HAKIKAT MATEMATIKA (1) HAKIKAT MATEMATIKA (1) HAKIKAT MATEMATIKA (1)
HAKIKAT MATEMATIKA
HAKIKAT MATEMATIKA
Abstrak
Matematika adalah ilmu universal yang mendasari perkembangan ilmu pengetahuan dan
teknologi modern, memajukan daya pikir serta analisa manusia. Matematika memiliki peran
yang sangat besar dalam kehidupan. Walaupun memiliki banyak peranan, namun banyak yang
belum mengetahui pengertian matematika itu sendiri. Ada banyak pengertian dari matematika
itu sendiri. Ada yang berpendapat, matematika adalah cabang ilmu pengetahuan eksak dan
terorganisisr secara sistematik, matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi,
matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logik dan berhubungan dengan bilangan,
dan lain sebagainya. Selain itu, matematika dikenal sebagai ilmu deduktif, ilmu terstruktur dan
juga matematika sebagai ratu dan pelayan ilmu. Matematika sebagai ilmu deduktif yaitu dalam
matematika, kebenaran dalam setiap pernyataannya harus didasarkan pada kebenaran
pernyataan sebelumnya dan dalam matematika pernyataan awal dikenal dengan istilah
aksioma. Matematika sebagai ilmu terstruktur yaitu matematika mempelajari tentang pola
keteraturan, tentang struktur yang terorganisasikan. Hal ini dimulai dari unsur-unsur yang tidak
terdefinisikan kemudian pada unsur yang didefinisikan, ke aksioma/postulat dan akhirnya pada
teorema dan yang terakhir matematika sebagai ratu dan pelayan ilmu dimaksudkan bahwa
matematika adalah sebagai sumber dari ilmu yang lain. Dengan perkataan lain, perkembangan
matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu lain.
Kata Kunci : Matematika, Induktif, Terstruktur, Ratu dan Pelayan Ilmu, Ilmu Tentang Pola dan
Hubungan, Semesta Pembicara, Konsisten pada Sistem, Kesepakatan, Simbol Kosong dari Arti
A.
PENDAHULUAN
Dalam filsafat ilmu pengetahuan mempelajari esensi atau hakikat ilmu pengetahuan
tertentu secara rasional. Filsafat ilmu pengetahuan merupakan cabang filsafat yang mempelajari
teori pembagian ilmu, metode yang digunakan dalam ilmu, tentang dasar kepastian dan jenis
keterangan yang berkaitan dengan kebenaran ilmu tertentu. Ilmu pengetahuan merupakan
sesuatu yang sangat amat penting bagi seluruh manusia di dunia ini. Ilmu pengetahuan
merupakan sesuatu yang sangat tidak pernah habis bila kita pelajari karena ilmu pengetahuan
itu sangat luas. Semua orang ingin menggali ilmu pengetahuan setinggi-tingginya untuk
menambah wawasan yang dikuasai. Pada zaman seperti sekarang, banyak jalan yang dapat
digunakan untuk menambah ilmu pengetahuan selain dengan cara membaca seperti semboyan
yang mengatakan “banyak jalan menuju Roma”. Jadi, ilmu pengetahuan sangat penting bagi
semua orang untuk masa depan.
Filsafat ilmu pengetahuan merupakan salah satu cabang yang mempersoalkan mengenai
masalah hakikat pengetahuan. Yang dimaksud dalam hal ini adalah suatu ilmu pengetahuan
kefilsafatan yang secara khusus hendak memperoleh pengetahuan tentang hakikat
pengetahuan. Dalam filsafat ilmu dipelajari mengenai ilmu dan matematika sebab, ilmu tanpa
matematika tidak berkembang serta, matematika tanpa ilmu tak ada keteraturan. Dengan
pengetahuan manusia dapat mengembangkan mengatasi kelangsungan hidupnya, memikirkan
hal-hal yang baru dan menjadikan manusia sebagai makhluk yang khas di muka bumi ini. Begitu
erat hubungan matematika dengan ilmu pengetahuan lainnya sehingga terkadang matematika
tersebut terdapat di semua bidang ilmu lainnya.
Matematika memiliki peranan penting dalam berbagai aspek kehidupan. Banyak
permasalahan dan kegiatan dalam hidup kita yang harus diselesaikan dengan menggunakan
ilmu matematika seperti menghitung, mengukur, dan lain-lain. Matematika adalah ilmu
universal yang mendasari perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi modern, memajukan
daya pikir serta analisa manusia. Peran matematika dewasa ini semakin penting, karena
banyaknya informasi yang disampaikan orang dalam bahasa matematika seperti, tabel, grafik,
diagram, persamaan dan lain-lain. Matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting
di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran atau medis, ilmu sosial seperti
ekonomi, dan psikologi. Dengan demikian, pendidikan matematika mampu menyiapkan sumber
daya manusia (SDM) yang berkualitas yang ditandai memiliki kemampuan memperoleh,
mengelola, dan memanfaatkan informasi sesuai dengan tuntutan kebutuhan. Oleh karena itu
mata pelajaran matematika sangat perlu diajarkan kepada semua peserta didik mulai dari
taman kanak kanak. Namun kebanyakan orang ataupun guru mengajarkan matematika tanpa
pernah mengajarkan atau menjelaskan mengenai hakikat matematika itu sendiri. Jadi siswa
yang diajarkan juga kurang mengetahui hakikat dari matematika tersebut.
Untuk lebih jelasnya penulis akan mengkaji hakikat matematika tersebut dalam makalah
ini yang meliputi pengertian matematika, karakteristik matematika sebagai ilmu deduktif, juga
ilmu terstruktur, matematika adalah ratu dan pelayan ilmu, matematika adalah ilmu tentang
pola dan hubungan, matematika memperhatikan semesta pembicara, matematika konsisten
pada sistem, matematika bertumpu pada kesepakatan, matematika memiliki simbol kosong dari
arti.
B.
2.1
PEMBAHASAN
Pengertian Matematika
“Apakah matematika itu ?” tidak dapat dengan mudah dijawab. Hal ini dikarenakan
sampai saat ini belum ada kepastian mengenai pengertian matematika karena pengetahuan dan
pandangan masing-masing dari para ahli yang berbeda-beda. Ada yang mengatakan bahwa
matematika adalah ilmu tentang bilangan dan ruang, matematika merupakan bahasa simbol,
matematika adalah bahasa numerik, matematika adalah ilmu yang abstrak dan deduktif,
matematika adalah metode berpikir logis, matematika adalah ilmu yang mempelajari hubungan
pola, bentuk dan struktur, matematika adalah ratunya ilmu dan juga menjadi pelayan ilmu yang
lain. Matematika adalah salah satu pengetahuan tertua yang terbentuk dari penelitian bilangan
dan ruang. Matematika adalah suatu disiplin ilmu yang berdiri sendiri dan tidak merupakan
cabang dari ilmu pengetahuan alam. Kata matematika berasal dari perkataan Latin mathematika
yang mulanya diambil dari perkataan Yunani mathematike yang berarti mempelajari. Perkataan
itu mempunyai asal katanya mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu (knowledge,
science). Kata mathematike berhubungan pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu
mathein atau mathenein yang artinya belajar (berpikir). Jadi, berdasarkan asal katanya, maka
perkataan matematika berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir (bernalar).
Matematika lebih menekankan kegiatan dalam dunia rasio (penalaran), bukan menekankan dari
hasil eksperimen atau hasil observasi matematika terbentuk karena pikiran-pikiran manusia,
yang berhubungan dengan idea, proses, dan penalaran (Russeffendi ET, 1980 :148). Istilah
mathematics (Inggris), mathematik (Jerman), mathematique (Perancis), matematico (Itali),
matematiceski (Rusia), atau mathematick/ wiskunde (Belanda) berasal dari perkataan lain
matematika, yang mulanya diambil dari perkataan Yunani, μαθηματικά - mathēmatiká, yang
berarti “ Relating to learning”.
Matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam dunianya secara empiris.
Kemudian pengalaman itu diproses di dalam dunia rasio, diolah secara analisis dengan
penalaran di dalam struktur kognitif sehingga sampai terbentuk konsep-konsep matematika
supaya konsep-konsep matematika yang terbentuk itu mudah dipahami oleh orang lain dan
dapat dimanipulasi secara tepat, maka digunakan bahasa matematika atua notasi matematika
yang bernilai global (universal). Konsep matematika didapat karena proses berpikir, karena itu
logika adalah dasar terbentuknya matematika. Dapat dikatakan bahwa matematika merupakan
ilmu pengetahuan yang mempelajari struktur yang abstrak dan pola hubungan yang ada
didalamnya. Ini berarti bahwa belajar matematika pada hakekatnya adalah belajar konsep,
struktur konsep dan mencari hubungan antar konsep dan strukturnya.
Ada beberapa definisi dari beberapa para ahli mengenai matematika, diantaranya
seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu yang
menggambarkan simpulan-simpulan yang penting". Di pihak lain, Albert Einstein menyatakan
bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti;
dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan”.
Lain halnya dengan Russefendi (1988 : 23) yang mengatakan bahwa matematika
terorganisasikan dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan, definisi-definisi, aksioma-aksioma,
dan dalil-dalil di mana dalil-dalil setelah dibuktikan kebenarannya berlaku secara umum, karena
itulah matematika sering disebut ilmu deduktif.
James dan James (1976) menyatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika,
mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan
lainnya. Matematika terbagi dalam tiga bagian besar yaitu aljabar, analisis dan geometri. Tetapi
ada juga pendapat yang mengatakan bahwa matematika terbagi menjadi empat bagian yaitu
aritmatika, aljabar, geometris dan analisis dengan aritmatika mencakup teori bilangan dan
statistika.
Selain itu ada juga pendapat dari Johnson dan Rising(1972) yang menyatakan
matematika adalah pola berpikir, pola mengorganisasikan, pembuktian yang logis, matematika
itu adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas dan akurat
representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa symbol mengenai ide daripada
mengenai bunyi. Matematika adalah pengetahuan struktur yang terorganisasi, sifat-sifat dalam
teori-teori dibuat secara deduktif berdasarkan kepada unsure yang tidak didefinisikan, aksioma,
sifat atau teori yang telah dibuktikan kebenarannya adalah ilmu tentang keteraturan pola atau
ide, dan matematika itu adalah suatu seni, keindahannya terdapat pada keterurutan dan
keharmonisannya.
Lain halnya dengan Reys - dkk (1984), matematika adalah telaahan tentang pola dan
hubungan, suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat. Kline (1973)
matematika itu bukan pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri,
tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan
menguasai permasalahan sosial, ekonomi, dan alam.
Menurut Roy Hollands ”matematika adalah suatu sistem yang rumit tetapi tersusun
sangat baik yang mempunyai banyak cabang”. Secara luas matematika tidak hanya berhubungan
dengan bilangan-bilangan tetapi lebih luas ia berhubungan dengan alam semesta. The Liang Gie
mengutip pendapat seorang ahli matematika bernama Charles Edwar Jeanneret yang
mengatakan: ”Mathematics is the majestic structure by man to grant him comprehension of the
universe, yang artinya matematika adalah struktur besar yang dibangun oleh manusia untuk
memberikan pemahaman mengenai jagat raya.
Menurut Soedjadi (2000: 1) mengemukakan bahwa ada beberapa definisi atau
pengertian matematika berdasarkan sudut pandang pembuatnya, yaitu sebagai berikut:
·
Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan eksak dan terorganisisr secara sistematik
·
Matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi
·
Matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logik dan berhubungan dengan bilangan.
·
Matematika adalah pengetahuan fakta-fakta kuantitatif dan masalah tentang ruang dan
bentuk.
·
Matematika adalah pengetahuan tentang struktur-struktur yang logic
·
Matematika adalah pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat.
Ernest melihat matematika sebagai suatu konstruktivisme sosial yang memenuhi tiga
premis sebagai berikut: i) The basis of mathematical knowledge is linguistic language,
conventions and rules, and language is a social constructions; ii) Interpersonal social processes
are required to turn an individual’s subjective mathematical knowledge, after publication, into
accepted objective mathematical knowledge; and iii) Objectivity itself will be understood to be
social. (Ernest, 1991:42). Selain Ernest, terdapat sejumlah tokoh yang memandang matematika
sebagai suatu konstruktivisme sosial. Misalnya, Dienes mengatakan bahwa matematika adalah
ilmu seni kreatif. Oleh karena itu, matematika harus dipelajari dan diajarkan sebagai ilmu seni.
(Ruseffendi, 1988:160).
Bourne
juga
memahami
matematika
sebagai
konstruktivisme
sosial
dengan
penekanannya pada knowing how, yaitu pebelajar dipandang sebagai makhluk yang aktif dalam
mengkonstruksi ilmu pengetahuan dengan cara berinteraksi dengan lingkungannya. Hal ini
berbeda dengan pengertian knowing that yang dianut oleh kaum absoluitis, di mana pebelajar
dipandang sebagai mahluk yang pasif dan seenaknya dapat diisi informasi dari tindakan hingga
tujuan. (Romberg, T.A. 1992: 752).
Kitcher lebih memfokuskan perhatiannya kepada komponen dalam kegiatan matematika.
(Jackson, 1992:753). Dia mengklaim bahwa matematika terdiri atas komponen-komponen:
bahasa (language) yang dijalankan oleh para matematikawan, pernyataan (statements) yang
digunakan oleh para matematikawan, pertanyaan (questions) penting yang hingga saat ini
belum terpecahkan, alasan (reasonings) yang digunakan untuk menjelaskan pernyataan, dan ide
matematika itu sendiri. Bahkan secara lebih luas matematika dipandang sebagai the science of
pattern.
Sejalan dengan kedua pandangan di atas, Sujono (1988:5) mengemukakan beberapa
pengertian matematika. Di antaranya, matematika diartikan sebagai cabang ilmu pengetahuan
yang eksak dan terorganisasi secara sistematik. Selain itu, matematika merupakan ilmu
pengetahuan tentang penalaran yang logik dan masalah yang berhubungan dengan bilangan.
Bahkan dia mengartikan matematika sebagai ilmu bantu dalam menginterpretasikan berbagai
ide dan kesimpulan.
Pengertian yang lebih plural tentang matematika dikemukakan oleh Freudental (1991:1).
Dia mengatakan bahwa “mathematics look like a plural as it still is in French Les Mathematiques
.Indeed, long ago it meant a plural: four arts (liberal ones worth being pursued by free men).
Mathematics was the quadrivium, the sum of arithmetic, geometry astronomy and music, held
in higher esteem than the (more trivial) trivium: grammar, rhetoric and dialectic. …As far as I am
familiar with languages, Ducth is the only one in which the term for mathematics is neither
derived from nor resembles the internationally sanctioned Mathematica. The Ducth term was
virtually coined by Simon (1548-1620): Wiskunde, the science of what is certain. Wis en zeker,
sure and certain, is that which does not yield to any doubt, and kunde means, knowledge,
theory.
Dari sisi abstraksi matematika, Newman melihat tiga ciri utama matematika, yaitu;
matematika disajikan dalam pola yang lebih ketat, matematika berkembang dan digunakan lebih
luas dari pada ilmu-ilmu lain, dan matematika lebih terkonsentrasi pada konsep. (Jackson,
1992:755).
Selanjutnya, pendapat para ahli mengenai matematika yang lain, di antaranya telah
muncul sejak kurang lebih 400 tahun sebelum masehi, dengan tokoh-tokoh utamanya Plato
(427–347 SM) dan seorang muridnya Aristoteles (348–322 SM). Mereka mempunyai pendapat
yang berlainan. Plato berpendapat, bahwa matematika adalah identik dengan filsafat untuk ahli
pikir, walaupun mereka mengatakan bahwa matematika harus dipelajari untuk keperluan lain.
Objek matematika ada di dunia nyata, tetapi terpisah dari akal. Ia mengadakan perbedaan
antara aritmetika (teori bilangan) dan logistik (teknik berhitung) yang diperlukan orang. Belajar
aritmetika berpengaruh positif karena memaksa yang belajar untuk belajar bilangan-bilangan
abstrak. Dengan demikian matematika ditingkatkan menjadi mental aktivitas mental abstrak
pada objek-objek yang ada secara lahiriah, tetapi yang ada hanya mempunyai representasi yang
bermakna.
Sedangkan orang Arab, menyebut matematika dengan ‘ilmu al-hisab yang berarti ilmu
berhitung. Di Indonesia, matematika disebut dengan ilmu pasti dan ilmu hitung. Sebagian orang
Indonesia memberikan plesetan menyebut matematika dengan “matimatian”, karena sulitnya
mempelajari matematika. (Abdusysyakir, 2007:5). Pada umumnya orang awam hanya akrab
dengan satu cabang matematika elementer yang disebut aritmetika atau ilmu hitung yang
secara informal dapat didefinisikan sebagai ilmu tentang berbagai bilangan yang bisa langsung
diperoleh dari bilangan-bilangan bulat 0, 1, -1, 2, – 2, …, dst, melalui beberapa operasi dasar:
tambah, kurang, kali dan bagi.
Matematika secara umum ditegaskan sebagai penelitian pola dari struktur, perubahan,
dan ruang; tak lebih resmi, seorang mungkin mengatakan adalah penelitian bilangan dan angka.
Dalam pandangan formalis, matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan
struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; pandangan lain
tergambar dalam filosofi matematika. Sedangkan dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI),
matematika didefinisikan sebagai ilmu tentang bilangan, hubungan antara bilangan, dan
prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan.
menurut Sumardyono (2004:28) secara umum definisi matematika dapat dideskripsikan sebagai
berikut, di antaranya:
·
Matematika sebagai struktur yang terorganisir. Agak berbeda dengan ilmu pengetahuan yang
lain, matematika merupakan suatu bangunan struktur yang terorganisir. Sebagai sebuah
struktur, ia terdiri atas beberapa komponen, yang meliputi aksioma/postulat, pengertian
pangkal/primitif, dan dalil/teorema (termasuk di dalamnya lemma (teorema pengantar/kecil)
dan corolly/sifat).
·
Matematika sebagai alat (tool). Matematika juga sering dipandang sebagai alat dalammencari
solusi pelbagai masalah dalam kehidupan sehari-hari.
·
Matematika sebagai pola pikir deduktif. Matematika merupakan pengetahuan yang memiliki
pola pikir deduktif, artinya suatu teori atau pernyataan dalam matematika dapat diterima
kebenarannya apabila telah dibuktikan secara deduktif (umum).
·
Matematika sebagai cara bernalar (the way of thinking). Matematika dapat pula dipandang
sebagai cara bernalar, paling tidak karena beberapa hal, seperti matematika matematika
memuat cara pembuktian yang sahih (valid), rumus-rumus atau aturan yang umum, atau sifat
penalaran matematika yang sistematis.
·
Matematika sebagai bahasa artifisial. Simbol merupakan ciri yang paling menonjol dalam
matematika. Bahasa matematika adalah bahasa simbol yang bersifat artifisial, yang baru
memiliki arti bila dikenakan pada suatu konteks.
·
Matematika sebagai seni yang kreatif. Penalaran yang logis dan efisien serta perbendaharaan
ide-ide dan pola-pola yang kreatif dan menakjubkan, maka matematika sering pula disebut
sebagai seni, khususnya merupakan seni berpikir yang kreatif.
Meskipun diberikan pengertian matematika dengan panjang lebar secara tertulis atau
lisan penjelasannya, belum memberikan jawaban secara utuh yang dapat dipahami secara
menyeluruh tentang apa matematika itu. Menurut Courant dan Robbin bahwa untuk dapat
mengetahui apa matematika itu sebenarnya, seseorang harus mempelajari sendiri ilmu
matematika tersebut. Matematika dapat kita pelajari dengan baik bila disertai dengan
mengerjakannya. Dalam proses bekerja tersebut diperlukan keterlibatan berpikir yang kita sebut
dengan berpikir kritis. Karena matematika dapat ditinjau dari semua sudut, dan memasuki
seluruh segi kehidupan manusia baik dari yang sederhana sampai yang kompleks.
2.2
Matematika sebagai Ilmu Deduktif
Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif. Ini berarti proses pengerjaan matematika
harus bersifat deduktif. Matematika tidak menerima generalisasi berdasarkan pengamatan
(induktif), tetapi harus berdasarkan pembuktian deduktif. Dasar pembuktian deduktif yang
berperan besar dalam matematika adalah kebenaran, suatu pernyataan haruslah didasarkan
pada kebenaran pernyataan-pernyataan sebelumnya. Penarikan kesimpulan yang demikian ini
sangat berbeda dengan penarikan kesimpulan pada penalaran induktif yang dipaparkan pada
hasil pengamatan atau eksperimen terbatas.
Dalam penalaran deduktif, kebenaran dalam setiap pernyataannya harus didasarkan pada
kebenaran pernyataan sebelumnya. Mungkin timbul pertanyaan bagaimana menyatakan
kebenaran dari pernyataan yang paling awal? Untuk mengatasi hal tersebut, dalam penalaran
deduktif diperlukan beberapa pernyataan awal atau pangkal sebagai “kesepakatan” yang
diterima kebenarannya tanpa pembuktian. Pernyataan awal atau pernyataan pangkal dalam
matematika dikenal dengan istilah aksioma atau postulat. Dalam matematika, suatu
generalisasi, sifat, teori atau dalil belum dapat diterima kebenarannya sebelum dapat dibuktikan
secara deduktif.
Sebagai contoh dalam Ilmu Pengetahuna Alam (IPA), bila seseorang melakukan
percobaan memanaskan sebatang logam, ternyata logam yang dipanaskan tersebut akan
memuai. Kemudian sebatang logam lainnya dipanaskan ternyata memuai juga, dan seterusnya
mengambil beberapa contoh jenis-jenis logam lainnya dan ternyata selalu memuai jika
dipanaskan. Dari percobaan ini dapat dibuat kesimpulan atau generalisasi bahwa setiap logam
yang dipanaskan itu memuai. Kesimpulan atau generalisasi seperti ini merupakan hasil
penalaran secara induktif. Generalisasi seperti ini dalam IPA dibenarkan.
Contoh dalam IPA seperti tersebut di atas, secara matematika belum dapat dianggap
sebagai generalisasi. Dalam matematika, contoh-contoh seperti itu baru dapat dianggap sebagai
generalisasi bila kebenarannya dapat dibuktikan secara deduktif.
Sekarang kita akan mengambil beberapa contoh generalisasi yang dibenarkan dan yang
tidak dibenarkan dalam matematika. Generalisasi yang dibenarkan dalam matematika adalah
generalisasi yang telah dapat dibuktikan secara deduktif.
Contoh 1:
Pernyataan: jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap.
+
1
1
2
3
4
5
6
7
8
10
12
9
10
12
14
Tabel 2.1 Penjumlahan Bilangan Ganjil
Perhatikan hasil penjumlahan pada tabel 1. Apa yang bisa Anda katakan? Tentunya Anda
akan mengatakan bahwa setiap dua bilangan ganjil jika dijumlahkan hasilnya selalu genap.
Dalam matematika tidak dibenarkan membuat generalisasi atau membuktikan dengan
cara demikian. Walaupun Anda menunjukkan sifat itu dengan mengambil beberapa contoh yang
lebih banyak lagi. Matematika tetap tidak membenarkan membuat generalisasi yang
mengatakan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah genap, sebelum membuktikannya secara
deduktif.
Bukti deduktif
ð Misalkan m dan n sebarang dua bilangan bulat,
ð maka 2m + 1 dan 2n + 1 masing-masing merupakan bilangan ganjil.
ð Jika kita jumlahkan:
(2m + 1) + (2n + 1) = 2(m + n + 1)
ð
Karena m dan n bilangan bulat, maka (m + n + 1) bilangan bulat, sehingga 2(m + n + 1) adalah
bilangan genap
ð Jadi jumlah dua bilangan ganjil selalu genap.
Contoh 2
Jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah 1800.
Misalnya siswa mengukur ketiga sudut sebuah segititga dengan busur derajat dan
menjumlahkan ketiga sudut tersebut, ternyata hasilnya sama dengan 1800. Walaupun proses
pengukuran dan penjumlahan ketiga sudut ini diberlakukan kepada segitiga-segitiga yang lain
dan hasilnya selalu sama dengan 1800, tetap kita tidak dapat menyimpulkan bahwa jumlah
ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dnegan 1800, sebelum membuktikan secara deduktif.
d
c
a
b
Garis a // garis b, dipotong oleh garis c dan garis d, maka terbentuk Ð 1 , Ð 2 , Ð 3 , Ð 4 , Ð 5.
Ð 1 + Ð 2 + Ð 3 = 1800 (membentuk sudut lurus)
Ð 1 = Ð 4 (sudut-sudut bersebrangan dalam)
Ð 3 = Ð 5 (sudut-sudut bersebrangan dalam)
Maka: Ð 1 + Ð 2 + Ð 3 = Ð 4 + Ð 2 + Ð 5 = 1800 Karena Ð 4 + Ð 2 + Ð 5 merupakan jumlah
dari ketiga sudut dalam pada sebuah segitiga, maka dapat disimpulkan bahwa jumlah ketiga
sudut dalam sebuah segitiga sama dengan 1800.
Dari uraian-uraian di atas, dapatlah kita simpulkan bahwa matematika itu merupakan
ilmu deduktif yang tidak menerima generalisasi yang didasarkan kepada observasi (induktif)
tetapi generalisasi yang didasarkan pada pembuktian secara deduktif.
2.3
Matematika sebagai Ilmu Terstruktur
Menurut Ruseffendi (Tim MKPBM, 2001;25) matematika mempelajari tentang pola
keteraturan, tentang struktur yang terorganisasikan. Hal ini dimulai dari unsur-unsur yang tidak
terdefinisikan kemudian pada unsur yang didefinisikan, ke aksioma/postulat dan akhirnya pada
teorema. Konsep-konsep matematika tersusun secara hierarki, terstruktur, logis, dan sistematis
mulai dari konsep yang paling sederhana sampai pada konsep yang paling kompleks. Dalam
matematika terdapat topik atau konsep prasyarat sebagai dasar untuk memahami topik atau
konsep selanjutnya. Ibarat membangun sebuah gedung bertingkat, lantai kedua dan selanjutnya
tidak akan terwujud apabila fondasi dan lantai sebelumnya yang menjadi prasyarat benar-benar
dikuasai, agar dapat memahami konsep-konsep selanjutnya.
Sebagai contoh dapat dilihat susunan topik-topik dalam matematika yang harus dipelajari
terlebih dahulu (dan berikutnya) untuk sampai pada topik persamaan. Untuk sampai pada topik
persamaan tersebut haruslah melalui jalur-jalur pasti yang telah tersusun. Sebaliknya apabila
jalur-jalur itu dilanggar, maka konsep persamaan tidak akan tertanam dengan baik.
Catatan: Dari diagram di bawah, terlihat bahwa untuk memahami konsep persamaan
memerlukan konsep-konsep lain yang menjadi prasyaratnya, akan tetapi tidak perlu setiap
konsep di bawahnya dipakai. Cukup dipilih sebuah jalur tertentu, tergantung dari tujuannya.
Untuk lebih memperjelas uraian di atas, marilah kita lihat contoh berikut ini:
Kita ambil contoh pada satu bagian kecil yang dipelajari dalam matematika, yaitu dalam
geometri. Pada Geometri terdapat unsur-unsur yang tidak didefinisikan antara lain titik, garis,
dan bidang.
Apakah titik itu? Titik dalam matematika diasumsikan ada, tetapi tidak dinyatakan dalam
suatu kalimat yang tepat untuk mejelaskannya. Sebab titik adalah suatu obyek matematika yang
tidak didefinisikan (unsur primitif). Paling-paling kita hanya mampu untuk sekedar memberikan
gambaran bahwa titik itu tidak mempunyai ukuran panjang, luas, isi, dan berat. Suatu titik
digambarkan hanya untuk membantu pemikiran kita saja. Meskipun demikian kita sepakat
bahwa titik itu ada.
Sedangkan bidang (datar) adalah sesuatu yang bentuknya datar seperti permukaan meja
yang tidak mempunyai batas pinggir. Meskipun kita tidak mampu untuk memberikan
pernyataan dengan tepat, tetapi kita sepakat bahwa bidang itu ada. Titik dan bidang itu
termasuk ke dalam unsur primitif yang eksistensinya diakui ada. Tanpa pemikiran semacam itu
matematika tidak akan terwujud.
Dari unsur-unsur yang tidak terdefinisi itu selanjutnya dapat dibentuk unsur-unsur
matematika yang terdefinisi.
Contoh:
1) Dua garis berpotongan memiliki satu titik sekutu. Titik itu selanjutnya disebut titik potong.
2) Segitiga adalah lengkungan tertutup sederhana yang merupakan gabungan dari tiga buah
segmen garis (sudah tentu definisi tentang ruas garis, operasi gabungan, dan lengkungan
tertutup sederhana sudah terlebih dahulu diberikan).
3) Bilangan genap adalah bilangan bulat yang habis dibagi dua (pengertian bilangan bulat dan
habis dibagi sebelumnya telah dipahami).
Dari unsur-unsur yang tidak terdefinisi dan unsur-unsur terdefinisi dapat dibuat asumsiasumsi yang dikenal dengan aksioma atau postulat. Misalnya:
1) Melalui sebuah titik sebarang hanya dapat dibuat sebuah garis ke suatu titik yang lain.
2) Kesamaan ditambah kesamaan menghasilkan kesamaan.
Pernyataan-pernyataan tersebut di atas tidak perlu dibuktikan kebenarannya, karena
tanpa membuktikannya secara formal sudah dapat diterima kebenarannya berdasarkan
pemikiran logis. Tahap selanjutnya, dari unsur-unsur yang tidak terdefinisi, unsur-unsur yang
terdefinisi, dan aksioma atau postulat dapat disusun teorema-teorema yang kebenarannya
harus dibuktikan secara deduktif dan berlaku umum.
Misalnya:
± Jumlah ukuran ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah 180 derajat (ukuran sudut dalam
derajat telah didefinisikan terlebih dahulu).
± Jumlah dua buah bilangan ganjil menghasilkan bilangan genap.
Dan teorema yang telah terbentuk dapat dirumuskan lagi teorema baru sebagai
pengembangan atau perluasannya.
Contoh lainnya dapat kita lihat dari konsep-konsep yang ada dalam struktur aljabar atau
aljabar modern atau aljabar abstrak seperti grup, ring, field, integral domain dan teoremateoremanya yang nampak dengan jelas merupakan suatu sistem matematika yang mempunyai
keteraturan struktur yang terorganisasikan dengan baik.
Ambil contoh lainnya lagi, misalnya geometri modern yang merupakan suatu sistem
matematika aksiomatik, yang memiliki unsur tidak didefinisikan, unsur yang didefinisikan,
postulat atau aksioma dan dalil atau teori yang dirumuskan dengan jelas. Dinamakan geometri
modern karena memiliki istilah, simbol dan gambar yang akurat yang tidak meragukan, karena
tidak mempunyai dua arti atau lebih. Misalnya pada geometri modern antara ruas garis dan
garis mempunyai simbol dan gambar yang berbeda, sedangkan pada geometri tradisional sama.
Demikian pula tentang kaki-kaki sebuah segitiga sama kaki pada geometri modern disebut
kongruen, sedangkan pada geometri tradisional disebut sama. Kemudian istilah atau bahasa
dalam geometri modern jauh lebih tepat dari pada bahasa dalam geometri tradisional. Misalnya
dalam geometri tradisional kita sering mengatakan "Luas sebuah segitiga = 10 m 2". Dalam
geometri modern kita harus mengatakan “Luas daerah sebuah segitiga=10 m 2”. Alasannya,
karena segitiga itu tidak mempunyai luas, yang mempunyai luas adalah daerah sitiga.
Masih banyak contoh-contoh lainnya yang memperlihatkan bahwa matematika
merupakan ilmu pengetahuan mengenai struktur yang terorganisasikan dengan baik, dan semua
struktur dalam matematika diorganisasikan dengan sistematis dalam rangkaian urutan yang
logis.
2.4
Matematika sebagai Ratu dan Pelayan Ilmu
Matematika sebagai ratu atau ibunya ilmu dimaksudkan bahwa matematika adalah
sebagai sumber dari ilmu yang lain. Dengan perkataan lain, perkembangan matematika tak
tergantung pada ilmu-ilmu lain. Banyak cabang matematika yang dulu biasa disebut matematika
murni, dikembangkan oleh beberapa matematikawan yang mencintai dan belajar matematika
hanya sebagai hobby tanpa memperdulikan fungsi dan manfaatnya untuk ilmu-ilmu lain.
Dengan perkembangan teknologi, banyak cabang-cabang matematika murni yang ternyata
kemudian hari bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi mutakhir.
Banyak ilmu-ilmu yang penemuan dan pengembangannya bergantung dari matematika. Sebagai
contoh, banyak teori-teori dan cabang-cabang dari Fisika dan Kimia (modern) yang ditemukan
dan dikembangkan melalui konsep Kalkulus, khususnya tentang Persamaan Diferensial.
Penemuan dan pengembangan Teori Mendel dalam Biologi melalui konsep Peluang,
Karakteristik Matematika (probabilitas); Teori Ekonomi mengenai Permintaan dan Penawaran
yang dikembangkan melalui konsep Fungsi dan Kalkulus.
Dari kedudukan matematika sebagai ratu ilmu pengetahuan, seperti telah diuraikan di
atas, tersirat bahwa matematika itu sebagai suatu ilmu yang berfungsi pula untuk melayani ilmu
pengetahuan. Dengan perkataan lain, matematika tumbuh dan berkembang untuk dirinya
sendiri sebagai suatu ilmu, juga untuk melayani kebutuhan ilmu pengetahuan dalam
pengembangan dan operasionalnya. Cabang matematika yang memenuhi fungsinya seperti
yang disebutkan terakhir itu dinamakan dengan matematika terapan (Applied Mathematics).
2.5 Matematika Adalah Ilmu Tentang Pola dan Hubungan
Matematika disebut sebagai ilmu tentang pola karena pada matematika sering dicari
keseragaman seperti keterurutan, keterkaitan pola dari sekumpulan konsep-konsep tertentu
atau model yang merupkan representasinya untuk membuat generalisasi.
Misal :
Jumlah a bilangan genap selamanya sama dengan a2.
Contoh :
a = 1 maka jumlahnya = 1 = 12.
Selanjutnya 1 dan 3 adalah bilangan-bilangan ganjil jumlahnya adalah 4 = 2 2. Berikutnya 1, 3,
5,dan 7, maka jumlahnya adalah 16 = 4 2 dan seterusnya. Dari contoh-contoh tersebut, maka
dapat dibuat generalisasi yang berupa pola yaitu jumlah a bilangan ganjil yang berurutan sama
dengan a2.
Matematika disebut ilmu tentang hubungan karena konsep matematika satu dengan
lainnya saling berhubungan.
Misalnya : Antara persegi panjang dengan balok, antara persegi dengan kubus, antara kerucut
dengan lingkaran, antara 5 x 6 = 30 dengan 30 : 5 = 6. Antara 10 2 = 100 dengan = 10. Demikian
juga cabang matematika satu dengan lainnya saling berhubungan seperti aritmatika, aljabar,
geometri dan statistika, dan analisis.
2.6
Matematika Memperhatikan Semesta Pembicaraan
Penyelesaian dalam matematika harus disesuaikan dengan semesta pembicaraan. Simbolsimbol akan bermakna jika ruang lingkup pembicaraanya jelas. Jika ruang lingkupnya bilangan,
maka dsimbol-simbol tersebut diartikan bilangan. Contoh : Penyelesaian persamaan
diselesaikan dengan memperhatikan semesta pembicaraan. Jika semesta pembicaraannya
bilangan riil, maka hasilnya adalah . Tetapi jika semesta pembicaraannya bilangan bulat maka
penyelesaiannya ‘himpunan kosong’.
2.7
Matematika Konsisten Dengan Sistemnya
Dalam matematika banyak system yang saling berkaitan satu sama lainnya dan ada juga
yang tidak saling berkaitan. Didalam masing-masing sistem berlaku konsistensi atau
ketaatazasan, artinya bahwa dalam system tidak boleh terdapat kontradiksi. Suatu teorema
ataupun definisi harus menggunakan istilah atau konsep yang diterapkan terlebih dahulu.
Konsistensi itu baik dalam makna maupun dalam hal nilai kebenaran. Hal ini menjadi masalah
matematika harus konsisten terhadap hasilnya. Menurut Soedjadi( 2000,65), bila diperhatikan
satu per satu karakteristik matematika tersebut, maka dapat dipahami bahwa matematika yang
amat pusing dalam hidup keseharian mereka baik kini maupun masa yang akan datang. Bila
karakteristik tersebut secara sadar dimanfaatkan sebagai wahana pendidikan jelas memiliki
edukasi yang dapat mengarahkan siwa untuk disiplin atau taat pada peraturan.
2.8
Matematika Bertumpu Pada Kesepakatan
Kesepakatan dalam Matematika merupakan ikatan yang mengikat untuk menghindari
pembuktian yang berputar-putar baik dalam pembuktian maupun dalam pendefinisian.
Kesepakatan yang mendasar adalah aksioma dan konsep primitive. Aksioma yang disebut juga
potulat merupakan pernyataan yang tidak perlu dibuktikan, sedangkan konsep primitive
bertujuan memberikan pengertian pangkal yang tidak seharusnya didefinisikan.
2.9
Matematika Memiliki Simbol Yang Kosong Dari Arti
Matematika memiliki banyak simbol, baik huruf maupun bilangan. Model matematika x + y
= z, belum tentu bermakna atau berarti. Tidak selalu x, y, z berarti bilangan. Bilangan-bilangan
yang digunakan dalam pembelajaran pun bebas dari arti atau makna real. Makna huruf dan
operasi tergantung permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya model matematika.
Bahkan tanda “+” tidak selalu berarti operasi tambah untuk dua bilangan, tetapi bisa jadi
operasi untuk vector, matriks dan lain-lain. Secara umum, x + y = z masih kosong dari arti,
tergantung permasalahannya. Jadi, model atau symbol matematika sesungguhnya kosong dari
arti. Ia akan bermakna sesuatu bila kita mengaitkannya dengan konteks tertentu. Secara umum,
hal ini pula yang membedakan symbol matematika dengan symbol bukan matematika.
Kosongnya arti dari model-model matematika itu merupakan “kekuatan” matematika, yang
dengan sifat tersebut ia bisa masuk pada berbagai macam bidang kehidupan.
. PENUTUP
1.1 Simpulan
Dari pembahasan di atas, dapat disimpulkan beberapa hal, diantaranya adalah
1. Matematika adalah salah satu pengetahuan tertua yang terbentuk dari penelitian bilangan dan
ruang. Matematika adalah suatu disiplin ilmu yang berdiri sendiri dan tidak merupakan cabang
dari ilmu pengetahuan alam. Kata matematika berasal dari perkataan Latin mathematika yang
mulanya diambil dari perkataan Yunani mathematike yang berarti mempelajari. Perkataan itu
mempunyai asal katanya mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu (knowledge, science).
Kata mathematike berhubungan pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu mathein
atau mathenein yang artinya belajar (berpikir). Jadi, berdasarkan asal katanya, maka perkataan
matematika berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir (bernalar).
2.
Matematika merupakan ilmu deduktif yang tidak menerima generalisasi yang didasarkan
kepada observasi (induktif) tetapi generalisasi yang didasarkan pada pembuktian secara
deduktif. Dasar penalaran deduktif yang berperan besar dalam matematika adalah kebenaran.
Suatu pernyataan haruslah didasarkan pada kebenaran pernyataan-pernyataan sebelumnya.
Pernyataan awal atau pernyataan pangkal dalam matematika dikenal dengan istilah aksioma
atau postulat.
3.
Matematika sebaga ilmu yang terstruktur dimana konsep-konsep matematika tersusun secara
hierarki, terstruktur, logis, dan sistematis mulai dari unsur-unsur yang tidak terdefinisikan
kemudian pada unsur yang didefinisikan, ke aksioma/postulat dan akhirnya pada teorema.
Dalam matematika terdapat topik atau konsep prasyarat sebagai dasar untuk memahami topik
atau konsep selanjutnya.
4.
Matematika sebagai ratu atau ibunya ilmu dimaksudkan bahwa matematika adalah sebagai
sumber dari ilmu yang lain. Dimana matematika tumbuh dan berkembang untuk dirinya sendiri
sebagai suatu ilmu. Matematika juga sebagai pelayan ilmu karena melayani kebutuhan ilmu
pengetahuan dalam pengembangan dan operasionalnya.
5.
Matematika disebut sebagai ilmu tentang pola karena pada matematika sering dicari
keseragaman seperti keterurutan, keterkaitan pola dari sekumpulan konsep-konsep tertentu
atau model yang merupkan representasinya untuk membuat generalisasi dan matematika
disebut ilmu tentang hubungan karena konsep matematika satu dengan lainnya saling
6.
berhubungan.
Matematika memperhatikan semesta pembicara artinya penyelesaian dalam matematika
harus disesuaikan dengan semesta pembicaraan. Simbol-simbol akan bermakna jika ruang
lingkup pembicaraanya jelas.
7. Matematika kosisten dengan sistemnya artinya dalam matematika banyak sistem yang saling
berkaitan satu sama lainnya dan ada juga yang tidak saling berkaitan. Didalam masing-masing
sistem berlaku konsistensi atau ketaatazasan, artinya bahwa dalam system tidak boleh terdapat
kontradiksi. Suatu teorema ataupun definisi harus menggunakan istilah atau konsep yang
diterapkan terlebih dahulu. Konsistensi itu baik dalam makna maupun dalam hal nilai
kebenaran.
8.
Kesepakatan dalam Matematika merupakan ikatan yang mengikat untuk menghindari
pembuktian yang berputar-putar baik dalam pembuktian maupun dalam pendefinisian.
Kesepakatan yang mendasar adalah aksioma dan konsep primitive.
9.
Matematika memiliki symbol yang kosong dari arti maksudnya adalah ia akan bermakna
sesuatu bila kita mengaitkannya dengan konteks tertentu. Secara umum, hal ini pula yang
membedakan symbol matematika dengan symbol bukan matematika. Kosongnya arti dari
model-model matematika itu merupakan “kekuatan” matematika, yang dengan sifat tersebut ia
bisa masuk pada berbagai macam bidang kehidupan.
http://sainsmatika.blogspot.com/2012/06/v-behaviorurldefaultvmlo.html
HAKIKAT MATEMATIKA
Sampai saat ini definisi matematika belum ada kesepakatan yang bulat, namun matematika
dapat dikenal melalui karakteristiknya. Karakteristik matematika dapat dipahami melalui
hakekat matematika. A. Ismunanto (2011: 3-6) menyebutkan pendapat beberapa tokoh:
1)
Menurut Kline (1973)
Kline dalam bukunya menyatakan bahwa Matematika bukanlah sebuah pengetahuan yang
tersendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri. Adanya matematika semata-mata untuk
membantu manusia dalam memahami dan menguasai persoalan sosial, ekonomi, dan alam.
Cara atau metode yang digunakan dalam matematika untuk mencari kebenaran adalah metode
deduktif.
2)
James (1976)
Menurut James, “Matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran
dan konsep yang saling berhubungan satu dengan lainnya.”
Dari pendapat para tokoh diatas dapat kita ketahui bahwa matematika adalah ilmu tentang
logika yang konsep-konsep didalamnyasaling berhubungan satu dengan lainnya, serta cara atau
metode yang digunakan dalam matematika untuk mencari kebenaran adalah metode deduktif.
http://elnicovengeance.wordpress.com/2012/10/07/hakikat-matematika/
HAKIKAT MATEMATIKA
Abstrak
Matematika adalah ilmu universal yang mendasari perkembangan ilmu pengetahuan dan
teknologi modern, memajukan daya pikir serta analisa manusia. Matematika memiliki peran
yang sangat besar dalam kehidupan. Walaupun memiliki banyak peranan, namun banyak yang
belum mengetahui pengertian matematika itu sendiri. Ada banyak pengertian dari matematika
itu sendiri. Ada yang berpendapat, matematika adalah cabang ilmu pengetahuan eksak dan
terorganisisr secara sistematik, matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi,
matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logik dan berhubungan dengan bilangan,
dan lain sebagainya. Selain itu, matematika dikenal sebagai ilmu deduktif, ilmu terstruktur dan
juga matematika sebagai ratu dan pelayan ilmu. Matematika sebagai ilmu deduktif yaitu dalam
matematika, kebenaran dalam setiap pernyataannya harus didasarkan pada kebenaran
pernyataan sebelumnya dan dalam matematika pernyataan awal dikenal dengan istilah
aksioma. Matematika sebagai ilmu terstruktur yaitu matematika mempelajari tentang pola
keteraturan, tentang struktur yang terorganisasikan. Hal ini dimulai dari unsur-unsur yang tidak
terdefinisikan kemudian pada unsur yang didefinisikan, ke aksioma/postulat dan akhirnya pada
teorema dan yang terakhir matematika sebagai ratu dan pelayan ilmu dimaksudkan bahwa
matematika adalah sebagai sumber dari ilmu yang lain. Dengan perkataan lain, perkembangan
matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu lain.
Kata Kunci : Matematika, Induktif, Terstruktur, Ratu dan Pelayan Ilmu, Ilmu Tentang Pola dan
Hubungan, Semesta Pembicara, Konsisten pada Sistem, Kesepakatan, Simbol Kosong dari Arti
A.
PENDAHULUAN
Dalam filsafat ilmu pengetahuan mempelajari esensi atau hakikat ilmu pengetahuan
tertentu secara rasional. Filsafat ilmu pengetahuan merupakan cabang filsafat yang mempelajari
teori pembagian ilmu, metode yang digunakan dalam ilmu, tentang dasar kepastian dan jenis
keterangan yang berkaitan dengan kebenaran ilmu tertentu. Ilmu pengetahuan merupakan
sesuatu yang sangat amat penting bagi seluruh manusia di dunia ini. Ilmu pengetahuan
merupakan sesuatu yang sangat tidak pernah habis bila kita pelajari karena ilmu pengetahuan
itu sangat luas. Semua orang ingin menggali ilmu pengetahuan setinggi-tingginya untuk
menambah wawasan yang dikuasai. Pada zaman seperti sekarang, banyak jalan yang dapat
digunakan untuk menambah ilmu pengetahuan selain dengan cara membaca seperti semboyan
yang mengatakan “banyak jalan menuju Roma”. Jadi, ilmu pengetahuan sangat penting bagi
semua orang untuk masa depan.
Filsafat ilmu pengetahuan merupakan salah satu cabang yang mempersoalkan mengenai
masalah hakikat pengetahuan. Yang dimaksud dalam hal ini adalah suatu ilmu pengetahuan
kefilsafatan yang secara khusus hendak memperoleh pengetahuan tentang hakikat
pengetahuan. Dalam filsafat ilmu dipelajari mengenai ilmu dan matematika sebab, ilmu tanpa
matematika tidak berkembang serta, matematika tanpa ilmu tak ada keteraturan. Dengan
pengetahuan manusia dapat mengembangkan mengatasi kelangsungan hidupnya, memikirkan
hal-hal yang baru dan menjadikan manusia sebagai makhluk yang khas di muka bumi ini. Begitu
erat hubungan matematika dengan ilmu pengetahuan lainnya sehingga terkadang matematika
tersebut terdapat di semua bidang ilmu lainnya.
Matematika memiliki peranan penting dalam berbagai aspek kehidupan. Banyak
permasalahan dan kegiatan dalam hidup kita yang harus diselesaikan dengan menggunakan
ilmu matematika seperti menghitung, mengukur, dan lain-lain. Matematika adalah ilmu
universal yang mendasari perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi modern, memajukan
daya pikir serta analisa manusia. Peran matematika dewasa ini semakin penting, karena
banyaknya informasi yang disampaikan orang dalam bahasa matematika seperti, tabel, grafik,
diagram, persamaan dan lain-lain. Matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting
di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran atau medis, ilmu sosial seperti
ekonomi, dan psikologi. Dengan demikian, pendidikan matematika mampu menyiapkan sumber
daya manusia (SDM) yang berkualitas yang ditandai memiliki kemampuan memperoleh,
mengelola, dan memanfaatkan informasi sesuai dengan tuntutan kebutuhan. Oleh karena itu
mata pelajaran matematika sangat perlu diajarkan kepada semua peserta didik mulai dari
taman kanak kanak. Namun kebanyakan orang ataupun guru mengajarkan matematika tanpa
pernah mengajarkan atau menjelaskan mengenai hakikat matematika itu sendiri. Jadi siswa
yang diajarkan juga kurang mengetahui hakikat dari matematika tersebut.
Untuk lebih jelasnya penulis akan mengkaji hakikat matematika tersebut dalam makalah
ini yang meliputi pengertian matematika, karakteristik matematika sebagai ilmu deduktif, juga
ilmu terstruktur, matematika adalah ratu dan pelayan ilmu, matematika adalah ilmu tentang
pola dan hubungan, matematika memperhatikan semesta pembicara, matematika konsisten
pada sistem, matematika bertumpu pada kesepakatan, matematika memiliki simbol kosong dari
arti.
B.
2.1
PEMBAHASAN
Pengertian Matematika
“Apakah matematika itu ?” tidak dapat dengan mudah dijawab. Hal ini dikarenakan
sampai saat ini belum ada kepastian mengenai pengertian matematika karena pengetahuan dan
pandangan masing-masing dari para ahli yang berbeda-beda. Ada yang mengatakan bahwa
matematika adalah ilmu tentang bilangan dan ruang, matematika merupakan bahasa simbol,
matematika adalah bahasa numerik, matematika adalah ilmu yang abstrak dan deduktif,
matematika adalah metode berpikir logis, matematika adalah ilmu yang mempelajari hubungan
pola, bentuk dan struktur, matematika adalah ratunya ilmu dan juga menjadi pelayan ilmu yang
lain. Matematika adalah salah satu pengetahuan tertua yang terbentuk dari penelitian bilangan
dan ruang. Matematika adalah suatu disiplin ilmu yang berdiri sendiri dan tidak merupakan
cabang dari ilmu pengetahuan alam. Kata matematika berasal dari perkataan Latin mathematika
yang mulanya diambil dari perkataan Yunani mathematike yang berarti mempelajari. Perkataan
itu mempunyai asal katanya mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu (knowledge,
science). Kata mathematike berhubungan pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu
mathein atau mathenein yang artinya belajar (berpikir). Jadi, berdasarkan asal katanya, maka
perkataan matematika berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir (bernalar).
Matematika lebih menekankan kegiatan dalam dunia rasio (penalaran), bukan menekankan dari
hasil eksperimen atau hasil observasi matematika terbentuk karena pikiran-pikiran manusia,
yang berhubungan dengan idea, proses, dan penalaran (Russeffendi ET, 1980 :148). Istilah
mathematics (Inggris), mathematik (Jerman), mathematique (Perancis), matematico (Itali),
matematiceski (Rusia), atau mathematick/ wiskunde (Belanda) berasal dari perkataan lain
matematika, yang mulanya diambil dari perkataan Yunani, μαθηματικά - mathēmatiká, yang
berarti “ Relating to learning”.
Matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam dunianya secara empiris.
Kemudian pengalaman itu diproses di dalam dunia rasio, diolah secara analisis dengan
penalaran di dalam struktur kognitif sehingga sampai terbentuk konsep-konsep matematika
supaya konsep-konsep matematika yang terbentuk itu mudah dipahami oleh orang lain dan
dapat dimanipulasi secara tepat, maka digunakan bahasa matematika atua notasi matematika
yang bernilai global (universal). Konsep matematika didapat karena proses berpikir, karena itu
logika adalah dasar terbentuknya matematika. Dapat dikatakan bahwa matematika merupakan
ilmu pengetahuan yang mempelajari struktur yang abstrak dan pola hubungan yang ada
didalamnya. Ini berarti bahwa belajar matematika pada hakekatnya adalah belajar konsep,
struktur konsep dan mencari hubungan antar konsep dan strukturnya.
Ada beberapa definisi dari beberapa para ahli mengenai matematika, diantaranya
seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu yang
menggambarkan simpulan-simpulan yang penting". Di pihak lain, Albert Einstein menyatakan
bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti;
dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan”.
Lain halnya dengan Russefendi (1988 : 23) yang mengatakan bahwa matematika
terorganisasikan dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan, definisi-definisi, aksioma-aksioma,
dan dalil-dalil di mana dalil-dalil setelah dibuktikan kebenarannya berlaku secara umum, karena
itulah matematika sering disebut ilmu deduktif.
James dan James (1976) menyatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika,
mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan
lainnya. Matematika terbagi dalam tiga bagian besar yaitu aljabar, analisis dan geometri. Tetapi
ada juga pendapat yang mengatakan bahwa matematika terbagi menjadi empat bagian yaitu
aritmatika, aljabar, geometris dan analisis dengan aritmatika mencakup teori bilangan dan
statistika.
Selain itu ada juga pendapat dari Johnson dan Rising(1972) yang menyatakan
matematika adalah pola berpikir, pola mengorganisasikan, pembuktian yang logis, matematika
itu adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas dan akurat
representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa symbol mengenai ide daripada
mengenai bunyi. Matematika adalah pengetahuan struktur yang terorganisasi, sifat-sifat dalam
teori-teori dibuat secara deduktif berdasarkan kepada unsure yang tidak didefinisikan, aksioma,
sifat atau teori yang telah dibuktikan kebenarannya adalah ilmu tentang keteraturan pola atau
ide, dan matematika itu adalah suatu seni, keindahannya terdapat pada keterurutan dan
keharmonisannya.
Lain halnya dengan Reys - dkk (1984), matematika adalah telaahan tentang pola dan
hubungan, suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat. Kline (1973)
matematika itu bukan pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri,
tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan
menguasai permasalahan sosial, ekonomi, dan alam.
Menurut Roy Hollands ”matematika adalah suatu sistem yang rumit tetapi tersusun
sangat baik yang mempunyai banyak cabang”. Secara luas matematika tidak hanya berhubungan
dengan bilangan-bilangan tetapi lebih luas ia berhubungan dengan alam semesta. The Liang Gie
mengutip pendapat seorang ahli matematika bernama Charles Edwar Jeanneret yang
mengatakan: ”Mathematics is the majestic structure by man to grant him comprehension of the
universe, yang artinya matematika adalah struktur besar yang dibangun oleh manusia untuk
memberikan pemahaman mengenai jagat raya.
Menurut Soedjadi (2000: 1) mengemukakan bahwa ada beberapa definisi atau
pengertian matematika berdasarkan sudut pandang pembuatnya, yaitu sebagai berikut:
·
Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan eksak dan terorganisisr secara sistematik
·
Matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi
·
Matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logik dan berhubungan dengan bilangan.
·
Matematika adalah pengetahuan fakta-fakta kuantitatif dan masalah tentang ruang dan
bentuk.
·
Matematika adalah pengetahuan tentang struktur-struktur yang logic
·
Matematika adalah pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat.
Ernest melihat matematika sebagai suatu konstruktivisme sosial yang memenuhi tiga
premis sebagai berikut: i) The basis of mathematical knowledge is linguistic language,
conventions and rules, and language is a social constructions; ii) Interpersonal social processes
are required to turn an individual’s subjective mathematical knowledge, after publication, into
accepted objective mathematical knowledge; and iii) Objectivity itself will be understood to be
social. (Ernest, 1991:42). Selain Ernest, terdapat sejumlah tokoh yang memandang matematika
sebagai suatu konstruktivisme sosial. Misalnya, Dienes mengatakan bahwa matematika adalah
ilmu seni kreatif. Oleh karena itu, matematika harus dipelajari dan diajarkan sebagai ilmu seni.
(Ruseffendi, 1988:160).
Bourne
juga
memahami
matematika
sebagai
konstruktivisme
sosial
dengan
penekanannya pada knowing how, yaitu pebelajar dipandang sebagai makhluk yang aktif dalam
mengkonstruksi ilmu pengetahuan dengan cara berinteraksi dengan lingkungannya. Hal ini
berbeda dengan pengertian knowing that yang dianut oleh kaum absoluitis, di mana pebelajar
dipandang sebagai mahluk yang pasif dan seenaknya dapat diisi informasi dari tindakan hingga
tujuan. (Romberg, T.A. 1992: 752).
Kitcher lebih memfokuskan perhatiannya kepada komponen dalam kegiatan matematika.
(Jackson, 1992:753). Dia mengklaim bahwa matematika terdiri atas komponen-komponen:
bahasa (language) yang dijalankan oleh para matematikawan, pernyataan (statements) yang
digunakan oleh para matematikawan, pertanyaan (questions) penting yang hingga saat ini
belum terpecahkan, alasan (reasonings) yang digunakan untuk menjelaskan pernyataan, dan ide
matematika itu sendiri. Bahkan secara lebih luas matematika dipandang sebagai the science of
pattern.
Sejalan dengan kedua pandangan di atas, Sujono (1988:5) mengemukakan beberapa
pengertian matematika. Di antaranya, matematika diartikan sebagai cabang ilmu pengetahuan
yang eksak dan terorganisasi secara sistematik. Selain itu, matematika merupakan ilmu
pengetahuan tentang penalaran yang logik dan masalah yang berhubungan dengan bilangan.
Bahkan dia mengartikan matematika sebagai ilmu bantu dalam menginterpretasikan berbagai
ide dan kesimpulan.
Pengertian yang lebih plural tentang matematika dikemukakan oleh Freudental (1991:1).
Dia mengatakan bahwa “mathematics look like a plural as it still is in French Les Mathematiques
.Indeed, long ago it meant a plural: four arts (liberal ones worth being pursued by free men).
Mathematics was the quadrivium, the sum of arithmetic, geometry astronomy and music, held
in higher esteem than the (more trivial) trivium: grammar, rhetoric and dialectic. …As far as I am
familiar with languages, Ducth is the only one in which the term for mathematics is neither
derived from nor resembles the internationally sanctioned Mathematica. The Ducth term was
virtually coined by Simon (1548-1620): Wiskunde, the science of what is certain. Wis en zeker,
sure and certain, is that which does not yield to any doubt, and kunde means, knowledge,
theory.
Dari sisi abstraksi matematika, Newman melihat tiga ciri utama matematika, yaitu;
matematika disajikan dalam pola yang lebih ketat, matematika berkembang dan digunakan lebih
luas dari pada ilmu-ilmu lain, dan matematika lebih terkonsentrasi pada konsep. (Jackson,
1992:755).
Selanjutnya, pendapat para ahli mengenai matematika yang lain, di antaranya telah
muncul sejak kurang lebih 400 tahun sebelum masehi, dengan tokoh-tokoh utamanya Plato
(427–347 SM) dan seorang muridnya Aristoteles (348–322 SM). Mereka mempunyai pendapat
yang berlainan. Plato berpendapat, bahwa matematika adalah identik dengan filsafat untuk ahli
pikir, walaupun mereka mengatakan bahwa matematika harus dipelajari untuk keperluan lain.
Objek matematika ada di dunia nyata, tetapi terpisah dari akal. Ia mengadakan perbedaan
antara aritmetika (teori bilangan) dan logistik (teknik berhitung) yang diperlukan orang. Belajar
aritmetika berpengaruh positif karena memaksa yang belajar untuk belajar bilangan-bilangan
abstrak. Dengan demikian matematika ditingkatkan menjadi mental aktivitas mental abstrak
pada objek-objek yang ada secara lahiriah, tetapi yang ada hanya mempunyai representasi yang
bermakna.
Sedangkan orang Arab, menyebut matematika dengan ‘ilmu al-hisab yang berarti ilmu
berhitung. Di Indonesia, matematika disebut dengan ilmu pasti dan ilmu hitung. Sebagian orang
Indonesia memberikan plesetan menyebut matematika dengan “matimatian”, karena sulitnya
mempelajari matematika. (Abdusysyakir, 2007:5). Pada umumnya orang awam hanya akrab
dengan satu cabang matematika elementer yang disebut aritmetika atau ilmu hitung yang
secara informal dapat didefinisikan sebagai ilmu tentang berbagai bilangan yang bisa langsung
diperoleh dari bilangan-bilangan bulat 0, 1, -1, 2, – 2, …, dst, melalui beberapa operasi dasar:
tambah, kurang, kali dan bagi.
Matematika secara umum ditegaskan sebagai penelitian pola dari struktur, perubahan,
dan ruang; tak lebih resmi, seorang mungkin mengatakan adalah penelitian bilangan dan angka.
Dalam pandangan formalis, matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan
struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; pandangan lain
tergambar dalam filosofi matematika. Sedangkan dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI),
matematika didefinisikan sebagai ilmu tentang bilangan, hubungan antara bilangan, dan
prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan.
menurut Sumardyono (2004:28) secara umum definisi matematika dapat dideskripsikan sebagai
berikut, di antaranya:
·
Matematika sebagai struktur yang terorganisir. Agak berbeda dengan ilmu pengetahuan yang
lain, matematika merupakan suatu bangunan struktur yang terorganisir. Sebagai sebuah
struktur, ia terdiri atas beberapa komponen, yang meliputi aksioma/postulat, pengertian
pangkal/primitif, dan dalil/teorema (termasuk di dalamnya lemma (teorema pengantar/kecil)
dan corolly/sifat).
·
Matematika sebagai alat (tool). Matematika juga sering dipandang sebagai alat dalammencari
solusi pelbagai masalah dalam kehidupan sehari-hari.
·
Matematika sebagai pola pikir deduktif. Matematika merupakan pengetahuan yang memiliki
pola pikir deduktif, artinya suatu teori atau pernyataan dalam matematika dapat diterima
kebenarannya apabila telah dibuktikan secara deduktif (umum).
·
Matematika sebagai cara bernalar (the way of thinking). Matematika dapat pula dipandang
sebagai cara bernalar, paling tidak karena beberapa hal, seperti matematika matematika
memuat cara pembuktian yang sahih (valid), rumus-rumus atau aturan yang umum, atau sifat
penalaran matematika yang sistematis.
·
Matematika sebagai bahasa artifisial. Simbol merupakan ciri yang paling menonjol dalam
matematika. Bahasa matematika adalah bahasa simbol yang bersifat artifisial, yang baru
memiliki arti bila dikenakan pada suatu konteks.
·
Matematika sebagai seni yang kreatif. Penalaran yang logis dan efisien serta perbendaharaan
ide-ide dan pola-pola yang kreatif dan menakjubkan, maka matematika sering pula disebut
sebagai seni, khususnya merupakan seni berpikir yang kreatif.
Meskipun diberikan pengertian matematika dengan panjang lebar secara tertulis atau
lisan penjelasannya, belum memberikan jawaban secara utuh yang dapat dipahami secara
menyeluruh tentang apa matematika itu. Menurut Courant dan Robbin bahwa untuk dapat
mengetahui apa matematika itu sebenarnya, seseorang harus mempelajari sendiri ilmu
matematika tersebut. Matematika dapat kita pelajari dengan baik bila disertai dengan
mengerjakannya. Dalam proses bekerja tersebut diperlukan keterlibatan berpikir yang kita sebut
dengan berpikir kritis. Karena matematika dapat ditinjau dari semua sudut, dan memasuki
seluruh segi kehidupan manusia baik dari yang sederhana sampai yang kompleks.
2.2
Matematika sebagai Ilmu Deduktif
Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif. Ini berarti proses pengerjaan matematika
harus bersifat deduktif. Matematika tidak menerima generalisasi berdasarkan pengamatan
(induktif), tetapi harus berdasarkan pembuktian deduktif. Dasar pembuktian deduktif yang
berperan besar dalam matematika adalah kebenaran, suatu pernyataan haruslah didasarkan
pada kebenaran pernyataan-pernyataan sebelumnya. Penarikan kesimpulan yang demikian ini
sangat berbeda dengan penarikan kesimpulan pada penalaran induktif yang dipaparkan pada
hasil pengamatan atau eksperimen terbatas.
Dalam penalaran deduktif, kebenaran dalam setiap pernyataannya harus didasarkan pada
kebenaran pernyataan sebelumnya. Mungkin timbul pertanyaan bagaimana menyatakan
kebenaran dari pernyataan yang paling awal? Untuk mengatasi hal tersebut, dalam penalaran
deduktif diperlukan beberapa pernyataan awal atau pangkal sebagai “kesepakatan” yang
diterima kebenarannya tanpa pembuktian. Pernyataan awal atau pernyataan pangkal dalam
matematika dikenal dengan istilah aksioma atau postulat. Dalam matematika, suatu
generalisasi, sifat, teori atau dalil belum dapat diterima kebenarannya sebelum dapat dibuktikan
secara deduktif.
Sebagai contoh dalam Ilmu Pengetahuna Alam (IPA), bila seseorang melakukan
percobaan memanaskan sebatang logam, ternyata logam yang dipanaskan tersebut akan
memuai. Kemudian sebatang logam lainnya dipanaskan ternyata memuai juga, dan seterusnya
mengambil beberapa contoh jenis-jenis logam lainnya dan ternyata selalu memuai jika
dipanaskan. Dari percobaan ini dapat dibuat kesimpulan atau generalisasi bahwa setiap logam
yang dipanaskan itu memuai. Kesimpulan atau generalisasi seperti ini merupakan hasil
penalaran secara induktif. Generalisasi seperti ini dalam IPA dibenarkan.
Contoh dalam IPA seperti tersebut di atas, secara matematika belum dapat dianggap
sebagai generalisasi. Dalam matematika, contoh-contoh seperti itu baru dapat dianggap sebagai
generalisasi bila kebenarannya dapat dibuktikan secara deduktif.
Sekarang kita akan mengambil beberapa contoh generalisasi yang dibenarkan dan yang
tidak dibenarkan dalam matematika. Generalisasi yang dibenarkan dalam matematika adalah
generalisasi yang telah dapat dibuktikan secara deduktif.
Contoh 1:
Pernyataan: jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap.
+
1
1
2
3
4
5
6
7
8
10
12
9
10
12
14
Tabel 2.1 Penjumlahan Bilangan Ganjil
Perhatikan hasil penjumlahan pada tabel 1. Apa yang bisa Anda katakan? Tentunya Anda
akan mengatakan bahwa setiap dua bilangan ganjil jika dijumlahkan hasilnya selalu genap.
Dalam matematika tidak dibenarkan membuat generalisasi atau membuktikan dengan
cara demikian. Walaupun Anda menunjukkan sifat itu dengan mengambil beberapa contoh yang
lebih banyak lagi. Matematika tetap tidak membenarkan membuat generalisasi yang
mengatakan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah genap, sebelum membuktikannya secara
deduktif.
Bukti deduktif
ð Misalkan m dan n sebarang dua bilangan bulat,
ð maka 2m + 1 dan 2n + 1 masing-masing merupakan bilangan ganjil.
ð Jika kita jumlahkan:
(2m + 1) + (2n + 1) = 2(m + n + 1)
ð
Karena m dan n bilangan bulat, maka (m + n + 1) bilangan bulat, sehingga 2(m + n + 1) adalah
bilangan genap
ð Jadi jumlah dua bilangan ganjil selalu genap.
Contoh 2
Jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah 1800.
Misalnya siswa mengukur ketiga sudut sebuah segititga dengan busur derajat dan
menjumlahkan ketiga sudut tersebut, ternyata hasilnya sama dengan 1800. Walaupun proses
pengukuran dan penjumlahan ketiga sudut ini diberlakukan kepada segitiga-segitiga yang lain
dan hasilnya selalu sama dengan 1800, tetap kita tidak dapat menyimpulkan bahwa jumlah
ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dnegan 1800, sebelum membuktikan secara deduktif.
d
c
a
b
Garis a // garis b, dipotong oleh garis c dan garis d, maka terbentuk Ð 1 , Ð 2 , Ð 3 , Ð 4 , Ð 5.
Ð 1 + Ð 2 + Ð 3 = 1800 (membentuk sudut lurus)
Ð 1 = Ð 4 (sudut-sudut bersebrangan dalam)
Ð 3 = Ð 5 (sudut-sudut bersebrangan dalam)
Maka: Ð 1 + Ð 2 + Ð 3 = Ð 4 + Ð 2 + Ð 5 = 1800 Karena Ð 4 + Ð 2 + Ð 5 merupakan jumlah
dari ketiga sudut dalam pada sebuah segitiga, maka dapat disimpulkan bahwa jumlah ketiga
sudut dalam sebuah segitiga sama dengan 1800.
Dari uraian-uraian di atas, dapatlah kita simpulkan bahwa matematika itu merupakan
ilmu deduktif yang tidak menerima generalisasi yang didasarkan kepada observasi (induktif)
tetapi generalisasi yang didasarkan pada pembuktian secara deduktif.
2.3
Matematika sebagai Ilmu Terstruktur
Menurut Ruseffendi (Tim MKPBM, 2001;25) matematika mempelajari tentang pola
keteraturan, tentang struktur yang terorganisasikan. Hal ini dimulai dari unsur-unsur yang tidak
terdefinisikan kemudian pada unsur yang didefinisikan, ke aksioma/postulat dan akhirnya pada
teorema. Konsep-konsep matematika tersusun secara hierarki, terstruktur, logis, dan sistematis
mulai dari konsep yang paling sederhana sampai pada konsep yang paling kompleks. Dalam
matematika terdapat topik atau konsep prasyarat sebagai dasar untuk memahami topik atau
konsep selanjutnya. Ibarat membangun sebuah gedung bertingkat, lantai kedua dan selanjutnya
tidak akan terwujud apabila fondasi dan lantai sebelumnya yang menjadi prasyarat benar-benar
dikuasai, agar dapat memahami konsep-konsep selanjutnya.
Sebagai contoh dapat dilihat susunan topik-topik dalam matematika yang harus dipelajari
terlebih dahulu (dan berikutnya) untuk sampai pada topik persamaan. Untuk sampai pada topik
persamaan tersebut haruslah melalui jalur-jalur pasti yang telah tersusun. Sebaliknya apabila
jalur-jalur itu dilanggar, maka konsep persamaan tidak akan tertanam dengan baik.
Catatan: Dari diagram di bawah, terlihat bahwa untuk memahami konsep persamaan
memerlukan konsep-konsep lain yang menjadi prasyaratnya, akan tetapi tidak perlu setiap
konsep di bawahnya dipakai. Cukup dipilih sebuah jalur tertentu, tergantung dari tujuannya.
Untuk lebih memperjelas uraian di atas, marilah kita lihat contoh berikut ini:
Kita ambil contoh pada satu bagian kecil yang dipelajari dalam matematika, yaitu dalam
geometri. Pada Geometri terdapat unsur-unsur yang tidak didefinisikan antara lain titik, garis,
dan bidang.
Apakah titik itu? Titik dalam matematika diasumsikan ada, tetapi tidak dinyatakan dalam
suatu kalimat yang tepat untuk mejelaskannya. Sebab titik adalah suatu obyek matematika yang
tidak didefinisikan (unsur primitif). Paling-paling kita hanya mampu untuk sekedar memberikan
gambaran bahwa titik itu tidak mempunyai ukuran panjang, luas, isi, dan berat. Suatu titik
digambarkan hanya untuk membantu pemikiran kita saja. Meskipun demikian kita sepakat
bahwa titik itu ada.
Sedangkan bidang (datar) adalah sesuatu yang bentuknya datar seperti permukaan meja
yang tidak mempunyai batas pinggir. Meskipun kita tidak mampu untuk memberikan
pernyataan dengan tepat, tetapi kita sepakat bahwa bidang itu ada. Titik dan bidang itu
termasuk ke dalam unsur primitif yang eksistensinya diakui ada. Tanpa pemikiran semacam itu
matematika tidak akan terwujud.
Dari unsur-unsur yang tidak terdefinisi itu selanjutnya dapat dibentuk unsur-unsur
matematika yang terdefinisi.
Contoh:
1) Dua garis berpotongan memiliki satu titik sekutu. Titik itu selanjutnya disebut titik potong.
2) Segitiga adalah lengkungan tertutup sederhana yang merupakan gabungan dari tiga buah
segmen garis (sudah tentu definisi tentang ruas garis, operasi gabungan, dan lengkungan
tertutup sederhana sudah terlebih dahulu diberikan).
3) Bilangan genap adalah bilangan bulat yang habis dibagi dua (pengertian bilangan bulat dan
habis dibagi sebelumnya telah dipahami).
Dari unsur-unsur yang tidak terdefinisi dan unsur-unsur terdefinisi dapat dibuat asumsiasumsi yang dikenal dengan aksioma atau postulat. Misalnya:
1) Melalui sebuah titik sebarang hanya dapat dibuat sebuah garis ke suatu titik yang lain.
2) Kesamaan ditambah kesamaan menghasilkan kesamaan.
Pernyataan-pernyataan tersebut di atas tidak perlu dibuktikan kebenarannya, karena
tanpa membuktikannya secara formal sudah dapat diterima kebenarannya berdasarkan
pemikiran logis. Tahap selanjutnya, dari unsur-unsur yang tidak terdefinisi, unsur-unsur yang
terdefinisi, dan aksioma atau postulat dapat disusun teorema-teorema yang kebenarannya
harus dibuktikan secara deduktif dan berlaku umum.
Misalnya:
± Jumlah ukuran ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah 180 derajat (ukuran sudut dalam
derajat telah didefinisikan terlebih dahulu).
± Jumlah dua buah bilangan ganjil menghasilkan bilangan genap.
Dan teorema yang telah terbentuk dapat dirumuskan lagi teorema baru sebagai
pengembangan atau perluasannya.
Contoh lainnya dapat kita lihat dari konsep-konsep yang ada dalam struktur aljabar atau
aljabar modern atau aljabar abstrak seperti grup, ring, field, integral domain dan teoremateoremanya yang nampak dengan jelas merupakan suatu sistem matematika yang mempunyai
keteraturan struktur yang terorganisasikan dengan baik.
Ambil contoh lainnya lagi, misalnya geometri modern yang merupakan suatu sistem
matematika aksiomatik, yang memiliki unsur tidak didefinisikan, unsur yang didefinisikan,
postulat atau aksioma dan dalil atau teori yang dirumuskan dengan jelas. Dinamakan geometri
modern karena memiliki istilah, simbol dan gambar yang akurat yang tidak meragukan, karena
tidak mempunyai dua arti atau lebih. Misalnya pada geometri modern antara ruas garis dan
garis mempunyai simbol dan gambar yang berbeda, sedangkan pada geometri tradisional sama.
Demikian pula tentang kaki-kaki sebuah segitiga sama kaki pada geometri modern disebut
kongruen, sedangkan pada geometri tradisional disebut sama. Kemudian istilah atau bahasa
dalam geometri modern jauh lebih tepat dari pada bahasa dalam geometri tradisional. Misalnya
dalam geometri tradisional kita sering mengatakan "Luas sebuah segitiga = 10 m 2". Dalam
geometri modern kita harus mengatakan “Luas daerah sebuah segitiga=10 m 2”. Alasannya,
karena segitiga itu tidak mempunyai luas, yang mempunyai luas adalah daerah sitiga.
Masih banyak contoh-contoh lainnya yang memperlihatkan bahwa matematika
merupakan ilmu pengetahuan mengenai struktur yang terorganisasikan dengan baik, dan semua
struktur dalam matematika diorganisasikan dengan sistematis dalam rangkaian urutan yang
logis.
2.4
Matematika sebagai Ratu dan Pelayan Ilmu
Matematika sebagai ratu atau ibunya ilmu dimaksudkan bahwa matematika adalah
sebagai sumber dari ilmu yang lain. Dengan perkataan lain, perkembangan matematika tak
tergantung pada ilmu-ilmu lain. Banyak cabang matematika yang dulu biasa disebut matematika
murni, dikembangkan oleh beberapa matematikawan yang mencintai dan belajar matematika
hanya sebagai hobby tanpa memperdulikan fungsi dan manfaatnya untuk ilmu-ilmu lain.
Dengan perkembangan teknologi, banyak cabang-cabang matematika murni yang ternyata
kemudian hari bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi mutakhir.
Banyak ilmu-ilmu yang penemuan dan pengembangannya bergantung dari matematika. Sebagai
contoh, banyak teori-teori dan cabang-cabang dari Fisika dan Kimia (modern) yang ditemukan
dan dikembangkan melalui konsep Kalkulus, khususnya tentang Persamaan Diferensial.
Penemuan dan pengembangan Teori Mendel dalam Biologi melalui konsep Peluang,
Karakteristik Matematika (probabilitas); Teori Ekonomi mengenai Permintaan dan Penawaran
yang dikembangkan melalui konsep Fungsi dan Kalkulus.
Dari kedudukan matematika sebagai ratu ilmu pengetahuan, seperti telah diuraikan di
atas, tersirat bahwa matematika itu sebagai suatu ilmu yang berfungsi pula untuk melayani ilmu
pengetahuan. Dengan perkataan lain, matematika tumbuh dan berkembang untuk dirinya
sendiri sebagai suatu ilmu, juga untuk melayani kebutuhan ilmu pengetahuan dalam
pengembangan dan operasionalnya. Cabang matematika yang memenuhi fungsinya seperti
yang disebutkan terakhir itu dinamakan dengan matematika terapan (Applied Mathematics).
2.5 Matematika Adalah Ilmu Tentang Pola dan Hubungan
Matematika disebut sebagai ilmu tentang pola karena pada matematika sering dicari
keseragaman seperti keterurutan, keterkaitan pola dari sekumpulan konsep-konsep tertentu
atau model yang merupkan representasinya untuk membuat generalisasi.
Misal :
Jumlah a bilangan genap selamanya sama dengan a2.
Contoh :
a = 1 maka jumlahnya = 1 = 12.
Selanjutnya 1 dan 3 adalah bilangan-bilangan ganjil jumlahnya adalah 4 = 2 2. Berikutnya 1, 3,
5,dan 7, maka jumlahnya adalah 16 = 4 2 dan seterusnya. Dari contoh-contoh tersebut, maka
dapat dibuat generalisasi yang berupa pola yaitu jumlah a bilangan ganjil yang berurutan sama
dengan a2.
Matematika disebut ilmu tentang hubungan karena konsep matematika satu dengan
lainnya saling berhubungan.
Misalnya : Antara persegi panjang dengan balok, antara persegi dengan kubus, antara kerucut
dengan lingkaran, antara 5 x 6 = 30 dengan 30 : 5 = 6. Antara 10 2 = 100 dengan = 10. Demikian
juga cabang matematika satu dengan lainnya saling berhubungan seperti aritmatika, aljabar,
geometri dan statistika, dan analisis.
2.6
Matematika Memperhatikan Semesta Pembicaraan
Penyelesaian dalam matematika harus disesuaikan dengan semesta pembicaraan. Simbolsimbol akan bermakna jika ruang lingkup pembicaraanya jelas. Jika ruang lingkupnya bilangan,
maka dsimbol-simbol tersebut diartikan bilangan. Contoh : Penyelesaian persamaan
diselesaikan dengan memperhatikan semesta pembicaraan. Jika semesta pembicaraannya
bilangan riil, maka hasilnya adalah . Tetapi jika semesta pembicaraannya bilangan bulat maka
penyelesaiannya ‘himpunan kosong’.
2.7
Matematika Konsisten Dengan Sistemnya
Dalam matematika banyak system yang saling berkaitan satu sama lainnya dan ada juga
yang tidak saling berkaitan. Didalam masing-masing sistem berlaku konsistensi atau
ketaatazasan, artinya bahwa dalam system tidak boleh terdapat kontradiksi. Suatu teorema
ataupun definisi harus menggunakan istilah atau konsep yang diterapkan terlebih dahulu.
Konsistensi itu baik dalam makna maupun dalam hal nilai kebenaran. Hal ini menjadi masalah
matematika harus konsisten terhadap hasilnya. Menurut Soedjadi( 2000,65), bila diperhatikan
satu per satu karakteristik matematika tersebut, maka dapat dipahami bahwa matematika yang
amat pusing dalam hidup keseharian mereka baik kini maupun masa yang akan datang. Bila
karakteristik tersebut secara sadar dimanfaatkan sebagai wahana pendidikan jelas memiliki
edukasi yang dapat mengarahkan siwa untuk disiplin atau taat pada peraturan.
2.8
Matematika Bertumpu Pada Kesepakatan
Kesepakatan dalam Matematika merupakan ikatan yang mengikat untuk menghindari
pembuktian yang berputar-putar baik dalam pembuktian maupun dalam pendefinisian.
Kesepakatan yang mendasar adalah aksioma dan konsep primitive. Aksioma yang disebut juga
potulat merupakan pernyataan yang tidak perlu dibuktikan, sedangkan konsep primitive
bertujuan memberikan pengertian pangkal yang tidak seharusnya didefinisikan.
2.9
Matematika Memiliki Simbol Yang Kosong Dari Arti
Matematika memiliki banyak simbol, baik huruf maupun bilangan. Model matematika x + y
= z, belum tentu bermakna atau berarti. Tidak selalu x, y, z berarti bilangan. Bilangan-bilangan
yang digunakan dalam pembelajaran pun bebas dari arti atau makna real. Makna huruf dan
operasi tergantung permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya model matematika.
Bahkan tanda “+” tidak selalu berarti operasi tambah untuk dua bilangan, tetapi bisa jadi
operasi untuk vector, matriks dan lain-lain. Secara umum, x + y = z masih kosong dari arti,
tergantung permasalahannya. Jadi, model atau symbol matematika sesungguhnya kosong dari
arti. Ia akan bermakna sesuatu bila kita mengaitkannya dengan konteks tertentu. Secara umum,
hal ini pula yang membedakan symbol matematika dengan symbol bukan matematika.
Kosongnya arti dari model-model matematika itu merupakan “kekuatan” matematika, yang
dengan sifat tersebut ia bisa masuk pada berbagai macam bidang kehidupan.
. PENUTUP
1.1 Simpulan
Dari pembahasan di atas, dapat disimpulkan beberapa hal, diantaranya adalah
1. Matematika adalah salah satu pengetahuan tertua yang terbentuk dari penelitian bilangan dan
ruang. Matematika adalah suatu disiplin ilmu yang berdiri sendiri dan tidak merupakan cabang
dari ilmu pengetahuan alam. Kata matematika berasal dari perkataan Latin mathematika yang
mulanya diambil dari perkataan Yunani mathematike yang berarti mempelajari. Perkataan itu
mempunyai asal katanya mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu (knowledge, science).
Kata mathematike berhubungan pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu mathein
atau mathenein yang artinya belajar (berpikir). Jadi, berdasarkan asal katanya, maka perkataan
matematika berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir (bernalar).
2.
Matematika merupakan ilmu deduktif yang tidak menerima generalisasi yang didasarkan
kepada observasi (induktif) tetapi generalisasi yang didasarkan pada pembuktian secara
deduktif. Dasar penalaran deduktif yang berperan besar dalam matematika adalah kebenaran.
Suatu pernyataan haruslah didasarkan pada kebenaran pernyataan-pernyataan sebelumnya.
Pernyataan awal atau pernyataan pangkal dalam matematika dikenal dengan istilah aksioma
atau postulat.
3.
Matematika sebaga ilmu yang terstruktur dimana konsep-konsep matematika tersusun secara
hierarki, terstruktur, logis, dan sistematis mulai dari unsur-unsur yang tidak terdefinisikan
kemudian pada unsur yang didefinisikan, ke aksioma/postulat dan akhirnya pada teorema.
Dalam matematika terdapat topik atau konsep prasyarat sebagai dasar untuk memahami topik
atau konsep selanjutnya.
4.
Matematika sebagai ratu atau ibunya ilmu dimaksudkan bahwa matematika adalah sebagai
sumber dari ilmu yang lain. Dimana matematika tumbuh dan berkembang untuk dirinya sendiri
sebagai suatu ilmu. Matematika juga sebagai pelayan ilmu karena melayani kebutuhan ilmu
pengetahuan dalam pengembangan dan operasionalnya.
5.
Matematika disebut sebagai ilmu tentang pola karena pada matematika sering dicari
keseragaman seperti keterurutan, keterkaitan pola dari sekumpulan konsep-konsep tertentu
atau model yang merupkan representasinya untuk membuat generalisasi dan matematika
disebut ilmu tentang hubungan karena konsep matematika satu dengan lainnya saling
6.
berhubungan.
Matematika memperhatikan semesta pembicara artinya penyelesaian dalam matematika
harus disesuaikan dengan semesta pembicaraan. Simbol-simbol akan bermakna jika ruang
lingkup pembicaraanya jelas.
7. Matematika kosisten dengan sistemnya artinya dalam matematika banyak sistem yang saling
berkaitan satu sama lainnya dan ada juga yang tidak saling berkaitan. Didalam masing-masing
sistem berlaku konsistensi atau ketaatazasan, artinya bahwa dalam system tidak boleh terdapat
kontradiksi. Suatu teorema ataupun definisi harus menggunakan istilah atau konsep yang
diterapkan terlebih dahulu. Konsistensi itu baik dalam makna maupun dalam hal nilai
kebenaran.
8.
Kesepakatan dalam Matematika merupakan ikatan yang mengikat untuk menghindari
pembuktian yang berputar-putar baik dalam pembuktian maupun dalam pendefinisian.
Kesepakatan yang mendasar adalah aksioma dan konsep primitive.
9.
Matematika memiliki symbol yang kosong dari arti maksudnya adalah ia akan bermakna
sesuatu bila kita mengaitkannya dengan konteks tertentu. Secara umum, hal ini pula yang
membedakan symbol matematika dengan symbol bukan matematika. Kosongnya arti dari
model-model matematika itu merupakan “kekuatan” matematika, yang dengan sifat tersebut ia
bisa masuk pada berbagai macam bidang kehidupan.
http://sainsmatika.blogspot.com/2012/06/v-behaviorurldefaultvmlo.html
HAKIKAT MATEMATIKA
Sampai saat ini definisi matematika belum ada kesepakatan yang bulat, namun matematika
dapat dikenal melalui karakteristiknya. Karakteristik matematika dapat dipahami melalui
hakekat matematika. A. Ismunanto (2011: 3-6) menyebutkan pendapat beberapa tokoh:
1)
Menurut Kline (1973)
Kline dalam bukunya menyatakan bahwa Matematika bukanlah sebuah pengetahuan yang
tersendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri. Adanya matematika semata-mata untuk
membantu manusia dalam memahami dan menguasai persoalan sosial, ekonomi, dan alam.
Cara atau metode yang digunakan dalam matematika untuk mencari kebenaran adalah metode
deduktif.
2)
James (1976)
Menurut James, “Matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran
dan konsep yang saling berhubungan satu dengan lainnya.”
Dari pendapat para tokoh diatas dapat kita ketahui bahwa matematika adalah ilmu tentang
logika yang konsep-konsep didalamnyasaling berhubungan satu dengan lainnya, serta cara atau
metode yang digunakan dalam matematika untuk mencari kebenaran adalah metode deduktif.
http://elnicovengeance.wordpress.com/2012/10/07/hakikat-matematika/