( p  q )  ( p  ~q )
2. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini implikasi logis, ekwivalen logis atau tidak
kedua-duanya
a. [( p  q )  r]  [( p  ~q ) v r]
b. [( p  q )  r]  ( p v q )
c. [p  ( q  r )]  [( p  q )  r]
3. Buktikan keabsahan argumen di bawah ini!
1. j  k
2. j v ( k v ~l )
3. ~ k /  ~l v ~k
4. Ubahlah kalimat di bawah ini ke dalam notasi logika!
a. Tidak semua bunga mawar berwarna merah (B(x), M(x))
b. Semua mahasiswa baru harus mendaftar ulang (M(x), U(x))
c. Ada bilangan prima yang genap (P(x), G(x))
d. Beberapa tamu yang datang pejabat negara (T(x), P(x))
e. Tidak semua penumpang memiliki karcis (P(x), K(x))