SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 2.3 DISKRIMINAN PERSAMAAN KUADRAT ATAU FUNGSI KUADRAT)
Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
2. 3.
Menyelesaikan masalah persamaan atau fungsi kuadrat dengan menggunakan diskriminan.
Persamaan Kuadrat (PK)
�
+
+
=�
Diskriminan
Persamaan Kuadrat
+
�
−�
Fungsi Kuadrat
+ =
�
akar real
�>
berbeda
�=
=
�<
akar imajiner
�>
memotong
�=
kembar
+
+
�=
menyinggung
�<
terpisah
> , �<
definit positif
< , �<
definit negatif
�=
rasional
TRIK SUPERKILAT.
Perhatikan tiga soal di bawah ini, sebenarnya tidak berbeda. Alias maksud ketiga soal itu sama persis!
+
Persamaan kuadrat
+
−
+
=
akan memiliki dua akar real berbeda untuk nilai
Fungsi kuadrat =
+ +
− + memotong sumbu X di dua titik.
Batas-batas nilai yan��m�m�nuhi�adalah�….
�
�
�
Grafik =
+ +
− + memotong garis
Batas-batas nilai yan��m�m�nuhi�adalah�….
��
� �
��
� �
��
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
� � ��
�akar�r�al�
��sumbu�X�di�
�titik�
���aris�di�
�titik�
�
� � ���akar�r�al�
� =
�� �� ��sumbu�X�di�
�titik
�� �� ���aris�di�
�titik�
� �
�
�
�
= ….
= � di dua titik.
� � ��akar�r�al
�/ �
�
�� ��
�/ �
�
�� ��
}⇒�>
}⇒�=
��sumbu�X�} ⇒ � <
���aris�
Soal jebakan, bila hanya ada kata Persamaan kuadrat memiliki dua akar real tanpa tambahan kata berbeda
atau kembar, berarti dua akar real tersebut pasti gabungan dari dua akar real berbeda dan kembar.
Jadi �
.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 19
Soal yang sering ditanyakan
PERSAMAAN KUADRAT.
Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda.
Contoh:
Jika persamaan kuadrat
+ +
− +
Batas-batas nilai p yan��m�m�nuhi�adalah�….
Penyelesaian:
Dari persamaan kuadrat
+ +
−
= , = + , dan� = − +
+
=
akan memiliki dua akar berbeda.
= �diperoleh:
Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda, maka diskriminan � harus memenuhi � >
�> ⇒
−
<
⇔
+
−
− + <
⇔
+
+ +
−
<
⇔
−
+ <
⇔
−
− <
⇔
⇔
<
�
� >
Sehingga nilai m yang memenuhi adalah
Persamaan kuadrat memiliki akar kembar.
Contoh:
Jika diketahui sebuah persamaan kuadrat
Maka nilai yan��m�m�nuhi�adalah�….
Penyelesaian:
Dari persamaan kuadrat
= , = − ,
+ −
� =
+
<
< .
+
=
−
+
=
memiliki dua akar kembar.
diperoleh:
Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan � harus memenuhi � =
�= ⇒
−
=
⇔ −
−
=
⇔
−
−
=
⇔
−
+ −
=
⇔
−
− =
⇔
+
− =
⇔
= − �atau� =
Sehingga persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar kembar untuk nilai
Halaman 20
= − atau
= .
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (akarnya imajiner)
Contoh:
Persamaan kuadrat
Penyelesaian:
Dari persamaan kuadrat
= ,
=
+
,
+
+
+
+
+
+
7
+
� =( + )
=
+
7
tidak memiliki akar real untuk nilai
=
= ….
diperoleh:
Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan � harus memenuhi � < .
�< ⇒
−
<
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
+
+
− ( )( + ) <
+ −
−
+
−
+
−
=− �
�
<
<
<
= �
�
Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan:
+
−
−
+
Jadi persamaan kuadrat akan memiliki akar-akar tidak real untuk nilai − <
< .
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 21
FUNGSI KUADRAT
Fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda (memotong).
Contoh:
Grafik =
+ +
− + memotong sumbu X di dua titik.
Batas-batas nilai p yan��m�m�nuhi�adalah�….
Penyelesaian:
Dari fungsi kuadrat =
= , = + ,
+ +
−
� = − +
+ diperoleh:
Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X, maka diskriminan � harus memenuhi � >
�> ⇒
−
<
⇔
+
−
− + <
⇔
+
+ +
−
<
⇔
−
+ <
⇔
−
− <
⇔
<
⇔
�
� >
Sehingga nilai m yang memenuhi adalah
<
< .
Fungsi kuadrat memotong satu titik di sumbu X (menyinggung).
Contoh:
Grafik fungsi kuadrat
=
+ −
Maka nilai yan��m�m�nuhi�adalah�….
Penyelesaian:
Dari fungsi kuadrat
= , = −
,
=
+
� =
−
+ menyinggung sumbu X pada satu titik.
+
diperoleh:
Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan � harus memenuhi � =
�= ⇒
−
=
⇔ −
−
=
⇔
−
−
=
⇔
−
+ −
=
⇔
−
− =
⇔
+
− =
⇔
= − �atau� =
Sehingga fungsi kuadrat tersebut menyinggung sumbu X pada satu titik untuk nilai
Halaman 22
= − atau
= .
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Fungsi kuadrat tidak memotong maupun menyinggung sumbu X. (terpisah)
Contoh:
Fungsi kuadrat
untuk nilai
= ….
Penyelesaian:
Dari fungsi kuadrat
= ,
=
+
=
+
=
,
+
+
+
+
+
+
7
+
� =( + )
tidak akan menyinggung dan tidak memotong sumbu X
7
diperoleh:
Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan � harus memenuhi � < .
�<
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
+
+
− ( )( + ) <
+ −
−
+
−
+
−
=− �
�
<
<
<
= �
�
Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan:
+
−
−
+
Jadi fungsi kuadrat tidak akan menyinggung maupun memotong sumbu X untuk untuk nilai − <
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
< .
Halaman 23
Fungsi kuadrat memotong garis di dua titik (memotong).
Contoh:
Grafik fungsi kuadrat
=
+
Nilai b yan��m�m�nuhi�adalah�….
Penyelesaian:
Substitusikan
⇒
⇔
+
⇔
+ memotong garis
=
+ dan =
+
+
+ =
+
+ −
− =
+ −
=
=
+ .
+
Koefisien-koefisien persamaan kuadrat
= , = − ,
� =
Kurva memotong garis, maka diskriminan � harus memenuhi D >
�= ⇒
−
−
>
⇔
−
− >
⇔
−
>
⇔
− >
⇔
>
Sehingga grafik fungsi kuadrat akan memotong garis untuk nilai b > .
Perhatikan, soal di bawah ini masih menggunakan soal di atas, hanya kalimatnya saja yang diganti! OK?
Fungsi kuadrat memotong garis di satu titik (menyinggung).
Contoh:
Grafik fungsi kuadrat
=
+
Nilai b yan��m�m�nuhi�adalah�….
+ menyinggung garis
=
+ .
Penyelesaian:
Kurva menyinggung garis, maka diskriminan � harus memenuhi � =
�= ⇒
−
−
=
⇔
−
− =
⇔
−
=
⇔
− =
⇔
=
Sehingga grafik fungsi kuadrat akan menyinggung garis untuk nilai
Fungsi kuadrat tidak memotong atau tidak menyinggung garis (terpisah).
Contoh:
Grafik fungsi kuadrat
=
+
Nilai b yan��m�m�nuhi�adalah�….
= .
+ tidak memotong dan tidak menyinggung garis
Penyelesaian:
Kurva terpisah garis, maka diskriminan � harus memenuhi � <
�= ⇒
−
−
<
⇔
−
− <
⇔
−
<
⇔
− <
⇔
<
=
Sehingga grafik fungsi kuadrat tidak akan memotong dan tidak menyinggung garis untuk nilai
Halaman 24
+ .
< .
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
2.
Persamaan kuadrat x 2 (m 2) x 2m 4 0 mempunyai akar-akar real, maka batas nilai m yang
Akar-akar real ⇒ �
memenuhi adalah ....
+
−
+
A. m 2 atau m 10
−
2
10
− �. �.
−
−
B. m 10 atau m 2 ⇒
⇔
−
+
C. m 2 atau m 10
Jadi daerah penyelesaian:
⇔
−
−
�atau�
D. 2 m 10
�
�
∶���������������������������������
E. 10 m 2
− = �atau� −
=
Persamaan kuadrat 2 x 2 2( p 4) x p 0 mempunyai dua akar real berbeda. Batas-batas nilai p yang
Akar-akar real berbeda ⇒ � >
memenuhi adalah ....
+
−
+
A. p 2 atau p 8
−
2
8
⇒
(
− ) − �. �.
B. p 2 atau p 8
−
+
Jadi daerah penyelesaian:
C. p 8 atau p 2 ⇔
⇔
−
−
< �atau� >
D. 2 p 8
�
�
∶���������������������������������
E. 8 p 2
− = �atau� − =
⇒
= � � ������������������
⇒
= � � ������������������ =
=
Jika adik-adik� butuh� ’bocoran’� butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 25
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
2. 3.
Menyelesaikan masalah persamaan atau fungsi kuadrat dengan menggunakan diskriminan.
Persamaan Kuadrat (PK)
�
+
+
=�
Diskriminan
Persamaan Kuadrat
+
�
−�
Fungsi Kuadrat
+ =
�
akar real
�>
berbeda
�=
=
�<
akar imajiner
�>
memotong
�=
kembar
+
+
�=
menyinggung
�<
terpisah
> , �<
definit positif
< , �<
definit negatif
�=
rasional
TRIK SUPERKILAT.
Perhatikan tiga soal di bawah ini, sebenarnya tidak berbeda. Alias maksud ketiga soal itu sama persis!
+
Persamaan kuadrat
+
−
+
=
akan memiliki dua akar real berbeda untuk nilai
Fungsi kuadrat =
+ +
− + memotong sumbu X di dua titik.
Batas-batas nilai yan��m�m�nuhi�adalah�….
�
�
�
Grafik =
+ +
− + memotong garis
Batas-batas nilai yan��m�m�nuhi�adalah�….
��
� �
��
� �
��
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
� � ��
�akar�r�al�
��sumbu�X�di�
�titik�
���aris�di�
�titik�
�
� � ���akar�r�al�
� =
�� �� ��sumbu�X�di�
�titik
�� �� ���aris�di�
�titik�
� �
�
�
�
= ….
= � di dua titik.
� � ��akar�r�al
�/ �
�
�� ��
�/ �
�
�� ��
}⇒�>
}⇒�=
��sumbu�X�} ⇒ � <
���aris�
Soal jebakan, bila hanya ada kata Persamaan kuadrat memiliki dua akar real tanpa tambahan kata berbeda
atau kembar, berarti dua akar real tersebut pasti gabungan dari dua akar real berbeda dan kembar.
Jadi �
.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 19
Soal yang sering ditanyakan
PERSAMAAN KUADRAT.
Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda.
Contoh:
Jika persamaan kuadrat
+ +
− +
Batas-batas nilai p yan��m�m�nuhi�adalah�….
Penyelesaian:
Dari persamaan kuadrat
+ +
−
= , = + , dan� = − +
+
=
akan memiliki dua akar berbeda.
= �diperoleh:
Persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda, maka diskriminan � harus memenuhi � >
�> ⇒
−
<
⇔
+
−
− + <
⇔
+
+ +
−
<
⇔
−
+ <
⇔
−
− <
⇔
⇔
<
�
� >
Sehingga nilai m yang memenuhi adalah
Persamaan kuadrat memiliki akar kembar.
Contoh:
Jika diketahui sebuah persamaan kuadrat
Maka nilai yan��m�m�nuhi�adalah�….
Penyelesaian:
Dari persamaan kuadrat
= , = − ,
+ −
� =
+
<
< .
+
=
−
+
=
memiliki dua akar kembar.
diperoleh:
Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan � harus memenuhi � =
�= ⇒
−
=
⇔ −
−
=
⇔
−
−
=
⇔
−
+ −
=
⇔
−
− =
⇔
+
− =
⇔
= − �atau� =
Sehingga persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar kembar untuk nilai
Halaman 20
= − atau
= .
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (akarnya imajiner)
Contoh:
Persamaan kuadrat
Penyelesaian:
Dari persamaan kuadrat
= ,
=
+
,
+
+
+
+
+
+
7
+
� =( + )
=
+
7
tidak memiliki akar real untuk nilai
=
= ….
diperoleh:
Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan � harus memenuhi � < .
�< ⇒
−
<
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
+
+
− ( )( + ) <
+ −
−
+
−
+
−
=− �
�
<
<
<
= �
�
Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan:
+
−
−
+
Jadi persamaan kuadrat akan memiliki akar-akar tidak real untuk nilai − <
< .
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 21
FUNGSI KUADRAT
Fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda (memotong).
Contoh:
Grafik =
+ +
− + memotong sumbu X di dua titik.
Batas-batas nilai p yan��m�m�nuhi�adalah�….
Penyelesaian:
Dari fungsi kuadrat =
= , = + ,
+ +
−
� = − +
+ diperoleh:
Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X, maka diskriminan � harus memenuhi � >
�> ⇒
−
<
⇔
+
−
− + <
⇔
+
+ +
−
<
⇔
−
+ <
⇔
−
− <
⇔
<
⇔
�
� >
Sehingga nilai m yang memenuhi adalah
<
< .
Fungsi kuadrat memotong satu titik di sumbu X (menyinggung).
Contoh:
Grafik fungsi kuadrat
=
+ −
Maka nilai yan��m�m�nuhi�adalah�….
Penyelesaian:
Dari fungsi kuadrat
= , = −
,
=
+
� =
−
+ menyinggung sumbu X pada satu titik.
+
diperoleh:
Persamaan kuadrat memiliki dua akar kembar, maka diskriminan � harus memenuhi � =
�= ⇒
−
=
⇔ −
−
=
⇔
−
−
=
⇔
−
+ −
=
⇔
−
− =
⇔
+
− =
⇔
= − �atau� =
Sehingga fungsi kuadrat tersebut menyinggung sumbu X pada satu titik untuk nilai
Halaman 22
= − atau
= .
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Fungsi kuadrat tidak memotong maupun menyinggung sumbu X. (terpisah)
Contoh:
Fungsi kuadrat
untuk nilai
= ….
Penyelesaian:
Dari fungsi kuadrat
= ,
=
+
=
+
=
,
+
+
+
+
+
+
7
+
� =( + )
tidak akan menyinggung dan tidak memotong sumbu X
7
diperoleh:
Persamaan kuadrat memiliki akar imajiner maka diskriminan � harus memenuhi � < .
�<
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
+
+
− ( )( + ) <
+ −
−
+
−
+
−
=− �
�
<
<
<
= �
�
Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan:
+
−
−
+
Jadi fungsi kuadrat tidak akan menyinggung maupun memotong sumbu X untuk untuk nilai − <
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
< .
Halaman 23
Fungsi kuadrat memotong garis di dua titik (memotong).
Contoh:
Grafik fungsi kuadrat
=
+
Nilai b yan��m�m�nuhi�adalah�….
Penyelesaian:
Substitusikan
⇒
⇔
+
⇔
+ memotong garis
=
+ dan =
+
+
+ =
+
+ −
− =
+ −
=
=
+ .
+
Koefisien-koefisien persamaan kuadrat
= , = − ,
� =
Kurva memotong garis, maka diskriminan � harus memenuhi D >
�= ⇒
−
−
>
⇔
−
− >
⇔
−
>
⇔
− >
⇔
>
Sehingga grafik fungsi kuadrat akan memotong garis untuk nilai b > .
Perhatikan, soal di bawah ini masih menggunakan soal di atas, hanya kalimatnya saja yang diganti! OK?
Fungsi kuadrat memotong garis di satu titik (menyinggung).
Contoh:
Grafik fungsi kuadrat
=
+
Nilai b yan��m�m�nuhi�adalah�….
+ menyinggung garis
=
+ .
Penyelesaian:
Kurva menyinggung garis, maka diskriminan � harus memenuhi � =
�= ⇒
−
−
=
⇔
−
− =
⇔
−
=
⇔
− =
⇔
=
Sehingga grafik fungsi kuadrat akan menyinggung garis untuk nilai
Fungsi kuadrat tidak memotong atau tidak menyinggung garis (terpisah).
Contoh:
Grafik fungsi kuadrat
=
+
Nilai b yan��m�m�nuhi�adalah�….
= .
+ tidak memotong dan tidak menyinggung garis
Penyelesaian:
Kurva terpisah garis, maka diskriminan � harus memenuhi � <
�= ⇒
−
−
<
⇔
−
− <
⇔
−
<
⇔
− <
⇔
<
=
Sehingga grafik fungsi kuadrat tidak akan memotong dan tidak menyinggung garis untuk nilai
Halaman 24
+ .
< .
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
2.
Persamaan kuadrat x 2 (m 2) x 2m 4 0 mempunyai akar-akar real, maka batas nilai m yang
Akar-akar real ⇒ �
memenuhi adalah ....
+
−
+
A. m 2 atau m 10
−
2
10
− �. �.
−
−
B. m 10 atau m 2 ⇒
⇔
−
+
C. m 2 atau m 10
Jadi daerah penyelesaian:
⇔
−
−
�atau�
D. 2 m 10
�
�
∶���������������������������������
E. 10 m 2
− = �atau� −
=
Persamaan kuadrat 2 x 2 2( p 4) x p 0 mempunyai dua akar real berbeda. Batas-batas nilai p yang
Akar-akar real berbeda ⇒ � >
memenuhi adalah ....
+
−
+
A. p 2 atau p 8
−
2
8
⇒
(
− ) − �. �.
B. p 2 atau p 8
−
+
Jadi daerah penyelesaian:
C. p 8 atau p 2 ⇔
⇔
−
−
< �atau� >
D. 2 p 8
�
�
∶���������������������������������
E. 8 p 2
− = �atau� − =
⇒
= � � ������������������
⇒
= � � ������������������ =
=
Jika adik-adik� butuh� ’bocoran’� butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 25