MATEMATIKA KLS 12 CONTOH SOAL DAN PEMBAH
SOAL INDUKSI MATEMATIKA
NAMA
KELAS
AYU NOVITA ARUM SARI (19)
CATUR PAMUNGKAS
DEA AMANDA AMELIA R. (24)
DEVI AYU NAWANG WULAN
DWITHA FAJRI RAMADHANI
1. 2 + 5 + 8 + …
XII MM 1
(21) XII MM 1
XII MM 1
(27) XII MM 1
(32) XII MM 1
+ ( 3 n−1 )=
3 n 2+ n
2
P(n) = 2 + 5 + 8 + …
3 n 2+ n
(
)
+ 3 n−1 =
2
P(1) = 2 + 5 + 8 + …
+ ( 3(1)−1 ) =
3−1=
untuk setiap bilangan asli n.
(Benar)
3 (1)2 +1
2
3+ 1
2
2=
4
2
2=2
(Benar)
2
P(k) = 2 + 5 + 8 + …
+ ( 3 k−1 )=
P(k+1) = 2 + 5 + 8 + …
3 k +k
2
(Benar)
+ ( 3 k−1 )+ ( 3(k +1)−1 ) =
3 (k +1)2+(k +1)
2
=
3 k 2+ k
+ ( 3(k +1)−1 )
2
k
(¿¿ 2+2 k +1)+ k +1
3
2
¿¿
=
3 k 2+ k
+ 3 k +3−1
2
¿
=
3 k 2+ k 2(3 k + 2)
+
2
2
3 k 2+7 k +4
¿
2
=
3 k + k +6 k + 4
2
¿
3 k +7 k +4
2
=
3 k 2+7 k +4
2
¿
3 k 2+7 k +4
2
2
Jadi P(k+1) (Benar)
Kesimpulan P(n) (Benar)
3 k 2+ 6 k +3+k +1
2
2
2. 3 + 7 + 19 + … + ( 2 .3(n−1 )+1 ) =3n +n−1
untuk setiap bilangan asli n.
P(n) = 3 + 7 + 19 + … + ( 2 .3(n−1 )+1 ) =3n +n−1
(Benar)
P(1) = 3 + 7 + 19 + … + ( 2 .3(1−1) +1 ) =31+ 1−1
( 2 .30 +1 )=3+1−1
( 2 .1+1 )=3+0
3=3
(Benar)
P(k) = 3 + 7 + 19 + … + ( 2 .3(k−1 )+1 ) =3k + k−1
(Benar)
P(k+1) = 3 + 7 + 19 + … + ( 2 .3(k−1 )+1 ) + ( 2.3 ((k +1)−1) +1 ) =3(k+1) +( k +1)−1
=
3k +k −1+ ( 2 .3k .3 0+1 )
=
3 +k −1+2.3 . 1+1
k
k
k
k
k
¿ 3 .3+ k
k
=
3 +2 .3 +k −1+ 1
=
3 .3 +k
1
¿ 3 .3 + k
k
¿ 3 .3+ k
k
k
¿ 3 .3 + k
Jadi P(k+1) (Benar)
Kesimpulan P(n) (Benar)
n(3 n−1)
2
3. 1 + 4 + 7 + 10 + …
+ ( 3 n−2 )=
P(n) = 1 + 4 + 7 + 10 + …
+ ( 3 n−2 )=
P(1) = 1 + 4 + 7 + 10 + …
+ ( 3 ( 1 )−2 ) =
( 3−2 )=
1 ( 3 ( 1 )−1 )
2
2
2
1=1
+ ( 3 k−2 )=
P(k+1) = 1 + 4 + 7 + 10 + …
(Benar)
1( 3−1)
2
1=
P(k) = 1 + 4 + 7 + 10 + …
n(3 n−1)
2
(Benar)
k (3 k −1)
2
+ ( 3 k−2 )+ ( 3(k +1)−2 ) =
(Benar)
k +1(3(k +1)−1)
2
=
k (3 k −1)
2
=
3 k −k
2
=
3 k 2−k +6 k +2
2
=
3 k +5 k +2
2
+ ( 3 k +3−2 )
2
+2(3 k +1)
2
2
¿
k +1(3 k +3−1)
2
¿
k +1(3 k +2)
2
¿
3 k 2+2 k + 3 k +2
2
2
3 k +5 k+ 2
¿
2
Jadi P(k+1) (Benar)
Kesimpulan P(n) (Benar)
n(n+1)(n+2)
3
4. 1.2 + 2.3 + 3.4 + …
+n ( n+1 )=
P(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …
+n ( n+1 )=
n(n+1)(n+2)
3
P(1) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …
+1 (1+1 ) =
1(1+1)(1+2)
3
1 ( 2 )=
P(k+1)
=
1.2
+k ( k +1 ) +(k +1) ( (k +1)+1 )=
(Benar)
1(1+1)(1+2)
3
2=
1(2)(3)
3
2=
6
3
2=2
P(k) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …
untuk bilangan asli n.
+k ( k +1 ) =
+
(Benar)
k (k +1)(k +2)
3
2.3
(Benar)
+
3.4
(k +1)((k+ 1)+1)((k +1)+2)
3
=
k (k +1)(k + 2)
+(k+ 1) ( k +2 )
3
¿
(k +1)(k +2)(k + 3)
3
=
k 2+ k ( k +2) 3 (k 2 +3 k +2)
+
3
3
¿
k 2+ 2 k+ k +2(k +3)
3
+
…
3
2
2
k +3 k +2 k +3 k +9 k +6
3
3
2
2
2
k + 2 k + k +2 k +3 k +6 k +3 k +6
¿
3
=
=
k 3 +6 k 2 +11 k +6
3
Jadi P(k+1) (Benar)
Kesimpulan P(n) (Benar)
¿
k 3+ 6 k 2 +11 k +6
3
NAMA
KELAS
AYU NOVITA ARUM SARI (19)
CATUR PAMUNGKAS
DEA AMANDA AMELIA R. (24)
DEVI AYU NAWANG WULAN
DWITHA FAJRI RAMADHANI
1. 2 + 5 + 8 + …
XII MM 1
(21) XII MM 1
XII MM 1
(27) XII MM 1
(32) XII MM 1
+ ( 3 n−1 )=
3 n 2+ n
2
P(n) = 2 + 5 + 8 + …
3 n 2+ n
(
)
+ 3 n−1 =
2
P(1) = 2 + 5 + 8 + …
+ ( 3(1)−1 ) =
3−1=
untuk setiap bilangan asli n.
(Benar)
3 (1)2 +1
2
3+ 1
2
2=
4
2
2=2
(Benar)
2
P(k) = 2 + 5 + 8 + …
+ ( 3 k−1 )=
P(k+1) = 2 + 5 + 8 + …
3 k +k
2
(Benar)
+ ( 3 k−1 )+ ( 3(k +1)−1 ) =
3 (k +1)2+(k +1)
2
=
3 k 2+ k
+ ( 3(k +1)−1 )
2
k
(¿¿ 2+2 k +1)+ k +1
3
2
¿¿
=
3 k 2+ k
+ 3 k +3−1
2
¿
=
3 k 2+ k 2(3 k + 2)
+
2
2
3 k 2+7 k +4
¿
2
=
3 k + k +6 k + 4
2
¿
3 k +7 k +4
2
=
3 k 2+7 k +4
2
¿
3 k 2+7 k +4
2
2
Jadi P(k+1) (Benar)
Kesimpulan P(n) (Benar)
3 k 2+ 6 k +3+k +1
2
2
2. 3 + 7 + 19 + … + ( 2 .3(n−1 )+1 ) =3n +n−1
untuk setiap bilangan asli n.
P(n) = 3 + 7 + 19 + … + ( 2 .3(n−1 )+1 ) =3n +n−1
(Benar)
P(1) = 3 + 7 + 19 + … + ( 2 .3(1−1) +1 ) =31+ 1−1
( 2 .30 +1 )=3+1−1
( 2 .1+1 )=3+0
3=3
(Benar)
P(k) = 3 + 7 + 19 + … + ( 2 .3(k−1 )+1 ) =3k + k−1
(Benar)
P(k+1) = 3 + 7 + 19 + … + ( 2 .3(k−1 )+1 ) + ( 2.3 ((k +1)−1) +1 ) =3(k+1) +( k +1)−1
=
3k +k −1+ ( 2 .3k .3 0+1 )
=
3 +k −1+2.3 . 1+1
k
k
k
k
k
¿ 3 .3+ k
k
=
3 +2 .3 +k −1+ 1
=
3 .3 +k
1
¿ 3 .3 + k
k
¿ 3 .3+ k
k
k
¿ 3 .3 + k
Jadi P(k+1) (Benar)
Kesimpulan P(n) (Benar)
n(3 n−1)
2
3. 1 + 4 + 7 + 10 + …
+ ( 3 n−2 )=
P(n) = 1 + 4 + 7 + 10 + …
+ ( 3 n−2 )=
P(1) = 1 + 4 + 7 + 10 + …
+ ( 3 ( 1 )−2 ) =
( 3−2 )=
1 ( 3 ( 1 )−1 )
2
2
2
1=1
+ ( 3 k−2 )=
P(k+1) = 1 + 4 + 7 + 10 + …
(Benar)
1( 3−1)
2
1=
P(k) = 1 + 4 + 7 + 10 + …
n(3 n−1)
2
(Benar)
k (3 k −1)
2
+ ( 3 k−2 )+ ( 3(k +1)−2 ) =
(Benar)
k +1(3(k +1)−1)
2
=
k (3 k −1)
2
=
3 k −k
2
=
3 k 2−k +6 k +2
2
=
3 k +5 k +2
2
+ ( 3 k +3−2 )
2
+2(3 k +1)
2
2
¿
k +1(3 k +3−1)
2
¿
k +1(3 k +2)
2
¿
3 k 2+2 k + 3 k +2
2
2
3 k +5 k+ 2
¿
2
Jadi P(k+1) (Benar)
Kesimpulan P(n) (Benar)
n(n+1)(n+2)
3
4. 1.2 + 2.3 + 3.4 + …
+n ( n+1 )=
P(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …
+n ( n+1 )=
n(n+1)(n+2)
3
P(1) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …
+1 (1+1 ) =
1(1+1)(1+2)
3
1 ( 2 )=
P(k+1)
=
1.2
+k ( k +1 ) +(k +1) ( (k +1)+1 )=
(Benar)
1(1+1)(1+2)
3
2=
1(2)(3)
3
2=
6
3
2=2
P(k) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …
untuk bilangan asli n.
+k ( k +1 ) =
+
(Benar)
k (k +1)(k +2)
3
2.3
(Benar)
+
3.4
(k +1)((k+ 1)+1)((k +1)+2)
3
=
k (k +1)(k + 2)
+(k+ 1) ( k +2 )
3
¿
(k +1)(k +2)(k + 3)
3
=
k 2+ k ( k +2) 3 (k 2 +3 k +2)
+
3
3
¿
k 2+ 2 k+ k +2(k +3)
3
+
…
3
2
2
k +3 k +2 k +3 k +9 k +6
3
3
2
2
2
k + 2 k + k +2 k +3 k +6 k +3 k +6
¿
3
=
=
k 3 +6 k 2 +11 k +6
3
Jadi P(k+1) (Benar)
Kesimpulan P(n) (Benar)
¿
k 3+ 6 k 2 +11 k +6
3