34 MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA (1)

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA

BAB 4.

VEKTOR

Kompetensi dasar :

4.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam
pemecahan masalah.
4.2 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua
vektor dalam pemecahan masalah.

Pernahkah kamu melihat pedagang sedang menimbang barang dagangannya ?
Ternyata pada saat menimbang benda ada beberapa gaya yang bekerja,
diantaranya gaya berat dan gaya normal. Secara matematis untuk menentukan
besar dan arah gaya yang bekerja digambarkan dalam bentuk vektor.

PERTEMUAN ke-28 s.d ke-30
Indikator : 1. Menjelaskan vektor sebagai besaran yang mempunyai besar dan arah.
1. Menentukan operasi aljabar vektor

2. Menjelaskan sifat-sifat vektor secara aljabar dan geometri
A. PENGERTIAN VEKTOR
Adalah garis berarah yang mempunyai titik pangkal dan ujung.
A Gambar vektor disamping pangkalnya dititik O dan ujungnya dititik
A disebut vektor OA atau vektor a .
a
Panjang atau besar vektor OA atau a :
O

1.Pada R2 ( Bidang ) → a  x 2  y 2

2.Pada R3 ( Ruang ) → a  x 2  y 2  z 2

B. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN VEKTOR
Secara geometri penjumlahan vektor dapat diselesaikan dengan cara segitiga maupun jajar
genjang, sedangkan secara analitik dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan
komponen-komponen yang bersesuaian.
 x
Penulisan vektor secara analitik a    atau a  x, y 
 y

By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

34

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA

Contoh :

Diketahui vektor- vektor sebagai berikut :
a

b

a. a + b = …
b. a – c = …

c

Penyelesaian :
a. a + b =

a
b. a – c =

Tentukan :

-c

Cara jajar genjang

b
a

Cara segitiga

C. PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR
Jika a adalah suatu vektor dan k bilangan real (skalar), maka hasil kalinya dituliskan k a
a 
 ka 
a   1  maka k a =  1 
 a2 

 ka 2 
Sifat-sifat perkalian vektor dengan skalar :
1.

ka = k a

2. k ( - a ) = - k a

3. k a = a k

4. k ( a  b ) = k a + k b

LATIHAN 1

1. Tentukan panjang atau besar vektor berikut ini :
 6 
b. b  3,4,2 
a. a   
  8
2. Diketahui titik A(1,-2), B(5,3), dan C(0,-4) tentukan vektor :

a. OA
b. AB
c. BC
d. CB
 3
 5
  4
3. Diketahui vektor AB    , CD    , dan EF    tentukan :
 2
1
 1 
a. AB  CD

b. CD  EF
 6 
  3
 
 
4. Diketahui vektor-vektor a    5  dan b   3  tentukan :
 2 

 7
 
 
a. 6 a - 3 b
Catatan

b. - 7 a + 4 b
: Penulisan vektor dapat juga ditulis :
1. Pada R2 ( Bidang ) → a = x i + y j
2. Pada R3 ( Ruang ) → a = x i + y j + z k

By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

35

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA
D. PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR
Hasil perkalian titik/skalar ( dot product ) dari vektor a dan vektor b didefinisikan :

a .b =

a b cos 

cos  

atau

a . b
ab

dengan  adalah sudut terkecil yang dibentuk vektor a dan b
Hasil perkalian titik dua vektor merupakan suatu skalar
x 
x 
1. Pada R2
Jika a   1  dan b   2  maka
 y1 
 y2 

2. Pada R3

a . b = x1x2 + y1y2
 x1 
 x2 
 
 
Jika a   y1  dan b   y 2  maka
z 
z 
 1
 2

a . b = x1x2 + y1y2 + z1z2
Dua vektor saling tegak lurus jika a . b = 0

Contoh :

Tentukan nilai kosinus sudut yang dibentuk vektor a = (2,-3) dan b = (-1,4)
Penyelesaian :

cos  

a . b
ab

(2 x(1))  ((3 x 4)

2  (3) 2 x (1) 2  4 2
14
=
= - 0,94
221
=

2

E. VEKTOR SATUAN
Adalah vektor bukan nol yang searah dengan vektor a yang besarnya satu satuan ditulis ậ
a
1. Pada R2

ậ=

a

a
a
2. Pada R3

ậ=

 x
 
x2  y2  y
1

=


 x

 
 y
x2  y2  z2  z 
 
1

By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

36

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA

Contoh :

  3
Tentukan vektor satuan dari vektor a   
 4 
Penyelesaian :

Panjang vektor a → a  ( 3) 2  4 2 =

 3
1   3   5 

ậ=
=    
5 4   4 
a


 5 

25 = 5

a

Vektor Satuan

LATIHAN 2

1. Tentukan nilai kosinus sudut yang dibentuk oleh dua vektor berikut :
a. a = (2,5) dan b =(- 4,7)
b. a = 4 i - 8 j dan b = - 6 i - 3 j
2. Tentukan nilai x agar vektor a tegak lurus terhadap vektor b jika :
a. a = (6,x) dan b =(- 1,2)
b. a = (5,1,x) dan b =(x,2,- 3)
3. Hitunglah asil kali skalar dua vektor antara a dan b yang membentuk sudut  jika
diketahui :
a = 12, b = 6, dan  = 450

a.

b.

a = 8, b = 5, dan  = 300

4. Diketahui segitiga PQR dengan P(5,7,-5), Q(4,7,-3), dan R(5,8,a). Jika segitiga PQR
adalah segitiga sama sisi tentukan nilai a.
5. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b jika diketahui :
a. a = 8, b = 6 dan a . b = 24 3 b.

a = 9, b = 10 dan a . b = - 45 2

PERTEMUAN ke-31 s.d ke-32
Indikator : 1. Menentukan pembagian ruas garis dalam bentuk vektor.
2. Menentukan proveksi ortogonal vektor
F. PEMBAGIAN RUAS GARIS DALAM BENTUK VEKTOR
m

A
a t

b

T

n

B

Vektor t dapat ditentukan dengan rumus :
t

n a  mb
mn

untuk m + n ≠ 0

O

Contoh :
Diketahui titik A dan B masing-masing A(5,7,2) dan B (-3,-1,6). Titik T membagi ruas
garis AB dengan perbandingan AT : TB = - 1 : 3. Tentukan vektor t
By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

37

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA
Penyelesaian :
5
  3
 
 
Vektor a   7  dan b    1  maka :
 2
 6 
 
 
 b  3a
=
1 3

t

=

  3  5 
   
   1   3 7 
 6   2
   

2
3
   15 
   
 1    21
  6  6 
   
2

9
 
= 11 
0
 

G. PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR PADA VEKTOR LAIN
A
Proyeksi ortogonal ruas garis OA pada OB masingmasing dititik O dan C atau pada ruas garis OC
a
O



c

C

b

B

1. Panjang proyeksi ortogonal
c 

a . b
b

ˆ
atau c  a . b

2. Proyeksi vektor ortogonal


a . b
c   2 b
 b 



Contoh :

2
 3 
 
 
Diketahui vektor a   3  dan b    4  tentukan :
  1
 5 
 
 
a. Panjang proyeksi ortogonal vektor a pada b
b. Proyeksi vektor a pada b

By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

38

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA
Penyelesaian :

a. c 

a . b
b

(2 x3)  (3 x(4))  (1) x5)

3 2  (4) 2  5 2
 11
11
11
=


2
50 5 2 10


a . b
b. c   2 b
 b 


=

 3 
(2 x3)  (3 x(4))  (1) x5)  
=
  4
2
2
2
2
 5 
3  (4)  5
 



 33 
 
 3   50 
11    44 
=   4 =
50    50 
 5   55 
 
 50 



LATIHAN 3

1. Diketahui u  2i  4 j  5k dan v  2i  j  2k tentukan :

a.

u dan v

b. u . v

c. panjang proveksi u pada v
d. Proyeksi vektor u pada v
 3 
  3
 
 
2. Diketahui a    5  dan b   1  tentukan :
 1 
 7 
 
 
a.

a dan b

b. a . b

c. panjang proveksi a pada b
d. Proyeksi vektor a pada b
 2 
3
 
 
3. Diketahui a    2  , b   p  , dan proyeksi skalar b pada a sama dengan a
 2 
3
 
 
tentukan nilai p
4. Diketahui titik-titik A(1,2,4), B(0,3,5), dan C(-3,2,-1). Jika AB mewakili vektor b
dan AC mewakili vektor c tentukan panjang proyeksi dan vektor proyeksi b pada c
By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

39

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA

RANGKUMAN
1. Besaran vektor adalah besaran yang mempunyai besar (panjang) dan arah.
2. Besar vektor a terletak pada :
a. Bidang → a =(x,y) maka a  x 2  y 2

b. Ruang → a =(x,y,z) maka a  x 2  y 2  z 2
3. Resultan vektor dapat ditentukan dengan aturan segitiga atau aturan jajar genjang.
4. Rumus perkalian skalar dua vektor dinyatakan sebagai berikut :
a. Bidang → a . b  x1 x1  y1 y 2  a b cos 

b. Ruang → a . b  x1 x1  y1 y 2  z1 z 2  a b cos 
5. Pembagian ruas garis AB oleh titik T dengan perbandingan AT : TB = m : n dapat
ditentukan dengan rumus t 

n a  mb
mn

6. Sudut yang dibentuk oleh dua vektor cos  

a . b
ab

7. Jika c adalah panjang proyeksi ortogonal vektor a pada b dinyatakan dengan rumus
c 

a . b
b

atau c  a . bˆ



a . b
8. Jika c proyeksi vektor ortogonal vektor a pada b dinyatakan dengan rumus c   2 b
 b 



By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

40

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA

EVALUASI BAB IV
I.

Pilihlah jawaban yang paling tepat !

1. Diketahui A(3,5,2) dan B(1,-2,6). Vektor posisi AB adalah ...
a. (2,7,4)
d. (2,-7,-4)
b. (-2,-7,4)
e. (2,7,-4)
c. (-2,-4,-7)
2. Jika v  2i  4 j  5 k maka panjang vektor tersebut adalah ...
a. 5
d.
b. 6
e.
c. 7
3. Agar vektor u  pi  2 j  k
adalah ...
a. p = 1 atau p = 2
d.
b. p = -2 atau p = 1
e.
c. p = 1 atau p = -1

4 5
4
dan v  2 pi  p j  4k saling tegak lurus maka nilai p
p = -1 atau p = -2
p = -1 atau p = 2

4. Jika P(3,-1,2), Q(2,4,0), dan R(1,3,-2) maka nilai PQ . PR adalah ...
a. 0
d. 14
b. 12
e. 16
c. 14
  1
 1 
 
 
5. Sudut yang dibentuk oleh vektor u   1  dan v    2  adalah ...
0
 2 
 
 

a. 300
d. 1200
b. 600
e. 1350
0
c. 90
6. Diketahui titik A(1,0,-2) dan B(4,2,-3). Titik P terletak pada AB sedemikian rupa
sehingga AP : PB = 2 : 3. Jika p vektor posisi titik P maka besarnya adalah ...
 9 4  12 
 11 4

d.  , ,4 
a.  , ,

5 5 5 
3 3

11
4

12
11




b.  , ,
e.  2,6, 

2
5 5 5 

 11 4  12 
c.  , ,

7 7 7 
7. Diketahui titik A(-2,1) dan B(3,-4). Jika C terletak pada garis AB , dengan perbandingan
AC : CB = 8 : -3, maka koordinat C adalah ...
a. (6,-7)
d. (-7,6)
b. (6,7)
e. (-7,-6)
c. (7,6)
By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

41

MODUL MATEMATIKA KELAS XII IPA
8. Koordinat titik P yang terletak pada perpanjangan BA , dengan A(-1,3,-2), B(2,9,1), dan
BA : AP = 3 : 1 adalah ...
a. (-2,1,-3)
d. (2,1,3)
b. (-2,-1,3)
e. (2,-1,-3)
c. (2,-1,3)
3
9. Panjang dari proyeksi vektor u   3 i  3 j  k pada vektor v  3 i  p j  3k adalah ,
2
maka nilai p adalah ...
a. 2 atau -2
d. 2 atau 1
b. 2 atau -1
e. 2 atau 3
c. -1 atau 1
10. Proyeksi vektor ortogonal u =(3,1,-5) pada v = (-1,2,-2) adalah ...
a. (-1,2,2)
d. (-1,-2,1)
b. (-1,-2,-2)
e. (-1,-1,1)
c. (-1,2,-2)
II. Jawablah dengan tepat !

1. Jika vektor u  (a  3)i  a 3 j  a 2 k tegak lurus terhadap v  i  j  3k , tentukan nilai
dari a.
2. Diketahui koordinat titik A(-2,6,5), B(2,6,9), dan C(5,5,7). Jika titik P terletak pada AB ,
dengan perbandingan AP : PB = 3 : 1, tentukan :
a. Koordinat titik P
b. Panjang proyeksi ortogonal vektor PC pada AB
 3
 3


 
3. Jika x   3  , y   p  , dan vektor z adalah hasil proyeksi vektor pada y. Jika


 
 1 
 3 
3
panjang z  tentukan nilai p.
2

4. Diketahui a  2 , b  9 , dan a  b  5 tentukan besar sudut antara vektor a dan b

By Ibnu Fajar,S.Pd – SMA Negeri 1 Pagar Alam

42