FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI docx
FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI
OLEH
FEBER DHIKA PURBA
5163331009
RUSMAN ADI HUTAURUK
5163331026
HAN JATI NEGARA
5163331012
JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
KATA PENGANTAR
Denganmengucapkanpujidansyukurkepada
Allah
karenamelimpahkanrahmatdankaruniannyakepada
kami,
Yang
Mahakuasa,
sehingga
kami
dapatmenyelesaikanpenyusunanmakalahinidenganjudul “MakalahMatematikaFungsidan Limit”.
Makalahinidisusundenganharapandapatmenambahpengetahuandanwawasankitasemuatentangma
cam-macambilangandan lain-lain.
Kami
Untukitu
kami
menyadaribahwadalampenyusunanmakalahinimasihjauhdarikesempurnaan.
sangatmengharapkankritikdan
saran
yang
sifatnyamembangun.
Kami
berharapsemogamakalahinidapatbermanfaatbagikitasemua.
Medan, 05 oktober 2016
Penyusun
BAB I
PENDAHULUAN
A. LatarBelakangMasalah
Limit merupakankonsepdasarataupengantardarideferensialdan integral padakalkulus.
Cobalahambilkelerengdalamsebuahtempatdengangenggamansebanyak 5 kali. Setelahituhitung,
pengambilanpertamaterdapat 5 butir, pengambilankedua 6 butir, pengambilanketiga 5 butir,
pengambilankeempat
7
Jadi,
padapengambilanpertamasampaipengambilankelimaadalah
rata-rata
butir,
danpengambilankelima
6
butir.
=
5,8dandikatakanhampirmendekati 6. Dalamcontohsehari-hari, banyaksekalikitatemukan katakata
hampir,
mendekati,
Pengertiantersebutseringdianalogikakandenganpengertian limit.
B. IdentifikasiMasalah
1. Pengertianfungsi
2. Sifat-sifat limit
hargabatasdsb.
BAB II
PEMBAHASAN
A. FUNGSI
Fungsiadalahsebuahfungsif adalahaturanpadanan yang
memetakansetiapobjekxdalamsuatuhimpunandengansatunilaif(x)darihimpunankedua. Himpunan
yang pertamadisebutdengandaerahasal (domain) Dfdanhimpuna yang
keduadisebutdengandaerahhasil (range) Rf.
f(x)
x
x
1. NotasiFungsi
Padadefenisi yang diatasfungsif denganaturany=f(x) dituliskandenganlambang:
f :Df⇾Rf y = f(x)
yangberartifungsi f memetakan x di DfkeRf ={f(x)∣x∊Df}. Dalamhalini, x
dinamakanvariabelbebas, y merupakanfungsidari x yang nilainyatergantungdari x
dinamakanvariabeltakbebas.
Sedangkanuntukmenyatakannilaifungsi y= f(x) di titik x=a, digunakansimbol f(a). Ada
kalanyafungsidigunakannotasi-notasi yang lain, seperti:
y = g(x), y = h(x), x=f(x), y=g(t)
sebagaiilustrasimisalnyadiberikan, f(x)= x2-4x, maka:
f(3)
= 32-4(3) =-3
f(-2)
=(-2)2-4(-2) =4
f(a+h) = (a+h)2-4(a+h) = a2+2ah+h2-4a-4h
contoh
diberikanfungsi, f(x) = x2-4x+3x, hitunglahdansederhanakan
a. f(4)
b. f(4+h)
c. f(4+h) - f(4)
d. [f(4+h)-f(4)]/h
Penyelesaian
a. f(4) = 42 – 4(4)+3
=3
b. f(4+h) = (4+h)2-4(4+h)+3
=16+8h+h2-16-4h+3
=h2+4h+3
c. f(4+h)-f(4)
=h2+4h+3-3
=h2+4h
d.
f ( 4 +h )−f ( 4) h2+ 4 h
=
h
h
=
h(h+4)
h
= h+4
2. OperasiPadaFungsi
Misalkandiberikanfungsi f dang :
a) Jumlahnyafungsif dang, dinyatakandenganf+g, adalahfungsibaru yang
didefenisikanoleh:
(f+g)(x) = f(x)+g(x)
b) Selisihnyafungsif dang, dinyatakandenganf-g, adalahfungsibaru yang didefenisikanoleh:
(f-g)(x) = f(x)-g(x)
c) Hasil kali fungsifdang, dinyatakandenganf.g, adalahfungsibaru yang didefenisikanoleh
(f.g)(x) = f(x).g(x)
d) Hasilbagifungsifdang, dinyatakandenganf/gadalahfungsibaru yang didefenisikanoleh
(f/g)(x)=f(x)/g(x), dengansyaratg(x)#0
Contoh
Diberikanfungsi f dang yangdidefenisioleh,
f(x) =
√ 4+ x dan g(x) = √ 16−x
tentukan :
a) (f+g)(x)
b) (f-g)(x)
c) (f.g)(x)
d) (f/g)(x)
Penyelesaian:
a. (f+g)(x)=
√ x+ x + √ 16−x
b. (f-g)(x) =
√ x+ x - √ 16−x
c. (f.g)(x) =
√ x+ x √16−x = √ ( x+ 4 ) ( 16−x ) = √ 64−10 x−x ²
√ 4+ x
16−x
d. (f/g)(x) =
=
√
4+x
16−x
B. TEOREMA LIMIT FUNGSI
Teorema 1
Andaikann bilanganbulatpositif, kdan g adalahfungsi-fungsi yang mempunyai limit :
1)
lim k=k
2)
lim x=c
x→ c
x→ c
k f ( x )=¿ lim f (x)
3)
x →c
lim ¿
x→ c
f ( x ) +¿ lim g ( x)
x→ c
4)
[ f ( x )−g ( x ) ]=¿ lim ¿
x →c
lim ¿
x →c
[ f ( x )−g ( x ) ]=¿ lim f ( x )−lim g ( x)
x →c
5)
x →c
lim ¿
x →c
[ f ( x ) g ( x ) ]=¿ lim f (x) lim g( x )
x→c
6)
x →c
lim ¿
x→c
7)
8)
lim
x→ c
f (x )
=
g( x )
lim f ( x )
x →c
lim g( x )
g ( x)
lim ¿ 0 ¿
, asalkan
x→ c
x→c
f ( x)
lim [ f ( x ) ] ͪͪ =¿ [
lim ¿ ͪͪ ¿
x→ c
x→ c
9)
lim √n f ( x) =
x→ c
√ lim f ( x)
n
x→ c
, asalkan
lim f ( x ) > 0 bilamanan genap.
x→ c
Contoh
a.
lim (3 x2 + 4 x)
x→ 2
x2 +16
√
b. lim
x
x→ 3
Penyelesaian
a.
lim (x 2+ 4 x)
x→ 2
=
lim 3 x ²
+
x→ 2
=3
lim 4 x
x→ 2
lim x ²
x→ 2
= 3[
+4
x
lim ¿ ²¿
x→ 2
lim x
x→ 2
+4
x =¿
lim ¿
x→ 2
3(2)2+4(2) = 20
b.
x ²+16
lim √
x→ 3
x
=
lim √ x
x →3
lim x
lim ( x +16)
√
=
2
x→ 3
3
x →3
lim x
=
¿
1
lim x 2+ lim 16
3 x→3
x→ 3
√
1 2
√ 3 + 16
3
=
5
3
x →3
=
[¿ ]²+16
1
√¿
3
BAB III
PENUTUP
A. Simpulan
Dalambahasamatematika, limit menjelaskannilaisuatufungsijikadidekatidarititiktertentu.
Mengapaharusdidekatidarititiktertentudanbukantepatdititiktertentu? Hal
inidisebabkantidaksemuafungsiterdefinisipadasemuatitik.
Faktorterpentingadalahmemahamikonsepdandefinisidari limit fungsiitusendiridanjugasifatsifatnya.
B. Saran
Penyusunmengharapkansetelah para pembacaselesaimembacamakalahini,
Penyusunsangatmengharapkansebuah saran yang mendukungdanmembangun agar
makalahinibisalebihbaiklagi.
DAFTAR PUSTAKA
Prayudi. 2006. kalkulus: fungsisatuvariabel. Yogyakarta: Grahailmu.
OLEH
FEBER DHIKA PURBA
5163331009
RUSMAN ADI HUTAURUK
5163331026
HAN JATI NEGARA
5163331012
JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
KATA PENGANTAR
Denganmengucapkanpujidansyukurkepada
Allah
karenamelimpahkanrahmatdankaruniannyakepada
kami,
Yang
Mahakuasa,
sehingga
kami
dapatmenyelesaikanpenyusunanmakalahinidenganjudul “MakalahMatematikaFungsidan Limit”.
Makalahinidisusundenganharapandapatmenambahpengetahuandanwawasankitasemuatentangma
cam-macambilangandan lain-lain.
Kami
Untukitu
kami
menyadaribahwadalampenyusunanmakalahinimasihjauhdarikesempurnaan.
sangatmengharapkankritikdan
saran
yang
sifatnyamembangun.
Kami
berharapsemogamakalahinidapatbermanfaatbagikitasemua.
Medan, 05 oktober 2016
Penyusun
BAB I
PENDAHULUAN
A. LatarBelakangMasalah
Limit merupakankonsepdasarataupengantardarideferensialdan integral padakalkulus.
Cobalahambilkelerengdalamsebuahtempatdengangenggamansebanyak 5 kali. Setelahituhitung,
pengambilanpertamaterdapat 5 butir, pengambilankedua 6 butir, pengambilanketiga 5 butir,
pengambilankeempat
7
Jadi,
padapengambilanpertamasampaipengambilankelimaadalah
rata-rata
butir,
danpengambilankelima
6
butir.
=
5,8dandikatakanhampirmendekati 6. Dalamcontohsehari-hari, banyaksekalikitatemukan katakata
hampir,
mendekati,
Pengertiantersebutseringdianalogikakandenganpengertian limit.
B. IdentifikasiMasalah
1. Pengertianfungsi
2. Sifat-sifat limit
hargabatasdsb.
BAB II
PEMBAHASAN
A. FUNGSI
Fungsiadalahsebuahfungsif adalahaturanpadanan yang
memetakansetiapobjekxdalamsuatuhimpunandengansatunilaif(x)darihimpunankedua. Himpunan
yang pertamadisebutdengandaerahasal (domain) Dfdanhimpuna yang
keduadisebutdengandaerahhasil (range) Rf.
f(x)
x
x
1. NotasiFungsi
Padadefenisi yang diatasfungsif denganaturany=f(x) dituliskandenganlambang:
f :Df⇾Rf y = f(x)
yangberartifungsi f memetakan x di DfkeRf ={f(x)∣x∊Df}. Dalamhalini, x
dinamakanvariabelbebas, y merupakanfungsidari x yang nilainyatergantungdari x
dinamakanvariabeltakbebas.
Sedangkanuntukmenyatakannilaifungsi y= f(x) di titik x=a, digunakansimbol f(a). Ada
kalanyafungsidigunakannotasi-notasi yang lain, seperti:
y = g(x), y = h(x), x=f(x), y=g(t)
sebagaiilustrasimisalnyadiberikan, f(x)= x2-4x, maka:
f(3)
= 32-4(3) =-3
f(-2)
=(-2)2-4(-2) =4
f(a+h) = (a+h)2-4(a+h) = a2+2ah+h2-4a-4h
contoh
diberikanfungsi, f(x) = x2-4x+3x, hitunglahdansederhanakan
a. f(4)
b. f(4+h)
c. f(4+h) - f(4)
d. [f(4+h)-f(4)]/h
Penyelesaian
a. f(4) = 42 – 4(4)+3
=3
b. f(4+h) = (4+h)2-4(4+h)+3
=16+8h+h2-16-4h+3
=h2+4h+3
c. f(4+h)-f(4)
=h2+4h+3-3
=h2+4h
d.
f ( 4 +h )−f ( 4) h2+ 4 h
=
h
h
=
h(h+4)
h
= h+4
2. OperasiPadaFungsi
Misalkandiberikanfungsi f dang :
a) Jumlahnyafungsif dang, dinyatakandenganf+g, adalahfungsibaru yang
didefenisikanoleh:
(f+g)(x) = f(x)+g(x)
b) Selisihnyafungsif dang, dinyatakandenganf-g, adalahfungsibaru yang didefenisikanoleh:
(f-g)(x) = f(x)-g(x)
c) Hasil kali fungsifdang, dinyatakandenganf.g, adalahfungsibaru yang didefenisikanoleh
(f.g)(x) = f(x).g(x)
d) Hasilbagifungsifdang, dinyatakandenganf/gadalahfungsibaru yang didefenisikanoleh
(f/g)(x)=f(x)/g(x), dengansyaratg(x)#0
Contoh
Diberikanfungsi f dang yangdidefenisioleh,
f(x) =
√ 4+ x dan g(x) = √ 16−x
tentukan :
a) (f+g)(x)
b) (f-g)(x)
c) (f.g)(x)
d) (f/g)(x)
Penyelesaian:
a. (f+g)(x)=
√ x+ x + √ 16−x
b. (f-g)(x) =
√ x+ x - √ 16−x
c. (f.g)(x) =
√ x+ x √16−x = √ ( x+ 4 ) ( 16−x ) = √ 64−10 x−x ²
√ 4+ x
16−x
d. (f/g)(x) =
=
√
4+x
16−x
B. TEOREMA LIMIT FUNGSI
Teorema 1
Andaikann bilanganbulatpositif, kdan g adalahfungsi-fungsi yang mempunyai limit :
1)
lim k=k
2)
lim x=c
x→ c
x→ c
k f ( x )=¿ lim f (x)
3)
x →c
lim ¿
x→ c
f ( x ) +¿ lim g ( x)
x→ c
4)
[ f ( x )−g ( x ) ]=¿ lim ¿
x →c
lim ¿
x →c
[ f ( x )−g ( x ) ]=¿ lim f ( x )−lim g ( x)
x →c
5)
x →c
lim ¿
x →c
[ f ( x ) g ( x ) ]=¿ lim f (x) lim g( x )
x→c
6)
x →c
lim ¿
x→c
7)
8)
lim
x→ c
f (x )
=
g( x )
lim f ( x )
x →c
lim g( x )
g ( x)
lim ¿ 0 ¿
, asalkan
x→ c
x→c
f ( x)
lim [ f ( x ) ] ͪͪ =¿ [
lim ¿ ͪͪ ¿
x→ c
x→ c
9)
lim √n f ( x) =
x→ c
√ lim f ( x)
n
x→ c
, asalkan
lim f ( x ) > 0 bilamanan genap.
x→ c
Contoh
a.
lim (3 x2 + 4 x)
x→ 2
x2 +16
√
b. lim
x
x→ 3
Penyelesaian
a.
lim (x 2+ 4 x)
x→ 2
=
lim 3 x ²
+
x→ 2
=3
lim 4 x
x→ 2
lim x ²
x→ 2
= 3[
+4
x
lim ¿ ²¿
x→ 2
lim x
x→ 2
+4
x =¿
lim ¿
x→ 2
3(2)2+4(2) = 20
b.
x ²+16
lim √
x→ 3
x
=
lim √ x
x →3
lim x
lim ( x +16)
√
=
2
x→ 3
3
x →3
lim x
=
¿
1
lim x 2+ lim 16
3 x→3
x→ 3
√
1 2
√ 3 + 16
3
=
5
3
x →3
=
[¿ ]²+16
1
√¿
3
BAB III
PENUTUP
A. Simpulan
Dalambahasamatematika, limit menjelaskannilaisuatufungsijikadidekatidarititiktertentu.
Mengapaharusdidekatidarititiktertentudanbukantepatdititiktertentu? Hal
inidisebabkantidaksemuafungsiterdefinisipadasemuatitik.
Faktorterpentingadalahmemahamikonsepdandefinisidari limit fungsiitusendiridanjugasifatsifatnya.
B. Saran
Penyusunmengharapkansetelah para pembacaselesaimembacamakalahini,
Penyusunsangatmengharapkansebuah saran yang mendukungdanmembangun agar
makalahinibisalebihbaiklagi.
DAFTAR PUSTAKA
Prayudi. 2006. kalkulus: fungsisatuvariabel. Yogyakarta: Grahailmu.