UNIT 5 MASALAH TIGA TITIK
UNIT 5 MASALAH TIGA TITIK OBJEKTIF
Objektif Am : Mempelajari dan memahami konsep masalah
tiga titik dan masalah tiga jarak serta cara penyelesaiannya. Objektif Khusus : Di akhir unit ini anda sepatutnya dapat :- menyatakan maksud masalah-masalah tiga titik dan penggunaannya.
menyelesaikan masalah-masalah bagi kes tersebut.
INPUT
5.1 Pengenalan Masalah Tiga Titik
Apakah sebenarnya yang dikatakan Masalah Tiga Titik?
Masalah tiga titik atau reseksi digunakan untuk menentukan kedudukan satu titik berdasarkan kepada tiga titik yang diketahui kedudukannya di bumi. Maksud kedudukan titik diketahui ialah samada ketiga-tiga titik tersebut mempunyai nilai kodinit atau garisan-garisan di antaranya mempunyai nilai bering dan jarak.
Bagaimana kedudukan satu-satu titik boleh ditentukan?
Ia boleh ditentukan jika sudut-sudut yang dirangkumi oleh kedua-dua garisan ( tiga titik ) diketahui dengan membuat cerapan dari titik yang hendak ditentukan kedudukannya. Rajah 5.1di bawah menunjukkan kedudukan titik-titik yang terlibat dengan masalah tiga titik ini.
B b a
C Y A
X
q p
Rajah 5.1
D
Titik A, B dan C adalah titik
- –titik yang telah diketahui kedudukannya, manakala titik D adalah titik yang hendak ditentukan kedudukannya.
Perlu ingat!!
Perhitungan bermula dengan menghitung sudut X dan Y terlebih dahulu.
Di dalam rajah di atas, sudut ABC, sudut p dan q diketahui nilainya, maka;- ………..(i )
X + Y = 360 - ( sudut ABC + p + q )
Formula yang digunakan di dalam penyelesaian masalah ini ialah seperti berikut:-
X Y (X Y) -
Tan Tan ( - 45 ) Tan
…( ii )
2
2 boleh diperolehi dengan menggunakan satu lagi formula iaitu:-
Nilai
Tan = b Sin p q a Sin Dengan memasukkan nilai yang sesuai ke dalam formula-formula di atas, kita akan memperolehi dua persamaan serentak dalam sebutan X dan Y.
Sudut X dan Y dapat dihitung dengan menyelesaikan persamaan serentak ( i) dan (ii) di atas.
Dengan adanya semua sudut di dalam empatsegi ABCD, kedudukan D boleh ditentukan dengan membuat hitungan menggunakan salah satu segitiga, iaitu samada dengan menggunakan segitiga ABD atau segitiga BCD.
AKTIVITI 5
UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT
SELANJU TNYA……..!
SELAMAT MENCUBA… Contoh 1:
Daripada data yang diberikan dalam rajah 5.2 di bawah, hitungkan nilai jarak kedudukan titik P dari titik A, B dan C.
A C Jarak AB = 251.20 meter
B Jarak AC = 224.00 meter Jarak BC = 260.80 meter Sudut APC = 25
52 00 Sudut APB = 48 58 00
Rajah 5.2
P
Penyelesaian: Langkah 1 Berdasarkan kepada segitiga ABC, sudut BAC boleh dihitung.
2
2
2 Kos BAC = ( 251.20 ) + ( 224.0 ) - ( 260.80 )
2 ( 251.20 ) ( 224.0 )
BAC = 66 17 07 Langkah 2
( X + Y ) = 360 - ( 66 17 07 + 48 56 00 + 25 52 00 ) X + Y = 218 52 53
……………………… ( i )
Langkah 3
Daripada segitiga ABP dan Rumus Sinus AP = 251.2 Sin X Sin 48 58 AP = 251.20 Sin X
……………………… ( i ) Sin 48 58
Daripada segitiga ACP AP = 224.00 dan Rumus Sinus Sin Y Sin 25 52 AP = 224.00 Sin Y
……………………… ( ii ) Sin 25 52
Persamaan ( i ) = ( ii ) 251.20 Sin X = 224.00 Sin Y Sin 48 58 Sin 25 52 Sin X = 224.00 Sin 48 58 Sin Y 251.20 Sin 25 52
Lihat Tan
= 224.00 Sin 48 58 251.20
Sin 25 52
= 57 01 58
Langkah 3
Masukkan nilai-nilai yang sesuai ke dalam Formula berikut:
X Y (X - Y)
Tan Tan ( - 45 ) Tan
2
2 Tan X
- – Y = Tan ( 57 01 58 – 45 ) Tan 10926 26
2 X
- – Y = - 31 07 43
2 X - Y = - 62 15 26 ……. (iii),
tetapi
X + Y = 218 52 53……( iv)
Langkah 4
Selesaikan kedua-dua persamaan di atas: X - Y = - 62 15 26
- X + Y = 218
2X = 156 37 27
X = 78 18 43
Dari ( iv ), X + Y = 218 52 53
Y = 140 34 10
Langkah 5 Contoh 2
Rajah 5.3 di bawah menunjukkan kedudukan satu kapal di satu titik D. Titik-titik A, B dan C adalah stesen-stesen yang telah diketahui kedudukannya di daratan. Berdasarkan kepada data-data yang diberikan, hitungkan nilai bagi DA, DB dan DC.
Dari segitiga ACP:- Sudut PAC = 180 - ( 40 34 10 +
25 52 00 ) = 13 33 50 PC = 224.0 Sin 13 33 50 Sin 25 52 PC = 120.415 meter
C B A Y
X 855.270 904.040 53 31 54 61 39 39
Rajah 5.3 A P C
Penyelesaian:
Daripada rajah di atas, X + Y = 360 - ( 125 50 58 + 61 39 39 ) X + Y = 118 57 29
……………………………..( i ) Andaikan Tan = Sin X
Sin Y Tan = 904.040 Sin 53 31 54
855.270 Sin 61 39 39
= 44 00 10 Daripada Formula:
X Y (X Y) - Tan Tan ( - 45 ) Tan
2
2 X Y (118 - 57 29)
Tan Tan (
44
00 10 - 45 ) Tan
2
2 X
- – Y = - 3 22 57 ……………………………………….( ii ) Daripada Persamaan ( i) dan ( ii ) X + Y = 118 57 29 _
X
- – Y = - 3 22 57
2 Y = 122 20 26
Y = 61 10 13 dan X = 57 47 16
Daripada segitiga ABD,
Sudut ABD = 180 - ( 57 47 16 + 53 31 54 ) = 68 40 50
AD = 855.270 x Sin 68 40 50 Sin 53 31 54 AD = 990.744 meter BD = 855.270 x Sin 57 47 16 Sin 53 31 54 BD = 899.825 meter
Daripada segitiga CBD,
Sudut CBD = 180 - ( 61 10 13 + 61 39 39 ) = 57 10 08 CD = 904.040 x Sin 57 10 08 Sin 61 39 39 CD = 863.077 meter
PENILAIAN KENDIRI
Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak jawapan anda pada maklumbalas yang disediakan. Jika ada masalah yang timbul, sila berbincang dengan pensyarah anda.
Selamat mencuba dan semoga berjaya!!!… Soalan 1 Daripada data-data dalam Rajah 5.4 yang diberikan di bawah, hitungkan jarak QS.
Q R P Jarak PQ = 154.0 meter Jarak QR = 179.0 meter Jarak PR = 200.0 meter
Sudut = 25 Sudut = 30
Rajah 5.4 S
Soalan 2
Dari satu kapal bacaan sextant telah diambil terhadap tiga stesen A, B dan C di daratan dan sudut yang dirangkumi oleh AB dan BC masing-masing dicerap sebagai 32 30 dan 62 30. Jarak untuk garisan AB adalah 360.0 meter, manakala BC pula ialah 615.0 meter. Sudut ABC pula diketahui 126 30.
Hitungkan jarak kapal itu dari B.
Soalan 3
Daripada data-data yang diberikan di dalam Rajah 5.5 di bawah, hitungkan jarak DA, DC dan DB.
B C Diketahui bahawa, Bering AC = 20 00 00 Jarak AC = 800 m Bering CB = 40 00 00 Jarak CB = 1500 m 40
A 20 D A
Rajah 5.5
MAKLUM BALAS PENILAIAN KENDIRI Sudahkah anda cuba menjawab soalan-soalan yang disediakan ? Jika ya, bandingkan jawaban anda dengan jawaban yang dibuat oleh pakar seperti di bawah!!.. JAWAPAN: Soalan 1
Q R P Jarak PQ = 154.0 meter
Jarak QR = 179.0 meter
Jarak PR = 200.0 meter Sudut = 25
Sudut = 30 S
Langkah penyelesaian i) Dari segitiga PQR , hitung sudut PQR menggunakan formula kosain .
2
2
2 Kos PQR = (PQ) + (QR) - (PR)
2.(PR).(QR) Sudut PQR = 73 23 35 ii) Hitung sudut ( X + Y ) ( X + Y ) = 360
- – ( sudut PQR + 25 + 30 ) ( X + Y ) = 231 36 25 ………………… per .1 iii) Menggunakan formula , Andaikan Tan = Sin X , = 44 29 34
Sin Y iv) Gunakan formula asas ,
X Y (X - Y) Tan Tan ( - 45 ) Tan
2
2 ( X
- – Y ) = 02 05 52 …………………….per. 2 v) Selesaikan persamaan serentak ( per. 1 dan per. 2 )
X = 116 51 09 , Y = 114 45 16 vi) Selesaikan segitiga QPS atau QRS untuk dapatkan nilai jarak QS
QS = 325.103 meter Soalan 2 Dari kapal ke stesen B = 636.626 Soalan 3 DA = 1832.631 m, DC = 1861.289 m, DB = 2275.870 m