BAB III SOLUSI GRAFIK DAN METODE PRIMAL SIMPLEKS A. Metode Simpleks - BAB III
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
BAB III
SOLUSI GRAFIK DAN METODE PRIMAL SIMPLEKS
A. Metode Simpleks
Metode simpleks yang sudah kita pelajari, menunjukkan bahwa setiap perpindahan
tabel baru selalu membawa semua elemen yang terdapat dalam tabel. Dalam metode
simpleks yang diperbaiki, setiap perpindahan tabel baru tidak semua elemen
diperlukan. Informasi yang sangat diperlukan untuk berpindah dari satu tabel ke tabel
berikutnya adalah :
(1) Nilai pada baris Zj – Cj.
(2) Kolom kunci (variabel yang akan masuk basis).
(3) Variabel basis.
(4) Nilai konstanta ruas kanan (bi) yang berkorespondensi dengan variabel basis.
Selain keempat informasi tersebut, sebenarnya yang lain tidak diperlukan (tidak
memiliki peran) dalam proses perpindahan tabel simpleks. Jika persoalan linier
program cukup besar, hal ini akan menjadi tidak efisien jika membawa semua elemen
ke dalam tabel berikutnya.
Cara yang lebih efisien yang dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan seperti
diatas adalah dengan metode simpleks yang diperbaiki atau simpleks multiplier.
Matriks dari bentuk standar linier program adalah sebagai berikut :
Maksimum
dk
Z
=
cx
Ax
=
bi
x
≥
0
di mana,
A=
(m x m)
bi =
(m x 1)
a11
a21
..
..
am1
a12
a22
..
..
am2
b1
b2
..
..
bi
….
….
….
x=
(n x 1)
a1n
a2n
..
..
amn
x1
x2
..
..
xn
dan,
c =
(1 x n)
Teknik Riset Operasi- GRR
[ c1, c2, …….cn]
Page 14
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Misalkan kolom yang berkorespondensi dengan matriks (A) dinyatakan dengan : Y1,
Y2, …, Yn, di mana,
a11
a21
..
..
am1
Y1 =
(m x 1)
a12
a22
..
..
am2
Y2 =
;
(m x 1)
a 1n
a 2n
..
..
amn
Y3 =
;
(m x 1)
Misalkan kita memiliki variabel basis x1, x2, …, xm, maka matriks basisnya adalah :
a11
a21
..
..
am1
B = Y1, Y2, …Ym =
(m x n)
B invers = B
-1
B11
B21
..
..
Bm1
B =
Misalkan vektor (B) dipecah
menjadi
….
….
a12
a22
..
..
am2
B12
B22
..
..
Bm2
….
….
….
….
a 1m
a 2m
..
..
amm
B 1m
B 2m
..
..
Bmm
B1
(n x 1)
BN
di mana B1 berkorespondensi dengan variabel basis, dan BN merupakan variabel
nonbasis, maka :
B1 =
(m x 1)
Teknik Riset Operasi- GRR
b1
b2
..
..
bm
dan
BN =
(n - mx1)
xm+1
xm+2
..
..
xm+n
Page 15
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
dengan demikian solusi basis optimum adalah :
-1
BI = B b i =
B11b1 +
B21b1 +
..
..
Bm1b1 +
B 12b2 +
B 22b2 +
..
..
Bm2b2 +
….
….
….
+ B1m bm
+ B2m bm
..
..
+ Bmmbm
Misalkan CB merupakan koefisien fungsi tujuan untuk variabel basis, maka fungsi tujuan
dari variabel basis adalah :
Z = Cx = CB B I = c1b1 + c2b2 + … + cmbm
Untuk menguji apakah solusi telah optimum, perlu dihitung simpleks multiplier (π) =
CBB-1. Koefisien fungsi tujuan yang baru = ĉj = πYi – cj.
Oleh karena fungsi tujuan berbentuk maksimum, maka solusi optimum akan dicapai
apabila ĉj ≥ 0.
Jika solusi belum optimum, maka pilih salah satu nilai ĉj yang memiliki negatif
terbesar, sebagai variabel masuk basis. Sedangkan variabel yang akan keluar basis
perlu ditentukan kolom pivot dengan menggunakan rumus berikut :
Yjn = B-1Yjn =
â 1n
â 2n
..
..
âmn
Setelah itu uji perbandingan minimum untuk menentukan variabel yang akan
keluar basis dengan rumus :
b2
b2
, untuk , i = 1,2, …, m.
= Minimum
â2n
â2n
Proses ini diulangi sampai solusi optimum tercapai.
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 16
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Contoh 1 :
Penyelesaian LP dengan Rivised Simpleks, pada prinsipnya sama dengan metode
simpleks terdahulu. Akan tetapi kita hanya menghitung informasi yang penting
saja pada setiap perpindahan tabel baru.
Maksimum Z = 40X1 + 25X2 + 0S 1 + 0S2
Dk.
[1]
3X1 + 2X2 + S1 =
[2]
8X1 + 2X2 + S2 =
[3]
200
Untuk melihat hasil perhitungan dengan Rivised Simpleks, terlebih dahulu kita akan
≥
selesaikan dengan metode simpleks biasa, sebagai perbandingan.
Cj
CB
Basis
0
S1
150
S2
200
Zj-Cj
0
0
bi
Cj
40
X1
25
X2
0
S1
0
S2
Indeks
3
2
1
0
150:3=50
8
2
0
1
200:8=25
-40
-25
0
0
40
X1
25
X2
0
S1
0
S2
Indeks
CB
Basis
0
S1
75
0
5/4
1
-3/8
75:1,25=60
40
X1
25
1
¼
0
1/8
25:0,25=100
Zj-Cj
1000
0
-15
0
5
40
X1
25
X2
0
S1
0
S2
bi
Cj
CB
Basis
25
X2
60
0
1
0,8
-0,3
40
X1
10
1
0
-0,2
0,2
Zj-Cj
1900
0
0
12
0,5
bi
Indeks
Solusi optimum permasalahan diatas adalah X1 = 10, X2 = 60 dengan nilai Z = 1.900.
Dalam rivised simpleks, tidak semua angka yang terdapat dalam tabel diatas kita
perlukan. Jika, kolom X1, X2, S1 dan S2 kita kita sebut Y1, Y2, Y3 dan Y4. Konstanta
nilai kanan kita sebut bi, dan koefisien fungsi tujuan kita sebut C1, C2, C3, dan C4,
maka angka-angka tersebut dapat dibuat sebagai berikut :
Y1 =
3
8
, Y2 =
2
2
, Y3 =
1
0
, Y4 =
0
1
.
; C1 = [40], C2 = [25], C3 = [0], C4 = [0].
bi =
150
200
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 17
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Sehingga tabel awal metode rivesed simpleks adalah :
basis
B
-1
bi
S1
1
0
150
S2
0
1
200
Dalam tabel 1 variabel basis adalah S1 dan S2 dengan koefisien fungsi tujuan C3
dan C4. Simpleks multiplier = π = CBB-1, dimana CB = [C3,C4] = [0,0].
Simpleks multiplier = π = [0,0]
3
C1 = π Y1 – C1 = [0,0]
8
2
C2 = π Y2 – C2 = [0,0]
2
1 0
0 1
= [0,0]
- 40 = - 40.
- 25 = - 25.
Oleh karena C1 memiliki angka negatif terbesar, maka X1 masuk basis (menjadi
kolom kunci). Untuk menentukan variabel yang akan keluar basis (baris kunci)
adalah memilih angka terkecil dari (aturan perbandingan minimum) bi : Y1.
bi
Minimum =
Y1
S1
150
3
50
:
=
200
8
25
S 2 Keluar basis
Pada tabel berikutnya, variabel basis menjadi S 1 dan X1, oleh karena itu matriks basis
berubah menjadi :
B = [Y3,Y1] =
1 3
0 8
Invers matriks basisnya adalah :
8
1
-1
B =
1x8
0x3
0
3
1
=
1
0
3
1
8
8
Berdasarkan teori matriks, setiap nilai pada tabel berikutnya dapat diperoleh
dengan mengalikan kolom persamaan asal dengan invers matriks basisnya.
bi = B-1bi =
1
0
3
1
8
8
150
200
=
75
S1
25
X1
Perhitungan diatas menghasilkan tabel kedua simpleks yang diperbaiki berikut :
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 18
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
basis
©
B
-1
bi
S1
1
-3/8
75
X1
0
1/8
25
Apakah tabel dua tersebut sudah optimum ? Untuk menjawab pertanyaan tersebut,
perlu dihitung nilai Cj
baru yang berkorespondensi dengan variabel non basis
yaitu X2 dan S2 sebagai berikut.
Simpleks multiplier = π = CBB-1, dimana CB = [0,40].
1
π = [0,40]
3
0
1
8
= [0,5]
8
C2 = π Y1 – C1 = [0,5]
2
C4 = π Y2 – C2 = [0,5]
0
2
1
- 25 = - 15.
- 0 = 5.
Tabel akan optimum apabila nilai C j ≥ 0. Berarti tabel 2 belum optimum, karena nilai
C2 yang baru masih negatif 15 yang berkorespodensi dengan variabel keputusan X2.
Pada tabel selanjutnya X2 masuk basis (kolom kunci). Untuk menentukan variabel
mana diantara S1
dan X1 yang akan keluar basis (baris kunci), dipilih dari hasil
minimum bi : Y2.
Nilai vektor kolom baru yang berkorespondensi dengan X2 adalah Y2
= B-1Y2.
Y2 =
1
3
0
1
2
8
2
8
5
=
4
1
4
Variabel yang akan keluar basis adalah :
bi
Minimum =
75
25
Y2
5
:
1
4
=
4
60
100
S1 Keluar basis
X1
Variabel basis yang baru menjadi X2 dan X1, dan menghasilkan matriks basis seperti
berikut :
B = [Y2,Y1] =
2 3
2 8
Invers matriks basisnya adalah :
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 19
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
8
1
B-1 =
2x8
2x3
2
3
4
=
2
3
5
1
5
10
1
5
Nilai konstanta ruas kanan yang baru (bi ) untuk tabel berikutnya adalah :
bi = B-1bi =
4
5
1
5
3
10
150
200
1
5
=
60
X2
10
X1
Hasil perhitngan diatas dapat dibuat dalam tabel simpleks yang diperbaiki seperti berikut
ini :
Tabel 3. Tabel ketiga simpleks diperbaiki
basis
©
B
-1
bi
X2
4/5
-3/10
60
X1
-1/5
1/5
10
Apakah tabel tiga tersebut sudah optimum ? Untuk menjawab pertanyaan tersebut,
perlu dihitung nilai Cj baru yang berkorespondensi dengan variabel non basis (S1 dan
S2).
Simpleks multiplier = π = CBB-1, dimana CB = [25,40].
π = [25,40]
4
5
1
5
3
10
1
5
C3 = π Y3 – C3 = [12;0,5]
C4 = π Y4 – C4 = [12;0,5]
= [12;0,5]
1
0
0
1
- 0 = 12.
- 0 = 0,5.
Tabel akan optimum apabila nilai Cj ≥ 0. Oleh karena nilai baru dari C3 dan C4
yang baru positif 12 dan 0,5, maka tabel 3 adalah optimum, dengan nilai X1 dan
X2 masing-masing adalah 10 dan 60. Sehingga nilai Z maksimum adalah 40(10) +
25(60) = 1.900.
Solusi optimum metode simpleks diperbaiki sama dengan solusi optimum metode
simpleks biasa. Akan tetapi penggunaan
metode simpleks yang diperbaiki jauh
lebih efisien jika dikerjakan secara manual.
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 20
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Contoh 2 :
Maximum Z = 50X1 + 80X2 + 0S1 + 0S2 - MA1 - MA2
Dk.
[1]
X1 +
S1
X 2 - S 2 + A1
= 20 [3]
X2 +
A2 = 50 [4]
S1, S2, A1, A2 ≥ 0
= 40 [2]
X1 +
X1, X 2,
Misalkan Y1, …, Y6 menunjukkan kolom yang berkorespondensi dengan X1, X2, S1,
S2, A1, A2 dan bi berkorespondensi dengan konstanta ruas kanan, maka :
1
0
0
0
1
1
40
1 , Y6 = 0 , dan bi = 20
1 , Y5 =
1 , Y3 = 0 , Y4 =
Y1 = 0 , Y2 =
0
0
0
1
0
1
50
Variabel basis awalnya adalah S 1, A1 dan A2, sehingga tabel awal simpleks yang
diperbaiki adalah sebagai berikut :
Tabel 1. Tabel awal simpleks diperbaiki
basis
B
-1
bi
S1
1
0
0
40
A1
0
1
0
20
A2
0
0
1
50
Variabel manakah yang masuk basis ? Karena fungsi tujuan berbentuk maximum,
maka variabel yang memiliki nilai Cj negatif terbesar adalah variabel yang akan masuk
basis.
Simpleks multiplier = π = CBB-1, dimana CB = [0,-M,-M]
1 0 0
π = [0,-M,-M] 0
1 0 = [0,-M,-M]
0 0
1
Cj = π Yj – Cj
1
1.
C 1 = [0,-M,-M] 0
- 50 = - M – 50
1
0
2.
C 2 = [0,-M,-M] 1
- 80 = - 2M – 80
1
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 21
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
1
3.
C 3 = [0,-M,-M] 0
-0=0
0
0
4.
C 4 = [0,-M,-M]
1 -0=M
0
5.
C 5 = [0,-M,-M]
0
1 - (-M) = 0
0
0
6.
C 6 = [0,-M,-M] 0
- (-M) = 0
1
C2 menghasilkan angla negatif terbesar yaitu – 2M – 80, oleh karena itu variabel
X2 masuk basis. Variabel manakah diantara S1, A1 dan A2 yang akan keluar
basis ? adalah hasil minimum dari bi : Y2, atau
40
0
S1
20 : 1 = 20
Minimum =
50
1
A1 Keluar basis
A2
50
Pada tabel pertama variabel basisnya adalah S1, A1 dan A2 yang berarti matriks
basisnya adalah Y3, Y5, dan Y6 atau :
1 0
B= 0
0
baris 1
1 0
baris 2
0 0
1
baris 3
Untuk mencari invers matriks basis (B-1) dapat dilakukan dengan operasi pivot, di
mana kolom pivotnya adalah kolom Y2.
1. Kalikan baris 2 dengan nol, kemudian hasilnya tambahkan dengan baris 1.
Baris 2 = [0 1 0] x 0
Baris 1
= [0 0 0]
= [1 0 0]
Nilai baru
= [1 0 0]
+
2. Bagi baris 2 dengan satu.
Baris 2 = [0 1 0] : 1
= [0 1 0]
3. Kalikan baris 2 dengan minus satu, kemudian hasilnya tambahkan dengan baris 3.
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 22
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Baris 2 = [0 1 0] x – 1
3
= [0 -1 0] Baris
= [0 0 1]
+
= [0 -1 1]
Nilai baru baris 3
-1
Dengan demikian, B =
1
0
0
0
1
0
0
1 1
Nilai konstanta ruas kanan yang baru dapat dicari dengan cara :
bi = B-1bi
1
bi =
0
0
0
0
40
40
S1
1
0
20 = 20
X2
50
A2
1 1
30
Hasil perhitungan di atas dapat dibuat dalam tabel kedua simpleks diperbaiki seperti
berikut :
Tabel 2. Tabel kedua simpleks diperbaiki
B-1
basis
bi
S1
1
0
0
40
X2
0
1
0
20
A2
0
-1
1
30
Apakah tabel 2 tersebut sudah optimum ?, lihat proses berikut ini
: Simpleks multiplier = π = CBB-1, dimana CB = [0,80,-M]
1
[0,80,-M] 0
0
0
0
1
0 = [0, 80+M, -M]
1 1
B. Metode Dual Simpleks
Prosedur perhitungan yang dibicarakan sejauh ini bergerak dari solusi dasar layak
yang belum optimum ke solusi layak yang lain. Apakah proses tersebut akhirnya akan
mencapai suatu solusi layak optimum, adalah tergantung pada kemampuan
untuk
mendapatkan suatu solusi dasar awal yang layak. Dalam kaitan ini, artificial
variabel kadang-kadang digunakan untuk menemukan solusi awal
layak.
Jika
formulasi LP mengandung sejumlah besar artificial variable, maka membutuhkan
banyak perhitungan untuk memperoleh solusi awal layak.
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 23
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Karena itu, akan dijelaskan suatu prosedur perhitungan yang memberikan suatu
solusi layak
dinamakan
optimum,
meskipun
solusi awalnya
dual simplex algorithm yang pertama
tidak
layak. Prosedur
itu
kali disusun oleh Lemke.
Algoritma ini tidak banyak digunakan di antara program-program komputer yang
ada. Namun ia memainkan peranan penting dalam post optimality analysis .
Berikut ini disajikan contoh bagaimana metode itu bekerja :
Contoh :
Minimumkan
Z
=
4X 1 +
Dengan s yarat
3X 1
X1
X1
X1
Langkah pertama adalah mengubah semua
+
+
+
;
2X 2
X2
X2
2X 2
X2
kendala
≥ 27
≥ 21
≥ 30
≥ 0
menjadi pertidaksamaan ≤ (agar
tidak membutuhkan artificial variable) dan kemudian tambahkan variabel slack.
Sehingga diperoleh :
Minimumkan
Dengan syarat
Z
=
4X 1 +
- 3X 1 - X1 - X1 -
2X 2
X2 + S1
X2
+ S2
2X 2
+ S3
X1, X2, S 1, S2, S 3,
≤
≤
≤
≥
- 27
- 21
- 30
0
Jika bentuk baku di atas diekspresikan sebagai suatu tabel simplex awal, maka
akan terlihat bahwa variabel slack (S1 , S 2 , S 3 ) tidak memberikan solusi awal
layak. Karena ini merupakan masalah minimisasi sementara semua koefisien
pada persamaan Z adalah ≤ 0, maka solusi awal S 1=-27, S 2 =-21, S3 =-30 adalah
optimum tetapi tak layak. Masalah ini merupakan c iri khas dari mas alah yang
dapat diselesaikan dengan metode dual simplex . Tabel solusi awal optimum tapi
tak layak adalah :
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 24
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Tabel 1. Tabel Awal
Basis
Z
S1
X1
-4
-3
X2
-2
-1
S1
0
1
S2
0
0
S3
0
0
Solusi
0
- 27
S2
S3
-1
-1
-1
-2
0
0
1
0
0
1
- 21
- 30
Seperti dalam metode simplex, metode ini didasarkan pada optimality and feasibility
condition. Optimality condition menjamin bahwa solusi selalu tetap optimum,
s
ementara feasibility condition memaks a solusi dasar menc apai ruang layak.
Feasibility Condition : leav ing variable adalah v ariabel basis yang memiliki
nilai negatif terbesar (nilai kembar dipilih secara sembarang). Jika semua
variabel
basis
non negatif,
proses
berakhir
dan solusi layak yang telah
optimum tercapai.
Optimality Condition : entering v ariable dipilih dari v ariabel non basis dengan
cara seperti berikut. Buat rasio antara koefisien pers amaan Z dengan koefisien
persamaan yang berhubungan pada leaving variable. Abaikan rasio dengan penyebut
positif atau nol. Bagi masalah mini mis asi, entering variable adalah salah satu
yang
memiliki
ras io
terkecil,
atau
absolut
rasio
terkecil
untuk mas alah
maksimisasi (rasio kembar dipilih sec ara s embarang). Jika semua penyebut
adalah nol atau positif, berarti masalah itu tidak memiliki solusi layak.
Setelah memilih entering and leav ing variable, metode Gauss Jordan (operasi
baris) diterapkan seperti biasa untuk memperoleh solusi berikutnya. Leaving variable
pada Tabel 1 adalah S 3
(=-30), karena ia memiliki nilai negatif terbesar.
Untuk menentukan entering v ariable, rasionya diperoleh dengan cara berikut :
Variabel
Persamaan Z
Persamaan S 3
X1
-4
-1
X2
-2
-2
Ras io
4
1
Teknik Riset Operasi- GRR
S1
0
0
S2
0
0
S3
0
1
Page 25
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Entering v ariable adalah X2 karena ia memiliki ras io terkecil yaitu 1. Dengan
menerapkan operasi baris seperti biasa diperoleh tabel berikut :
Tabel 2. Iterasi Pertama
Basis
Z
S1
S2
X1
-3
- 2,5
- 1/2
X2
0
0
0
S1
0
1
0
S2
0
0
1
S3
-1
-1/2
- 1/2
Solusi
30
- 12
-6
X2
1/2
1
0
0
- 1/2
15
Solusi baru mas ih optimum tetapi tak layak (S 1=-12, S 2=-6). Kemudian S 1
dipilih sebagai leav ing v ariable dan X1 sebagai entering v ariable. Ini memberikan iterasi seperti berikut :
Tabel 3. Iterasi Kedua
Basis
Z
X1
S2
X2
X1
0
1
0
0
X2
0
0
0
1
S1
- 1,2
- 0,4
- 0,2
- 0,2
S2
0
0
1
0
S3
- 0,4
0,2
- 0,4
- 0,6
Solusi
44,4
4,8
- 3,6
12,6
Pada iterasi kedua belum diperoleh solusi layak (S 2 = - 3,6). Karena S 2 adalah satusatunya yang bernilai negatif, dengan sendirinya ia menjadi leaving variabel dan S 3
sebagai entering variabel, ini memberikan iterasi seperti berikut :
Tabel 4. Iterasi Ketiga
Basis
Z
X1
S3
X2
X1
0
1
0
0
X2
0
0
0
1
S1
-1
- 1/2
1/2
1/2
S2
-1
1/2
- 2,5
- 1,5
S3
0
0
1
0
Solusi
48
3
9
18
Tabel Iterasi Ketiga merupakan tabel optimum dan layak dengan nilai fungsi tujuan
adalah 48.
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 26
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
C. Metode Simpleks Primal
Maksimumkan
: Z = 40X1 + 30X2 + 50X3
Batasan
: 1. 6X1 + 4X2 + X3 ≤ 32000
2. 6X1 + 7X2 + 3X3 ≤ 16000
3. 4X1 + 5X2 + 12X3 ≤ 24000
4. X1, X2, X3 ≥ 0
Langkah-langkah penyelesaian dengan metode simpleks primal:
1. Merubah
model
matematika
menjadi
bentuk
baku
simpleks
dengan
cara
menambahkan batasan dengan variable slack pada pertidaksamaan lebih kecil sama
dengan atau mengurangi dengan variable surplus pada pertidaksamaan lebih besar
sama dengan.
+ variable slack pada batasan ≤
- Variable surplus pada batasan ≥
Bentuk baku simpleks:
Maksimumkan
: Z - 40X1 - 30X2 - 50X3 – 0S1 - 0S2 – 0S3 = 0
Batasan
: 1. 6X1 + 4X2 + X3 + S1 = 32000
2. 6X1 + 7X2 + 3X3 + S2 = 16000
3. 4X1 + 5X2 + 12X3 + S3 = 24000
2. Buat tabel awal simpleks
Dasar
Z
X1
X2
X3
S1
S2
S3
Pemecahan Rasio
Z
1
-40
-30
-50
0
0
0
0
0
S1
0
6
4
1
1
0
0
32000
32000
S2
0
6
7
3
0
1
0
16000
5333
S3
0
4
5
12
0
0
1
24000
2000
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 27
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
3. Tentukan kolom masuk.
Pada kasus maksimalisasi, kolom masuk merupakan nilai negatif terbesar pada
persamaan Z atau baris Z pada table simpleks, sehingga X3 merupakan kolom
masuk.
4. Tentukan kolom keluar atau persamaan pivot.
Merupakan nilai positif terkecil dari rasio antara pemecahan dengan elemen pada
kolom masuk, sehingga:
Pemecahan
Kolom masuk (X3)
Rasio
32000
1
32000/1 = 32000
16000
3
16000/3 = 5333
24000
12
24000/12 = 2000
Variable nondasar X3 akan menggantikan variable dasar S3 pada table simpleks
iterasi pertama.
5. Tentukan elemen pivot.
Merupakan angka pada perpotongan kolom masuk dan kolom keluar, sehingga
elemen pivot = 12.
6. Mencari persamaan pivot baru.
Persamaan pivot baru = persamaan pivot lama / elemen pivot
Persamaan Pivot lama (a)
Elemen pivot (b)
Persamaan pivot baru (a/b)
0
4
5
12
0
0
1
24000
12
12
12
12
12
12
12
12
0
1/3
5/12
1
0
0
1/12
2000
7. Mencari persamaan variable dasar baru.
Pada kasus diatas yang merupakan variable dasar adalah Z, S1, dan S2.
Variable dasar baru = variable dasar lama – (elemen kolom masuk x persamaan
pivot baru.
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 28
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
a. Persamaan Z baru:
Persamaan Z lama (a)
1
-40
-30
-50
0
0
0
0
Elemen kolom masuk
-50
-50
-50
-50
-50
-50
-50
-50
Persamaan pivot baru (c)
0
1/3
5/12
1
0
0
1/12
2000
b x c = (d)
0
-50/3
-250/12
-50
0
0
-50/12
-100000
Persamaan Z baru (a-d)
1
-70/3
-55/6
0
0
0
25/6
100000
pada variable dasar Z (b)
b. Persamaan S1 baru:
Persamaan S1 lama (a)
0
6
4
1
1
0
0
32000
Elemen kolom masuk
1
1
1
1
1
1
1
1
Persamaan pivot baru (c)
0
1/3
5/12
1
0
0
1/12
2000
b x c = (d)
0
1/3
5/12
1
0
0
1/12
2000
Persamaan S1 baru (a-d)
0
17/3
43/12
0
1
0
-1/12
30000
Persamaan S2 lama (a)
0
6
7
3
0
1
0
16000
Elemen kolom masuk
3
3
3
3
3
3
3
3
Persamaan pivot baru (c)
0
1/3
5/12
1
0
0
1/12
2000
b x c = (d)
0
1
5/4
3
0
0
1/4
6000
Persamaan S2 baru (a-d)
0
5
23/4
0
0
1
-1/4
10000
pada variable dasar S1 (b)
c. Persamaan S2 baru:
pada variable dasar S2 (b)
8. Table simpleks iterasi pertama:
Dasar
Z
Z
1
S1
X1
X2
Pemecahan Rasio
X3
S1
S2
S3
-70/3 -55/6
0
0
0
25/6
100000
0
17/3
43/12
0
1
0
-1/12
30000
5294
S2
0
5
23/4
0
0
1
-1/4
10000
2000
X3
0
1/3
5/12
1
0
0
1/12
2000
6000
9. Kondisi optimum pada kasus maksimalisasi diperoleh ketika persamaan Z atau
baris Z tidak memilik angka yang bernilai negative. Apabila kondisi optimum
belum diperoleh maka kembali ke langkah 3.
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 29
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Pemecahan
Kolom masuk (X3)
Rasio
30000
17/3
5294
10000
5
2000
2000
1/3
6000
10. Elemen pivot = 5
11. Persamaan pivot baru
Persamaan Pivot lama (a)
0
5
23/4
0
0
1
-1/4
Elemen pivot (b)
5
5
5
5
5
5
5
Persamaan pivot baru (a/b)
0
1
23/20
0
0
1/5
-1/20
10000
5
2000
12. Persamaan variabel dasar baru
a. Persamaan Z baru
Persamaan Z lama (a)
1
-70/3
-55/6
0
0
0
25/6
100000
Elemen kolom masuk
-70/3
-70/3
-70/3
-70/3
-70/3
-70/3
-70/3
-70/3
Persamaan pivot baru (c)
0
1
23/20
0
0
1/5
-1/20
2000
b x c = (d)
0
-70/3
-161/6
0
0
-14/3
7/6
-140000/3
Persamaan Z baru (a-d)
1
0
53/3
0
0
14/3
3
440000/3
pada variable dasar Z (b)
b. Persamaan S1 baru
Persamaan S1 lama (a)
0
17/3
43/12
0
1
0
-1/12
30000
Elemen kolom masuk
17/3
17/3
17/3
17/3
17/3
17/3
17/3
17/3
Persamaan pivot baru (c)
0
1
23/20
0
0
1/5
-1/20
2000
b x c = (d)
0
17/3
391/60
0
0
17/15
-17/60
34000/3
Persamaan S1 baru (a-d)
0
0
-44/15
0
1
-17/15
1/5
56000/3
0
1/3
5/12
1
0
0
1/12
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
Persamaan pivot baru (c)
0
1
23/20
0
0
1/5
-1/20
2000
b x c = (d)
0
1/3
23/60
0
0
1/15
-1/60
2000/3
Persamaan X3 baru (a-d)
0
0
1/30
1
0
-1/15
1/10
4000/3
pada variable dasar S1 (b)
c. Persamaan X3 baru
Persamaan X3 lama (a)
Elemen kolom masuk
2000
1/3
pada variable dasar X3 (b)
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 30
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
13. Table simpleks iterasi kedua - optimum
Dasar
Z
X1
X2
X3
S1
S2
S3
Pemecahan
Z
1
0
53/3
0
0
14/3
3
440000/3
S1
0
0
-44/15
0
1
-17/15
1/5
56000/3
X1
0
1
23/20
0
0
1/5
-1/20
2000
X3
0
0
1/30
1
0
-1/15
1/10
4000/3
14. Table simplek iterasi kedua diatas sudah optimum karena variable nondasar pada
persamaan Z sudah bernilai positif, sehingga:
X1 = 2000
X3 = 4000/3
Z = 440000/3
15. Pada table optimum S2 dan S3 = 0. Artinya persediaan sumber daya kedua dan
ketiga habis digunakan, tetapi masih memiliki sumber daya pertama (S1) sebesar
56000/3 karena tidak digunakan.
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 31
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 32
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 33
BAB III
SOLUSI GRAFIK DAN METODE PRIMAL SIMPLEKS
A. Metode Simpleks
Metode simpleks yang sudah kita pelajari, menunjukkan bahwa setiap perpindahan
tabel baru selalu membawa semua elemen yang terdapat dalam tabel. Dalam metode
simpleks yang diperbaiki, setiap perpindahan tabel baru tidak semua elemen
diperlukan. Informasi yang sangat diperlukan untuk berpindah dari satu tabel ke tabel
berikutnya adalah :
(1) Nilai pada baris Zj – Cj.
(2) Kolom kunci (variabel yang akan masuk basis).
(3) Variabel basis.
(4) Nilai konstanta ruas kanan (bi) yang berkorespondensi dengan variabel basis.
Selain keempat informasi tersebut, sebenarnya yang lain tidak diperlukan (tidak
memiliki peran) dalam proses perpindahan tabel simpleks. Jika persoalan linier
program cukup besar, hal ini akan menjadi tidak efisien jika membawa semua elemen
ke dalam tabel berikutnya.
Cara yang lebih efisien yang dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan seperti
diatas adalah dengan metode simpleks yang diperbaiki atau simpleks multiplier.
Matriks dari bentuk standar linier program adalah sebagai berikut :
Maksimum
dk
Z
=
cx
Ax
=
bi
x
≥
0
di mana,
A=
(m x m)
bi =
(m x 1)
a11
a21
..
..
am1
a12
a22
..
..
am2
b1
b2
..
..
bi
….
….
….
x=
(n x 1)
a1n
a2n
..
..
amn
x1
x2
..
..
xn
dan,
c =
(1 x n)
Teknik Riset Operasi- GRR
[ c1, c2, …….cn]
Page 14
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Misalkan kolom yang berkorespondensi dengan matriks (A) dinyatakan dengan : Y1,
Y2, …, Yn, di mana,
a11
a21
..
..
am1
Y1 =
(m x 1)
a12
a22
..
..
am2
Y2 =
;
(m x 1)
a 1n
a 2n
..
..
amn
Y3 =
;
(m x 1)
Misalkan kita memiliki variabel basis x1, x2, …, xm, maka matriks basisnya adalah :
a11
a21
..
..
am1
B = Y1, Y2, …Ym =
(m x n)
B invers = B
-1
B11
B21
..
..
Bm1
B =
Misalkan vektor (B) dipecah
menjadi
….
….
a12
a22
..
..
am2
B12
B22
..
..
Bm2
….
….
….
….
a 1m
a 2m
..
..
amm
B 1m
B 2m
..
..
Bmm
B1
(n x 1)
BN
di mana B1 berkorespondensi dengan variabel basis, dan BN merupakan variabel
nonbasis, maka :
B1 =
(m x 1)
Teknik Riset Operasi- GRR
b1
b2
..
..
bm
dan
BN =
(n - mx1)
xm+1
xm+2
..
..
xm+n
Page 15
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
dengan demikian solusi basis optimum adalah :
-1
BI = B b i =
B11b1 +
B21b1 +
..
..
Bm1b1 +
B 12b2 +
B 22b2 +
..
..
Bm2b2 +
….
….
….
+ B1m bm
+ B2m bm
..
..
+ Bmmbm
Misalkan CB merupakan koefisien fungsi tujuan untuk variabel basis, maka fungsi tujuan
dari variabel basis adalah :
Z = Cx = CB B I = c1b1 + c2b2 + … + cmbm
Untuk menguji apakah solusi telah optimum, perlu dihitung simpleks multiplier (π) =
CBB-1. Koefisien fungsi tujuan yang baru = ĉj = πYi – cj.
Oleh karena fungsi tujuan berbentuk maksimum, maka solusi optimum akan dicapai
apabila ĉj ≥ 0.
Jika solusi belum optimum, maka pilih salah satu nilai ĉj yang memiliki negatif
terbesar, sebagai variabel masuk basis. Sedangkan variabel yang akan keluar basis
perlu ditentukan kolom pivot dengan menggunakan rumus berikut :
Yjn = B-1Yjn =
â 1n
â 2n
..
..
âmn
Setelah itu uji perbandingan minimum untuk menentukan variabel yang akan
keluar basis dengan rumus :
b2
b2
, untuk , i = 1,2, …, m.
= Minimum
â2n
â2n
Proses ini diulangi sampai solusi optimum tercapai.
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 16
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Contoh 1 :
Penyelesaian LP dengan Rivised Simpleks, pada prinsipnya sama dengan metode
simpleks terdahulu. Akan tetapi kita hanya menghitung informasi yang penting
saja pada setiap perpindahan tabel baru.
Maksimum Z = 40X1 + 25X2 + 0S 1 + 0S2
Dk.
[1]
3X1 + 2X2 + S1 =
[2]
8X1 + 2X2 + S2 =
[3]
200
Untuk melihat hasil perhitungan dengan Rivised Simpleks, terlebih dahulu kita akan
≥
selesaikan dengan metode simpleks biasa, sebagai perbandingan.
Cj
CB
Basis
0
S1
150
S2
200
Zj-Cj
0
0
bi
Cj
40
X1
25
X2
0
S1
0
S2
Indeks
3
2
1
0
150:3=50
8
2
0
1
200:8=25
-40
-25
0
0
40
X1
25
X2
0
S1
0
S2
Indeks
CB
Basis
0
S1
75
0
5/4
1
-3/8
75:1,25=60
40
X1
25
1
¼
0
1/8
25:0,25=100
Zj-Cj
1000
0
-15
0
5
40
X1
25
X2
0
S1
0
S2
bi
Cj
CB
Basis
25
X2
60
0
1
0,8
-0,3
40
X1
10
1
0
-0,2
0,2
Zj-Cj
1900
0
0
12
0,5
bi
Indeks
Solusi optimum permasalahan diatas adalah X1 = 10, X2 = 60 dengan nilai Z = 1.900.
Dalam rivised simpleks, tidak semua angka yang terdapat dalam tabel diatas kita
perlukan. Jika, kolom X1, X2, S1 dan S2 kita kita sebut Y1, Y2, Y3 dan Y4. Konstanta
nilai kanan kita sebut bi, dan koefisien fungsi tujuan kita sebut C1, C2, C3, dan C4,
maka angka-angka tersebut dapat dibuat sebagai berikut :
Y1 =
3
8
, Y2 =
2
2
, Y3 =
1
0
, Y4 =
0
1
.
; C1 = [40], C2 = [25], C3 = [0], C4 = [0].
bi =
150
200
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 17
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Sehingga tabel awal metode rivesed simpleks adalah :
basis
B
-1
bi
S1
1
0
150
S2
0
1
200
Dalam tabel 1 variabel basis adalah S1 dan S2 dengan koefisien fungsi tujuan C3
dan C4. Simpleks multiplier = π = CBB-1, dimana CB = [C3,C4] = [0,0].
Simpleks multiplier = π = [0,0]
3
C1 = π Y1 – C1 = [0,0]
8
2
C2 = π Y2 – C2 = [0,0]
2
1 0
0 1
= [0,0]
- 40 = - 40.
- 25 = - 25.
Oleh karena C1 memiliki angka negatif terbesar, maka X1 masuk basis (menjadi
kolom kunci). Untuk menentukan variabel yang akan keluar basis (baris kunci)
adalah memilih angka terkecil dari (aturan perbandingan minimum) bi : Y1.
bi
Minimum =
Y1
S1
150
3
50
:
=
200
8
25
S 2 Keluar basis
Pada tabel berikutnya, variabel basis menjadi S 1 dan X1, oleh karena itu matriks basis
berubah menjadi :
B = [Y3,Y1] =
1 3
0 8
Invers matriks basisnya adalah :
8
1
-1
B =
1x8
0x3
0
3
1
=
1
0
3
1
8
8
Berdasarkan teori matriks, setiap nilai pada tabel berikutnya dapat diperoleh
dengan mengalikan kolom persamaan asal dengan invers matriks basisnya.
bi = B-1bi =
1
0
3
1
8
8
150
200
=
75
S1
25
X1
Perhitungan diatas menghasilkan tabel kedua simpleks yang diperbaiki berikut :
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 18
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
basis
©
B
-1
bi
S1
1
-3/8
75
X1
0
1/8
25
Apakah tabel dua tersebut sudah optimum ? Untuk menjawab pertanyaan tersebut,
perlu dihitung nilai Cj
baru yang berkorespondensi dengan variabel non basis
yaitu X2 dan S2 sebagai berikut.
Simpleks multiplier = π = CBB-1, dimana CB = [0,40].
1
π = [0,40]
3
0
1
8
= [0,5]
8
C2 = π Y1 – C1 = [0,5]
2
C4 = π Y2 – C2 = [0,5]
0
2
1
- 25 = - 15.
- 0 = 5.
Tabel akan optimum apabila nilai C j ≥ 0. Berarti tabel 2 belum optimum, karena nilai
C2 yang baru masih negatif 15 yang berkorespodensi dengan variabel keputusan X2.
Pada tabel selanjutnya X2 masuk basis (kolom kunci). Untuk menentukan variabel
mana diantara S1
dan X1 yang akan keluar basis (baris kunci), dipilih dari hasil
minimum bi : Y2.
Nilai vektor kolom baru yang berkorespondensi dengan X2 adalah Y2
= B-1Y2.
Y2 =
1
3
0
1
2
8
2
8
5
=
4
1
4
Variabel yang akan keluar basis adalah :
bi
Minimum =
75
25
Y2
5
:
1
4
=
4
60
100
S1 Keluar basis
X1
Variabel basis yang baru menjadi X2 dan X1, dan menghasilkan matriks basis seperti
berikut :
B = [Y2,Y1] =
2 3
2 8
Invers matriks basisnya adalah :
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 19
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
8
1
B-1 =
2x8
2x3
2
3
4
=
2
3
5
1
5
10
1
5
Nilai konstanta ruas kanan yang baru (bi ) untuk tabel berikutnya adalah :
bi = B-1bi =
4
5
1
5
3
10
150
200
1
5
=
60
X2
10
X1
Hasil perhitngan diatas dapat dibuat dalam tabel simpleks yang diperbaiki seperti berikut
ini :
Tabel 3. Tabel ketiga simpleks diperbaiki
basis
©
B
-1
bi
X2
4/5
-3/10
60
X1
-1/5
1/5
10
Apakah tabel tiga tersebut sudah optimum ? Untuk menjawab pertanyaan tersebut,
perlu dihitung nilai Cj baru yang berkorespondensi dengan variabel non basis (S1 dan
S2).
Simpleks multiplier = π = CBB-1, dimana CB = [25,40].
π = [25,40]
4
5
1
5
3
10
1
5
C3 = π Y3 – C3 = [12;0,5]
C4 = π Y4 – C4 = [12;0,5]
= [12;0,5]
1
0
0
1
- 0 = 12.
- 0 = 0,5.
Tabel akan optimum apabila nilai Cj ≥ 0. Oleh karena nilai baru dari C3 dan C4
yang baru positif 12 dan 0,5, maka tabel 3 adalah optimum, dengan nilai X1 dan
X2 masing-masing adalah 10 dan 60. Sehingga nilai Z maksimum adalah 40(10) +
25(60) = 1.900.
Solusi optimum metode simpleks diperbaiki sama dengan solusi optimum metode
simpleks biasa. Akan tetapi penggunaan
metode simpleks yang diperbaiki jauh
lebih efisien jika dikerjakan secara manual.
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 20
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Contoh 2 :
Maximum Z = 50X1 + 80X2 + 0S1 + 0S2 - MA1 - MA2
Dk.
[1]
X1 +
S1
X 2 - S 2 + A1
= 20 [3]
X2 +
A2 = 50 [4]
S1, S2, A1, A2 ≥ 0
= 40 [2]
X1 +
X1, X 2,
Misalkan Y1, …, Y6 menunjukkan kolom yang berkorespondensi dengan X1, X2, S1,
S2, A1, A2 dan bi berkorespondensi dengan konstanta ruas kanan, maka :
1
0
0
0
1
1
40
1 , Y6 = 0 , dan bi = 20
1 , Y5 =
1 , Y3 = 0 , Y4 =
Y1 = 0 , Y2 =
0
0
0
1
0
1
50
Variabel basis awalnya adalah S 1, A1 dan A2, sehingga tabel awal simpleks yang
diperbaiki adalah sebagai berikut :
Tabel 1. Tabel awal simpleks diperbaiki
basis
B
-1
bi
S1
1
0
0
40
A1
0
1
0
20
A2
0
0
1
50
Variabel manakah yang masuk basis ? Karena fungsi tujuan berbentuk maximum,
maka variabel yang memiliki nilai Cj negatif terbesar adalah variabel yang akan masuk
basis.
Simpleks multiplier = π = CBB-1, dimana CB = [0,-M,-M]
1 0 0
π = [0,-M,-M] 0
1 0 = [0,-M,-M]
0 0
1
Cj = π Yj – Cj
1
1.
C 1 = [0,-M,-M] 0
- 50 = - M – 50
1
0
2.
C 2 = [0,-M,-M] 1
- 80 = - 2M – 80
1
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 21
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
1
3.
C 3 = [0,-M,-M] 0
-0=0
0
0
4.
C 4 = [0,-M,-M]
1 -0=M
0
5.
C 5 = [0,-M,-M]
0
1 - (-M) = 0
0
0
6.
C 6 = [0,-M,-M] 0
- (-M) = 0
1
C2 menghasilkan angla negatif terbesar yaitu – 2M – 80, oleh karena itu variabel
X2 masuk basis. Variabel manakah diantara S1, A1 dan A2 yang akan keluar
basis ? adalah hasil minimum dari bi : Y2, atau
40
0
S1
20 : 1 = 20
Minimum =
50
1
A1 Keluar basis
A2
50
Pada tabel pertama variabel basisnya adalah S1, A1 dan A2 yang berarti matriks
basisnya adalah Y3, Y5, dan Y6 atau :
1 0
B= 0
0
baris 1
1 0
baris 2
0 0
1
baris 3
Untuk mencari invers matriks basis (B-1) dapat dilakukan dengan operasi pivot, di
mana kolom pivotnya adalah kolom Y2.
1. Kalikan baris 2 dengan nol, kemudian hasilnya tambahkan dengan baris 1.
Baris 2 = [0 1 0] x 0
Baris 1
= [0 0 0]
= [1 0 0]
Nilai baru
= [1 0 0]
+
2. Bagi baris 2 dengan satu.
Baris 2 = [0 1 0] : 1
= [0 1 0]
3. Kalikan baris 2 dengan minus satu, kemudian hasilnya tambahkan dengan baris 3.
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 22
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Baris 2 = [0 1 0] x – 1
3
= [0 -1 0] Baris
= [0 0 1]
+
= [0 -1 1]
Nilai baru baris 3
-1
Dengan demikian, B =
1
0
0
0
1
0
0
1 1
Nilai konstanta ruas kanan yang baru dapat dicari dengan cara :
bi = B-1bi
1
bi =
0
0
0
0
40
40
S1
1
0
20 = 20
X2
50
A2
1 1
30
Hasil perhitungan di atas dapat dibuat dalam tabel kedua simpleks diperbaiki seperti
berikut :
Tabel 2. Tabel kedua simpleks diperbaiki
B-1
basis
bi
S1
1
0
0
40
X2
0
1
0
20
A2
0
-1
1
30
Apakah tabel 2 tersebut sudah optimum ?, lihat proses berikut ini
: Simpleks multiplier = π = CBB-1, dimana CB = [0,80,-M]
1
[0,80,-M] 0
0
0
0
1
0 = [0, 80+M, -M]
1 1
B. Metode Dual Simpleks
Prosedur perhitungan yang dibicarakan sejauh ini bergerak dari solusi dasar layak
yang belum optimum ke solusi layak yang lain. Apakah proses tersebut akhirnya akan
mencapai suatu solusi layak optimum, adalah tergantung pada kemampuan
untuk
mendapatkan suatu solusi dasar awal yang layak. Dalam kaitan ini, artificial
variabel kadang-kadang digunakan untuk menemukan solusi awal
layak.
Jika
formulasi LP mengandung sejumlah besar artificial variable, maka membutuhkan
banyak perhitungan untuk memperoleh solusi awal layak.
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 23
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Karena itu, akan dijelaskan suatu prosedur perhitungan yang memberikan suatu
solusi layak
dinamakan
optimum,
meskipun
solusi awalnya
dual simplex algorithm yang pertama
tidak
layak. Prosedur
itu
kali disusun oleh Lemke.
Algoritma ini tidak banyak digunakan di antara program-program komputer yang
ada. Namun ia memainkan peranan penting dalam post optimality analysis .
Berikut ini disajikan contoh bagaimana metode itu bekerja :
Contoh :
Minimumkan
Z
=
4X 1 +
Dengan s yarat
3X 1
X1
X1
X1
Langkah pertama adalah mengubah semua
+
+
+
;
2X 2
X2
X2
2X 2
X2
kendala
≥ 27
≥ 21
≥ 30
≥ 0
menjadi pertidaksamaan ≤ (agar
tidak membutuhkan artificial variable) dan kemudian tambahkan variabel slack.
Sehingga diperoleh :
Minimumkan
Dengan syarat
Z
=
4X 1 +
- 3X 1 - X1 - X1 -
2X 2
X2 + S1
X2
+ S2
2X 2
+ S3
X1, X2, S 1, S2, S 3,
≤
≤
≤
≥
- 27
- 21
- 30
0
Jika bentuk baku di atas diekspresikan sebagai suatu tabel simplex awal, maka
akan terlihat bahwa variabel slack (S1 , S 2 , S 3 ) tidak memberikan solusi awal
layak. Karena ini merupakan masalah minimisasi sementara semua koefisien
pada persamaan Z adalah ≤ 0, maka solusi awal S 1=-27, S 2 =-21, S3 =-30 adalah
optimum tetapi tak layak. Masalah ini merupakan c iri khas dari mas alah yang
dapat diselesaikan dengan metode dual simplex . Tabel solusi awal optimum tapi
tak layak adalah :
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 24
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Tabel 1. Tabel Awal
Basis
Z
S1
X1
-4
-3
X2
-2
-1
S1
0
1
S2
0
0
S3
0
0
Solusi
0
- 27
S2
S3
-1
-1
-1
-2
0
0
1
0
0
1
- 21
- 30
Seperti dalam metode simplex, metode ini didasarkan pada optimality and feasibility
condition. Optimality condition menjamin bahwa solusi selalu tetap optimum,
s
ementara feasibility condition memaks a solusi dasar menc apai ruang layak.
Feasibility Condition : leav ing variable adalah v ariabel basis yang memiliki
nilai negatif terbesar (nilai kembar dipilih secara sembarang). Jika semua
variabel
basis
non negatif,
proses
berakhir
dan solusi layak yang telah
optimum tercapai.
Optimality Condition : entering v ariable dipilih dari v ariabel non basis dengan
cara seperti berikut. Buat rasio antara koefisien pers amaan Z dengan koefisien
persamaan yang berhubungan pada leaving variable. Abaikan rasio dengan penyebut
positif atau nol. Bagi masalah mini mis asi, entering variable adalah salah satu
yang
memiliki
ras io
terkecil,
atau
absolut
rasio
terkecil
untuk mas alah
maksimisasi (rasio kembar dipilih sec ara s embarang). Jika semua penyebut
adalah nol atau positif, berarti masalah itu tidak memiliki solusi layak.
Setelah memilih entering and leav ing variable, metode Gauss Jordan (operasi
baris) diterapkan seperti biasa untuk memperoleh solusi berikutnya. Leaving variable
pada Tabel 1 adalah S 3
(=-30), karena ia memiliki nilai negatif terbesar.
Untuk menentukan entering v ariable, rasionya diperoleh dengan cara berikut :
Variabel
Persamaan Z
Persamaan S 3
X1
-4
-1
X2
-2
-2
Ras io
4
1
Teknik Riset Operasi- GRR
S1
0
0
S2
0
0
S3
0
1
Page 25
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Entering v ariable adalah X2 karena ia memiliki ras io terkecil yaitu 1. Dengan
menerapkan operasi baris seperti biasa diperoleh tabel berikut :
Tabel 2. Iterasi Pertama
Basis
Z
S1
S2
X1
-3
- 2,5
- 1/2
X2
0
0
0
S1
0
1
0
S2
0
0
1
S3
-1
-1/2
- 1/2
Solusi
30
- 12
-6
X2
1/2
1
0
0
- 1/2
15
Solusi baru mas ih optimum tetapi tak layak (S 1=-12, S 2=-6). Kemudian S 1
dipilih sebagai leav ing v ariable dan X1 sebagai entering v ariable. Ini memberikan iterasi seperti berikut :
Tabel 3. Iterasi Kedua
Basis
Z
X1
S2
X2
X1
0
1
0
0
X2
0
0
0
1
S1
- 1,2
- 0,4
- 0,2
- 0,2
S2
0
0
1
0
S3
- 0,4
0,2
- 0,4
- 0,6
Solusi
44,4
4,8
- 3,6
12,6
Pada iterasi kedua belum diperoleh solusi layak (S 2 = - 3,6). Karena S 2 adalah satusatunya yang bernilai negatif, dengan sendirinya ia menjadi leaving variabel dan S 3
sebagai entering variabel, ini memberikan iterasi seperti berikut :
Tabel 4. Iterasi Ketiga
Basis
Z
X1
S3
X2
X1
0
1
0
0
X2
0
0
0
1
S1
-1
- 1/2
1/2
1/2
S2
-1
1/2
- 2,5
- 1,5
S3
0
0
1
0
Solusi
48
3
9
18
Tabel Iterasi Ketiga merupakan tabel optimum dan layak dengan nilai fungsi tujuan
adalah 48.
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 26
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
C. Metode Simpleks Primal
Maksimumkan
: Z = 40X1 + 30X2 + 50X3
Batasan
: 1. 6X1 + 4X2 + X3 ≤ 32000
2. 6X1 + 7X2 + 3X3 ≤ 16000
3. 4X1 + 5X2 + 12X3 ≤ 24000
4. X1, X2, X3 ≥ 0
Langkah-langkah penyelesaian dengan metode simpleks primal:
1. Merubah
model
matematika
menjadi
bentuk
baku
simpleks
dengan
cara
menambahkan batasan dengan variable slack pada pertidaksamaan lebih kecil sama
dengan atau mengurangi dengan variable surplus pada pertidaksamaan lebih besar
sama dengan.
+ variable slack pada batasan ≤
- Variable surplus pada batasan ≥
Bentuk baku simpleks:
Maksimumkan
: Z - 40X1 - 30X2 - 50X3 – 0S1 - 0S2 – 0S3 = 0
Batasan
: 1. 6X1 + 4X2 + X3 + S1 = 32000
2. 6X1 + 7X2 + 3X3 + S2 = 16000
3. 4X1 + 5X2 + 12X3 + S3 = 24000
2. Buat tabel awal simpleks
Dasar
Z
X1
X2
X3
S1
S2
S3
Pemecahan Rasio
Z
1
-40
-30
-50
0
0
0
0
0
S1
0
6
4
1
1
0
0
32000
32000
S2
0
6
7
3
0
1
0
16000
5333
S3
0
4
5
12
0
0
1
24000
2000
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 27
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
3. Tentukan kolom masuk.
Pada kasus maksimalisasi, kolom masuk merupakan nilai negatif terbesar pada
persamaan Z atau baris Z pada table simpleks, sehingga X3 merupakan kolom
masuk.
4. Tentukan kolom keluar atau persamaan pivot.
Merupakan nilai positif terkecil dari rasio antara pemecahan dengan elemen pada
kolom masuk, sehingga:
Pemecahan
Kolom masuk (X3)
Rasio
32000
1
32000/1 = 32000
16000
3
16000/3 = 5333
24000
12
24000/12 = 2000
Variable nondasar X3 akan menggantikan variable dasar S3 pada table simpleks
iterasi pertama.
5. Tentukan elemen pivot.
Merupakan angka pada perpotongan kolom masuk dan kolom keluar, sehingga
elemen pivot = 12.
6. Mencari persamaan pivot baru.
Persamaan pivot baru = persamaan pivot lama / elemen pivot
Persamaan Pivot lama (a)
Elemen pivot (b)
Persamaan pivot baru (a/b)
0
4
5
12
0
0
1
24000
12
12
12
12
12
12
12
12
0
1/3
5/12
1
0
0
1/12
2000
7. Mencari persamaan variable dasar baru.
Pada kasus diatas yang merupakan variable dasar adalah Z, S1, dan S2.
Variable dasar baru = variable dasar lama – (elemen kolom masuk x persamaan
pivot baru.
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 28
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
a. Persamaan Z baru:
Persamaan Z lama (a)
1
-40
-30
-50
0
0
0
0
Elemen kolom masuk
-50
-50
-50
-50
-50
-50
-50
-50
Persamaan pivot baru (c)
0
1/3
5/12
1
0
0
1/12
2000
b x c = (d)
0
-50/3
-250/12
-50
0
0
-50/12
-100000
Persamaan Z baru (a-d)
1
-70/3
-55/6
0
0
0
25/6
100000
pada variable dasar Z (b)
b. Persamaan S1 baru:
Persamaan S1 lama (a)
0
6
4
1
1
0
0
32000
Elemen kolom masuk
1
1
1
1
1
1
1
1
Persamaan pivot baru (c)
0
1/3
5/12
1
0
0
1/12
2000
b x c = (d)
0
1/3
5/12
1
0
0
1/12
2000
Persamaan S1 baru (a-d)
0
17/3
43/12
0
1
0
-1/12
30000
Persamaan S2 lama (a)
0
6
7
3
0
1
0
16000
Elemen kolom masuk
3
3
3
3
3
3
3
3
Persamaan pivot baru (c)
0
1/3
5/12
1
0
0
1/12
2000
b x c = (d)
0
1
5/4
3
0
0
1/4
6000
Persamaan S2 baru (a-d)
0
5
23/4
0
0
1
-1/4
10000
pada variable dasar S1 (b)
c. Persamaan S2 baru:
pada variable dasar S2 (b)
8. Table simpleks iterasi pertama:
Dasar
Z
Z
1
S1
X1
X2
Pemecahan Rasio
X3
S1
S2
S3
-70/3 -55/6
0
0
0
25/6
100000
0
17/3
43/12
0
1
0
-1/12
30000
5294
S2
0
5
23/4
0
0
1
-1/4
10000
2000
X3
0
1/3
5/12
1
0
0
1/12
2000
6000
9. Kondisi optimum pada kasus maksimalisasi diperoleh ketika persamaan Z atau
baris Z tidak memilik angka yang bernilai negative. Apabila kondisi optimum
belum diperoleh maka kembali ke langkah 3.
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 29
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Pemecahan
Kolom masuk (X3)
Rasio
30000
17/3
5294
10000
5
2000
2000
1/3
6000
10. Elemen pivot = 5
11. Persamaan pivot baru
Persamaan Pivot lama (a)
0
5
23/4
0
0
1
-1/4
Elemen pivot (b)
5
5
5
5
5
5
5
Persamaan pivot baru (a/b)
0
1
23/20
0
0
1/5
-1/20
10000
5
2000
12. Persamaan variabel dasar baru
a. Persamaan Z baru
Persamaan Z lama (a)
1
-70/3
-55/6
0
0
0
25/6
100000
Elemen kolom masuk
-70/3
-70/3
-70/3
-70/3
-70/3
-70/3
-70/3
-70/3
Persamaan pivot baru (c)
0
1
23/20
0
0
1/5
-1/20
2000
b x c = (d)
0
-70/3
-161/6
0
0
-14/3
7/6
-140000/3
Persamaan Z baru (a-d)
1
0
53/3
0
0
14/3
3
440000/3
pada variable dasar Z (b)
b. Persamaan S1 baru
Persamaan S1 lama (a)
0
17/3
43/12
0
1
0
-1/12
30000
Elemen kolom masuk
17/3
17/3
17/3
17/3
17/3
17/3
17/3
17/3
Persamaan pivot baru (c)
0
1
23/20
0
0
1/5
-1/20
2000
b x c = (d)
0
17/3
391/60
0
0
17/15
-17/60
34000/3
Persamaan S1 baru (a-d)
0
0
-44/15
0
1
-17/15
1/5
56000/3
0
1/3
5/12
1
0
0
1/12
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
Persamaan pivot baru (c)
0
1
23/20
0
0
1/5
-1/20
2000
b x c = (d)
0
1/3
23/60
0
0
1/15
-1/60
2000/3
Persamaan X3 baru (a-d)
0
0
1/30
1
0
-1/15
1/10
4000/3
pada variable dasar S1 (b)
c. Persamaan X3 baru
Persamaan X3 lama (a)
Elemen kolom masuk
2000
1/3
pada variable dasar X3 (b)
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 30
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
13. Table simpleks iterasi kedua - optimum
Dasar
Z
X1
X2
X3
S1
S2
S3
Pemecahan
Z
1
0
53/3
0
0
14/3
3
440000/3
S1
0
0
-44/15
0
1
-17/15
1/5
56000/3
X1
0
1
23/20
0
0
1/5
-1/20
2000
X3
0
0
1/30
1
0
-1/15
1/10
4000/3
14. Table simplek iterasi kedua diatas sudah optimum karena variable nondasar pada
persamaan Z sudah bernilai positif, sehingga:
X1 = 2000
X3 = 4000/3
Z = 440000/3
15. Pada table optimum S2 dan S3 = 0. Artinya persediaan sumber daya kedua dan
ketiga habis digunakan, tetapi masih memiliki sumber daya pertama (S1) sebesar
56000/3 karena tidak digunakan.
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 31
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 32
Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks
Teknik Riset Operasi- GRR
Page 33