GEOMETRI ANALITIK BIDANG HIPERBOLA DAN L
GEOMETR
I
HIPERBOLA DAN
ANALITIK LINGKARAN
BIDANG
I.
HIPERBOLA
Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik
tertentu tetap besarnya.
Jika jarak kedua titik tertentu tersebut adalah d, maka selisih jarak tersebut lebih
kecil dari d.
Berdasarkan definisi di atas kita dapat melukis hiperbola titik demi titik.
Untuk setiap titik T berlaku |TF 2−TF1|=d
Langkah-langkah dalam melukis hiperbal antara lain sebagai berikut:
Tetapkan titik F1 dan F2 dan panjang d.
Tentukan titik-titik A dan B pada ruas garis F1 F2 sehingga
1
|F 2 A|=|B F 1|= 2 (|F1 F2|−d )
Titik-titik T i diperoleh sebagai berikut :
a. Buat lingkaran dengan pusat Fi dan jari− jari r i>|F2 A|
b. Dari F2 busurkan lingkaran dengan jari-jari r i−d
c. Perpotongan a dan b adalah titik-titik T i
d. Lakukan hal yang sama dengan mengganti peran F1 dengan F2
F1 dan F2 disebut titik-titik api
A dan B disebut titik −titik puncak
Berdasarkan definisi di atas kita akan mencari persamaan hiperbola.
Misalkan titik-titik api
F1 , F 2 pada sumbu x dan sumbu dari
Jika | F1 F2 |=2c maka
F1 (c , 0) dan
F1 F2
adalah sumbu y.
F2 (−c , 0) .
Misalkan selisih jarak yang tetap itu adalah 2a, dengan a1 disebut eksentrisitas numerik
a
Persamaan hiperbola yang pusatnya P(α,β) dan sumbu-sumbunya sejajar dengan
sumbu-sumbu koordinat diperoleh dengan cara sebagai berikut.
Diadakan translasi susunan sumbu sedemikian sehingga O’ berimpit dengan P
PF – PG = 2a
PF = 2a + PG
(PF)2 = 4a2 + 4a (PG) + (PG)2
(x – (α – c))2 + (y – β)2 = 4a2 + 4a
√( x−( α +c ) ) +( y−β )
2
((x – α) + c )2 – ((x – α) – c )2 = 4a2 + 4a
+ (x – (α + c))2 + (y – β)2
2
√( x−( α +c ) ) +( y−β )
2
2
(x – α)2 + 2c (x – α) + c2 – ((x – α)2 – 2c (x – α) + c2) = 4a2 + 4a
4c (x – α) = 4a2 + 4a
c
a
c
a
c2
a2
(x – α) = a +
(x – α) – a =
2
√( x−( α +c ) ) +( y−β )
2
2
√ ( x−( α + c ) ) + ( y−β )
2
√ ( ( x−α )−c ) +( y−β )
2
2
2
(x – α)2 – 2c (x – α) + a2 = (x – α)2 – 2c (x – α) + c2 + ( y – β )2
2
c
2
a
c2
a2
√( x−( α +c ) ) +( y−β )
(x – α)2 + a2 = (x – α)2 + c2 + ( y – β )2
(x – α)2 – (x – α)2 – ( y – β )2 = c2 – a2
(c 2−a 2)( x−a)2
a2
– ( y – β )2
= c2 – a2
2
2
2
( x−α ) ( y −β)
−
=1
a2
(c−a)2
Dimisalkan c2 – a2 = b2 , menjadi
( x−α )2 ( y −β)2
−
=1
a2
b2
Rumus translasinya adalah :
'
atau
x=x + α
'
x=x −α
'
'
y= y + β
y= y −β
Karena O’ merupakan pusat hiperbola maka persamaan hiperbola terhadap sumbu x’ O’
y’ adalah
x '2 y ' 2
− 2 =1
a2
b
Jadi persamaan hiperbola terhadap susunan sumbu xOy adalah
( x−α )2 ( y −β)2
−
=1
a2
b2
x2 y2
− =1 dengan garis
a2 b 2
y=mx. Absis-absis titik potong kita peroleh dari persamaan
Sekarang kita akan mencari titik-titik potong hiperbola
x 2 m2 x 2
− 2 =1 atau ( b2−a2 m2 ) x 2=a2 b2
2
a
b
Berarti
x=±
ab
√ b −a2 m2
2
sehingga
y=±
mab
√b −a2 m2
2
Jadi koordinat-koordinat titik potongnya adalah
(√
−ab
2
2
b −a m
2
,
−mab
√b 2−a2 m2
(√
ab
2
2
b −a m
2
,
mab
√b −a2 m2
2
)
dan
)
Jika b2−a2 m2 > 0 maka ada dua titik potong yang berlainan
Jika b2−a2 m2 < 0 maka tidak ada titik potong atau titik potongnya khayal
Jika b2−a2 m2 = 0 maka titik potongnya di jauh tak berhingga
b
maka garis y=mx menyinggung
a
b
hiperbola di jauh tak berhingga. Garis-garis y ¿ ± x disebut asimtot-asimtot
a
hiperbola.
Hal yang terakhir menyatakan bahwa jika m=±
x y
− =0 atau
a b
Persamaan asimtot-asimtot dapat dinyatakan juga sebagai
x y
+ =0 ,
a b
sehingga persamaan susunan asimtotnya adalah
x2 y2
− =0
a2 b 2
Berikut ini kita turunkan definisi hiperbola yang lain. Misalnya P( x 1 , y 1 ¿ sebarang
2
titik pada hiperbola
2
x
y
− 2 =1
2
a b
Maka jarak P terhadap titik api F1(c,0) adalah d1=
√( x −c ) + y
Dan jarak P terhadap titik api F2(-c,0) adalah d2=
√(x + c) + y
Berarti d 22−d 12=4 cx 1
Jadi d 2 +d 1=
2
1
2
1
2
1
2
1
sedangkan d2-d1=2a ……………………..(1)
2 cx1
a
Dari (1) dan (2) kita peroleh
…………………………………………………..(2)
d 1=
(
2
c
a
x 1−
a
c
)
d 2=
(
2
c
a
x 1+
a
c
)
a2
x=±
c
Pandang garis-garis
Maka d 1=
c
a2 c
x 1− =
a
c
a
(
(
2
)
.
jarak P ke garis
x=
)
.
jarak P ke garis
x=
c
a
c
Maka d 2= x 1+ =
a
c
a
Garis-garis
a2
x=±
c
a2
c
−a 2
c
disebut garis-garis arah atau direktriks dari hiperbola.
Berdasarkan hal di atas kita dapat mendefinisikan hiperbola sebagai berikut:
Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya
terhadap suatu titik dan suatu garis tertentu tetap besarnya dan perbandingan ini lebih
besar dari 1. Titik itu disebut titik api dan garis tertentu itu disebut garis arah (direktriks).
Contoh Soal:
Carilah persamaan hiperbola jika titik-titik apinya terletak pada sumbu x, simetris
4
terhadap O dan persamaan asimtotnya y=± x sedangkan jarak antara kedua titik3
titik apinya 20.
Jawaban:
2
Misalkan persamaan hiperbola itu
y=±
Karena persamaan asimtotnya
2
x
y
− 2 =1
2
a b
4
x maka
3
b 4
=
a 3
dan karena jarak kedua titik-
titik apinya 20 maka 2c=20 atau c=10
Pada hiperbola berlaku b2=c 2−a2 dan b>0
Jadi, b2=100−
3
9 2
.8 =6
b , atau b=8, berarti a=
4
16
2
Jadi persamaan hiperbola yang dimaksud adalah
2
x
y
− =1
36 64
Selanjutnya kita mencari persamaan garis singgung pada hiperbola dengan jalan yang
sama seperti mencari persamaan garis singgung pada ellips
Persamaan garis singgung pada hiperbola
Dengan koefisien arah m adalah
x2 y2
− =1
a2 b 2
y=mx ± √ a2 m2−b2
( x−α )2 ( y −β)2
−
=1 , maka garis singgung dengan
a2
b2
koefisien arah m; persamaannya y−β=m( x −α )± √ a2 m2−b2
Jika persamaan hiperbola
Persamaannya garis singgung pada hiperbola
adalah
x1 x
a
2
−
y1 y
b2
x2 y2
− =1 di titik singgung (x 1 , y 1)
a2 b 2
=1
Jika persamaan hiperbolanya
( x−α )2 ( y −β)2
−
=1 , maka persamaan garis singgung
a2
b2
di titik (x 1 , y 1) adalah
( x 1−α )(x−α ) ( y 1−β)( y−β)
−
=1
a2
b2
Berikut ini akan diberikan sifat utama garis singgung
Sifat utama garis singgung
Garis si nggung pada suatu titik pada hiperbola membagi dua sama besar sudut-sudut antara
garis-garis yang menghubungkan titik singgung dengan titik-titik api.
d
2
F
1
F
2
d
1
Misalkan T (x1, y1) sebarang titik pada hiperbola dan misalkan d1 = TF1 , d2 = TF2 dengan F1 (c,
0) , F2
(-c,0)
c
a2
a2
(
x
−
)
x
−
1
TF 1 d1 a 1 c
c
= =
=
2
TF 2 d 2 c
a
a2
( x 1+ ) x 1 +
a
c
c
Maka
Persamaan garis singgung T adalah
x1 x
2
a
−
y1 y
b
2
=1
Misalakn titik potong garis singgung ini dengan sumbu x adalah P, maka koordinat yp = 0 dan
2
x p=
a
x1
a2
a2
x 1−
2
PF 1
x 1 c x 1−a
c
=
=
=
2
2
PF 2
a
c x1 +a
a2
c+
x1 +
x1
c
c−
Berarti
Jadi
PF 1
PF 2
=
TF 1
TF 2
Berarti TP merupakan garis bagi sudut T dalam segitiga TF1F2 atau
atau
−b
b
0
2
2
2
40−20=20.
Perhatikan bahwa
Y
X
o
P
Kita misalkan garis singgung yang melalui titik
B menyinggung lingkaran di titik S 1 ( x 1 , y 1) ,
maka persamaan garis singgung itu adalah
( x 1+1 ) ( x +1 ) + y 1 y =20
Garis singgung ini melalui B(1,6), maka
diperoleh
( x 1+1 ) ( 1+1 ) +6 y 1=20
2 x 1 +6 y 1=18 … … .(1)
2
2
Titik S 1 ( x 1 , y 1) pada lingkaran, maka ( x 1+1 ) + y1 =20 … … (2 )
Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa S 1 (3,2) dan S 2 (−3,4 ) .
singgung yang dicari adalah x−2 y+ 11=0 dan2 x+ y−8=0
Perhatikan titik T (x 0 , y 0 ) dan lingkaran
2
2
x + y =r
Jadi persamaan-persamaan garis
2
Pada gambar 2.12. dari titik T dibuat garis-garis singgung pada lingkaran dan titik-titik
S 1 ( x 1 , y 1) ,
singgungnya
S2 ( x2 , y2 ),
maka persamaan garis-garis
singgungnya adalah
Y
2
x 1 x+ y 1 y=r dan
o
dan
X
x 2 x + y 2 y =r 2
Garis-garis singgung ini melalui titik T (x 0 , y 0 ) , maka berlaku bahwa
x 1 x 0+ y 1 y 0=r
2
x 2 x 0 + y 2 y 0 =¿
dan
r
2
Dari dua persamaan ini dapat disimpulkan bahwa koordinat-koordinat titik-titik
memenuhi persamaan
x 0 x + y 0 y=r
S 1 dan
S2
2
Dan berarti bahwa garis ini melalui titik-titik singgung S 1 dan S 2 dan biasa disebut tali
busur singgung dari titik T. Jika diperhatikan persamaan tali busur singgung tersebut bentuknya
sama dengan persamaan garis singgung, jika T sebagai titik singgungnya.
Tanpa memperhatikan letak titik T, di dalam, di luar atau pada lingkaran, persamaan
x 0 x + y 0 y=r
2
Dinamakan persamaan garis kutub T (x 0 , y 0 ) terhadap lingkaran
x 2+ y 2 =r 2
Dengan cara yang mirip, kita dapat menemukan persamaan garis kutub titik T (x 0 , y 0 )
terhadap lingkaran
( x−a )2 +( y−b)2=r 2 , yaitu
( x 0−a ) ( x−a ) + ( y 0−b ) ( y−b )=r 2
Sedangkan
garis
x + y + Ax+ By+ C=0 adalah
2
persamaan
kutub
titik
T (x 0 , y 0 )
terhadap
lingkaran
2
1
1
x 0 x + y 0 y+ A ( x + x 0 ) + B ( y+ y 0 )+ C=0
2
2
Dari penjelasan di atas dapat dimengerti bahwa :
1) Apabila titik T di luar lingkaran, maka garis kutubnya merupakan tali busur singgung.
2) Apabila T pada lingkaran, maka garis kutubnya merupakan garis singgung lingkaran di T.
3) Apabila titik T di dalam lingkaran, maka garis kutubnya tidak memotog lingkaran.
Contoh Soal
Tentukan persamaan garis kutub titik P(-1,3) terhadap lingkaran x 2+ y 2 −2 x−6 y−20=0 .
Selidiki apakah garis kutub itu memotong, menyinggung atau tidak memotong lingkaran ?
Jawab : Persamaan garis kutubnya adalah −1 x+ 3 y−( x−1 )−3 ( y +3 )−20=0
x−14=0
Untuk menyelidikinya, kita cukup menunjukkan titik P terletak di dalam, di luar atau pada
lingkaran. Dengan substitusi P(-1,3) pada persamaan lingkaran diperoleh :
1+9+2−18−20=−26
I
HIPERBOLA DAN
ANALITIK LINGKARAN
BIDANG
I.
HIPERBOLA
Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik
tertentu tetap besarnya.
Jika jarak kedua titik tertentu tersebut adalah d, maka selisih jarak tersebut lebih
kecil dari d.
Berdasarkan definisi di atas kita dapat melukis hiperbola titik demi titik.
Untuk setiap titik T berlaku |TF 2−TF1|=d
Langkah-langkah dalam melukis hiperbal antara lain sebagai berikut:
Tetapkan titik F1 dan F2 dan panjang d.
Tentukan titik-titik A dan B pada ruas garis F1 F2 sehingga
1
|F 2 A|=|B F 1|= 2 (|F1 F2|−d )
Titik-titik T i diperoleh sebagai berikut :
a. Buat lingkaran dengan pusat Fi dan jari− jari r i>|F2 A|
b. Dari F2 busurkan lingkaran dengan jari-jari r i−d
c. Perpotongan a dan b adalah titik-titik T i
d. Lakukan hal yang sama dengan mengganti peran F1 dengan F2
F1 dan F2 disebut titik-titik api
A dan B disebut titik −titik puncak
Berdasarkan definisi di atas kita akan mencari persamaan hiperbola.
Misalkan titik-titik api
F1 , F 2 pada sumbu x dan sumbu dari
Jika | F1 F2 |=2c maka
F1 (c , 0) dan
F1 F2
adalah sumbu y.
F2 (−c , 0) .
Misalkan selisih jarak yang tetap itu adalah 2a, dengan a1 disebut eksentrisitas numerik
a
Persamaan hiperbola yang pusatnya P(α,β) dan sumbu-sumbunya sejajar dengan
sumbu-sumbu koordinat diperoleh dengan cara sebagai berikut.
Diadakan translasi susunan sumbu sedemikian sehingga O’ berimpit dengan P
PF – PG = 2a
PF = 2a + PG
(PF)2 = 4a2 + 4a (PG) + (PG)2
(x – (α – c))2 + (y – β)2 = 4a2 + 4a
√( x−( α +c ) ) +( y−β )
2
((x – α) + c )2 – ((x – α) – c )2 = 4a2 + 4a
+ (x – (α + c))2 + (y – β)2
2
√( x−( α +c ) ) +( y−β )
2
2
(x – α)2 + 2c (x – α) + c2 – ((x – α)2 – 2c (x – α) + c2) = 4a2 + 4a
4c (x – α) = 4a2 + 4a
c
a
c
a
c2
a2
(x – α) = a +
(x – α) – a =
2
√( x−( α +c ) ) +( y−β )
2
2
√ ( x−( α + c ) ) + ( y−β )
2
√ ( ( x−α )−c ) +( y−β )
2
2
2
(x – α)2 – 2c (x – α) + a2 = (x – α)2 – 2c (x – α) + c2 + ( y – β )2
2
c
2
a
c2
a2
√( x−( α +c ) ) +( y−β )
(x – α)2 + a2 = (x – α)2 + c2 + ( y – β )2
(x – α)2 – (x – α)2 – ( y – β )2 = c2 – a2
(c 2−a 2)( x−a)2
a2
– ( y – β )2
= c2 – a2
2
2
2
( x−α ) ( y −β)
−
=1
a2
(c−a)2
Dimisalkan c2 – a2 = b2 , menjadi
( x−α )2 ( y −β)2
−
=1
a2
b2
Rumus translasinya adalah :
'
atau
x=x + α
'
x=x −α
'
'
y= y + β
y= y −β
Karena O’ merupakan pusat hiperbola maka persamaan hiperbola terhadap sumbu x’ O’
y’ adalah
x '2 y ' 2
− 2 =1
a2
b
Jadi persamaan hiperbola terhadap susunan sumbu xOy adalah
( x−α )2 ( y −β)2
−
=1
a2
b2
x2 y2
− =1 dengan garis
a2 b 2
y=mx. Absis-absis titik potong kita peroleh dari persamaan
Sekarang kita akan mencari titik-titik potong hiperbola
x 2 m2 x 2
− 2 =1 atau ( b2−a2 m2 ) x 2=a2 b2
2
a
b
Berarti
x=±
ab
√ b −a2 m2
2
sehingga
y=±
mab
√b −a2 m2
2
Jadi koordinat-koordinat titik potongnya adalah
(√
−ab
2
2
b −a m
2
,
−mab
√b 2−a2 m2
(√
ab
2
2
b −a m
2
,
mab
√b −a2 m2
2
)
dan
)
Jika b2−a2 m2 > 0 maka ada dua titik potong yang berlainan
Jika b2−a2 m2 < 0 maka tidak ada titik potong atau titik potongnya khayal
Jika b2−a2 m2 = 0 maka titik potongnya di jauh tak berhingga
b
maka garis y=mx menyinggung
a
b
hiperbola di jauh tak berhingga. Garis-garis y ¿ ± x disebut asimtot-asimtot
a
hiperbola.
Hal yang terakhir menyatakan bahwa jika m=±
x y
− =0 atau
a b
Persamaan asimtot-asimtot dapat dinyatakan juga sebagai
x y
+ =0 ,
a b
sehingga persamaan susunan asimtotnya adalah
x2 y2
− =0
a2 b 2
Berikut ini kita turunkan definisi hiperbola yang lain. Misalnya P( x 1 , y 1 ¿ sebarang
2
titik pada hiperbola
2
x
y
− 2 =1
2
a b
Maka jarak P terhadap titik api F1(c,0) adalah d1=
√( x −c ) + y
Dan jarak P terhadap titik api F2(-c,0) adalah d2=
√(x + c) + y
Berarti d 22−d 12=4 cx 1
Jadi d 2 +d 1=
2
1
2
1
2
1
2
1
sedangkan d2-d1=2a ……………………..(1)
2 cx1
a
Dari (1) dan (2) kita peroleh
…………………………………………………..(2)
d 1=
(
2
c
a
x 1−
a
c
)
d 2=
(
2
c
a
x 1+
a
c
)
a2
x=±
c
Pandang garis-garis
Maka d 1=
c
a2 c
x 1− =
a
c
a
(
(
2
)
.
jarak P ke garis
x=
)
.
jarak P ke garis
x=
c
a
c
Maka d 2= x 1+ =
a
c
a
Garis-garis
a2
x=±
c
a2
c
−a 2
c
disebut garis-garis arah atau direktriks dari hiperbola.
Berdasarkan hal di atas kita dapat mendefinisikan hiperbola sebagai berikut:
Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya
terhadap suatu titik dan suatu garis tertentu tetap besarnya dan perbandingan ini lebih
besar dari 1. Titik itu disebut titik api dan garis tertentu itu disebut garis arah (direktriks).
Contoh Soal:
Carilah persamaan hiperbola jika titik-titik apinya terletak pada sumbu x, simetris
4
terhadap O dan persamaan asimtotnya y=± x sedangkan jarak antara kedua titik3
titik apinya 20.
Jawaban:
2
Misalkan persamaan hiperbola itu
y=±
Karena persamaan asimtotnya
2
x
y
− 2 =1
2
a b
4
x maka
3
b 4
=
a 3
dan karena jarak kedua titik-
titik apinya 20 maka 2c=20 atau c=10
Pada hiperbola berlaku b2=c 2−a2 dan b>0
Jadi, b2=100−
3
9 2
.8 =6
b , atau b=8, berarti a=
4
16
2
Jadi persamaan hiperbola yang dimaksud adalah
2
x
y
− =1
36 64
Selanjutnya kita mencari persamaan garis singgung pada hiperbola dengan jalan yang
sama seperti mencari persamaan garis singgung pada ellips
Persamaan garis singgung pada hiperbola
Dengan koefisien arah m adalah
x2 y2
− =1
a2 b 2
y=mx ± √ a2 m2−b2
( x−α )2 ( y −β)2
−
=1 , maka garis singgung dengan
a2
b2
koefisien arah m; persamaannya y−β=m( x −α )± √ a2 m2−b2
Jika persamaan hiperbola
Persamaannya garis singgung pada hiperbola
adalah
x1 x
a
2
−
y1 y
b2
x2 y2
− =1 di titik singgung (x 1 , y 1)
a2 b 2
=1
Jika persamaan hiperbolanya
( x−α )2 ( y −β)2
−
=1 , maka persamaan garis singgung
a2
b2
di titik (x 1 , y 1) adalah
( x 1−α )(x−α ) ( y 1−β)( y−β)
−
=1
a2
b2
Berikut ini akan diberikan sifat utama garis singgung
Sifat utama garis singgung
Garis si nggung pada suatu titik pada hiperbola membagi dua sama besar sudut-sudut antara
garis-garis yang menghubungkan titik singgung dengan titik-titik api.
d
2
F
1
F
2
d
1
Misalkan T (x1, y1) sebarang titik pada hiperbola dan misalkan d1 = TF1 , d2 = TF2 dengan F1 (c,
0) , F2
(-c,0)
c
a2
a2
(
x
−
)
x
−
1
TF 1 d1 a 1 c
c
= =
=
2
TF 2 d 2 c
a
a2
( x 1+ ) x 1 +
a
c
c
Maka
Persamaan garis singgung T adalah
x1 x
2
a
−
y1 y
b
2
=1
Misalakn titik potong garis singgung ini dengan sumbu x adalah P, maka koordinat yp = 0 dan
2
x p=
a
x1
a2
a2
x 1−
2
PF 1
x 1 c x 1−a
c
=
=
=
2
2
PF 2
a
c x1 +a
a2
c+
x1 +
x1
c
c−
Berarti
Jadi
PF 1
PF 2
=
TF 1
TF 2
Berarti TP merupakan garis bagi sudut T dalam segitiga TF1F2 atau
atau
−b
b
0
2
2
2
40−20=20.
Perhatikan bahwa
Y
X
o
P
Kita misalkan garis singgung yang melalui titik
B menyinggung lingkaran di titik S 1 ( x 1 , y 1) ,
maka persamaan garis singgung itu adalah
( x 1+1 ) ( x +1 ) + y 1 y =20
Garis singgung ini melalui B(1,6), maka
diperoleh
( x 1+1 ) ( 1+1 ) +6 y 1=20
2 x 1 +6 y 1=18 … … .(1)
2
2
Titik S 1 ( x 1 , y 1) pada lingkaran, maka ( x 1+1 ) + y1 =20 … … (2 )
Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa S 1 (3,2) dan S 2 (−3,4 ) .
singgung yang dicari adalah x−2 y+ 11=0 dan2 x+ y−8=0
Perhatikan titik T (x 0 , y 0 ) dan lingkaran
2
2
x + y =r
Jadi persamaan-persamaan garis
2
Pada gambar 2.12. dari titik T dibuat garis-garis singgung pada lingkaran dan titik-titik
S 1 ( x 1 , y 1) ,
singgungnya
S2 ( x2 , y2 ),
maka persamaan garis-garis
singgungnya adalah
Y
2
x 1 x+ y 1 y=r dan
o
dan
X
x 2 x + y 2 y =r 2
Garis-garis singgung ini melalui titik T (x 0 , y 0 ) , maka berlaku bahwa
x 1 x 0+ y 1 y 0=r
2
x 2 x 0 + y 2 y 0 =¿
dan
r
2
Dari dua persamaan ini dapat disimpulkan bahwa koordinat-koordinat titik-titik
memenuhi persamaan
x 0 x + y 0 y=r
S 1 dan
S2
2
Dan berarti bahwa garis ini melalui titik-titik singgung S 1 dan S 2 dan biasa disebut tali
busur singgung dari titik T. Jika diperhatikan persamaan tali busur singgung tersebut bentuknya
sama dengan persamaan garis singgung, jika T sebagai titik singgungnya.
Tanpa memperhatikan letak titik T, di dalam, di luar atau pada lingkaran, persamaan
x 0 x + y 0 y=r
2
Dinamakan persamaan garis kutub T (x 0 , y 0 ) terhadap lingkaran
x 2+ y 2 =r 2
Dengan cara yang mirip, kita dapat menemukan persamaan garis kutub titik T (x 0 , y 0 )
terhadap lingkaran
( x−a )2 +( y−b)2=r 2 , yaitu
( x 0−a ) ( x−a ) + ( y 0−b ) ( y−b )=r 2
Sedangkan
garis
x + y + Ax+ By+ C=0 adalah
2
persamaan
kutub
titik
T (x 0 , y 0 )
terhadap
lingkaran
2
1
1
x 0 x + y 0 y+ A ( x + x 0 ) + B ( y+ y 0 )+ C=0
2
2
Dari penjelasan di atas dapat dimengerti bahwa :
1) Apabila titik T di luar lingkaran, maka garis kutubnya merupakan tali busur singgung.
2) Apabila T pada lingkaran, maka garis kutubnya merupakan garis singgung lingkaran di T.
3) Apabila titik T di dalam lingkaran, maka garis kutubnya tidak memotog lingkaran.
Contoh Soal
Tentukan persamaan garis kutub titik P(-1,3) terhadap lingkaran x 2+ y 2 −2 x−6 y−20=0 .
Selidiki apakah garis kutub itu memotong, menyinggung atau tidak memotong lingkaran ?
Jawab : Persamaan garis kutubnya adalah −1 x+ 3 y−( x−1 )−3 ( y +3 )−20=0
x−14=0
Untuk menyelidikinya, kita cukup menunjukkan titik P terletak di dalam, di luar atau pada
lingkaran. Dengan substitusi P(-1,3) pada persamaan lingkaran diperoleh :
1+9+2−18−20=−26