07 Integral Fungsi Eksponen dan Logaritma
TEKNIK PENGINTEGRALAN
I. Integral Fungsi Eksponen dan Logaritma
Sebelum membahas Integral fungsi eksponen dan logaritma, akan dikenalkan dulu
bilangan e yang kemudian disebut sebagai bilangan Euler, yakni sebuah bilangan yang
merupakan pendekatan dari bentuk 1
pada tahun 1683 oleh Jacob Bernoulli
1
n
n
untuk n menuju tak hingga yang ditemukan
Pada tahun 1748, Euler memberikan ide mengenai bilangan e, yaitu :
1
1
1
e =
= 1+
+
1 n
2!
1!
Bentuk ini dapat juga diubah menjadi
n
1 n1/n
e =
+
1
1
+
+ ...
4!
3!
................... (1)
............................................................................... (2)
Dari formulasi tersebut Euler memperoleh pendekatan untuk nilai e sampai 18 digit, yaitu
e = 2,718281828459045235
Suatu logaritma dengan basis e dinamakan logaritma natural dan ditulis dengan ln.
Sehinga ln x = e log x
Untuk mendapatkan rumus integral fungsi eksponen, akan diuraikan terlebih dahulu
turunan fungsi ekponen sederhana, yaitu turunan fungsi f(x) = f(x) = e x
Jika f(x) = e
x
maka f’(x) =
f’(x) =
Menurut bentuk (2) didapat
Sehingga
ln [
1 x 1/x ]
exeh ex
h
1 x 1/x
=
(e h 1)
e .
........................ (3)
h
x
= e
= ln e
ln 1 x 1/x = 1
ln(1 x)
x
Teknik Pengintegralan
e x h e x
h
= 1 .................................................................... (4)
1
maka x = e n – 1
Misalkan ln(1 + x) = n maka 1 + x = e n
Jika x 0 maka n 0
(e n 1)
n
n
= 1 atau
n
e 1
Dari (4) diperoleh :
= 1
(e h 1)
= ex . 1 = ex
h
Jadi Jika f(x) = e x maka f ’(x) = e x
Karena integral adalah balikan dari turunan maka diperoleh rumus :
Dari (3) diperoleh f ’(x) =
ex .
=
+ C
Selanjutnya akan diuraikan turunan dari fungsi logaritma natural, untuk mendapatkan
rumus integral dari balikannya, yakni sebagai berikut :
Jika f(x) = ln x maka f’(x) =
f’(x) =
ln(x h) ln x
h
xh
ln
x
h
ln
f’(x) =
1
ln 1
x
f’(x) =
Jadi jika f(x) = ln x maka f’(x) =
xh
x
h
.x
x
h
x
x/h
=
1
.1
x
=
1
x
1
x
Hal ini mengakibatkan bahwa :
= ln x + C
Pengembangan dari rumus diatas adalah dengan menggunakan aturan substitusi dan
parsial.
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :
Teknik Pengintegralan
2
2
01. Tentukanlah hasil dari 12x.e 3x 5 dx
Jawab
Misalkan u = 1 – e 2x
maka
u
1 2
u du
2
Sehingga
2
.e 2x
du
2e
2x
=
du = 2e 2x
02. Tentukanlah hasil dari
Jawab
1 e 2x 2 .e 2x
maka
u
1 2
u du
2
.e 2x
du
2e
2x
dx =
dx
sehingga
dx =
du
e 2x
Misalkan u = 1 – e 2x
2
sehingga
1 1 2
u + C
2 3
1
= u3 + C
6
3
1
= 1 e 2x + C
6
=
Sehingga
dx
=
dx
du = 2e 2x
du
e 2x
1 1 2
u + C
2 3
1
= u3 + C
6
3
1
= 1 e 2x + C
6
=
03. Tentukan hasil dari
x 2 4x 5
6x 12
dx
Jawab
Misalkan u = x2 – 4x + 5 maka
Sehingga
x 2 4x 5
6x 12
Teknik Pengintegralan
dx
du = (2x – 4) dx
6x 12
du
u
2x 4
du
+ C
= 3.
u
= 3. ln u + C
= 3.ln(x2 – 4x + 5) + C
=
sehingga
dx =
du
2x 4
3
04. Tentukan hasil dari
x (5 ln x)
dx
Jawab
Misalkan u = 5 + ln x maka
Sehingga
dx
x (5 ln x)
=
du =
1
dx
x
sehingga
dx = x.du
x.du
xu
du
+ C
u
= ln u + C
= ln (5 + ln x) + C
=
05. Tentukan hasil dari
ex 1
dx
Jawab
Misalkan u = 1 + e x
maka
du = e x dx
sehingga
dx = e x .du
ex
1
x +
e
ex
ex 1
u =
ex
e x + 1 = u. e x
u=
Sehingga
dx
ex 1
e x .du
e x .u
du
+ C
=
u
=
= ln (1 e x ) 1 + C
ex
= ln x
+ C
e
1
04. Tentukan hasil dari
e 2x 3 dx
e 2x 1
Jawab
Misalkan u = e 2x maka
du = 2. e 2x dx
e 2x 3 dx
u 1 du
2u
1
u 1
du
=
2 u(u 3)
Sehingga
e 2x 1
Teknik Pengintegralan
=
u 3
sehingga
dx =
du
2.e
2x
=
du
2.u
4
Misalkan :
u 1
A
B
=
u
u 3
u(u - 3)
A(u 3) uB
u(u - 3)
=
u 1
u(u - 3)
(A + B)u – 3A = u – 1
Jadi
e 2x 3 dx
e 2x 1
=
=
=
=
=
=
05. Selesaikanlah
Jawab
maka
Jadi
1 1
1 2 du
du +
.
2 3u
2 3 u -3
1 du
1 du
+
6 u
3 u -3
1
1
ln u +
ln (u – 3) + C
6
3
1
1
ln e 2x +
ln ( e 2x – 3) + C
6
3
2x
1
ln e +
ln ( e 2x – 3) + C
6
3
x
1
+
ln ( e 2x – 3) + C
3
3
x 2 2x 8 dx
5x 8
5x 8
x 2 2x 8
Misalkan
5x 8
x 2 2x 8
=
5x 8
A
B
=
+
(x 4)( x 2)
x4
x2
A(x 2) B(x 4)
atau 5x – 8 = (A + B)x + (2A – 4B)
(x 4)(x 2)
=
A+B = 5
A + B = 5
2A – 4B = –8
A – 2B = –4 –
3B = 9
x 2 2x 8 dx
Sehingga
5x 8
–3A = –1 maka A = 1/3
B = 2/3
=
jadi A = 2 B = 3
x 4 dx + x 2 dx
2
3
= 2.ln(x – 4) + 3.ln(x + 2) + C
= ln(x – 4)2.(x + 2)3 + C
Teknik Pengintegralan
5
I. Integral Fungsi Eksponen dan Logaritma
Sebelum membahas Integral fungsi eksponen dan logaritma, akan dikenalkan dulu
bilangan e yang kemudian disebut sebagai bilangan Euler, yakni sebuah bilangan yang
merupakan pendekatan dari bentuk 1
pada tahun 1683 oleh Jacob Bernoulli
1
n
n
untuk n menuju tak hingga yang ditemukan
Pada tahun 1748, Euler memberikan ide mengenai bilangan e, yaitu :
1
1
1
e =
= 1+
+
1 n
2!
1!
Bentuk ini dapat juga diubah menjadi
n
1 n1/n
e =
+
1
1
+
+ ...
4!
3!
................... (1)
............................................................................... (2)
Dari formulasi tersebut Euler memperoleh pendekatan untuk nilai e sampai 18 digit, yaitu
e = 2,718281828459045235
Suatu logaritma dengan basis e dinamakan logaritma natural dan ditulis dengan ln.
Sehinga ln x = e log x
Untuk mendapatkan rumus integral fungsi eksponen, akan diuraikan terlebih dahulu
turunan fungsi ekponen sederhana, yaitu turunan fungsi f(x) = f(x) = e x
Jika f(x) = e
x
maka f’(x) =
f’(x) =
Menurut bentuk (2) didapat
Sehingga
ln [
1 x 1/x ]
exeh ex
h
1 x 1/x
=
(e h 1)
e .
........................ (3)
h
x
= e
= ln e
ln 1 x 1/x = 1
ln(1 x)
x
Teknik Pengintegralan
e x h e x
h
= 1 .................................................................... (4)
1
maka x = e n – 1
Misalkan ln(1 + x) = n maka 1 + x = e n
Jika x 0 maka n 0
(e n 1)
n
n
= 1 atau
n
e 1
Dari (4) diperoleh :
= 1
(e h 1)
= ex . 1 = ex
h
Jadi Jika f(x) = e x maka f ’(x) = e x
Karena integral adalah balikan dari turunan maka diperoleh rumus :
Dari (3) diperoleh f ’(x) =
ex .
=
+ C
Selanjutnya akan diuraikan turunan dari fungsi logaritma natural, untuk mendapatkan
rumus integral dari balikannya, yakni sebagai berikut :
Jika f(x) = ln x maka f’(x) =
f’(x) =
ln(x h) ln x
h
xh
ln
x
h
ln
f’(x) =
1
ln 1
x
f’(x) =
Jadi jika f(x) = ln x maka f’(x) =
xh
x
h
.x
x
h
x
x/h
=
1
.1
x
=
1
x
1
x
Hal ini mengakibatkan bahwa :
= ln x + C
Pengembangan dari rumus diatas adalah dengan menggunakan aturan substitusi dan
parsial.
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :
Teknik Pengintegralan
2
2
01. Tentukanlah hasil dari 12x.e 3x 5 dx
Jawab
Misalkan u = 1 – e 2x
maka
u
1 2
u du
2
Sehingga
2
.e 2x
du
2e
2x
=
du = 2e 2x
02. Tentukanlah hasil dari
Jawab
1 e 2x 2 .e 2x
maka
u
1 2
u du
2
.e 2x
du
2e
2x
dx =
dx
sehingga
dx =
du
e 2x
Misalkan u = 1 – e 2x
2
sehingga
1 1 2
u + C
2 3
1
= u3 + C
6
3
1
= 1 e 2x + C
6
=
Sehingga
dx
=
dx
du = 2e 2x
du
e 2x
1 1 2
u + C
2 3
1
= u3 + C
6
3
1
= 1 e 2x + C
6
=
03. Tentukan hasil dari
x 2 4x 5
6x 12
dx
Jawab
Misalkan u = x2 – 4x + 5 maka
Sehingga
x 2 4x 5
6x 12
Teknik Pengintegralan
dx
du = (2x – 4) dx
6x 12
du
u
2x 4
du
+ C
= 3.
u
= 3. ln u + C
= 3.ln(x2 – 4x + 5) + C
=
sehingga
dx =
du
2x 4
3
04. Tentukan hasil dari
x (5 ln x)
dx
Jawab
Misalkan u = 5 + ln x maka
Sehingga
dx
x (5 ln x)
=
du =
1
dx
x
sehingga
dx = x.du
x.du
xu
du
+ C
u
= ln u + C
= ln (5 + ln x) + C
=
05. Tentukan hasil dari
ex 1
dx
Jawab
Misalkan u = 1 + e x
maka
du = e x dx
sehingga
dx = e x .du
ex
1
x +
e
ex
ex 1
u =
ex
e x + 1 = u. e x
u=
Sehingga
dx
ex 1
e x .du
e x .u
du
+ C
=
u
=
= ln (1 e x ) 1 + C
ex
= ln x
+ C
e
1
04. Tentukan hasil dari
e 2x 3 dx
e 2x 1
Jawab
Misalkan u = e 2x maka
du = 2. e 2x dx
e 2x 3 dx
u 1 du
2u
1
u 1
du
=
2 u(u 3)
Sehingga
e 2x 1
Teknik Pengintegralan
=
u 3
sehingga
dx =
du
2.e
2x
=
du
2.u
4
Misalkan :
u 1
A
B
=
u
u 3
u(u - 3)
A(u 3) uB
u(u - 3)
=
u 1
u(u - 3)
(A + B)u – 3A = u – 1
Jadi
e 2x 3 dx
e 2x 1
=
=
=
=
=
=
05. Selesaikanlah
Jawab
maka
Jadi
1 1
1 2 du
du +
.
2 3u
2 3 u -3
1 du
1 du
+
6 u
3 u -3
1
1
ln u +
ln (u – 3) + C
6
3
1
1
ln e 2x +
ln ( e 2x – 3) + C
6
3
2x
1
ln e +
ln ( e 2x – 3) + C
6
3
x
1
+
ln ( e 2x – 3) + C
3
3
x 2 2x 8 dx
5x 8
5x 8
x 2 2x 8
Misalkan
5x 8
x 2 2x 8
=
5x 8
A
B
=
+
(x 4)( x 2)
x4
x2
A(x 2) B(x 4)
atau 5x – 8 = (A + B)x + (2A – 4B)
(x 4)(x 2)
=
A+B = 5
A + B = 5
2A – 4B = –8
A – 2B = –4 –
3B = 9
x 2 2x 8 dx
Sehingga
5x 8
–3A = –1 maka A = 1/3
B = 2/3
=
jadi A = 2 B = 3
x 4 dx + x 2 dx
2
3
= 2.ln(x – 4) + 3.ln(x + 2) + C
= ln(x – 4)2.(x + 2)3 + C
Teknik Pengintegralan
5