ANALISIS GETARAN NON LINIER DAN FENOMENA CHAOS PADA SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL DUFFING | Dolu | SMARTek 505 1771 1 PB

(1)

A NA LISIS G ETA RA N NO N LINIER DA N FENO MENA C HA O S PA DA SO LUSI PERSA MA A N DIFERENSIA L DUFFING

Anwa r Do lu* d a n Burha n Ta to ng*

Abstrac t

Duffing Eq ua tio n is mo d e ls vib ra tio n e q ua tio n with stiffne ss no n line a r d e g re e thre e (3). In this stud y b y e va lua tio n o f vib ra tio n c a se no n line a r a nd sp e c ia l c a se line a r vib ra tio n. So lutio n o f d iffe re ntia l e q ua tio n Duffing use s nume ric a l me tho d Rung e – Kutta with so ftwa re a p p lic a tio n MAPLE ve r. 14. Amp litud e tha t e va lua te d fo r c a se ha rd e ning sp ring a nd so fte ning sp ring , whe re g e tting sma lle r lo a d e xc ita tio n a nd e ve r g re a te r d a mp ing va lue the n wid e jump ing mo ve m e nt a re a /unsta b le o n the d e c re a se . At vib ra tio n c a se no n line a r with p he no me no n c ha o s the n with o ve rvie w o f time histo ry ve ry se nsitive to initia l c o nd itio n with sma ll c ha ng e to its initia l c o nd itio n the n will ha p p e n b ig c ha ng e in syste m with time inc re a se . Fo r p ha se p la ne sho w irre g ula r p a th a nd no n sta tio na ry, this c o nd itio n a re se e n a lso with a t ma p p ing Po inc a re tha t sho w ra nd o m a ttra c tio n p a tte rn a nd sho w p a tte rn fra c ta l.

Ke y wo rds : Vib ra tio n No nline a r, Duffing Eq ua tio n, Rung e -Kutta , C ha o s

A b stra k

Pe rsa m a a n Duffing m e rup a ka n m o d e l p e rsa m a a n g e ta ra n d e ng a n ke ka kua n no n linie r d e ra ja t tig a (3). Da la m ka jia n ini d e ng a n m e ninja u ka sus g e ta ra n no n linie r se rta ka sus khusus g e ta ra n linie r. Pe nye le sa ia n p e rsa m a a n d ife re nsia l Duffing m e ng g una ka n m e to d e num e rik Rung e – Kutta d e ng a n a p lika si so ftwa re MAPLE ve r. 14. Am p litud o ya ng d itinja u untuk ka sus p e g a s ya ng d ike ra ska n (ha rd sp ring) d a n p e g a s ya ng d iluna kka n (so ft sp ring) d im a na se m a kin ke c il e ksita si g a ya d a n se m a kin b e sa r nila i re d a m a n m a ka le b a r d a e ra h lo m p a ta n/ tid a k sta b il se m a kin b e rkura ng . Pa d a ka sus g e ta ra n no n linie r d e ng a n fe no m e na c ha o s m a ka d e ng a n tinja ua n se ja ra h wa ktu (time histo ry) sa ng a t se nsitif te rha d a p sya ra t a wa l d e ng a n p e rub a ha n ya ng ke c il te rha d a p sya ra t a wa lnya m a ka a ka n te rja d i p e rub a ha n b e sa r d a la m siste m d a la m ha l ini p e rp ind a ha n x(t) d e ng a n p e rta m b a ha n wa ktu (t). Untuk Bid a ng Fa se (p ha se p la ne) m e nunjuka n m e nunjuka n linta sa n ya ng tid a k b e ra tura n d a n no n sta sio ne r, ha l ini te rliha t jug a d e ng a n p a d a p e m e ta a n Po inc a re (Po inc a re ma p) ya ng m e nunjuka n p o la ta rika n ya ng a c a k (stra ng e a ttra c to r) d a n m e m p e rliha tka n p o la fra kta l.

Ka ta Kunc i :G e ta ra n No n Linie r, Pe rsa ma a n Duffing , Rung e -Kutta , C ha o s.

1. Pe nd a hulua n

Da la m ko nd isi nya ta se b a g a ia n b e sa r siste m struktur b e rsifa t no n linie r sa m p a i ta ra f te rte ntu, d a n d a la m ka sus khusus d ise d e rha na ka n m e nja d i siste m ya ng linie r. Ke ta klinie ra n d a p a t d ise b a b ka n o le h sua tu fa kto r, a ta u ko m b ina si d a ri b e b e ra p a fa kto r-fa kto r

se p e rti ke ka kua n va ria b e l, m a te ria l m a up un d a la m p e rsa m a a n p e ng a tur d e ng a n ke ka kua n d a n re d a m a n no n linie r. Pa d a siste m linie r, se b a b d a n a kib a t b e rhub ung a n se c a ra linie r ; ya itu jika b e b a n d ilip a t d ua ka n m a ka re sp o ns a ka n d ilip a t-d ua ka n.Da la m siste m no nlinie r hub ung a n a nta ra se b a b d a n

(2)

a kib a t ini tid a k se b a nd ing la g i. Misa lnya ya ng te rja d i p a d a te kuk ko lo m , d a n g e ta ra n siste m m e ka nis d e ng a n g a ya p e m ulih (re sto ring) no nlinie r. Pe rsa m a a n se m a c a m ini d ib e d a ka n d a ri p e rsa m a a n linie r p a d a p rinsip sup e rp o sisi ya ng tid a k b e rla ku untuk so lusinya . Pro se d ur a na litik untuk m e nye le sa ika n p e rsa m a a n d ife re nsia l no n linie r re la tif sulit, so lusi e ksa k ya ng d ike ta hui re la tif se d ikit jum la hnya d a n se b a g ia n b e sa r ke m a jua n d a la m p e ng e ta hua n siste m no nlinie r ini a d a la h d a ri p e nd e ka ta n (m e to d e num e rik) d a n so lusi g ra fik d e ng a n m e ng g una ka n a p lika si ko m p ute r.

Pe rsa m a a n no n linie r ya ng m e ng g a m b a rka n o sila to r d e ng a n ke ta klinie ra n p a ng ka t tig a d ise b ut Pe rsa m a a n Duffing (G e o rg Duffing , 1918). Pe rsa m a a n Duffing , d ig una ka n o le h b a nya k p e ne liti se b a g a i sua tu p e nd e ka ta n m o d e l b a nya k siste m fisik, p e rsa m a a n ini m e m p e rliha tka n sa tu ja ng ka ua n sa ng a t lua s d a ri p e rila ku d a la m siste m d ina m ika no n linie r. Se ja k ta hun 1970-a n, se m a kin p o p ule r d e ng a n p e ne litia n d a la m b id a ng c ha o s (ka c a u), ha l ini m ung kin ka re na m e rup a ka n sa la h sa tu d a ri p e rsa m a a n se d e rha na ya ng m e ng g a m b a rka n p e rila ku c ha o s d a ri sua tu siste m g e ta ra n no n linie r.

2. Pe rsa m a a n De fe re nsia l G e ra k

Pe rsa m a a n g e ra ka n d a ri siste m se d e rha na se p e rti g a m b a r (1) d a p a t d irum uska n d e ng a n ke se tim b a ng a n g a ya m e ng g una ka n p rinsip d ’ Ale m b e rt. Aksi d a ri g a ya d a la m a ra h p e rp ind a ha n d e ng a n g a ya ya ng d ite ra p ka n F(t) d a n tig a g a ya p e rla wa na n ya itu g a ya ine rsia FI(t), g a ya re d a m a n FD(t) d a n g a ya

p e g a s FS(t). p e rsa m a a n g e ra ka n

te rse b ut d a la m b e ntuk ke se tim b a ng a n g a ya a d a la h:

( )

I D S

F (t)+F (t) F (t)+ =F t ...(1)

Untuk g a ya Ine rsia

F (t)

=

mx

&&

, g a ya re d a m a n

F (t)

=

cx

&

d a n g a ya p e g a s

F (t)

=

kx

, ke m ud ia n d isub titusi ke Pe rs. (1), hing g a d ip e ro le h p e rsa m a a n d ife re nsia l ya ng m e nya ta ka n siste m g e ta ra n linie r ya itu:

_mx

&&

+ + =

_{cx kx}

&

_{F t}

( )

...(2) Untuk sim b o l 2 2

x

=

d x dt

&&

d a n

_x

&

=

_{dx dt}

, d a la m b e ntuk no n d im e nsio na l p e rs. (1) m e nja d i:

_&&

_x

+ ζ + α =

_{2 x}

_&

_x

_{F t}

( )

...(3)

(a ) ko m p o ne n d a sa r (b ) ke se tim b a ng a n g a ya

(3)

Se d a ng untuk Pe rsa m a a n d ife re nsia l g e ta ra n no n linie r d e ng a n re d a m a n line a r d a n ke ka kua n no n-linie r d ise b ut p e rsa m a a n Duffing (Duffing ’ s

e q ua tio n):

( )

x

+ ζ +α ±β =

2 x

x

F cos

Ω

t

&&

&

...(4)

Untuk ta nd a

±

m e nya ta ka n p e g a s ya ng d ike ra ska n (ha rd sp ring) d a n p e g a s ya ng d iluna kka n (so ft sp ring). Se d a ng ka n p e rsa m a a n g e ra ka n d e ng a n re d a m a n no nlinie r ya ng d ike na l se b a g a i p e rsa m a a n Va n d e r Po l:

_x

_&&

− μ

_{x (1 x )}

_&

−

+α =

_x

₀

_...(5)

2.1 So lusi Pe rsa m a a n Dife re nsia l G e ra k De ng a n p e nye le sa ia n la ng sung ya itu untuk so lusi ha rm o nis ko nd isi te ta p

(ste a d y-sta te) d a ri p e g a s ya ng

d ike ra ska n (ha rd sp ring) se sua i d e ng a n p e rs. (4):

x

=

X cos

(

Ω −θ

t

)

...(6) De ng a n m e nye le sa ika n p e rs.(6) untuk turuna n p e rta m a

(

dx dt

)

d a n ke d ua

(

2 2

)

d x dt se rta sub titusi ke p e rsa m a a n (4)

d a n m e nye le sa ika nnya d a la m fung si a m p litud o (X), m a ka d ip e ro le h p e rsa m a a n no n linie r b e rikut:

2 2

2 2 2 2

F X 3 4 X 4 =

⎡ _{ζ Ω + Ω − α − β}⎛ ⎞ ⎤

⎢ ⎜_⎝ ⎟_⎠ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ...(7)

De ng a n no rm a lisa si m a ka d ip e ro le h:

2 2 2 2 2

, , A X , f F

Ω ζ β β

ω = ξ = =_α =_α

α α

2 2

2 2 2 2

f A

4 1 A

⎡ _⎛ _⎞ ⎤

ξ ω + ω − −

⎢ ⎜_⎝ ⎟_⎠ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ...(8)

Untuk kurva tula ng p ung g ung

(b a c kb o ne c urve) p a d a p e g a s ya ng

d ike ra ska n (ha rd sp ring) ya ng d id e finisika n o le h p e rsa m a a n b e rikut:

2 3 2

1 A

ω = + ...(9)

Pa d a ka sus p e g a s ya ng d iluna kka n (so ft

sp ring) d e ng a n

α >

0

d a n _{β <}₀ d a ri

p e rsa m a a n (4), m a ka a m p litud o no rm a lisa si se sua i p e rs (8) d ip e ro le h:

2 2

2 2 2 2

f A

4 1 A

⎡ _⎛ _⎞ ⎤

ξ ω + ω − +

⎢ ⎜_⎝ ⎟_⎠ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦...(10)

Dim a na :

2 2 2 2

A = −βX , f = − β F

α α

Untuk kurva tula ng p ung g ung

(b a c kb o ne c urve) p a d a p e g a s ya ng

d iluna kka n (so ft sp ring) ya ng d id e finisika n o le h p e rsa m a a n b e rikut:

3

1 A

4 ω = −

...(11) 2.2 Re sp o n Fre kue nsi

• G e ja la lo mp a ta n

Da la m ka sus ini se b a g a i ko nse kwe nsi so lusi p e rsa m a a n (8 & 10), d ip e ro le h b a hwa a m p litud o A m e ng a la m i lo m p a ta n d isko ntinu ya ng m e nd a d a k d i d e ka t re so na nsi. G e ja la lo mp a ta n

ini d a p a t d ije la ska n se b a g a i b e rikut, untuk p e g a s ya ng d iluna kka n (so ft

sp ring) d e ng a n b e rta m b a hnya

fre kue nsi e ksita si, m a ka a m p litud o b e rta m b a h hing g a titik ‘ a ’ d a la m G a m b a r 2a te rc a p a i. Am p litud o tib a -tib a m e lo m p a t ke sua tu nila i ya ng le b ih ting g i ya ng d ita nd a i o le h titik ‘b ’ ,

d a n m e nurun se p a nja ng kurva ke ka na n. Da la m m e ng ura ng i fre kue nsi

(4)

d a ri sua tu titik ‘c ’, a m p litud o a ka n b e rta m b a h m e la lui titik ‘b ’ m e nuju titik

‘d ’ , d a n tib a -tib a turun ke sua tu nila i

ya ng le b ih ke c il ‘e ’ . Da e ra h ya ng d ia rsir d a la m g a m b a ra n a m p litud o fre kue nsi a d a la h tidak stabil ; lua s ke tid a ksta b ila n te rg a ntung p a d a fa kto r-fa kto r se p e rti jum la h re d a m a n ya ng a d a , la ju p e rub a ha n fre kue nsi ra ng sa ng a n d a n la in-la in. Untuk p e g a s ya ng d ike ra ska n se b a g a i g a nti p e g a s ya ng d iluna kka n, m a ka d a p a t d ig una ka n a na lisis ya ng sa m a d a n ha silnya a d a la h se b ua h kurva ya ng je nis-nya se p e rti te rliha t d a la m G a m b a r 2b .

(a ) Pe g a s Luna k

(b ) Pe g a s ke ra s

G a m b a r 2. Ka ra kte ristik Pe g a s Luna k

(So ft Sp ring) d a n Pe g a s

Ke ra s (Ha rd Sp ring)

• Pe ng a ruh re d a m a n

Da la m ka sus ta np a re d a m a n kurva a m p litud o fre kwe nsi m e nd e ka ti kurva tula ng p ung g ung (b a c kb o ne c urve) se c a ra a sim p to tis. Ha l ini jug a te rja d i d a la m ka sus line a r d im a na kurva tula ng p ung g ung a d a la h g a ris ve rtika l p a d a

ω

/

ω

=

1

. De ng a n jum la h re d a m a n ya ng ke c il, m a ka sifa t siste m tid a k b e rb e d a b a nya k d e ng a n siste m ta np a re d a m a n. Ba g ia n a ta s kurva tid a k a ka n m e nd e ka ti kurva tula ng p ung g ung se c a ra a sim p to tis te ta p i a ka n m e m o to ng kurva ko ntinu. G e ja la lo m p a ta n p un te rja d i d a la m ka sus ini te ta p i re d a m a n p a d a um um nya c e nd e rung untuk m e ng ura ng i ukura n lua s d a e ra h ya ng tid a k sta b il.

3. Pe rila ku Siste m Dina m is

Pa d a siste m d ina m is d ip e rluka n sua tu d ia g no sa ka re na a d a nya o sila si ya ng ta k d ike he nd a ki d a la m siste m fisik te rse b ut. Ke m a m p ua n untuk m e ng kla sifika sika n sifa t a la m i o sila si b isa m e nye d ia ka n sua tu p e tunjuk hing g a b a g a im a na untuk m e ng e nd a lika nnya . Se b a g a i c o nto h, jika siste m a d a la h linie r, o sila si p e rio d ik ya ng b e sa r m ung kin sa ja d ila c a k p a d a e fe k re so na nsi. Jika siste m a d a la h no nlinie r, sa tu siklus b a ta s m ung kin sa ja sum b e r g e ta ra n p e rio d ik, ya ng p a d a g ilira nnya d a p a t d ila c a k p a d a b e b e ra p a ke tid a ksta b ila n d ina m is d a la m siste m .

Da la m siste m d ina m is linie r m a up un no n linie r m a sing m a sing m e m p unya i ka ra kte ristik inp ut – o utp ut ya ng b e rb e d a -b e d a . Pa d a siste m linie r d e ng a n inp ut p e rio d ik a ka n m e ng ha silka n o utp ut p e rio d ik, m a up un q ua si p e rio d ik, se d a ng ka n p a d a siste m no n linie r d e ng a n inp ut p e rio d ik a ka n m e ng ha silka n o utp ut p e rio d ik, q ua si p e rio d ik, sub ha rm o nic d a n c ha o tic .

(5)

G a m b a r 3. Inp ut – o utp ut siste m line a r d a n no nlinie r

3.1. Pe rila ku C ha o tic

Pa d a siste m no n linie r, d e ng a n o utp ut g e ja la c ha o tic m e rup a ka n b id a ng ya ng b a nya k d ika ji sa a t ini (sta te

o f the a rt). C ha o s a d a la h sua tu

fe no m e na d ina m is. Pro b le m c ha o s p e rta m a ka li d ip e la ja ri o le h H. Po inc a re (1854 – 1912). C o nto h ya ng te rke na l a d a la h p e rila ku c ua c a d a ri E. Lo re nz d e ng a n e fe k kup u-kup u (b utte rfly

e ffe c t), d e ng a n ko nse kwe nsi

p e ne m ua nnya “d ua ke a d a a n ya ng jumla h p e rb e d a a nnya tid a k sig nifika n p a d a sa a t a wa l a ka n b e re vo lusi me nja d i d ua ke a d a a n ya ng sa ng a t b e sa r p e rb e d a a nnya d iwa ktu ya ng

a ka n d a ta ng” . Ue d a m e ng g a m b a rka n

fe no m e na c ha o tic d a la m siste m d ina m is d ia tur o le h p e rsa m a a n Duffing p a d a a khir ta hun1970-a n (Ue d a , 1979). Pe ne litia n ino va tif m a sa la h re so na nsi sub ha rm o nic d a n g e ra ka n a c a k (c ha o s) d a ri struktur le p a s p a nta i (o ffsho re ) d ite rb itka n o le h Tho m p so n d a n Ste wa rt (1986), se rta ka jia n d a ri Pa tric k d e Le e uw (1989).

Da la m ra ng ka untuk id e ntifika si g e ra ka n no np e rio d ik m a up un g e ra ka n c ha o tic (c ha o tic mo tio ns) , b e rikut b e b e ra p a la ng ka h a nta ra la in :

(a ) Se ja ra h wa ktu (time histo ry) d a ri siste m b e rup a p e rp ind a ha n, ke c e p a ta n & p e rc e p a ta n.

(b ) Se ja ra h b id a ng fa se (p ha se p la ne

histo ry).

(c ) Pe m e ta a n Po inc a re (Po inc a re ma p). (d ) Me nc a ri p e nc a b a ng a n

(b ifurc a tio ns) d a n rute ke a ra h

c ha o tic (ro ute s to c ha o s).

3.2 Bid a ng Fa se

Da la m siste m o to no m i wa ktu ‘ t’ tid a k m unc ul se c a ra e ksp lisit d a la m p e rsa m a a n d ife re nsia l g e ra k. Ja d i ha nya d ife re nsia l d t ya ng m unc ul d a la m p e rsa m a a n te rse b ut. Sua tu p e rsa m a a n d ife re nsia l g e ra k se b a g a i b e rikut:

x

&&

+

f x, x

( )

&

=

0

………….……(12) Dim a na f(x,x’ )d a p a t d ia ng g a p sua tu fung si no nlinie r x d a n x’ . Da la m Bid a ng Fa se p e rsa m a a n te rse b ut d ia ta s d a p a t d inya ta ka n d a la m d ua p e rsa m a a o rd e p e rta m a b e rikut:

_{( )}

x

y

x

f x, y

=

= = −

&

&&

...(13)

Jika x d a n y a d a la h ko o rd ina t ka rte sia n, m a ka b id a ng xy d ise b ut b id a ng fa se

(p ha se p la ne). Ke a d a a n sua tu siste m

d id e finisika n o le h ko o rd ina t x d a n y = x’ , ya ng m e ng g a m b a rka n sua tu titik p a d a

(6)

b id a ng fa se , jika ke a d a a n b e rub a h, m a ka titik p a d a b id a ng fa se a ka n b e rg e ra k d a n a ka n m e ng ha silka n sua tu kurva ya ng d ise b ut linta sa n.

4. Me to d e Num e rik Rung e – Kutta

Pe nye le sa ia n p e rsa m a a n (4) d ig una ka n m e to d e Rung r – Kutta . Da la m m e to d e ini p e rsa m a a n d ife re nsia l o rd e d ua m ula -m ula d ire d uksi m e nja d i d ua p e rsa m a a n o rd e p e rta m a . Da ri p e rsa m a a n o rd e d ua b e rikut d e ng a n 1 d e ra ja t ke b e b a sa n se sua i p e rs. (4), ya ng d a p a t d itulis se b a g a i b e rikut:

( )

x=⎡_⎣Fcos Ω − ζ −α −βt 2 x x x ⎤_⎦

&& & ....(14)

De ng a n m e ng a m b il

x

&

=

y

, p e rsa m a a n te rse b ut d ire d uksi m e nja d i d ua p e rsa m a a n o rd e p e rta m a :

x

y

x

f (x, y, t)

=

= =

&

&&

...(15)

x d a n y d ise kita r xi d a n yi d a p a t

d inya ta ka n d a la m d e re t Ta ylo r. De ng a n m e ng a m b il p e rta m b a ha n wa ktu h = Δt

2 2 i 2 i i 2 2 i 2 i i

dx d x h

x x h ...

dt dt 2

dy d y h

y y h ...

dt dt 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = +_{⎜ ⎟} +_⎜ _⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = +_{⎜ ⎟} +_⎜ _⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ...(16)

Turuna n p e rta m a d a p a t d ig a nti d e ng a n ke m iring a n (slo p e ) ra ta -ra ta d a n m e ng a b a ika n turuna n d e ng a n o rd e le b ih ting g i.

2 2 i 2 i i 2 2 i 2 i i

dx

d x

h

x

h

...

dt

2 dy

d y

h

y

h

...

dt

2 ⎛

⎞

⎛ ⎞

= +

_{⎜ ⎟}

+

_⎜

_⎟

+

⎝ ⎠

⎝

⎠

⎛

⎞

⎛ ⎞

= +

_{⎜ ⎟}

+

_⎜

_⎟

+

⎝ ⎠

⎝

⎠

...(17)

Bila d ig una ka n a tura n Sim p so n, m a ka ke m iring a n ra ta -ra ta d a la m se la ng h m e nja d i:

i rata rata ti ti h/2 ti h

dy

1 dy

4 dt

₋

6 dt

₊

dt

₊

⎡

⎤

⎛ ⎞

₌

⎛ ⎞

₊

⎛ ⎞

₊

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎢

⎜ ⎟

⎥

⎝ ⎠

⎣

⎝ ⎠

⎦

...(18)

Be sa ra n-b e sa ra n te rse b ut se la njutnya d ig una ka n d a la m fo rm ula p e ng ula ng a n (ite ra si) b e rikut:

[

]

[

]

i 1 i 1 2 3 4

x x Y 2 Y 2 Y Y

6 h

y y F 2 F 2 F F

6 + + = + + + + = + + + + ...(19)

Untuk a p lika si m e to d e num e rik Rung e -Kutta m e ng g una ka n so ftwa re MATLAB ya itu d e ng a n ko d e o d e 45 d a n MAPLE d e ng a n ko d e rkf45. Da la m ka jia n ini d ig una ka n so ftwa re MAPLE.

Ta b e l 1. La ng ka h p e rhitung a n Me to d e Rung e – Kutta

t x y=x& f= =y& &&x

1 i

2 i 2

3 i 2

4 i

T t T t T t

T t h

= = + = + = + 1 i h

2 i 1 2

3 i 2 2

4 i 3

X x

X x Y

X x Y h

= = + = + = + 1 i h

2 i 1 2

3 i 2 2

4 i 3

Y y

Y y F

Y y F h

= = + = + = +

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

F f (T , X , Y ) F f (T , X , Y ) F f (T , X , Y ) F f (T , X , Y )

= = = =

(7)

5. Stud i Ka sus

5.1. Am p litud o d a n G e ja la Lo m p a ta n Da ri p e rs. (8) d ise le sa ika n a ka r d a ri p e rsa m a a n no n linie r ya ng m e ng ha silka n 3 a ka r p e rsa m a a n (g a m b a r 4 untuk

ξ

= 0.1 d a n f = 0.75). Kurva re sp o n fre kwe nsi p a d a g a m b a r 5 d e ng a n m e ng a m b il nila i

ξ

te ta p (

ξ

= 0,1) d a n va ria si f (0.2 , 0.3, 0.5, 0.75).

Be rd a sa rka n g a m b a r 4 d a n 5, kurva re sp o ns fre kue nsi m e m p unya i ke m iring a n (ta ng e n) ve rtika l d i titik U d a n L : titik ini a d a la h titik lo m p a ta n

(jum p p o ints) . Ba g ia n d a ri kurva re sp o ns

fre kue nsi a nta ra titik lo m p a ta n a d a la h

tid a k sta b il. Jika fre kue nsi d a ri e ksita si a d a la h se c a ra g ra d ua l d iting ka tka n d a ri sua tu nila i re nd a h, ke m ud ia n d i titik U (titik m e lo m p a t ke b a wa h), lo m p a ta n re sp o n d a ri re so na nsi ke c a b a ng no n re so na nsi m e ng a la m i sa tu lo m p a ta n a ta u p e nc a b a ng a n d ua titik-p e la na

(sa d d le -no d e b ifurc a tio n).

Pa d a ka sus d e ng a n fre kue nsi a wa l ya ng ting g i, d e ng a n fre kue nsi d a ri e ksita si a d a la h se c a ra g ra d ua l d ikura ng i, m a ka lo m p a ta n a m p litud o ke re so na nsi d i titik lo m p a ta n le b ih re nd a h L (titik m e lo m p a t ke a ta s). Se te la h sa tu lo m p a ta n te rja d i, siste m m e m b utuhka n le b ih b a nya k wa ktu untuk m e nuju ke p o sisi te ta p (ste a d y sta te). Wa ktu p e nye le sa ia n te rg a ntung p a d a ting ka t e ksita si fre kue nsi d a n b e sa ra n re d a m a n

(d a m p ing). Ha l itu d e ng a n je la s d iliha t

b a hwa le b a r d a ri d a e ra h lo m p a ta n b e rkura ng d e ng a n p e ning ka ta n re d a m a n (g a m b a r 6). De ng a n se jum la h va ria si f (0.2 , 0.3, 0.5, 0.75) te rse b ut m a ka d a ri g a m b a r 5 te rse b ut te rliha t b a hwa so lusi tid a k sta b il a d a la h d a e ra h ya ng d ia rsir, se d a ng ka n g a ris te ng a h a d a la h kurva tula ng p ung g ung

(b a c kb o ne c urve), ya ng m e nunjuka n

ke te rg a ntung a n d a ri fre kwe nsi a la m i no nlinie r te rha d a p a m p litud o d a ri g e ra ka n.

G a m b a r 4. Re sp o ns Fre kwe nsi untuk

ξ

= 0.1, f = 0.75 Aka r 1

Aka r 2

Aka r 3

U

L

(8)

G a m b a r 5. Re sp o ns Fre kwe nsi untuk ξ = 0.1, f = 0.2 , 0.3, 0.5, 0.75

G a m b a r 6. Re sp o ns Fre kw e nsi (Ha rd Sp ring) untuk f= 1, d a n va ria si

ξ

= 0.05 , 0.15, 0.25, 0.35

Tid a k sta b il U

f = 0.20 f = 0.30 f = 0.50 f = 0.75

ξ

= 0.35

ξ

= 0.25

ξ

= 0.15

(9)

G a m b a r 7. Re sp o ns Fre kwe nsi (so ft sp ring) untuk f = 0.2,

ξ

= 0.1 , 0.2, 0.25, 0.35

G a m b a r 8. Se ja ra h Wa ktu (ka sus a ). )

Da ri g a m b a r 5 d a n 6 d a p a t d iliha t, b a hw a d e ng a n a d a nya va ria si e ksita si g a ya (f) d a n va ria si re d a m a n (

ξ

) ya ng m a sing – m a sing d a p a t d ije la ska n se b a g a i b e rikut ; d e ng a n m e nurunnya nila i f m a ka le b a r d a e ra h lo m p a ta n (d a e ra h tid a k sta b il) b e rkura ng d a n jug a se m a kin b e sa r nila i

ξ

m a ka le b a r d a e ra h lo m p a ta n (d a e ra h tid a k sta b il) b e rkura ng . Untuk ka sus p e g a s ya ng d iluna kka n (so ft

sp ring) d e ng a n so lusi p e rsa m a a n (10)

m a ka p e rila kunya sa m a d e ng a n ka sus p e g a s ya ng d ike ra ska n (ha rd sp ring) ha nya b e rb e d a a ra h kurva re sp o n fre kwe nsinya (g a m b a r 7).

5.2. Se ja ra h w a ktu d a n Bid a ng Fa se

Se sua i d e ng a n p e rsa m a a n (4) d e ng a n m e ng ka ji b e b e ra p a ko nd isi ya itu:

ξ

= 0.10

ξ

= 0.20

ξ

= 0.25

(10)

a ). G e ta ra n linie r d e ng a n p a ra m e te r se b a g a i b e rikut :

( )

0, 025 ; 1 ; 0 ; F 5, 50 ; 1, 00 x 0 0 ; x 0 0

ζ = α = β = = Ω =

= & =

b ). G e ta ra n no n linie r d e ng a n p a ra m e te r se b a g a i b e rikut:

( )

1 2

0, 025 ; 1; 1; F 5, 50 ; 1, 00 x 0 0 ; x 0 0, 01 ; x 0 0

ζ = α = − β = = Ω =

= = & =

m e nja d i x2(0) = 0.01, m a ka ke d ua siste m

te rse b ut (d a la m ha l ini p e rp ind a ha n) te rja d i p e rb e d a a n ya ng b e sa r d e ng a n b e rta m b a hnya wa ktu (g a m b a r 9).

G a m b a r 9. Se ja ra h Wa ktu (ka sus b ). )

(11)

G a m b a r 11. Bid a ng Fa se (ka sus b ). )

G a m b a r 12. Pe m e ta a n Po inc a re (ka sus a ). )

Untuk Bid a ng Fa se (p ha se p la ne) d e ng a n hub ung a n p e rp ind a ha n d a n ke c e p a ta n, m a ka p a d a ka sus (a ) g e ra ka n siste m a ka n m e nc a p a i sta sio ne r (d itunjuka n d e ng a n linta sa n ya ng te ra tur d a n ko nve rg e nsi d i te p i lua r

ling ka ra n p a d a g a m b a r 10), sa ng a t b e rb e d a d e ng a n ko nd isi no n linie r (ka sus b ) m a ka Bid a ng Fa se nya m e m p unya i linta sa n ya ng tid a k te ra tur d a n tid a k sta sio ne r (g a m b a r 11).

x1=0.00

(12)

Be rd a sa rka n Bid a ng Fa se (g a m b a r 11 jug a te rliha t d e ng a n p e rub a ha n ya ng ke c il te rha d a p ko nd isi a wa l x1(0) = 0

m e nja d i x2(0) = 0.01, m a ka ke d ua siste m

te rse b ut (d a la m ha l ini linta sa n) te rja d i p e rb e d a a n ya ng b e sa r d e ng a n b e rta m b a hnya wa ktu.

5.3. Pe m e ta a n Po inc a re d a n Bifurka si

(stra ng e a ttra c to r / a ttra c to r c ha o tic).

Po la ini jug a d ike na l p o la fra kta l (fra c ta l) d im a na sua tu b a g ia n lo ka l jug a

m e ng g a m b a rka n b a g ia n g lo b a lnya (g a m b a r 13).

Untuk m e ninja u krite ria b ifurka si, b e rd a sa rka n ka sus no n linie r (ka sus b ), se sua i d e ng a n p a ra m e te r se b e lum nya ya itu :

( )

0,025 ; 1 ; 1 ; 1,00 ; x 0 0 ; x 0 0

ζ= α=− β= Ω= = & =

Se d a ng ka n untuk nila i F d ija d ika n va ria b e l. De ng a n m e ng hitung nila i r se b a g a i fung si F {r=f(F)}, m a ka d a p a t d ip lo t se sua i d e ng a n g a m b a r (14). Da ri g a m b a r te rse b ut d a p a t d iliha t se b a g a i c o nto h, b a hwa untuk nila i F b e rkisa r a nta ra 0.5 – 2.0 d a n 3.5 – 4.0 te rm a suk d a e ra h sta b il d e ng a n p e rio d e te rte ntu, se d a ng ka n F b e rkisa r a nta ra 2.5 – 3.0 , 5.0 – 5.5, 5.9 – 6.3 te rm a suk d a la m d a e ra h c ha o tic .

(13)

G a m b a r 14. Po la Pe nc a b a ng a n (b ifurc a tio ns) p a d a ka sus no n linie r

6. Ke sim p ula n

a . Am p litud o p a d a siste m no n linie r m e ng a la m i fe no m e na lo m p a ta n d e ng a n le b a r d a e ra h lo m p a ta n/ tid a k sta b il se m a kin b e rkura ng d e ng a n se m a kin ke c il g a ya e ksita si (f) d a n se m a kin b e sa r nila i re d a m a n (

ξ

b . Pe rila ku c ha o tic m e rup a ka n siste m d e ng a n ke te rg a ntung a n se nsitif te rha d a p sya ra t a wa l, d im a na p e rub a ha n ke c il te rha d a p sya ra t a wa l a ka n b e rp e ng a ruh b e sa r te rha d a p siste m d e ng a n b e rta m b a hnya wa ktu, ha l ini te rliha t p a d a riwa ya t wa ktu m a up un rua ng fa se .

c . Da ri d ia g ra m b ifurka si, d e ng a n F va ria b e l te rliha t d a e ra h

p e nc a b a ng a n ya ng m e ng g a m b a rka n p e rio d e te rte ntu

a ta up un d a e ra h c ha o s.

d . Pe rsa m a a n Duffing m e ng g a m b a rka n siste m d e te rm inistik ya ng te p a t d a n d a p a t m e ne ntuka n p e rila ku ja ng ka p a nja ng sua tu siste m ka c a u

(c ha o tic) jika kita m e ng e ta hui sya ra t

a wa l d e ng a n te p a t.

7. Da fta r Pusta ka

Tho m p so n, J.M.T. a nd Ste wa rt, H. B. (1986), No nline a r Dyna mic s a nd C ha o s G e o me tric a l Me tho d s o r

Eng ine e rs a nd Sc ie ntists, Jo hn

Wile y & So ns Ne w Yo rk.

Ue d a , Y. (1979), “ Ra nd o m ly tra nsitio na l p he no m e na in the syste m g o ve rne d b y Duffing ’ s e q ua tio n” , Jo urna l o f Sta tistic a l

Physic s, Vo l. 20, No . 2, p p

.181-196.

Fra nc is G . Mo o n, C ha o tic Vib ra tio n, Jo hn wile y & So ns, 1987, Ne w Yo rk.

Zia ud d in Za rd a r, Iwo na Ab ra m s, C ha o s

fo r Be g inne rs, Ic o n Bro o ks,

C a m b rid g e , Ing g ris, 1998.

Sta nle y J. Fa rlo w, Diffe re ntia l e q ua tio n, Mc G ra w Hill 1984

Anil K. C ho p ra , Dyna mic s Struc ture, Pre ntic e Ha ll, 1995.

Fa rza d K. Na e im , Se ismic d e sig n

Ha nd b o o k.

Are a c ha o tic

(14)

Shuic hi Asa ya m a , Ma sa to Aiza wa , (2000), Re sp o nse o f Ba se Iso la te d Struc ture in C ha o tic Dyna m ic Syste m Und e r Ea rthq ua ke Mo tio n with La rg e

Amp litud e.

J. Awre jc e wic z · V. A. Krysko , (2008),

C ha o s in Struc tura l Me c ha nic s,

Sp ring e r-Ve rla g Be rlin He id e lb e rg

Pa ul S Ad d iso n, (1997), Fra c ta ls a nd

C ha o s An Illustra te d C o urse, The

Institute o f Physic s, Lo nd o n Ste p he n Lync h, (2010), Dyna m ic a l

Syste ms with Ap p lic a tio ns using

Ma p le, Sp ring e r Ve rla g .

Pa tric k d e Le e uw, (1989), The Duffing Syste m Ap p lie d To Ja c ke t Typ e

O ffsho re Struc ture s.

Ab d e lha k Fa hsi, Mo ha m e d Be lha q , Fa o uzi La kra d , (2009),

Sup p re ssio n o f hyste re sis in a fo rc e d va n d e r Po l–Duffing

o sc illa to r, C o m m un No nline a r

Sc i Num e r Sim ula t 14 (2009) 1609–1616.

He nk Bro e r & Flo ris Ta ke ns, (2011),

Dyna mic a l Syste ms a nd C ha o s,

Sp ring e r Sc ie nc e +Busine ss Me d ia , Ne the rla nd s

Visa ra th In , Pa tric k Lo ng hini & Anto nio Pa la c io s, (2009)Ap p lic a tio ns o f No nline a r Dyna m ic s Mo d e l a nd De sig n o f C o m p le x Syste m s,

Sp ring e r-Ve rla g Be rlin He id e lb e rg

Ali H. Na yfe h & P. Fra nk Pa i, (2004), Line a r d a n No nline a r Struc tura l Me c ha nic s, Jo hn Wile y & So ns. USA

Muthukrishna n Sa thya m o o rthy, (1998), No nline a r Ana lysis o f Struc ture s, C RC Pre ss LLC , USA.

(1)

G a m b a r 7. Re sp o ns Fre kwe nsi (so ft sp ring) untuk f = 0.2,

ξ

= 0.1 , 0.2, 0.25, 0.35

G a m b a r 8. Se ja ra h Wa ktu (ka sus a ). )

Da ri g a m b a r 5 d a n 6 d a p a t d iliha t, b a hw a d e ng a n a d a nya va ria si e ksita si g a ya (f) d a n va ria si re d a m a n (

ξ

m a ka le b a r d a e ra h lo m p a ta n (d a e ra h tid a k sta b il) b e rkura ng . Untuk ka sus p e g a s ya ng d iluna kka n (so ft

sp ring) d e ng a n so lusi p e rsa m a a n (10) m a ka p e rila kunya sa m a d e ng a n ka sus p e g a s ya ng d ike ra ska n (ha rd sp ring) ha nya b e rb e d a a ra h kurva re sp o n fre kwe nsinya (g a m b a r 7).

5.2. Se ja ra h w a ktu d a n Bid a ng Fa se

Se sua i d e ng a n p e rsa m a a n (4) d e ng a n m e ng ka ji b e b e ra p a ko nd isi ya itu:

ξ

= 0.10

ξ

= 0.20

ξ

= 0.25

(2)

a ). G e ta ra n linie r d e ng a n p a ra m e te r se b a g a i b e rikut :

( )

0, 025 ; 1 ; 0 ; F 5, 50 ; 1, 00

x 0 0 ; x 0 0

ζ = α = β = = Ω =

= & =

b ). G e ta ra n no n linie r d e ng a n p a ra m e te r se b a g a i b e rikut:

( )

1 2

0, 025 ; 1; 1; F 5, 50 ; 1, 00

x 0 0 ; x 0 0, 01 ; x 0 0

ζ = α = − β = = Ω =

= = & =

Pa d a ka sus linie r (ka sus a ), m a ka re sp o ns p e rp ind a ha n te rha d a p wa ktu te rliha t d e ng a n p o la p e rula ng a n se c a ra p e rio d ik (g a m b a r 8). Se d a ng ka n p a d a ka sus no n linie r (ka sus b ) d e ng a n p o la p e rp ind a ha n ya ng a c a k, d a n jug a d a la m ka sus ini d e ng a n se d ikit p e rub a ha n p a d a ko nd isi a wa l x1(0) = 0 m e nja d i x2(0) = 0.01, m a ka ke d ua siste m te rse b ut (d a la m ha l ini p e rp ind a ha n) te rja d i p e rb e d a a n ya ng b e sa r d e ng a n b e rta m b a hnya wa ktu (g a m b a r 9).

G a m b a r 9. Se ja ra h Wa ktu (ka sus b ). )

(3)

G a m b a r 11. Bid a ng Fa se (ka sus b ). )

G a m b a r 12. Pe m e ta a n Po inc a re (ka sus a ). )

x1=0.00

(4)

Be rd a sa rka n Bid a ng Fa se (g a m b a r 11 jug a te rliha t d e ng a n p e rub a ha n ya ng ke c il te rha d a p ko nd isi a wa l x1(0) = 0 m e nja d i x2(0) = 0.01, m a ka ke d ua siste m te rse b ut (d a la m ha l ini linta sa n) te rja d i p e rb e d a a n ya ng b e sa r d e ng a n b e rta m b a hnya wa ktu.

5.3. Pe m e ta a n Po inc a re d a n Bifurka si

De ng a n p e m e ta a n Po inc a re p a d a ka sus linie r (ka sus a ) ya ng m e nunjuka n titik-titik d e ng a n jum la h p e rio d e p a d a siste m te rse b ut (g a m b a r 12). Pa d a ka sus no n linie r (ka sus b ) d e ng a n p lo t 10.000 titik ya ng m e m p e rliha tka n p o la ta rika n ya ng a c a k (stra ng e a ttra c to r / a ttra c to r c ha o tic). Po la ini jug a d ike na l p o la fra kta l (fra c ta l) d im a na sua tu b a g ia n lo ka l jug a

m e ng g a m b a rka n b a g ia n g lo b a lnya (g a m b a r 13).

Untuk m e ninja u krite ria b ifurka si, b e rd a sa rka n ka sus no n linie r (ka sus b ), se sua i d e ng a n p a ra m e te r se b e lum nya ya itu :

( )

0,025 ; 1 ; 1 ; 1,00 ; x 0 0 ; x 0 0

ζ= α=− β= Ω= = & =

Se d a ng ka n untuk nila i F

d ija d ika n va ria b e l. De ng a n m e ng hitung nila i r se b a g a i fung si F {r=f(F)}, m a ka d a p a t d ip lo t se sua i d e ng a n g a m b a r (14). Da ri g a m b a r te rse b ut d a p a t d iliha t se b a g a i c o nto h, b a hwa untuk nila i F b e rkisa r a nta ra 0.5 – 2.0 d a n 3.5 – 4.0 te rm a suk d a e ra h sta b il d e ng a n p e rio d e te rte ntu, se d a ng ka n F b e rkisa r a nta ra 2.5 – 3.0 , 5.0 – 5.5, 5.9 – 6.3 te rm a suk d a la m d a e ra h c ha o tic .

(5)

G a m b a r 14. Po la Pe nc a b a ng a n (b ifurc a tio ns) p a d a ka sus no n linie r

6. Ke sim p ula n

ξ

c . Da ri d ia g ra m b ifurka si, d e ng a n F va ria b e l te rliha t d a e ra h

p e nc a b a ng a n ya ng m e ng g a m b a rka n p e rio d e te rte ntu

a ta up un d a e ra h c ha o s.

d . Pe rsa m a a n Duffing m e ng g a m b a rka n siste m d e te rm inistik ya ng te p a t d a n d a p a t m e ne ntuka n p e rila ku ja ng ka p a nja ng sua tu siste m ka c a u (c ha o tic) jika kita m e ng e ta hui sya ra t a wa l d e ng a n te p a t.

7. Da fta r Pusta ka

Tho m p so n, J.M.T. a nd Ste wa rt, H. B. (1986), No nline a r Dyna mic s a nd C ha o s G e o me tric a l Me tho d s o r Eng ine e rs a nd Sc ie ntists, Jo hn Wile y & So ns Ne w Yo rk.

Ue d a , Y. (1979), “ Ra nd o m ly tra nsitio na l p he no m e na in the syste m g o ve rne d b y Duffing ’ s e q ua tio n” , Jo urna l o f Sta tistic a l Physic s, Vo l. 20, No . 2, p p .181-196.

Fra nc is G . Mo o n, C ha o tic Vib ra tio n, Jo hn wile y & So ns, 1987, Ne w Yo rk.

Zia ud d in Za rd a r, Iwo na Ab ra m s, C ha o s fo r Be g inne rs, Ic o n Bro o ks, C a m b rid g e , Ing g ris, 1998.

Sta nle y J. Fa rlo w, Diffe re ntia l e q ua tio n, Mc G ra w Hill 1984

Anil K. C ho p ra , Dyna mic s Struc ture, Pre ntic e Ha ll, 1995.

Fa rza d K. Na e im , Se ismic d e sig n Ha nd b o o k.

Are a c ha o tic

(6)

Shuic hi Asa ya m a , Ma sa to Aiza wa , (2000), Re sp o nse o f Ba se Iso la te d Struc ture in C ha o tic Dyna m ic Syste m Und e r Ea rthq ua ke Mo tio n with La rg e Amp litud e.

J. Awre jc e wic z · V. A. Krysko , (2008), C ha o s in Struc tura l Me c ha nic s,

Sp ring e r-Ve rla g Be rlin He id e lb e rg

Pa ul S Ad d iso n, (1997), Fra c ta ls a nd C ha o s An Illustra te d C o urse, The Institute o f Physic s, Lo nd o n Ste p he n Lync h, (2010), Dyna m ic a l

Syste ms with Ap p lic a tio ns using Ma p le, Sp ring e r Ve rla g .

Pa tric k d e Le e uw, (1989), The Duffing Syste m Ap p lie d To Ja c ke t Typ e O ffsho re Struc ture s.

Ab d e lha k Fa hsi, Mo ha m e d Be lha q , Fa o uzi La kra d , (2009), Sup p re ssio n o f hyste re sis in a fo rc e d va n d e r Po l–Duffing o sc illa to r, C o m m un No nline a r Sc i Num e r Sim ula t 14 (2009) 1609–1616.

He nk Bro e r & Flo ris Ta ke ns, (2011), Dyna mic a l Syste ms a nd C ha o s, Sp ring e r Sc ie nc e +Busine ss Me d ia , Ne the rla nd s

Visa ra th In , Pa tric k Lo ng hini & Anto nio Pa la c io s, (2009)Ap p lic a tio ns o f No nline a r Dyna m ic s Mo d e l a nd De sig n o f C o m p le x Syste m s,

Sp ring e r-Ve rla g Be rlin He id e lb e rg

Ali H. Na yfe h & P. Fra nk Pa i, (2004), Line a r d a n No nline a r Struc tura l Me c ha nic s, Jo hn Wile y & So ns. USA

Muthukrishna n Sa thya m o o rthy, (1998), No nline a r Ana lysis o f Struc ture s, C RC Pre ss LLC , USA.