MAKALAH KALKULUS VARIABEL BANYAK DAN PEM
MAKALAH
KALKULUS VARIABEL BANYAK DAN
PEMBELAJARANNYA
MATERI
TRIPLE INTEGRALS
(Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals, dan
Contohnya)
Dosen Pengampu
Dr. Drs. Kamid, M.Si
Drs. Jefri Marzal, M.Sc., Ph.D
Dr. Drs. Syaiful, M.Pd
Disusun Oleh:
ABDUL MA’ARIF (P2A916016)
HENRI SAMUEL (P2A916015 )
RIZA MAIYUSRIANI (P2A916014)
PROGRAM STUDI MAGISTER
PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS
KEGURUAN
DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JAMBI
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
2017
BAB I
PENDAHULUAN
A. Deskripsi Makalah
Integral untuk fungsi banyak peubah dinamakan integral lipat atau integral
rangkap. Pada integral lipat dua, fungsi yang dipakai dibatasi, yaitu fungsi
tersebut dibatasi pada selang tertutup di R2. Untuk triple integrals dari fungsi tiga
peubah, pembatasannya adalah fungsi tersebut terdefinisi pada suatu daerah
tertutup di R3. Berdasarkan konsep integral rangkap dua, maka dalam makalah ini
akan dibahas mengenai definisi triple integrals, aturan triple integrals, dan
contohnya.
B. Materi Prasyarat
Materi prasyarat yang diperlukan adalah sebagai berikut:
1. Geometri Dasar
2. Kalkulus Dasar dan Kalkulus Lanjut
3. Materi sebelumnya tentang integral lipat dua dalam koordinat kartesius dan
koordinat kutub
C. Rumusan Masalah
Rumusan masalah dari makalah ini sebagai berikut:
1. Apakah yang dimaksud triple integrals atau definisi triple integrals?
2. Bagaimana cara menentukan triple integrals pada daerah umum?
3. Bagaimana cara mengkonversi dan menentukan triple integrals dalam
koordinat silinder dan koordinat bola?
C. Tujuan Makalah
Mahasiswa dapat mendefenisikan triple integrals, menentukan triple
integrals pada daerah umum, dan dapat mengkonversi serta menentukan triple
integrals dalam koordinat silinder dan koordinat bola.
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
BAB II
PEMBAHASAN
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
A. Definisi Triple Integrals dan Aturan pengintegralannya
1. Definisi Triple Integrals
triple integrals atau integral lipat tiga merupakan integral biasa atau
tunggal yang hasilnya diintegralkan dan kemudian diintegralkan kembali.
Integral lipat tiga ini dinyatakan sebagai berikut:
∭ f ( x , y , z ) dxdydz
, pernyataan ini disebut dengan integral lipat tiga
tak tertentu (indifinite triple integrals).
Dinyatakan juga sebagai berikut:
z2 y 2 x 2
∫∫∫ f ( x , y , z ) dxdydz
, pernyataan ini disebut dengan integral lipat
z1 y 1 x 1
tiga tertentu (difinite triple integrals) dengan batas bawah (x1, y1, z1) dan
batas atasnya (x2, y2, z2).
Secara geometris Integral lipat tiga merupakan perluasan dari integral
lipat dua ke dimensi yang lebih tinggi sebagai ilustrasi, tinjau sebuah
balok yang panjangny p, lebarnya l, dan tingginya t, sperti pada gambar
dibawah ini.
Dalam integral lipat dua, volume balok ditentukan dengan
mengintegralkan z=f(x,y)=t pada daerah D = {(x,y,z)│0 ≤ x ≤ p, 0 ≤ y ≤ l}
sebagai berikut.
❑
p
l
p
p
p
V =∬ f ( x , y ) dA=∫ ∫ tdydx=∫ [ ty] dx=∫ ltdx=[ ltx ] p= plt
0
0
D
0 0
0
0
Sekarang, ambil segmen panjang x = dx, segmen panjang pada y = dy,
dan segmen panjang pada z = dz. Segmen volume balok adalah dV =
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
dzdydx.
Daerah
pengintegralannya
adalah
B={ ( x , y , z ) │ 0 ≤ x ≤ p , 0 ≤ y ≤ l, 0 ≤ z ≤ t } . Volume total balok ditentukan
dengan integral lipat tiga sebagai berikut :
❑
p
l
t
B
0 0 0
p l
p
∭ dV =∫∫∫ dzdydx=∫∫ tdydx=∫ ltdx= plt
0 0
0
Secara umum, fungsi f(x,y,z) dapat diintegralkan pada daerah
pengintegralannya. Daerah pengintegralan integral lipat tiga (perhatikan
pada gambar dibawah ini).
maka secara umum ditulis :
B={ ( x , y , z ) │ a ≤ x ≤ b , α ( x ) ≤ y ≤ β ( x ) , γ ( x , y ) ≤ z ≤ δ ( x , y ) }
Bentuk integral lipat tiga dalam ditulis sebagai :
❑
b β (x) δ (x , y)
B
a α (x)
∭ f ( x , y , z ) dV =∫ ∫
∫
f ( x , y , z ) dzdydx
γ
2. Aturan Triple Integrals
1). Indifinite Triple Integral
Langkah-langkah penyelesainnya yaitu:
Fungsi f(x,y,z) diintegralkan terhadap x dengan menggangap variabel
lainnya konstan
Hasilnya kemudian diintegralkan terhadap y dengan menggangap
variabel lainnya konstan
Hasilnya kemudian diintegralkan terhadap z dengan menggangap
variabel lainnya konstan
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
*Jangan lupa untuk setiap hasil pengintegralan ditambah dengan
konstanta sembarang C
2). Infinite Triple Integrals
Langkah-langkah penyelesainnya yaitu:
Fungsi f(x,y,z) diintegralkan terhadap z (dengan menggangap x dan y
konstan), dihitung nilainya dengan mensubstitusikan batas atas z = z 2
dan batas bawah z = z1
Hasilnya kemudian diintegralkan terhadap x, kemudian dihitung
nilainya dengan batas atas x = x2 dan batas bawah x = x1
Dari hasil langkah 2 diintegralkan kembali terhadap y kemudian
dihitung nilainya dengan batas atas y = y2 dan batas bawah y = y1
Contoh Soal:
1
3. Hitung lah
√x y
∫∫∫ xyzdzdydx .
0
x 0
Penyelesaian:
1
√x y
1
√x
∫∫∫ xyzdzdydx=∫∫
0
¿
x 0
1
0 x
1
[
1
]
√x
1
1
xy z 2 y dydx= ∫ ∫ x y 3 dydx
2
0
20 x
[
]
1
1
∫ [ xy 4 ] √xx dx= 18 ∫ ( x3 −x5 ) dx= 18 14 x 4− 16 x 6 10 = 96
80
0
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
4.
B. Integral Lipat Tiga (Triple Integral) dalam Koordinat Silinder
Dalam koordinat silinder, titik P(x,y,z) dikonversi ke titik P(r,θ,z).
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
Contoh Soal:
1. Konversi integral berikut ke koordinat silindris
Penyelesaian:
❑
2. Hitung integral
∭ y dV
dimana E adalah daerah di bawah bidang
E
z=x +2 dan di atas bidang
2
2
x + y =4 .
xy
serta di antara silinder
x 2+ y 2 =1 dan
Penyelesaian:
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
C. Integral Lipat Tiga (Triple Integrals) dalam Koordinat Bola
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
Contoh Soal:
1. Konversi integral berikut ke koordinat Bola.
3
√ 9− y 2 √ 18−x 2− y 2
∫∫
0
0
∫
( x 2+ y 2+ z 2 ) dzdxdy
√ x 2+ y 2
Penyelesaian:
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
Sehinga;
3
√ 9− y 2 √ 18−x 2− y 2
∫∫
0
0
∫
√x + y
2
( x 2+ y 2+ z 2 ) dzdxdy
2
π π
4 2 3 √2
¿∫∫ ∫ ρ4 sin φ dρdθdφ
0 0
0
❑
2. Hitung integral
∭ 16 z dV
di mana E adalah setengah bola
E
2
2
2
x + y + z =1 bagian atas.
Penyelesaian:
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
BAB III
KESIMPULAN
Berdasarkan pada pembahasan di atas terkait dengan triple integrals, maka
dapat ditarik suatu benang merah bahwa triple integrals atau integral lipat tiga
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
merupakan integral biasa atau tunggal yang hasilnya diintegralkan dan kemudian
diintegralkan kembali.
Integral lipat tiga ini dinyatakan sebagai berikut:
∭ f ( x , y , z ) dxdydz
, pernyataan ini disebut dengan integral lipat tiga tak
tertentu (indifinite triple integrals).
Dinyatakan juga sebagai berikut:
z2 y 2 x 2
∫∫∫ f ( x , y , z ) dxdydz
, pernyataan ini disebut dengan integral lipat tiga
z1 y 1 x 1
tertentu (difinite triple integrals) dengan batas bawah (x1, y1, z1) dan batas atasnya
(x2, y2, z2).
Karakteristik khusus difinitif triple integrals yaitu:
Triple integrals dikhususkan untuk fungsi tiga variabel
Analog dengan integral lipat dua, triple integrals pada daerah
E= { ( x , y , z ) ∨a ≤ x ≤b , c ≤ y ≤ d ,r ≤ z ≤ s }
Jika fungsi f kontinu pada daerah E maka,
❑
b d
E
a c
s
∭ f ( x , y , z ) dV =∫∫∫ f ( x , y , z ) dzdydx
r
Untuk beberapa kasus tertentu difinitif triple integrals akan lebih mudah
jika konversikan ke koordinat silindris atau bola.
DAFTAR REFERENSI
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
Danang Mursita. 2006. Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi. Bandung:
Rekayasa Sains.
Frank Ayres dan Elliot Mendelson. 2006. Kalkulus Edisi Keempat. Jakarta:
Erlangga.
J. Purcell, Edwin. dkk. 2004. Kalkulus Jilid 2. Jakarta: Erlangga.
Martono, Koko. 1990. Kalkulus Integra Lipat Dua. Bandung: Institut Teknologi
Bandung.
Murray Spiegel dan Robert Wrede. 2007. Kalkulus lanjut Edisi Kedua. Jakarta:
Erlangga.
Stewart, James. 1999. Kalkulus Edisi Keempat. Jakarta: Erlangga
Sugiman. 2003. Kalkulus Lanjut. Yogyakarta: Universitas Negeri
Yogyakarta.
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
KALKULUS VARIABEL BANYAK DAN
PEMBELAJARANNYA
MATERI
TRIPLE INTEGRALS
(Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals, dan
Contohnya)
Dosen Pengampu
Dr. Drs. Kamid, M.Si
Drs. Jefri Marzal, M.Sc., Ph.D
Dr. Drs. Syaiful, M.Pd
Disusun Oleh:
ABDUL MA’ARIF (P2A916016)
HENRI SAMUEL (P2A916015 )
RIZA MAIYUSRIANI (P2A916014)
PROGRAM STUDI MAGISTER
PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS
KEGURUAN
DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JAMBI
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
2017
BAB I
PENDAHULUAN
A. Deskripsi Makalah
Integral untuk fungsi banyak peubah dinamakan integral lipat atau integral
rangkap. Pada integral lipat dua, fungsi yang dipakai dibatasi, yaitu fungsi
tersebut dibatasi pada selang tertutup di R2. Untuk triple integrals dari fungsi tiga
peubah, pembatasannya adalah fungsi tersebut terdefinisi pada suatu daerah
tertutup di R3. Berdasarkan konsep integral rangkap dua, maka dalam makalah ini
akan dibahas mengenai definisi triple integrals, aturan triple integrals, dan
contohnya.
B. Materi Prasyarat
Materi prasyarat yang diperlukan adalah sebagai berikut:
1. Geometri Dasar
2. Kalkulus Dasar dan Kalkulus Lanjut
3. Materi sebelumnya tentang integral lipat dua dalam koordinat kartesius dan
koordinat kutub
C. Rumusan Masalah
Rumusan masalah dari makalah ini sebagai berikut:
1. Apakah yang dimaksud triple integrals atau definisi triple integrals?
2. Bagaimana cara menentukan triple integrals pada daerah umum?
3. Bagaimana cara mengkonversi dan menentukan triple integrals dalam
koordinat silinder dan koordinat bola?
C. Tujuan Makalah
Mahasiswa dapat mendefenisikan triple integrals, menentukan triple
integrals pada daerah umum, dan dapat mengkonversi serta menentukan triple
integrals dalam koordinat silinder dan koordinat bola.
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
BAB II
PEMBAHASAN
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
A. Definisi Triple Integrals dan Aturan pengintegralannya
1. Definisi Triple Integrals
triple integrals atau integral lipat tiga merupakan integral biasa atau
tunggal yang hasilnya diintegralkan dan kemudian diintegralkan kembali.
Integral lipat tiga ini dinyatakan sebagai berikut:
∭ f ( x , y , z ) dxdydz
, pernyataan ini disebut dengan integral lipat tiga
tak tertentu (indifinite triple integrals).
Dinyatakan juga sebagai berikut:
z2 y 2 x 2
∫∫∫ f ( x , y , z ) dxdydz
, pernyataan ini disebut dengan integral lipat
z1 y 1 x 1
tiga tertentu (difinite triple integrals) dengan batas bawah (x1, y1, z1) dan
batas atasnya (x2, y2, z2).
Secara geometris Integral lipat tiga merupakan perluasan dari integral
lipat dua ke dimensi yang lebih tinggi sebagai ilustrasi, tinjau sebuah
balok yang panjangny p, lebarnya l, dan tingginya t, sperti pada gambar
dibawah ini.
Dalam integral lipat dua, volume balok ditentukan dengan
mengintegralkan z=f(x,y)=t pada daerah D = {(x,y,z)│0 ≤ x ≤ p, 0 ≤ y ≤ l}
sebagai berikut.
❑
p
l
p
p
p
V =∬ f ( x , y ) dA=∫ ∫ tdydx=∫ [ ty] dx=∫ ltdx=[ ltx ] p= plt
0
0
D
0 0
0
0
Sekarang, ambil segmen panjang x = dx, segmen panjang pada y = dy,
dan segmen panjang pada z = dz. Segmen volume balok adalah dV =
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
dzdydx.
Daerah
pengintegralannya
adalah
B={ ( x , y , z ) │ 0 ≤ x ≤ p , 0 ≤ y ≤ l, 0 ≤ z ≤ t } . Volume total balok ditentukan
dengan integral lipat tiga sebagai berikut :
❑
p
l
t
B
0 0 0
p l
p
∭ dV =∫∫∫ dzdydx=∫∫ tdydx=∫ ltdx= plt
0 0
0
Secara umum, fungsi f(x,y,z) dapat diintegralkan pada daerah
pengintegralannya. Daerah pengintegralan integral lipat tiga (perhatikan
pada gambar dibawah ini).
maka secara umum ditulis :
B={ ( x , y , z ) │ a ≤ x ≤ b , α ( x ) ≤ y ≤ β ( x ) , γ ( x , y ) ≤ z ≤ δ ( x , y ) }
Bentuk integral lipat tiga dalam ditulis sebagai :
❑
b β (x) δ (x , y)
B
a α (x)
∭ f ( x , y , z ) dV =∫ ∫
∫
f ( x , y , z ) dzdydx
γ
2. Aturan Triple Integrals
1). Indifinite Triple Integral
Langkah-langkah penyelesainnya yaitu:
Fungsi f(x,y,z) diintegralkan terhadap x dengan menggangap variabel
lainnya konstan
Hasilnya kemudian diintegralkan terhadap y dengan menggangap
variabel lainnya konstan
Hasilnya kemudian diintegralkan terhadap z dengan menggangap
variabel lainnya konstan
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
*Jangan lupa untuk setiap hasil pengintegralan ditambah dengan
konstanta sembarang C
2). Infinite Triple Integrals
Langkah-langkah penyelesainnya yaitu:
Fungsi f(x,y,z) diintegralkan terhadap z (dengan menggangap x dan y
konstan), dihitung nilainya dengan mensubstitusikan batas atas z = z 2
dan batas bawah z = z1
Hasilnya kemudian diintegralkan terhadap x, kemudian dihitung
nilainya dengan batas atas x = x2 dan batas bawah x = x1
Dari hasil langkah 2 diintegralkan kembali terhadap y kemudian
dihitung nilainya dengan batas atas y = y2 dan batas bawah y = y1
Contoh Soal:
1
3. Hitung lah
√x y
∫∫∫ xyzdzdydx .
0
x 0
Penyelesaian:
1
√x y
1
√x
∫∫∫ xyzdzdydx=∫∫
0
¿
x 0
1
0 x
1
[
1
]
√x
1
1
xy z 2 y dydx= ∫ ∫ x y 3 dydx
2
0
20 x
[
]
1
1
∫ [ xy 4 ] √xx dx= 18 ∫ ( x3 −x5 ) dx= 18 14 x 4− 16 x 6 10 = 96
80
0
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
4.
B. Integral Lipat Tiga (Triple Integral) dalam Koordinat Silinder
Dalam koordinat silinder, titik P(x,y,z) dikonversi ke titik P(r,θ,z).
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
Contoh Soal:
1. Konversi integral berikut ke koordinat silindris
Penyelesaian:
❑
2. Hitung integral
∭ y dV
dimana E adalah daerah di bawah bidang
E
z=x +2 dan di atas bidang
2
2
x + y =4 .
xy
serta di antara silinder
x 2+ y 2 =1 dan
Penyelesaian:
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
C. Integral Lipat Tiga (Triple Integrals) dalam Koordinat Bola
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
Contoh Soal:
1. Konversi integral berikut ke koordinat Bola.
3
√ 9− y 2 √ 18−x 2− y 2
∫∫
0
0
∫
( x 2+ y 2+ z 2 ) dzdxdy
√ x 2+ y 2
Penyelesaian:
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
Sehinga;
3
√ 9− y 2 √ 18−x 2− y 2
∫∫
0
0
∫
√x + y
2
( x 2+ y 2+ z 2 ) dzdxdy
2
π π
4 2 3 √2
¿∫∫ ∫ ρ4 sin φ dρdθdφ
0 0
0
❑
2. Hitung integral
∭ 16 z dV
di mana E adalah setengah bola
E
2
2
2
x + y + z =1 bagian atas.
Penyelesaian:
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
BAB III
KESIMPULAN
Berdasarkan pada pembahasan di atas terkait dengan triple integrals, maka
dapat ditarik suatu benang merah bahwa triple integrals atau integral lipat tiga
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
merupakan integral biasa atau tunggal yang hasilnya diintegralkan dan kemudian
diintegralkan kembali.
Integral lipat tiga ini dinyatakan sebagai berikut:
∭ f ( x , y , z ) dxdydz
, pernyataan ini disebut dengan integral lipat tiga tak
tertentu (indifinite triple integrals).
Dinyatakan juga sebagai berikut:
z2 y 2 x 2
∫∫∫ f ( x , y , z ) dxdydz
, pernyataan ini disebut dengan integral lipat tiga
z1 y 1 x 1
tertentu (difinite triple integrals) dengan batas bawah (x1, y1, z1) dan batas atasnya
(x2, y2, z2).
Karakteristik khusus difinitif triple integrals yaitu:
Triple integrals dikhususkan untuk fungsi tiga variabel
Analog dengan integral lipat dua, triple integrals pada daerah
E= { ( x , y , z ) ∨a ≤ x ≤b , c ≤ y ≤ d ,r ≤ z ≤ s }
Jika fungsi f kontinu pada daerah E maka,
❑
b d
E
a c
s
∭ f ( x , y , z ) dV =∫∫∫ f ( x , y , z ) dzdydx
r
Untuk beberapa kasus tertentu difinitif triple integrals akan lebih mudah
jika konversikan ke koordinat silindris atau bola.
DAFTAR REFERENSI
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya
Danang Mursita. 2006. Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi. Bandung:
Rekayasa Sains.
Frank Ayres dan Elliot Mendelson. 2006. Kalkulus Edisi Keempat. Jakarta:
Erlangga.
J. Purcell, Edwin. dkk. 2004. Kalkulus Jilid 2. Jakarta: Erlangga.
Martono, Koko. 1990. Kalkulus Integra Lipat Dua. Bandung: Institut Teknologi
Bandung.
Murray Spiegel dan Robert Wrede. 2007. Kalkulus lanjut Edisi Kedua. Jakarta:
Erlangga.
Stewart, James. 1999. Kalkulus Edisi Keempat. Jakarta: Erlangga
Sugiman. 2003. Kalkulus Lanjut. Yogyakarta: Universitas Negeri
Yogyakarta.
Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya