Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

oleh:

Anang Wibowo, S.Pd

2012, Nop 2014

Email : matikzone@gmail.com

MatikZone’s Series

Blog : www.matikzone.wordpress.com

HP : 085 233 897 897

© Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi materi ini
tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa
mencantumkan sumbernya ya…

Anang Wibowo, S.Pd – 085 233 897 897 – matikzone@gmail.com - www.matikzone.wordpress.com

Persamaan Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

Misalkan:
𝑷 = 𝑷(𝒙𝑷 , 𝒚𝑷 ) = Pusat lingkaran pertama atau 𝑳𝟏
𝑸 = 𝑸(𝒙𝑸 , 𝒚𝑸 ) = Pusat lingkaran pertama atau 𝑳𝟐
𝑹 = Jari-jari 𝑳𝟏
𝒓 = jaari-jari 𝑳𝟐
𝑬 = titik potong garis singgung sekutu dalam
𝑺 = titik potong garis singgung sekutu luar
GARIS SINGGUNG SEKUTU DALAM

A
D
R

r

P

Q
E
C
B

PBE ~ QDE , karena PBE  QDE  900 dan PEB  QED yang berakibat

PE PB R


QE QD r
perbandingan PE : QE = R : r)
BPE  DQE . Diperoleh

atau PE : QE  R : r . (E membagi PQ dengan

 RxQ  rxP RyQ  ryP 

,
R  r 

 R r

Koordinat titik E adalah 𝐸(𝑥𝐸 , 𝑦𝐸 ) = E
GARIS SINGGUNG SEKUTU LUAR
A

D
R
Q

r

S

P
C
B
Anang Wibowo, S.Pd – 085 233 897 897 – matikzone@gmail.com - www.matikzone.wordpress.com

PBS ~ QCS , karena PBS  QCS  900 dan PSB  QSC yang mengakibatkan

PQ  QS PB R
PQ
R
PQ R  r

 
1 


; Rr
BPS  CQS . Diperoleh
QS
QC r
QS
r
QS
r
Titik S adalah perpanjangan garis PQ dengan perbandingan PQ : QS  ( R  r ) : r; R  r ), maka

  R  r  xS  rxP R  r yS  ryP 


,
QxQ , yQ   Q
R  r   r 
 R  r r
diperoleh:
R  r xS  rxP 
 xQ 
RxQ   R  r  xS  rxP
R  r   r
  R  r  xS  RxQ  rxP

dan
 yQ 

xS 

R  r yS  ry P 
R  r   r

RxQ  rxP
R  r

RyQ   R  r yS  ry P

  R  r yS  RyQ  ry P


yS 

RyQ  ry P
R  r

 RxQ  rxP RyQ  ryP 

,


R
r

R
r



Jadi, koordinat titik S adalah S xS , y S   S 

Untuk menentukan persamaan garis singgung sekutunya, ikuti langkah-langkah:

g1

A

T x1, y1 
P

g2

B
Polar

1. Tentukan persamaan garis polarnya
2. Substitusi ke persamaan lingkaran untuk
mendapatkan koordinat titik A dan B.
3. Gunakan persamaan garis singgung melalui
titik pada lingkaran untuk menentukan
persamaan garis singgung sekutunya.
Persamaanya sama dengan persamaan garis
polar.

Lingkaran: (𝑥 − 𝑥𝑃 )2 + (𝑦 − 𝑦𝑃 )2 = 𝑅 2 ,

Persamaan garis polar: (𝑥1 − 𝑥𝑃 )(𝑥 − 𝑥𝑃 ) + (𝑦1 − 𝑦𝑃 )(𝑦 − 𝑦𝑃 ) = 𝑅 2

Lingkaran: x 2  y 2  Ax  By  C  0 ,
𝐴

𝐵

Persamaan garis polar: 𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 + (𝑥1 + 𝑥) + (𝑦1 + 𝑦) + 𝐶 = 0

2

2

Anang Wibowo, S.Pd – 085 233 897 897 – matikzone@gmail.com - www.matikzone.wordpress.com

GARIS SINGGUNG SEKUTU LUAR, jika R = r.
g1
Jika R = r diperoleh gradient garis singgung

𝑚𝑔 = 𝑚𝑃𝑄 =

𝑦𝑄 −𝑦𝑃
𝑥𝑄 −𝑥𝑃

g2

Q
r

Dengan persamaan garis singgung:
P
𝑦 − 𝑦𝑃 = 𝑚𝑔 (𝑥 − 𝑥𝑃 ) ± 𝑅√1 + 𝑚𝑔 2

R= r

atau

𝑦 − 𝑦𝑄 = 𝑚𝑔 (𝑥 − 𝑥𝑄 ) ± 𝑟√1 + 𝑚𝑔 2

GARIS SINGGUNG SEKUTU LUAR, jika R = r dan 𝒙𝑷 = 𝒙𝑸 .

P

R

Persamaan garis singgung sekutu
luarnya adalah:
𝑥 = 𝑥𝑃 + 𝑅 dan 𝑥 = 𝑥𝑃 − 𝑅

Q

DUA LINGKARAN YANG BERSINGGUNGAN

R
P

R

r
E

Q

Bersinggungan Luar

P Q r

S

Bersinggungan Dalam

 RxQ  rxP RyQ  ryP 
 Rx  rxP RyQ  ryP 
 dan S  Q
 adalah titik singgung sekutu dua
E
,
,
R  r 
Rr 
 R r
 R r
lingkaran, sehingga persamaan garis singgung sekutunya adalah:
Anang Wibowo, S.Pd – 085 233 897 897 – matikzone@gmail.com - www.matikzone.wordpress.com

Untuk 2 lingkaran bersinggungan luar:

(𝑥𝐸 − 𝑥𝑃 ) (𝑥 − 𝑥𝑃 ) + (𝑦𝐸 − 𝑦𝑃 ) (𝑦 − 𝑦𝑃 ) = 𝑅 2 or
(𝑥𝐸 − 𝑥𝑄 )(𝑥 − 𝑥𝑄 ) + (𝑦𝐸 − 𝑦𝑄 )(𝑦 − 𝑦𝑄 ) = 𝑟 2

Untuk 2 lingkaran bersinggungan dalam:

(𝑥𝑆 − 𝑥𝑃 ) (𝑥 − 𝑥𝑃 ) + (𝑦𝑆 − 𝑦𝑃 ) (𝑦 − 𝑦𝑃 ) = 𝑅 2
(𝑥𝑆 − 𝑥𝑄 )(𝑥 − 𝑥𝑄 ) + (𝑦𝑆 − 𝑦𝑄 )(𝑦 − 𝑦𝑄 ) = 𝑟 2

or

CONTOH SOAL DENGAN PEMBAHASAN:
Soal 1:
Tentukan persamaan garis singgung sekutu dalam dari L1  x  22   y  32  16 dan

L2  x  122   y  32  4 .

Pembahasan:

3x  4 y  38  0

L1

3x  4 y 14  0

L2

L1  x  22   y  32  16 berpusat di P(2, 3) dan jari-jari R = 4
L2  x  122   y  32  4 berpusat di Q(12, 3) dan jari-jari r = 2
Hubungan dua lingkaran
2
2
PQ  12  2  3  3  100  10

and R  r  PQ
Rr  42  6
R  r  PQ dan

Rr  42  2


Kedua lingkaran saling asing luar, mempunyai 2 garis singgung sekutu dalam.

 4.12  2.2 4.3  2.3 
 52 18 
 26 
Kita peroleh E
,
  E ,
  E , 3 
42 
 42
6 6
 3


Anang Wibowo, S.Pd – 085 233 897 897 – matikzone@gmail.com - www.matikzone.wordpress.com

Cara 1: menggunakan 𝑳𝟏 .

Persamaan garis singgung pada lingkaran 1 dengan gradient m adalah:

y  yP  mx  xP   R 1  m2  y  3  mx  2  4 1  m2

 26 
Garis singgung melalui titik E , 3 , sehingga
 3

 26 
y  3  mx  2  4 1  m 2 
3  3  m  2   4 1  m 2
 3

20

0  m  4 1  m2
3
20
  4 1  m2  m
3
400m 2
 16  16m 2 
9
2
 144  144m  400m 2



256m 2  144



16m 2  9
9
m2 
16
3
m
4




3
26 
y 3  x  
4
3
3
26
y 3  x 

4
4
 3x  4 y  14  0
3
3
26 
Untuk m   
y 3   x  
4
4
3
3
26
y 3   x 

4
4
 3x  4 y  38  0
Untuk m 

3

4

Persamaan garis singgung
sekutu dalamnya adalah:

 g1  3x  4 y  14  0
 g 2  3x  4 y  38  0

Cara 2: menggunakan 𝑳𝟐 .

Persamaan garis singgung pada lingkaran 2 dengan gradient m adalah:

y  yQ  m x  xQ   r 1  m 2  y  3  mx  12  2 1  m 2

 26 
Garis singgung melalui titik E , 3 , sehingga
 3


Anang Wibowo, S.Pd – 085 233 897 897 – matikzone@gmail.com - www.matikzone.wordpress.com

y  3  mx  12  2 1  m 2 






 26

3  3  m  12   2 1  m 2
 3

10
0   m  2 1  m2
3
10
 2 1  m2   m
3
100m 2
2
4  4m 
9
2
36  36m  100m 2
64m 2  36



16m 2  9
9

m2 
16
3

m
4
3
3
26 
Untuk m  
y 3  x  
4
4
3
3
26
y 3  x 

4
4
 3x  4 y  14  0
3
3
26 
Untuk m   
y 3   x  
4
4
3
3
26
y 3   x 

4
4
 3x  4 y  38  0

Persamaan garis singgung
sekutu dalamnya adalah:
 g1  3x  4 y  14  0
 g 2  3x  4 y  38  0

Soal 2:
Tentukan persamaan garis singgung sekutu luar dari L1  x  5   y  6  16 dan
2

2

L2  x  152   y  42  4 .

Pembahasan:

y  5x  23

5x  12 y 149  0

L1
y2

L2

Anang Wibowo, S.Pd – 085 233 897 897 – matikzone@gmail.com - www.matikzone.wordpress.com

L1  x  52   y  62  16 , berpusat di P(5, 6) dan jari-jari R = 4
L2  x  152   y  42  4 , berpusat di Q(15, 4) dan jari-jari r = 2
Hubungan dua lingkaran

PQ  15  52  4  62  100  4  104 

Rr  42  6
R  r  PQ dan R  r  PQ

Rr  42  2

Kedua lingkaran saling asing luar sehingga mempunyai dua garis singgung sekutu luar

 4.15  2.5 4.4  2.6 
 50 4 
Kita dapatkan titik S 
,
  S  ,   S 25, 2
42 
 42
 2 2
Cara 1: menggunakan garais polar pada L1
Persamaan garis polar dari S(25, 2) pada L1 adalah:
(𝑥𝐸 − 𝑥𝑃 ) (𝑥 − 𝑥𝑃 ) + (𝑦𝐸 − 𝑦𝑃 ) (𝑦 − 𝑦𝑃 ) = 𝑅 2

x1  ax  a   y1  b y  b  r 2  25  5x  5  2  6 y  6  16




20 x  100  4 y  24  16  0
20 x  4 y  92  0
y  5x  23

Subtitusi ke L1

x  52   y  62  16 

x  52  5x  292  16

 x 2  10 x  25  25x 2  290 x  841  16  0


26 x 2  300 x  850  0




13x 2  150 x  425  0
13x  85x  5  0
85
x
atau x  5
13


Subtitusi x ke persamaan garis polar.

85
85
425 299 126
 y  5   23 


13
13
13 13 13
 x  5  y  5  5  23  25  23  2
x 

 85 126 
 T1  ,

 13 13 
 T2 5, 2

 85 126 
T1  ,
 dan T2 5, 2 adalah titik singgung dari garis singgungnya, sehingga:
 13 13 

Anang Wibowo, S.Pd – 085 233 897 897 – matikzone@gmail.com - www.matikzone.wordpress.com

 126 
 85 126   85 
 6  y  6  16
T1  ,
    5 x  5  

 13
 13 13   13 
20
x  5  48  y  6  16  0

13
13
20x  5  48 y  6  208  0

20 x  100  48 y  288  208  0

20 x  48 y  596  0

5x  12 y  149  0


T1 5, 2  5  5x  5  2  6 y  6  16

0x  5  4 y  6  16  0

 4 y  24  16  0

 4 y  8

y2
Jadi, persamaan garis singgung sekutu luarnya adalah: y  2

dan 5x  12 y  149  0

Cara 2: menentukan gradien dan L1.
Persamaan garis singgung pada lingkaran 1 dengan gradient m adalah:

y  yP  mx  xP   R 1  m2  y  6  mx  5  4 1  m2

Garis singgung melalui titik S 25, 2 , sehingga

y  6  mx  5  4 1  m 2 

2  6  m25  5  4 1  m 2



 4  20m  4 1  m 2



 1  5m  1  m 2




 1  m 2  5m  1
1  m 2  25m 2  10m  1

 24m 2  10m  0
 m24m  10  0


m  0 atau m  

10
5

24
12

Untuk m  0  y  2  0x  25
 y2 0
y2

5
5
Untuk m   
y  2   x  25
12
12
5
125

y2  x
12
12

12 y  24  5x  125
 5x  12 y  149  0
Jadi, persamaan garis singgung sekutu luarnya adalah: y  2

dan 5x  12 y  149  0

Anang Wibowo, S.Pd – 085 233 897 897 – matikzone@gmail.com - www.matikzone.wordpress.com

Garis Singgung Sekutu 2 Lingkaran

Hubungan 2 Lingkaran

Banyak
Garis
Singgung
D

L

Cara Menentukan Persamaan
Garis Singgung Sekutu Dalam



E
2

PQ > R + r

2

Tentukan titik E
Tentukan persamaan garis
singgung melalui titik di
luar lingkaran.

 RxQ  rxP RyQ  ryP 

,
E
R  r 
 R r

cat:
L1: pusat P , jari-jari R
L2: pusat Q, jari-jari r

PQ = R + r




1

2

 RxQ  rxP RyQ  ryP 

S 
,
R  r 
 R r

yQ  yP
xQ  xP

Jika R = r dan 𝑥𝑃 = 𝑥𝑄 , maka
persamaannya adalah
𝑥 = 𝑥𝑝 ± 𝑅

Tentukan titik E
Tentukan persamaan garis
singgung melalui titik
pada lingkaran

-- Sama dengan atas --

atau

𝐿1 − 𝐿2 = 0

Bersinggungan Luar

| R – r | < PQ < R + r

Tentukan titik S
Tentukan persamaan garis
singgung melalui titik di
luar lingkaran.

m𝑚gs𝑔  mPQ 

Saling Asing Luar

PQ = | R – r |




Jika R = r, gunakan persamaan
garis singgung yang diketahui
gradiennya

S

PQ < | R – r |

Garis Singgung Sekutu Luar

0

2

-

-- Sama dengan atas --

Berpotongan


0

1

-

Tentukan titik S
Tentukan persamaan garis
singgung melalui titik
pada lingkaran

atau

𝐿1 − 𝐿2 = 0

Bersinggungan
Dalam

0

0

-

-

Saling Asing Dalam

Anang Wibowo, S.Pd – 085 233 897 897 – matikzone@gmail.com - www.matikzone.wordpress.com