matematika (11) Matematika (4) vMatematika (4) Matematika (4) Matematika (4)

CRNA GORA Vlada Crne Gore Nacionalni savjet za obrazovanje

Nivo obrazovanja

Gimnazija

Nastavni predmet

MATEMATIKA

Predmetni program

MATEMATIKA

Razred

I, II, III, IV

Podgorica, 2014.

1. Naziv nastavnoga predmeta - MATEMATIKA

Naziv predmetnoga programa - MATEMATIKA

2. Odre đenje predmetnoga programa

Matematika je zna čajan opšteobrazovni predmet pred kojim su brojni obrazovno- informativni i vaspitni zadaci. Nastala je u drevnim civilizacijama, velikim dijelom kao posljedica potrebe da se riješe neki prakti čni zadaci. Razvoj civilizacije je pred matematiku stavljao nove zadatke, čije je rješavanje tražilo viši stepen apstrakcije i stvaranje novih teorija. Da bi se riješili otvoreni problemi, stvoreni su specifi čni matemati čki jezik, matematički formalizam, kolekcija matematičkih pojmova i struktura i razra đeni su matematički metodi. Matematička nauka se dijelom samoizgrađivala, a dijelom razvijala zahvaljuju ći prožimanju s prirodnim naukama (na prvome mjestu je fizika). Matematika je svoje rezultate nesebi čno davala na korišćenje nekad isključivo prirodnim naukama, a u posljednje vrijeme i nekim humanisti čko-društvenim (lingvistika, ekonomija). Ova nauka ima naglašeno opštecivilizacijski karakter. Rezultati matemati čara postajali su zajedni čka tekovina svih naroda i kultura.

Napomena: Me đupredmetne oblasti / teme obavezne su u svim nastavnim predmetima i nastavnici/nastavnice su obavezni da ih ostvaruju. Me đupredmetne oblasti / teme su sadržaji koji omogu ćavaju da se u opšteobrazovni kurikulum uključe određeni ciljevi i sadržaji obrazovanja koji nijesu dio formalnih disciplina ili pojedinih predmeta ili koji su po strukturi interdisciplinarni. Ti sadržaji doprinose integrativnome pristupu opštega obrazovanja i u ve ćoj mjeri povezuju sadržaje pojedinih predmeta.

2.1. Sedmi čni broj časova matematike po razredima u gimnaziji

Razred I II III IV

Broj časova

3. Opšti ciljevi

Opšti ciljevi nastave matematike jesu: - da podsti če i razvija sposobnosti posmatranja logičkoga, kritičkoga i apstraktnoga mišljenja u čenika/učenica

Specifi čni ciljevi – zadaci nastave matematike:

- Da u čenik/učenica upozna osnovne matematičke pojmove: skup, operacija,

relacija, funkcija i upozna standardnu notaciju za navedene pojmove.

- Da u čenik/učenica usvoji matematička tvrđenja koja će biti navedena u programu. - Da se izborom primjera iz u čenikova/učeničina okruženja matematika interpretira

kao životna disciplina koja pomaže da riješimo neke konkretne zadatke. Navo đenjem primjera iz fizike, hemije, biologije, geografije razvija se svijest o prisustvu matematike u prirodnim naukama.

- Da se razvija svijest o univerzalnosti matemati čkoga jezika koji služi kao sredstvo

komunikacije. - Da se kod u čenika/učenica razvije i njeguje matematička pismenost. - Da se u čenik/učenica osposobi da koristi matematičku literaturu. - Da se kod u čenika/učenica podstiču i razvijaju sistematičnost, upornost,

konciznost, kreativnost, logi čnost u ispisivanju i usmenome tumačenju rješenja zadatka, sposobnost apstraktnoga razmišljanja. Od velikoga je zna čaja da se u čenik/učenica osposobi da pažljivo pročita zadatak, razumije uslove i shvati što se od njega/nje traži. Poželjno je dobrim izborom zadataka dovoditi u čenike/učenice u situaciju da iskažu svoju kreativnost. Insistiranjem na analizi postavke i rješenja u čenik/učenica se stavlja u ulogu istraživača. Daje mu/joj se mogu ćnost da se kritički osvrne na rješenje, da kaže svoje mišljenje o tome što će se desiti s rezultatom ako se promijene ulazni podaci, daje sloboda da i sam/sama napravi neku varijaciju na analizirani zadatak.

- Da u čenik/učenica rješavanje matematičkih zadataka prihvata kao intelektualni izazov. - Matematika ima svoju estetiku koja se može približiti u čenicima/učenicama.

Njegovanje o śećaja za matematički lijepo treba da bude stalna briga nastavnika/nastavnica. Naravno, razvijanjem ovoga o śećaja razvija se i ukupni o śećaj za lijepo.

- U nastavi matematike treba koristiti prilike da se u čenici/učenice podijele u grupe i

u formiranim grupama rješavaju zadatke. Takav je rad inspirativan za u čenike/učenice, dodatno ih motiviše, a u grupama se javlja obilje ideja kako da se riješi zadatak. Radom u grupama kod u čenika/učenica se vaspitavaju potreba i o śećaj za timski rad.

- Da upozna u čenika/učenicu s istorijom matematike i njenim opštecivilizacijskim

I razred (ukupno 140 časova, 4 časa neđeljno)

Tema: Skupovi i operacije sa skupovima (orijentaciono 10 časova)

Korelacija Operativni cijevi

Aktivnosti Sadržaj

U čenik/učenica zna:

U čenici/učenice:-

- primijeniti univerzalni i egzistencijani koriste kvantifikatore - odre đuju elemente skupa zadavanje skupa; kvantifikator

Kvantifikatori; skup, Fizika.

kad je on zadat na razli čite operacije sa skupovima;

- navesti elemente skupa ako je on zadat na čine relacija inkluzije, prazan Biologija: klasifikacija vrste, pomo ću nekoga svojstva i obrnuto

- odre đuju uniju, preśek skup; partitivni skup; podvrste po odre đenome - grafi čki prikazati skupove i odnose među razliku i simetri čnu razliku Dekartov proizvod svojstvu.

njima pomo ću Venovih dijagrama skupova. zadatih skupova

klasifikacija - zapisati intervale realne prave kao zadatke pomo ću dijagrama

rješavaju tekstualne Hemija:

elementa po odre đenome skupove

- u jednostavnim primjerima

svojstvu.

- definicije operacija sa skupovima i njihova odre đuju partitivni skup svojstva

zadatoga skupa - odre đuju komplement

- odrediti partitivni skup zadatoga skupa

skupa u odnosu na zadati

- odrediti komplement skupa u odnosu na univerzalni skup zadati univerzalni skup

- u jednostavnim primjerima odre đuju i prikazuju u

- primijeniti De Morganove zakone

koordinatnoj ravni Dekartov

- definiciju Dekartova proizvoda.

proizvod skupova.

Tema: Skupovi brojeva (orijentaciono 20 časova)

Korelacija Operativni cijevi

Aktivnosti Sadržaj

U čenik/učenica zna:

U čenici/učenice:

Prirodni i cijeli brojevi; Fizika: prvo Kirhofovo - da ra čuna s prirodnim, cijelim i racionalnim - ponavljaju i analiziraju racionalni brojevi; prosti pravilo (skup Z). brojevima

svojstva operacija u brojevi; Euklidov skupovima N, Z i Q

algoritam, direktna i Hemija: ra čun miješanja,

- osobine aritmeti čkih operacija i relacija  i < - objašnjavaju razliku obrnuta proporcionalnost i laboratorijske vježbe, u skupu N, Z i Q

izme đu racionalnoga i primjene; razmjera, relativna i apsolutna greška. iracionalnoga broja koriste ći proporcija i procenti;

- da rastavi broj na proste činioce

decimalni zapis

iracionalni brojevi; realni Informatika:

- da primijeni Euklidov algoritam - zaklju čuju koje su brojevi; apsolutna - kodiranje, dekodiranje

(kriptografija, - da zapiše kona čan i periodičan decimalan odre đenim skupovima i

operacije zatvorene u vrijednost broja.

kriptoanaliza). broj u vidu razlomka

uo čavaju potrebu za

-zna svojstva prirodnih, cijelih, racionalnih i proširivanjem skupova N, Z Matematika (korelacija iracionalnih brojeva

iQ

unutar predmeta): skupovi i

operacije sa skupovima - dokazati da je √2,√3,√5+3,... iracionalan odnos skupova N, Z, Q, R

- pomo ću inkluzije prikazuju

vavilonski, - da je R = Q ᴜI

broj

- predstavljaju iracionalne

Istorija:

brojeve na realnoj pravoj

egipatski, rimski, arapski

- koriste internet i

brojevi.

-vezu izmedju brojeva i ta čaka na brojevnoj osmišljavaju kratka pravoj

predavanja vezana za

- definiciju apsolutne vrijednosti broja i skupove brojeva i istoriju njenu geometrijsku interpretaciju

matematike - rješavaju zadatke u vezi s

-razliku izmedju direktne i obrnute prostim brojevima proporcionalnosti

- pronalaze primjere koji

- da ra čuna s procentima

objašnjavaju direktnu i obrnutu proporcionalnost

- da izra čuna i ocijeni apsolutnu i relativnu - pronalaze i ra čunaju

grešku približnoga ra čuna. primjere u kojima se koristi procentni ra čun i proporcije:

novac, planovi i mape, statisticki podaci, kuvanje

itd... - koriste pojmove:

glavnica,

procentni iznos, procenat.

Tema: Racionalni algebarski izrazi (orijentaciono 30 časova)

Korelacija Operativni cijevi

Aktivnosti Sadržaj

U čenik/učenica zna:

U čenici/učenice:

Cijeli algebarski izrazi i

- definiciju polinoma

(korelacija - da primijeni operacije s polinomima: polinomima: sabiranje, promjenljive; jednakost unutar predmeta): linearne

- uvježbavaju operacije s polinom jedne Matematika

sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje oduzimanje, množenje i polinoma i operacije s jedna čine s nepoznatom u - da primijeni razliku kvadrata, kvadrat dijeljenje

polinomima; Bezuov imeniocu.

binoma, zbir i razliku kubova, kub binoma - rješavaju zadatke u kojima stav; rastavljanje itd.

treba primijeniti razliku polinoma na proste kvadrata, kvadrat binoma, činioce; NZS i NZD za

- postupak rastavljanja polinoma na proste zbir i razliku kubova, kub polinome; racionalni činioce

binoma itd.

algebarski izrazi;

- odrediti NZS i NZD dva polinome

- primjenjuju Bezuov stav

operacije s racionalnim

- pri rješavanju složenijih algebarskim izrazima.

- da primijeni Bezuov stav

zadataka primjenjuju - razliku izme đu cijelih i racionalnih ste čena znanja o

algebarskih izraza

rastavljanju polinoma na proste činioce

- da odredi oblast definisanosti - objašnjavaju ulogu oblasti algebarskoga razlomka

definisanosti racionalnih - da izvodi operacije s racionalnim algebarskih izraza

algebarskim izrazima.

- transformišu racionalne algebarske izraze.

Tema: Linearne jedna čine i nejednačine. Sistemi linearnih jednačina (orijentaciono 15 časova)

Korelacija Operativni cijevi

Aktivnosti Sadržaj

U čenik/učenica zna:

U čenici/učenice:

drugo Kirhofovo - da riješi lineranu jedna činu i linearnu jedna čine, nejednačine i linearna nejedna čina; pravilo (rješavanje sistema nejedna činu sisteme linearnih jedna čina sistem linearnih linearnih jedna čina);

rješavaju linearne Linearna jedna čina; Fizika:

- da riješi sistem linearnih jedna čina s dvije i tri sa dvije i tri nepoznate, jedna čina; Gausova rješavanje zadataka (linearne nepoznate

ra čunski, grafički i uz metoda. jedna čine, sistemi linearnih

pomo ć računara

jedna čina).

- da riješi tekstualni zadatak svo đenjem na -p rimjenjuju linearne

linearnu jedna činu ili na sistem od dvije jedna čine, nejednačine i Hemija: rješavanje zadataka linearne jedna čine.

sisteme u modeliranju

(linearne jedna čine, sistemi

situacija iz svakodnevnoga

linearnih jedna čina).

života

- rješavaju tekstualne

problemske zadatke.

Tema: Preslikavanje i vrste preslikavanja.Linearna funkcija (orijentaciono 25 časova)

Korelacija

Operativni cijevi

Aktivnosti Sadržaj

U čenik/učenica zna:

U čenici/učenice: - odre đuju oblast Pravougli koordinatni Fizika:

pravolinijsko - definicije pojmova : koordinatni sistem u ravni, koordinatne ravni na sistem; rastojanje izme đu ravnomjerno kretanje;

koordinatna ravan, koordinatni po četak; osnovu zadatih uslova dvije ta čke; površina S  v  t (linearna f-ja u koordinatne ose, koordinate ta čke

- ra čunaju rastojanje trougla; preslikavanje i zavisnosti od vremena ili u - da odredi rastojanje izmešu dvije ta čke u ravni

izme đu dvije tačke u osobine preslikavanja; zavisnosti od brzine), srednja ravni i površinu trougla

realna funkcija; linearna brzina neravnomjernoga - da izra čuna površinu trougla u ravni ako su

objašnjavaju ulogu funkcija; razli čiti oblici kretanja; gustina tijela; rad u date koordinate njegovih tjemena

domena na jednostavnim jedna čine prave mehanici; sila teže;

(implicitni, segmentni, - definicije pojmova: preslikavanje, oblast primjerima jedna temperatura (koordinatni definisanosti i oblast vrijednosti funkcije, nule f-je - prepoznaju bijektivno

čina prave kroz sistem); kružni

jednu i kroz dvije ta čke); termodinami čki procesi; - da predstavi f-ju na razli čite načine

preslikavanje

uslovi paralelnosti i

- analiziraju grafik funkcije i

zakoni idealnoga gasa; Omov

zakon za dio kola; snaga - definicije pojmova: injektivno, surjektivno,

normalnosti pravih u

saopštavaju njena svojstva

ravni. ći se primjerima iz elektri čne struje.

bijektivno preslikavanje

koriste

fizike i statistike

- definiciju linearne funkcije

- uo

čavaju vezu između Geografija:

čitanje

linearnih funkcija i funkcija

geografskih karata.

- da nacrta i grafik linearne funkcije i funkcija s

koje se dobijaju pri crtanju koje se dobijaju pri crtanju

grafika f-je s apsolutnim

Društvene igre: Potapanje

- da zapiše jedna činu prave u ravni na razne - predstavljaju pravu datu u

vrijednostima

podmornica; Šah

na čine

Matematika (korelacija - da prepozna kad se dvije prave sijeku, na čine

jednome obliku na razli čite

unutar predmeta): definicija i poklapaju i kad su paralelne

- rješavaju zadatke u kojima

osnovne osobine

se koriste uslovi paralelnosti

preslikavanja i primjena na

- grafi čki interpretirati sisteme jednačina. i normalnosti dvije prave u

linearnoj funkciji.

ravni.

Meteorologija:

zavisnost vremena i temperature.

Tema: Geometrija u ravni (orijentaciono 20 časova)

Korelacija

Operativni cijevi

Aktivnosti Sadržaj

U čenik/učenica zna:

U čenici/učenice:

- rješavaju zadatke Istorija.

- da primijeni stavove podudarnosti primjenjuju ći

Latinski jezik: korijeni rije či trouglova

stavove o

Podudarnost trouglova; od kojih su nastali izrazi - vrste četvorouglova

podudarnosti trouglova

- rješavaju zadatke četvorougao i pravilni kolinearni, komplanarni i sl.). primjenjuju

ći svojstva mnogougao; tetivni

- osobine tangentnoga i tetivnoga

tangentnoga i tetivnoga četvorougao, tangentni Fizika: ogledala, so četvorougla čiva

četvorougao, centralni (sli četvorougla čnost).

- vezu izme đu centralnoga i periferijskoga

- rješavaju zadatke ugao, periferijski ugao,

ugla nad istim kružnim lukom

primjenjuju konstruktivni zadaci; ći veze između

Talesova teorema i

- Talesovu teoremu

centralnih i periferijskih sli čnost trouglova.

- da primijeni stavove sli čnost trouglova

uglova - konstruišu trouglove i

- da konstruiše geometrijsku figuru koja četvorouglove na osnovu zadovoljava odre đene uslove.

datih elemenata - rješavaju zadatke primjenjuju ći stavove o datih elemenata - rješavaju zadatke primjenjuju ći stavove o

II razred (ukupno 140 časova, 4 časa neđeljno) Tema: Stepenovanje i korjenovanje (orijentaciono 15 časova)

Korelacija Operativni cijevi

Aktivnosti Sadržaj

U čenik/učenica zna:

U čenici/učenice:

- ra čunaju sa stepenima i Stepen čiji je izložilac cio Fizika:

- da primijeni operacije sa stepenima čiji je broj; operacije sa izražavanje fizi čkih veličina:

izložilac cio broj

korijenima

- odre -9 đuju kompoziciju stepenima čiji je izložilac 10 piko p, 10 nano n,

- da primijeni operacije s korijenima 6 preslikavanja i inverznu f-ju cio broj; realna funkcija i 10 mikro μ, 10 mega njene osobine; stepena 9 M(informatika), 10 giga g - odrediti kompoziciju preslikavanja i inverznu f- zadate funkcije

funkcija n y  x , n  N i (informatika)

ju datoj f-ji,

- crtaju i analiziraju grafike stepene i korijene funkcije

njen grafik; kompozicija

- osobine i grafika stepene i korijene funkcije

funkcija; inverzna čavaju da su stepena i Geografija: udaljenost Sunca 11 funkcija; korijen; od Zemlje (1,5 x 10 km);

- uo

- da rješava proste iracionalne jedna čine

korijena funkcija uzajamno

operacije s korijenima; visina Mount Everesta (8,9 x

6 - čnik Zemlje (6,4 x definiciju korijena i operacije s korijenima - koriste oblast definisanosti je izložilac racionalan 10 m), pro śečna; visina - racionalisati imenilac razlomka. 0 korijene f-je i njene osobine čovjeka (1,7 x10 m).

inverzne

racionalisanje; stepen

10 čiji m); pre

broj; osnovne operacije s

pri rješavanju prostih

korijenima; iracionalne

iracionalnih jedna čina

jedna čine.

Hemija:

radijus atoma

- racionališu imenilac

vodonika (5 x 10 ) itd.

razlomka.

Tema: Kompleksni brojevi (orijentaciono 10 časova)

Korelacija Operativni cijevi

Aktivnosti Sadržaj

U čenik/učenica zna:

U čenici/učenice:

Matematika: skupovi brojeva; Kompleksni broj i njegov binarne operacije; linearne i

- da obrazloži potrebu proširenja skupa realnih - ponavljaju ste čena znanja algebarski oblik; elementarne kvadratne brojeva

o skupovima N, Z, Q i R

operacije s kompleksnim jedna čine.

- definiciju kompleksnoga broja

- na primjerima prostih brojevima; stepen jedna čina ukazuju na imaginarne jedinice;

- kad su dva kompleksna broja jednaka

razloge proširivanja konjugovano kompleksni

- geometrijsku interpretaciju kompleksnoga skupova N, Z, Q i R

broj i njegove osobine;

broja

- rješavaju zadatke u vezi geometrijska sa sabiranjem, množenjem i interpretacija

- da sabira, množi i dijeli kompleksne brojeve

dijeljenjem kompleksnih kompleksnoga broja;

- stepene imaginarne jedinice

brojeva

apsolutna vrijednost

- primjenjuju svojstva kompleksnoga broja.

- kako se odre đuje konjugovano kompleksan konjugovano kompleksnoga broj i apsolutna vrijednost kompleksnoga broja

broja i apsolutne vrijednosti pri rješavanju zadataka.

- geometrijske interpretacije konjugovanoga broja i apsolutne vrijednosti kompleksnoga broja.

Tema: Kvadratna jedna čina i kvadratna funkcija (orijentaciono 30 časova)

Korelacija Operativni cijevi

Aktivnosti Sadržaj

U čenik/učenica zna:

U čenici/učenice:

- povezuju znanja ste čena u Kvadratna jedna čina s Fizika: ravnomjerno ubrzano - da riješi kvadratnu jedna činu i probleme I razredu (rastavljanje jednom nepoznatom; pravolinijsko i kružno kretanje

drugoga reda

polinoma na proste činioce) nepotpuna kvadratna

F  V o  t  a t činama 2 čina; potpuna  ; ukupna - da primijeni Vietove formule

s kvadratnim jedna

jedna

- da rastavi kvadratni trinom na proste činioce i mehani čka energija je

- pamte, ponavljaju i kvadratna jedna čina;

primjenjuju formulu za diskriminanta i priroda

formira kvadratnu jedna činu na osnovu datih proporcionalna kvadratu

rješavanje potpune rješenja kvadratne

rješenja

kvadratne jedna čine

1 čine; Vietove 2

jedna

amplitude

2 - da riješi bikvadratnu jedna

činu i ostale - rješavaju problemske

formule i primjena;

rastavljanje kvadratnoga kretanje naelektrisanih jedna čine koje se svode na kvadratnu

zadatke

analiziraju osobine trinoma na linearne čestica u električnome polju. - da riješi sisteme od jedne linearne i jedne kvadratnih funkcija i činioce i primjena;

kvadratne jedna čine te sisteme od dvije primjenjuju ih

jedna čine koje se svode

kvadratne jedna čine (jednostavniji primjeri)

na osnovu zadatih na kvadratnu; sistem od

podataka odre đuju jedne kvadratne i jedne kvadratnu funkciju

- osobine kvadratne funkcije

linearne jedna čine;

- da primijeni kvadratnu funkciju u - primjenjuju grafik i osobine sistem od dvije kvadratne rješavanju problema o ekstremima u

jedna čine; kvadratna jedna čine; kvadratna

kvadratne funkcije pri funkcija i njene osobine; rješavnju kvadratnih kvadratne nejedna

čine;

- da rješava kvadratne nejedna

čine

analiti čki i grafički. nejedna čina

iracionalne jedna čine.

pronalaze primjere kvadratnih funkcija u fizici.

Tema: Eksponencijalna i logaritamska funkcija (orijentaciono 25 časova)

Korelacija

Operativni cijevi

Aktivnosti Sadržaj

U čenik/učenica zna:

U čenici/učenice:

- obnavljaju ste čena Eksponencijalna funkcija Hemija: radioaktivni raspad. - svojstva eksponencijalne funkcije

znanja o ra čunu sa

- da nacrta grafik eksponencijalne funkcije

Fizika: prigušene oscilacije - da riješi eksponencijalnu jedna činu

stepenima i svojstva

stepena

itd.

- definiciju logaritma

koriste svojstva Osobine i grafik

- pravila za ra čunanje logaritma

eksponencijalne i eksponencijalne funkcije;

- svojstva logaritamske funkcije

logaritamske funkcije pri eksponencijalna jedna čina;

- da nacrta grafik logaritamske funkcije

rješavanju logaritamskih i pojam logaritma i osnovna

- da su eksponencijalna i logaritamska funkcija eksponencijalnih i svojstva; broj e i prirodni jedna drugoj inverzne

jedna čina

logaritam; osnovna pravila

- da riješe logaritamsku jedna

činu. logaritmovanja; - primjenjuju svojstva eksponencijalne i logaritamska

logaritamske funkcije pri

y  log a x , a  1 ,

rješavanju problema iz funkcija y 

log a , 0 1

života

- koriste ra čunar za osobine i grafik odre đivanje logaritma i logaritamske funkcije; opštih stepena

logaritamske jedna čine.

- uo čava široku primjenu eksponencijalne f-je u ekonomiji, fizici...

Tema: Trigonometrijske funkcije (orijentaciono 15 časova)

Korelacija i Operativni cijevi

Aktivnosti Sadržaj

U čenik/učenica zna:

U čenici/učenice:

- izvode i koriste Definicija trigonometrijskih Istorija i Geografija - definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija vrijednosti trig. funkcija funkcija oštroga ugla; Istorija matematike i oštroga ugla pravougloga trougla

nekih posebnih uglova

trigonometrijske funkcije trigonometrije

- neke vrijednosti trigonometrijskih funkcija oštrih

- primjenjuju i kombinuju komplementnoga ugla; Fizika

uglova

osnovne trigonometrijske vrijednosti trigonometrijskih

- osnovne trigonometrijske identitete

identitete

funkcija nekih oštrih

- da mjeri uglove radijanima

- primjenjuju definicije uglova; osnovni

- da primjeni trigonometrijske funkcije u trigonomterijskih funkcija trigonometrijski identiteti; planimetriji.

pri rješavanju problema uopštenje pojma ugla; u planimetriji.

mjerenje ugla (stepen, radijan).

Tema: Vektori (orijentaciono 25 časa)

Operativni cijevi

Aktivnosti

Sadržaj Korelacija

U čenik/učenica zna:

U čenici/učenice:

- navode pojmove iz fizike Definicija vektora; Fizika: sila je vektor; slaganje - definiciju vektora koji se mogu povezati s jednakost vektora, sila (proizvod skalara i - operacije s vektorima i primijeniti ih pri

suprotan vektor, nula vektora); opisivanje kretanja rješavanju zadataka

vektorima

vektor; sabiranje i tijela u ravni pomo - definiciju linearne zavisnosti i nezavisnosti

ću vektora vektora

- utvr

đuju lineranu

zavisnost ili linearnu oduzimanje vektora; (sabiranje i oduzimanje nezavisnost zadatoga množenje vektora brojem; vektora, množenje vektora

- da predstavi vektor uz pomo ć koordinata

linearna zavisnost i brojem); obrada pojma rada; - definiciju skalarnoga i vektorskoga

sistema vektora

proizvoda i njihova svojstva - rješavaju geometrijske nezavisnost vektora; drugi Njutnov zakoni

kolinearni i komplanarni đu dvije tačke i (množenje vektora brojem  - ra čunaju skalarni vektori; pravougli  m  a ); složeno kretanje,

zadatke koriste

ći vektore

- da odredi rastojanje izme

postupak kojim se duž dijeli u datome

odnosu (primjena vektora) kružno kretanje (smjer - koriste skalarni prizvod prostoru; koordinate vektora); moment sile

proizvod

koordinatni sistem u ravni i

-da odredi ugao izmedju dvije prave pri odre đivanju ugla vektora u ravni i prostoru; (normalna projekcija ta čke i

- da odredi rastojanje izme đu tačke i prave. između dvije prave, tj. dva svojstva koordinata normalna projekcija vektora vektora, dužine vektora vektora; projekcije vektora; na osu); zakon održanja itd.

skalarni proizvod; intenzitet impulsa (normalna projekcija - objašnjavaju vektora; skalarni proizvod vektora na osu); vektorski geometrijsku interpretaciju u pravouglome proizvod; elektromagnetno vektorskoga proizvoda

koordinatnom sistemu; polje; Lorencova sila; moment - utvr đuju kolinearnost i vektorski proizvod; sile; moment Impulsa. ortogonalnost zadatih primjena vektora u vektora.

geometriji;ugao izmedju Matematika (korelacija -odre đuje ugao izmedju dvije prave;rastojanje od unutar predmeta): primjena dvije prave i rastojanje od ta čke do prave.

vektora u geometriji.

ta čke do prave

III razred (ukupno 140 časova, 4 časa neđeljno) Tema: Trigonometrija (orijentaciono 40 časova)

Korelacija Operativni cijevi

Aktivnosti Sadržaj

U čenik/učenica zna:

U čenici/učenice:

-crtaju grafike osnovnih trigonometrijskih Fizika. - definicije trigonometrijskih funkcija

Geografija. proizvoljno zadatoga ugla

funkcija i s grafika prepoznaju svojstva Trigonometrijske

Astronomija. - svo đenje trigonometrijskih funkcija na

odgovaraju

ćih funkcija

funkcije; svo

đenje

Navigacija. vrijednost funkcije oštroga ugla

-rješavaju jednostavne ra

čunske zadatke

trigonometrijskih

s ciljem da usvoje trigonometrijske funkcija na vrijednost Geodezija. - periode trigonometrijskih funkcija formule i prepoznaju situacije u kojima se funkcije oštroga ugla; - da primijeni trigonometrijske funkcije pri

rješavanju raznih geometrijskih zadataka

one mogu primijeniti

izra čunavanje

-primjenjuju trigonometrijske formule pri vrijednosti

- da primijeni adicione formule, formule za

ra čunanje trigonometriskih funkcija dvostrukoga ugla i polovine ugla

rješavanju trougla (odrediti visinu trigonometrijskih

dimnjaka, drveta i sl.) te upoznaju funkcija ako je zadata prakti

čnu primjenljivost trigonometrije

vrijednost jedne od

- da transformiše zbir trigonometrijskih

funkcija u proizvod i obrnuto čnost;

-primjenjuju Heronov obrazac i formule za njih; periodi

grafici trigonometrijskih - da riješi jednostavne trigonometrijske čunanje površine jedna

ra

čine funkcija; sinusna i

ab sin  ac sin  bc sin 

trougla: P 

2 2 2 trigonometrijskih kosinusna teorema; adicione formule; funkcija

- grafike i svojstva osnovnih

- da nacrta grafike funkcija oblika

funkcije dvostrukoga y  A sin  ax  b   B , y  A cos  ax  b   B ugla i poluugla;

- da primijeni sinusnu i kosinusnu teoremu pretvaranje zbira trigonometrijskih

funkcija u proizvod i obrnuto; trigonometrijske jedna čine; formule za ra čunanje površine trougla;

Tema: Stereometrija (orijentaciono 35 časova)

Korelacija Operativni cijevi

Aktivnosti Sadržaj

U čenik/učenica zna:

U čenici/učenice:

Fizika. - rade jednostavne zadatke s Prizma; piramida i zarubljena Arhitektura.

- da izra čuna površinu i zapreminu prizme

- da izra čuna površinu i zapreminu piramide

ciljem da usvoje osnovne piramida; valjak; kupa i zarubljena Mašinstvo.

- da izra čuna površinu i zapreminu zarubljene upoznaju osobine tijela koja se

prostorne oblike i relacije i kupa; sfera i lopta.

Brodogradnja.

piramide

obra đuju u ovoj temi.

- da iz ra čuna površinu i zapreminu valjka - da izra čuna površinu i zapreminu kupe - da izra čuna površinu i zapreminu zarubljene kupe - da izra čuna površinu sfere, kalote i loptinoga sloja - da izra čuna zapreminu lopte i loptinoga od śečka.

Tema: Krive drugoga reda (orijentaciono 20 časova)

Korelacija Operativni cijevi

Aktivnosti Sadržaj

U čenik/učenica zna:

U čenici/učenice:

Fizika. - rješavaju zadatke i usvajaju Kružnica; parabola; elipsa; Astronomija.

- da riješi jednostavne zadatke u vezi s analiti čke metode

jedna čima krivih drugoga reda (kružnica, - analiziraju

hiperbola.

geometrijske

parabola, elipsa, hiperbola)

zadatake u koordinatnoj

- da odredi jedna činu tangente u tački na ravni. krivoj liniji drugoga reda i van nje

Tema: Metod matemati čke indukcije. Aritmetička i geometrijska progresija (orijentaciono 25 časova)

Korelacija Operativni cijevi

Aktivnosti Sadržaj

U čenik/učenica zna:

U čenici/učenice:

jednostavne Princip matemati čke Ekonomija: prost kamatni - da primijeni princip matemati čke indukcije zadatke u kojima se indukcije; metod ra čun (aritmetička progresija);

- rješavaju

- da primijeni Njutnovu binomnu formulu primjenjuje metod matemati čke indukcije; složen kamatni ra čun

Njutnova binomna (geometrijska progresija). - osnovna svojstva aritmeti čkih i geometrijskih - prepoznaju situacije u formula; aritmeti

matemati čke indukcije

čka

progresija. kojima se metod može progresija, zbir prvih n Biologija: populacijski rast primijeniti

članova aritmetičke bakterija.

- odre đuje član u razvoju progresije; binoma pod odre đenim geometrijska uslovima

progresija, zbir prvih n

- nalaze

primjere

iz članova geometrijske

okruženja u kojima se progresije. pojavljuju aritmeti čke i geometrijske progresije

- koriste formule za opšti član i sumu aritmetičkoga

i geometrijskoga niza pri rješavanju zadataka.

IV razred (ukupno 120 časova, 4 časa neđeljno) Tema: Elementi matemati čke analize (orijentaciono 25 časova)

Korelacija i didakti Operativni cijevi

Aktivnosti Sadržaj čka uputstva

U čenik/učenica zna:

U čenici/učenice:

čenoga niza i Fizika. čna vrijednost

- definicije niza, ograni

- rješavaju zadatke u vezi s Niz i grani

neograni čenoga niza, monotono grani čnom vrijednošću niza i niza; pojam funkcije, parne i Filozofija - pojam rastu

ćega i monotono opadajućega niza beskona čnom vrijednošću čna čno male i

grani

neparne funkcije; grani

vrijednost funkcije; beskona čno velike - definiciju grani čne vrijednosti niza

funkcije

- objašnjavaju geometrijski neprekidnost funkcij; veli čine.

- da izra čuna graničnu vrijednost smisao grani čne vrijednosti asimptote funkcije. jednostavnih nizova

funkcije

- primjenjuju ste čena znanja

- geometrijsko tuma čenje teoreme o rješavaju ći razne tipove monotonim i ograni čenim nizovima

zadataka

- da izra čuna graničnu vrijednost sume -analizira ponašanje članova geometrijske progresije u slučaju funkcije na krajevima

kad je |q|<1

domena i asimptote.

- broj e kao lim

 n  - osobine i grafike elementarnih funkcija

- definiciju grani čne vrijednosti funkcije - da izra čuna graničnu vrijednost funkcije

u jednostavnim slu čajevima

- da primijeni tvr đenje lim

sin x

- usvoji pojam lijeve i desne grani čne vrijednosti, - usvoji pojam neprekidnosti funkcije,

- usvoji pojam asimptote funkcije i tražiti asimptotu racionalne f-je

Tema: Elementi diferencijalnoga ra čuna (orijentaciono 25 časova)

Korelacija i Operativni cijevi

Aktivnosti Sadržaj

didakti čka uputstva

U čenik/učenica zna:

brzina i - definiciju pojma izvoda

U čenici/učenice:

Fizika

- rade što više primjera na Diferencijalni ra čun;crtanje ubrzanje. - geometrijsku interpretaciju izvoda kao

času i kroz domaće grafika funkcije.

koeficijenta pravca tangent i fizi zadatke kako bi čku Biologija. inerpretaciju kao brzine tijela koje se

ovladali/ovladale tehnikom

Ekonomija.

kre će ra čunanja izvoda

- tablicu elementarnih izvoda, izvod zbira, - po definiciji ra čunaju razlike proizvoda i koli

čnika funkcije tabli čne izvode stepene

- da odredi izvod složene funkcije

funkcije te funkcija sinx i

- da odredi izvod inverzne funkcije

cosx

- rješava elementarne ekstremalne - ra čunaju izvode ra

čune eksponencijalne i - da nacrta grafik racionalne funkcije..

logaritamske funkcije, bez dokaza

- rade

elementarne

ekstremalne zadatke i kroz njih razumiju snagu i prakti čnu primjenljivost diferencijalnoga ra čuna

-crtaju i analiziraju grafike racionalnih funkcija.

Tema: Elementi integralnoga ra čuna (orijentaciono 25 časova)

Korelacija i Operativni cijevi

Aktivnosti Sadržaj

didakti čka uputstva

U čenik/učenica zna:

U čenici/učenice:

Primitivna funkcija; neodre đeni

- da obrazloži pojam neodre - pamte i primjenjuju tablicu integral i tablica integrala; đenoga Fizika ra čunanje rada

integral i vezu integrala i primitivne integrala

odre đeni integral i Njutn- sile.

funkcije - ra čunaju jednostavne Lajbnicova formula. Filozofija

ideja

Primjena integrala na beskona čnosti i - da primijeni metod zamjene za - ra čunaju površine izra čunavanje površina; infinitezimalnosti.

- tablicu integral i primijeni je odre đene integrale

ra

čunanje integrala jednostavnih figura zapremina rotacionih tijela.

- definiciju ore đenoga integrala i njegova - ra čunaju površinu kruga,

svojstva zapreminu lopte.

- geometrijsku interpretaciju odre đenoga integrala i Njutn- Lajbnicovu formulu - da primijeni integral na izra čunavanje površine jednostavnijih figura i zapremine rotacionih tijela.

Tema: Kombinatorika, vjerovatno ća (orijentaciono 25 časova)

Korelacija i Operativni cijevi

Aktivnosti Sadržaj

didakti čka uputstva

U čenik/učenica zna:

U čenici/učenice:

- da primijeni osnovna pravila - rješavaju kombinatorne Osnovna pravila prebrojavanja; Fizika

rasporedi prebrojavanja: pravilo bijekcije, zbira i zadatke u kojima se koriste varijacije, permutacije i elektrona po orbitama. proizvoda

formule-postupci za kombinacije bez ponavljanja;

- pojmove varijacije, permutacije i ra čunanje broja varijacija, varijacije s ponavljanjem; Biologija. kombinacije i postupke njihova ra

čunanja slu čajni opit; ishodi; događaji; Hemija.

permutacija i kombinacija

- nalaze primjere iz okruženja - da rješava vjerovatno kombinatorne zadatke u

ća; uslovna

u kojima se primjenjuju čunanje vjerovatno ća, Bajesova formula.

kojima se koriste formule za ra

osnovni postupci

broja varijacija, permutacija i kombinacija

prebrojavanja

bez ponavljanja

- da primijeni osnovne operacije s - ponavljaju neki prosti

doga đajima eksperiment (recimo s

- vjerovatnosnu interpretaciju relacije bacanjem kocaka ili inkluzije

izvla čenjem karata) i

- klasi čnu definiciju vjerovatnoće

ra čunaju relativnu frekvenciju

će i zadatoga doga đaja da bi

- osnovna svojstva vjerovatno

shvatili zna čenje pojma

primjenjuje ih kod rješavanja zadataka

će vjerovatno će

- pojam uslovne vjerovatno

- rješavaju jednostavne

- da primijeni formulu potpune vjerovatno će i Bajesovu formulu.

zadatke.

5. Didakti čko-metodička uputstva

Program matematike za gimnaziju treba da pruži u čeniku/učenici mogućnost da ovlada osnovnim matematičkim znanjima i tako stekne dobre uslove za nastavak školovanja. Birane su teme koje u zbiru čine osnovno matematičko obrazovanje. Prilikom realizacije programa posebnu pažnju treba pokloniti motivima na kojima su gra đene matematičke teorije i metode, objašnjavanju suštine, geometrijskoj interpretaciji sadržaja i usvajanju tehnike na najjednostavnijim primjerima. Kroz didakti čka uputstva potencira se da treba raditi najjednostavnije zadatke i izbjegavati komplikovani ra čun. Od izuzetnoga je značaja da ovaj program prate pregledni, u jezi čkome i matematičkome smislu korektni, savremeni, čitljivi, zanimljivi i grafički dobro ura đeni udžbenici i zbirke zdataka. Matematička literatura od velike je pomoći učeniku/učenici i služi kao orijentacija nastavniku/nastavnici. Udžbenik treba da bude napisan tako da nastavniku/nastavnici zadaje redosljed lekcija, ukaže na motivaciju za uvo đenje novoga pojma, ponudi inicijalne primjere. U udžbenicima i zbirkama mora se naći mjesto i za zahtjevnije teme koje će obrađivati obdareni/obdarene učenici/učenice u sklopu sekcije ili samostalno kod kuće. Ove djelove u literaturi treba posebno nazna čiti.

Prvi razred

Tema: Skupovi i operacije sa skupovima

- Stalno insistirati na pravilnome matemati čkom zapisivanju i korišćenju kvantifikatora. - Naglasiti da se skup može zadati na više na čina. - Ne miješati ikoni čke i sintatičke znakove, čime se unosi zabuna kod učenika/učenica. - Dekartov proizvod se može lijepo ilustrovati pomo ću igre „Potapanje podmornica“, koja je poznata

u čenicima/učenicama.

- Pri objašnjenju Dekartova proizvoda pokazati što on predstavlja kad se radi sa tri i više skupova.

Tema: Skupovi brojeva

- Potrebno je da u čenik/učenica prvo temeljito ovlada matematičkim operacijama pa tek onda prelaziti na ozbiljnija matemati čka tvrđenja. - Ne insistirati na ozbiljnijim dokazima. Pojedina tvr đenja navesti bez dokaza, ali insistirati da se razumije njihovo zna čenje. - Pri obradi Euklidova algoritma potrebno je skrenuti pažnju na važnost prostih brojeva i ilustrovati primjerima koji će u čenicima/učenicama biti interesantni. - Treba naglasiti da su prosti brojevi osnova na kojima se zasniva kompletan sistem tajne komunikacije (kodiranje i dekodiranje poruka), tj. kriptografije i kriptoanalize. - Ne insistira se na aksiomatskome zasnivanju skupa R i upotrebi pojma algebarskih struktura. - Obavezno naglasiti koje su operacije zatvorene u odre đenim skupovima. Objasniti na konkretnim primjerima i

insistirati da u čenik/učenica razumije potrebu da se postojeći skup proširi novim. - Koristiti relaciju inkluzije da bi se prikazao odnos skupova N, Z, Q, R. - Kod ra čuna s procentima koristiti zadatke iz života. - Insistirati da razumije pojmove glavnica, procentni iznos i procenat, ali zadatke rješavati tako da se svedu na

rješavanje jedna čina. - Primjer: 5% kojega broja iznosi 4? o 5%X=4 - Primjer: Kolika je bila cijena košulje ako nakon poskupljenja od 5% košta 45 evra?

X + 5%X = 45.

Tema: Racionalni algebarski izrazi - Obnoviti pojam Euklidovog algoritma - Uvježbati operacije sa polinomima do automatizma jer se u osnovnoj školi obra đuju na elementarnom nivou (

sabiranje i množenje monoma i binoma) - Dijeljenje polinoma potrebno je obraditi postepeno jer se radi o novoj nastavnoj jedinici i insistirati da se usvoji do

automatizma. Tom prilikom rezultat svoditi na zapis oblika A  x  B  x  Q x  R x .

- Uvježbavati Bezuov stav. - Rastavljanje polinoma obraditi postepeno, od jednostavnijih ka težim primjerima i zadržati se koliko je potrebno da

u čenik/učenica usvoji i prepozna osnovne oblike: razliku kvadrata, kvadrat binoma, zbir i razliku kubova, kub binoma itd.

- Nakon toga raditi zadatke koji predstavljaju kombinaciju gore navedenih slu čajeva i NZS i NZD za polinome.

- Kad se govori o racionalnim algebarskim izrazima, obavezno insistirati na oblasti definisanosti datoga izraza i stalno naglašavati njenu bitnost i suštinu.

- Primjer: Jednakost x x ta čna je samo pod uslovom da je x  0 . Ovo je „uslovni identitet“, za razliku od

„bezuslovnih“ koje smo imali kod cijelih algebarskih izraza. - Operacije s racionalnim izrazima tako đe usvajati postepeno prateći osnovni pedagoški princip „od lakšega ka težem“.

Tema: Preslikavanje i vrste preslikavanja.Linearna funkcija

- Insistirati da u čenik/učenica razumije vezu između uređenoga para brojeva i tačaka u ravni. - Interesantno bi bilo prikazati i igranje šaha kad igra či nijesu na istome mjestu (igra putem telefona). - Definiciju i osnovne osobine preslikavanja primijeniti na linearnoj funkciji. - Kad se govori o preslikavanju, obavezno isticati koja je nezavisna a koja zavisna promjenljiva i tom prilikom se ne

mora stalno koristiti standardno ozna čavenje: x – nezavisna promjenljiva, y – zavisna promjenljiva. - Objašnjavati ulogu zavisne i nezavisne promjenljive povezuju ći s primjerima koji se javljaju u fizici, hemiji itd. (zavisnost pre đenoga puta od vremena, brzine, itd.).

- Objasniti pojam grafika i tom prilikom koristiti zapis f : A  B , A  R , B  R G f    x , y : x  A , y  f  x  .

- Pojam injektivnosti, surjektivnosti i bijektivnosti objasniti na jednostavnijim primjerima. Ulogu domena lijepo bi bilo

ilustrovati na primjerima đe je

f  x  x .

- Insistirati da se zna nacrtati grafik linearne funkcije i svaki put isticati njena svojstva. - Nije dobro re ći da je svaka linearna funkcija bijekcija jer funkcija y , b b  R to nije. To objasniti i grafi čki prikazati.

- Navo đenjem primjera linearnih funkcija i crtanjem njihovih grafika zahtijevati od učenika/učenica da uoče uslove

paralelnosti i normalnosti dvije prave.

i sli čno.

- Uraditi par zadataka u kojima se traži da se grafi čki predstave funkcije oblika y  x , y  3  2 x itd. - Izbjegavati teške zadatke. I ći na to da učenik/učenica razumije i usvoji nova znanja suštinski.

Tema: Linearne jedna čine i nejednačine. Sistemi linearnih jednačina

- Pri obra đivanju linearnih jednačina preporučuje se postepenost. - Obratiti posebnu pažnju na jedna čine s nepoznatom u imeniocu i obavezno insistirati na oblasti definisanosti date

jedna čine.

- Gore navedeno objasniti na jednostavnijim primjerima kao što su:

. x 2  4 x  2 x  2 x  2 - Ne raditi teške jedna čine s parametrima i apsolutnim vrijednostima. - Kad se obra đuju linearne nejednačine, navedena uputstva za jednačine pratiti i obavezno dati geometrijsku

interpretaciju (znak linearne funkcije). - Kod sistema linearnih jedna čina ne koristiti metod determinanti (Kramerovo pravilo), već insistirati na tome da se svaki put d ȃ i geometrijska interpretacija datoga rješenja pomoću koje će se obnoviti i utvrditi i linearna funkcija i njen grafik.

- Raditi jednostavnije primjere za Gausov metod eliminacije (tri nepoznate).

Tema: Geometrija u ravni

-U čenike/učenice treba podśetiti na elementarne konstrukcije. - Insistirati na konstruktivnim zadacima i koristiti pribor. - Konstruisati trougao na osnovu datih elemenata i insistirati na svim fazama konstrukcije: analiza, konstrukcija,

diskusija. - Stavovi podudarnosti trouglova izlažu se bez dokaza. Me đutim učenici/učenice treba da riješe veći broj zadataka u kojima se ti stavovi primjenjuju. U po četnoj fazi treba raditi zadatke s gotovim slikama na kojima su jednaki elementi dva ili više trouglova ozna čeni na odgovarajući način. Nakon toga treba preći na zadatke u kojima u čenici/učenice samostalno crtaju odgovarajuće slike.

- Stavovi sli čnosti trouglova takođe se izlažu bez dokaza. Učenici/učenice treba samostalno da rješavaju zadatke u kojima se primjenjuju ti stavovi. - Preporu čuje se, kad je god moguće, svaku nastavnu jedinicu oplemeniti nekim detaljem iz istorije matematike. Ostavlja se mogu ćnost da to i sam/sama učenik/učenica uradi uz ponuđenu literaturu. -U čenike/učenice treba podsticati da rješavaju zadatke u kojima treba primijeniti svojstava tangentnih i tetivnih četvorouglova.

Drugi razred Tema: Stepenovanje i korjenovanje

2 k  -U 1 čenici/učenice treba da razlikuju  

1  1 ,   1   1 i sli čne varijante kad osnova stepena ne mora biti -1.

- Naglasiti da stepen podliježe samo pod operacije množenja i dijeljenja i to kad se radi o istoj osnovi ili istome

2 3 izložiocu. Navesti jednostavnije primjere i ukazati da 5 a  a  a itd.

- Obnoviti znanja o funkcijama data u I razredu, a posebnu pažnju obratiti na injektivnost, surjektivnost i bijektivnost, što će se koristiti kod obrade pojma inverzne i korijene funkcije. - Kad se obra đuje pojam kompozicije preslikavanja, treba naglasiti pod kojim je uslovima moguće pristupiti tome postupku. Ilustrovati jednostavnijim primjerima. - Pojam inverzne funkcije objasniti na konkretnim primjerima i grafike predstavljati na istoj slici. Od u čenika/učenica zahtijevati da primijete što se dešava. - Pri crtanju stepenih funkcija insistirati da u čenici/učenice znaju pročitati osobine s grafika funkcije. - Ukazati na sli čnost grafika funkcije i osobine kad je n paran, odnosno n neparan broj. - Ra čunski i grafički, na prostim primjerima, iz date bijektivne funkcije pronaći inverznu, pa tek onda to primijeniti na

korijenim i stepenim funkcijama.

- Insistirati n da u čenici/učenice usvoje vezu a  a n i činjenicu a  b  a  b .

- Poželjno je prvo dobro uvježbati osnovne operacije s korijenima i stepenima čiji je izložilac racionalan broj pa tek onda pre ći na ozbiljnije zadatke. - Na jednostavnijim primjerima objasniti racionalisanje. Ne raditi zadatke u kojima se više puta koristi isti postupak ve ć pronalaziti zadatke koji su kraći ali sadržajniji. - Objasniti upotrebu digitrona. - Zadatke birati tako da nijesu teški ali da su sadržajni.

- Pri rješavanju jednostavnijih iracionalnih jedna čina oblika x  1  2 itd. obavezno naglasiti oblast definisanosti i insistirati na osobinama korijenih funkcija

Tema: Kompleksni brojevi

- Obnoviti skupove brojeva i objasniti koji su razlozi proširivanja skupova N, Z, Q, R. Ilustrovati na primjerima prostih jedna čina. - Koristiti isti postupak i jedna 2 čine oblika x  1  0 da se objasni razlog uvo đenja pojma kompleksnoga broja, tj.

ukazati na to kako se u matematici iz poznatih objekata grade novi.

- Insistirati da u čenici/učenice usvoje geometrijsku interpretaciju kompleksnoga broja. - Poželjno je operacije sabiranja i oduzimanja kompleksnih brojeva u algebarskome obliku predstaviti geometrijski.

Tema: Kvadratna jedna čina i kvadratna funkcija

- Obnoviti znanje ste čeno u I razredu koje se tiče rastavljanja polinoma na proste činioce.

2 2 ax 2  0 , ax  c  0 , ax  bx  0 ,

- Prvo rješavati nepotpune jedna čine oblika

a  0 . - Izvesti formulu za rješavanje potpune kvadratne jedna 2 čine ax  bx  c  0 , a  0

- Insistirati da se navedeni postupci znaju do automatizma. - Poželjno je davati 20-minutne testove s elementarnim zadacima. - Ukazati na važnost diskriminante. - Insistirati da se Vietove formule usvoje i znaju primjenjivati. Ilustrovati jednostavnijim primjerima na po četku. - Koriste ći Vietove formule, pokazati kako se može formirati kvadratna jednačina ako se znaju njena rješenja. - Pokazati na elementarnim primjerima da se rješenja nekih jedna čina mogu pronaći na osnovu gore navedenoga

postupka, a da se kvadratna jedna čina ne rješava. - Izvesti formule za rastavljanje kvadratnoga trinoma na linearne činioce i objasniti na nekoliko jednostavnijih primjera. - Svaka faza u usvajanju novih znanja može se pratiti kratkim, elementarnim i sadržajnim testovima. - Kod u čenika/učenica razviti mogućnost da može prepoznati jednačine koje se svode na kvadratne i da ih zna

rješavati. - Kvadratnu funkciju uvoditi postepeno osvr ćući se na stepene funkcije.

2 2 - Insistirati 2 da u čenici/učenice znaju nacrtati grafike funkcija sljedećega oblika: y  ax , y  ax  c , y  ax  bx  c . - Poželjno je da u čenik/učenica zna više metoda za rješavanje kvadratnih nejednačina, ali se preporučuje grafička

metoda. - Rješavanje sistema obavezno interpretirati grafi čki kad se radi o jednostavnijim primjerima. - Pri rješavanju iracionalnih jedna čina insistirati na oblasti definisanosti i na tome kako ona utiče na rezultat. - Zbog važnosti ove nastavne teme stalno pratiti nivo znanja koji u čenici/učenice stiču i, ako ima potrebe, pojedinim

nastavnim jedinicama posvetiti više pažnje.

Tema: Eksponencijalna i logaritamska funkcija

- Obnoviti stepen i osnovne operacije sa stepenima. - Pri rješavanju eksponencijalnih jedna čina naglašavati koja se pravila koriste.

- Isticati inverznost eksponencijalne i logaritamske funkcije. Posebnu pažnju obratiti na oblast definisanosti logaritamske i ukazati na vezu s oblaš ću vrijednosti eksponencijalne funkcije. - Ne zadavati teške zadatke. Preporu čuje se da su lakši ali sadržajniji. - Pratiti svaku fazu 10-minutnim testovima s elementarnim zadacima koji služe da se zaklju či do koje mjere

u čenici/učenice usvajaju nova znanja i kako poboljšati nastavu, a manje predstavljaju vid ocjenjivanja. - Kad je mogu će, pri rješavanju jednačina koristiti grafičke prikaze i isticati osobine odgovarajućih funkcija.

Tema: Trigonometrijske funkcije

- Svaku nastavnu jedinicu potrebno je popratiti odgovaraju ćim grafičkim prikazom. - Insistirati da se nau če definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija oštroga ugla pravougloga trougla. - Izvesti obrasce za površinu trougla koriste ći se trigonometrijskim funkcijama. - Izvesti tablicu vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih oštrih uglova. - Zadatke birati tako da se ukaže na njihovu široku primjenu u fizici (projekcija vektora sile na osu, oscilacije itd.). - Sve identitete izvoditi i uvježbavati na jednostavnijim primjerima dok ih u čenik/učenica ne usvoje. - Prije prelaska na uopštenje pojma ugla preporu čuje se mala provjera znanja testom koji treba da sadrži

elementarne zadatke. - Insistirati da u čenik/učenica koristi i razumije trigonometrijsku kružnicu. - Sve formule izvoditi pomo ću već pomenute kružnice. - Znak trigonometrijskih funkcija i periodi čnost obavezno prikazati pomoću kružnice stalno obnavljajući definiciju

trigonometrijskih funkcija proizvoljno zadatih uglova. - Od u čenika/učenice zahtijevati da razumije i izvodi formule za svođenje na prvi kvadrant. - Ponovo uraditi elementarne jedna čine oblika sin x  cos a , x  b itd. koriste ći vrijednosti ma kojega ugla.

- Rješavati geometrijske zadatke pomo ću trigonometrijskih funkcija da učenici/učenice ośete primjenu. Uraditi što više takvih zadataka.

Tema: Vektori

- Isticati trokomponentnost pojma vektora. - Pri rješavanju i objašnjavanju zadataka i novih nastavnih jedinica obavezno koristiti grafi čki prikaz. - Korelacija s fizikom: sila je vektor. - Slaganje sila (proizvod skalara i vektora). - Opisivanje kretanja tijela u ravni pomo ću vektora (sabiranje i oduzimanje vektora, množenje vektora brojem). - Primjenjivati vektore u geometriji. - Insistirati da se usvoje osobine skalarnoga i vektorskoga proizvoda. - Koristiti skalarni proizvod pri odre đivanju ugla između dvije prave, tj. dva vektora, dužine vektora itd.

- Isticati da skalarni proizvod ima poseban zna čaj u fizici pri izračunavanju izvršenoga rada, sile, brzine itd. Ilustrovati

jednostavnim primjerima. - Insistirati da u čenik/učenica usvoji, razumije i primjenjuje činjenicu da intenzitet vektorskoga proizvoda predstavlja površinu paralelograma odre đenoga tim vektorima.

- Ista ći da se vektorski proizvod javlja u fizici u sklopu elektromagnetnoga polja, Lorencove sile, momenta sile, momenta impulsa itd.

Tre ći razred Tema: Trigonometrija

- Za traženje vrijednosti trigonometrijskih funkcija nestandardnih uglova u čenik/učenica koristi kalkulator. - Trigonometrijske formule se ne izvode. - Radom na ovoj temi u čenici/učenice upoznaju osnovne trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafike, nauče

da rješavaju elementarne trigonometrijske jedna čine,prepoznaju situacije u kojima se koriste trigonometrijske formule i koriste trigonometriju prilikom rješavanja prakti čnih zadataka. Učenici/učenice treba da shvate značaj trigonometrije u matematici, njenu ulogu u razvoju matematike kao i primjenljivost prilikom rješavanja ne samo čisto matemati čkih zadataka, već i zadataka koje diktiraju fizika, geografija, astronomija, navigacija.

Tema: Stereometrija