HIMPUNAN RELASI FUNGSI DAN GRAFIK Copy (2)
HIMPUNAN,
RELASI, FUNGSI
DAN GRAFIK
Bima Dicky ad 21060113060030
Nina Ayuningtyas 21060115060034
Muhammad Rizka Ardiansyah 21060115060043
Apa itu himpunan?
• segala koleksi benda-benda tertentu yang
dianggap sebagai satu kesatuan
• Teori himpunan, yang baru diciptakan
pada akhir abad ke-19
Subbab
A. Notasi Himpunan
B. Himpunan Kosong
C. Relasi Antarhimpunan
D. Kelas
E. Kardinalitas
F. Fungsi Karakteristik
G. Representasi Biner
H. Operasi Dasar Himpunan
A. NOTASI HIMPUNAN
• Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf
besar, misalnya S, A, atauB, sementara anggota himpunan
ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z)
• Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak
membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan
cara seperti itu.
Nama
Notasi
Contoh
Himpunan
Huruf besar
S
Anggota himpunan
Huruf kecil (jika
merupakan huruf)
a
Kelas
Huruf tulisan tangan
C
Simbol
Arti
{} atau Ø
Himpunan kosong
Operasi gabungan dua himpunan
Operasi irisan dua himpunan
,,,
Subhimpunan, Subhimpunan sejati,
Superhimpunan, Superhimpunan sejati
Komplemen
Himpunan kuasa
Himpunan dapat didefinisikan
menjadi 2 yaitu
1. ENUMERASI
2. PEMBAGIAN HIMPUNAN
1. ENUMERASI
• Yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika
terlampaui bayak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat
digunakan ellipsis (…)
• Contoh:
B = {apel,jeruk,manga,pisang}
A = {a,b,c,…,y,z}
N ={1,2,3,4,…}
2. PEMBANGUN HIMPUNAN
• Notasi ini tidak dengan cara mendaftar, tetapi dengan
mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh
setiap anggota himpunan tersebut
• Notas pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai
paradox, contohnya seperti himpunan A={x|xA} yang
berarti “Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A
ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan
merupakan anggotanya.”
B. HIMPUNAN KOSONG
• Himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak memiliki
anggota apapun
• Notasi himpunan kosong Ø = { }
C. RELASI ANTARHIMPUNAN
a) HIMPUNAN BAGIAN
b) SUPERHIMPUNAN
c) KESAMAAN 2 HIMPUNAN
d) HIMPUNAN KUASA
a) HIMPUNAN BAGIAN
• Dalam suatu himpunan, missal A = {apel,jeruk,manga,pisang}, dapat
dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya diambil dari himpunan
itu sendiri
• Beberapa himpunan seperti {apel,jeruk} ; {jeruk,pisang} ;
{apel,mangga,pisang} merupakan himpunan bagian dari A, karena
memiliki sifat umum yaitu setiap anggota himpunan diatas merupakan
anggota himpunan A.
• Dari hal itu kemudian dapat dirumuskan “B adalah himpunan bagian dari
A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A”
• B A xx B x
• Untuk sembarang himpunan A = Ø A (mencakup
kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A
sendiri)
• Himpunan bagian sejati dari A menunjuk pada
himpunan bagian dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri (
B A B A B A)
b) SUPERHIMPUNAN
• Merupakan kebalikan dari subhimpunan, yaitu himpunan
yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut
c) KESAMAAN 2 HIMPUNAN
• Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap
anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap
anggota B adalah anggota A.
atau
• Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan
bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama,
buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian
buktikan bahwa Badalah subhimpunan A.
d) HIMPUNAN KUASA
• Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set)
dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh
himpunan bagian dari A. Notasinya adalah
• Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan
kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.
D. KELAS
• Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga
himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunanhimpunan.
• Himpunan A = {{a,b}, {c,d,e,f}, {a,c}, {,}} adalah
sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk
sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya
adalah sebuah keluarga himpunan
• Contoh: P = {{a,b},c} bukanlah sebuah kelas, karena
mengandung unsur c yang bukan himpunan
E. KARDINALITAS
• Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti
sebagai ukuran banyaknya anggota yang dikandung oleh
himpunan tersebut
• Contoh : Banyaknya anggota himpunan {apel, jeruk,
manga, pisang} adalah 4. Himpunan {p,q,r,s} anggota
nya sejumlah 4. Jadi kedua himpunan tersebut ekivalen
satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang
tinggi
• Kardinalitas terbagi menjadi 4 yaitu himpunan
denunerabel, himpunan berhingga, himpunan tercacah,
himpunan non-denumerabel
HIMPUNAN DENUMERABEL
• Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan
yaitu
himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut
denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut
sebagai kardinalitas
• Himpunan semua bilangan genap positif merupakan
himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi
satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan
bilangan asli, yang dinyatakan oleh 2n
HIMPUNAN BERHINGGA
• Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang
dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah
himpunan berhingga.
HIMPUNAN TERCACAH &
HIMPUNAN NON DENUMERABEL
• Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah
berhingga atau denumerabel.
• HIMPUNAN NON DENUMERABEL Himpunan yang tidak
tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Pembuktian bahwa
bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian
diagonal.
• Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil.
Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas
lanjutan
• Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki
kardinalitas karena terdapat korespondensi satu-satu
dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh
bilangan riil, yang salah satunya adalah
F. FUNGSI KARAKTERISTIK
• Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah anggota
terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak
• Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa
dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik
dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan
himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang
menyatakan ada tidaknya sebuah anggota dalam
himpunan tersebut.
G. REPRESENTASI BINER
• Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S,
maka setiap himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka
0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner
• Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap
posisi bit dikaitkan dengan masing-masing anggota S, sehingga nilai 1
menunjukkan bahwa anggota tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan
bahwa anggota tersebut tidak ada
• Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari
himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f,
g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}
• Maka akan menjadi :
Himpunan Representasi Biner
----------------------------
------------------abcdefg
S = { a, b, c, d, e, f, g } --> 1 1 1 1 1 1 1
A = { a,
B={
c,
e, f
b, c, d,
f
} --> 1 0 1 0 1 1 0
} --> 0 1 1 1 0 1 0
• Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk
melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union (gabungan),
interseksi (irisan), dan komplemen(pelengkap), karena kita tinggal
menggunakan operasi bit untuk melakukannya.
• Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompilerkompiler Pascal dan jugaDelphi
H. OPERASI DASAR HIMPUNAN
1. GABUNGAN
2. IRISAN
GABUNGAN
IRISAN
• Dua himpunan atau lebih yang digabungkan
• Operasi irisan A ∩ B setara
bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|
1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota
himpunannya adalah semua anggota yang
termasuk himpunan A ataupun B.
•
•
•
•
•
•
•
Beberapa sifat dasar gabungan:
A ∪ B = B ∪ A.
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
dengan A dan B. Irisan merupakan
himpunan baru yang anggotanya terdiri
dari anggota yang dimiliki bersama
antara dua atau lebih himpunan yang
terhubung. Jika A ∩ B = ∅,
maka A dan B dapat
dikatakan disjoint (terpisah).
A ⊆ (A ∪ B).
• Beberapa sifat dasar irisan:
A ∪ A = A.
• A ∩ B = B ∩ A.
A ∪ ∅ = A.
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
A ⊆ B jika and hanya jika A ∪ B = B.
• A ∩ B ⊆ A.
• A ∩ A = A.
• A ∩ ∅ = ∅.
3. KOMPLEMEN
4. HASIL KALI
KARTESIAN
Prinsip Dualitas pada Himpunan
Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan
himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan komplemen. Jika
S* diperoleh dari S dengan mengganti
, , U, U ,
sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan
S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.
KOMPLEMEN
HASIL KALI KARTESIAN
• Operasi pelengkap A^C setara
• Hasil Kali Kartesian atau perkalian
dengan not A atau A'. Operasi komplemen
merupakan operasi yang anggotanya terdiri
dari anggota di luar himpunan tersebut.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
himpunan merupakan operasi yang
menggabungkan anggota suatu
himpunan dengan himpunan lainnya.
Perkalian himpunan
antara A dan B didefinisikan
dengan A × B. Anggota himpunan |
A × B | adalah pasangan terurut (a,b)
dimana a adalah anggota himpunan A
dan b adalah anggota himpunan B.
Beberapa sifat dasar komplemen:
A \ B ≠ B \ A untuk A ≠ B.
A ∪ A′ = U.
A ∩ A′ = ∅.
(A′)′ = A.
A \ A = ∅.
U′ = ∅ dan ∅′ = U.
A \ B = A ∩ B′.
Ekstensi dari komplemen adalah diferensi
simetris (pengurangan himpunan), jika
diterapkan untuk
himpunan A dan B atau A - Bmenghasilkan
• Beberapa sifat dasar himpunan
perkalian:
•
•
•
•
A × ∅ = ∅.
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
| A × B | = | B × A | = | A | × | B |.
RELASI
• Relasi adalah aturan yang menghubungkan himpunan
yang satu dengan himpunan yang lainnya. Relasi
himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggotaanggota A dengan anggota-anggota B.
• Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama
dengan B), maka relasi R dari A ke B adalah subhimpunan
dari A×B.
RELASI DAN FUNGSI
PROPOSISI
• Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau
kalimat terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah
relasi tersebut.
• Sebagai contoh, pandang himpunan B = { apel, jeruk, mangga,
pisang } dengan himpunan W = { hijau, kuning, orange}. Suatu
relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai R = {(apel, hijau), (jeruk,
orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}. Terdapat fungsi
proposisi w(x, y) = "x berwarna y", yang himpunan penyelesaiannya
adalah {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang,
kuning)}, yang tidak lain adalah relasi R.
Contoh
A = {2,3,4,5,6}
B = {1,2,3,4,5,6}
Relasi : “adalah faktor dari“
Dapat disajikan dalam dua macam cara, yaitu :
a. Dengan Diagram Panah
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
b. Dengan Diagram Pasangan Berurutan
R = {(2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5), (6,6)}
Dengan menggunakan penyajian relasi di atas, maka relasi R dari
himpunan A ke himpunan B dapat kita definisikan sebagai himpunan
pasangan (a,b) pada AxB, di mana a C A dan b C B salah satu dari
kalimat berikut:
(1)“a berelasi dengan b” ditulis a Rb atau R(a,b)
(2) “a tidak berelasi dengan b” ditulis a R b atau R(a,b)
1.Relasi Sebagai Himpunan Dari Pasangan-Pasangan Terurut
Misalkan R* sebarang subhimpunan dari A x B dimana suatu relasi R
= (A,B, P (x, y)) dimana P (x, y) berbunyi : “Pasangan terurut (x, y)
termasuk dalam R*”. Suatu Relasi R dari A ke B adalah subhimpunan
dari A x B.
2.Relasi Invers
Setiap relasi R dari A ke B mempunyai suatu relasi invers R -1 dari B
ke A yang didefinisikan dengan :
R-1 = {(b, a) ½(a, b) Î R}
Relasi A×A
• Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri,
dapat memiliki sifat-sifat berikut:
1. Refleksif
2. Irefleksif
3. Simetrik
4. Anti-simetrik
5. Transitif
• Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.
3.Relasi Refleksif
• Misalkan R= P(x,y) suatu relasi dalam sebuah himpunan A, yaitu
misalkan R sebuah subhimpunan dari A x A. Maka R disebut suatu
relasi refleksif jika, untuk setiap a Î A, (a, a) Î R
• Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap
elemen A berhubungan dengan dirinya.
• Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu
bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh
manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama
dengan dirinya sendiri.
4. Relasi Irefleksif
• Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika
setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya
sendiri.
• Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur
rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah
setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang
hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi
sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak
ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur
rambutnya sendiri.
• Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi
< dan > adalah irefleksif.
5.Relasi Simetris
• Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika
setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain.
Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga
terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.
• Sebuah relasi
genap” adalah relasi simetrik, karena
untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi
relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x,
relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan
(5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.
6. Relasi Anti -Semetris
Suatu relasi R adalah dalam sebuah himpunan A, yaitu sebuah
subhimpunan dari A x A, disebut suatu relasi antisimetris jika : (a, b)
Î R dan (b, a) Î R maka berarti a = b, jika a ¹ b maka mungkin a
berhubungan dengan b dan mungkin b, berhubungan dengan a,
tetapi tidak pernah kedua-duanya.
Misalkan D menyatakan garis diagonal dari A x A, yaitu himpunan
dari semua pasangan terurut (a, a) Î A x A. Maka suatu relasi R
dalam A adalah anti simetris jika dan hanya jika
R R-1 Ì D
• Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai
kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk
ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya
mengandung satu implikasi.
7. Relasi Transitif
• Sebuah
relasi
disebut
transitif
jika
memiliki
sifat,
jika a berhubungan
dengan b,
dan b berhubungan
dengan c,
maka a berhubungan dengan c secara langsung.
• Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7,
berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.
8. Relasi Ekuivalen
Suatu Relasi R dalam himpunan A adalah suatu relasi ekuivalen jika
1) R adalah refleksif, yaitu untuk setiap a Î A, (a, a) Î R
2) R adalah simetris, yaitu jika (a, b) Î R maka (b, a) Î R
3) R adalah transitif yaitu jika (a, b) Î R dan (b, c) Î R maka (a, c) Î
R
9. Ranah Dan Jangkau Dari Suatu Fungsi
Misalkan R suatu relasi dari A ke B, yaitu misalkan R subhimpunan dari A
x B. Ranah (dominan) D dari relasi R adalah himpunan dari semua elemen
pertama dalam pasangan-pasangan terurut yang termasuk R yaitu :
D = {(a½a Î A, (a, b) Î R}
Jangkau (range) E dari relasi R terdiri atas semua elemen kedua yang
muncul dalam pasangan-pasangan terurut dalam R, yaitu
E = {b | b Î B, (a, b) Î R}
Jadi ranah suatu relasi dari A ke B adalah subhimpunan dari A dan
jangkaunya adalah subhimpunan dari B.
Contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c}, dan R = {(2, a), (4, a),
(4, c)}
Maka ranah dari R adalah himpunan {2, 4}, dan jangkau dari R adalah
himpunan {a, c}.
FUNGSI
Relasi fungsional atau sering disingkat fungsi sering juga
disebut
dengan
istilah
pemetaan
(mapping)
yang
didefinisikan sebagai berikut.
Definisi:
Suatu fungsi f dari himpunan A ke B adalah suatu relasi
yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal
dengan elemen pada B.
Grafik contoh sebuah fungsi,
Baik domain maupun kisaran dalam gambar adalah himpunan
bilangan riil di antara -1 dan 1,5
Contoh 1.
A
B
C
D
W
X
Y
Z
Gambar di atas adalah fugsi karena terdapat relasi (yang melibatkan dua
himpunan yakni A dan B) dan dan pemasangan setiap elemen A adalah secara
tunggal.
Contoh 2.
A
B
C
D
W
X
Y
Z
Gambar di atas bukan merupakan fungsi karena ada elemen A yang
dipasangkan tidak secara tunggal dengan elemen pada B
Sifat Fungsi
1.Injektif (satu-satu)
Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi
satu-satu, apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan
pada dua elemen yang berbeda di B.
Adapun fungsi pada A = {bilangan asli} yang didefinisikan dengan f(x) =
2x adalah fungsi satu-satu, sebab kelipatan dua dari setiap dua bilangan
yang berlainan adalah berlainan pula.
2. Surjektif (onto)
Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah
hasil f(A) dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B.
Apabila f(A) = B, yang berarti setiap elemen di B pasti merupakan
peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di A maka kita katakan f
adalah suatu fungsi surjektif atau “f memetakan A onto B”
3. Bijektif (korespondensi satu-satu)
Suatu pemetaan f: A->B sedemikian rupa sehingga f merupakan
fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah
fungsi yang bijektif” atau “A dan B berada dalam korespondensi satusatu”
Jenis-jenis Fungsi
1. Fungsi Konstan
F: x -> C dengan C konstan disebut fungsi konstan (tetap). Fungsi f
memetakan setiap bilangan real dengan C.
2. Fungsi Identitas
Fungsi R -> R yang didefinisikan sebagai :
F : x -> disebut fungsi identitas
3. Fungsi Linear
Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax+b, a dan b
konstan dengan a tidak sama denga 0 disebut fungsi linear
4. Fungsi Kuadrat
Fungsi f: R -> R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c
dengan a, b, c C R dan a tidak sama dengan 0 disebut fungsi
kuadrat.
5. Fungsi Rasional
Fungsi rasional adalah suatu fungsi terbentuk f(x) = p(x)/q(x) dengan
p(x) dan q(x) adalah suku banyak dalam x dan q(x) tidak sama
dengan 0
DOMAIN DAN KODOMAIN
• Pada diagram di samping,
X merupakan domain dari
fungsi f, Y merupakan
kodomain
• Domain adalah daerah
asal, kodomain adalah
daerah kawan, sedangkan
range adalah daerah hasil
GRAFIK
• Fungsi kuadrat (quadratic function) adalah fungsi
polinomial yang berderajat dua. Bentuk umum dari fungsi
kuadrat adalah f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0. Fungsi kuadrat
dapat memotong sumbu-x 2 kali, 1 kali, atau tidak
memotong sumbu-x sama sekali.
• fungsi kuadrat yang memotong sumbu-x minimal di satu
titik, misalkan di titik-titik (x1, 0) dan (x2, 0). Sehingga
didapatkan f(x1) = f(x2) = 0. Apabila fungsi kuadrat yang
memotong sumbu-x di dua titik tersebut melalui titik
(x3, y3), maka fungsi kuadrat tersebut dapat ditentukan
bentuknya, yaitu sebagai berikut:
DAFTAR PUSTAKA
RELASI, FUNGSI
DAN GRAFIK
Bima Dicky ad 21060113060030
Nina Ayuningtyas 21060115060034
Muhammad Rizka Ardiansyah 21060115060043
Apa itu himpunan?
• segala koleksi benda-benda tertentu yang
dianggap sebagai satu kesatuan
• Teori himpunan, yang baru diciptakan
pada akhir abad ke-19
Subbab
A. Notasi Himpunan
B. Himpunan Kosong
C. Relasi Antarhimpunan
D. Kelas
E. Kardinalitas
F. Fungsi Karakteristik
G. Representasi Biner
H. Operasi Dasar Himpunan
A. NOTASI HIMPUNAN
• Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf
besar, misalnya S, A, atauB, sementara anggota himpunan
ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z)
• Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak
membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan
cara seperti itu.
Nama
Notasi
Contoh
Himpunan
Huruf besar
S
Anggota himpunan
Huruf kecil (jika
merupakan huruf)
a
Kelas
Huruf tulisan tangan
C
Simbol
Arti
{} atau Ø
Himpunan kosong
Operasi gabungan dua himpunan
Operasi irisan dua himpunan
,,,
Subhimpunan, Subhimpunan sejati,
Superhimpunan, Superhimpunan sejati
Komplemen
Himpunan kuasa
Himpunan dapat didefinisikan
menjadi 2 yaitu
1. ENUMERASI
2. PEMBAGIAN HIMPUNAN
1. ENUMERASI
• Yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika
terlampaui bayak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat
digunakan ellipsis (…)
• Contoh:
B = {apel,jeruk,manga,pisang}
A = {a,b,c,…,y,z}
N ={1,2,3,4,…}
2. PEMBANGUN HIMPUNAN
• Notasi ini tidak dengan cara mendaftar, tetapi dengan
mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh
setiap anggota himpunan tersebut
• Notas pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai
paradox, contohnya seperti himpunan A={x|xA} yang
berarti “Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A
ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan
merupakan anggotanya.”
B. HIMPUNAN KOSONG
• Himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak memiliki
anggota apapun
• Notasi himpunan kosong Ø = { }
C. RELASI ANTARHIMPUNAN
a) HIMPUNAN BAGIAN
b) SUPERHIMPUNAN
c) KESAMAAN 2 HIMPUNAN
d) HIMPUNAN KUASA
a) HIMPUNAN BAGIAN
• Dalam suatu himpunan, missal A = {apel,jeruk,manga,pisang}, dapat
dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya diambil dari himpunan
itu sendiri
• Beberapa himpunan seperti {apel,jeruk} ; {jeruk,pisang} ;
{apel,mangga,pisang} merupakan himpunan bagian dari A, karena
memiliki sifat umum yaitu setiap anggota himpunan diatas merupakan
anggota himpunan A.
• Dari hal itu kemudian dapat dirumuskan “B adalah himpunan bagian dari
A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A”
• B A xx B x
• Untuk sembarang himpunan A = Ø A (mencakup
kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A
sendiri)
• Himpunan bagian sejati dari A menunjuk pada
himpunan bagian dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri (
B A B A B A)
b) SUPERHIMPUNAN
• Merupakan kebalikan dari subhimpunan, yaitu himpunan
yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut
c) KESAMAAN 2 HIMPUNAN
• Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap
anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap
anggota B adalah anggota A.
atau
• Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan
bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama,
buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian
buktikan bahwa Badalah subhimpunan A.
d) HIMPUNAN KUASA
• Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set)
dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh
himpunan bagian dari A. Notasinya adalah
• Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan
kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.
D. KELAS
• Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga
himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunanhimpunan.
• Himpunan A = {{a,b}, {c,d,e,f}, {a,c}, {,}} adalah
sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk
sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya
adalah sebuah keluarga himpunan
• Contoh: P = {{a,b},c} bukanlah sebuah kelas, karena
mengandung unsur c yang bukan himpunan
E. KARDINALITAS
• Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti
sebagai ukuran banyaknya anggota yang dikandung oleh
himpunan tersebut
• Contoh : Banyaknya anggota himpunan {apel, jeruk,
manga, pisang} adalah 4. Himpunan {p,q,r,s} anggota
nya sejumlah 4. Jadi kedua himpunan tersebut ekivalen
satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang
tinggi
• Kardinalitas terbagi menjadi 4 yaitu himpunan
denunerabel, himpunan berhingga, himpunan tercacah,
himpunan non-denumerabel
HIMPUNAN DENUMERABEL
• Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan
yaitu
himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut
denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut
sebagai kardinalitas
• Himpunan semua bilangan genap positif merupakan
himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi
satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan
bilangan asli, yang dinyatakan oleh 2n
HIMPUNAN BERHINGGA
• Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang
dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah
himpunan berhingga.
HIMPUNAN TERCACAH &
HIMPUNAN NON DENUMERABEL
• Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah
berhingga atau denumerabel.
• HIMPUNAN NON DENUMERABEL Himpunan yang tidak
tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Pembuktian bahwa
bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian
diagonal.
• Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil.
Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas
lanjutan
• Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki
kardinalitas karena terdapat korespondensi satu-satu
dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh
bilangan riil, yang salah satunya adalah
F. FUNGSI KARAKTERISTIK
• Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah anggota
terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak
• Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa
dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik
dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan
himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang
menyatakan ada tidaknya sebuah anggota dalam
himpunan tersebut.
G. REPRESENTASI BINER
• Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S,
maka setiap himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka
0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner
• Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap
posisi bit dikaitkan dengan masing-masing anggota S, sehingga nilai 1
menunjukkan bahwa anggota tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan
bahwa anggota tersebut tidak ada
• Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari
himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f,
g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}
• Maka akan menjadi :
Himpunan Representasi Biner
----------------------------
------------------abcdefg
S = { a, b, c, d, e, f, g } --> 1 1 1 1 1 1 1
A = { a,
B={
c,
e, f
b, c, d,
f
} --> 1 0 1 0 1 1 0
} --> 0 1 1 1 0 1 0
• Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk
melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union (gabungan),
interseksi (irisan), dan komplemen(pelengkap), karena kita tinggal
menggunakan operasi bit untuk melakukannya.
• Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompilerkompiler Pascal dan jugaDelphi
H. OPERASI DASAR HIMPUNAN
1. GABUNGAN
2. IRISAN
GABUNGAN
IRISAN
• Dua himpunan atau lebih yang digabungkan
• Operasi irisan A ∩ B setara
bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|
1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota
himpunannya adalah semua anggota yang
termasuk himpunan A ataupun B.
•
•
•
•
•
•
•
Beberapa sifat dasar gabungan:
A ∪ B = B ∪ A.
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
dengan A dan B. Irisan merupakan
himpunan baru yang anggotanya terdiri
dari anggota yang dimiliki bersama
antara dua atau lebih himpunan yang
terhubung. Jika A ∩ B = ∅,
maka A dan B dapat
dikatakan disjoint (terpisah).
A ⊆ (A ∪ B).
• Beberapa sifat dasar irisan:
A ∪ A = A.
• A ∩ B = B ∩ A.
A ∪ ∅ = A.
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
A ⊆ B jika and hanya jika A ∪ B = B.
• A ∩ B ⊆ A.
• A ∩ A = A.
• A ∩ ∅ = ∅.
3. KOMPLEMEN
4. HASIL KALI
KARTESIAN
Prinsip Dualitas pada Himpunan
Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan
himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan komplemen. Jika
S* diperoleh dari S dengan mengganti
, , U, U ,
sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan
S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.
KOMPLEMEN
HASIL KALI KARTESIAN
• Operasi pelengkap A^C setara
• Hasil Kali Kartesian atau perkalian
dengan not A atau A'. Operasi komplemen
merupakan operasi yang anggotanya terdiri
dari anggota di luar himpunan tersebut.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
himpunan merupakan operasi yang
menggabungkan anggota suatu
himpunan dengan himpunan lainnya.
Perkalian himpunan
antara A dan B didefinisikan
dengan A × B. Anggota himpunan |
A × B | adalah pasangan terurut (a,b)
dimana a adalah anggota himpunan A
dan b adalah anggota himpunan B.
Beberapa sifat dasar komplemen:
A \ B ≠ B \ A untuk A ≠ B.
A ∪ A′ = U.
A ∩ A′ = ∅.
(A′)′ = A.
A \ A = ∅.
U′ = ∅ dan ∅′ = U.
A \ B = A ∩ B′.
Ekstensi dari komplemen adalah diferensi
simetris (pengurangan himpunan), jika
diterapkan untuk
himpunan A dan B atau A - Bmenghasilkan
• Beberapa sifat dasar himpunan
perkalian:
•
•
•
•
A × ∅ = ∅.
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
| A × B | = | B × A | = | A | × | B |.
RELASI
• Relasi adalah aturan yang menghubungkan himpunan
yang satu dengan himpunan yang lainnya. Relasi
himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggotaanggota A dengan anggota-anggota B.
• Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama
dengan B), maka relasi R dari A ke B adalah subhimpunan
dari A×B.
RELASI DAN FUNGSI
PROPOSISI
• Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau
kalimat terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah
relasi tersebut.
• Sebagai contoh, pandang himpunan B = { apel, jeruk, mangga,
pisang } dengan himpunan W = { hijau, kuning, orange}. Suatu
relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai R = {(apel, hijau), (jeruk,
orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}. Terdapat fungsi
proposisi w(x, y) = "x berwarna y", yang himpunan penyelesaiannya
adalah {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang,
kuning)}, yang tidak lain adalah relasi R.
Contoh
A = {2,3,4,5,6}
B = {1,2,3,4,5,6}
Relasi : “adalah faktor dari“
Dapat disajikan dalam dua macam cara, yaitu :
a. Dengan Diagram Panah
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
b. Dengan Diagram Pasangan Berurutan
R = {(2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5), (6,6)}
Dengan menggunakan penyajian relasi di atas, maka relasi R dari
himpunan A ke himpunan B dapat kita definisikan sebagai himpunan
pasangan (a,b) pada AxB, di mana a C A dan b C B salah satu dari
kalimat berikut:
(1)“a berelasi dengan b” ditulis a Rb atau R(a,b)
(2) “a tidak berelasi dengan b” ditulis a R b atau R(a,b)
1.Relasi Sebagai Himpunan Dari Pasangan-Pasangan Terurut
Misalkan R* sebarang subhimpunan dari A x B dimana suatu relasi R
= (A,B, P (x, y)) dimana P (x, y) berbunyi : “Pasangan terurut (x, y)
termasuk dalam R*”. Suatu Relasi R dari A ke B adalah subhimpunan
dari A x B.
2.Relasi Invers
Setiap relasi R dari A ke B mempunyai suatu relasi invers R -1 dari B
ke A yang didefinisikan dengan :
R-1 = {(b, a) ½(a, b) Î R}
Relasi A×A
• Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri,
dapat memiliki sifat-sifat berikut:
1. Refleksif
2. Irefleksif
3. Simetrik
4. Anti-simetrik
5. Transitif
• Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.
3.Relasi Refleksif
• Misalkan R= P(x,y) suatu relasi dalam sebuah himpunan A, yaitu
misalkan R sebuah subhimpunan dari A x A. Maka R disebut suatu
relasi refleksif jika, untuk setiap a Î A, (a, a) Î R
• Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap
elemen A berhubungan dengan dirinya.
• Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu
bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh
manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama
dengan dirinya sendiri.
4. Relasi Irefleksif
• Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika
setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya
sendiri.
• Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur
rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah
setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang
hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi
sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak
ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur
rambutnya sendiri.
• Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi
< dan > adalah irefleksif.
5.Relasi Simetris
• Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika
setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain.
Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga
terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.
• Sebuah relasi
genap” adalah relasi simetrik, karena
untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi
relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x,
relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan
(5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.
6. Relasi Anti -Semetris
Suatu relasi R adalah dalam sebuah himpunan A, yaitu sebuah
subhimpunan dari A x A, disebut suatu relasi antisimetris jika : (a, b)
Î R dan (b, a) Î R maka berarti a = b, jika a ¹ b maka mungkin a
berhubungan dengan b dan mungkin b, berhubungan dengan a,
tetapi tidak pernah kedua-duanya.
Misalkan D menyatakan garis diagonal dari A x A, yaitu himpunan
dari semua pasangan terurut (a, a) Î A x A. Maka suatu relasi R
dalam A adalah anti simetris jika dan hanya jika
R R-1 Ì D
• Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai
kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk
ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya
mengandung satu implikasi.
7. Relasi Transitif
• Sebuah
relasi
disebut
transitif
jika
memiliki
sifat,
jika a berhubungan
dengan b,
dan b berhubungan
dengan c,
maka a berhubungan dengan c secara langsung.
• Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7,
berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.
8. Relasi Ekuivalen
Suatu Relasi R dalam himpunan A adalah suatu relasi ekuivalen jika
1) R adalah refleksif, yaitu untuk setiap a Î A, (a, a) Î R
2) R adalah simetris, yaitu jika (a, b) Î R maka (b, a) Î R
3) R adalah transitif yaitu jika (a, b) Î R dan (b, c) Î R maka (a, c) Î
R
9. Ranah Dan Jangkau Dari Suatu Fungsi
Misalkan R suatu relasi dari A ke B, yaitu misalkan R subhimpunan dari A
x B. Ranah (dominan) D dari relasi R adalah himpunan dari semua elemen
pertama dalam pasangan-pasangan terurut yang termasuk R yaitu :
D = {(a½a Î A, (a, b) Î R}
Jangkau (range) E dari relasi R terdiri atas semua elemen kedua yang
muncul dalam pasangan-pasangan terurut dalam R, yaitu
E = {b | b Î B, (a, b) Î R}
Jadi ranah suatu relasi dari A ke B adalah subhimpunan dari A dan
jangkaunya adalah subhimpunan dari B.
Contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c}, dan R = {(2, a), (4, a),
(4, c)}
Maka ranah dari R adalah himpunan {2, 4}, dan jangkau dari R adalah
himpunan {a, c}.
FUNGSI
Relasi fungsional atau sering disingkat fungsi sering juga
disebut
dengan
istilah
pemetaan
(mapping)
yang
didefinisikan sebagai berikut.
Definisi:
Suatu fungsi f dari himpunan A ke B adalah suatu relasi
yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal
dengan elemen pada B.
Grafik contoh sebuah fungsi,
Baik domain maupun kisaran dalam gambar adalah himpunan
bilangan riil di antara -1 dan 1,5
Contoh 1.
A
B
C
D
W
X
Y
Z
Gambar di atas adalah fugsi karena terdapat relasi (yang melibatkan dua
himpunan yakni A dan B) dan dan pemasangan setiap elemen A adalah secara
tunggal.
Contoh 2.
A
B
C
D
W
X
Y
Z
Gambar di atas bukan merupakan fungsi karena ada elemen A yang
dipasangkan tidak secara tunggal dengan elemen pada B
Sifat Fungsi
1.Injektif (satu-satu)
Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi
satu-satu, apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan
pada dua elemen yang berbeda di B.
Adapun fungsi pada A = {bilangan asli} yang didefinisikan dengan f(x) =
2x adalah fungsi satu-satu, sebab kelipatan dua dari setiap dua bilangan
yang berlainan adalah berlainan pula.
2. Surjektif (onto)
Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah
hasil f(A) dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B.
Apabila f(A) = B, yang berarti setiap elemen di B pasti merupakan
peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di A maka kita katakan f
adalah suatu fungsi surjektif atau “f memetakan A onto B”
3. Bijektif (korespondensi satu-satu)
Suatu pemetaan f: A->B sedemikian rupa sehingga f merupakan
fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah
fungsi yang bijektif” atau “A dan B berada dalam korespondensi satusatu”
Jenis-jenis Fungsi
1. Fungsi Konstan
F: x -> C dengan C konstan disebut fungsi konstan (tetap). Fungsi f
memetakan setiap bilangan real dengan C.
2. Fungsi Identitas
Fungsi R -> R yang didefinisikan sebagai :
F : x -> disebut fungsi identitas
3. Fungsi Linear
Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax+b, a dan b
konstan dengan a tidak sama denga 0 disebut fungsi linear
4. Fungsi Kuadrat
Fungsi f: R -> R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c
dengan a, b, c C R dan a tidak sama dengan 0 disebut fungsi
kuadrat.
5. Fungsi Rasional
Fungsi rasional adalah suatu fungsi terbentuk f(x) = p(x)/q(x) dengan
p(x) dan q(x) adalah suku banyak dalam x dan q(x) tidak sama
dengan 0
DOMAIN DAN KODOMAIN
• Pada diagram di samping,
X merupakan domain dari
fungsi f, Y merupakan
kodomain
• Domain adalah daerah
asal, kodomain adalah
daerah kawan, sedangkan
range adalah daerah hasil
GRAFIK
• Fungsi kuadrat (quadratic function) adalah fungsi
polinomial yang berderajat dua. Bentuk umum dari fungsi
kuadrat adalah f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0. Fungsi kuadrat
dapat memotong sumbu-x 2 kali, 1 kali, atau tidak
memotong sumbu-x sama sekali.
• fungsi kuadrat yang memotong sumbu-x minimal di satu
titik, misalkan di titik-titik (x1, 0) dan (x2, 0). Sehingga
didapatkan f(x1) = f(x2) = 0. Apabila fungsi kuadrat yang
memotong sumbu-x di dua titik tersebut melalui titik
(x3, y3), maka fungsi kuadrat tersebut dapat ditentukan
bentuknya, yaitu sebagai berikut:
DAFTAR PUSTAKA