getdoca41e. 388KB Jun 04 2011 12:04:48 AM

✠✏ ☞ ✑ ✁ ✓☛ ✒
✎ ☛
✔ ✠
✆✍
✌☛ ✕ ✕ ✍ ✁ ✍ ✞✡✖
✂✁☎✄✝✆✟✞✡✠✡☛✌☞
✑
✗ ☛ ✁✙✘✛✚✢✜✤✣✙✥✦✜✧✜✩★✦✪✬✫✮✭ ✑✦✯ ✄ ✠ ☞ ☛ ✘✛✚✧✚✧✫ ✯✮✑✦✰ ✄✲✱✴✳✩✵ ✚✲✶✸✷✹✚✻✺✹✘
✼ ☛ ✏ ✠ ☞ ✑ ✁✾✽✴✿✴❀
❁ ✞❂✞ ✯❄❃❆❅✧❅❈❇✛❇✛❇ ✘❊❉ ✑ ✞ ❁ ✘ ❇❋✑ ✱ ❁ ✍ ☞ ✰ ✞ ☛ ☞ ✘ ✄✲● ✏ ❅ ∼✄■❍ ✯ ✄ ✆ ✯❏❅
✔▲❑◆▼P❖◗❑✩❘P❙❯❚✮❱❳❲✲❨❩❘✻❑◆❬❏▼P❚❭❱❳❪✾❙❯❨❴❫✦❘✻❵❜❛❝❨❯❚✮❱✙❞✓❚✮❞❢❡✤❵❣❘✢❘✻❵❜❨✾❬❤❚❭❨❯✐❦❥❧❫✩❫✩❙❯❖❯❚✹❘P❵❣❛❩❨♥♠♦❵❜♣q❑r❞
✔▲❚✮❚✩s❝❛✉t✈❚❭❱❜♣✇❵❜❨❯❑r❨
① ✕ ☛✌②④③ ●✮✄ ❉✌✍⑤✫❭⑥ ✞ ❁ ✄ ❉ ✞ ✍ ✆ ✁❄⑦ ✄ ✠ ✞ ❉ ✄ ✞
✑ ⑧⑩⑨■❶ ✶■✥✦✜✩★✦✜✦✑ ✜ ① ✕ ☛ ✑ ✫ ⑧ ✍ ✑ ☞ ✁ ☞ ● ✯❭✑ ☞
❷ ❉ ✑ ✍❸✁ ❃⑩✯ ❁ ✱ ✑ ✁❹❉❢✍ ☞❏❺ ✑ ✕ ✑ ☛ ✘❼❻
●
☞
✑
❽❾❚✮▼❈❫➀❿➁❛❏▼
✽ ☞ ✍➃➂ ✄ ✠ ✱ ✍ ✞➅➄ ✭◗✍ ✄ ✠➆✠ ✄✝✄ ✞ ⑥ ✑ ✠ ✍ ✄➁➇ ✏ ✠ ✍ ✄ ✫❭❀ ✑ ✕ ☛ ✠ ✑ ✞ ☛ ✍ ✠ ✄▲●✮✄ ✭ ✠ ☛ ✕ ✑ ✕ ✍❹✁❸✍ ✞➅➄ ✱
✷✹✫❏✭◗✁ ✑ ✆ ✄ ✼ ✏ ✱➆✱ ✍ ✄ ✏ ✫ ➇ ✑ ✱❂✄ ✚✻➈✧➈➉✫ ⑧ ✶ ✵ ★✧✥✧★✧✥♦✭ ✑ ✠ ✍ ✱➊➇❳✄➋●✮✄➍➌ ✜✧★➉✫ ⑧ ✠ ✑ ☞ ✆ ✄

➎➐➏ ❞✲❘✢▼❈❚✮❫✦❘
❀ ✄ ✞ X ✕ ✄ ✑ ✁❸✍ ☞ ✄ ✑ ✠ ● ✍❹➑ ✏ ✱ ✍ ☛ ☞ ✑ ☞ ● f ✑ ☞ ☛ ☞ ✶ ☞ ✄ ✰✩✑ ✞ ✍➃➂ ✄ ✫✮➒ ☛ ✠ ✄ ✁❄❉ ✄ ✑ ✱ ✏ ✠ ✑ ✕ ✁ ✄ ✒ ✏ ☞ ✆ ✶
✞ ✍❁ ☛ ☞ ✘④➓ ✄ ✑ ✠ ✄ ✁✾✍ ✍☞ ✞ ✄ ✠ ✄➋✱ ✞ ✄✲✁ ● ✒ ✍ ☞ ❻ ✍ ☞ ● ✍ ☞ ✁ ✰ ✆ ☛ ☞ ● ✍ ✞ ✍ ☛ ☞ ✱ ☛ ☞ X ✑ ☞ ● f ❇ ❁ ✍ ✆ ❁ ✍❸❉ ✯ ✁ ✖ ✞ ❁ ✑ ✞
✞ ✄ ✯ ✄✠✯ ✄✞✏ ✑ ☞ ✞✄✰ ✠✑ ✏ ☞ ✆✞ ☛ ☞ ✑
Z
X
I∞
(f )

∞

:=

f (Xt ) dt

✍ ✱ ✍ ●✮✄ ☞ ✞ ✍ ✆ ✑ ✁✈✍ ☞ ✁ ✑✢❇➔❇ ✍ ✞ ❁ ✞ ❁ ✄ ❻ ✠ ✱ ✞✒ ❁ ✍ ✞❂✞ ✍ ☞ ✰ ✞ ✍❹❉ ✄ ☛ ✒ ✑❧✯ ☛ ✍ ☞ ✞ ✒ ☛ ✠ ✱ ☛ ❉ ✄ ☛ ✞ ❁ ✄ ✠ ● ✍❹➑ ✏ ✶
✱ ✍ ☛ ☞ ✘✴→ ❁ ✍ ✱ ✒ ✯ ❁ ✄ ☞ ☛ ❉ ✄ ☞ ☛ ☞ ❉ ✑ ✖ ☛ ✞ ✄ ☞ ✕ ✄♦✄➍➌ ✯ ✁ ✑ ✍ ☞ ✄➋● ✏ ✱ ✍ ☞ ✰ ✠ ✑ ☞ ● ☛ ❉ ✞ ✍❹❉ ✄ ✆ ❁ ✑ ☞ ✰ ✄ ✘
➒ ✄ ✆ ✑ ✏ ✱➆✄ ☛ ✱ ☛ ❉ ✄ ✯ ☛ ✞ ✄ ☞ ✞ ✍ ✑ ✁ ✑✦✯✮✯ ✁❹✍ ✆ ✑ ✞ ✍ ☛ ☞ ✱ ✍ ☞ ❉ ✑ ✞ ❁ ✄ ❉ ✑ ✞ ✍ ✆ ✑ ✁❏❻ ☞ ✑ ☞ ✆ ✄ ✫ ❇ ✄ ✒ ✑ ✠ ✄ ✆ ☛ ☞ ✶
✱ ✍ ●✮✄ ✠ ✍ ☞ ✰ ❉ ✑ ✍ ☞ ✁ ✖ ✞ ❁ ✄ ✆ ✑ ✱➆✄ ❇ ❁ ✄ ☞ X ✍ ✱ ✑ ➒ ✠ ☛ ❇ ☞ ✍ ✑ ☞ ❉ ☛ ✞ ✍ ☛ ☞ ❇ ✍ ✞ ❁ ● ✠ ✍ ✞ µ > 0,
●✹✄ ☞ ☛ ✞ ✄➋● {B : t ≥ 0}, ✕ ✏ ✞ ✍ ✞ ✍ ✱ ☛ ✕ ➂r✍ ☛ ✏ ✱ ✞ ❁ ✑ ✞➣✞ ❁ ✄ ❉ ✄ ✞ ❁ ☛ ● ✯ ✠ ✄➋✱➆✄ ☞ ✞ ✄➋● ✍ ✱

0

(µ)
t

✳✧✵ ✚

❉ ☛ ✠✄
✞ ✍ ✆ ✏✰
✠
✯✮✑

✄ ✄ ✠ ✁⑤✘➀➓ ✄
✁ ☞ ✠ ✫ ✠✑ ➋✄ ✱ ✏ ✁ ✞ ✱
✑
Z

0

∞

✁ ✱ ✄ ➂r✍ ✄
✑✆ ☛ ✆ ☛ ✄ ✠ ✠ ✍ ❇
☞ ☞ ☞✰

✞ ❁ ✄ ③ ☞ ☛ ☞ ✬✄ ➌ ❉ ✁ ✄✲✱ ☞ ● ✍➃➂ ✄ ☞ ✄ ☛ ☞ ✄➋✱ ✘ ⑨ ☞
✒
❇
☛ ☞ ✄ ✶ ✱ ✍ ●✮✄✲● ❇ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍✑ ☛ ☞ ✑✯ ✁ ✱ ✑ ✰

(µ)
f (Bt ) 1{B (µ) 0} dt
t

0

✠✑ ✄ ✯ ✠ ✄➋✱❂✄ ☞ ✞ ✄➋● ✘
→ ❁ ✍✱
✆ ❁ ✄ ✄ ✠ ✁❹✍ ✄✲✱ ✞ ❁ ✄ ✠ ☛r☛ ✒ ✫ ✕ ✱➆✄➋● ☛ ✞ ❁ ✄ ✠ ● ☛ ❉ ✞ ✍❹❉ ✄ ✆ ❁ ✄
✠

☛
✞ ✄ ✆ ❁ ☞ ✍ ✏ ✑ ✄➋✯✮✱ ✫ ✯ ☛ ✒ ✑ ✞ ❁ ✄ ✰ ✒ ☞ ✆ ✞ ✑ ✞ ❁ ✞ ✞ ❁ ✄ ✯⑦ ✏ ✒ ✠ ✄➋✱ ☞ ✄ ✑ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ☞ ✍ ☛ ☞ ✁✌✣ ✑✞ ❁ ☞ ✍ ✱ ✆ ☛ ✠➆✠ ✄➋✱ ☛ ☞ ●✮✑ ✱ ☞ ✰ ✞ ☛
✑ ✁ ✖ ✍ ✑ ✍ ✞ ✄ ✍❸❉ ☛ ✠ ✞ ✞ ✠ ✁ ✄ ✍ ✑ ✞ ❁ ✄✴✱ ✞ ✏ ● ✖ ☛ ✒ ✯ ✄ ☛ ❉ ✄ ✞ ✠ ✍ ✆
f (x) = exp(−2x)), ✯ ✑ ☞ ✰ ✏
➒ ✠ ☛ ✍ ❉ ☛ ✞ ✍ ☛ ✫❏✍ ✱ ✍ ●✮✄ ✞ ✍ ✆ ✁❯✍ ✑ ✁ ☞ ✯ ✍ ✞ ❁ ✞ ✑ ❁ ☞ ✄ ❻ ✠ ✱ ✞ ❁ ☞ ✍ ✞➆✞ ✍ ✞ ✍❸❉ ✄ ✒ ☛ ✠✰ ➒ ✄➋✱❂✱➆✄ ✁
✑
✠✯ ☛ ✆ ❇ ✄✲☞ ✱➆✱ ✑✘ ☞ ② ☞ ☛ ✞ ❁ ✄ ✠☞ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ☞ ✑ ✁ ✑ ✑ ✠ ✍ ☞✱ ✍ ☞ ✑✻✰ ❇ ☞ ✑ ❇ ✞ ✏ ✠ ✑ ✁❹✁ ✖ ✍ ☞ ✞ ❁ ✍ ✱ ✆ ☛ ☞ ☞ ✞ ✰✄✬➌ ✞ ✍ ✱
✁

✄✂

✂

Z

✆☎

∞

(µ)

(a + exp(Bt ))−2 dt,

0

❁ ✍ ✆ ❁ ✍ ✱◗✱➆✄✲✄ ✫➉✍ ✞ ❁ ✄ ✆ ✱➆✄
✍✞ ❁ ✞ ❁ ✄ ❻ ✠ ✱ ✞
✞ ✕ ✄ ✍ ●✹✄ ✞ ✍ ✆ ✁✹✍ ✁
❇✞ ✍❸❉ ✄ ✒ ☛ ✠ ➒ ☞ ✠ ☛ ☞ ✍ ❉ ✑ ☛ ✞ ✍ µ☛ = 1/2,
✍ ✞ ❁ ● ✠☛ ✍ ✒ ✞ µ = ☞ a/2.✑ ☞ ✑✻❇ ❇
→ ❁ ✄ ✑ ✄ ✠ ✍ ❇ ✱ ☞ ✆ ☛ ✑ ☞ ✆ ✁ ✏ ●✹✄➋● ☞ ✕ ✖ ❇ ● ✍ ✱ ✆ ✏ ✱➆✱ ✍ ❁ ☛ ✞ ❁ ✄ ⑧ ✄ ✖ ❉ ✶ ✆ ✒ ☛ ✠ ❉
✕ ✄ ✏ ✱❂✄➋● ✯❭✞ ✑✦☛ ✯ ❻ ● ✞ ❁ ✄✝☞ ● ✍ ✱ ✞ ✠ ✍ ✕ ✏ ✞ ✍ ☛ ☛ ✒ ☞ ✄ ✰✠ ✄ ✞ ✏ ❇ ✁✾✍ ✞ ✄ ✠ ☞ ✁ ✒ ✏ ✑ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ✑ ✁✙✘
☞
☞ ✑✓✯ ✯ ✑ ☞ ✰ ✑ ☞ ☞ ✑
✞✝

❏❛ ▼❈✐❯❞ →✛✍❹❉ ✄ ✆ ❁ ✄ ✫r❀ ❉ ✄ ✠ ✞ ✍ ✞ ✠ ✱ ✒ ☛ ✠ ❉ ✞ ✍ ☛ ✫✧➒ ✄➋✱❂✱➆✄ ✁
✑ ☞
✍ ❁ ❁ ✄ ✄ ❉ ✱ ✫ ⑧ ✄ ✖ ✑ ❉ ☞ ✰ ✶ ✑ ✆ ✯ ✒ ☛ ✠ ❉ ✏ ✁ ✑ ✘☞
☞ ✰ ✞✛✞ ☛ ✠

☞ ✑☞ ✑
✑
➎ ❽ t
q❞✢❙ ➏ ❑r❫✦❘➣❫✩❱❜❚✮❞✢❞✢❵ ❫✧❚✹❘P❵❣❛❝❨ ✜ ✼ ★➉✫ ✜ ✼ ✜➉✫ ✜ ✼ ✵ ✜✹✘
✏ ✕ ❉✌✍ ✞❂✞ ✄➋● ✞ ☛ ❷ ✼ ✭ ☛ ☞ ⑥ ✠ ✆ ❁ ✳ ✚✦✫➉✥ ✜✧✜✦✷✮✘ ⑧ ✍ ☞ ✁➉➂ ✄ ✠ ✱ ✍ ☛ ☞ ✆➋✆ ✄ ✞ ✄➋●
✑
✑
✑ ✯
✥ ✜✧✜✩★➉✘
❑

✡✠☞☛

✝

✟

✍✌

✑✝

✓✒✕✔✖✔✗✔

☞✘

✚✙

✛✌✢✜

✣

✳✧✵ ✥

✏✜

✜

✏✜

❁ ✍ ✞➆✞ ✍

☞✰
✏✁ ✆ ☞
✑ ✑

✆ ✄➋✱➆✱❂✄➋✱ ✫➉✿ ✖
✯ ✠☛
✑

✏✎

✜

☛ ☞ ✼ ✑ ☞ ✏ ✑ ✠ ✖ ✚P✥➉✫

✂✁☎✄✝✆✟✞✡✠☞☛✍✌✎✠✑✏✓✒✔✞✕✏✓✒✔✖
❲➋❨❝❘✻▼P❛☎✐❴❙❯❫✦❘P❵❣❛❩❨ ❚❭❨❯✐ ❞✢❙❴♣✇♣ ❚✮▼ ✠ ❛✙✘✡❘✛✚❯❑ ▼P❑r❞✢❙❯❱❣❘P❞

✜✝✢✣✜

✒

✔▲❑◆▼P❖◗❑◆❘✻❙❯❚❭❱❳❵❜❨❩❘✻❑◆❬❏▼P❚❭❱✍✘✸❙❴❨❯❫✦❘P❵❣❛❩❨✾❚❭❱❜❞✓❚❭✍
❞ ✙⑩▼❈❞✲✡
❘ ✚❯❵❣❘➋❘P❵❜❨❯❬ ❘✻❵✙♣q❑r❞

✜✙✤ ✗

✜

✥ ◆❑ ❘✢❚❭❵✙❱❣❑r✐♥❞✲❘✻❙❴✐❯❵❜❑r❞✓❛✦✘✴❞➋❛❝♣q❑ ❖◗❑◆▼P❖◗❑◆❘✻❙❯❚❭✧
❱ ✘ ❙❴❨❯❫✦❘P❵❜❛❝❨✾❚❭❱❜❞
✳ ✘➃✚ ⑦ ✏ ✒ ✠ ✄✲✱ ✄✪✩ ✱ ✒ ✏ ✆ ✞ ✍ ☛ ✁q✘ ✘➁✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘
✳ ✘❆✥ ➇ ✍ ✄✲✱ ✍ ✄ ✁ ☞✱ ③ ✍ ✎ → ✖ ☞ ✁ ☛ ✠ ✍ ☞ ●✮✑ ✄ ✞ ✍ ✞ ✖ ✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘
✳ ✘ ✳ → ✠ ✱ ✁ ✞ ✄➋● ⑦ ✑ ✏ ✒ ✠ ✄➋✱ ✄✕✩❊☞ ✱ ✒ ✏ ✆ ✞ ✍ ☛ ✁✛✘➁✘ ✘➁✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘
✳ ✘❊✷ ② ✑ ☞ ✍ ●✹✄ ✑ ✞ ✍ ✞ ✖ ● ✏ ✄ ✞ ☛ ☞ ➒ ✍ ✄ ☞ ● ☞ ⑨ ✑ ❉ ❁ ☛ ✒ ✘➁✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘
✳ ✘❆★ ❀ ✄✛☞ ✫ ✁❸✁ ☞ ✩ ✱ ✍ ●✮✄ ✞ ✍ ✞ ✖ ✘➁✘➁✑ ✘☞ ✘➁✑ ✘➁☞ ✘➁✘ ✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘
✳ ✘ ✜ ✬ ✠ ✍ ✑ ✖ ✩❊✱ ✍ ●✮✄ ☞ ✞ ✍ ✞ ✖ ✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘ ✘➁✘➁✘
☞
✑ ✑

❪☎❑✡✠✾❨❯♣q❚❭❨✯✮ ✟ ❚❭❫ ❚✹❖❴❖❯▼P❛❝❚✮✪❫ ✚♥❘✻❛q❖◗❑◆▼P❖ ❑✩❘P❙✾❚❭❱❋❵❜❨❩❘✻❑◆❬❏▼P❚❭✍
❱ ✘✸❙❴❨❯❫✦❘P❵❣❛❩❨✾❚❭❱❜❞

✗

✭
★
✶

➎ ❖❴❖◗❑r❨❯✐❴❵✱✰✉❛❝❨✳➐
✲ ❚✡✠✵☞✴ ✟ ❨❯❵❜❬✙❩✚ ❘✓❘✎✚✾❑r❛❏▼P❑r♣✇❞

✷✵✸✺✹✼✻✂✽✡✾❀✿❀❁❂✹❄❃❅✽❆✸

❇❈✸❉✾

❊❄✿❉❋

❀ ✄ ✞ (µ)
(µ)

B
= {B
✍ B✄ t✁ ✱➆+✄ ✍µt
● ✫◗✍ ✒ t ☛ ✞ ❁ :=
✱♦✱ : ✍ ● t✫
µ > 0 ✑ ☞
❷ ✆ ☛ ✏ ✠ ✄✲● ✕ ✖ ☞
✏ ☞ ❉ ✰ ✕ ✄ ✠ ☛ ✒ ✄➍➌ ✑ ❉
☞
☞
✑❁ ✄
✍ ✞ ✄ ✠ ✁✑ ✒ ✏ ✯
✏ ●✮✄ ✠ ✱ ✞ ✑✦✰ ● ✍
☞
☞
✑ ☞ ☞ ✰❧❇ ☞ ✑ ☞ ☞ ✰ ✑
I∞ (f ) :=

❋

✄
❇✁ ✄➋✱
✆ ✞ ✍☛

Z

∞

0

✭ ✙✔ ★
✭✂✗ ✜

❇●✻■❍

✕ ✄
✱❂✱ ✏ ❉
✑✁❹✍ ✱ ✞ ✄➋●
✁ ☛ ✒
☞ ✑

≥ 0}

✜✙✤✦★
✘ ✳ ➈✩★
✘ ✳ ✺✧✜
✘ ✳ ✺✹✚
✘ ✳ ✺✧✺
✘❯✷✩✜✹✚
✘❯✷✩✜✩✥

✽❈❏❑✹■▲◆▼❖✻P▼◗❊■✿◆❘✔✹■❊

➒ ✠
✑ ✄ ✞ ❁ ☛ ✞❇
✕ ✄ ✁☛ ✑ ✫
✞ ❁ ✄ ❇✞ ✖
✯

✍ ❉ ✞✍
✍✞ ❁
☞ ✑ ☞ ✍ ✱♦☛ ✱ ✞ ☛ ☞ ✞ ✄➋❇ ● ✒
✠
✠☛
B (µ)
✍ ✕
✄ ✍ ✱ ❁ ✞ ✑☛
❇✄ ❇
✩✰ ✑ ☞

● ✠ ✍✒✞
❉ ✜✹✘
✄ ✞❂✞ ✄ ✠

f (Bs(µ) ) ds,

❁ ✄ ✠ ✄ ✍✱
✶ ✄ ✞ ✍➃➂ ✄ ❉ ✄ ✱ ✏ ✠ ✕ ✁ ✄ ✒ ✏ ✆ ✞ ✍ ☛ ✫❄✍ ✱ ✍ ●✮✄ ✞ ✍ ✆ ✁⑩✍ ✁
✍✞ ❁ ✞ ❁ ✄
☛
f
❇❻ ✠ ✱ ✞ ❁ ✍ ✞➆✞ ✍ ✑ ✞ ☞✍❸❉ ☞ ✄ ☞ ✒ ✰✧✑ ✍ ✞ ✒ ✑ ✠ ✱ ✑ ❉ ✄ ✞ ❁ ☞ ✄ ✠ ● ✍➃☞ ➑ ✏ ✱ ✍ ✘ ☞ ➇ ✁ ✄ ✑ ✠ ✁ ✖☞ ✫ ✑✻❇ ✄ ✆ ❇
☛
☛
☛ ☛
☛
☛ ☞
☛ ✱❂✄
☞
✒
✒
✑
❇
✑
✯
⑨
✁ ☛ ☞ ☛ ✰ ✏ ✱ ✂ ✏ ✄✲✱ ✞ ✍ ☛ ✑✤✯ ✒ ☛ ✠ ☞
✍
➃
✍
➑
✍
✍
✫
●
✱
✱
✄
●
✆✞ ✞❁ ✄
✞
✏
✠✕ ✞✠ ✠✖
(µ)
✑✠ ✄➋☞ ✱ ✏ ✑ ✁ ☞ ✞ ✱✑ ✍ ✰ ✣ ✄ ✆ ✞ ✍ ✥ ☞ ✠ ✄ ✒ ✑ ✍ ✠ ☞ ✁ ✖ ✑ ✄ ✱ ✍❹✁ ✖ ✑ ✄✬➌ ✞ ✄ ●✮✄➋● ☛ ☞ ✒ ✠ ☞ ✠ ✕ ✑ ✍ ✞ ✠ ☛ ✠ ✖ B✞ ✠ . ✱ ☞ ✍ ✄ ✑ ✞ ● ✍❹➑ ✏ ✶
☛
☛
✱ ✍ ☛ ✱ ●✮✄ ✞☞ ✄ ✠ ❉✌✍ ✄✲● ☞ ✕ ✖ ✑ ✱ ✞ ☛ ✑ ✆ ❁ ✱ ✞ ✍ ✑ ✆ ● ✍❹➑ ✄ ✠ ✄ ☞ ✞ ✍ ✁ ✄ ✂ ✏ ✞ ✑ ✍ ☛ ✘❚❙✑ ✏ ✠ ✍ ✑ ✞ ☞ ✄ ✠ ✄➋✱ ☞ ✞ ✍ ✞ ❁ ✄
☞
☞
☞
☞
☞
☞
✠ ✞ ✍ ✆ ✏ ✁ ✠ ✆ ✱➆✄ ✍ ✞ ❁ B✑ (µ) ✍ ✱ ❉ ✑ ☛ ✞ ✍❹➂ ✞ ✄✲● ✕ ✖ ✞ ✑ ❁ ✄ ☞ ✏ ❉ ✑ ✄ ✠ ☛ ✏ ✱✝✱ ✞ ✏ ● ✍ ✄➋✱ ☞ ● ✠ ✄✲✱ ✏ ✁ ✞ ✱
✯✮✱➆✑ ✱ ✆ ✍ ✞ ✑✄➋● ✞ ✑ ✞ ❁ ❇ ✄ ✒ ✏ ✆ ✞ ✍ ✁
✑
✑
☛
☛
☛
☞
☞
✑
✑
✑
Z

0

∞

exp(−2Bs(µ) ) ds.

✳✧✵✦✳

✣ ✚✻✪

→ ❁ ✍ ✱ ✒ ✏ ✆ ✞ ✍ ☛ ✁ ✱ ❻ ✠ ✱ ✞ ✆ ☛ ✱ ✍ ●✮✄ ✠ ✄➋● ✕ ✖ ⑦ ✏ ✒ ✠ ✄✲✱ ✄ ✍ ✚P★✄✂ ❁ ✄ ✠ ✄
❇✄ ✠ ✄ ✞ ✏
❉ ☛ ☞ ☛ ✞ ❁ ✄ ✠ ☞ ✑✞ ❁ ✍ ❇❋✑ ✱ ✫ ❁ ☛ ✞ ❁ ☞ ✄ ✒ ✏ ✆ ✞ ✍ ☛ ✁➁✣ ✚P✪ ✠ ☞✍ ✱❂✄➋✱ ☞✁✱
☞
☞
☞
☞
✑
✑ ✑❤✯ ✯
✁❹✑ ✍❸❉❧✍ ✞ ✍ ✰ ✠ ☛ ✆ ✄➋● ✏ ✠ ✄ ✰ ✍ ● ❇ ✍ ✱ ✆ ✠ ✄ ✞ ✄ ❉ ☛ ●✮✄ ✁✙✘ ✑
☞
☞
✒
✰
✯
✑
➓ ✄ ☛ ✠ ✄ ➂r✍ ✄ ✱ ☛ ❉ ✄ ✆ ✱❂✄➋✱ ☛ ✄ ✠ ✄ ✞ ✏ ✁✟✍ ✞ ✄ ✠ ✁ ✒ ✏ ✆ ✞ ✍ ☛ ✁ ✱
✍ ●✮✄ ✞ ✍ ✆ ☞ ✁✈✍ ❇ ✁ ❇ ✍ ✞ ❁ ✞ ❁ ✄ ❻ ✠ ✑ ✱ ✞ ❁ ✍ ✞➆✞ ✍ ✯ ✞ ✯ ✍❸❉ ✄ ✘◗✑ ❀ ✄ ✞ ☞ ✰ ✑ ☞ ☞ ✑
☞✰
☞ ✑ ☞ ✑✻❇ ❇

✍ ✞ ✍ ✱➣✱➆✄✲✄ ✫
✍✞✖ ✒✞ ✄ ✠ ☞
✑
✑
❁ ✍✆ ❁ ✠ ✄
❇
✑

Ha (Z) := inf{t : Zt = a}

●✹✄ ☛ ✞ ✄ ✞ ❁ ✄ ❻ ✠ ✱ ✞ ❁ ✍ ✞❂✞ ✍ ✞ ✍❹❉ ✄ ☛ ✒ ✞ ❁ ✄ ☛ ✍ ✞ a ✒ ☛ ✠ ● ✍➃➑ ✏ ✱ ✍ ☛ Z.
☞ ✗✆☎ ⑨
★➉✟✚ ✂ ✣ ✱➆✄➋✄ ☞ ✰ ★ ✳ ✂ ✒ ☛ ✠ ❷ ✯ ✁❹✍ ✱ ☞ ❁ ✞ ✠ ✱ ✁ ✑ ✞ ✍ ☛ ✪◗✍ ✞ ✍ ☞ ✱ ✱ ❁ ☛ ✞ ❁ ✞ ✒ ☛ ✠ ✞ ❁ ✄
✠
☛
✑☞ ✑ ☞
❇ ☞ ✑
⑦ ✏ ✒ ✠ ✄✲✱ ☞✞✄ ✝ ✒ ✏ ✆ ✞ ✍ ☛ ✁ ✣■✚P✪ ✄ ❁ ✑ ➂ ☞ ✄ ☞ ✰
☞ ☞ ☞✑
❇ ✑
Z ∞
(d)
✣⑤✥✧✪
exp(−2B (µ) ) ds = H (R(δ) ),

❁✄ ✄
✍ ✱ ➒ ✄➋✱❂✱➆✄ ✁
❇✠ ✄ ●✮✠ ✱✡✠ R✍ ✱ (δ)✍ ●✹✄ ✑✞ ✍ ✆ ✈✁ ✍ ✁ ✯ ✠ ☛
☞ ✑ ☞ ✑✻❇
✑
❁✄ ✄
✍✱
❉✌❉
❇✠ ✄ ✒ ✄ ✠ ✠ ✞ ☛ γµ ✕ ✑✇● ✰✩☛ ✑ ✱
✒ ✠✛✠ ● ❉ ✑ ✑ ✁ ✱ ✘ ✑ ☞
☛ ☎✑ ☞ → ❁ ☛ ✄♦➇ ❇❋✍ ✄✲✑ ✱ ✍ ③ ✄ ✁ ✱ ✍
③

Z

✒

✎

exp(−2Bs(µ) ) ds

(d)

=

1
,
2γµ

(d)

=

✣✳ ✪

✶ ● ✍ ✱ ✞ ✠ ✍ ✕ ✏ ✞ ✄✲● ✠ ● ☛ ❉ ➂ ✠ ✍ ✕ ✁ ✄ ✍ ✞ ❁ ✠ ❉ ✄ ✞ ✄ ✠ µ. ➓ ✄
➄ ③ ✄ ✁ ✖ ✷ ✂ ✒ ✑ ☛ ☞ ✠ ● ✍ ✱ ✆ ✏✑ ✱❂✱ ✑ ✍ ☛ ☞ ☛ ❇ ✒ ⑦ ✏ ✒ ✯❭✠ ✄➋✑ ✱ ☞ ✑ ✄✕✩❊✱ ✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✁
✑
✑
→ ✖ ✁ ☛ ✠ ✍ ●✮✄ ✞ ✍ ✞ ✖
☞ ❃
✑

●✑

✁

✆ ✄✲✱➆✱ ☛ ✒ ● ✍❹❉ ✄ ✱ ✍ ☛ δ = 2(1 − µ) ✱ ✞ ✠ ✞ ✄➋● ✞ ✧✚ ✫ ●
✑
✑ ✑☞
✍ ✞ ❁ ✠ ✘ ✿ ✄ ✆ ☞❸✁ ✁ ✁ ✱☞ ☛ ✞ ❁ ✞
❇
✑ ✑
✑

∞

0

✣

0

s

0

✣

✜

✁

Z

∞

0

1{Rs(δ+2) 0 ✑ ☞ ● δ + 2,
❇✠ ✄➋✱ ✠ ✄ ✆ ✞ R✍❹➂ (δ)✄ ✁ ✖ ✫ ✑ ☞ ✱ ✞ ✠ R✞ ✄➋(δ+2)
✑
✫ ✱➆✄➋✄ ➓ ✍❹✁❸✁❹✍ ❉ ✱ ✷✩➈✄✂ ✘ ✚✻★✦✺ ● ✥➉✚✦✚✧✫
● ✞ ✜➉✘ ⑧
✯● ☛ ✠ ✷✧✺☛✂✙✫ ★ ✑ ✜☛✂ ✘➣✑ ★✦✆✜ ☞❯✍ ✞ ☛ ❁ ✠ ✄ ✑ ✆ ✯ ✱➆✠ ✄ ☛r☛
❁ ✄ ✄ ✑✍ ✱
❁ ✯ ✍ ✱❂✄✌✄➍➌ ✑ ✁ ☞ ✍
☞●✑ ✏ ✄ ✞ ✝ ⑦♦✘❝➓ ✍❸✁❹✁❹✍ ❉ ✱ ✯ ✘➊➓ ✄ ✠ ✄ ☞ ✒ ✄ ✠ ✁ ✱ ✑ ✞ δ✫✝=✄ ✞ 1 ✠ ✞ ✠ ● ❁ ✑➀✠ ✯❭✑ ✄ ✞ ✥✦❇ ✜☛✂ ✘✝✺✧✯ ➈➉✫ ✑ ☞ ✑ ● ✞ ☛ ✞ ☞
➒ ✍ ✄ ☛ ✳ ✂ ✒ ☛ ✠ ✑ ✄ ✄ ✠ ✁❹✍ ✞ ✍ ☛ ✞ ✑ ☛ ☛ ➂ ☛ ✱ ✞ ✆ ✁ ☛r✱➆☛ ✱ ☛ ✑ ✒ ☞ ✍ ✠ ✱ ✑ ☛ ✯✒ ● ✍❹➑ ✏ ✱ ✍ ✯ ☛ ✱ ✘ ✄➋✑ ✄ ☞ ✁ ✱ ☛☛
✑
⑦ ☛ ✑ ☞ ✞ ✍➃✶■⑥ ✠ ✞ ✍ ✑➀✰ ☞● ✑ ☛ ✠ ✑ ✚P✥✌✂ ☞ ● ⑦ ✑ ✄ ❁ ✑ ✄ ✏ ➂ ✄ ✁ ✑ ✱ ● ⑥✯❭✑ ✠ ✞ ✖ ☛ ➂ ✵ ✂✙✘ ☞
☞✜ ✑ ☎ → ❁ ✄ ✑ ✍ ●✹✄ ☞ ✞ ✑ ✍ ✞☞ ✖ ● ✝ ✏ ✄ ✞ ➒ ✍ ✑ ☞ ✄ ✳ ✂ ● ⑨ ❉ ❁ ✑ ☞ ✒ ✥ ✳ ✂ ✑ ☞
☛ ✑☞
☛
☞
✑☞
❃
Z ∞
(d)
✣⑤★✧✪
1
ds = H (B (µ) ),
✣

✣

✁

λ

(µ)

0

{Bs 0}

❁ ✄ ✠ ✄ ✞ ❁ ✄ ➒ ✄➋✱➆✱❂✄ ✁ ✠ ☛ ✆ ✄✲✱➆✱ R(δ) ✍ ✱ ✱ ✞ ✠ ✞ ✄➋● ✞
✄ ✆ ✞ ✄➋● ✞ ✜✹✘ ☛ ✯ ✄ ➂ ✄ ✠ ✫ ✞ ❁ ✄▲✱ ✍❸❉ ✁ ✄➋✱ ✑ ✞ ✆ ➆✱ ✄▲✑ ✄ ❉
✯
✑
✞ ☛ ✞ ❁ ✄ ✑ ✍ ●✮✄ ☞ ✞ ✍ ✞ ✖ ❇
✁

✬

❁ ✄✠✄
❇

(µ)

s

0

Z

0

∞

(a exp(Bs(1/2) ) + 1)−2 ds

✜

● ✫ ✍ ✞ ❁ ✄ ✆ ✱➆✄
✄ ✠ ✑ ☞✍ ✒ ✠ ☞ ☛ ❉ ☛ ✏ ✠ ✑ 0✠ ☛ 0} ds
✁

0

❁✄ ✄
✍✱
●
✄ ✱ ✕ ➂✄✫ ●
❇● ✠ ✍ ✒ ✞ ✠ a ✑ ✱ ☞ ✞ ✠ r✞ ✄➋✑ ● ✠ ✞ ✑ ✜✹✘✑ ⑨ ☛ ✄ ✆ ✑ ✞ ☞ ✍ ☛ B̃✳ (1/2)
❁ ✄✑
✘
✫
✳
✒✁ ✄ ✞ ❁ 1/2●❧✱ ✍ ●✹✑ ✄ ☛ ✒ ✣✙✑➈✧✪✬✫ ✄ ☞ ✁ ✱ ☛ ❻ ● ☞ ● ✍❹➑ ✏ ❇ ✱ ✍ ☛ ☞
☞
✍ ✁ ✑ ☞ ✍ ✞ ❁ ✞ ❁ ✄ ✒ ✏ ✆ ✞❇✍ ☛ ✑ ✁ ☞ ✑
☞ ✑✢❇ ❇
☞ ☞ ✑Z
✣

∞

✄ ❀ ✁ ✆✄
✠✯ ✄✲✱➆✑✦✱➆✯ ✄➋● ✑ ✍ ☞
☛ ✠ ☛ ● ✍☞ ✑ ☞
✳✧✵ ★

✠ ✄ ✄ ✆ ✞ ✍☞ ✰ ➒
✁✖ ✍
✑ ✍ ☞ ✞ ❁✑ ❻ ☞ ✠ ✱ ✰ ✞
❇ ✑
✁

✁

✠ ☛ ❇ ☞✒ ✍ ✑ ☞ ❉
✞ ❁ ✄ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍☛
❁ ✍ ✞➆✞ ✍ ✞ ✍❸❉
☞✰

☛ ✞ ✍✁☛ ☞
☞ ✄ ✑ ✍ ●✮✄ ☛

✍✞ ❁
❇ ✞❁ ✄
☞ ✞ ✍✆ ✁
☞ ✑
✣■✚✻✜✩✪

✞ ✠ ☞ ✱ ✒ ☛ ✠ ❉✒ ☛ ✒ ✞ ❁ ✄
✞ ✄ ✑ ✠ ❉ ✱ ☛ ✏ ✱❂✱
● ✁❸❉✌✍ ✄ ✑ ★✌✂
✑ ☞ ☞ ❇
✫

✣

✣✙✺✩✪

Hr (B̃ (1/2) ),

=

(a exp(Bs(µ) ) + 1)−2 ds,

❁✄ ✄✫
✫ ✍✱ ✕ ✍✞ ✖ ✘ → ❁
❇✞ ❁ ✄ ✠ ✒ ✏ ✆ ☞ ✞ ☛ ✍ ☛❇ µ✁ ✍ ✣■✑ ✚✻✠ ✜✩✪ ✆ ✠ ✑ ✠ ✕ ✄❢✄✬➌
✒ ✏ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✱ ✫ ✒ ☞ ☛ ✑ ✠ ✞ ❁ ☞ ✍ ✱ ✄ ✠ ✄✑ ✒ ☞ ✄ ✠ ✞ ☛ ➒
☞ ☞
❇
0

(d)

✩

● ✍✱ ✞ ✠ ✍✕ ✏ ✞ ✍☛ ☛ ✒
❁ ✖ ✄ ✠ ✄ ☛ ❉ ✄☞ ✞ ✠ ✍ ✆
❁ ✄ ✠✯ ✄ ✰ ✁ ✱ ☛ ✣ ✪ ✍ ✱
✑
✜

●✹✄ ✠ ✍➃➂ ✄➋● ✱ ✱ ✄ ✆ ✍ ✁ ✆ ✱➆✄ ☛ ✒ ❉ ☛ ✠ ✄ ✄ ✄ ✠ ✁◆✍ ●✮✄ ✞ ✍ ✞ ✖ ✍ ✁ ✕ ✄ ✞ ✄✲✄
⑨ ★✌✂ ✑ ● ✗ ✑ ✯ ✍ ✑ ✑ ✷ ✵ ✂ ✁ ✱ ✑ ☛ ✞ ❁ ✄ ❀ ✰ ☞ ✁ ✆ ✑ ✄ ✞ ✠ ☞ ✱ ✒ ☛ ✠ ❉ ☞ ☛ ✒✑✻❇ ✞ ❁ ✄✴● ❇ ✍ ✱ ✞ ✠ ✍ ☞ ✕
✒ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ✑ ☞ ✁ ✑✦✰ ✏ ✠ ☞ ✑
✑
✑✦✯ ✑
✑☞
☛
Z
☞ ☞✑
∞¡
¢−2
cosh(Bs(µ) )

✒✏ ✆ ✞ ✍ ✁✱ ✘
☛
✏ ✞ ☞ ✍ ☛ ☞ ☛ ✒☞ ✑ ✞ ❁ ✄

ds,

✍ ✱ ✆ ☛ ❉ ✏ ✞ ✄✲● ✘ ⑧ ☛ ✠ ❉ ✖ ✍ ✞ ✄ ✠ ✄➋✱ ✞ ✍ ✠ ✄✲✱ ✏ ✁ ✞ ✱ ☛ ✒ ✏ ✆ ✞ ✍ ☛ ✁ ✱ ✆ ☛ ✞ ✍ ✍ ❁ ✖ ✄ ✠ ✶
✕ ☛ ✁❸✍ ✆ ✒ ✏ ✯ ✆ ✞ ✍ ☛ ✱ ✫ ✱➆✄➋✄ ★✑ ✷☛☞ ✂✙✫➉✍ ☞ ✠ ✞ ✍ ✆ ☞ ✏ ✰ ✁ ✠ ✫ ② ✁❹✍❸✁❹✍❜✫r⑦ ☞ ✏ ✒ ✠ ✄➋☞ ✱ ✄ ☞ ✑ ● ☛ ✠ ☞ ✑✥✌✂⑤☞✫ ☞ ✰ ●❀✫ ✠✯ ✏ ✄ ✞
☞ ✯✮✑
☞ ✑☞ ✝
✑
✑☞
✥➉✚ ✂⑤✘ ☞ ☞
➓ ✄ ❁ ➂ ✄ ✞ ✍ ➂ ✄✲✱ ✞ ✍ ✞ ✄➋● ✆ ✱ ✞ ✆ ✞ ✄➋● ● ✍ ✱ ✆ ✄ ✞ ✄ ❉ ●✮✄ ✁❝✣ ✱ ✍ ✱✾● ✄ ✍ ✚P★✌✂
✒ ✠ ✞ ❁ ✄ ✒ ✑ ✏ ✆ ☞✞ ✍ ☛ ☞ ✁❯✍ ✣■✰✩✚P✪➆✑ ✪ ❁ ☛ ✍ ✠✆ ❁ ☛ ☞ ✏ ✠ ✁ ✏ ● ✁ ✄ ● ✑ ✞ ✞ ❁ ✠ ✄ ✒ ✏ ✆ ☛ ✞ ✍ ✑✁✾✍ ✣❜➈✩☛ ✪✬☞ ✘ ❶ ☞✞✞ ✍ ✆ ✄ ✫
☛
☞ ☛☞✑ ☞
❇
❇ ☛
✑ ☛
❁ ☛ ☛ ✄ ➂ ✄ ✠ ✫ ✞☞ ❁ ✞ ☛ ☞ ✑ ☞
❇
✑
0

Z

∞

(1 +

exp(Bs(µ) ))−2

ds =

Z

∞

exp(−2 Bs(µ) )(1 + exp(−Bs(µ) ))−2 ds

● ✫ ❁ ✄ ✆ ✄ ✫ ✞ ❁ ✍ ✱ ✒ ✏ ✆ ✞ ✍ ☛ ✁ ✆ ✕ ✄ ✆ ☛ ✱ ✍ ●✮✄ ✠ ✄➋● ✱ ❉ ☛ ● ✍➃❻ ✆ ✞ ✍ ☛ ☛ ✒ ⑦ ✏ ✒ ✠ ✄✲✱ ✄✪✩ ✱
✒✑ ✏ ☞ ✆ ✞ ✍ ☞ ✁ ✱ ✏ ✆ ❁ ✞ ❁ ☞ ✞✡✞ ❁ ✄➁☞ ✑ ● ✍ ✱ ✆ ✑ ☞ ✏ ✞ ✍ ☞ ✍ ✱ ✕ ✏ ●✮✑ ✄➋● ✑ ✣ ✄ ✆ ✁❹✁ ✞ ✑ ❁ ✍ ✱ ☞ ❉ ● ✍❹❻ ✄➋● ✒ ✏ ☞ ✆ ✶
☛
☛
☛
☛
✞ ✍ ☛ ☞ ☞ ✁ ☞ ✞✑ ✠ ☞ ✱ ✁ ✞ ✄✲● ✑ ⑦ ✏ ✒ ✠ ✄➋✱ ☞ ✄✕✩❊✱ ✒ ✏ ☞ ☞ ✆ ☞ ✞ ✍✰ ☛ ☞ ✁ ✪✬✘ ⑨ ☞ ☞ ✒ ✆ ✞ ✫ ❇ ✏ ✱ ✍ ☞ ✑ ✞ ❁ ✄ ✠ ✄➋✱ ✏ ✁ ✞ ✱ ✍ ☞ ✁❸❉✌☞ ✍ ✶
✄ ✑ ✑ ● ✑ ☛ ✠ ✷◆✑ ✄★ ✂✙✫ ❁ ✄ ✠ ✄ ✞ ❁ ✄ ✍ ✞ ✄ ✠ ✕ ✍❸✁❹✍✑ ✞ ✖ ✠ ☛ ✑ ✄ ✠ ✞ ✍ ✄➋✱ ☛ ✒ ✰ ✄ ✠ ✄ ✞ ✏ ✁ ✒ ✏ ✆ ✞ ✍ ☛✑ ✁ ✱
☞ ✠ ✄♦☞ ● ✑ ✍ ☞ ✱ ✆ ✏ ✝ ✱❂✱➆✄➋● ✫✾✍ ✞ ✍ ✱④❇ ✱❂✄➋✄ ✞ ❁ ✞ ☞ ❁ ✍❹✰ ✁ ✄ ✑ ⑦ ✏ ✒ ✠ ✄✲✱ ✯ ✄✪✩ ✯✱ ✒ ✏ ✆ ✞ ✍ ✯ ✁ ● ✯ ✄✲✱ ✑ ✞ ❁ ☞ ➂ ✄ ☞ ❉ ✑ ✶
✑ ✣ ❇✳ ✪➆✪➍✫ ❁ ✍ ✆ ❁ ✍ ✱ ☞ ✄ ✠ ❁ ☞ ✱ ✏ ☛ ☞ ✠ ✑ ✄ ✁❸✍ ☛✱ ✞ ✍ ✆ ☞ ✒ ✠ ☛ ☛ ❉ ✑ ✄ ✆ ☛☛ ✶
❉✑ ✄ ✞ ✱ ☛ ✒ ☛ ✠ ●✮✄ ✠ m ≥ µ☞ ✣ ✆ ✒ ✘q
❉✌☞ ✍ ✆ ✁ ✍ ✒ ➂➉✍ ✄ ✫ ❁ ✄ ✒ ✆ ✍ ❇ ✁❝✍ ✣✙➈✩✪ ✯ ❁ ✱❳✱✑ ☛ ✯ ❉ ✄✴☞ ✄✬➌ ✑ ☛ ✄ ✞ ✍ ✁❩❉ ☛ ❉✑ ☞ ✄ ✞ ✱ ✶
☞✕ ☛✄ ✍ ✑ ✍ ✯ ✞ ❁☛ ✍ ☞✱ ✞ ✠ ✄➋☛ ✱ ✄ ✆ ✞ ❇ ❉ ✞ ✠ ✄ ✏ ☞ ✠ ✞ ☛ ☞ ✠ ✍ ✑ ✞ ✄ ☞ ✘
☞
✑
✯ ☞ ☞ ✑
☛
☛
⑧☞ ☛✰ ✠ ☞ ✒ ✏ ✆ ✞ ✍ ☛ ✯ ✁ ✱ ✠ ✄➋✱ ✞ ✠ ✍ ✆ ✞ ✄➋✑✦● ✯✹✯✞ ☛ ✞ ✯ ❁ ✄ ✑ ✄ ✞ ✍❹➂ ✄ ❁ ✁ ✒ ✁❹✍ ✄ ✄ ✆ ☛ ✞ ✍ ✄ ✄ ✠ ✁
❁ ➂ ✄④✱ ✍❸❉✌✍❸☞ ✁ ✠ ●✹✄➋☞ ✱ ✑ ✆ ✠ ✍ ✞ ✍ ☛ ✱ ✍ ✞ ✄ ✠ ❉ ✱ ☛ ✒ ☞ ❻ ✠ ✰✩✱ ✞ ✑ ❁ ✍ ✞➆✞ ✍ ✑ ✞ ✍❹❉ ☞ ✄✲✱ ✘ ❇ ② ✞ ✖ ✑ ☞✮✍ ☞ ✆ ✁ ✄✬➌ ☞ ✰❉ ☞ ✁ ✄ ✑ ✍ ✱
✞ ❁ ✑ ✄ ✍ ●✮✄ ☞ ✞ ✍ ✞ ✑ ✖ ✣✙★✧✪ ✕ ☛ ✯ ➂ ✄ ✘ ☞ ✬ ☛ ☞ ✄ ➂ ✄ ✠ ✫ ✞ ❁ ✄ ❀ ❉ ✄ ✠ ✞ ✍ ☞ ✠ ✄ ✰ ✠ ✄✲✱➆✄ ☞ ✞ ✞ ✍ ☛ ☞ ✯ ✥✦✺✄✑ ✂ ✁❹✁ ☛ ✑ ✱ ✯ ✏ ✱ ✞ ☛
✆ ☛ ✄ ✆ ✞ ✄✬➌ ☛ ✄ ✑ ✞ ✍ ✁ ✒ ✏ ✆ ✞ ❇ ✍ ☛ ✁ ✱ ✞ ☛ ✞ ❁ ✄ ✑ ☛ ✆✲✯ ✆ ✏ ✞ ✍ ☛ ✯ ✞ ✍❸❉ ✄✲✱ ✑ ✒ ☛ ✠ ➒ ✄➋✱❂✱➆✄ ✑ ✁ ✠ ❇ ☛ ✆ ✄✲✱➆✱❂✄➋✱ ✘
✯
⑨ ●✮☞✮✄➋☞ ✄✲● ✫❏✍ ✯ ✥✦✄✺ ☞ ✂⑤✫❏☞ ❀ ✑ ❉ ✄ ☞ ✠ ✞ ✍ ☛ ✕ ☞ ✞ ✑ ✍ ✱ ✞ ❁ ✄ ✒ ☛ ✠ ❉ ✏ ✯✮✁ ✑ ☞
☞
☞
✑ ✯
✑ ☞
✑
✣■✚✧✚P✪
exp(ξt ) = RR ds exp(2ξ ) ,
❁ ✄ ✠ ✄ ✫ ✱ ✞ ✠ ✞ ✍ ✒ ✠ ☛ ❉ ❀ ➄ ➂ ✖ ✠ ☛ ✆ ✄✲✱➆✱ {ξ } ✍ ✞ ❁ ξ = x, ✍ ✞ ✍ ✱♦✱ ❁ ☛ {R } ✍ ✱
t ❇
❇ ⑥ ✠ ③✦☛ ➂ ✑ ✠ ☛ ☞ ✆ ✰ ✄✲✱➆✱✝✱ ✞ ✠ ✑ ✞ ✄➋● ✒ ✠ ☛ ❉ ✯
● ☛ ✱❂✱➆✄✲✱➆0✱ ✍ ✞ ❁ ✄ ➒ ✠ ☛ ❇ ✍ ☞ ✱ ✆ t✁❸✍
exp(x)
☞
☞✰
✑ ✠ ☛ ✑✄ ✠ ✞ ✖ ✯
✑
✑ ✯
❇ ☞ ✑☞ ✑ ☞✰
✯ ✯
❃
√
(d)
0

0

✣

t
0

{Rc u : u ≥ 0}

=

s

{ c Ru : u ≥ 0}

✍✞ ❁
✍ ✞ ✄ ✍ ✍ ✞ ✍ ✁ ✆ ● ✍ ✞ ✍ ✱ ✘ ⑨ ✞ ❁ ✄ ✞ ✍ ✆ ✏ ✁ ✆ ✱❂✄
✒
❇ ➒ ✠ ☛ ✑✦✯✮✯ ✍ ✠ ☛ ✯ ✠❉ ✑ ☛ ✞ ✍ ☛ ☞ ✑✍ ✞ ❁ ☛ ● ☞ ✠ ✍ ✒ ✞ ☛ ☞ ✱ ✞ ✠ ☞ ✞ ✍ ✯❭✞ ✑ ✠ ✞ ❁ ✄ ✑ ✠ ✑ ✍ ✱ ξu➒ =✄✲✱➆✱➆x✄ ✁ + B✠ ☛ u✆ +✄➋✱❂✱ νu,
☛
ν,
x,
R
✍✑ ●✮✄➍➌ ❇ ν☞ ✣ ☛✑ ☞✠ ● ✍❸❉ ✄ ✱☞ ✍ ☛ ❇ δ = 2(1 + ν)✑ ✪✬✫ ☞ ❁ ✰❢✍ ✆ ✑ ❁ ✒ ☛ ✠ ν 0}
(1/2)

(a exp(Bs

) + 1)2

ds,

L0∞ (B (1/2) ),

✳✧✵✧✵

Z

0

∞

1{Bs(1/2) 0, µ > 0)
Z

(2), (21)

0

∞

Hitting/occupation time

exp(−2aBs(µ) ) ds

H0 (R(2−2µ/a) ),
(2−2µ/a)

R0
(7), (22)

Z

∞

0

(23)

Z

∞

0

exp(−2a Bs(µ) ) 1{Bs(µ) >0} ds
exp(−2a Bs(µ) ) 1{Bs(µ) >0}

ds

H1/a (R(2µ/a) )
Z

∞

0

1{Rs(2−2µ/a) 0}

∞

(1/2)
(a exp(Bs )

0

+

1)2

ds

Hitting/occupation time

Hr (B̃ (1/2) ),
r = log((1 + a)/a)

(37)

Z

1{Bs(1/2) 0 ● f ☛ ✶
✄✁ ✄
● ✑ ☞ ✄ ✒ ✻✚ ✑ ✺✄✂ ☞ ☞ ●
☞ ✰ ✕ ✠✞ ✑☞ ☞
✑☞

⇔

✣

Z

∞

f (x) dx < ∞.

✣ ✚P★✦✪

⑨ ☛ ✏ ✠ ❻ ✠ ✱ ✞ ✠ ☛ ☛ 0✱ ✍ ✞ ✍ ☛ ✍ ✞ ✍ ✱◗✱ ✞ ✞ ✄✲● ✫ ✏ ●✹✄ ✠ ✱ ☛ ❉ ✄ ●✮● ✍ ✞ ✍ ☛ ✁ ✱❂✱ ✏ ❉ ✞ ✍ ☛ ✱ ☛
✞ ❁ ☞ ✞✴✞ ❁ ✄ ✠ ✄♦✄✬✯ ➌ ✍ ✱ ✞ ✯ ✱ ● ✍❹➑ ☞ ✏ ✱ ✍ ☛ ☞ ✆ ☛ ✑ ☞ ✱ ✞ ✠ ✏ ✆✒ ☞ ✞ ✄➋● ✍ ☞ ✞ ❁ ✄ ✑ ✱ ❉ ✄ ☞ ✠ ☛✑ ✕ ✑ ✕ ✍❸✁❸✍ ✞ ✖ ✯ ✱ ☞ ✆ ✄ ☞ ✱
f, ✑
✱ ✆ ❁ ✞ ❁ ✞➁✞ ❁ ✄ ✑ ✄ ✠ ✄ ✞ ✏ ✁ ✍ ✞ ✄ ✠ ✁ ✏ ✆ ✞ ✍ ☛ ✁ I∞✑ (f ) ✯ ✍ ✱ ✘ ✱✑ ✘ ✄ ✏ ✁ ✯❭✞ ✑ ☛ ✞ ❁ ✑ ✄
B (µ) ✏
✑
✑
❻ ✠ ✱ ✞ ❁ ✍ ✞➆✞ ✍ ✞ ✑ ✍❸❉ ✄ ☛ ✒ ✯ ✯ ☛ ✍ ✞ ✑ ✒ ☛ ✠ ☞ ✞ ❁ ✍ ✰ ✱✛●✑ ✍❹➑ ✏ ✱ ☞ ✍ ☛ ✘ ☞ ✑
☞✰
☞
✑❧✯ ☞
✔➁▼P❛❏❖ ❛❝❞✢❵ ❘P❵❣❛❝❨ ✡✠ ✗☞☛✄✌✎✍ f : R 7→ R ✏ ✌✒✑✔✓✖✕✘✗✙✕✚✍✛✕✘✗✙✌✢✜✣✍✥✤✧✦✩★✢✌✪★✫✕✎✗✬✍✭✦✮✗✬✯✚✕✚✯✱✰✳✲✵✴✷✶✸✦✮✹✺✌✼✻✾✽
✂

✒

✌✿✗✙✍❀✦❁✑ ✲❀✌❃❂✛✯❄✗✙★✎✍❀✦❀✕✎✗❅✰❆✯✚★❈❇❉✍❀❇❊✑❋✍
❂✛✯❄✗✙★✎✍❀✏✦❀✕✎✗❙✑❄✲
❚ ✰✾✰✢✯✱✓✖✌❯❂✛✯✱✻❆✍❀❇✙✌✼✻✪✍❀❇❊✑❋✍
☛✄✌✘✍
❂❘✕✘✻

Z

✏

f (x) 6= 0
Z ∞

❫ ✕✎✻▲✌✫✕❴◗✎✌✿✻▲✜

✏

✴

(f ′ (x))2 dx < ∞.

),
Zt := f (Bα(µ)
t

✰❆✯✚★❈❇❩✍✭❇❊✑❬✍

αt := inf{s : Is > t} < ∞.

❭ ❇✙✌✼✗✷✑❋■❪✰❆■

✤❢❇✙✌✼✻❛✌

✑❱✗✙0✶

′

✌❃✑❲✶✸✦❍✹❳✯✱✰✾✦✩✕✎✗✟❨❖✦❘◗✎✌✼✗

t≥0

✌✳●❋✦❍✰❆✍❀✰❆■❑❏✥✗✙✍❀✻▲✕✚✶✬✯✚★✫✌▼✍✭❇✙✌✪✑✸✶◆✶❖✦P✍✭✦❘◗✎✌

r := limx→∞ f (x)
Z s
Is :=
(f ′ (Bu(µ) ))2 du.

Z

Z

∞

(f ′ (Bs(µ) ))2 ds = inf{t : Zt = r}.

✜

✦✮✰❵✑✔✰❛✕✎✲P✯❋0✍✭✦❀✕✘✗❅✕✎❂❜✍❀❇✙✌❃❝❋❞❃❡

dZt = dβt + G ◦ f −1 (Zt ) dt,

β

✣■✚ ✪

✦✮✰❵✑✔❣❜✻▲✕❄✤✧✗◆✦❁✑❄✗✖✓✟✕✚✍✭✦✩✕✎✗✖✑❄✗✙✶

Z0 = f (0),

³1
´
1
′′
′
G(x) := ′
f (x) + µ f (x) .
(f (x))2 2

✳ ➈✹✚

✣■✚ ✵ ✪

✂✁☎✄✆✄✞✝

❻ ➌ ✍ ●✹✄ ✱ ✫ ✞ ✄
✞ ☛ ✕ ✄ ✍ ✆ ✠ ✄ ✱ ✍ ✘◗➒ ✖ ⑨ ✞ ☛ ❊✱ ✒ ☛ ✠ ❉ ✏ ✁
③
f
☞
✑
✑
✑ ☞ ✰
✑
Z u
Z u
1
f ′ (Bs(µ) ) dBs(µ) +
f (Bu(µ) ) − f (0) =
f ′′ (Bs(µ) ) ds
2
Z0 u
Z u 0
′
(µ)
=
f (Bs ) dBs +
(f ′ (Bs(µ) ))2 G(Bs(µ) ) ds.
→

☛

✩

0

0

✿ ✄ ✁ ✆ ✍
✄ ✕ ✞ ✍
✕ ✖
αt ❇ ☛ ✑ ☞
✯ ✑ ☞ ✰ u
Z αt
Z
′
(µ)
Zt − Z 0 =
f (Bs ) dBs +
0

➒ ✄ ✆ ✏ ✱➆✄
✑

0

Is′ = (f ′ (Bs(µ) ))2

✍ ✞ ✒ ❸✁ ✁ ✱ ✒ ✠ ❉
☛ ☛ ❇
☛

and αt′ =

❀ ➄ ➂ ✖ ✱ ✞❁ ✄ ✠✄ ❉
☛

✞❁

✩

βt :=

✍✱

αt

Z

0

αt

✑

✞

(f ′ (Bs(µ) ))2 G(Bs(µ) ) ds.

1
))−2
= (f ′ (Bα(µ)
t
Iα′ t

f ′ (Bs(µ) ) dBs , t ≥ 0,

❁ ✄ ✆ ✁ ✍❹❉ ✄➋● ⑦ ❷
➒ ✠
✍
❉ ✞✍ ✫
✍
●
✄
☛ ❇ ☞ ✑ ☞
☛ ☛ ☞ ✑ ☞ ❇ ☛ ✕ ✞✑ ☞ ✞
✑
❃
Z t
) dαs
))2 G(Bα(µ)
(f ′ (Bα(µ)
Zt − Z 0 = β t +
s
s
0
Z t
G ◦ f −1 (Zs ) ds.
= βt +
✣

✑

0

➒ ✄ ✆ ✏ ✱➆✄
✱
✄ ❁ ➂ ✄
(µ)
Bt → ∞ ✑ t → ∞ ❇
✑
✑

(µ)

lim f (Bt ) = r,

⑨ ✞ ✒ ❸✁ ✁ ✱
☛ ☛ ❇ ☞ ☛ ❇
✕ ✖ ✁ ✄ ➆✞ ✞ ✍

✒

t→∞

✠☛ ❉

☞ ✰ t→∞

a.s.

(µ)

✞❁
✑

✆ ☛ ❉ ✁✄ ✞ ✍
✞ ❁ ✄ ✠ ☛r☛ ✒ ✘
☞ ✰
✯
✯

✞

ZIt = f (Bt ) < r
I∞ = Hr (Z) a.s.,
¤

✳ ➈✩✥

✲➣❑➉♣

❚✮▼✁ ✺✠ ❀ ✄ ✞ f ● Z ✕ ✄ ✱
✒
✠✯ ☛r☛ ✑ ✕ ☛ ➂ ✄ ✫❭✍ ✞ ✍ ✱✛✱➆✄✲✄ ☞ ✑ ☞ ✒ ☛ ✠ x > 0✑ ✞ ❁
✓✒

✍ ✭ ✠ ☛ ☛ ✱ ✍ ✞ ✍ ☛ ✥➉✘➃✚✧✘✤→ ❁ ✄ ◗✫ ❉ ☛ ● ✍ ✒ ✖ ✍ ✞ ❁ ✄
☞✞ ✯
☞
☞
☞✰

✄✒

Z

Hx

❶ ➍✄ ➌ ✞ ✫ ✄ ✆ ✱ ✍ ●✮✄ ✠
✱ ✍❸❉ ✁❹✍ ✆ ✍ ✞ ✖ ❇ ✄ ✞ ☛ ☞ ③ ✄ f ✞ ☛✯
✞ ❁ ✄ ✯ ✠ ✄ ●✮✄ ✠ ✘ ❇ ⑧ ✏ ✠ ✑ ✞ ❁ ✄ ✠ ✫ ✄
✑
❇
(−µ)

✄ ✠ ✄ ✞ ✏ ✁▲✍ ✞ ✄ ✠ ✁ ✒ ✏
✕ ✯✄✌●✮✄ ✆ ✑ ✠ ✄ ☞ ✱ ✍ ☞ ✰ ✫ ✑ ☞ ●
✏ ✱➆✄ ✞ ❁ ✄ ☞ ✑ ☛ ✞ ✑ ✞ ✰ ✍ ☛ ☞ ✑

✍ ✁ ✱ ✄➋✱ ✍ ✄➋●
☞ ✁ ✄ ✆ ✞ ➂ ☛ ✄ ☞ ✞✑ ❁ ✄ ✠ ✆ ➆✱ ✞ ✄✄ ✠ ✆✂ ✞ ✍
✑
✑ f ☞

✁

✣

−Bt

✒✡✠ ✜
☛✄✌✎✍ ✑❱✗✙✶
✦❍✰❑✶◆✌✢★✿✻▲✌❛✑❄✰✾✦❍✗❋❨✟✑❱✗✙f✶❲✲❀✌✘✍

A+
t

t≥0

✤❢❇✙✌✼✻❛✌

Z

:=

❞ ✌✔✓◆✗✙✌✒✑✕✞✙✻▲✕✚★✢✌✿✰✾✰
❂❘✕✘✻

✂

✁

✔➁▼P❛❏❖ ❛❝❞✢❵ ❘P❵❣❛❝❨
f

☛✆ ☞ ✄ R✱ ✍ +. ☎ ⑧ ☛ ✠
✠ ✑ ☞ ✰ ✞☛

:= sup{Bs(−µ) : s ≤ t} := sup{Bs − µ s : s ≤ t}, µ > 0.

✿ ✄ ✆ ❹✁ ✁ ✞ ❁ ✞
✑ ✑
(µ)
(−µ)
(−µ)
{ρt := Mt
− Bt
: t ≥ 0}
✍ ✱ ✍ ●✮✄ ✞ ✍ ✆ ✁✴✍ ✁ ✞ ☛ ✠ ✄ ✄ ✆ ✞ ✍ ➒ ✠ ☛ ✍ ❉ ☛ ✞ ✍ ☛ ✍ ✞ ❁ ●
✱ ☛ ✁ ✏ ✞ ✍ ☛☞ ☛ ✑ ✒ ③✦☞ ☛ ✠ ☛✦✢✑ ③ ❇ ❁ ☛ ●✯✩ ✱ ✑ ✠ ✄ ✄ ✆ ✞ ✍ ☛ ☞ ✰ ✄ ✏ ✞ ❇ ✍ ☛ ☞ ✑ ✣ ☞ ✱❂✄➋✄ ✷✹✚✟✂ ☞ ➇ ❁ ❇ ✞ ✄ ✠
☞ ✑ ☞
✑✯
● ✠ ✍❹➂ ✄ ☞ ✕ ✖
☞
(−µ)
✍❀❇❊✑❋✍

✣ ✚✻➈✧✪

(f ′ (Bs(µ) ))2 ds = inf{t : Zt = f (x)} a.s.

0

Mt

✑

(B (µ) )

0

✌ ✑❄✰❃✦❍✗✝✧
✆ ✻▲✕✟✞❢✕✎✰✳✦P✍✭✦✩✕✎✗✝❋
✠ ■☛✡❴■ ❚ ✰✳✰❆✯✱✓✟✌✪✓✟✕✎✻▲✌✫✕❴◗✎✌✿✻
✏ ✒
✌
❱
✑
✆
✰
❖
❨
P
✦
✎
◗
✿
✌
✗
❍
✦
✌
✗
✍
☞
✏
✡
✒
✎
✘
✑
✧
■
✄
☛
✌✎✍
ρ(µ) ✏
G

2
(f ′ (ρ(µ)
s )) ds,

and αt+ := inf{s : A+
s > t}.

◗✘✦❁✑

Z

:=

t ≥ 0.

t

(µ)

Zt := f (0) − f (ρα+ )

✰❆✯✚★❈❇❩✍✭❇❊✑❬✍
+
I∞

= (−Bt ) + µ t,

✣■✚✻✺✩✪
✠ ✍ ✒ ✞ µ, ✍⑤✘ ✄ ✘➃✫ ✞ ❁ ✄
✗▲⑨ ❀ ✄ ❉❢❉ ✥➉✘➃✚P✪
✑

αt+

Z

∞

0

r⋆ := f (0) − r.

< ∞.

❭ ❇✙✌✼✗

t

(d)

(f ′ (Bs(µ) ))2 1{Bs(µ) >0} ds = inf{t : Zt = r⋆ },

❭ ❇✙✌✖✞ ✻❛✕✚★✢✌✼✰✳✰

Z

✣✙✥✦✜✩✪

✦✮✰❵✑✔✰❛✕✎✲P✯❋✍✭✦❀✕✘✗❅✕✎❂❜✍❀❇✙✌❯✻▲✌✘✗✙✌✢★✘✍✛✌✢✶✖❝❋❞❃❡

dZt = dβt − G ◦ f −1 (f (0) − Zt ) dt + L0t (Z),

Z0 = 0,

✤❢❇✙✌✼✻❛✌ ✦❍✰❑✑ ❣❜✻▲✕❄✤✧✗◆✦❁✑❱✗ ✟
✓ ✕✚✍✭✦✩✕✎✗✙✜ 0
✦✮✰❯✑ ✗✬✕✎✗❙✽✛✶❋✌✢★✿✻▲✌▲✑❱✰✾✦✮✗❬✙
❨ ✞✙✻▲✕✚★✢✌✿✰✾✰
β
{Lt (Z) : t ≥ 0}
✤❢❇◆✦❀★❈❇ ✮✦ ✗✙★✿✻▲✌▲✑❱✰▲✌✼✰❃✕✎✗◆✲ ✴✷✕✎✗ ❀✍ ❇✙✛
✌ ✚❱✌✿✻▲✕ ✰▲✌✎✍❜✕✎❂
❄✑ ✗✙✶
✦❍✰❵✑❄✰ ✦✮✗✜✆✧✻▲✕✢✞❢✕✎✰✾✦❘✍✭✦❀✕✘✗✜✠❋■✣✡✱■
Z,

✳➈✳

G

➣❑➉♣ ✮❚ ▼✁✓✒✺✠ ⑨ ✆ ☛ ❉ �