Bab-7 OK.doc 177KB Apr 25 2011 02:14:20 AM
BAB 7 Hiperbola
7
Hiperbola
7.1. Persamaan Hiperbola Bentuk Baku
Hiperbola adalah himpunan semua titik (x, y) pada bidang sedemikian hingga
selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik
fokus (foci) adalah tetap.
Untuk menentukan persamaan hiperbola, misalkan kita pilih titik-titik fokus F
dan F’ terletak pada sumbu-x. Sedangkan sumbu-y diletakkan di tengah-tengah
segmen garis FF’.
Misalkan kita tentukan titik fokusnya adalah F’(-c, 0) dan F(c, 0) sedangkan
selisih jarak konstan tertentu adalah 2a. (lihat gambar 5.1).
y
Q(x, y)
P(x, y)
F’(-c, 0)
F(c, 0)
x
Gambar 6.1
Jika (x, y) merepresentasikan titik pada hiperbola, maka dari definisi diperoleh
Latihan 6 C 231
BAB 7 Hiperbola
PF '
( x ( c)) 2 y 2
–
– PF = 2a
( x c) 2 y 2
= 2a
( x c) 2 y 2
=
( x c) 2 y 2
+ 2a
(x + c)2 + y2 = (x – c)2 + y2 + 4a
( x c) 2 y 2
x2 + 2cx + c2 + y2 = x2 – 2cx + c2 + y2 + 4a2 + 4a
-4a2 + 4cx = 4a
cx
=
a
-a +
( x c) 2 y 2
+ 4a2
( x c) 2 y 2
( x c) 2 y 2
( x c) 2 y 2
= -a +
cx
a
x2 – 2cx + c2 + y2 = a2 – 2cx +
c2 a 2 2 2
x – y = c2 – a2
2
a
x2
y2
–
a2
c2 a 2
c2 x2
a2
=1
Dalam segitiga PFF’ terlihat bahwa
PF '
< PF + FF '
PF '
– PF < FF '
2a < 2c
a 0
Latihan 6 C 232
BAB 7 Hiperbola
Karena c2 – a2 adalah positif, maka bisa diganti dengan bilangan positif lain,
sebut b2 sehingga
y2
x2
– 2
a2
b
=1
dimana b2 = c2 – a2. Ini merupakan bentuk baku persamaan hiperbola.
Kedua sumbu koordinat – sumbu-x dan sumbu-y adalah sumbu simetri pada
hiperbola dan (a, 0) adalah titik-titik potong dengan sumbu-x. Dalam hal ini tidak
memotong sumbu-y, sebab untuk x = 0 diperoleh
y2
– 2 = 1,
b
yang mana tidak ada bilangan real y yang memenuhi persamaan di atas.
Sumbu-x (yang memuat dua titik dari hiperbola) disebut sumbu tranversal
(transverse axis) dan sumbu-y disebut sumbu sekawan (conjugate axes). Titik potong
hiperbola dengan sumbu trasversal disebut titik ujung (dalam hal ini (a, 0)) dan
perpotongan kedua sumbu simetri disebut pusat hiperbola. Jarak antara kedua titik
ujung adalah 2a dan disebut sumbu mayor dan besaran 2b disebut sumbu minor.
Dalam hal ini panjang sumbu mayor tidak harus lebih besar dari sumbu minor. Hal
ini berbeda pada persamaan ellips. Sketsa grafik persamaan hiperbola
y2
x2
–
=1
a2
b2
dan posisi titik-titik (a, 0), (c, 0), dan (0, b) dapat dilihat pada gambar 6.2 berikut.
Latihan 6 C 233
BAB 7 Hiperbola
y
(0, b)
(-a, 0)
F’(-c, 0)
(a, 0)
F(c, 0)
x
(0, -b)
Gambar 6.2
y2
x2
Garis ax by = 0 disebut persamaan garis asimtotik dari hiperbola 2 – 2 = 1.
a
b
Teorema 6.1:
Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai fokus (c, 0) dan titik-titik
ujung (a, 0) jika dan hanya jika memenuhi persamaan
x2
y2
–
=1
b2
a2
dimana b2 = c2 – a2.
Peranan sumbu-x dan sumbu-y dalam bentuk grafik akan dinyatakan dalam
teorema berikut.
Teorema 6.2:
Latihan 6 C 234
BAB 7 Hiperbola
Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai fokus (0, c) dan titik-titik
ujung (0, a) jika dan hanya jika memenuhi persamaan
y2
x2
– 2 =1
b
a2
dimana b2 = c2 – a2.
Dari teorema 6.2 dan 6.2 di atas, bahwa sumbu mayor sejajar dengan sumbu
yang variabelnya berharga positif.
Contoh 1:
Selidiki dan buat sketsa grafik dari persamaan
x2
y2
–
=1
9
16
Jawab:
Jika kita perhatikan terlihat bahwa a2 = 9, b2 = 16, dan c2 = a2 + b2 = 25.
Hiperbola ini mempunyai pusat (0, 0), titik-titik ujung (3, 0), dan titik fokus
(5, 0). Persamaan garis asimtotik hiperbola di atas adalah 3x 4y = 0. Panjang
sumbu mayor = 6 sejajar sumbu-x dan panjang sumbu minor = 8. Sketsa grafik
dapat dilihat pada gambar 6.3 dibawah ini.
y
(0, 4)
(-3, 0)
(3, 0)
Latihan 6 C 235
BAB 7 Hiperbola
F’(-5, 0)
F(5, 0)
x
(0, -4)
Gambar 6.3
Contoh 2:
Selidiki dan buat sketsa grafik persamaan 16x2 – 9y2 + 144 = 0.
Jawab:
Kita ubah persamaan 16x2 – 9y2 + 144 = 0 ke dalam bentuk baku, yaitu
16x2 – 9y2 + 144 = 0
9y2 – 16x2 = 144
y2
x2
–
16
9
=1
Dari persamaan terakhir terlihat bahwa a2 = 16, b2 = 9, dan c2 = a2 + b2 = 25.
Hiperbola ini mempunyai pusat (0, 0), titik-titik ujung (0, 4), dan titik fokus
(0, 5). Persamaan garis asimtotik hiperbola di atas adalah 4x 3y = 0. Panjang
sumbu mayor = 8 sejajar sumbu-x dan panjang sumbu minor = 6. Sketsa grafik
dapat dilihat pada gambar 6.4 dibawah ini.
y
F(0, 5)
(0, 4)
Latihan 6 C 236
BAB 7 Hiperbola
(-3, 0)
(3, 0)
x
(0, -4)
F’(0, -5)
Gambar 6.4
Contoh 3:
Tentukan persamaan hiperbola yang fokus (4, 0) dan titik-titik ujung (2, 0).
Jawab:
Karena fokus yang diberikan terletak pada sumbu-x maka bentuk baku dari
persamaan hiperbola yang dicari seperti pada teorema 6.1.
Dari titik fokus yang diberikan maka diperoleh c = 4, titik ujung diperoleh a = 2
dan b2 = c2 – a2 = 16 – 4 = 12.
Jadi persamaan yang dicari adalah
x2
y2
–
4
12
=1
3x2 – y2 = 12
Latihan 6 C 237
BAB 7 Hiperbola
Untuk memperoleh persamaan hiperbola yang lebih umum, misalkan
diadakan translasi pusat sumbu koordinat ke titik (h, k), maka diperoleh persamaan
hiperbola
x2
y2
–
= 1 menjadi
a2
b2
( x h) 2
( y k )2
–
=1
a2
b2
Untuk c2 = a2 + b2, persamaan di atas adalah persamaan hiperbola dengan pusat di (h,
k), titik-titik fokus (h c, k) dan titik-titik ujung (h a, k) Hal ini dinyatakan dalam
teorema berikut.
Teorema 6.3:
Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai pusat (h, k), fokus (h c, k)
dan titik-titik ujung (h a, k) jika dan hanya jika memenuhi persamaan
( x h) 2
( y k )2
–
=1
a2
b2
dengan b2 = c2 – a2 (lihat gambar 6.5).
Latihan 6 C 238
BAB 7 Hiperbola
y
(h, k + b)
(h – a, k)
F’(h – c, k)
(h, k)
(h + a, k)
F(h + c, k)
(h, k – b)
x
Gambar 6.5
Teorema 6.4:
Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai pusat (h, k), fokus (h, k c)
dan titik-titik ujung (h, k a) jika dan hanya jika memenuhi persamaan
( y h) 2
( x k )2
–
=1
a2
b2
dengan b2 = c2 – a2 (lihat gambar 6.6).
Latihan 6 C 239
BAB 7 Hiperbola
y
F(h+c, k)
(h, k + b)
(h – a, k)
(h – a, k)
(h, k)
(h, k – b)
F’(h – c, k)
x
Gambar 6.6
Contoh 4:
Sebuah hiperbola mempunyai persamaan
9x2 – 4y2 – 36x – 8y + 68 = 0
Tentukan pusat, titik ujung, titik fokus dan gambar grafik hiperbola tersebut.
Jawab:
Kita ubah bentuk persamaan di atas ke dalam bentuk baku seperti pada teorema
6.3 atau teorema 6.4.
9x2 – 4y2 – 36x – 8y + 68 = 0
9x2 – 36x – 4y2 – 8y = –68
9(x2 – 4x + 4) – 4(y2 + 2y + 1) = –68 + 36 – 4
9(x – 2)2 – 4(y + 1)2 = –36
Latihan 6 C 240
BAB 7 Hiperbola
4(y + 1) 2 – 9(x – 2)2 = 36
( y 1) 2 ( x 2) 2
–
9
4
=1
Dari persamaan terakhir diperoleh informasi h = 2, k = –1, a2 = 9, dan b2 = 4.
Dengan demikian c2 = a2 + b2 = 9 + 4 = 13.
Menurut teorema 6.4 dapatlah disimpulkan bahwa hiperbola yang terjadi
berpusat di (2, –1), titik-titik ujungnya (2, –1 + 3) = (2, 2) dan (2, –1 – 3) = (2, –
4), titik fokusnya adalah (2, –1 +
13 )
dan (2, –1 –
13 ).
Sketsa grafik dapat
dilihat di gambar 6.7
y
F(2,-1+
13)
(2, 2)
x
(0,-1) (2,-1) (4,-1)
(2, -4)
F’(2,-1–
13)
Latihan 6 C 241
BAB 7 Hiperbola
Gambar 6.7
Latihan 6 C 242
BAB 7 Hiperbola
Soal-soal:
Pada soal 1 – 4 tentukan pusat, titik ujung, titik fokus, dan buat sketsa
grafiknya.
1. 4x2 – 9y2 + 36 = 0
2. 4x2 – 5y2 – 10y – 25 = 0
3. 9x2 – 12y2 – 36y – 72 = 0
4. 18x2 – 16y2 + 180x – 32y – 396 = 0
5. 9x2 – 4y2 – 18x – 24y – 63 = 0
6. 4x2 – y2 – 40x – 2y + 95 = 0
7. 16x2 – 9y2 + 54y – 225 = 0
8. 4x2 – 9y2 – 4x – 18y – 26 = 0
9. 9x2 – 16y2 + 36x + 32y – 124 = 0
10. 9x2 – 4y2 + 90x + 32y + 125 = 0
Pada soal 11 – 13 tentukan persamaan hiperbola dengan informasi yang diberikan dan
buat sketsa grafiknya.
7. Tentukan persamaan hiperbola yang salah satu titik fokus (0, 0), jarak antara
kedua titik fokus 10 dan sumbu mayor berjarak 6 serta sejajar dengan sumbu-x
(ada dua jawaban)
8. Tentukan persamaan hiperbola yang mempunyai sumbu sekawan di x = 12,
menyinggung sumbu-y di (0, -2), dan sumbu minor berjarak 10.
Latihan 6 C 243
BAB 7 Hiperbola
9. Tentukan persamaan hiperbola yang mempunyai titik ujung (0, 6), dan fokus (0,
10).
Table of Contents
7.1. Persamaan Hiperbola Bentuk Baku....................................................................231
Baku
Latihan 6 C 244
7
Hiperbola
7.1. Persamaan Hiperbola Bentuk Baku
Hiperbola adalah himpunan semua titik (x, y) pada bidang sedemikian hingga
selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik
fokus (foci) adalah tetap.
Untuk menentukan persamaan hiperbola, misalkan kita pilih titik-titik fokus F
dan F’ terletak pada sumbu-x. Sedangkan sumbu-y diletakkan di tengah-tengah
segmen garis FF’.
Misalkan kita tentukan titik fokusnya adalah F’(-c, 0) dan F(c, 0) sedangkan
selisih jarak konstan tertentu adalah 2a. (lihat gambar 5.1).
y
Q(x, y)
P(x, y)
F’(-c, 0)
F(c, 0)
x
Gambar 6.1
Jika (x, y) merepresentasikan titik pada hiperbola, maka dari definisi diperoleh
Latihan 6 C 231
BAB 7 Hiperbola
PF '
( x ( c)) 2 y 2
–
– PF = 2a
( x c) 2 y 2
= 2a
( x c) 2 y 2
=
( x c) 2 y 2
+ 2a
(x + c)2 + y2 = (x – c)2 + y2 + 4a
( x c) 2 y 2
x2 + 2cx + c2 + y2 = x2 – 2cx + c2 + y2 + 4a2 + 4a
-4a2 + 4cx = 4a
cx
=
a
-a +
( x c) 2 y 2
+ 4a2
( x c) 2 y 2
( x c) 2 y 2
( x c) 2 y 2
= -a +
cx
a
x2 – 2cx + c2 + y2 = a2 – 2cx +
c2 a 2 2 2
x – y = c2 – a2
2
a
x2
y2
–
a2
c2 a 2
c2 x2
a2
=1
Dalam segitiga PFF’ terlihat bahwa
PF '
< PF + FF '
PF '
– PF < FF '
2a < 2c
a 0
Latihan 6 C 232
BAB 7 Hiperbola
Karena c2 – a2 adalah positif, maka bisa diganti dengan bilangan positif lain,
sebut b2 sehingga
y2
x2
– 2
a2
b
=1
dimana b2 = c2 – a2. Ini merupakan bentuk baku persamaan hiperbola.
Kedua sumbu koordinat – sumbu-x dan sumbu-y adalah sumbu simetri pada
hiperbola dan (a, 0) adalah titik-titik potong dengan sumbu-x. Dalam hal ini tidak
memotong sumbu-y, sebab untuk x = 0 diperoleh
y2
– 2 = 1,
b
yang mana tidak ada bilangan real y yang memenuhi persamaan di atas.
Sumbu-x (yang memuat dua titik dari hiperbola) disebut sumbu tranversal
(transverse axis) dan sumbu-y disebut sumbu sekawan (conjugate axes). Titik potong
hiperbola dengan sumbu trasversal disebut titik ujung (dalam hal ini (a, 0)) dan
perpotongan kedua sumbu simetri disebut pusat hiperbola. Jarak antara kedua titik
ujung adalah 2a dan disebut sumbu mayor dan besaran 2b disebut sumbu minor.
Dalam hal ini panjang sumbu mayor tidak harus lebih besar dari sumbu minor. Hal
ini berbeda pada persamaan ellips. Sketsa grafik persamaan hiperbola
y2
x2
–
=1
a2
b2
dan posisi titik-titik (a, 0), (c, 0), dan (0, b) dapat dilihat pada gambar 6.2 berikut.
Latihan 6 C 233
BAB 7 Hiperbola
y
(0, b)
(-a, 0)
F’(-c, 0)
(a, 0)
F(c, 0)
x
(0, -b)
Gambar 6.2
y2
x2
Garis ax by = 0 disebut persamaan garis asimtotik dari hiperbola 2 – 2 = 1.
a
b
Teorema 6.1:
Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai fokus (c, 0) dan titik-titik
ujung (a, 0) jika dan hanya jika memenuhi persamaan
x2
y2
–
=1
b2
a2
dimana b2 = c2 – a2.
Peranan sumbu-x dan sumbu-y dalam bentuk grafik akan dinyatakan dalam
teorema berikut.
Teorema 6.2:
Latihan 6 C 234
BAB 7 Hiperbola
Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai fokus (0, c) dan titik-titik
ujung (0, a) jika dan hanya jika memenuhi persamaan
y2
x2
– 2 =1
b
a2
dimana b2 = c2 – a2.
Dari teorema 6.2 dan 6.2 di atas, bahwa sumbu mayor sejajar dengan sumbu
yang variabelnya berharga positif.
Contoh 1:
Selidiki dan buat sketsa grafik dari persamaan
x2
y2
–
=1
9
16
Jawab:
Jika kita perhatikan terlihat bahwa a2 = 9, b2 = 16, dan c2 = a2 + b2 = 25.
Hiperbola ini mempunyai pusat (0, 0), titik-titik ujung (3, 0), dan titik fokus
(5, 0). Persamaan garis asimtotik hiperbola di atas adalah 3x 4y = 0. Panjang
sumbu mayor = 6 sejajar sumbu-x dan panjang sumbu minor = 8. Sketsa grafik
dapat dilihat pada gambar 6.3 dibawah ini.
y
(0, 4)
(-3, 0)
(3, 0)
Latihan 6 C 235
BAB 7 Hiperbola
F’(-5, 0)
F(5, 0)
x
(0, -4)
Gambar 6.3
Contoh 2:
Selidiki dan buat sketsa grafik persamaan 16x2 – 9y2 + 144 = 0.
Jawab:
Kita ubah persamaan 16x2 – 9y2 + 144 = 0 ke dalam bentuk baku, yaitu
16x2 – 9y2 + 144 = 0
9y2 – 16x2 = 144
y2
x2
–
16
9
=1
Dari persamaan terakhir terlihat bahwa a2 = 16, b2 = 9, dan c2 = a2 + b2 = 25.
Hiperbola ini mempunyai pusat (0, 0), titik-titik ujung (0, 4), dan titik fokus
(0, 5). Persamaan garis asimtotik hiperbola di atas adalah 4x 3y = 0. Panjang
sumbu mayor = 8 sejajar sumbu-x dan panjang sumbu minor = 6. Sketsa grafik
dapat dilihat pada gambar 6.4 dibawah ini.
y
F(0, 5)
(0, 4)
Latihan 6 C 236
BAB 7 Hiperbola
(-3, 0)
(3, 0)
x
(0, -4)
F’(0, -5)
Gambar 6.4
Contoh 3:
Tentukan persamaan hiperbola yang fokus (4, 0) dan titik-titik ujung (2, 0).
Jawab:
Karena fokus yang diberikan terletak pada sumbu-x maka bentuk baku dari
persamaan hiperbola yang dicari seperti pada teorema 6.1.
Dari titik fokus yang diberikan maka diperoleh c = 4, titik ujung diperoleh a = 2
dan b2 = c2 – a2 = 16 – 4 = 12.
Jadi persamaan yang dicari adalah
x2
y2
–
4
12
=1
3x2 – y2 = 12
Latihan 6 C 237
BAB 7 Hiperbola
Untuk memperoleh persamaan hiperbola yang lebih umum, misalkan
diadakan translasi pusat sumbu koordinat ke titik (h, k), maka diperoleh persamaan
hiperbola
x2
y2
–
= 1 menjadi
a2
b2
( x h) 2
( y k )2
–
=1
a2
b2
Untuk c2 = a2 + b2, persamaan di atas adalah persamaan hiperbola dengan pusat di (h,
k), titik-titik fokus (h c, k) dan titik-titik ujung (h a, k) Hal ini dinyatakan dalam
teorema berikut.
Teorema 6.3:
Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai pusat (h, k), fokus (h c, k)
dan titik-titik ujung (h a, k) jika dan hanya jika memenuhi persamaan
( x h) 2
( y k )2
–
=1
a2
b2
dengan b2 = c2 – a2 (lihat gambar 6.5).
Latihan 6 C 238
BAB 7 Hiperbola
y
(h, k + b)
(h – a, k)
F’(h – c, k)
(h, k)
(h + a, k)
F(h + c, k)
(h, k – b)
x
Gambar 6.5
Teorema 6.4:
Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai pusat (h, k), fokus (h, k c)
dan titik-titik ujung (h, k a) jika dan hanya jika memenuhi persamaan
( y h) 2
( x k )2
–
=1
a2
b2
dengan b2 = c2 – a2 (lihat gambar 6.6).
Latihan 6 C 239
BAB 7 Hiperbola
y
F(h+c, k)
(h, k + b)
(h – a, k)
(h – a, k)
(h, k)
(h, k – b)
F’(h – c, k)
x
Gambar 6.6
Contoh 4:
Sebuah hiperbola mempunyai persamaan
9x2 – 4y2 – 36x – 8y + 68 = 0
Tentukan pusat, titik ujung, titik fokus dan gambar grafik hiperbola tersebut.
Jawab:
Kita ubah bentuk persamaan di atas ke dalam bentuk baku seperti pada teorema
6.3 atau teorema 6.4.
9x2 – 4y2 – 36x – 8y + 68 = 0
9x2 – 36x – 4y2 – 8y = –68
9(x2 – 4x + 4) – 4(y2 + 2y + 1) = –68 + 36 – 4
9(x – 2)2 – 4(y + 1)2 = –36
Latihan 6 C 240
BAB 7 Hiperbola
4(y + 1) 2 – 9(x – 2)2 = 36
( y 1) 2 ( x 2) 2
–
9
4
=1
Dari persamaan terakhir diperoleh informasi h = 2, k = –1, a2 = 9, dan b2 = 4.
Dengan demikian c2 = a2 + b2 = 9 + 4 = 13.
Menurut teorema 6.4 dapatlah disimpulkan bahwa hiperbola yang terjadi
berpusat di (2, –1), titik-titik ujungnya (2, –1 + 3) = (2, 2) dan (2, –1 – 3) = (2, –
4), titik fokusnya adalah (2, –1 +
13 )
dan (2, –1 –
13 ).
Sketsa grafik dapat
dilihat di gambar 6.7
y
F(2,-1+
13)
(2, 2)
x
(0,-1) (2,-1) (4,-1)
(2, -4)
F’(2,-1–
13)
Latihan 6 C 241
BAB 7 Hiperbola
Gambar 6.7
Latihan 6 C 242
BAB 7 Hiperbola
Soal-soal:
Pada soal 1 – 4 tentukan pusat, titik ujung, titik fokus, dan buat sketsa
grafiknya.
1. 4x2 – 9y2 + 36 = 0
2. 4x2 – 5y2 – 10y – 25 = 0
3. 9x2 – 12y2 – 36y – 72 = 0
4. 18x2 – 16y2 + 180x – 32y – 396 = 0
5. 9x2 – 4y2 – 18x – 24y – 63 = 0
6. 4x2 – y2 – 40x – 2y + 95 = 0
7. 16x2 – 9y2 + 54y – 225 = 0
8. 4x2 – 9y2 – 4x – 18y – 26 = 0
9. 9x2 – 16y2 + 36x + 32y – 124 = 0
10. 9x2 – 4y2 + 90x + 32y + 125 = 0
Pada soal 11 – 13 tentukan persamaan hiperbola dengan informasi yang diberikan dan
buat sketsa grafiknya.
7. Tentukan persamaan hiperbola yang salah satu titik fokus (0, 0), jarak antara
kedua titik fokus 10 dan sumbu mayor berjarak 6 serta sejajar dengan sumbu-x
(ada dua jawaban)
8. Tentukan persamaan hiperbola yang mempunyai sumbu sekawan di x = 12,
menyinggung sumbu-y di (0, -2), dan sumbu minor berjarak 10.
Latihan 6 C 243
BAB 7 Hiperbola
9. Tentukan persamaan hiperbola yang mempunyai titik ujung (0, 6), dan fokus (0,
10).
Table of Contents
7.1. Persamaan Hiperbola Bentuk Baku....................................................................231
Baku
Latihan 6 C 244