07 Integral Fungsi Eksponen dan Logaritma

TEKNIK PENGINTEGRALAN
I. Integral Fungsi Eksponen dan Logaritma
Sebelum membahas Integral fungsi eksponen dan logaritma, akan dikenalkan dulu
bilangan e yang kemudian disebut sebagai bilangan Euler, yakni sebuah bilangan yang


merupakan pendekatan dari bentuk 1 

pada tahun 1683 oleh Jacob Bernoulli

1
n 

n

untuk n menuju tak hingga yang ditemukan

Pada tahun 1748, Euler memberikan ide mengenai bilangan e, yaitu :

1
1

 1
e =
= 1+
+
1  n 
2!
1!


Bentuk ini dapat juga diubah menjadi
n

1  n1/n

e =

+

1
1

+
+ ...
4!
3!

................... (1)

............................................................................... (2)

Dari formulasi tersebut Euler memperoleh pendekatan untuk nilai e sampai 18 digit, yaitu
e = 2,718281828459045235
Suatu logaritma dengan basis e dinamakan logaritma natural dan ditulis dengan ln.
Sehinga ln x = e log x
Untuk mendapatkan rumus integral fungsi eksponen, akan diuraikan terlebih dahulu
turunan fungsi ekponen sederhana, yaitu turunan fungsi f(x) = f(x) = e x
Jika f(x) = e

x

maka f’(x) =

f’(x) =

Menurut bentuk (2) didapat
Sehingga

ln [

1  x 1/x ]

exeh  ex
h

1  x 1/x

=

(e h  1)
e .
........................ (3)
h

x

= e

= ln e

ln 1  x 1/x = 1
ln(1  x)
x

Teknik Pengintegralan

e x h  e x
h

= 1 .................................................................... (4)

1

maka x = e n – 1


Misalkan ln(1 + x) = n maka 1 + x = e n
Jika x  0 maka n  0

(e n  1)
n

n
= 1 atau
n
e 1

Dari (4) diperoleh :

= 1

(e h  1)
= ex . 1 = ex
h
Jadi Jika f(x) = e x maka f ’(x) = e x

Karena integral adalah balikan dari turunan maka diperoleh rumus :

Dari (3) diperoleh f ’(x) =

ex .

=

+ C

Selanjutnya akan diuraikan turunan dari fungsi logaritma natural, untuk mendapatkan
rumus integral dari balikannya, yakni sebagai berikut :
Jika f(x) = ln x maka f’(x) =

f’(x) =

ln(x  h)  ln x
h
xh
ln

x
h
ln

f’(x) =

1 
ln 1 
x 

f’(x) =
Jadi jika f(x) = ln x maka f’(x) =

xh
x
h
.x
x

h

x 

x/h

=

1
.1
x

=

1
x

1
x

Hal ini mengakibatkan bahwa :


= ln x + C

Pengembangan dari rumus diatas adalah dengan menggunakan aturan substitusi dan
parsial.
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

Teknik Pengintegralan

2

2
01. Tentukanlah hasil dari  12x.e 3x 5 dx

Jawab

Misalkan u = 1 – e 2x

maka

u


1 2
u du
2

Sehingga
2

.e 2x

du

 2e

2x

= 

du =  2e 2x




02. Tentukanlah hasil dari
Jawab

 1  e 2x 2 .e 2x
maka

u

1 2
u du
2

.e 2x

du

 2e

2x

dx =

dx

sehingga

dx =

du

 e 2x



Misalkan u = 1 – e 2x

2

sehingga

1 1 2 
u + C
2  3 
1
=  u3 + C
6
3
1
=  1  e 2x + C
6

= 

Sehingga

dx

= 

dx

du =  2e 2x

du

 e 2x

1 1 2 
u + C
2  3 
1
=  u3 + C
6
3
1
=  1  e 2x + C
6

= 



03. Tentukan hasil dari



 x 2  4x  5
6x  12

dx

Jawab
Misalkan u = x2 – 4x + 5 maka
Sehingga

 x 2  4x  5
6x  12

Teknik Pengintegralan

dx



du = (2x – 4) dx

6x  12
du
u
2x  4
du
+ C
= 3.
u
= 3. ln u + C
= 3.ln(x2 – 4x + 5) + C

=

sehingga

dx =

du
2x  4

3

04. Tentukan hasil dari

 x (5  ln x)
dx

Jawab
Misalkan u = 5 + ln x maka
Sehingga
dx
 x (5  ln x)

=





du =

1
dx
x

sehingga

dx = x.du

x.du
xu

du
+ C
u
= ln u + C
= ln (5 + ln x) + C

=

05. Tentukan hasil dari

 ex  1
dx

Jawab
Misalkan u = 1 + e  x

maka

du =  e  x dx

sehingga

dx =  e x .du

ex
1
x +
e
ex
ex  1
u =
ex
e x + 1 = u. e x
u=

Sehingga
dx
 ex  1

 e x .du
 e x .u
du
+ C
= 
u

=

=  ln (1  e  x ) 1 + C

 ex 
= ln  x
 + C
e

1



04. Tentukan hasil dari

 e 2x  3 dx
e 2x  1

Jawab
Misalkan u = e 2x maka

du = 2. e 2x dx

 e 2x  3 dx

u  1 du
2u
1
u 1
du
=

2 u(u  3)

Sehingga

e 2x  1

Teknik Pengintegralan

=

 u 3

sehingga

dx =

du
2.e

2x

=

du
2.u

4

Misalkan :

u 1
A
B
=

u
u 3
u(u - 3)

A(u  3)  uB
u(u - 3)

=

u 1
u(u - 3)

(A + B)u – 3A = u – 1
Jadi

 e 2x  3 dx
e 2x  1

=
=
=
=
=
=

05. Selesaikanlah
Jawab

maka

Jadi

1 1
1 2 du
du +
.

2 3u
2  3 u -3
1 du
1 du
+ 

6 u
3 u -3
1
1
ln u +
ln (u – 3) + C
6
3
1
1
ln e 2x +
ln ( e 2x – 3) + C
6
3
2x
1
ln e +
ln ( e 2x – 3) + C
6
3
x
1
+
ln ( e 2x – 3) + C
3
3

 x 2  2x  8 dx
5x  8

5x  8

x 2  2x  8

Misalkan

5x  8

x 2  2x  8

=

5x  8
A
B
=
+
(x  4)( x  2)
x4
x2

A(x  2)  B(x  4)
atau 5x – 8 = (A + B)x + (2A – 4B)
(x  4)(x  2)

=

A+B = 5

A + B = 5

2A – 4B = –8

A – 2B = –4 –
3B = 9

 x 2  2x  8 dx

Sehingga
5x  8

–3A = –1 maka A = 1/3
B = 2/3

=

jadi A = 2 B = 3

 x  4 dx +  x  2 dx
2

3

= 2.ln(x – 4) + 3.ln(x + 2) + C
= ln(x – 4)2.(x + 2)3 + C

Teknik Pengintegralan

5