MAKALAH KAPITA SELEKTA MATEMATIKA SMA TE

MAKALAH KAPITA SELEKTA MATEMATIKA SMA
TENTANG TRIGONOMETRI
RAHMAT HIDAYAT (09320114)

MATEMATIKA DAN KOMPUTASI
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG

DAFTAR ISI
Pendahuluan...................................................................................................1
Daftar isi ........................................................................................................2
Kata pengantar ..............................................................................................3
Isi ...................................................................................................................4
a. Ukuran sudut ................................................................................................4
 Ukuran sudut dalam derajat, dan ...............................................................4
 Ukuran sudut dalam radian .......................................................................6
b. Perbandingan-perbandingan trigonometri ....................................................8
c. Kesamaan .....................................................................................................11
d. Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri ...............................................12
e. Fungsi Trigonometri ....................................................................................15
f.

Menggambar grafik trigonometri .................................................................18
Daftar pustaka ...............................................................................................22

KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan kami berbagai
macam nikmat kapada kami, di antaranya nikmat iman, nikamt islam, nikmat umur, terlebih –
lebih lagi nikmat kesempatan sehingga kami masih dapat menyelesaikan makalah ini
sebagaimana yang di harapakan.
Shalawat serta salam kami curahkan kepada junjungan kami, nabi Muhammadin SAW,
yaitu nabi yang mengajarkan kepada kami bahwa yang hak itu banar dan yang bhatil itu salah,
semoga prinsip semacam ini dapat kita realisasikan dalam kehidupan nyata sehari-hari
Selanjutnya saran serta kritik sangat kami harapkan dari berbagai pihak, terutama kapada
dosen pembimbing kapita selekta matematika serta teman-teman sekalian yang kami banggakan,
untuk perbaikan-perbaikan pembuatan makalah untuk nkedepannya sehingga pembuatan
makalah ke depannya sesuai yang di harapkan.
Pada kesempatan ini, kami mohon maaf yang sebesar-besarnya kepada dosen
pembimbing, karena sangat kami sadari bahwa pembuatan makalah ini, sangat jauh dari harapan
bapak / ibu dosen pembimbing, dan masih banyak kekurangan-kekurangan serta kesalahankesalahan yang kami lakukan dalam pembuatan makalah ini

Salam Penulis.

TRIGONOMETRI
A. Ukuran sudut
Sebelum mengkai masalah perbandingan dan fungsi trigonometri perlu di pahamiterlebih
dahulu suatu besaran yang menunjukkan ukuran bagi suatu sudut. Dalam trigonometri,dad dua
macam ukuran sudut yang sering di gunakan, yaitu :
1) Ukuran sudut dalam derajat, dan
2) Ukuran sudut dalam radian.
a Ukuran sudut dalam derajat
Besar sudut dalam ukuran derajat dapat dijelaskan dengan menggunakan konsep sudut sebagai
jarak putar.
Pada gambar dibawah ini (gambar a)di perlihatkan sebuah jarum jam yang dapat berputar
bebas terhadap titik pangkal jarum . Titik pangkal ini di beri nama titik O dan titik O terletak
pada garis mendatar OX.misalkan titik ujung jarum mula-mula berada pada titik A (A terdapat
pada garis OX) sehingga sudut yang di bentuk oleh jarum terhadap garis OX sama dengan
(0o).kemudian jarum di putar berlawanan arah dengan arah gerak jarum jam biasa sehingga hasil
pada gambar b. Sudut antara jarum dengan garis OX merupakan jarak putar dan sudut tersebut
akan semakin besar jika jarak putarannya di perbesar.

r= jari-jari
A

O

gg

Ujung jarum

B

O
A

X

X
C

Gambar (a)

gambar (B)

Gerak jarum jam dalam ekspresi di atas dapat di tuliskan oleh gerak dari jari-jari
lingkaran seperti yang di perlihatkan oleh gambar B, sehingga ukuran besar sudut di tentukan
oleh jarak putar jari-jari lingkaran terhadap garis OX. Sekarang jika jarum di gerakkan ke A, aka
di katakana jarum inibergerak dalam satu putaran. Panjang lintasan dilalui oleh titik ujung
jarum sama dengan keliling lingkaran dan besar sudutnya adalah 3600
Berdasarkan deskripsi di atas, ukuran sudut dalam derajat dapat I definisikan sbb :
Definisi ukuran sudut dalam derajat
Satu derajat (di tulis 10) di definisikan sebagai ukuran besar sudut yang di sapu oleh jarijari lingkararan dalam jarak putar sejauh putaran.
10 = putaran
Ukuran-ukuran sudut yang lebih kecil dari ukuran derajat, di nyatakan dalam ukuran
menit dan ukuran detik. Ukuran –ukuran sudut dalam derajat, menit, dan detik meengikuti
aturan sbb :
a.

1 derajat = 60 menit atau
Di tulis :

1 menit = derajat

10 = 60’

b. 1 menit = 60 detik

atau
atau

1’ =

1 detik = menit

Di tulis :

1’ = 60’’

atau

1’’ =

Conoth soal :
Diketahui besar sudut
a) Nyatakan besar sudut itu dalam notasi decimal.
b) Hitunglah (Nyatakan hasilnya dalam ukuran derajat, menit, dan detik).
(i)
(ii)
Jawab :
a) Untuk menytakan sudut dalam bentuk desimal, maka bagian yang berukuran menit di ubah
terlebih dahulu kedalam derajat sbb.
24’ = 24 x = 0,40
Dengan demikian = +
Jadi bentuk decimal dari
b)
=
= 63042’
(ii)
=
=
= 25028’48’’

Jadi, .
b. Ukuran sudut dalam radian
Berdasarkan gambar 2a di bawah ini, tampak bahwa juring atau sektor P’MQ’ di peroleh
dari juring PMQ sebagai akibat perbesaran (dilatasi) yang berpusat di M. oleh karena itu,
juring PMQ sebangun dengan juring P’MQ’. Kesebangunan ini mengkasilkan hubungan
Nilai perbandingan merupakan ukuran sudut PMQ yang di nyatakan dalam ukuran
radian.
M

Q

P
Q’

Q

M

P’
Gambar 2A

P
Gambar 2B

Sekarang perhatikan gambar 2b misalkan panjang busur PQ = jari-jari lingkaran = r atau
panjang busur PQ =MP = r, maka nilai perbandingan
Dalam hal ini di katakn bahwa besar sudut PMQ sama dengan 1 radian.
Definisi : ukuran sudut dalam Radian
Satu Radian (ditulis 1rad) didefinisikan sebagai ukuran sudut pada bidang datar yang berada di
antara dua jari-jari lingkaran dengan panjang busur sama dengan panjang jari-jari lingkaran itu.

Mengubah Ukuran Sudut dari Derajat ke Radian dan sebaliknya
1800
r


Berdasarkan gambar 3 dapat di tetapkan sbb :
Besar sudut PMQ dalam ukuran derajat
Q



M

P

sudut setengah putaran penuh.

Besar sudut PMQ dalam ukuran radian
, sebab pnjang busur PQ = setengah keliling lingkaran

u 1800 = , amaka di peroleh :
a.

10 =

b. 1 radian =

Dalam beberapa perhitungan, sering kali di gunakan nilai pendekatan untuk , sehingga hubungan
dalam persamaan di atas dapat di tuliskan sbb :

a) 10 =
b) 1 radian =
Contoh
a) Nyatakan ukuran sudut ini dalam ukuran radian
1000
b) Nyatakan ukuran sudut ini ke dalam ukuran derajat
Jawab :
1) 10 =
1000 = 100 x 10 =100 x
Jadi, 1000 =
2)

= 1400
Jadi,

B. Perbandingan-Perbandingan Trigonometri
a) Perbandingan-Perbandingan Trigonometri dalam segitiga siku-siku
Perhatikan segitiga siku-siku ABC dengan titik sudut di C pada gambar 4 di bawah ini. Panjang
sisi (dalam satuan panjang) di hadapan sudut A adalah a, panjang sisi di hadapan sudut B adalah
b, dan panjang sisi di hadapan sudut C adalah c.

B

a
C

c
b
Gambar 4

A

Dari tiga besaran panjang sisi segitiga siku-siku ABC tersebut (yaitu a, b, c), dapat di
tentukan enam buah perbandingan, yang di sebut Perbandingan-Perbandingan Trigonometri
dalam segitiga siku-siku.
Definisi : Perbandingan-Perbandingan Trigonometri dalam segitiga siku-siku

a.
b.
c.
d.
e.
f.
Berdasarkan definisi di atas, dapat di turunkan hbungan-hubungan matematika yang
disebut rumus kebalikan dan rumus perbandingan sbb :
1. Rumus Kebalikan
a.

d.

b.

e.

c.

f.

2. Rumus Perbandingan
a.
b.
Contoh

B

Segitiga siku-siku ABC mempunyai panjang sisi a = dan b = 1
Carilah nilai dari keenam perbandingan trignometri untuk sudut a0
a=

c

jawab :
nilia c di hitung terlebih dahulu dengan memakai phytagoras
c= = = =2
jadi, nilai perbandingan trigonometrinys sdslsh :
a.

C

b=1

A

b.
c.
d.
e.
f.

Nilai-Nilai Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut-Sudut Khusus

0
0

30
2

Besar sudut a
45
1

60

90
1

2
1
0

1

Contoh :
1. Hitunglah
Jadwal :

=
= =1
C.
1.



2.



3.



4.


Kesamaan trigonometri
Kesamaan ganjil-genap
sin(-x) = - sin x
cos (-x) = - cos x
tan (-x) = - tan x
kesamaan phytagoras
sin2 x +cos2 x = 1
1 + tan2 x = sec2 x
1 + cot2 x = csc2 x
Kesamaan penambahan
Sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
Cos (x + y) = cos x cos y + sin x sin y
Tan (x + y) =
Kesamaan sudut ganda
Sin 2x = 2 sinx cos x

0
1

0

 Cos 2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2sin2x
5. Kesamaan setengah sudut
 Sin2x =
 Cos2x =
6. Kesamaan jumlah
 Sin x sin y =
 cos x cos y =
 sin x cos y =

D. Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri





Persamaan trigonometri adalah suatu persamaan yang memuat perbandingan
trigonometri. Contoh
sin x = 0,5
cos x = sin
tan 2x =
cot x = sin
suatu persamaan trigonometri dapat di selesaikan dengan cara menentukan nilai
pengganti variabel yang dapat memenuhi persamaan trigonometri tersebut disebut penyelesaian
dari persamaan trigonometri

1. Penyelesaian persamaan trigonometri sin x = a,
Persamaan trigonometriyang berbentuk sinx=adapat diselesaikandengan cara mengubah
untuk persamaan tersebut menjadi persamaan trigonometri dasar.
Jika sin atau x =( 180 0+k.

Contoh.
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan sin x = ,00
Penyelesaian
Sin x=
Sin x = sin 600
X=600 atau (180-60)0+
Untuk k = 0 600 atau 1200
Jadi, himpunan penyelesaian adalah =
2. Penyelesaian persamaan trigonometri cos x = a

Jika cos x = cos , maka
X = + k . 3600 atau X = + k . 3600, k bilangan bulat
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan cos 3x = , 0 x 3600
Penyelesaian
cos 3x =
cos 3x = cos 600
3x = cos 600 + k. 3600 atau 3x = - 600 + k. 3600
x = 20 + k. 1200 atau x = - 20 + k. 1200


Untuk k = 0



Untuk k = 1
Atau



Untuk k = 2




Untuk k = 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adala =

3. Penyelesaian persamaan trigonometri tan x = a
Jika tan x =tan maka
x = + k.1800 ,k bilangan bulat
con toh
tentukan himpunan penyelesaian persamaan tan 2x= , 00 x 3600
penyelesaian
tan 2x =
tan 2x = tan 600
2x =600 + k.1800
X = 300 + k. 900
Untuk k = 0 300 + 0. 900 =300
Untuk k = 1 300 + 0. 900 =

Untuk k = 2 300 + 2. 900 =300 + 1800 =
Untuk k = 3 300 + 3. 900 =300 + 2700 =
Jadi himpunan penyelesaian
2. Pertidaksamaan
Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti sin ax ≤ c, cos ax ≥ c dan sebagainya
dapat
diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah umum pertidaksamaan seperti :
- Diagram garis bilangan
- Grafik fungsi trigonometri

E. Fungsi Trigonometri
Hubungan Fungsi Trigonometri :

Rumus Jumlah Fungsi :
Perkalian jumlah/selisih
1. 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)
2. 2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A-B)
3. 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B)
4. -2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B)

F. grafik fungsi trigonometri
Fungsi-fungsi trigonometri f(x0) = sin x0, f(x0) = cos x0, f(x0) = tan x0 , mempunyai
persamaan grafik berturut-turut adalah y = sin x0, y = cos x0, y = tan x0. Untuk menggambar
grafik fungsi trigonometri dengan menggunakan table di perlukan langkah-langkah sbb :
Langkah 1
Butlah table yang menyatakan hubungan antar x dengan y = f(x0). Pilihlah nilai sudut sehingga
nilai y = f(x0)dengan mudah dapat di tentukan.
Langkah 2
Titik-titik (x,y) yang di perolehpada langkah 1 di gambar pada bidangcartesius. Agar skala pada
sumbu Xdan pada sumbu Y sama, maka nilai 360 pada sumbu X di buat mendekati 6,28 satuan,
karena misalkan skala pada sumbu Y ditetapkan 1 cm maka nilai 360 pada sumbu X dibuat
medekati nilai 6,28 cm.
Langkah 3
Hubungkan titik-titik yang telah digambar pada bidang cartesius pada langkah 2 tersebut dengan
kurvayang mulus sehingga di peroleh sketsa grafik fungsi trigonometri y = f(x0).
Berikut ini dijelskan cara membuat sketsa grafik fungsi trigonometri y = sin x0, y = cos
x0, dan y = tan x0 dengan menggunakan langkah-langkah yang telah dibicarakan di atas.
1. Grafik Fungsi y = sin x0(0 )
Pilihlah sudut-sudut x : 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, 360;
Kemudian dicari nilai y = sin x0. Hubungan antara x dan y = sin x0 dibuat tabel seperti di bawah
ini.
X
y = sin

0

30

60

0

90

120

1

150

18

21

0
0

0

240

270

30

330

36

0

0
1

0

x0
Titik-titik (x, y) pada tabel di atas di gambar pada bidang cartesius. Kemudian titik-titik
itu dihubungkan dengan kurvayang mulus sehingga di peroleh grafik fungsi y = sin x0.
(30, 1/2) (60, ) (90,1)

(120, ) (150, )

(180,0)

1
0,87

(360, 0)

0
360

330

30
X

60

90

120

150

180

210

240

270

300

-0,87
-1

(210, ) (240, )

(300, ) (330, , )

(270,-1)
Catatan : untuk selamanya diadakan pendekatan nilai dengan 0,87

2. Grafik Fungsi y = cos x0(0 )
Sudut-sudut yang dipilih seperti pada grafik y = sin x0. Hubungan antara x dan y = cos x0 di
perlihatkan pada tabel di bawah ini.
X

0

y = cos

30

60

1

90

120

150

18

210

240

0
-1

0

270 30

330

0

0
1

0

x0
Titik-titik (x, y) pada tabel di atas di gambar pada bidang cartesius. Kemudian titik-titik itu
dihubungkan dengan kurvayang mulus sehingga di peroleh grafik fungsi y = cos x0.

(0,1) Y

(30, )

(330, ) (360, 1)
(60, ) (90,0)

(300 , )

1
0,87

0

30

60

90

120

150

180

210

240

X
-0,87

-1

(210, )

(270, 0)
(150, )

(210, )
(270, -1)

270

300

330

36

360

3. Grafik Fungsi y = tan x0(0 )
Pilihlah sudut-sudut x : 0, 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315, 360; kemudian di cari nilai y = tan x0.
Hubungan antara x dan y = tan x0 di perlihatkan pada tabel di bawah ini
X
y = tan x0

0
0

45
1

90
-

135
-1

180
0

225
1

270
-

315
-1

360
0

Titik-titik (x, y) pada tabel di atas di gambar pada bidang cartesius. Kemudian titik-titik itu di
hubungkan dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi y = tan x0.

(45, 1)

(225, 1)

1
0
360

45

90

135

180

225

(360, 0)
270
315

X
-1
(135, -1)

(315, -1)

Berdasarkan grafik fungsi sinus y = sin x0, grafik fungsi y = cos x0, grafik fungsi y = tan x0, dapat
disimpulkan bberapa hal sbb :
1. Fungsi-fungsi trigonometri sinus, cosinus, tangent, merupakan fungsi periodik atau fungsi
berkala.
a.

Fungsi sinus y = sin x0 dan fungsi kosinus y = cos x0 mempunyai periode 3600.

b. Fungsi tangent y = tan x0 mempunyai periode 1800
2. Fungsi sinus y = sin x0 dan fungsi kosinus y = cos x0 mempunyai nilai minimum -1 dan
maksimum 1, sedangkan fungsi tangent y = tan x0 tidak mempunyai nilai minimum ataupun nilai
maksimum
3. Khusus untuk fungsi tangen y = tan x0.
a.

Untuk x mendekati 90 atau 270 dari arah kanan , nilai tan x0 menuju ke negatif tak-terhingga .

b. Untuk x mendekati 90 atau 270 dari arah kiri , nilai tan x0 menuju ke positif tak-terhingga.
c.

Garis-garis x = 90 atau x = 270 di sebut garis asimtut

d. Fungsi tangent y = tan x0 dikatakan diskontinu atau tak-sinambung di x = 90 dan x = 270.
DAFTAR PUSTAKA
Frank. Aires, J. R.,Plane and Spherical Trigonometry, Mc. Graw-HillBook Company, New York,
1954
Koesmoronto, dkk. Modul Matematika, Penerbit ITB, Bandung, 1977
Sartono Wirodikromo dkk.., Matematika Untuk SMU jilid 1 sampai 3, Erlangga, Jakarta, 1999