PENERAPAN TURUNAN DALAM BIDANG FISIKA
PENERAPAN TURUNAN DALAM BIDANG FISIKA
PENERAPAN TURUNAN DALAM BIDANG FISIKA
Disusun oleh:
Nama
: Mariani manik
Kelas
: DIK A 2012
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIMED
I.
LATAR BELAKANG
Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik,
ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya.
Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda
dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari
sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus. Dalam subdisiplin listrik dan
magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari sebuah medan
elektromagnetik . Contoh historik lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton,
diekspresikan dengan laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum
dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja bada benda tersebut dengan
arah yang sama. Bahkan rumus umum dari hukum ke-dua Newton: Gaya = Massa × Percepatan,
mengandung diferensial kalkulus karena percepatan bisa diekspresikan sebagai turunan dari
kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga diekspresikan
dengan diferensial kalkulus.
II. PERMASALAHAN
1. Bagaimana penerapan Turunan dalam perhitungan kecepatan dan percepatan?
2. Bagaimana penerapan Turunan dalam menurunkan rumus rumus fisika ?
III. TUJUAN
1. Untuk mengetahui bagaimana penerapan turunan dalam bidang fisika
2. Untuk memenuhi tugas akhir kalkulus 1
IV. KAJIAN TEORI SINGKAT
Turunan
Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah
kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.
Kalkulus diferensial adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan
atau kemiringan dari sebuah grafik.
.
Konsep turunan secara fundamental lebih maju dan rumit daripada konsep yang ditemukan di
aljabar. Dalam aljabar, seorang murid mempelajari sebuah fungsi dengan input sebuat angka dan
output sebuah angka. Tetapi input dari turunan adalah sebuah fungsi dan outputnya juga adalah
sebuah fungsi.
Untuk memahami turunan, seorang murid harus mempelajari notasi matematika. Dalam notasi
matematika, salah satu simbol yang umumnya dipakai untuk menyatakan turunan dari sebuah
fungsi adalah apostrofi. Maka turunan dari f adalah f'.
.
Jika input dari sebuah fungsi adalah waktu, maka turunan dari fungsi itu adalah laju perubahan di
mana fungsi tersebut berubah.
Jika fungsi tersebut adalah fungsi linear, maka fungsi tersebut dapat ditulis dengan y=mx+b, di
mana:
.
Ini memberikan nilai dari kemiringan suatu garis lurus. Jika sebuah fungsi bukanlah garis lurus,
maka perubahan y dibagi terhadap perubahan x bervariasi, dan kita dapat menggunakan kalkulus
untuk menentukan nilai pada titik tertentu. Kemiringan dari suatu fungsi dapat diekspresikan:
di mana koordinat dari titik pertama adalah (x, f(x)) dan h adalah jarak horizontal antara dua titik.
Untuk menentukan kemiringan dari sebuat kurva, kita menggunakan limit:
Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f′(x) di suatu titik adalah
kemiringan dari garis singgung terhadap kurva di titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan
dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.
Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x2 pada titik (3,9):
Integral
Kalkulus integral adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari dua konsep
yang saling berhubungan, integral taktentu dan integral tertentu. Proses pencarian nilai dari
sebuah integral dinamakan pengintegralan (integration). Dengan kata lain, kalkulus integral
mempelajari dua operator linear yang saling berhubungan.
Integral taktentu adalah antiturunan, yakni kebalikan dari turunan. F adalah integral taktentu
dari f ketika f adalah turunan dari F.
Integral tertentu memasukkan sebuah fungsi dengan outputnya adalah sebuah angka, yang
mana memberikan luas antar grafik yang dimasukkan dengan sumbu x.
Contohnya adalah jarak yang ditempuh dengan lama waktu tertentu
Jika kecepatannya adalah konstan, perhitungan bisa dilakukan dengan perkalian, namun jika
kecepatan berubah, maka diperlukan sebuah metode yang lebih canggih. Salah satu metode
tersebut adalah memperkirakan jarak tempuh dengan memecahkan lama waktu menjadi banyak
interval waktu yang singkat, kemudian dikalikan dengan lama waktu tiap interval dengan salah
satu kecepatan di interval tersebut, dan kemudian menambahkan total keseluruhan jarak yang
didapat. Konsep dasarnya adalah, jika interval waktu sangat singkat, maka kecepatan dalam
interval tersebut tidak berubah banyak. Namun, penjumlahan Riemann hanya memberikan nilai
perkiraan. Kita harus mengambil sebuah limit untuk mengdapatkan hasil yang tepat.
Integral dapat dianggap sebagai pencarian luas daerah di bawah kurva f(x), antara dua titik a dan
b.
Jika f(x) pada diagram di samping mewakili kecepatan yang berubah-ubah, jarak yang ditempuh
antara dua waktu a dan b adalah luas daerah S yang diarsir.
Untuk memperkirakan luas, metode intuitif adalah dengan membagi jarak antar a dan b menjadi
beberapa segmen yang sama besar, panjang setiap segmen disimbolkan Δx. Untuk setiap segmel,
kita dapat memilih satu nilai dari fungsi f(x). Nilai tersebut misalkan adalah h. Maka luas daerah
persegi panjangan dengan lebar Δx dan tinggi h memberikan nilai jarak yang ditempuh di
segmen tersebut. Dengan menjumlahkan luas setiap segmen tersebut, maka didapatkan perkiraan
jarak tempuh antara a dan b. Nilai Δx yang lebih kecil akan memberikan perkiraan yang lebih
baik, dan mendapatkan nilai yang tepat ketika kita menngambil limit Δx mendekati nol.
Simbol dari integral adalah , berupa S yang dipanjangkan (singkatan dari "sum"). Integral
tertentu ditulis sebagai
dan dibaca "Integral dari a ke b dari f(x) terhadap x."
Integral tak tentu, atau anti derivatif, ditulis:
.
Oleh karena turunan dari fungsi y = x2 + C adalah y ' = 2x (di mana C adalah konstanta),
.
Teorema dasar
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling
berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral
tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada mengaplikasikan
definisi dari integral, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung
integral tertentu.
Teorema dasar kalkulus menyatakan: Jika sebuah fungsi f adalah kontiniu pada interval [a,b] dan
jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka
Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),
Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi,
bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya.
Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda
dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari
sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus. Dalam subdisiplin listrik dan
magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari sebuah medan
elektromagnetik . Contoh historik lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton,
diekspresikan dengan laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum
dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja bada benda tersebut dengan
arah yang sama. Bahkan rumus umum dari hukum ke-dua Newton: Gaya = Massa × Percepatan,
mengandung diferensial kalkulus karena percepatan bisa diekspresikan sebagai turunan dari
kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga diekspresikan
dengan diferensial kalkulus.
V. PEMBAHASAN
Dalam bidang fisika dibahas mengenai gerak lurus berubah beraturan, yang berarti bahwa
kecepatan benda selama bergerak tidaklah tetap. Misalnya benda bergerak menempuh jarak s
dalam waktu t. Kecepatan rata-rata dapat ditentukan dengan
Kecepatan rata-rata = =
Jika kecepatan pada saat t dinotasikan dengan v(t) maka kecepatan dirumuskan dengan
v(t) =
Jika fungsi kecepatan terhadap waktu v(t) diturunkan lagi maka akan diperoleh percepatan
a(t) =
dengan kata lain, percepatan pada waktu t adalah turunan pertama dari fungs kecepatan.
Percepatan juga diartikan sebagai turunan kedua dari fungsi jaraknya yaitu:
a(t) = = ( ) = = s”(t)
Aplikasi turunan dalam bidang fisika digunakan untuk menurunkan suatu rumus
Berikut contoh penerapan turunan dalam fisika :
1. Momentum Sudut
Didefinisikan l = r x p (p = mv). Besarnya momentum sudut : l = r p sin . Rumusan ini
dapat diubah menjadi : l = r (p sin) = r p atau l = p (r sin) = p r .
Dari definisi momentum sudut l = r x p, bila dideferensialkan diperoleh :
= d (r x p)/dt
= (r x ) + ( x p)
= (r x F) + (v x mv)
=
=F
2. Torsi
Sebuah benda berotasi dengan sumbu putar adalah sumbu z. Sebuah gaya F bekerja pada
salah satu partikel di titik P pada benda tersebut. Torsi yang bekerja pada partikel tersebut
adalah :
=rxF
Arah torsi searah dengan sumbu z. Setelah selang waktu dt partikel telah berputar
menempuh sudut d dan jarak yang ditempuh partikel ds, dimana ds = r d. Usaha yang
dilakukan gaya F untuk gerak rotasi ini
dW = F . ds
dW = F cos ds
dW = (F cos ) (r d)
dW = d
dW = F . ds
Laju usaha yang dilakukan (daya) adalah :
dW/dt = d/dt
P=
P=Fv
Untuk benda yang benar-benar tegar, tidak ada disipasi tenaga, sehingga laju
dilakukannya usaha pada benda tegar tersebut sama dengan laju pertambahan tenaga kinetik
rotasinya.
dW/dt = dK/dt
dW/dt = d(1/2 I 2)/dt
= 1/2 I d2/dt
= I d/dt
= I
=I
F=ma
Posisi partikel ditunjukkan oleh persamaan s=f(t)=t3-6t2+9t (t dalam detik dan s dalam meter).
Tentukan :
a. Kecepatan pada waktu t?
b. Kecepatan setelah 2 detik?
c. Kapan partikel berhenti?
d. Kapan partikel bergerak maju ?
Jawab :
a. Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi.
s=f(t)=t3-6t2+9t
v(t)= =3t2-12t+9
b. Kecepatan setelah 2 detik bermakna sebagai kecepatan sesaat pada t=2
v(t)= =3t2-12t+9
v(2)= 3(2)2-12(2)+9=-3m/dt
c. Partikel berhenti jika v(t)=0
v(t)= 3t2-12t+9=0
ó3t2-12t+9
ó3(t2-4t+3)
ó3(t-1)(t-3)=0
ó t1=1 dan t2=3 Partikel berhenti setelah t=1 atau t=3
d. Partikel bergerak maju (dalam arah positif) jika v(t)>0
3t2-12t+9=3(t-1)(t-3)>0
Partikel bergerak maju jika
t3 (dari mana ?)
Partikel bergerak mundur jika
1
PENERAPAN TURUNAN DALAM BIDANG FISIKA
Disusun oleh:
Nama
: Mariani manik
Kelas
: DIK A 2012
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIMED
I.
LATAR BELAKANG
Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik,
ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya.
Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda
dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari
sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus. Dalam subdisiplin listrik dan
magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari sebuah medan
elektromagnetik . Contoh historik lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton,
diekspresikan dengan laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum
dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja bada benda tersebut dengan
arah yang sama. Bahkan rumus umum dari hukum ke-dua Newton: Gaya = Massa × Percepatan,
mengandung diferensial kalkulus karena percepatan bisa diekspresikan sebagai turunan dari
kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga diekspresikan
dengan diferensial kalkulus.
II. PERMASALAHAN
1. Bagaimana penerapan Turunan dalam perhitungan kecepatan dan percepatan?
2. Bagaimana penerapan Turunan dalam menurunkan rumus rumus fisika ?
III. TUJUAN
1. Untuk mengetahui bagaimana penerapan turunan dalam bidang fisika
2. Untuk memenuhi tugas akhir kalkulus 1
IV. KAJIAN TEORI SINGKAT
Turunan
Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah
kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.
Kalkulus diferensial adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan
atau kemiringan dari sebuah grafik.
.
Konsep turunan secara fundamental lebih maju dan rumit daripada konsep yang ditemukan di
aljabar. Dalam aljabar, seorang murid mempelajari sebuah fungsi dengan input sebuat angka dan
output sebuah angka. Tetapi input dari turunan adalah sebuah fungsi dan outputnya juga adalah
sebuah fungsi.
Untuk memahami turunan, seorang murid harus mempelajari notasi matematika. Dalam notasi
matematika, salah satu simbol yang umumnya dipakai untuk menyatakan turunan dari sebuah
fungsi adalah apostrofi. Maka turunan dari f adalah f'.
.
Jika input dari sebuah fungsi adalah waktu, maka turunan dari fungsi itu adalah laju perubahan di
mana fungsi tersebut berubah.
Jika fungsi tersebut adalah fungsi linear, maka fungsi tersebut dapat ditulis dengan y=mx+b, di
mana:
.
Ini memberikan nilai dari kemiringan suatu garis lurus. Jika sebuah fungsi bukanlah garis lurus,
maka perubahan y dibagi terhadap perubahan x bervariasi, dan kita dapat menggunakan kalkulus
untuk menentukan nilai pada titik tertentu. Kemiringan dari suatu fungsi dapat diekspresikan:
di mana koordinat dari titik pertama adalah (x, f(x)) dan h adalah jarak horizontal antara dua titik.
Untuk menentukan kemiringan dari sebuat kurva, kita menggunakan limit:
Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f′(x) di suatu titik adalah
kemiringan dari garis singgung terhadap kurva di titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan
dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.
Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x2 pada titik (3,9):
Integral
Kalkulus integral adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari dua konsep
yang saling berhubungan, integral taktentu dan integral tertentu. Proses pencarian nilai dari
sebuah integral dinamakan pengintegralan (integration). Dengan kata lain, kalkulus integral
mempelajari dua operator linear yang saling berhubungan.
Integral taktentu adalah antiturunan, yakni kebalikan dari turunan. F adalah integral taktentu
dari f ketika f adalah turunan dari F.
Integral tertentu memasukkan sebuah fungsi dengan outputnya adalah sebuah angka, yang
mana memberikan luas antar grafik yang dimasukkan dengan sumbu x.
Contohnya adalah jarak yang ditempuh dengan lama waktu tertentu
Jika kecepatannya adalah konstan, perhitungan bisa dilakukan dengan perkalian, namun jika
kecepatan berubah, maka diperlukan sebuah metode yang lebih canggih. Salah satu metode
tersebut adalah memperkirakan jarak tempuh dengan memecahkan lama waktu menjadi banyak
interval waktu yang singkat, kemudian dikalikan dengan lama waktu tiap interval dengan salah
satu kecepatan di interval tersebut, dan kemudian menambahkan total keseluruhan jarak yang
didapat. Konsep dasarnya adalah, jika interval waktu sangat singkat, maka kecepatan dalam
interval tersebut tidak berubah banyak. Namun, penjumlahan Riemann hanya memberikan nilai
perkiraan. Kita harus mengambil sebuah limit untuk mengdapatkan hasil yang tepat.
Integral dapat dianggap sebagai pencarian luas daerah di bawah kurva f(x), antara dua titik a dan
b.
Jika f(x) pada diagram di samping mewakili kecepatan yang berubah-ubah, jarak yang ditempuh
antara dua waktu a dan b adalah luas daerah S yang diarsir.
Untuk memperkirakan luas, metode intuitif adalah dengan membagi jarak antar a dan b menjadi
beberapa segmen yang sama besar, panjang setiap segmen disimbolkan Δx. Untuk setiap segmel,
kita dapat memilih satu nilai dari fungsi f(x). Nilai tersebut misalkan adalah h. Maka luas daerah
persegi panjangan dengan lebar Δx dan tinggi h memberikan nilai jarak yang ditempuh di
segmen tersebut. Dengan menjumlahkan luas setiap segmen tersebut, maka didapatkan perkiraan
jarak tempuh antara a dan b. Nilai Δx yang lebih kecil akan memberikan perkiraan yang lebih
baik, dan mendapatkan nilai yang tepat ketika kita menngambil limit Δx mendekati nol.
Simbol dari integral adalah , berupa S yang dipanjangkan (singkatan dari "sum"). Integral
tertentu ditulis sebagai
dan dibaca "Integral dari a ke b dari f(x) terhadap x."
Integral tak tentu, atau anti derivatif, ditulis:
.
Oleh karena turunan dari fungsi y = x2 + C adalah y ' = 2x (di mana C adalah konstanta),
.
Teorema dasar
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling
berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral
tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada mengaplikasikan
definisi dari integral, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung
integral tertentu.
Teorema dasar kalkulus menyatakan: Jika sebuah fungsi f adalah kontiniu pada interval [a,b] dan
jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka
Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),
Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi,
bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya.
Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda
dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari
sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus. Dalam subdisiplin listrik dan
magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari sebuah medan
elektromagnetik . Contoh historik lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton,
diekspresikan dengan laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum
dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja bada benda tersebut dengan
arah yang sama. Bahkan rumus umum dari hukum ke-dua Newton: Gaya = Massa × Percepatan,
mengandung diferensial kalkulus karena percepatan bisa diekspresikan sebagai turunan dari
kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga diekspresikan
dengan diferensial kalkulus.
V. PEMBAHASAN
Dalam bidang fisika dibahas mengenai gerak lurus berubah beraturan, yang berarti bahwa
kecepatan benda selama bergerak tidaklah tetap. Misalnya benda bergerak menempuh jarak s
dalam waktu t. Kecepatan rata-rata dapat ditentukan dengan
Kecepatan rata-rata = =
Jika kecepatan pada saat t dinotasikan dengan v(t) maka kecepatan dirumuskan dengan
v(t) =
Jika fungsi kecepatan terhadap waktu v(t) diturunkan lagi maka akan diperoleh percepatan
a(t) =
dengan kata lain, percepatan pada waktu t adalah turunan pertama dari fungs kecepatan.
Percepatan juga diartikan sebagai turunan kedua dari fungsi jaraknya yaitu:
a(t) = = ( ) = = s”(t)
Aplikasi turunan dalam bidang fisika digunakan untuk menurunkan suatu rumus
Berikut contoh penerapan turunan dalam fisika :
1. Momentum Sudut
Didefinisikan l = r x p (p = mv). Besarnya momentum sudut : l = r p sin . Rumusan ini
dapat diubah menjadi : l = r (p sin) = r p atau l = p (r sin) = p r .
Dari definisi momentum sudut l = r x p, bila dideferensialkan diperoleh :
= d (r x p)/dt
= (r x ) + ( x p)
= (r x F) + (v x mv)
=
=F
2. Torsi
Sebuah benda berotasi dengan sumbu putar adalah sumbu z. Sebuah gaya F bekerja pada
salah satu partikel di titik P pada benda tersebut. Torsi yang bekerja pada partikel tersebut
adalah :
=rxF
Arah torsi searah dengan sumbu z. Setelah selang waktu dt partikel telah berputar
menempuh sudut d dan jarak yang ditempuh partikel ds, dimana ds = r d. Usaha yang
dilakukan gaya F untuk gerak rotasi ini
dW = F . ds
dW = F cos ds
dW = (F cos ) (r d)
dW = d
dW = F . ds
Laju usaha yang dilakukan (daya) adalah :
dW/dt = d/dt
P=
P=Fv
Untuk benda yang benar-benar tegar, tidak ada disipasi tenaga, sehingga laju
dilakukannya usaha pada benda tegar tersebut sama dengan laju pertambahan tenaga kinetik
rotasinya.
dW/dt = dK/dt
dW/dt = d(1/2 I 2)/dt
= 1/2 I d2/dt
= I d/dt
= I
=I
F=ma
Posisi partikel ditunjukkan oleh persamaan s=f(t)=t3-6t2+9t (t dalam detik dan s dalam meter).
Tentukan :
a. Kecepatan pada waktu t?
b. Kecepatan setelah 2 detik?
c. Kapan partikel berhenti?
d. Kapan partikel bergerak maju ?
Jawab :
a. Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi.
s=f(t)=t3-6t2+9t
v(t)= =3t2-12t+9
b. Kecepatan setelah 2 detik bermakna sebagai kecepatan sesaat pada t=2
v(t)= =3t2-12t+9
v(2)= 3(2)2-12(2)+9=-3m/dt
c. Partikel berhenti jika v(t)=0
v(t)= 3t2-12t+9=0
ó3t2-12t+9
ó3(t2-4t+3)
ó3(t-1)(t-3)=0
ó t1=1 dan t2=3 Partikel berhenti setelah t=1 atau t=3
d. Partikel bergerak maju (dalam arah positif) jika v(t)>0
3t2-12t+9=3(t-1)(t-3)>0
Partikel bergerak maju jika
t3 (dari mana ?)
Partikel bergerak mundur jika
1