POWER DAN SIZE DISTRIBUSI NORMAL DANAPLIKASINYA

  

Tema 7: Ilmu-ilmu murni (Matematika, Fisika, Kimia dan Biologi)

POWER DAN SIZE DISTRIBUSI NORMAL DANAPLIKASINYA

  

Oleh

1*

  1

  1

  2 Pratikno, B , Jajang , Setianingsih , dan Sudarwo, R

1 Department of Mathematics, FMIPA, Jenderal Soedirman University

  

Purwokerto, Indonesia

2 Universitas Terbuka, UPBJJ-UT, Purwokerto *

  

Penulis koresponden: bpratikto@gmail.com

ABSTRAK

  Penelitian ini membahas power dan size pada distribusi normal dan aplikasinya pada model regresi linier. Formula power dan size diturunkan secara analitik, sedangkan aplikasi testing dengan non-sample prior information (NSPI), unrestricted test (UT), restrcited test (RT) dan pre-

  

test test (PTT) pada model regresi linier dilakukan pada data generate yang distandarisasi dari R

package. Pemilihan rekomendasi test yang signifikan adalah menggunakan nilai maksimum power

  dan minimum size dan juga graphically analysispower and size of the tests (UT, RT, dan PTT). Hasil riset menunjukan bahwa jika power dan sizedistribusi normal untuk (standar deviasi) semakin besar maka nilai power dan size menuju hasil yang cenderung identik dan atau flat.

  Sementara itu, aplikasinya menunjukan bahwa grafik UT, RT, dan PTT data terstandarisasi menghasilkan grafik yang similar sebagaima hasil riset terdahulu yang dilakukan Pratikno (2012), yaitu kurva PTT cenderung terletak diantara UT dan RT. Kata kunci:Power, regresi linier, size.

  ABSTRACT The research studied power and size of normal distribution and its applications on

regression linear model. The power and size formula are derived analytically and the tests are

unrestricted test (UT), restrcited test (RT) and pre-test test (PTT). Recommendation test is given by

choosing maximum power and minimum size, and also graphically analysis. The result showed that

the power and size for large standard deviation ( ) tend to be identical and flat.In simulation

study, the graphs of theUT, RT, dan PTT are still similarwith the previous research (Pratikno,

2012), the PTT tend to lie between UT and RT. Keyword:Power, regression linear model, size.

  PENDAHULUAN

  Distribusi normalsering disebut Gaussian distribution yang dikembangkan oleh Karl Gauss dengan probability density function (pdf) univariat normal untuk variabel randomX dengan ₂

  ( )

  parameter mean  dan variance _{1 x  2}  dinyatakan sebagai

        1 _{2 }

   

  . (1)

  ( ) , , dengan    dan      f x  e     x

   2  Perhitungan integralprobability density function (pdf) dan cumulativie distribution function (cdf) persamaan (1) rumit dan sulit sehingga harus diselesaikan secara numerik, demikian juga perhitingan untuk power yang merupakan probabilitas menolak hipotesis nol (H ) under hipotesis alternatif (H )

  Penggunaan distribusi normal initelah banyak dilakukan oleh beberapa peneliti, diantaranya Pratikno (2012) menggunakan distribusi ini untuk perhitung power of the testsunrestricted test

  

(UT) dan restricted test (RT) untuk pengujian intersep yang menggunakan treatmentnon-sample

prior information (NSPI) pada model regresi linier, demikian juga Khan(2005, 2008), Khan and

  Saleh (1997, 2005, 2008), Khan and Hoque (2003), dan Saleh (2006) berkontribusi pada pengembangan area riset dibidang estimasi yang melibatkan penggunaan R-code dari R-package.

  Karena pentingnya nilai power dan size dalam menentukan signifikansi testing UT, RT dan

  

pre-test test (PTT) yang mendapat treatment NSPI pada SRM maka perlu dilakukan studi tentang

  proses penurunan power dan size dari distribusi normal dan juga aplikasinya pada kasus penentuan model terbaik UT, RT dan PTT. Selanjutnya riset ini dilakukan dengan mengkaji formula power dan size dari distribusi normal, penghitungan nilai power dan size dengan R-code, menggambar dan analisis grafik power dan size distribusi normal, dan grafik power dan size UT, RT dan PTT.

  Penelitian ini memaparkan bagaimana formulasi power dan size distribusi normal yang dipaparkan pada Bagian 2. Grafik dan aplikasinya diberikan pada Bagian 3, sedangkan kesimpulan diberikan pada Bagian 4.

  POWER DAN SIZE DISTRIBUSI NORMAL Cdf distribusi normal dengan parameter dan

  1

  dan adalah dengan batas = = untuk vaiabel random X adalah

  2 ₂

  < (2)

  1

  2

  < = ; , ₁ Perhitungan integral persamaan (2) sebagai intregral fungsi distribusi normal adalah sulit sehingga integral tersebut harus dihitung dengan pendekatan numerik, yaitu deret Maclaurin. Sementara itu, hal yang terkait dengan power dan size adalah hipotesis yang akan digunakan. Hal ini untuk dapat menentukan under H atau H . Dalam kontek ini hipotesis yang diguanakan adalah two-side ₁ hypothesis : versus : . Formula untuk power selanjutnya dinyatakan sebagai

  = ≠

  − 1 2 ₂

  1 − ₂

  2

  =

  1

  = menolak = ₁ ²

  2 _{2 2} 2−2 1+ 1

  1

  − ₂

  2

  =

  2

  2 ¹

  12

²

  1 ₂

  1

  1 ₁ − ₂ ∞ ∞

  2

  = _{2 − 2 2}

  

=0 =0

₁

  

2

  2 2 ! !

  Selanjutnya, size distribusi ini dinyatakan sebagai

  ∗

  = = menolak

  2 ( − 0)2

  1

  − ₂

  2

  = ₁

  2

  2 _{2 2−2 0+ 02}

  1

  − ₂

  2

  =

  

2

₁

  02 ²

  1 ₂

  1

  1 − ₂ ∞ ∞

  2

  = ₂ − ^{2 2} ₁ =0 =0

  2

  2 2 ! !

  Pada kasus hipotesis : : = 6 versus ≠ 6dan standar deviasi 4 dengan batas interval 0

  = 4maka diperoleh nilai powersama dengan 0,813701 dan untuk = 8maka sampai 4, dan

  1

  1

  nilai power-nya adalah 0, 223284. Secara sama, maka under H untuk = 4 didapat size-nya

  1

  0,1609764. Selanjutnya grafik power dan size menggunakan nilai yang berbeda adalah sebagai berikut:

  (a) (b) =2 =3 .8 .8

         

 

        .4 .4

  .0 .0

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  1

  2

  3

  4

  5

  6   (c) =4 (d) =5

  .8 .8    

     

 

          .4 .4

  .0 .0

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  1

  2

  3

  4

  5

  6   ∗

  Gambar 1 Grafik dan distribusi Normal dengan bervariasi ( )

  Gambar 1. adalah grafik dari nilai power dan sizepada = 0 sampai 6, dengan batas nilai

  = 0 dan = 3 dan

  1 2 yang berbeda. Gambar tersebut menunjukkan bahwa apabila nilai

  standar deviasi yang digunakan semakin besar maka nilai powerakan mendekati nilai size. Grafik cenderung similardengan sifat distribusi normal yaitu jika standar deviasi besarmaka kuvanya flat dan jika standar deviasi kecil maka kurvanya menuju leptokurtik.

APLIKASI POWER DAN SIZE PADA DATA BANGKITAN

  Mengacu penelitian Pratikno (2012), maka power dan sizeUT, RT, dan PTT untuk model regresi multivariat sederhana data bangkitan dari 4 variabel dependen = 5 + 2 = 2 + 4

  1

  2

  , , = 3 = 6 + 8

  3 − 5 dan 4 yang distandarisasi, dan dengan level of signidicance 0,05 dan hipotesis two-side : = 0 maka grafik power UT, RT, dan PTT adalah sebagai berikut. _{(a)  2 =0.5 (b)  2 =0.5}

  8

  8 0.

  0. a a as as

  4

  4 ku ku

  0. UT _{PTT, =0.1 PTT, =0.3 RT RT}

  0. UT 0. _{1 (c)  =0.5 (d)  =0.5   2 2 1 3 4} 0. _{1 2 2 1 3 4}

  8

  8 0.

  0. a a as as

  4

  4 ku ku

  0. UT _{PTT, =0.5 PTT, =0.7 RT RT}

  0. UT 0. _{1  2 1  3 4} 0. _{1 2 1 3 4} Gambar 2. Grafik Kuasa UT, RT, dan PTT  = 0,5

    0,1, 0,3, 0,5, 0,7,

  2 Dari Gambar 2 terlihat bahwa PTTmenjadi pilihan alternatif dari UT dan RT hal ini karena

  nilai PTT diantara UT dan RT dalam kontek maksimum power.Hasil ini masih sejalan dengan hasil riset sebelumnya, Pratikno (2012). Demikian juga dengan grafik dan nilai size under H , dimana size PTT juga menjadi alternatif sebagai nilai pilihan minimum.

  KESIMPULAN

  Riset ini membahas power dan size pada distribusi normal dan aplikasinya pada model regresi. Perhitungan power dan size menggunakan R-code dari R package. Hasil riset menunjukan bahwa power dan sizedistribusi normal menunjukan bahwa jika

  (standar deviasi) semakin besar maka nilai power dan sizenaka kurvanya menuju identik dan atau flat. Sedangkan hasil terapannya menunjukan bahwa PTT masih menjadi pilihan alternatif terbaik dan cenderung similar dengan riset terdahulu yang dilakukan Pratikno (2012).

DAFTAR PUSTAKA

  Khan, S. 2005. Estimation of parameters of the multivariate regression model with uncertain prior information and Student-t errors, Journal of Statistical Research, 39 (2): 79-94. Khan, S. 2008. Shrinkage estimators of intercept parameters of two simple regression models with suspected equal slopes, Communications in Statistics - Theory and Methods37: 247-

  260. Khan , S. & Saleh, A.K.Md.E. 1997. Shrinkage pre-test estimator of the intercept parameter for a regression model with multivariate Student-t errors, Biometrical Journal 39: 1-17.

  Khan, S. & Hoque, Z. 2003. Preliminary test estimators for the multivariate normal mean based on the modified W, LR and LM tests, Journal of Statistical Research37: 43-55. Khan, S. &A.K.Md.E. Saleh 2005. Estimation of intercept parameter for linear regression with uncertain non-sample prior information, Statistical Papers 46: 379-394. Khan, S. & A.K.Md.E. Saleh 2008. Estimation of slope for linear regression model with uncertain prior information and Student-t error,Communications in Statistics-

  Theory and Methods 37(16), 2564-2581.

  Pratikno, B. 2012.Tests of hypothesis for linear regression models with non sample prior , Dissertation, University of Southern Queensland, Australia, 2012.

  information

  Saleh, A.K.Md.E.2006.Theory of preliminary test and Stein-type estimation with applications, John Wiley and Sons, Inc., New Jersey. Yunus., R.M. 2010.Increasing power of M-test through pre-testing. Unpublished PhD Thesis, University of Southern Queensland, Australia.