SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 2.13 TRANSFORMASI GEOMETRI)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA
(Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

2. 13.

Menentukan bayangan titik atau kurva karena dua transformasi atau lebih.

Transformasi Geometri
Acuan

Translasi

Pencerminan

P�r��s�ran

•
•
•
•
•

terhadap =
terhadap =
terhadap titik (0, 0)
terhadap = ±
terhadap = � +

Rotasi

Dilatasi

sebesar � pusat

sebesar � pusat

Menggunakan konsep matriks transformasi

Bentuk umum

Transformasi terhadap Titik
Bayangan
′

,

adalah

′

′

( ′) = �

,

′

Transformasi terhadap Kurva
���s�i��si�an , pada fungsi kurva
′
= �− ( )
′

�− = In��rs Ma�ri�s �rans�ormasi

� = Ma�ri�s �rans�ormasi

Komposisi Transformasi
∘

Ingat

artinya

dikerjakan lebih dulu daripada

� ∘ … ∘ � ∘ � merupakan komposisi transformasi �
dilanjutkan oleh transformasi � dan seterusnya
sampai dengan transformasi �

Komposisi
Dua Transformasi Titik
Bayangan
′

,

adalah

( ′) = � ∘ �

Halaman 88

′

′

,

′

Komposisi
Dua Transformasi Kurva
���s�i��si�an , pada fungsi kurva
= � ∘�

−

′
( )

′

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Tabel Transformasi Geometri
Translasi
Translasi
1.

Transformasi identitas

2.

Translasi oleh

Pemetaan
,
,

→

→

�

′ ,

�=

′

Persamaan Matriks Transformasi
′
( )
′
′
( )
′

+ , +

=

+

=

Pencerminan

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.

Pencerminan
terhadap garis = ….

Pencerminan terhadap
sumbu Y =
Pencerminan terhadap
garis =

Pencerminan
terhadap garis = ….

Pencerminan terhadap
sumbu X
=
Pencerminan terhadap
garis =

Pencerminan

��r�adap �i�i� …., ….

Pencerminan terhadap
titik asal
,
Pencerminan terhadap
titik
,

Pencerminan
terhadap garis = ±

Pencerminan terhadap
=
Pencerminan terhadap
garis = −

Pencerminan
terhadap garis = �

Pencerminan terhadap
garis = �
dimana � = �an �

10. Pencerminan terhadap
garis = � +
dimana � = �an �

Pemetaan
,
,

→
→

����

′

� =

′

Persamaan Matriks Transformasi

− ,

− ,

(

Pemetaan
,
,

→
→

����

′

,

−

(

Pemetaan
,
,

→
→

�� 0,0
�

 

′

,

′

,

→
→

� =
� =−

 

′
′

− ,−

− ,

−

(

→

,

→

� =�

 

′

� =� +  
′
′

′

−

−
−
)=
′

′
( )
′
′

=

−

′
)=
−

−

−

′

′, ′

=

−

−
−
)=
−

−

−
−

−

=
=

−

−

Persamaan Matriks Transformasi

= �os � + sin �
= sin � − �os �

= �os � +
= sin � −

′

′
( )
′

− ,−

′, ′

′

′
( )
′

,

′

′
( )
′

Persamaan Matriks Transformasi

Pemetaan
,

−

Persamaan Matriks Transformasi

Pemetaan
,

′

=

Persamaan Matriks Transformasi

′ ,−

� =

′
( )
′

−
−

sin �
�os � +

′
( )
′
(

′

�

�
�

�
−�

�
�

′
�
)=
−
�

�
�

�
−�

�
�

=

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

�

 
−

Halaman 89

Rotasi

1.

Rotasi sebesar �
��r�adap �i�i� …., ….

Rotasi �° berlawanan
jarum jam terhadap
pusat
,
Rotasi �° berlawanan
jarum jam terhadap
pusat
,

2.

Pemetaan
,

→

,

→

�[ ,�]

�[

′
′

,

=
=

′

,�]

′

−
−

Persamaan Matriks Transformasi

′

′, ′

′

′

= �os � − sin �
= sin � + �os �

,

�os � −
sin � +

′

−
−

sin � +
�os � +

′
( )
′
(

′

′

=

−
)=
−

�

�
� �

�

�
� �

− � �
� �
−
−

− � �
� �

Dilatasi

1.

Dila�asi p�sa� …., ….
faktor dilatasi �
Dilatasi [ , �]
Dilatasi [

2.

,

, �]

Pemetaan
,
,

→
→

�[ ,�]
�[

,

,�]

′
′
′

′

Persamaan Matriks Transformasi

� ,�

=�
=�

′

,

−
−

′

+
+

(

′
( )
′
′

′

=

−
)=
−

�

�

�

�

−
−

Keterangan:
Transformasi terhadap titik:
Masukkan titik , ke matriks transformasi sehingga diperoleh titik bayangan transformasi
′

( ′) = �

′

,

′

.

Transformasi terhadap fungsi (kurva):
Substitusikan dan ke fungsi sehingga fungsi baru hasil transformasi mengandung variabel ′ dan ′.
Untuk mempermudah gunakan invers matriks:
′

( ′) = �

′

⇒ �− ( ′ ) =
⇔

′

= �− ( ′ )

Jika matriks transformasinya mudah diinvers menggunakan invers fungsi, maka tidak perlu
menggunakan invers matriks. Mubazir. 
Keterangan warna:
= Transformasi ACUAN .
�

�

,

Halaman 90

�
�
� −�

= Transformasi TURUNAN .

�
= Matriks Transformasi ACUAN
�

= Persamaan Matriks Transformasinya perlu penyesuaian ��r�adap ACUAN .

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT konsep matriks transformasi untuk pencerminan, rotasi dan dilatasi.
LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun matriks transformasi ACUAN.
,

Buat dua titik,

dan

,

pada bidang koordinat
,

Transformasikan kedua titik
− ,

,

,−

Tulis hasil transformasi titik ke dalam matriks kolom

Selesailah matriks transformasi kita
Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang transformasi geometri, jelas
bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah bayangan kurva terhadap beberapa transformasi. Untuk
transformasi terhadap suatu titik sepertinya peluangnya kecil untuk muncul dalam soal UN 2013 nanti.
Nah, sebenarnya ada cara yang cukup mudah untuk mengingat pola matriks transformasi dari pencerminan,
rotasi maupun dilatasi. Perhatikan langkah di bawah ini.
Hubungan Matriks dan Transformasi
adalah matriks transformasi �,

Misalkan � =

,

maka hasil dari transformasi titik
′

(

′)

=

=

=

=

,

dan hasil dari transformasi titik
′

(

′)

adalah:

adalah:

Sehingga proses menyusun matriks transformasi � adalah dengan meletakkan titik
bidang koordinat lalu kita transformasikan. Misalkan, (

(

′

′

,

dan

,

pada

′ ) adalah hasil transformasi dari titik A sedangkan

′ ) adalah hasil transformasi titik B, maka matriks transformasi tersebut adalah:

�=

=(

′

′

′

′)

Contohnya bagaimana?? Oke, berikut ini beberapa contoh matriks transformasi :
Pencerminan terhadap sumbu Y �aris

′

− ,

,
�
′

�

,

=

.

Perhatikan sumbu koordinat di samping,
Untuk pencerminan terhadap sumbu Y (garis = ),
maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi
sedangkan titik B tidak berpindah, tetap di B, sehingga koordinatnya tetap di
Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu Y �aris

�

Koordinat

′

− ,

=

−

Koordinat

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

′

=

′

′

− , .
, .

adalah:

,
Halaman 91

Pencerminan terhadap sumbu X �aris
�

′

′

,

Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu X �aris

�

,−

Koordinat

′

− ,

,

=

,

,

Pencerminan terhadap titik asal

′

.

Perhatikan sumbu koordinat di samping,
Untuk pencerminan terhadap sumbu X (garis = ),
maka titik A tidak akan berpindah, tetap di A, sehingga koordinatnya tetap di
sedangkan titik B akan berpindah ke bawah, sehingga koordinatnya menjadi

,

�

=

−

′

Koordinat

,

�

,

,−

′

Koordinat

Pencerminan terhadap garis
,

,

−

Koordinat

′

′

− , .
, .

adalah:

′

,

= .

,

�

Koordinat

Halaman 92

− ,

−

=

Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis
,

=

,

=

′

Perhatikan sumbu koordinat di samping,
Untuk pencerminan terhadap garis = ,
maka titik A akan berpindah ke kiri atas, sehingga koordinatnya menjadi ′ , .
dan titik B akan berpindah ke kanan bawah, sehingga koordinatnya menjadi ′ ,

,

=

adalah:

.

Perhatikan sumbu koordinat di samping,
Untuk pencerminan terhadap titik asal
, ,
maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi
sedangkan titik B tidak berpindah, tetap di B, sehingga koordinatnya menjadi

,

, .
,− .

,−

Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap titik asal

′

=

′

′

′

=
,

=

Koordinat

′

.

adalah:

,

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pencerminan terhadap garis

′

,

,−

=−

Perhatikan sumbu koordinat di samping,
Untuk pencerminan terhadap garis = − ,
maka titik A akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi ′ , − .
dan titik B akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi ′ − , .
Jadi matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis

,

′ − ,

=− .

�

=−

Koordinat

=

=−
′

,−

′

,

ro�asi

,

,

° ��rla�anan �ar�m �am

.

,

��

Koordinat

,

′

,

,

−

=

°

,

Koordinat

′

,

.

° ��rla�anan �ar�m �am

Jadi matriks transformasi rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat

′

,−

:

Perhatikan sumbu koordinat di samping,
Untuk pencerminan terhadap rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat
, ,
maka titik A akan berpindah ke samping kiri, sehingga koordinatnya menjadi ′ − , .
dan titik B akan berpindah ke bawah, sehingga koordinatnya menjadi ′ , − .

,

ro�asi

− ,

Jadi matriks transformasi rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat

− ,

ro�asi

′

Perhatikan sumbu koordinat di samping,
Untuk pencerminan terhadap rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat
, ,
′
, .
maka titik A akan berpindah ke kiri atas, sehingga koordinatnya menjadi
dan titik B akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi ′ − , .

Rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat

′

Koordinat

° ��rla�anan �ar�m �am

′ − ,
ro�asi

−
,

Rotasi 90° berlawanan jarum jam dengan pusat

−

= − adalah:

° ��rla�anan �ar�m �am

��

,

Koordinat

′

°

− ,

=

−

−

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Koordinat

,

:

′

,−

Halaman 93

Rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat
atau sama dengan
Rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat
, .

′

,−

,

ro�asi
° ��rla�anan �ar�m �am
ro�asi ° s�ara� �ar�m �am
,

′

,

ro�asi
° ��rla�anan �ar�m �am
ro�asi ° s�ara� �ar�m �am

,

.

Perhatikan sumbu koordinat di samping,
Untuk pencerminan terhadap rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat
,
atau sama dengan rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat
, ,
maka titik A akan berpindah ke kiri bawah, sehingga koordinatnya menjadi ′ , − .
dan titik B akan berpindah kanan bawah, sehingga koordinatnya menjadi ′ , .

��

,

°

= ��

′

�,

dila�asi dengan faktor skala k
′

,

′

°

,−

=

−

Koordinat

,

′

,

.

Perhatikan sumbu koordinat di samping,
Untuk dilatasi dengan faktor skala dilatasi sebesar � dengan pusat
, ,
maka titik A berpindah sebesar faktor skala, sehingga koordinatnya menjadi
dan titik B berpindah sebesar faktor skala, sehingga koordinatnya menjadi ′
Jadi matriks transformasi dilatasi faktor skala dilatasi sebesar � dan pusat

,�

dila�asi dengan faktor skala k

Halaman 94

,−

Koordinat

Dilatasi dengan faktor skala dilatasi sebesar � dengan pusat

,

,

Jadi matriks transformasi rotasi 270° berlawanan jarum jam dengan pusat
atau sama dengan rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat
, :

��

Koordinat

′

,�

�,

=

�

�

Koordinat

′

′

,

�, .
,� .
:

,�

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pencerminan terhadap garis
′

�

�

�, �

�

�

,

Perhatikan sumbu koordinat di samping,
Untuk pencerminan terhadap garis = � dengan � = �an �,
maka titik A akan berputar sejauh �, sehingga menjadi ′ �
�, �
dan titik B akan berputar sejauh −
− � , sehingga menjadi ′ �
Jadi matriks transformasi pencerminan terhadap garis

,
�

°− �
′

�

= � , dengan � = � �.

�

�

Koordinat

=

=�
′

°− � ,− �
°− �
atau dengan sifat kuadran
bisa diubah menjadi
′ �
�, − �
�

�

�, �

Koordinat

�

′

�
�

Rotasi sebesar � berlawanan jarum jam dengan pusat

′

− � �, �

�

,
�

′

�

�
,

�

,

�, − �

�
�

�

� .
�, −�

�.

= � dengan � = �an �:

�
−�

�
�

.

Perhatikan sumbu koordinat di samping,
Untuk pencerminan terhadap rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat
, ,
maka titik A akan berputar sejauh �, sehingga koordinatnya menjadi ′ � �, � � .
dan titik B akan berputar sejauh �, sehingga koordinatnya menjadi ′ − � �, � � .

�, � �

Jadi matriks transformasi rotasi 180° berlawanan jarum jam dengan pusat

��

Koordinat

′

,�

�

=

�, � �

Koordinat

�
′

�
� �

− � �, �

�

− � �
� �

,

:

Kesimpulan LOGIKA PRAKTIS menyusun matriks transformasi acuan:
Dari semua matriks transformasi yang ada, satu hal yang penting dan yang perlu diingat adalah
bagaimana konsep menyusun matriks transformasi tersebut , yaitu:



Kolom pertama matriks transformasi adalah bayangan titik
, terhadap transformasi tersebut.
Kolom kedua matriks transformasi adalah bayangan titik
, terhadap transformasi tersebut.

�=

=(

′

′

′

′)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 95

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk menyusun matriks transformasi TURUNAN.
Masih ingat matriks transformasi acuan kita. Oke saya ingatkan lagi!
Berikut ini matriks acuan kita. Semuanya yang berwarna biru memang serba nol! Ini acuan kita.
Pencerminan:






Rotasi

terhadap garis = (sumbu X)
terhadap garis = (sumbu Y)
terhadap titik (0, 0)
terhadap garis = ±
terhadap garis = � +

Dilatasi

sebesar � berlawanan arah jarum jam dengan pusat





faktor dilatasi � dengan pusat

,

,

Perhatikan yang saya tandai warna biru. Itu yang bisa berubah!
Perhatikan perbedaannya dengan transformasi di bawah ini!
Pencerminan:





Rotasi

pencerminan terhadap garis =
pencerminan terhadap garis =
pencerminan terhadap titik ,
pencerminan terhadap garis = � +

Dilatasi

rotasi sebesar � berlawanan arah jarum jam, tapi dengan pusat rotasi titik




dilatasi dengan faktor dilatasi �, tapi dengan pusat rotasi titik

Tidak perlu khawatir lagi, gunakan LOGIKA PRAKTIS seperti ini:

,

Pertama, lakukan translasi supaya kembali ke posisi transformasi acuan.
Misal rotasi sebesar �, kok pusatnya di titik
, bukan
, ?
−
Maka lakukan translasi
pada titik tersebut, agar pusatnya menjadi ke
−
−
−
Kedua, lakukan transformasi rotasi yang dimaksud!
′
−
( ′ ) = �� ,�
−

,

,

Ketiga, kembalikan hasil transformasi ke posisi semula dengan mentranslasi balik yaitu � =
′
−
( ′ ) = �� ,�
− +

.

atau biasa ditulis dengan:
(

′

′

−
) = ��
−

,�

−
−

Kesimpulan LOGIKA PRAKTIS menyusun matriks transformasi TURUNAN dari matriks transformasi ACUAN:
Ingat bentuk matriks transformasi ACUAN, lalu lakukan translasi pada kedua variabel titik awal
maupun hasil akhir, sehingga bentuk matriks transformasi TURUNAN sebagai berikut:
′
−
−
( ′
)=� −
−
Halaman 96

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS untuk Transformasi pada Kurva terhadap matriks transformasi � =

.

Masih ingat pengerjaan transformasi pada kurva?
Asyik!

Kalau transformasi sebuah titik, tinggal masukin aja ke persamaan matriks transformasi.
Sedangkan apabila transformasi dilakukan pada sebuah kurva, maka perlu diinvers terlebih dahulu supaya
muncul bentuk = … .a�a� = …. yang kemudian akan disubstitusikan ke persamaan.
Nah, ini dia bentuk persamaan matriks transformasinya.
′
= �− ( )
′

Sekarang misal bunyi soalnya seperti ini:
Diketahui persamaan
+
+
bersesuaian dengan matriks

= , maka bayangan persamaan tersebut oleh transformasi yang
adala� …. ???

Nah, misalkan matriks transformasi � adalah � =
dan |�| adalah determinan matriks transformasi
tersebut, maka persamaan matriks transformasi menjadi:
′
= �− ( )
′
′
−
⇒
( ′)
=
−
|�|
Dari persamaan matriks tersebut diperoleh:
=

=

′

|�|

−

|�|

−
′

′

′

+

+

Substitusikan dan pada persamaan

⇒
⇔
⇔
⇔

[

|�|

′

−

′

′

−
′

]+ [

−
−
−

′

′

⇔

|

|

|�|
+ −
′
−
′
+
′
+
′

+|

′

−

′

+
′
+
′
−
−
|

+

′

′

′

+ = , maka akan diperoleh:

]+ =

+ |�|
+ |�|
′
+ |�|
′
+ |�|

′

+|

=
=
=
=

�ali�an s�m�a r�as d�n�an |�|

| =

TRIK SUPERKILAT:
Jadi rumus cepat untuk bayangan garis
|

| +|

| +|

| =

+

+

=

terhadap matriks transformasi � =

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

:

Halaman 97

Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan bayangan transformasi tunggal terhadap sebuah titik.
Contoh Soal 1:
Bayangan dari titik
a.
b.
c.
d.
e.

,−
,−
,−
− ,
− ,

,−

oleh transformasi � =

adalah ….

Penyelesaian:
Dengan menggunakan konsep translasi diperoleh:
′

( ′) =

+

=

Contoh Soal 2:
Bayangan dari titik
a.
,−
b.
,−
c.
,−
d. − ,
e. − ,

,−

=

+

−

−

oleh pencerminan terhadap garis

= − adalah ….

Penyelesaian:
Dengan menggunakan konsep pencerminan maka kita harus mengembalikan ke garis acuan yaitu
alias sumbu X, masih ingat kan matriks transformasinya? 

⇒

⇔

(

(

(
′

′

′

′

′

)=�

+
′

)=

+
′

⇔ ( ′) +

−

=

′

( ′) =

⇔

−

)

+

−

−

′

( ′) =

⇔

(

−

)=

+

+

�

=

Atau menggunakan pemetaan:
,
Jadi:
′
=
′
=

→

=
−

� =

=

′

−

,

− −

−
=− +

Jadi bayangan titik tersebut adalah
Atau menggunakan grafik.

′

,

=

(3, 1)
,−
Halaman 98

=−

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Contoh Soal 3:
Bayangan dari titik − ,
a. ( − √ , − √
b. ( − √ , − √
c. (− + √ , − √
d. ( + √ , − √
e. ( − √ , + √

oleh rotasi sebesar

° dengan pusat (1, 2) adalah ….

Penyelesaian:
Dengan menggunakan konsep rotasi maka kita harus mengembalikan rotasi acuan dengan pusat (0, 0)
masih ingat kan matriks transformasinya? 
′

−
−
) = �� , ° (
)
−
−
′
−
�os ° −sin °
)=
( ′
−
sin ° �os °

(

⇒
⇔

(

′

−
)=
′
−

′

⇔ ( ′) +
′

⇔ ( ′) +

⇔

⇔

−
−

√

√

− √ − √

= ( −√ )
− √
′
−
−√
)−
( ′) = (
−
− √
′
( ′) = ( − √ )
− √

Contoh Soal 4:
Bayangan dari titik
a.
,
b.
,
c. − ,
d. − ,
e. − ,

)

− √ + √

=

−
−

− √

√

′

,

−
−

− −
−

)

ol�� dila�asi d�n�an �a��or dila�asi − dan p�sa�

,

adala� ….

Penyelesaian:
Dengan menggunakan konsep dilatasi maka kita harus mengembalikan ke dilatasi acuan pusat (0, 0)
masih ingat kan matriks transformasinya? 
(

⇒

⇔

(

′

(

′

′

′

⇔ ( ′) +

⇔

⇔

′

) = ��

−
′

)=

−
′

)=

−

−

′

=

( ′) =
′

( ′) =

−

−

−

−

−

−

,−

−

−
−

−

−

−

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 99

Menentukan bayangan komposisi transformasi terhadap sebuah titik.
Bayangan dari titik
, oleh pencerminan terhadap sumbu X dan dilanjutkan dengan rotasi
terhadap titik asal (0, 0) adalah ….
a.
,
b.
,−
c.
,
d.
,
e.
,−

°

Penyelesaian:
Dengan menggunakan konsep komposisi transformasi maka:
′

( ′ ) = ��
′

⇒ ( ′) =
′

⇔ ( ′) =

,

−

°

∘�

�

−

′

⇔ ( ′) =

Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS:
Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut:
Titik A(1, 0) di transformasikan sebagai berikut:
Dicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan rotasi 90°, hasilnya

Titik B(0, 1) ditransformasikan sebagai berikut:
Dicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan rotasi 90°, hasilnya

′

,

′

,

Maka matriks komposisi transformasinya adalah:
�=

Sehingga,
′

( ′) = �
′

⇒ ( ′) =
′

⇔ ( ′) =

Selesai!

Halaman 100

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Menentukan bayangan transformasi tunggal terhadap sebuah kurva.
Contoh Soal 1:
−

Bayangan dari kurva
−
−
−
−
−

a.
b.
c.
d.
e.

=
=
=
=
=

=

oleh transformasi � =

adalah ….

Penyelesaian:
Dengan menggunakan konsep translasi diperoleh:
′

( ′) =
⇒

⇔

+

⇒

′

�

′

�

= ( ′) −

= ( ′) −
′

= ( ′) −
=(

′

′

=
=

−
)⇒
−

′

′

−
−

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan
′
′
⇒
− −
− =
′
′
⇔
− −
+
=
′
′
⇔
−
+ =
′
⇔
− ′= −
′
⇔
− ′=
−

Jadi persamaan bayangannya adalah
TRIK SUPERKILAT:
+

−

= →

= →

�=
�=

+

⇒
⇒

−
−
−

= +

=
=
=

−

= , diperoleh:

=

+

+
−
+ −

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 101

Contoh Soal 2:
Bayangan dari kurva =
a.
=
+
−
b.
=−
+
−
c.
=
−
−
d.
=−
−
−
e.
=
−
−

+

− oleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah ….

Penyelesaian:
Dengan menggunakan konsep pencerminan terhadap sumbu Y diperoleh:
′

−

( ′) =

⇒

′

′

=− �
⇒
=

�

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan
⇒
=
+
−
′
′
⇔ = −
+ − ′ −
⇔ ′= ′ − ′−
=

Jadi persamaan bayangannya adalah

−

′

=−
= ′
=

+

− , diperoleh:

− .

TRIK SUPERKILAT:
Untuk transformasi pada sebuah kurva, apabila matriksnya mudah untuk diinvers maka tidak perlu
menggunakan invers matriks, cukup inverskan dengan cara biasa saja. Contohnya matriks transformasi yang
elemennya 0 atau 1.
Gunakan invers matriks apabila matriksnya sukar untuk diinvers dengan cara biasa.

Contoh Soal 3:
Bayangan dari kurva =
, adalah ….
a.
=−
+
−
b.
=
+
−
c.
=−
−
−
d.
=−
−
+
e.
=
−
+

− oleh pencerminan terhadap rotasi sebesar sudut � = � dengan pusat

Penyelesaian:
Dengan menggunakan konsep rotasi sebesar 180° terhadap pusat
(

′

′

−
−
)=
−

−

−
−
)=
−
−
−
=(
+
−
−
−
=(
−
−
=(
−

(

⇒

⇔

⇔

�
−
)⇒
−

(

(

′

′

�

−
)
−

−
+
)
′
+
′
+
−
)−
′
+
−
′
=−
+
)⇒
′
=−
+
′

−
−
)=
−

(

′

′

+
+

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan =
⇒
=
−
⇔− ′+ = − ′+
−
⇔−

⇔
⇔

⇔

′

+

−
−

′

′

′

= (

=
=

=−

′

′

′

−

−
−

′

+

′

′

′

+

+
+
′

′

′

diperoleh:

−
)
−

− , diperoleh:

−

−

Jadi persamaan bayangannya adalah
Halaman 102

−

(

,

− −
=−

+

−

.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Contoh Soal 4:
Bayangan dari kurva
, adalah ….
a.
,−
b.
,−
c.
,−
d. − ,
e. − ,

=

− oleh pencerminan terhadap dilatasi dengan faktor skala 2 dengan pusat

Penyelesaian:
Dengan menggunakan konsep dilatasi dengan faktor skala 2 terhadap pusat
(

′

−
′

)=

(

−

)⇒

�

�

⇒

⇔

(

+

−

−

)=

= (
=

⇔
⇔

=

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan
⇒
=
−
⇔ (
⇔
⇔

′

)= (
′

′

=
=

′

′

′

+ )−

+ −
+

Jadi persamaan bayangannya adalah

=

′

= (

=

′

−
′

−
′

′

−

′

+

′

′

(

)

′

−

)

′

)−
)−

,

diperoleh:

−
−

)⇒

− , diperoleh:

=

=

′

′

+

+ .

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 103

Contoh Soal 5:
Bayangan dari kurva −

….
a.
− +
b.
+ +
c.
+ +
d.
−
−
e. − − +

+

=
=
=
=
=

=

oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks

−
−

adalah

Penyelesaian:
Dengan menggunakan konsep matriks transformasi diperoleh:
′

( ′) =

−
−

(

−

)⇒

�

�

⇒

−
−
− ′+
=( ′
− +
=

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan
⇒
−
+ =
′
′
′
′
+ =
− − +
⇔ − +
⇔
− ′+ ′+ ′− ′+ =
⇔
− ′+ ′+ ′− ′+ =
′
⇔
− ′+ =

Jadi persamaan bayangannya adalah −
TRIK SUPERKILAT
Bayangan garis
+
|

| +|

Bayangan garis −
⇒ (− − −
⇒

Halaman 104

+ =

| +|
+

=

+

=

′

( ′)

′

′) ⇒

=−
=−

′

′

+
′
+

′

− , diperoleh:

=

terhadap matriks transformasi � =

| =

terhadap matriks transformasi � =
−
−
−
| =
| +|
| +|
|
−
−
−
=
+ (− − −
+ (− − −
− + =

:
−
−

:

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Menentukan bayangan komposisi transformasi terhadap sebuah kurva.
Contoh Soal 1:
Bayangan garis
−
+ = oleh refleksi terhadap garis
sejauh setengah putaran adalah ….
a.
−
+ =
b.
+
+ =
c. − −
+ =
d. − +
+ =
e.
+
+ =

=

diikuti oleh rotasi dengan pusat

,

Penyelesaian:
Dengan menggunakan konsep komposisi matriks transformasi diperoleh:
′

( ′) = � ∘ �
′

( ′ ) = ��
′

( ′) =
′

( ′) =

−

−
−
′
( )=
−
′

,

°

−
−

⇒

�

�

�

=

=−
=−

′

′

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan
⇒
−
+ =
′
′
+ =
− −
⇔ −
′
⇔
− ′+ =
−

Jadi persamaan bayangannya adalah

+

−

+

=

, diperoleh:

=

Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS:
Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut:
Titik A(1, 0) dicerminkan oleh garis

=

dilanjutkan rotasi 180° pusat O, hasilnya

′

,−

Titik B(0, 1) dicerminkan oleh garis

=

dilanjutkan rotasi 180° pusat O, hasilnya

′

− ,

Maka matriks komposisi transformasinya adalah:
−
�=
−
Sehingga,
′

( ′) =

−
−
′
( )=
−
′

−

⇒

�

�

=−
=−

′

′

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan
⇒
−
+ =
′
′
+ =
− −
⇔ −
′
⇔
− ′+ =

Jadi persamaan bayangannya adalah

−

+

−

+

=

, diperoleh:

=

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 105

Contoh Soal 2:
Bayangan garis =
−
+ oleh pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat
, dan faktor skala 3 adalah ….
a.
−
−
+
=
b.
−
+
+
=
c.
−
+
+
=
d.
+
−
−
=
e.
−
−
−
=
Penyelesaian:
Dengan menggunakan konsep komposisi matriks transformasi diperoleh:
′

( ′) = � ∘ �
′

( ′ ) = ��

,

′

( ′) =
′

( ′) =

′
( )=(
−
′

−

�

)⇒

�

−

�

′

=

�

=−

′

Sehingga, substitusi nilai dan pada persamaan
⇒
=
−
+
⇔

⇔

⇔

⇔

−

′

′

−

−

+

′

−

+

′
′

′

=(
=

=

=

′

′

Jadi persamaan bayangannya adalah

′

) − (
−

−

′

′

−

+

+

′

=

)+

−

+

, diperoleh:

�ali�an s�m�a r�as d�n�an

+

+

=

Penyelesaian LOGIKA PRAKTIS:
Untuk mencari matriks komposisi transformasi dapat dilakukan langkah sebagai berikut:

Titik A(1, 0) diicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan faktor dilatasi 3 pusat O,
hasilnya ′ ,
Titik B(0, 1) diicerminkan oleh sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan faktor dilatasi 3 pusat O,
hasilnya ′ , −
Maka matriks komposisi transformasinya adalah:
�=

−

Dan seterusnya, setelah komposisi matriks transformasi ketemu maka langkah selanjutnyanya sama
dengan penyelesaian cara biasa di atas.

Halaman 106

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

3 5
 dilanjutkan dengan
Bayangan garis x  2 y  5 bila ditransformasi dengan matriks transformasi 
1 2
TIPS SUPERKILAT:
pencerminan terhadap sumbu X adalah ....
+
+
=
terhadap
matriks transformasi � =
:
Bayangan
garis
A. 11x  4 y  5
| +|
| =
| +|
B. 4 x  2 y  5 |
C. 4 x  11y  5
���
;� =
;� = � ∘ � =
=
D. 3x  5 y  5 � =
−
−
−
−
garis −
− = terhadap matriks transformasi T adalah :
E. 3x  11y  5 Bayangan
−
|

2.

| +|

−

y  3x  3x
2

y  x  3y
2

2

( ′) =
′

′

| +|

−

−

| −

=

⇒ −
⇒

+

−

=

+

=

=−
=

⇒

⇒

=

=−

′

⇔

′

′

−

′

′

=

Bayangan kurva y  x 2  3 x  3 jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat O
dan faktor skala 3 adalah ....
=
+
+
−
;� =
A. x 2  9 x  3 y  27  0 � =
⇒ (− ′ ) = ( ) + ( ′ ) +
=
B. x 2  9 x  3 y  27  0 � ∘ � =
−
−
C.

D.
E.

3 x 2  9 x  y  27  0

3x 2  9 x  y  27  0

3x 2  9 x  27  0

′

( ′) =
′

′

4.

−

Bayangan kurva y  3x  9 x jika dirotasi dengan pusat O (0, 0) sejauh 90° dilanjutkan dengan dilatasi
dengan pusat O (0, 0) dan faktor skala 3 adalah ....
−
;� =
A. x  3 y 2  3 y � =
=
−
⇒ (− ′ ) = ( ′ ) − ( ′ )
2
−
−
=
B. x  y  3 y � ∘ � =
⇔ − ′ = ′ − ′ di�ali −
2
C. x  3 y  3 y ′
−
D.
E.

3.

−

=

=−

⇒

⇒

−

=

⇔ −

′

=−

′

′

′

=

′

′

+

′

′

+

⇔ −
=
+
+
⇔ = ′ + ′+ ′+

di�ali −

Persamaan bayangan lingkaran x 2  y 2  4 bila dicerminkan terhadap garis x  2 dilanjutkan dengan
TRIK SUPERKILAT:
  3
−
� =2
Bayangkan titik pusat (0, 0)
translasi   adalah ....
, →
− , →
− , +
4
dicerminkan terhadap = ,
 
′ = − ⇒
akan berpindah ke (0, 4),
= − ′
2
2
A. x  y  2 x  8 y  13  0 ′ = + ⇒ = ′ −
lalu ditranslasi -3
2
2
satuan di sumbu
B. x  y  2 x  8 y  13  0
X, dan 4 satuan di
=
+
−
+
=
⇒
−
sumbu Y, maka
C. x 2  y 2  2 x  8 y  13  0
⇔
−
+ +
−
+
=
titik tersebut
⇔
+
−
−
+
=
D. x 2  y 2  2 x  8 y  13  0
sekarang berada
⇔
+
−
−
+
− =
di (1, 4).
E. x 2  y 2  8 x  2 y  13  0
⇔
+
−
−
+
=
Jadi persamaan lingkaran
dengan pusat (1, 4) adalah
jawaban A!!!

Jika adik-adi� ����� ’�o�oran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 107