ALJABAR BOOLEAN DAN GERBANG LOGIKA
II. ALJABAR BOOLEAN DAN GERBANG
LOGIKA
A. PENDAHULUAN ALJABAR BOOLEAN
Ekspresi Boolean
Adalah pernyataan logika dalam bentuk
aljabar Boolean.
B. FUNGSI BOOLEAN
Rumus –2 pada aljabar Boolean
No
AND
OR
(A.B).C = A.(B.C)
(A+B)+C=A+(B+C)
A .B = B .A
A+B=B+A
Hk.Komutatif
3
(A+B).(A+C)=A+(B.C)
(A.B)+(A.C)=A(B+C)
Hk.Distributif
4
A.O = O
A+1= 1
Hk.Identitas
5
A.A = A
A+A=A
Hk.Idempoten
6
A.A’ = O
A+ A’ =1
Hk.Inversi/Negasi
7
(A’)’ = A
(A’)’ = A
Hk.Negasi Ganda
8
A.O= O
A + O = A
Hk.Hubungan Dgn
A .1 = A
A + 1 = 1
Suatu Konstanta
A.(A + B) = A
A + (A.B) = A
1
2
9
KETERANGAN
Hk.Asosiatif
Hk.Absorbsi
B. FUNGSI BOOLEAN
Rumus –2 pada aljabar Boolean
No
Fungsi
1
A.(B+C) = A.B + A.C
2
(A+B).C = A.C + B.C
3
A+(B.C) = (A+B).(A+C)
4
(A.B)+C = (A+C).(B+C)
5
(A+B+C).(A+B+C’) = A+B+C.C’
KETERANGAN
Hk.Distributif
Hukum De Morgan
(A + B)’ = A’ . B’ A + B = (A’ . B’)’
(A . B)’ = A’ + B’ A . B = (A’ + B’)’
CONTOH
1. X + X’ .Y = (X + X’).(X +Y) = X+Y
2. X .(X’+Y) = X.X’ + X.Y = X.Y
3. X.Y+ X’.Z+Y.Z = X.Y + X’.Z + Y.Z.(X+X’)
= X.Y + X’.Z + X.Y.Z + X’.Y.Z
= X.Y.(1+Z) + X’.Z.(1+Y)
= X.Y + X’.Z
C. KANONIKAL DAN BENTUK STANDARD
Adalah menyatakan suatu persamaan dalam
hubungan operasi AND atau OR antar
variabel secara lengkap pada setiap suku
(term). Dan antar suku dihubungkan dengan
operasi OR atau AND.
C. KANONIKAL DAN BENTUK STANDARD
Bentuk STANDARD
SOP (Sum of Product) Term-term AND di OR kan
contoh: AB’C + A’BC’
POS (Product of Sum) Term-term OR di AND kan
contoh: (A+B’+C).(A’+B+C’)
Bentuk KANONIK
Minterm product term yang memiliki variabel
lengkap, komplemen atau tidak komplemen.
Maxterm sum term yang memiliki variabel
lengkap, komplemen atau tidak komplemen.
Bentuk Minterm dan Maxterm
untuk 3 variabel biner
X
Y
Z
Minterm
Maxterm
Term
Nama
Term
Nama
M0
0
0
0
x’y’z’
m0
x+y+z
0
0
1
x’y’z
x+y+z’
0
1
0
x’yz’
m1
0
1
1
x’yz
1
0
0
xy’z’
1
0
1
xy’z
1
1
0
xyz’
1
1
1
xyz
m2
m3
m4
m5
m6
m7
x+y’+z
x+y’+z’
M1
M2
x’+y+z
M3
x’+y+z’
M4
x’+y’+z
M5
x’+y’+z’
M6
M7
M I N T E R M
Adalah suku dalam persamaan yang memiliki
hubungan operasi AND antar variabel secara
lengkap. Dan antar suku dihubungkan dengan OR
Contoh.
Tunjukkan fungsi Boolean F = A + B’C dalam
minterm
Jawab.
Fungsi mempunyai 3 variabel A,B dan C
suku pertama A = A(B+B’) (C+C’)
= ABC+ABC’+AB’C+AB’C’
suku kedua B’C = B’C (A+A’)
= AB’C + A’B’C
Jadi penulisan Minterm untuk F = A + B’C
adalah F = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+A’B’C
= m7 + m6 + m5 + m4 + m1
Atau dapat ditulis dengan notasi
F (ABC) =
(1,4,5,6,7)
Lanjutan …
Dan tabel kebenaran adalah sebagai berikut.
F = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+A’B’C
= m7 + m6 + m5 + m4 + m1
A
B
C
F
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
M A X T E R M
Adalah suku dalam persamaan yang memiliki
hubungan operasi OR antar variabel secara
lengkap. Dan antar suku di hubungkan dengan
operasi AND.
Contoh.
Tunjukkan fungsi Boolean F = XY + X’Z dalam
Maxterm.
Jawab.
Fungsi mempunyai 3 variabel X,Y dan Z
dengan menggunakan Hk.Distributif
F = XY + X’Z = (XY + X’) (XY + Z)
= (X + X’) (Y + X’) (X’ + Y) (X + Z)
= (X’ + Y) (X + Z) (Y + Z)
Lanjutan …….
Untuk suku 1
(X’+Y) = X’+Y + ZZ’ = (X’ + Y + Z) (X’ + Y + Z’)
(X + Z) = X + Z + YY’ = (X + Z + Y) (X + Y’ +
Z)
(Y + Z) = Y + Z + XX’ = (X + Y + Z) (X’ + Y +
Z)
Jadi dapat ditulis
F(XYZ) = (X+Y+Z) (X+Y’+Z) (X’+Y+Z) (X’+Y+Z’)
= M0.M2.M4.M5
Atau ditulis dengan notasi
F (XYZ) = (0,2,4,5)
Lanjutan …
Dan tabel kebenaran adalah sebagai berikut.
A
B
C
F
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
Soal latihan.
Ekspresikan fungsi Boolean tsb dalam bentuk Minterm
dan Maxterm.
F (ABCD) = B’D + A’D + BD
JAWAB:
F (ABCD) = B’D + A’D + BD
III. GERBANG LOGIKA
A. PENDAHULUAN
Gerbang Logika:
adalah piranti yang memiliki keadaan
bertaraf logika. Gerbang logika dapat
merepresentasikan keadaan dan bilangan
biner
B. GERBANG LOGIKA
Terdapat dua keadaan pada gerbang logika, yaitu 0
dan 1. Gerbang logika bekerja dengan
menggunakan tegangan listrik. Tegangan yang
digunakan dalam gerbang logika adalah HIGH (1)
dan LOW (0).
Sistem Digital paling kompleks seperti komputer
disusun dari gerbang logika dasar seperti AND,
OR, NOT dan gerbang logika kombinasi
(turunan) yang disusun dari gerbang logika dasar
seperti NAND, NOR, EXOR, EXNOR
Gerbang AND digunakan untuk menghasilkan
logika 1 bila semua masukan berlogika 1.
Gerbang OR digunakan untuk menghasilkan
logika 1 bila salah satu masukan
berlogika 1
Gerbang NAND digunakan untuk
menghasilkan logika 0 bila semua
masukan berlogika 1.
Gerbang NOR digunakan untuk menghasilkan
logika 0 bila salah satu masukan
berlogika 1
Gerbang NOT adalah gerbang pembalik
(inverter). Output yang dihasilkan adalah
kebalikan dari input yang diberikan
Gerbang AND
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = A . B = A B
Gerbang OR
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = A + B
Gerbang NOT
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = A’
Gerbang NAND
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = ( A . B )’
Gerbang NOR
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = ( A + B )’
Gerbang XOR
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = A.B’ + A’.B
Gerbang XNOR
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = (A+B’) . (A’+B)
Rangkaian Terintegrasi
Rangkaian terintegrasi adalah rangkaian
aplikasi yang terbentuk dari berbagai macam
gerbang logika. Rangkaian terintegrasi dapat
merupakan kombinasi dari satu jenis
gerbang logika atau lebih. Penyederhanaan
rangkaian terintegrasi dapat menggunakan
teorema aljabar Boolean dan peta Karnough
CONTOH.
Buatlah rangkaian dengan Gerbang Logika
untuk aljabar Boolean sbb.
X . ( X’ + Y )
Jawab.
X
Y
X.( X’+Y)
LOGIKA
A. PENDAHULUAN ALJABAR BOOLEAN
Ekspresi Boolean
Adalah pernyataan logika dalam bentuk
aljabar Boolean.
B. FUNGSI BOOLEAN
Rumus –2 pada aljabar Boolean
No
AND
OR
(A.B).C = A.(B.C)
(A+B)+C=A+(B+C)
A .B = B .A
A+B=B+A
Hk.Komutatif
3
(A+B).(A+C)=A+(B.C)
(A.B)+(A.C)=A(B+C)
Hk.Distributif
4
A.O = O
A+1= 1
Hk.Identitas
5
A.A = A
A+A=A
Hk.Idempoten
6
A.A’ = O
A+ A’ =1
Hk.Inversi/Negasi
7
(A’)’ = A
(A’)’ = A
Hk.Negasi Ganda
8
A.O= O
A + O = A
Hk.Hubungan Dgn
A .1 = A
A + 1 = 1
Suatu Konstanta
A.(A + B) = A
A + (A.B) = A
1
2
9
KETERANGAN
Hk.Asosiatif
Hk.Absorbsi
B. FUNGSI BOOLEAN
Rumus –2 pada aljabar Boolean
No
Fungsi
1
A.(B+C) = A.B + A.C
2
(A+B).C = A.C + B.C
3
A+(B.C) = (A+B).(A+C)
4
(A.B)+C = (A+C).(B+C)
5
(A+B+C).(A+B+C’) = A+B+C.C’
KETERANGAN
Hk.Distributif
Hukum De Morgan
(A + B)’ = A’ . B’ A + B = (A’ . B’)’
(A . B)’ = A’ + B’ A . B = (A’ + B’)’
CONTOH
1. X + X’ .Y = (X + X’).(X +Y) = X+Y
2. X .(X’+Y) = X.X’ + X.Y = X.Y
3. X.Y+ X’.Z+Y.Z = X.Y + X’.Z + Y.Z.(X+X’)
= X.Y + X’.Z + X.Y.Z + X’.Y.Z
= X.Y.(1+Z) + X’.Z.(1+Y)
= X.Y + X’.Z
C. KANONIKAL DAN BENTUK STANDARD
Adalah menyatakan suatu persamaan dalam
hubungan operasi AND atau OR antar
variabel secara lengkap pada setiap suku
(term). Dan antar suku dihubungkan dengan
operasi OR atau AND.
C. KANONIKAL DAN BENTUK STANDARD
Bentuk STANDARD
SOP (Sum of Product) Term-term AND di OR kan
contoh: AB’C + A’BC’
POS (Product of Sum) Term-term OR di AND kan
contoh: (A+B’+C).(A’+B+C’)
Bentuk KANONIK
Minterm product term yang memiliki variabel
lengkap, komplemen atau tidak komplemen.
Maxterm sum term yang memiliki variabel
lengkap, komplemen atau tidak komplemen.
Bentuk Minterm dan Maxterm
untuk 3 variabel biner
X
Y
Z
Minterm
Maxterm
Term
Nama
Term
Nama
M0
0
0
0
x’y’z’
m0
x+y+z
0
0
1
x’y’z
x+y+z’
0
1
0
x’yz’
m1
0
1
1
x’yz
1
0
0
xy’z’
1
0
1
xy’z
1
1
0
xyz’
1
1
1
xyz
m2
m3
m4
m5
m6
m7
x+y’+z
x+y’+z’
M1
M2
x’+y+z
M3
x’+y+z’
M4
x’+y’+z
M5
x’+y’+z’
M6
M7
M I N T E R M
Adalah suku dalam persamaan yang memiliki
hubungan operasi AND antar variabel secara
lengkap. Dan antar suku dihubungkan dengan OR
Contoh.
Tunjukkan fungsi Boolean F = A + B’C dalam
minterm
Jawab.
Fungsi mempunyai 3 variabel A,B dan C
suku pertama A = A(B+B’) (C+C’)
= ABC+ABC’+AB’C+AB’C’
suku kedua B’C = B’C (A+A’)
= AB’C + A’B’C
Jadi penulisan Minterm untuk F = A + B’C
adalah F = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+A’B’C
= m7 + m6 + m5 + m4 + m1
Atau dapat ditulis dengan notasi
F (ABC) =
(1,4,5,6,7)
Lanjutan …
Dan tabel kebenaran adalah sebagai berikut.
F = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+A’B’C
= m7 + m6 + m5 + m4 + m1
A
B
C
F
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
M A X T E R M
Adalah suku dalam persamaan yang memiliki
hubungan operasi OR antar variabel secara
lengkap. Dan antar suku di hubungkan dengan
operasi AND.
Contoh.
Tunjukkan fungsi Boolean F = XY + X’Z dalam
Maxterm.
Jawab.
Fungsi mempunyai 3 variabel X,Y dan Z
dengan menggunakan Hk.Distributif
F = XY + X’Z = (XY + X’) (XY + Z)
= (X + X’) (Y + X’) (X’ + Y) (X + Z)
= (X’ + Y) (X + Z) (Y + Z)
Lanjutan …….
Untuk suku 1
(X’+Y) = X’+Y + ZZ’ = (X’ + Y + Z) (X’ + Y + Z’)
(X + Z) = X + Z + YY’ = (X + Z + Y) (X + Y’ +
Z)
(Y + Z) = Y + Z + XX’ = (X + Y + Z) (X’ + Y +
Z)
Jadi dapat ditulis
F(XYZ) = (X+Y+Z) (X+Y’+Z) (X’+Y+Z) (X’+Y+Z’)
= M0.M2.M4.M5
Atau ditulis dengan notasi
F (XYZ) = (0,2,4,5)
Lanjutan …
Dan tabel kebenaran adalah sebagai berikut.
A
B
C
F
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
Soal latihan.
Ekspresikan fungsi Boolean tsb dalam bentuk Minterm
dan Maxterm.
F (ABCD) = B’D + A’D + BD
JAWAB:
F (ABCD) = B’D + A’D + BD
III. GERBANG LOGIKA
A. PENDAHULUAN
Gerbang Logika:
adalah piranti yang memiliki keadaan
bertaraf logika. Gerbang logika dapat
merepresentasikan keadaan dan bilangan
biner
B. GERBANG LOGIKA
Terdapat dua keadaan pada gerbang logika, yaitu 0
dan 1. Gerbang logika bekerja dengan
menggunakan tegangan listrik. Tegangan yang
digunakan dalam gerbang logika adalah HIGH (1)
dan LOW (0).
Sistem Digital paling kompleks seperti komputer
disusun dari gerbang logika dasar seperti AND,
OR, NOT dan gerbang logika kombinasi
(turunan) yang disusun dari gerbang logika dasar
seperti NAND, NOR, EXOR, EXNOR
Gerbang AND digunakan untuk menghasilkan
logika 1 bila semua masukan berlogika 1.
Gerbang OR digunakan untuk menghasilkan
logika 1 bila salah satu masukan
berlogika 1
Gerbang NAND digunakan untuk
menghasilkan logika 0 bila semua
masukan berlogika 1.
Gerbang NOR digunakan untuk menghasilkan
logika 0 bila salah satu masukan
berlogika 1
Gerbang NOT adalah gerbang pembalik
(inverter). Output yang dihasilkan adalah
kebalikan dari input yang diberikan
Gerbang AND
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = A . B = A B
Gerbang OR
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = A + B
Gerbang NOT
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = A’
Gerbang NAND
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = ( A . B )’
Gerbang NOR
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = ( A + B )’
Gerbang XOR
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = A.B’ + A’.B
Gerbang XNOR
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = (A+B’) . (A’+B)
Rangkaian Terintegrasi
Rangkaian terintegrasi adalah rangkaian
aplikasi yang terbentuk dari berbagai macam
gerbang logika. Rangkaian terintegrasi dapat
merupakan kombinasi dari satu jenis
gerbang logika atau lebih. Penyederhanaan
rangkaian terintegrasi dapat menggunakan
teorema aljabar Boolean dan peta Karnough
CONTOH.
Buatlah rangkaian dengan Gerbang Logika
untuk aljabar Boolean sbb.
X . ( X’ + Y )
Jawab.
X
Y
X.( X’+Y)