SOAL DAN PEMBAHASAN OLIMPIADE MATEMATIKA (3)
SOAL DAN PEMBAHASAN OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT SMA
1. Carilah semua bilangan bulat positif yang kurang dari 1000 sedemikian hingga jumlah digit
pertama dan digit terakhirnya 10
Jawab :
Karena jumlah angka pertama dan angka terakhirnya adalah 10, maka pasangan angka pertama
dan angka terakhir yang mungkin adalah (1,9), (2,8), (3,7), (4,6), dan (5,5)
Untuk (1,9)
a.
Tanpa angka tengah 2 angka yaitu 19 dan 91
b.
Satu angka ditengah 20 angka, yaitu 109 … 199 (10 angka) dan kebalikanya (10 angka)
c.
Dua angka tengah : banyaknya sesuai jumlah kombinasi 2 angka dari angka 0 sampai 9
yaitu 10! : 2! = 10 x 9 = 90 dikurangi dengan 10 pasang angka yang sama yaitu 00, 11, … 99.
Sehingga jumlahnya adalah 80.
Total jumlah semua bilangan untuk kombinasi dua angka ditengah adalah 160 ( dikali 2, karena
satu bentuk berawal 1 dan berakhir 9 dan bentuk lainya merupakan kebalikannya)
Sehingga keseluruhannya adalah 182 angka.
Dengan cara yang sama kita dapatkan pula banyak kombinasi angka untuk pasangan (2,8), (3,7),
(4,6), dan (5,5)
Dan akhirnya kita akan dapatkan total keseluruhan banyak bilangan adalah :
182 + 182 + 182 + 182 + 91 = 819 (ingat : pasangan (5,5) hanya dihitung sekali saja)
2. Hitunglah hasil dari 12 – 22 + 32 – 42 + 52 – 62 + …. + 20092 – 20102 + 20112
Jawab :
12 – 22 dapat diubah menjadi (1 – 2) (1 + 2) = – 1 – 2, 3 2 – 42 dapat diubah menjadi (3 – 4)(3 + 4)
= – 3 – 4, dan seterusnya.
Sehingga bentuk tersebut dapat diubah menjadi :
-1. -2, -3, -4, -5, -7, … , -2009, -2010, 20112 , atau :
- (1 + 2 + 3 + 4 + … + 2009 + 2010) + 20112
- ½ x 2010 x 2011 + 20112
2011 (-1005 + 2011)
2011 x 1006 = 2023066
3. Manakah yang merupakan bilangan prima ?
1111 – 11,
77 – 7,
55 – 5,
33 – 3,
Jawab :
1111 – 11 = 11 (1110 – 1)
⟾ bukan prima (bisa dibagi 11)
77 – 7 = 7 (76 – 1)
⟾ bukan prima (bisa dibagi 7)
5
4
5 – 5 = 5 (5 – 1)
⟾ bukan prima (bisa dibagi 5)
33 – 3 = 3 (32 – 1)
⟾ bukan prima (bisa dibagi 3)
2
2 – 2 = 2 (2 – 1) = 2
⟾ prima
22 – 2
4. Carilah seluruh pasangan bilangan yang mempunyai FPB 4 dan KPK 120
Jawab :
FPB 4 berarti bersama yang tekecil dari kedua bilangan adalah 22
KPK 120 berarti faktor-faktor terbesar dari kedua bilangan adalah 23 . 3 . 5,
Maka pasangan bilangannya adalah
22 dengan 23 . 3 . 5
⟾
4 dengan 120
22 . 3 dengan 23 . 5
⟾
12 dengan 40
2
3
2 . 5 dengan 2 . 3
⟾
20 dengan 24
22 . 3. 5 dengan 23 ⟾
60 dengan 8
5. Berapa digit satuan dari 17103 + 5?
Jawab :
Karena yang diminta hanya angka satuanya saja, maka kita cukup hanya memperhatikan angka
terakhir dari 7103
Jika kita urutkan mulai dari 71, 72, 73, 74, dan seterusnya, maka kita akan dapatkan pola angka
satuanya sebagai berikut :
7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, … dengan pola yang berulang 7, 9, 3, 1
Dan jika kita tambahkan dengan 5, maka kita dapatkan pola angka satuan sebagai berikut :
2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, … dengan pola pengulangan angka 2, 4, 8, 6
1. Carilah semua bilangan bulat positif yang kurang dari 1000 sedemikian hingga jumlah digit
pertama dan digit terakhirnya 10
Jawab :
Karena jumlah angka pertama dan angka terakhirnya adalah 10, maka pasangan angka pertama
dan angka terakhir yang mungkin adalah (1,9), (2,8), (3,7), (4,6), dan (5,5)
Untuk (1,9)
a.
Tanpa angka tengah 2 angka yaitu 19 dan 91
b.
Satu angka ditengah 20 angka, yaitu 109 … 199 (10 angka) dan kebalikanya (10 angka)
c.
Dua angka tengah : banyaknya sesuai jumlah kombinasi 2 angka dari angka 0 sampai 9
yaitu 10! : 2! = 10 x 9 = 90 dikurangi dengan 10 pasang angka yang sama yaitu 00, 11, … 99.
Sehingga jumlahnya adalah 80.
Total jumlah semua bilangan untuk kombinasi dua angka ditengah adalah 160 ( dikali 2, karena
satu bentuk berawal 1 dan berakhir 9 dan bentuk lainya merupakan kebalikannya)
Sehingga keseluruhannya adalah 182 angka.
Dengan cara yang sama kita dapatkan pula banyak kombinasi angka untuk pasangan (2,8), (3,7),
(4,6), dan (5,5)
Dan akhirnya kita akan dapatkan total keseluruhan banyak bilangan adalah :
182 + 182 + 182 + 182 + 91 = 819 (ingat : pasangan (5,5) hanya dihitung sekali saja)
2. Hitunglah hasil dari 12 – 22 + 32 – 42 + 52 – 62 + …. + 20092 – 20102 + 20112
Jawab :
12 – 22 dapat diubah menjadi (1 – 2) (1 + 2) = – 1 – 2, 3 2 – 42 dapat diubah menjadi (3 – 4)(3 + 4)
= – 3 – 4, dan seterusnya.
Sehingga bentuk tersebut dapat diubah menjadi :
-1. -2, -3, -4, -5, -7, … , -2009, -2010, 20112 , atau :
- (1 + 2 + 3 + 4 + … + 2009 + 2010) + 20112
- ½ x 2010 x 2011 + 20112
2011 (-1005 + 2011)
2011 x 1006 = 2023066
3. Manakah yang merupakan bilangan prima ?
1111 – 11,
77 – 7,
55 – 5,
33 – 3,
Jawab :
1111 – 11 = 11 (1110 – 1)
⟾ bukan prima (bisa dibagi 11)
77 – 7 = 7 (76 – 1)
⟾ bukan prima (bisa dibagi 7)
5
4
5 – 5 = 5 (5 – 1)
⟾ bukan prima (bisa dibagi 5)
33 – 3 = 3 (32 – 1)
⟾ bukan prima (bisa dibagi 3)
2
2 – 2 = 2 (2 – 1) = 2
⟾ prima
22 – 2
4. Carilah seluruh pasangan bilangan yang mempunyai FPB 4 dan KPK 120
Jawab :
FPB 4 berarti bersama yang tekecil dari kedua bilangan adalah 22
KPK 120 berarti faktor-faktor terbesar dari kedua bilangan adalah 23 . 3 . 5,
Maka pasangan bilangannya adalah
22 dengan 23 . 3 . 5
⟾
4 dengan 120
22 . 3 dengan 23 . 5
⟾
12 dengan 40
2
3
2 . 5 dengan 2 . 3
⟾
20 dengan 24
22 . 3. 5 dengan 23 ⟾
60 dengan 8
5. Berapa digit satuan dari 17103 + 5?
Jawab :
Karena yang diminta hanya angka satuanya saja, maka kita cukup hanya memperhatikan angka
terakhir dari 7103
Jika kita urutkan mulai dari 71, 72, 73, 74, dan seterusnya, maka kita akan dapatkan pola angka
satuanya sebagai berikut :
7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, … dengan pola yang berulang 7, 9, 3, 1
Dan jika kita tambahkan dengan 5, maka kita dapatkan pola angka satuan sebagai berikut :
2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, … dengan pola pengulangan angka 2, 4, 8, 6