INVERS MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS a n1 a
INVERS MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS
Penulis: Supriyanto, email: supri@fisika.ui.ac.id
Staf Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia
Secara umum, sistem persamaan linear adalah sebagai berikut:
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
............... = ...
............... = ...
an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn
Sistem persamaan linear tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk operasi matrik,
Ax = b
sehingga bentuknya menjadi seperti ini:
a
a
. . . a1n
11 12
a21 a22 . . . a2n
.
..
..
..
.
.
an1 an2 . . . ann
(1)
x1
x2
..
.
xn
=
b1
b2
..
.
bn
dimana
A=
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . .
..
..
.
.
a2n
..
.
an1 an2 . . . ann
,
x=
x1
x2
..
.
xn
,
b=
b1
b2
..
.
bn
Dalam kaitannya dengan invers matrik, matrik A disebut matrik non-singular jika matrik
A memiliki matrik invers dirinya yaitu A−1 . Atau dengan kata lain, matrik A−1 adalah invers dari matrik A. Jika matrik A tidak memiliki invers, maka matrik A disebut singular.
Bila matrik A dikalikan dengan matrik A−1 maka akan menghasilkan matrik identitas I,
yaitu suatu matrik yang elemen-elemen diagonalnya bernilai 1.
1 0 ... 0
0 1 ... 0
AA−1 = I = . . .
.. .. . . ...
0 0 ... 1
1
(2)
Misalnya diketahui,
A=
1 2 −1
0
,
2
2 1
−1 1
A−1 =
− 92
4
9
− 31
5
9
− 19
1
3
− 19
2
9
1
3
Bila keduanya dikalikan, maka akan menghasilkan matrik identitas,
5
1
−
1 2 −1
1
0
0
− 92
9
9
−1
4
1
2
= 0 1 0
AA = 2 1
0 9 −9
9
1
1
1
−3
−1 1
2
0 0 1
3
3
Lalu bagaimana cara mendapatkan matrik invers, A−1 ? Persamaan (2) bisa dijadikan
pedoman..
AA−1 = I
1 2 −1
2 1
−1 1
i11 i12 i13
1 0 0
i21 i22 i23 = 0 1 0
0
i31 i32 i33
2
0 0 1
dalam hal ini matrik A−1 adalah
A
−1
i11 i12 i13
= i21 i22 i23
i31 i32 i33
Elemen-elemen matrik invers, A−1 dapat diperoleh dengan menerapkan metode eliminasi
gauss. Diawali dengan membentuk matrik augment:
1 2 −1 | 1 0 0
2 1
0
|
0
1
0
−1 1
2 | 0 0 1
Lalu dilanjutkan dengan proses triangularisasi: (P2 − 2P1 )→(P2 ) dan (P3 + P1 )→(P3 ),
kemudian diikuti oleh (P3 + P2 )→(P3 ):
1
2 −1 |
1 0 0
0 −3
→
2
|
−2
1
0
0
3
1 |
1 0 1
1
2 −1 |
0 −3
0
0
2
1 0 0
2 | −2 1 0
3 | −1 1 1
Langkah berikutnya, matrik augment yang telah mengalami triangularisasi tersebut dipecah
menjadi tiga buah matrik augment seperti berikut ini:
1
2 −1 |
1
1
2 −1 | 0
0 −3
2 | −2 0 −3
2 | 1
0
3
1 |
1
0
0
3 | 1
1
2 −1 | 0
0 −3
2 | 0
0
0
3 | 1
Langkah pamungkasnya adalah melakukan proses substitusi mundur pada ketiga matrik
augment di atas, sehingga diperoleh:
i11 = − 29
i21 =
9
4
i31 = − 31
i12 =
5
9
i22 = − 19
i32 =
1
3
i13 = − 19
i23 =
i33 =
2
9
1
3
Hasil tersebut digabung menjadi sebuah matrik, yaitu matrik A−1 ,
2
5
1
−
−9
9
9
−1
4
2
1
A = 9 −9
9
1
1
− 13
3
3
Keberadaan matrik A−1 bisa digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear
(mencari nilai x), dengan cara sebagai berikut
Ax = b
A−1 Ax = A−1 b
Ix = A−1 b
x = A−1 b
(3)
Contoh berikut ini akan menjelaskan prosesnya secara lebih rinci. Misalnya diketahui
sistem persamaan linear
x1 + 2x2 − x3 = 2
2x1 + x2 = 3
−x1 + x2 + 2x3 = 4
Bila dikonversikan kedalam operasi matrik menjadi
2
1 2 −1
x1
2 1
0
x2 = 3
x3
−1 1
2
4
3
Berdasarkan persamaan (3), maka elemen-elemen vektor x dapat dicari dengan cara
x = A−1 b
x=
− 29
4
9
1
−3
5
9
− 91
1
3
− 19
2
9
1
3
2
3 =
4
7
9
13
9
5
3
Akhirnya diperoleh solusi x1 = 7/9, x2 = 13/9, dan x3 = 5/3. Penyelesaian sistem persamaan linear menjadi lebih mudah bila matrik A−1 sudah diketahui. Sayangnya,
untuk mendapatkan matrik A−1 , diperlukan langkah-langkah, seperti yang sudah dibahas pada contoh pertama di atas, yang berakibat in-efisiensi proses penyelesaian (secara
komputasi) bila dibandingkan dengan metode eliminasi gauss untuk memecahkan sistem
persamaan linear. Namun bagaimanapun, secara konseptual kita dianjurkan mengetahui
cara bagaimana mendapatkan matrik A−1 .
Saya telah memodifikasi program eliminasi gauss yang terdahulu, untuk keperluan perhitungan matrik invers. Program ini ditulis dengan bahasa fortran, sudah berhasil dikompilasi dalam Linux Debian (g77) dan Windows XP (Visual Fortran). Inilah programnya,
DIMENSION A(10,20), D(10,10), X(10)
REAL MJI
INTEGER TKR, BK, TK, Q
WRITE (*,*) ’=PROGRAM INVERS MATRIK DENGAN ELIMINASI GAUSS=’
WRITE (*,*)
C
LANGKAH 1: MEMASUKAN NILAI ELEMEN-ELEMEN MATRIK A
WRITE (*,’(1X,A)’) ’JUMLAH PERSAMAAN ? ’
READ (*,*) N
WRITE (*,*)
WRITE (*,*) ’MASUKAN ELEMEN-ELEMEN MATRIK A’
M = N + 1
DO 50 I = 1,N
DO 60 J = 1,N
WRITE (*,’(1X,A,I2,A,I2,A)’) ’A(’,I,’,’,J,’) = ’
READ (*,*) A(I,J)
60
50
CONTINUE
CONTINUE
4
C
LANGKAH 2: MENDEFINISIKAN MATRIK IDENTITAS
WRITE (*,*) ’MENDEFINISIKAN MATRIK IDENTITAS’
DO 70 I = 1,N
DO 80 J = M,N+N
A(I,J) = 0
IF (I+N .EQ. J) THEN
A(I,J) = 1
END IF
80
70
CONTINUE
CONTINUE
WRITE (*,*)
C
MENAMPILKAN MATRIK AUGMENT
WRITE (*,’(1X,A)’) ’MATRIK AUGMENT:’
DO 110 I = 1,N
WRITE (*,’(1X,5(F14.8))’) (A(I,J),J=1,N+N)
110
CONTINUE
WRITE (*,*)
C
MENGHITUNG JUMLAH TUKAR (TKR) POSISI. MULA2 TKR = 0
TKR = 0
C
MENGHITUNG JUMLAH OPERASI BAGI/KALI (BK).
BK = 0
C
MENGHITUNG JUMLAH OPERASI TAMBAH/KURANG (TK).
TK = 0
C
LANGKAH 3: MEMERIKSA ELEMEN2 PIVOT DAN PROSES TUKAR POSISI
NN = N-1
DO 10 I=1,NN
C
LANGKAH 4: MENDEFINISIKAN P
P = I
100
IF (ABS(A(P,I)).GE.1.0E-20 .OR. P.GT.N) GOTO 200
P = P+1
GOTO 100
200
IF(P.EQ.N+1)THEN
C
MENAMPILKAN PESAN SINGULAR
WRITE(*,5)
5
GOTO 400
END IF
C
LANGKAH 5: PROSES TUKAR POSISI
IF(P.NE.I) THEN
DO 20 JJ=1,N+N
C = A(I,JJ)
A(I,JJ) = A(P,JJ)
A(P,JJ) = C
TKR = TKR + 1
20
CONTINUE
END IF
C
LANGKAH 6: PERSIAPAN PROSES TRIANGULARISASI
JJ = I+1
DO 30 J=JJ,N
C
LANGKAH 7: TENTUKAN MJI
MJI = A(J,I)/A(I,I)
BK = BK + 1
C
LANGKAH 8: MELAKUKAN PROSES TRIANGULARISASI
DO 40 K=JJ,N+N
A(J,K) = A(J,K)-MJI*A(I,K)
BK = BK + 1
TK = TK + 1
40
CONTINUE
A(J,I) = 0
30
CONTINUE
10
CONTINUE
C
MENAMPILKAN HASIL TRIANGULARISASI
WRITE (*,’(1X,A)’) ’HASIL TRIANGULARISASI:’
DO 120 I = 1,N
WRITE (*,’(1X,5(F14.8))’) (A(I,J),J=1,N+N)
120
CONTINUE
C
LANGKAH 9: MEMERIKSA ELEMEN A(N,N)
IF(ABS(A(N,N)).LT.1.0E-20) THEN
C
MENAMPILKAN PESAN SINGULAR
6
WRITE(*,5)
GOTO 400
END IF
DO 500 J = 1,N
Q=N+J
C
LANGKAH 10: MENGHITUNG A(N,N)
D(J,N) = A(N,Q)/A(N,N)
BK = BK + 1
C
LANGKAH 11: PROSES SUBSTITUSI MUNDUR
L = N-1
DO 15 K=1,L
I = L-K+1
JJ = I+1
SUM = 0.0
DO 16 KK=JJ,N
SUM = SUM+A(I,KK)*D(J,KK)
BK = BK + 1
TK = TK + 1
16
CONTINUE
D(J,I) = (A(I,Q)-SUM)/A(I,I)
BK = BK + 1
TK = TK + 1
15
CONTINUE
500
CONTINUE
C
LANGKAH 12: MENAMPILKAN HASIL PERHITUNGAN
WRITE (*,*)
WRITE (*,’(1X,A)’) ’MATRIK INVERS:’
DO 220 I = 1,N
WRITE (*,’(1X,5(F14.8))’) (D(J,I),J=1,N)
220
CONTINUE
WRITE(*,8) TKR
WRITE(*,9) BK
WRITE(*,11) TK
400
STOP
7
5
FORMAT(1X,’MATRIK A BERSIFAT SINGULAR’)
8
FORMAT(1X,’JUMLAH TUKAR POSISI = ’,3X,I5)
9
FORMAT(1X,’JUMLAH OPERASI BAGI/KALI = ’,3X,I6)
11
FORMAT(1X,’JUMLAH OPERASI JUMLAH/KURANG = ’,3X,I6)
END
Saya cukupkan sementara sampai disini. Insya Allah akan saya sambung lagi di-
lain waktu. Kalau ada yang mau didiskusikan, silakan hubungi saya melalui email:
supri@f isika.ui.ac.id.
8
Penulis: Supriyanto, email: supri@fisika.ui.ac.id
Staf Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia
Secara umum, sistem persamaan linear adalah sebagai berikut:
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
............... = ...
............... = ...
an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn
Sistem persamaan linear tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk operasi matrik,
Ax = b
sehingga bentuknya menjadi seperti ini:
a
a
. . . a1n
11 12
a21 a22 . . . a2n
.
..
..
..
.
.
an1 an2 . . . ann
(1)
x1
x2
..
.
xn
=
b1
b2
..
.
bn
dimana
A=
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . .
..
..
.
.
a2n
..
.
an1 an2 . . . ann
,
x=
x1
x2
..
.
xn
,
b=
b1
b2
..
.
bn
Dalam kaitannya dengan invers matrik, matrik A disebut matrik non-singular jika matrik
A memiliki matrik invers dirinya yaitu A−1 . Atau dengan kata lain, matrik A−1 adalah invers dari matrik A. Jika matrik A tidak memiliki invers, maka matrik A disebut singular.
Bila matrik A dikalikan dengan matrik A−1 maka akan menghasilkan matrik identitas I,
yaitu suatu matrik yang elemen-elemen diagonalnya bernilai 1.
1 0 ... 0
0 1 ... 0
AA−1 = I = . . .
.. .. . . ...
0 0 ... 1
1
(2)
Misalnya diketahui,
A=
1 2 −1
0
,
2
2 1
−1 1
A−1 =
− 92
4
9
− 31
5
9
− 19
1
3
− 19
2
9
1
3
Bila keduanya dikalikan, maka akan menghasilkan matrik identitas,
5
1
−
1 2 −1
1
0
0
− 92
9
9
−1
4
1
2
= 0 1 0
AA = 2 1
0 9 −9
9
1
1
1
−3
−1 1
2
0 0 1
3
3
Lalu bagaimana cara mendapatkan matrik invers, A−1 ? Persamaan (2) bisa dijadikan
pedoman..
AA−1 = I
1 2 −1
2 1
−1 1
i11 i12 i13
1 0 0
i21 i22 i23 = 0 1 0
0
i31 i32 i33
2
0 0 1
dalam hal ini matrik A−1 adalah
A
−1
i11 i12 i13
= i21 i22 i23
i31 i32 i33
Elemen-elemen matrik invers, A−1 dapat diperoleh dengan menerapkan metode eliminasi
gauss. Diawali dengan membentuk matrik augment:
1 2 −1 | 1 0 0
2 1
0
|
0
1
0
−1 1
2 | 0 0 1
Lalu dilanjutkan dengan proses triangularisasi: (P2 − 2P1 )→(P2 ) dan (P3 + P1 )→(P3 ),
kemudian diikuti oleh (P3 + P2 )→(P3 ):
1
2 −1 |
1 0 0
0 −3
→
2
|
−2
1
0
0
3
1 |
1 0 1
1
2 −1 |
0 −3
0
0
2
1 0 0
2 | −2 1 0
3 | −1 1 1
Langkah berikutnya, matrik augment yang telah mengalami triangularisasi tersebut dipecah
menjadi tiga buah matrik augment seperti berikut ini:
1
2 −1 |
1
1
2 −1 | 0
0 −3
2 | −2 0 −3
2 | 1
0
3
1 |
1
0
0
3 | 1
1
2 −1 | 0
0 −3
2 | 0
0
0
3 | 1
Langkah pamungkasnya adalah melakukan proses substitusi mundur pada ketiga matrik
augment di atas, sehingga diperoleh:
i11 = − 29
i21 =
9
4
i31 = − 31
i12 =
5
9
i22 = − 19
i32 =
1
3
i13 = − 19
i23 =
i33 =
2
9
1
3
Hasil tersebut digabung menjadi sebuah matrik, yaitu matrik A−1 ,
2
5
1
−
−9
9
9
−1
4
2
1
A = 9 −9
9
1
1
− 13
3
3
Keberadaan matrik A−1 bisa digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear
(mencari nilai x), dengan cara sebagai berikut
Ax = b
A−1 Ax = A−1 b
Ix = A−1 b
x = A−1 b
(3)
Contoh berikut ini akan menjelaskan prosesnya secara lebih rinci. Misalnya diketahui
sistem persamaan linear
x1 + 2x2 − x3 = 2
2x1 + x2 = 3
−x1 + x2 + 2x3 = 4
Bila dikonversikan kedalam operasi matrik menjadi
2
1 2 −1
x1
2 1
0
x2 = 3
x3
−1 1
2
4
3
Berdasarkan persamaan (3), maka elemen-elemen vektor x dapat dicari dengan cara
x = A−1 b
x=
− 29
4
9
1
−3
5
9
− 91
1
3
− 19
2
9
1
3
2
3 =
4
7
9
13
9
5
3
Akhirnya diperoleh solusi x1 = 7/9, x2 = 13/9, dan x3 = 5/3. Penyelesaian sistem persamaan linear menjadi lebih mudah bila matrik A−1 sudah diketahui. Sayangnya,
untuk mendapatkan matrik A−1 , diperlukan langkah-langkah, seperti yang sudah dibahas pada contoh pertama di atas, yang berakibat in-efisiensi proses penyelesaian (secara
komputasi) bila dibandingkan dengan metode eliminasi gauss untuk memecahkan sistem
persamaan linear. Namun bagaimanapun, secara konseptual kita dianjurkan mengetahui
cara bagaimana mendapatkan matrik A−1 .
Saya telah memodifikasi program eliminasi gauss yang terdahulu, untuk keperluan perhitungan matrik invers. Program ini ditulis dengan bahasa fortran, sudah berhasil dikompilasi dalam Linux Debian (g77) dan Windows XP (Visual Fortran). Inilah programnya,
DIMENSION A(10,20), D(10,10), X(10)
REAL MJI
INTEGER TKR, BK, TK, Q
WRITE (*,*) ’=PROGRAM INVERS MATRIK DENGAN ELIMINASI GAUSS=’
WRITE (*,*)
C
LANGKAH 1: MEMASUKAN NILAI ELEMEN-ELEMEN MATRIK A
WRITE (*,’(1X,A)’) ’JUMLAH PERSAMAAN ? ’
READ (*,*) N
WRITE (*,*)
WRITE (*,*) ’MASUKAN ELEMEN-ELEMEN MATRIK A’
M = N + 1
DO 50 I = 1,N
DO 60 J = 1,N
WRITE (*,’(1X,A,I2,A,I2,A)’) ’A(’,I,’,’,J,’) = ’
READ (*,*) A(I,J)
60
50
CONTINUE
CONTINUE
4
C
LANGKAH 2: MENDEFINISIKAN MATRIK IDENTITAS
WRITE (*,*) ’MENDEFINISIKAN MATRIK IDENTITAS’
DO 70 I = 1,N
DO 80 J = M,N+N
A(I,J) = 0
IF (I+N .EQ. J) THEN
A(I,J) = 1
END IF
80
70
CONTINUE
CONTINUE
WRITE (*,*)
C
MENAMPILKAN MATRIK AUGMENT
WRITE (*,’(1X,A)’) ’MATRIK AUGMENT:’
DO 110 I = 1,N
WRITE (*,’(1X,5(F14.8))’) (A(I,J),J=1,N+N)
110
CONTINUE
WRITE (*,*)
C
MENGHITUNG JUMLAH TUKAR (TKR) POSISI. MULA2 TKR = 0
TKR = 0
C
MENGHITUNG JUMLAH OPERASI BAGI/KALI (BK).
BK = 0
C
MENGHITUNG JUMLAH OPERASI TAMBAH/KURANG (TK).
TK = 0
C
LANGKAH 3: MEMERIKSA ELEMEN2 PIVOT DAN PROSES TUKAR POSISI
NN = N-1
DO 10 I=1,NN
C
LANGKAH 4: MENDEFINISIKAN P
P = I
100
IF (ABS(A(P,I)).GE.1.0E-20 .OR. P.GT.N) GOTO 200
P = P+1
GOTO 100
200
IF(P.EQ.N+1)THEN
C
MENAMPILKAN PESAN SINGULAR
WRITE(*,5)
5
GOTO 400
END IF
C
LANGKAH 5: PROSES TUKAR POSISI
IF(P.NE.I) THEN
DO 20 JJ=1,N+N
C = A(I,JJ)
A(I,JJ) = A(P,JJ)
A(P,JJ) = C
TKR = TKR + 1
20
CONTINUE
END IF
C
LANGKAH 6: PERSIAPAN PROSES TRIANGULARISASI
JJ = I+1
DO 30 J=JJ,N
C
LANGKAH 7: TENTUKAN MJI
MJI = A(J,I)/A(I,I)
BK = BK + 1
C
LANGKAH 8: MELAKUKAN PROSES TRIANGULARISASI
DO 40 K=JJ,N+N
A(J,K) = A(J,K)-MJI*A(I,K)
BK = BK + 1
TK = TK + 1
40
CONTINUE
A(J,I) = 0
30
CONTINUE
10
CONTINUE
C
MENAMPILKAN HASIL TRIANGULARISASI
WRITE (*,’(1X,A)’) ’HASIL TRIANGULARISASI:’
DO 120 I = 1,N
WRITE (*,’(1X,5(F14.8))’) (A(I,J),J=1,N+N)
120
CONTINUE
C
LANGKAH 9: MEMERIKSA ELEMEN A(N,N)
IF(ABS(A(N,N)).LT.1.0E-20) THEN
C
MENAMPILKAN PESAN SINGULAR
6
WRITE(*,5)
GOTO 400
END IF
DO 500 J = 1,N
Q=N+J
C
LANGKAH 10: MENGHITUNG A(N,N)
D(J,N) = A(N,Q)/A(N,N)
BK = BK + 1
C
LANGKAH 11: PROSES SUBSTITUSI MUNDUR
L = N-1
DO 15 K=1,L
I = L-K+1
JJ = I+1
SUM = 0.0
DO 16 KK=JJ,N
SUM = SUM+A(I,KK)*D(J,KK)
BK = BK + 1
TK = TK + 1
16
CONTINUE
D(J,I) = (A(I,Q)-SUM)/A(I,I)
BK = BK + 1
TK = TK + 1
15
CONTINUE
500
CONTINUE
C
LANGKAH 12: MENAMPILKAN HASIL PERHITUNGAN
WRITE (*,*)
WRITE (*,’(1X,A)’) ’MATRIK INVERS:’
DO 220 I = 1,N
WRITE (*,’(1X,5(F14.8))’) (D(J,I),J=1,N)
220
CONTINUE
WRITE(*,8) TKR
WRITE(*,9) BK
WRITE(*,11) TK
400
STOP
7
5
FORMAT(1X,’MATRIK A BERSIFAT SINGULAR’)
8
FORMAT(1X,’JUMLAH TUKAR POSISI = ’,3X,I5)
9
FORMAT(1X,’JUMLAH OPERASI BAGI/KALI = ’,3X,I6)
11
FORMAT(1X,’JUMLAH OPERASI JUMLAH/KURANG = ’,3X,I6)
END
Saya cukupkan sementara sampai disini. Insya Allah akan saya sambung lagi di-
lain waktu. Kalau ada yang mau didiskusikan, silakan hubungi saya melalui email:
supri@f isika.ui.ac.id.
8