BENTUK OPTIMAL METODE POTRA PTAK

BENTUK OPTIMAL METODE POTRA-PTAK BEBAS TURUNAN SKRIPSI OLEH

NURISNA SARI NIM. 1003113286

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU PEKANBARU 2015

BENTUK OPTIMAL METODE POTRA-PTAK BEBAS TURUNAN SKRIPSI

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains OLEH

NURISNA SARI NIM. 1003113286

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU PEKANBARU 2015

BENTUK OPTIMAL METODE POTRA-PTAK BEBAS TURUNAN

Disetujui oleh:

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. Imran M., M.Sc Zulkarnain, M.Si NIP. 19640505 199002 1001

NIP. 19871027 201212 1001

Diketahui oleh: Ketua Jurusan Matematika

Dr. Imran M., M.Sc NIP. 19640505 199002 1001

Skripsi ini telah diuji oleh Tim Penguji Ujian Sarjana Sains Program Studi S1 Matematika

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Pekanbaru

Pada Tanggal

Tim Penguji:

1. Dr. Imran M., M.Sc

) NIP. 19640505 199002 1001

Ketua

2. Zulkarnain, M.Si

Mengetahui: Dekan FMIPA Universitas Riau

Prof. Dr. Adel Zamri, MS., DEA

NIP. 19591220 198603 1 005

LEMBARAN PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa Skripsi yang berjudul ”Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak Bebas Turunan”, benar hasil penelitian saya dengan arahan Dosen Pembimbing dan belum pernah diajukan dalam bentuk apapun untuk mendapatkan gelar Kesarjanaan. Dalam Skripsi ini tidak terdapat karya atau pendapat yang telah ditulis atau dipublikasikan orang lain, kecuali secara tertulis dengan jelas dicantumkan dalam naskah dengan menyebutkan referensi yang dicantumkan dalam daftar pustaka. Pernyataan ini saya buat dengan sesungguhnya dan apabila dikemudian hari terdapat penyimpangan dan ketidakbenaran dalam pernyataan ini, maka saya bersedia menerima sanksi akademik berupa pencabutan gelar yang telah diperoleh karena Skripsi ini, serta lainnya sesuai norma yang berlaku di perguruan tinggi.

Pekanbaru, 15 Juli 2015 Yang membuat pernyataan

Nurisna Sari NIM. 1003113286

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim, Alhamdulillahirrabbil’aalamiin segala rasa syukur dan pujian hanya milik Allah Subhanaahuu wa Ta’aalaa, bertasbih segala yang di langit dan di bumi, yang selalu memberikan limpahan nikmat, kasih sayang, dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak Bebas Turunan. Salawat serta salam semoga senantiasa dilimpahkan pada kekasih junjungan alam Nabi Muhammad Shalallahu ’Alaihi Wasallam, Allahumma shalli ’alaa Muhammad wa ’alaa aali Muhammad, sosok manusia pilihan yang telah membawa perubahan dari gelapnya masa kejahiliahan kepada terangnya ilmu pengetahuan.

Ungkapan terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Imran M., M.Sc selaku pembimbing I dan Bapak Zulkarnain, M.Si selaku pembimbing II, yang telah meluangkan waktu, pikiran dan tenaga dalam memberi bimbingan, arahan, dorongan, dan kesabaran dalam membimbing penulis menyelesaikan skripsi ini.

Terima kasih kepada Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau, Ketua Jurusan Matematika dan Prodi S1 Matematika, serta Bapak dan Ibu dosen di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau, khususnya Jurusan Matematika, yang telah mendidik dan mengajarkan ilmunya kepada penulis.

Ungkapan terima kasih penulis ucapkan kepada Ayahanda Abd. Haris, Ibunda Nuriman, kedua adik saya Abd. Rahman dan Akmal serta seluruh keluarga besar, karena mereka selalu memberikan do’a dan dorongan semangat kepada penulis menyelesaikan perkuliahan ini. Terima kasih juga untuk teman seperjuangan di Jurusan Matematika angkatan 2010 dan para sahabat yang selalu memberikan semangat dan memahami kegalauan penulis hingga akhir- nya penulis berhasil menyelesaikan skripsi ini, yaitu Nisa’ul Imama, Resdianti

Marny, Juhrianti, Ridho Alfarisy dan Lusy Kristina. Terima kasih atas kese- tiaannya memberikan doa dan dukungan kepada penulis.

Kritik dan saran yang membangun ke arah perbaikan skripsi ini sangat penulis harapkan. Akhirnya penulis berdo’a semoga skripsi ini bermanfaat umumnya untuk pembaca dan khususnya untuk penulis sendiri. Semoga Allah Subhanaahuu wa Ta’aalaa memberikan rahmat dan hidayah-Nya kepada kita semua, amiin.

Pekanbaru, 15 Juli 2015

Nurisna Sari NIM. 1003113286

ABSTRACT

This final project discusses an optimized derivative-free form of the potra-ptak method to solve a nonlinear equation. This iterative method has the convergence of order four and for each iteration it requires three function evaluations, so the efficiency index of the method is 1.5874. Furthermore, the computational test shows that the discussed method is superior, both in the number of function evaluatios, as well as in the number of iterations needed to get a root.

Key words: potra-ptak method, efficiency index, free derivative method, order of convergence

ABSTRAK

Skripsi ini membahas bentuk optimal metode potra-ptak bebas turunan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Metode iterasi ini mempunyai kekonvergenan orde empat dan untuk setiap iterasinya memerlukan tiga perhitungan fungsi, sehingga indek efisiensinya adalah 1.5874. Selanjutnya dari uji komputasi terlihat bahwa metode iterasi yang didiskusikan lebih unggul dari metode pembanding, baik dari perhitungan, maupun jumlah iterasi yang diperlukan untuk mendapatkan akar.

Kata kunci: metode potra-ptak, indek efisiensi, metode iterasi bebas turunan, orde konvergensi

DAFTAR ISI

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING . . . . . . . . . iii HALAMAN PERSETUJUAN PENGUJI . . . . . . . . . . . .

iv LEMBARAN PERNYATAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii DAFTAR ALGORITMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

1. PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. BEBERAPA METODE ITERASI UNTUK MENYE- LESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR . . . . . . . .

2.1 Orde Konvergensi, Indeks Efisiensi dan Teorema Taylor . .

2.1.1 Orde Konvergensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2 Indeks Efisiensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.3 Teorema Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Metode Newton (MN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Metode Potra-Ptak(PP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Metode Liu (MLi) ...................... 11

2.5 Metode Ren (MR) ...................... 15

3. BENTUK OPTIMAL METODE POTRA-PTAK BEBAS TURUNAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1 Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak dengan Turunan

3.2 Analisa Kekonvergenan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak Bebas Turunan . 31

3.4 Analisa Kekonvergenan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5 Uji Komputasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4. KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 LAMPIRAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

DAFTAR TABEL

2.1 Hasil Komputasi Contoh 2.1 dengan Metode Newton . . . . . .

2.2 Hasil Komputasi Contoh 2.1 dengan Metode Potra-Ptak . . . . 11

2.3 Hasil Komputasi Contoh 2.1 dengan Metode Liu . . . . . . . . . 15

2.4 Hasil Komputasi Contoh 2.1 dengan Metode Ren . . . . . . . . 19

3.1 Hasil Komputasi Contoh 2.1 BOMP dengan parameter a . . . . 30

3.2 Hasil Komputasi Contoh 2.1 BOMPBT dengan parameter a . . 45

3.3 Perbandingan Hasil Komputasi untuk MN, MPP, MLi, MR, BOMPT dan BOMPBT ........................... 47

DAFTAR ALGORITMA

2.1 Algoritma Metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Algoritma Metode Potra-Ptak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Algoritma Metode Liu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Algoritma Metode Ren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.5 Algoritma BOMP dengan Turunan menggunakan parameter a . 29

3.6 Algoritma BOMPBT menggunakan parameter a . . . . . . . . . 44

BAB 1 PENDAHULUAN

Matematika merupakan salah satu ilmu pengetahuan yang berperan merumuskan persoalan dalam kehidupan sehari-hari. Persoalan yang sering dijumpai adalah bagaimana menemukan solusi atau akar dari persamaan nonlinear. Persamaan nonlinear memiliki peranan yang sangat penting dalam seluruh bidang ilmiah, terutama dibidang matematika, fisika, biologi, dan bidang ilmu lainnya. Persoalan nonlinear disajikan dalam bentuk f (x) = 0. Persamaan nonlinear dapat diselesaikan dengan dua metode, yaitu metode analitik dan metode numerik. Metode Analitik merupakan metode yang menghasilkan solusi sejati (exact solution). Sedangkan metode numerik adalah metode yang menghasilkan solusi berupa hampiran atau pende- katan terhadap solusi sejati, sehingga solusi numerik juga dikatakan solusi hampiran (approximation solution). Untuk persamaan nonlinear yang rumit, biasanya digunakan metode numerik.

Banyak metode numerik yang dapat digunakan untuk mencari solusi atau akar dari persamaan nonlinear, beberapa diantaranya adalah Metode Newton yang memiliki orde kekonvergenan kuadratik [1, h. 83] yang bentuk iterasinya diberikan oleh

f (x n )

x n +1 =x n − ′

, n = 0, 1, 2, · · · ,

f (x n ) f (x n )

x 1 ,x 2 ,x 3 ,···,

yang akan konvergen ke nilai akar f (x) = 0. Dalam perkembangannya, metode Newton banyak mengalami modifikasi. Tujuannya adalah untuk memperkecil jumlah iterasi dan memperkecil error. Error merupakan selisih antara solusi sejati/solusi exact dengan solusi numerik yang diperoleh. Salah satu modifikasi metode Newton adalah metode Potra-Ptak [4], dengan bentuk persamaan

Pada skripsi ini, dibahas bentuk optimal dari metode Potra-Ptak bebas turunan. Pembahasan ini merupakan sebagian isi dari artikel yang ditulis oleh F. Soleymani [8] dengan judul ”An Optimized Derivative-Free Form of The Potra-Ptak Method” . Skripsi ini disusun dalam 4 bab. Bab 1 merupakan pendahuluan yang berisi gambaran umum tentang penelitian yang akan diba- has. Bab 2 menjelaskan beberapa teori penunjang untuk pembahasan pada bab

3. Diteruskan dengan bab 3 yang membahas Bentuk Optimal Metode Potra- Ptak Bebas Turunan, analisa kekonvergenan dan komputasi numerik untuk melihat perbandingan Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak Bebas Turunan, metode Newton, metode Liu, metode Ren. Akhir dari skripsi ini adalah bab 4 3. Diteruskan dengan bab 3 yang membahas Bentuk Optimal Metode Potra- Ptak Bebas Turunan, analisa kekonvergenan dan komputasi numerik untuk melihat perbandingan Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak Bebas Turunan, metode Newton, metode Liu, metode Ren. Akhir dari skripsi ini adalah bab 4

BAB 2 BEBERAPA METODE ITERASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR

Pada bab ini dijelaskan beberapa teori pendukung yang terkait dengan bab selanjutnya. Pembahasan dimulai dengan Orde Konvergensi, Indeks Efisiensi, dan Teorema Taylor. Kemudian dilanjutkan dengan Metode Newton, Metode Potra-Ptak, Metode Liu dan Metode Ren.

2.1 Orde Konvergensi, Indeks Efisiensi dan Teorema Taylor

2.1.1 Orde Konvergensi Definisi 2.1 (Orde Konvergensi) [6, h. 77] Asumsikan barisan {x ∞ n }

n =0

konvergen ke α dan nyatakan e n =x n − α untuk n ≥ 0. Jika dua konstanta positif A ̸= 0 dan p > 0 ada, dan

maka barisan tersebut dikatakan konvergen ke α dengan orde kekonvergenan p. Konstanta A disebut konstanta error asimtotik (asymptotic error constant).

Jika p = 1, 2 dan 3, maka orde kekonvergenan dengan barisan {x ∞ n }

n =0

berturut-turut dikenal dengan istilah linear, kuadratik dan kubik. Secara komputasi, orde konvergensi juga dapat dihitung dengan menggunakan definisi COC .

Definisi 2.2 (COC ) [10] Misalkan α adalah akar dari suatu fungsi nonlinear

f (x), dan andaikan x n− 1 ,x n ,x n +1 adalah tiga iterasi berturut-turut yang cukup dekat ke akar α. Jadi orde kekonvergenan secara komputasi COC dapat diaproksimasikan dengan rumus:

ln |(x n +1 − α)/(x n − α)|

COC ≈

ln |(x n − α)/(x n− 1 − α)|

2.1.2 Indeks Efisiensi Definisi 2.3 (Indeks Efisiensi) [9, h. 12] Misalkan

p adalah orde konvergensi dengan suatu metode iterasi dan w adalah banyaknya fungsi yang

dievaluasi pada setiap iterasinya, maka indeks efisiensi dari metode adalah p 1 w .

Indeks efisiensi digunakan untuk melihat seberapa efisien suatu metode.

2.1.3 Teorema Taylor Teorema 2.4 (Teorema Taylor) [2, h. 188] Misalkan n ∈ N, I = [a, b] dan

f : I → R sedemikian hingga f dan f ′′ ,f , ..., f (n) kontinu pada I dan f (n+1)

ada pada (a, b). Jika x 0 ∈ I maka untuk sebarang x ∈ I terdapat suatu titik c diantara x dan x 0 sehingga

(x − x 0 ) +···

(n)

f (n+1) (x

f (c)

n + +1 (x − x

(x − x 0 ) . (2.3)

n!

(n + 1)!

Bukti: lihat [2, h. 189-190].

2.2 Metode Newton (MN)

Metode Newton [1, h. 79-80] dan [3, h. 67] adalah salah satu metode yang digunakan untuk mencari akar dari suatu persamaan f (x) = 0 dengan

f kontinu, melalui proses iterasi yang menggunakan prinsip garis singgung pada suatu grafik y = f (x) untuk menghampiri akar sebenarnya. Untuk mendapatkan rumus metode Newton ekpansikan f (x) disekitar

x=x 2

0 sampai suku (x − x 0 ) menggunakan ekspansi Taylor, diperoleh

(x − x 2 0 ) ′′

f (x) = f (x 0 )+f (x 0 )(x − x 0 )+

f (c). (2.4)

Jika x 0 yang dicukup dekat ke x maka (x − x 0 ) 2 akan bernilai cukup kecil, sehingga dapat diabaikan, sehingga persamaan (2.4) dapat ditulis menjadi

dengan f ′ (x 0 ) ̸= 0. Dengan cara yang sama proses ini dilakukan berulang kali sampai ke-n, sehingga diperoleh persamaan berikut

Metode Newton memiliki kekonvergenan orde dua, [1, h. 83] dan memerlukan dua kali evaluasi fungsi pada setiap iterasinya. Sehingga, indeks efisiensinya Metode Newton memiliki kekonvergenan orde dua, [1, h. 83] dan memerlukan dua kali evaluasi fungsi pada setiap iterasinya. Sehingga, indeks efisiensinya

1. INPUT : x 0 (Tebakan Awal),

2. tol = 1.0 × 10 − 900 (toleransi),

3. α (Akar Sebenarnya),

4. maxit = 100 Maksimum Iterasi) dan fungsi f .

5. OUTPUT : n, x n , |f (x n )|, |x n − α|, dan COC.

6. PROSES :

7. kondisi:=true

8. for n from 0 while kondisi=true do

9. if |f ′ (x n )| = 0 then

10. ”Metode Newton tidak dapat diterapkan”

11. break

12. end if

13. f (x n Hitung x ) n +1 =x n − ′

f (x n )

14. Hitung err = |x n +1 − α|

15. if n >= 1 then

16. ln |(x n +1 − α)/(x n Hitung COC = − α)|

ln |(x n − α)/(x n− 1 − α)|

17. end if

18. OUTPUT : n + 1, x n +1 , |f (x n +1 )|, |err| dan COC.

19. if error ≤ tol then then

20. ”Selisih iterasi sudah sangat kecil”

21. break

22. else if |f (x n +1 )| < tol then

23. ”Nilai fungsi sudah sangat kecil”

24. break

25. else if n > maxit then

26. ”Iterasi maksimum terlewati”

Berikut diberikan contoh untuk menerapkan Algoritma 2.1 dalam menentukan akar hampiran atau akar pendekatan dengan menggunakan metode Newton.

Contoh 2.1 Gunakan metode Newton untuk menentukan akar pendekatan dari persamaan f (x) = sin(x) 2 −x 2 + 1 dengan tebakan awal x 0 = 1.7.

Solusi. Untuk mencari akar pendekatan dari persamaan nonlinear ini dengan menggunakan metode Newton, maka Algoritma 2.1 diimplementasikan dengan menggunakan program Maple13 (Lampiran 1). Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel 2.1.

Tabel 2.1: Hasil Komputasi Contoh 2.1 dengan Metode Newton

8 1.4044916482153412 6.07762e − 185 5.58966e − 93 2.0000

9 1.4044916482153412 1.16590e − 369 2.44821e − 185 2.0000

10 1.4044916482153412 4.29057e − 739 4.69652e − 370 2.0000

11 1.4044916482153412 5.81064e − 1478 1.72835e − 739 2.0000

Dari Tabel 2.1 terlihat bahwa untuk tebakan awal x 0 = 1.7, metode Newton memberikan akar pendekatan 1.4044916482153412 pada iterasi kesebelas. Hal ini terjadi karena nilai fungsi untuk akar pendekatan pada iterasi ini sudah sangat kecil, yaitu lebih kecil dari toleransi yang diberikan.

2.3 Metode Potra-Ptak(PP)

Metode Potra Ptak [4] merupakan kombinasi dari dua metode Newton yang digunakan untuk mencari akar dari persamaan nonlinear f (x) = 0, yaitu

Subtitusikan persamaan (2.7) ke persamaan (2.8)

Sehingga diperoleh metode iterasi

Persamaan (2.10) dikenal dengan metode Potra-Ptak [4] yang memiliki kekonvergenan orde tiga, dan memerlukan tiga kali evaluasi fungsi pada setiap iterasinya. Sehingga, indeks efesiensinya adalah 1.4422 (lebih besar dari metode

Newton). Berikut adalah algoritma metode Potra-Ptak untuk mencari akar pendekatan dari persamaan nonlinear f (x) = 0. Algoritma 2.2 Algoritma Metode Potra-Ptak

1. INPUT : x 0 (Tebakan Awal),

2. tol = 1.0 × 10 − 900 (toleransi),

3. α (Akar Sebenarnya),

4. maxit = 100 Maksimum Iterasi) dan fungsi f .

5. PROSES :

6. kondisi:=true

7. for n from 0 while kondisi=true do

8. if |f ′ (x n )| = 0 then

9. ”Metode Potra-Ptak tidak dapat diterapkan”

12. Hitung y n n =x n − ′

f (x n )

13. f (x n ) + f (y n Hitung x ) n +1 =x n − ′

f (x n )

14. Hitung err = |x n +1 − α|

15. if n >= 1 then

16. ln |(x n +1 − α)/(x n Hitung COC = − α)|

ln |(x n − α)/(x n− 1 − α)|

17. end if

18. OUTPUT : n + 1, x n +1 , |f (x n +1 )|, |err| dan COC.

19. if error ≤ tol then then

20. ”Selisih iterasi sudah sangat kecil”

21. break

22. else if |f (x n +1 )| < tol then

23. ”Nilai fungsi sudah sangat kecil”

24. break

25. else if n > maxit then

26. ”Iterasi maksimum terlewati”

Contoh 2.2 Gunakan metode Potra-Ptak untuk menentukan akar pendekatan dari persamaan nonlinear pada Contoh 2.1 dengan tebakan awal x 0 = 1.7.

Solusi. Untuk mencari akar pendekatan dari persamaan nonlinear ini dengan menggunakan metode Potra-Ptak, maka Algoritma 2.2 diimplementasikan dengan menggunakan program Maple13 (Lampiran 2). Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel 2.2.

Tabel 2.2: Hasil Komputasi Contoh 2.1 dengan Metode Potra-Ptak n

5 1.4044916482153412 2.38875e − 147 9.21934e − 50 3.0000

6 1.4044916482153412 2.71601e − 441 9.62247e − 148 3.0000

7 1.4044916482153412 3.99219e − 1323 1.09407e − 441 3.0000

Dari Tabel 2.2 terlihat bahwa untuk tebakan awal x 0 = 1.7, metode Potra-Ptak memberikan akar pendekatan 1.4044916482153412 pada iterasi ketujuh. Hal ini terjadi karena nilai fungsi untuk akar pendekatan pada iterasi ini sudah sangat kecil, yaitu lebih kecil dari toleransi yang diberikan.

2.4 Metode Liu (MLi)

Metode Liu [5] merupakan metode kombinasi dari metode Newton dua langkah

f (x n )

y n =x n − ′

f (x n )

f (y n )

x n +1 =y n − ′

f (y n )

Dengan mengaproksimasikan turunan yang muncul pada persamaan (2.11) dengan forward difference, yaitu

sehingga diperoleh

Selanjutnya aproksimasikan persamaan (2.12) dengan Newton interpolation formula , yaitu

f (x) ≈ f (x n ) + f [x n ,y n ](x − x n ) + f [x n ,y n ,w n ](x − x n )(x − y n ), (2.15)

dari persamaan (2.15) aproksimasikan f (y n ) sehingga

f (y n ) ≈ f (y n ) + f [x n ,y n ](y n −x n ) + f [x n ,y n ,w n ](y n −x n )(y n −y n ),

≈ f (y n ) + f [x n ,y n ](y n −x n ) + f [x n ,y n ,w n ](y n −x n ), (2.16)

kemudian dari persamaan (2.16) aproksimasikan f ′ (y n ) sehingga

f ′ (y

n ) ≈ f [x n ,y n ] + f [x n ,y n ,w n ](y n −x n ),

f [x n ,y n ,w n ]

f (y n ) ≈ f [x n ,y n ] 1+ (y n −x n ,

f [x n ,y n ]

Selanjutnya subtitusikan persamaan (2.17) ke persamaan (2.12), diperoleh

2 f (y n ). (2.18)

f [x n ,y n ]

Dari persamaan (2.14) dan (2.18) diperoleh metode iterasi dengan bentuk

f (y n ). (2.19)

Metode Liu memiliki orde kekonvergenan empat [5] dan memerlukan tiga kali evaluasi fungsi pada setiap iterasinya. Sehingga, indeks efisiensinya adalah

1.587. Berikut adalah algoritma metode Liu untuk mencari akar pendekatan dari persamaan nonlinear f (x) = 0.

Algoritma 2.3 Algoritma Metode Liu

1. INPUT : x 0 (Tebakan Awal),

2. tol = 1.0 × 10 − 900 (toleransi),

3. α (Akar Sebenarnya),

4. maxit = 100 Maksimum Iterasi) dan fungsi f .

5. OUTPUT : n, x n , |f (x n )|, |x n − α|, dan COC.

6. PROSES :

7. kondisi:=true

8. for n from 0 while kondisi=true do

9. if |f ′ (x n )| = 0 then

10. ”Metode Liu tidak dapat diterapkan”

13. Hitung y n =x n −

f (x n + f (x n )) − f (x n )

14. Hitung w n =x n + f (x n )

f [x n ,y ] − f [y

n ,w n ] + f [x n ,w n ]

Hitung x n +1 =y n −

15. n

2 f (y n f [x ) n ,y n ]

16. Hitung err = |x n +1 − α|

17. if n >= 1 then

18. n +1 − α)/(x Hitung COC = n

ln |(x

ln |(x n − α)/(x n− 1 − α)|

19. end if

20. OUTPUT : n + 1, x n +1 , |f (x n +1 )|, |x n +1 − α| dan COC.

21. if error ≤ tol then then

22. ”Selisih iterasi sudah sangat kecil”

23. break

24. else if |f (x n +1 )| < tol then

25. ”Nilai fungsi sudah sangat kecil”

26. break

27. else if n > maxit then

28. ”Iterasi maksimum terlewati”

Contoh 2.3 Gunakan metode Liu untuk menentukan akar pendekatan dari persamaan nonlinear pada Contoh 2.1 dengan tebakan awal x 0 = 1.7.

Solusi. Untuk mencari akar pendekatan dari persamaan nonlinear ini dengan menggunakan metode Liu, maka Algoritma 2.3 diimplementasikan dengan menggunakan program Maple13 (Lampiran 3). Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel 2.3.

Tabel 2.3: Hasil Komputasi Contoh 2.1 dengan Metode Liu

4 1.4044916482153412 2.58541e − 173 8.56960e − 44 4.0000

5 1.4044916482153412 5.63988e − 693 1.04147e − 173 4.0000

6 1.4044916482153412 1.27711e − 2771 2.27188e − 693 4.0000

Dari Tabel 2.3 terlihat bahwa untuk tebakan awal x 0 = 1.7, metode Liu memberikan akar pendekatan 1.4044916482153412 pada iterasi keenam. Hal ini terjadi karena nilai fungsi untuk akar pendekatan pada iterasi ini sudah sangat kecil, yaitu lebih kecil dari toleransi yang diberikan.

2.5 Metode Ren (MR)

Metode Ren merupakan metode kombinasi dari metode Newton dua langkah

f (x n )

y n =x n −

(x n )

f (y n )

x n +1 =y n − ′

f (y n )

Dengan mengaproksimasikan turunan yang muncul pada persamaan (2.20) dengan forward difference, diperoleh

Selanjutnya dengan mengaproksimasikan persamaan (2.21) dengan interpolasi polinomial

dengan kondisi

c = f [x n ,y n ] − f [x n ,y n ,w n ](x n +y n ) + a(x n y n +x n w n +y n w n ). (2.24)

Selanjutnya dengan mengaproksimasikan f ′ (y n )≈h (y n ) sehingga

n ) =3ay n + 2by n + c,

f 2 (y n ) =3ay n + 2(f [x n ,y n ,w n ] − a(x n +y n +w n ))y n + f [x n ,y n ]

− f [x n ,y n ,w n ](x n +y n ) + a(x n y n +x n w n +y n w n ), =f [x n ,y n ] + f [x n ,y n ,w n ](y n −x n ) + a(y n −x n )(y n −w n ), =f [x n ,y n ] + f [y n ,w n ] − f [x n ,w n ] + a(y n −x n )(y n −w n ).

dari persamaan (2.22) dan (2.26) diperoleh metode iterasi dengan bentuk

x n +1 =y n − . (2.27)

Metode Ren memiliki orde kekonvergenan empat [7] dan memerlukan tiga kali evaluasi fungsi pada setiap iterasinya. Sehingga, indeks efisiensinya adalah 1.587.

Berikut adalah algoritma metode Ren untuk mencari akar pendekatan dari persamaan nonlinear f (x) = 0. Algoritma 2.4 Algoritma Metode Ren

1. INPUT : x 0 (Tebakan Awal),

2. − tol = 1.0 × 10 900 (toleransi),

3. α (Akar Sebenarnya),

4. maxit = 100 Maksimum Iterasi) dan fungsi f .

5. OUTPUT : n, x n , |f (x n )|, |x n − α|, dan COC.

6. PROSES :

7. kondisi:=true

8. for n from 0 while kondisi=true do

9. if |f ′ (x n )| = 0 then

10. ”Metode Ren tidak dapat diterapkan”

11. break

12. end if

13. f (x n Hitung y ) n =x n −

f (x n + f (x n )) − f (x n )

14. Hitung w n =x n + f (x n )

f (y n )

Hitung x n +1 =y n −

f [x n ,y n ] + f [y n ,w n ] − f [x n ,w n ] + a(y n −x n )(y n −w n )

16. Hitung err = |x n +1 − α|

17. if n >= 1 then

18. ln |(x n +1 − α)/(x n Hitung COC = α)|

ln |(x n − α)/(x n− 1 − α)|

19. end if

20. OUTPUT : n + 1, x n +1 , |f (x n +1 )|, |x n +1 − α| dan COC.

21. if error ≤ tol then then

22. ”Selisih iterasi sudah sangat kecil”

23. break

24. else if |f (x n +1 )| < tol then

25. ”Nilai fungsi sudah sangat kecil”

26. break

27. else if n > maxit then

28. ”Iterasi maksimum terlewati”

Contoh 2.4 Gunakan metode Ren untuk menentukan akar pendekatan dari persamaan nonlinear pada Contoh 2.1 dengan tebakan awal x 0 = 1.7.

Solusi. Untuk mencari akar pendekatan dari persamaan nonlinear ini dengan menggunakan metode Ren, maka Algoritma 2.4 diimplementasikan dengan menggunakan program Maple13 (Lampiran 4). Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel 2.4.

Tabel 2.4: Hasil Komputasi Contoh 2.1 dengan Metode Ren

4 1.4044916482153412 7.16843e − 111 2.37582e − 28 4.0000

5 1.4044916482153412 1.56433e − 442 2.88762e − 111 4.0000

6 1.4044916482153412 3.54765e − 1769 6.30149e − 443 4.0000

Dari Tabel 2.4 terlihat bahwa untuk tebakan awal x 0 = 1.7, metode Ren memberikan akar pendekatan 1.4044916482153412 pada iterasi keenam. Hal ini terjadi karena nilai fungsi untuk akar pendekatan pada iterasi ini sudah sangat kecil, yaitu lebih kecil dari toleransi yang diberikan.

BAB 3 BENTUK OPTIMAL METODE POTRA-PTAK BEBAS TURUNAN

Pada bab ini dibahas bentuk optimal metode Potra-Ptak bebas turunan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear dan analisis kekonvergenannya. Kemudian dilanjutkan dengan melakukan komputasi numerik menggunakan program Maple 13. Selanjutnya ditunjukkan hasil perbandingan komputasi dari metode Newton, metode Potra-Ptak, metode Liu, metode Ren, bentuk optimal meto-

de Potra-Ptak dengan turunan dan bentuk optimal metode Potra-Ptak bebas turunan.

3.1 Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak dengan Turunan

Pada subbab ini dibahas bagaimana proses terbentuknya bentuk optimal metode Potra-Ptak dengan turunan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear

f (x) = 0. Metode baru ini dimodifikasi dari metode Potra-Ptak dengan kekonvergenan orde tiga. Diberikan metode Potra-Ptak orde tiga dengan bentuk iterasinya yaitu

f (x n )

y n =x n − ′

f (x n )

f (x n ) + f (y n )

z n =x n −

f (x n )

f (z n )

x n +1 =z n −

f ′ (z n )

Dengan menggunakan metode Newton tanpa memperbarui turunan dan meng-

ganti f ′ (z n ) dengan f (x n )

diperoleh metode baru orde empat yang memerlukan empat evaluasi fungsi, tetapi tidak optimal. Untuk meningkatkan seberapa keefisienan metode diaproksimasikan f (z n ) dengan kombinasi fungsi yang sudah diketahui nilainya. Ekspansikan f (z n ) dengan menggunakan ekspansi Taylor disekitar z n =x n dan

f (y n ) disekitar y n =x n sampai orde dua sehingga

f (z 2

n ) = f (x n )+f (x n )(z n −x n )+ f (x n )(z n −x n ) , (3.5)

f (y 2

n ) = f (x n )+f (x n )(y n −x n )+ f (x n )(y n −x n ) . (3.6)

Selanjutnya substitusikan persamaan (3.1) ke persamaan (3.6)

f (y 2

n ) = f (x n )+f (x n )(y n −x n )+ f (x n )(y n −x n ) ,

f (x n ) = f (x n )+f (x n ) x n − ′

f (x n )

−x n + f (x n ) x n − ′ −x n ,

f (x n )

2 f (x n )

f (x n )

f (x n )

= f (x n )+f (x n ) − ′

+ f (x n ) − ′

f (x n )

2 f (x n )

f (x n )

= f (x n ) − f (x n )+ f (x n ) − ′

2 f (x n )

f (x n )

f (y n )= f (x n ) − ′

2 f (x n )

2f (y n )(f (x n )) 2

f (x n )=

f (x n ) 2

Kemudian substitusikan persamaan (3.7) ke persamaan (3.5), sehingga

Untuk menghasilkan sebuah keluarga satu parameter dengan orde konvergensi empat, perhatikan taksiran aproksimasi f (z n ) dengan a ∈ R

selanjutnya substitusikan persamaan (3.9) ke persamaan (3.4), diperoleh

kemudian substitusikan persamaan (3.2) ke persamaan (3.10), diperoleh

) f (x 2 n ) + f (y n ) 2f (x n ) + af (y n )) ( f (y n ) x n +1 =x n −

f (x n )

f (x n )

f (x n f (x n

Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak dengan Turunan (BOMPT) memiliki orde konvergensi empat, dan memerlukan tiga evaluasi fungsi pada setiap iterasinya, berdasarkan Definisi 2.3 memiliki indeks efisiensi 1.5874.

3.2 Analisa Kekonvergenan

Teorema 3.1 Misalkan α ∈ I adalah akar sederhana dari fungsi f : I → R yang terdiferensialkan secukupnya untuk interval buka I. Jika x 0 cukup dekat ke α, maka orde konvergensi dari metode yang didefinisikan pada persamaan (3.12) mempunyai orde konvergensi empat.

Bukti. Misalkan α adalah akar sederhana dari f (x) = 0 maka f (α) = 0, dan

f ′ (α) ̸= 0. Kemudian dengan melakukan ekspansi Taylor, untuk f (x n ) disekitar α sampai orde ke empat diperoleh

(x n − α)

(x n − α) 2 (3) (x n − α)

f (x n ) = f (α) + f (α)

+f (α)

+f (α)

(x n − α) +f 5 (α) + O (x

n − α) .

Karena f (α) = 0 dan e n =x n −α, maka persamaan (3.13) dapat ditulis menjadi

e 2 3 ′ 4 (2) n (3) e n (4) e n

f (x 5 n )=f (α)e n +f (α) +f (α) +f (α) + O(e n ),

e n + O(e n ) . (3.14)

dengan menyatakan c k =

, k = 2, 3, ..., maka persamaan (3.14) menjadi

k!f (α)

2 3 4 f (x 5

n )=f (α) (e n +c 2 e n +c 3 e n +c 4 e n + O(e n ) ). (3.15)

Selanjutnya dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk f ′ (x n ) disekitar α, setelah dilakukan penyederhanaan maka diperoleh

2 3 f 4 (x

n )=f (α) (1 + 2c 2 e n + 3c 3 e n + 4c 4 e n + O(e n ) ). (3.16)

Selanjutnya dari persamaan (3.15) dan (3.16) diperoleh

Kemudian dengan menggunakan formula deret geometri

=1−r+r −r +r ···,

1+r

2 3 untuk r = 2c 4

2 e n + 3c 3 e n + 4c 4 e n + O (e n ), sehingga setelah disederhanakan persamaan (3.17) menjadi,

f (x n )

=e n −c 2 e n +2 (c 2 −c 3 )e n + (−3c 4 + 7c 2 c 3 − 4c 2 )e n + O(e n ). (3.19)

f (x n )

Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (3.19) ke persamaan (3.12) diperoleh

2 2 3 3 4 y 5 n =α+c 2 e n +2 (−c 2 +c 3 )e n + (3c 4 − 7c 2 c 3 + 4c 2 )e n + O(e n ). (3.20)

Kemudian dengan melakukan ekspansi Taylor dari f (y n ) disekitar α sampai orde empat dan mengabaikan orde yang lebih tinggi diperoleh

selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (3.20) ke persamaan (3.21) diperoleh

2 f (y 2 n )=f (α)(c 2 e n +2 (c 3 −c 2 )e 3 n 4 + (−7c 3 2 5 c 3 + 5c 2 + 3c 4 )e n + O(e n )). (3.22)

Selanjutnya dihitung f (x n )+ f (y n ) dengan menggunakan persamaan (3.15) dan (3.22) diperoleh

2 2 f (x 3 n ) + f (y n )=f (α)(e n + (2c 2 e n ) + (3c 3 − 2c 2 )e n + (4c 4

3 4 − 7c 5

2 c 3 + 5c 2 )e n + O(e n )), (3.23)

f (x n ) + f (y n )

selanjutnya hitung

dengan menggunakan persamaan (3.16) dan

f (x n )

(3.23), sehingga diperoleh

kemudian dengan menggunakan formula deret geometri pada persamaan (3.18), maka persamaan (3.24) menjadi,

f (x n ) + f (y n )

=e n − 2c 2 e n + (−7c 2 c 3 + 9c 2 )e n + O(e n ). (3.25)

f (x n )

Kemudian dihitung 2f (x n ) + af (y n ) dengan menggunakan persamaan (3.15) dan (3.22) diperoleh

2 2 2f (x 3

n ) + af (y n )=f (α)(2e n + (2c 2 + ac 2 )e n + (2c 3 + 2ac 3 − 2ac 2 )e n

3 + (3ac 4

4 + 2c 4 − 7ac 2 c 3 + 5ac 2 )e n

+ O(e 5

n )),

2f (x n ) + af (y n )

selanjutnya hitung

dengan menggunakan persamaan (3.16)

f (x n )

dan (3.26), sehingga diperoleh

kemudian dengan menggunakan formula deret geometri pada persamaan (3.18), maka persamaan (3.27) menjadi,

2f (x n ) + af (y n )

= 2e n + (−2c 2 + ac 2 )e n + (2ac 3 − 4ac 2

f (x n )

2 3 − 4c 3

3 + 4c 2 )e n + (−6c 4 + 3ac 4 + 13ac 2

3 4 + 14c 5

2 c 3 − 14ac 2 c 3 − 8c 2 )e n + O(e n ). (3.28)

) ( f (y 2

Kemudian dihitung dengan menggunakan persamaan (3.15) dan

2 e n + (−6c 2 + 4c 2 c 3 )e n + (4c 3 + 6c 2 c 4

f (x n )

2 4 4 − 33c 5

2 c 3 + 26c 2 )e n + O(e n ). (3.29)

Kemudian subtitusikan persamaan (3.25), (3.28), (3.29) ke (3.12) sehingga

2 3 3 4 x 5 n +1 =e n +α− e n − 2c 2 e n + (−7c 2 c 3 + 9c 2 )e n + O(e n ) (

2 2 2 − 3 2e n + (−2c 2 + ac 2 )e n + (2ac 3 − 4ac 2 − 4c 3 + 4c 2 )e n

3 3 + (−6c 4

4 + 3ac 4 + 13ac 2 + 14c 2 c 3 − 14ac 2 c 3 − 8c 2 )e n

5 2 2 3 3 + O(e 2

n ) c 2 e n + (−6c 2 + 4c 2 c 3 )e n + (4c 3

2 4 4 + 6c 5

2 c 4 − 33c 2 c 3 + 26c 2 )e n + O(e n ) ,

n +1 = α + (−ac 2 −c 2 c 3 + 5c 2 )e n + O(e n ).

Karena e n +1 =x n +1 − α sehingga

n +1 = (−ac 2 −c 2 c 3 + 5c 2 )e n + O(e n ).

Persamaan (3.31) merupakan persamaan error untuk persamaan (3.12). Dari definisi orde konvergensi dilihat bahwa persamaan (3.12) memiliki orde konvergensi empat.

Berikut adalah algoritma BOMP dengan turunan menggunakan parameter

a untuk mencari akar pendekatan dari persamaan nonlinear f (x) = 0. Algoritma 3.5 Algoritma BOMP dengan Turunan menggunakan parameter a

1. INPUT : x 0 (Tebakan Awal),

2. − tol = 1.0 × 10 900 (toleransi),

3. α (Akar Sebenarnya),

4. maxit = 100 Maksimum Iterasi) dan fungsi f .

5. OUTPUT : n, x n , |f (x n )|, |x n − α|, dan COC.

6. PROSES :

7. kondisi:=true

8. for n from 0 while kondisi=true do

9. if |f ′ (x n )| = 0 then

10. ”BOMP dengan Turunan menggunakan parameter a tidak dapat dite- rapkan”

Hitung y n =x n − ′

13. n

f (x n )

14. f (x n ) + f (y n ) 2f (x n ) + af (y n ) ( f (y n Hitung x ) n +1 =x n − ′ − ′

15. Hitung err = |x n +1 − α|

16. if n >= 1 then

17. ln |(x n +1 − α)/(x n Hitung COC = − α)|

ln |(x n − α)/(x n− 1 − α)|

18. end if

19. OUTPUT : n + 1, x n +1 , |f (x n +1 )|, |err| dan COC.

20. if error ≤ tol then then

21. ”Selisih iterasi sudah sangat kecil”

22. break

23. else if |f (x n +1 )| < tol then

24. ”Nilai fungsi sudah sangat kecil”

25. break

26. else if n > maxit then

27. ”Iterasi maksimum terlewati”

Contoh 3.1 Gunakan BOMP dengan Turunan menggunakan parameter a untuk menentukan akar pendekatan dari persamaan nonlinear pada Contoh 2.1 Contoh 3.1 Gunakan BOMP dengan Turunan menggunakan parameter a untuk menentukan akar pendekatan dari persamaan nonlinear pada Contoh 2.1

Solusi. Untuk mencari akar pendekatan dari persamaan nonlinear ini dengan menggunakan BOMP dengan turunan, maka Algoritma 3.1 diimplementa- sikan dengan menggunakan program Maple13 (Lampiran 5). Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel 3.1.

Tabel 3.1: Hasil Komputasi Contoh 2.1 BOMP dengan parameter a n

4 1.4044916482153412 3.01695e − 199 3.64688e − 50 4.0000

5 1.4044916482153412 3.72064e − 797 1.21530e − 199 4.0000

6 1.4044916482153412 8.60632e − 3189 1.49876e − 797 4.0000

Dari Tabel 3.1 terlihat bahwa untuk tebakan awal x 0 = 1.7, BOMP dengan Turunan memberikan akar pendekatan 1.4044916482153412 pada iterasi keenam. Hal ini terjadi karena nilai fungsi untuk akar pendekatan pada iterasi ini sudah sangat kecil, yaitu lebih kecil dari toleransi yang diberikan.

3.3 Bentuk Optimal Metode Potra-Ptak Bebas Turunan

Pada subbab ini dibahas bagaimana proses terbentuknya bentuk optimal metode Potra-Ptak bebas turunan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear

f (x) = 0. Metode ini dimodifikasi dari bentuk optimal metode Potra-Ptak dengan turunan dengan mengganti turunan pada Persamaan (3.12) dengan beda terbagi, sehingga

Persamaan (3.32) menghasilkan orde konvergensi tiga dengan persamaan error

e 4 n +1 = −c 2 f (α)β(1 + βf (α))e 3 + O(e n ).

Kemudian gunakan konsep weight function, sehingga

G(t n ), (3.33)

f [x n ,w n ]

f [x n ,w n ]

f (x n ) f (x n )

Substitusikan persamaan (3.34) kepersamaan (3.33), sehingga

selanjutnya sederhanakan menggunakan komputasi, sehingga

Persamaan (3.36) merupakan bentuk optimal metode Potra-Ptak bebas turunan (BOMPBT). Metode ini memiliki orde konvergensi empat dan memiliki indeks efisiensi 1.5874.

3.4 Analisa Kekonvergenan

Teorema 3.2 Misalkan α ∈ I adalah akar sederhana dari fungsi f : I → R yang terdiferensialkan secukupnya untuk interval buka I. Jika x 0 cukup dekat ke

α, maka orde konvergensi dari metode yang didefinisikan pada persamaan (3.36) mempunyai orde konvergensi empat.

Bukti. Misalkan α adalah akar sederhana dari f (x) = 0 maka f (α) = 0, dan

f ′ (α) ̸= 0. Kemudian dengan melakukan ekspansi Taylor, untuk f (x n ) disekitar α sampai orde ke empat diperoleh

Karena f (α) = 0 dan e n =x n −α, maka persamaan (3.37) dapat ditulis menjadi

e 3 n 4 (4) e n

f (x 5 n )=f (α)e n +f (α) +f (α) +f (α) + O(e n ),

e n + O(e n ) , (3.38)

dengan menyatakan c k =

, k = 2, 3, ..., maka persamaan (3.38) menjadi

k!f (α)

2 3 4 f (x 5

n )=f (α) (e n +c 2 e n +c 3 e n +c 4 e n + O(e n ) ). (3.39)

Kemudian hitung w n

w n =x n + βf (x n ),

2 3 4 =e ′

n + α + β(e n +c 2 e n +c 3 e n +c 4 e n )f (α). (3.40)

Kemudian dengan melakukan ekspansi Taylor dari f (w n ) disekitar α sampai orde empat dan mengabaikan orde yang lebih tinggi diperoleh

selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (3.40) ke persamaan (3.41) diperoleh

2 f (w 2

n )=f (α)(e n +c 2 e n +c 3 e n +c 4 e n )+f (α) βe n + 3βc 2 e n )

3 β c 2 )e n +c 4 β e n f (α) + O(e n ). (3.42)

Selanjutnya hitung f [x n ,w n ] dengan menggunakan persamaan (3.39) dan (3.42), sehingga diperoleh

3 f [x 2

n ,w n ]=f (α) + (c 2 f (α) β + 2c 2 f (α))e n + (3c 3 f (α) + c 3 f (α) β

2 c 3 f (α) β )e n + (−2c 2 c 3 f (α) β −c 2 c 4 f (α) β

2 c 4 f (α) β − 4c 2 c 4 f (α) β − 3c 3 f (α))e n

kemudian hitung dengan menggunakan persamaan (3.39) dan (3.43),

f [x n ,w n ] sehingga diperoleh

f (x n )

=e 2 n + (−c 2 −c 2 βf (α))e n + (−2c 3 + 2c 2 βf (α) + c 2 β f (α)

f [x n ,w n ]

2 + 2c 2

2 −c 3 β f (α) − 3c 3 βf (α))e n + (7c 2 c 3 f (α) β

3 3 3 3 + 10c ′

2 c 3 f (α)β + 2c 2 c 3 f (α) β − 4c 2 − 5c 2 f (α)β

2 − 4c 2

4 f (α) β − 6c 4 f (α)β − c 4 f (α) β − 3c 2 f (α) β

3 3 4 − 3c 5

4 −c 2 f (α) β + 7c 2 c 3 )e n + O(e n ).

Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (3.44) ke persamaan (3.36), diperoleh

y 2 n = α + (c 2 +c 2 βf (α))e n + (2c 3 − 2c 2 βf (α) − c 2 β f (α)

2 − 2c 2

2 +c 3 β f (α) + 3c 3 βf (α))e n + (−7c 2 c 3 f (α) β

3 3 3 3 − 10c ′

2 c 3 f (α)β − 2c 2 c 3 f (α) β + 4c 2 + 5c 2 f (α)β

2 + 4c 2

4 f (α) β + 6c 4 f (α)β + c 4 f (α) β + 3c 2 f (α) β

Kemudian dengan melakukan ekspansi Taylor dari f (y n ) disekitar α sampai orde empat dan mengabaikan orde yang lebih tinggi diperoleh

(y n − α)

(y n − α) 2 (3) (y n − α)

f (y n ) = f (α) + f (α)

+f (α)

+f (α)

(y n − α) +f 5 (α) + O (y

n − α) .

Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (3.45) ke persamaan (3.46) diperoleh

f (y 3

n ) = (c 2 f (α) + c 2 βf (α) )e n + (−2c 2 f (α) − c 2 β f (α) +c 3 β f (α)

Selanjutnya hitung f (x n ) + f (y n ) dengan menggunakan persamaan (3.39) dan (3.47) diperoleh

2 βf (α) − 2c 2 f (α))e n + (4c 4 f (α) β

2 c 3 f (α) β − 7c 2 c 3 f (α) β )e n + O(e n ), (3.48) 2 c 3 f (α) β − 7c 2 c 3 f (α) β )e n + O(e n ), (3.48)

selanjutnya hitung dengan menggunakan persamaan (3.43) dan

f [x n ,w n ]

(3.48), sehingga diperoleh

f (x n ) + f (y n )

2 3 =e 3 n + (−2c 2 − 3c 2 βf (α) − c 2 β f (α) )e n + (9c 2

f [x n ,w n ]

2 − 14c 2

2 c 3 f (α)β + 15c 2 f (α)β − 9c 2 c 3 f (α) β

Kemudian dihitung 2f (x n ) + af (y n ) dengan menggunakan persamaan (3.39) dan (3.47) diperoleh

2 2f (x 2 n ) + af (y n ) = 2f (α)e n + (2c 2 f (α) + ac 2 f (α) + ac 2 f (α) β)e n

2 f (α))e n + (3ac 4 f (α) + ac 4 f (α) β

2 f (α) + 7ac 2 f (α) β − 10ac 2 c 3 f (α) β

4 3 + ac 4

2 f (α) β − 2ac 2 c 3 f (α) β )e n

+ O(e 5

n ),

2f (x n ) + af (y n )

selanjutnya hitung dengan menggunakan persamaan (3.43)

f [x n ,w n ]

dan (3.50), sehingga diperoleh

2f (x n ) + af (y n )

= 2e 2 n + (−2c 2 + ac 2 − 2c 2 f (α)β + ac 2 f (α)β)e n

f [x n ,w n ]

2 2 + (−6c ′

3 f (α)β − 4c 3 + 4c 2 + 2ac 3 + 4c 2 f (α)β

2 + 3ac 2

3 f (α)β − 5ac 2 f (α)β − 2ac 2 f (α) β

3 f (α) β )e n + (−6c 4 − 10c 2 f (α)β

3 − 12c 3

4 f (α)β − 6c 2 f (α) β − 2c 4 f (α) β

2 2 + 14c ′

2 c 3 − 8c 4 f (α) β + 20c 2 c 3 f (α)β

3 + 4c 3

2 c 3 f (α) β − 14ac 2 c 3 − 4ac 2 c 3 f (α) β

3 − 16ac 3

2 c 3 f (α) β − 24ac 2 c 3 f (α)β + ac 4 f (α) β

2 + 12ac 2 f (α) β + 14c 2 c 3 f (α) β

+ 13ac 4

2 + 3ac 4 + 20ac 2 f (α)β + 6ac 4 f (α)β)e n

+ O(e 5

n ).

) ( f (y 2

Kemudian dihitung dengan menggunakan persamaan (3.39) dan

2 +c 2 f (α) β + 2c 2 f (α)β)e n + (−6c 2 + 8c 2 c 3 f (α) β

f (x n )

− 8c ′

2 f (α) β − 12c 2 f (α)β + 10c 2 c 3 f (α)β + 4c 2 c 3

3 3 3 − 2c 2

2 f (α) β + 2c 2 c 3 f (α) β )e n + (−32c 3 c 2

2 c 3 f (α)β + 4c 3 + 20c 2 c 4 f (α) β + 25c 2

3 f (α) β + 45c 2 f (α) β + 18c 2 c 4 f (α)β + 54c 2 f (α)β

+ 18c 4 f ′ (α) 3 β 3 2 ′

2 + 12c 3 f (α)β − 6c 2 2 c 3 f (α) 4 β 4

4 4 4 + 3c 5

2 f (α) β )e n + O(e n ).

(3.52)

βf [x n ,w n ]

Selanjutnya hitung 1 − dengan menggunakan persamaan (3.43)

1 ′ 1 3c 2 f (α)β

2 ′ 2βf (α) + 2 (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1) 2βf (α) + 2

c ′ f (α) 2 2 )

e n (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1) (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1)

4 4 f 2 (α) β c

+ (2βf ′ (α) + 2)(βf (α) + 1) (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1) 2βf (α) + 2

2 11c ′

2 f (α) 2 β 2 c 2 2

(2βf ′ (α) + 2)(βf (α) + 1) (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1)

2 2 2 3c ′

3 f (α) β

6c 2 f (α)β

(2βf ′ (α) + 2)(βf (α) + 1) (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1) 2

c 3 f (α) β

3c ′ 2 f (α) 2 2 ′ 3 3

− (2βf ′ (α) + 2)(βf ′

− (α) + 1) (2βf ′ (α) + 2)(βf ′ (α) + 1)

3 3 6c ′

2 f (α) β

4c 3 f (α)β

(α) + 2)(βf ′ (α) + 1) 2 − ′

(2βf (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1) 5c ) 2 ′

2 f (α)β

e n (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1) (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1) 2

(2βf ′ (α) + 2)(βf (α) + 1) (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1) 2

c 3 2 c 4 2c 2 c 3 −

(2βf ′ (α) + 2)(βf (α) + 1) (2βf (α) + 2) (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1) 2

9c ′ 3

2 f (α) 5 β 5 c 4 f (α) 4 β 4

(2βf ′ (α) + 2)(βf (α) + 1) 3 (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1)

(2βf ′ (α) + 2)(βf (α) + 1) (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1)

4c ′ f (α) 3 ′

4 β 3 5c 4 f (α)β

(2βf ′ (α) + 2)(βf (α) + 1) (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1)

(2βf ′ (α) + 2)(βf (α) + 1) 2 +

(2βf ′ (α) + 2)(βf (α) + 1) 2

4 4 3 5c ′

2 f (α) β

10c 2 f (α)β

(2βf ′ (α) + 2)(βf (α) + 1) 2

(2βf (α) + 2)(βf (α) + 1) 2 ′

(2βf ′ (α) + 2)(βf (α) + 1) (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1) 3

(2βf ′ (α) + 2)(βf (α) + 1) (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1) 3

2 f (α) β

2c 2 f (α)β

(2βf ′ (α) + 2)(βf (α) + 1) (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1)

2 3 4c 2 c (α) 3 β 3 3 f −

12c ′ c f (α) 2 β 2 ′

(2βf ′ (α) + 2)(βf (α) + 1) (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1)

12c ′ 2 c 3 f (α)β 28c 2 c f (α) 3

(2βf ′ (α) + 2)(βf (α) + 1) (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1) 2

12c ′

4 c ′ f (α) 4 β 2c c f (α) 5 β 5

(2βf ′ (α) + 2)(βf (α) + 1) 2 (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1) 2

32c ′ c f (α) 2 β 2 ′

2 3 14c 2 c 3 f (α)β

2 )e (2βf n (α) + 2)(βf (α) + 1) (2βf (α) + 2)(βf (α) + 1) + O(e 4

n ). (3.53)

βf [x n ,w n ] Selanjutnya hitung

2 + 2βf [x n ,w n ] ngan menggunkan persamaan (3.51), (3.52), dan (3.53) diperoleh

3 1 ′ 3 3 = c 2 2c 2 f (α) β + 6c 2 f (α)β + 4c 2 e n + c 2 4c 3 f (α) β

2 f (α) β + 32c 3 f (α)β − 50c 2 f (α)β + 5ac 2 f (α)β

2 2 4 + 16c 5

3 − 28c 2 + 2ac 2 e n + O(e n ).

Kemudian subtitusikan persamaan (3.49) dan (3.54) ke persamaan (3.36) se- hingga

n +1 =α+ 5c 2 −c 2 c 3 f (α) β − 2c 2 c 3 f (α)β + 10c 2 f (α)β + 6c 2 f (α) β

2 f (α)β e n + O(e n ).

Karena e n +1 =x n +1 − α sehingga

n +1 = 5c 2 −c 2 c 3 f (α) β − 2c 2 c 3 f (α)β + 10c 2 f (α)β + 6c 2 f (α) β

2 f (α)β e n + O(e n ).

Persamaan (3.56) merupakan persamaan error untuk persamaan (3.12). Dari definisi orde konvergensi dilihat bahwa persamaan (3.36) memiliki orde konvergensi empat.

✷ Berikut adalah algoritma BOMPBT menggunakan parameter a untuk men-

cari akar pendekatan dari persamaan nonlinear f (x) = 0.

Algoritma 3.6 Algoritma BOMPBT menggunakan parameter a

1. INPUT : x 0 (Tebakan Awal),

2. tol = 1.0 × 10 − 900 (toleransi),

3. α (Akar Sebenarnya),

4. maxit = 100 Maksimum Iterasi) dan fungsi f .

5. OUTPUT : n, x n , |f (x n )|, |x n − α|, dan COC.

6. PROSES :

7. kondisi:=true

8. for n from 0 while kondisi=true do

9. if |f ′ (x n )| = 0 then

10. ”BOMPBTmenggunakan parameter a tidak dapat diterapkan”

11. break

12. end if

13. Hitung w n = f (x n + βf (x n )

14. f (x n Hitung y ) n =x n −

15. Hitung x n +1 =x n −

16. Hitung err = |x n +1 − α|

17. if n >= 1 then

18. n +1 − α)/(x n Hitung COC = − α)|

ln |(x

ln |(x n − α)/(x n− 1 − α)|

19. end if

20. OUTPUT : n + 1, x n +1 , |f (x n +1 )|, |err| dan COC.

21. if error ≤ tol then then

22. ”Selisih iterasi sudah sangat kecil”

23. break

24. else if |f (x n +1 )| < tol then

25. ”Nilai fungsi sudah sangat kecil”

26. break

27. else if n > maxit then

28. ”Iterasi maksimum terlewati”

29. break

30. end if

31. end for

Contoh 3.2 Gunakan BOMP Bebas Turunan menggunakan parameter a untuk menentukan akar pendekatan dari persamaan nonlinear pada Contoh 2.1

dengan tebakan awal x 0 = 1.7.

Solusi. Untuk mencari akar pendekatan dari persamaan nonlinear ini dengan menggu- nakan BOMPBT, maka Algoritma 3.1 diimplementasikan dengan menggunakan program Maple13 (Lampiran 6). Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel

Tabel 3.2: Hasil Komputasi Contoh 2.1 BOMPBT dengan parameter a

4 1.4044916482153412 3.16380e − 107 1.58573e − 27 4.0000

5 1.4044916482153412 1.32005e − 427 1.27445e − 107 4.0000

6 1.4044916482153412 4.00057e − 1709 5.31749e − 428 4.0000

Dari Tabel 3.2 terlihat bahwa untuk tebakan awal x 0 = 1.7, BOMPBT memberikan akar pendekatan 1.4044916482153412 pada iterasi keenam. Hal ini terjadi karena nilai fungsi untuk akar pendekatan pada iterasi ini sudah sangat kecil, yaitu lebih kecil dari toleransi yang diberikan.

3.5 Uji Komputasi

Pada subbab ini, dilakukan uji komputasi dengan menggunakan metode Newton (MN), metode Potra-Ptak (MPP), metode Liu (MLi), metode Ren (MR), serta bentuk optimal metode Potra-Ptak dengan turunan (BOMPT) dengan parameter a dan bentuk optimal metode Potra-Ptak bebas turunan (MBOPBT) dengan parameter a dan β.

Di bawah ini adalah beberapa contoh fungsi dan nilai tebakan awal beserta akar yang digunakan untuk membandingkan metode-metode tersebut.

2 1. f 2

1 (x) = (sin(x)) −x +1

2. f 2 (x) = x 2 + sin(x) + x

3. f 3 (x) = x 6 − 10x 3 +x 2 −x+3

4. f 4 (x) = x 3 − cos(x) + 2

5. f 3

5 (x) = ln(x) − x + 2 sin(x)

Untuk menentukan solusi numerik dari contoh-contoh fungsi nonlinear di atas digunakan program Maple13 sebagaimana pada Lampiran 1 − 6. Dalam menemukan solusi numerik juga ditentukan kriteria pemberhentian jalannya program komputasi yang sama untuk semua metode, yaitu jika selisih nilai mutlak antara dua iterasi yang berdekatan bernilai lebih kecil dari toleransi yang diberikan, atau jika nilai mutlak fungsi lebih kecil dari toleransi yang diberikan, atau jika jumlah iterasi mencapai maksimum iterasi. Hasil perbandingan komputasi dapat dilihat pada Tabel 3.3 sebagai berikut.

Tabel 3.3: Perbandingan Hasil Komputasi untuk MN, MPP, MLi, MR, BOMPT dan BOMPBT

Metode n COC

|f (x n )| |x n − α|

f 1 ,x 0 = 1.7 MN

11 2.00 1.4044916482153412 5.81e − 1478 1.72e − 739 MPP

7 3.00 1.4044916482153412 3.99e − 1323 1.09e − 441 MLi

6 4.00 1.4044916482153412 1.27e − 2771 2.27e − 693 MR

6 4.00 1.4044916482153412 3.54e − 1769 6.30e − 443 BOMPT

6 4.00 1.4044916482153412 8.60e − 3189 1.49e − 797 BOMPBT

6 4.00 1.4044916482153412 4.00e − 1709 5.31e − 428

f 1 ,x 0 = 1.2 MN

11 2.00 1.4044916482153412 4.96e − 1510 1.59e − 755 MPP

7 3.00 1.4044916482153412 4.45e − 1175 2.44e − 392 MLi

5 4.00 1.4044916482153412 1.62e − 1118 4.29e − 280 MR

6 4.00 1.4044916482153412 2.06e − 3156 9.79e − 790 BOMPT

6 4.00 1.4044916482153412 1.45e − 2385 9.61e − 597 BOMPBT

6 4.00 1.4044916482153412 2.05e − 2702 2.53e − 676

f 1 ,x 0 = 1.8 MN

11 2.00 1.4044916482153412 1.68e − 1277 2.93e − 639 MPP

7 3.00 1.4044916482153412 1.21e − 1125 7.36e − 376 MLi

6 4.00 1.4044916482153412 5.84e − 2497 1.05e − 624 MR

6 4.00 1.4044916482153412 1.28e − 1074 2.75e − 269 BOMPT

6 4.00 1.4044916482153412 2.75e − 2788 2.00e − 697 BOMPBT

6 4.00 1.4044916482153412 2.23e − 2090 2.58e − 523

f 2 ,x 0 = 0.3 MN

10 2.00 0.0000000000000000 3.66e − 926 1.91e − 463 MPP

7 3.00 0.0000000000000000 3.85e − 1706 3.37e − 569 MLi

6 4.00 0.0000000000000000 8.38e − 2351 2.17e − 588 MR

6 4.00 0.0000000000000000 4.42e − 2429 6.19e − 608 BOMPT

5 4.00 0.0000000000000000 2.90e − 934 7.68e − 234 BOMPBT

6 4.00 −0.0000000000000000 2.39e − 2827 1.33e − 707

f 2 ,x 0 = −0.1 MN

10 2.00 0.0000000000000000 6.68e − 1302 2.58e − 651 MPP

7 3.00 −0.0000000000000000 7.82e − 2421 1.98e − 807 MLi

6 4.00 0.0000000000000000 1.63e − 3479 1.44e − 870 MR

5 4.00 0.0000000000000000 1.29e − 911 1.44e − 228 BOMPT

5 4.00 0.0000000000000000 4.13e − 1374 8.39e − 344 BOMPBT

6 4.00 −0.0000000000000000 1.54e − 2604 6.73e − 652

f 2 ,x 0 = 0.7 MN

11 2.00 0.0000000000000000 2.93e − 1284 1.71e − 642 MPP

7 3.00 0.0000000000000000 4.89e − 1142 3.65e − 381 MLi

6 4.00 0.0000000000000000 3.62e − 1411 1.76e − 353 MR

6 4.00 0.0000000000000000 1.21e − 1465 4.48e − 367 BOMPT

6 4.00 0.0000000000000000 5.09e − 2518 8.84e − 630 BOMPBT

6 4.00 −0.0000000000000000 7.72e − 1508 1.00e − 377

Metode n COC

|f (x n )|

|x n − α|

f 3 ,x 0 = 0.81 MN

11 2.00 0.6586048471181404 4.37e − 1568 5.23e − 785 MPP

7 3.00 0.6586048471181404 8.66e − 1412 1.26e − 471 MLi

6 4.00 0.6586048471181404 1.44e − 1450 4.95e − 364 MR

6 4.00 0.6586048471181404 1.15e − 1431 2.55e − 359 BOMPT

6 4.00 0.6586048471181404 1.53e − 3348 7.19e − 838 BOMPBT

6 4.00 0.6586048471181404 8.30e − 1063 1.95e − 267

f 3 ,x 0 = 0.8 MN

11 2.00 0.6586048471181404 3.17e − 1619 1.41e − 810 MPP

7 3.00 0.6586048471181404 4.89e − 1463 1.04e − 488 MLi

6 4.00 0.6586048471181404 3.20e − 3010 6.04e − 754 MR

6 4.00 0.6586048471181404 3.41e − 2992 1.88e − 749 BOMPT

6 4.00 0.6586048471181404 4.26e − 3463 1.65e − 866 BOMPBT

6 4.00 0.6586048471181404 6.46e − 2542 3.26e − 637

f 3 ,x 0 = 0.5 MN

11 2.00 0.6586048471181404 2.43e − 1239 1.23e − 620 MPP

8 3.00 0.6586048471181404 1.24e − 2492 6.64e − 832 MLi

6 4.00 0.6586048471181404 7.95e − 1173 1.34e − 294 MR

6 4.00 0.6586048471181404 1.01e − 1153 7.82e − 290 BOMPT

6 4.00 0.6586048471181404 1.07e − 1357 3.69e − 340 BOMPBT

7 4.00 0.6586048471181404 3.38e − 1902 2.78e − 477

f 4 ,x 0 = −1.1 MN

10 2.00 −1.1725779647539700 6.70e − 1128 1.42e − 564 MPP

7 3.00 −1.1725779647539700 6.01e − 2043 9.55e − 682 MLi

6 4.00 −1.1725779647539700 3.82e − 2759 9.04e − 691 MR

6 4.00 −1.1725779647539700 4.01e − 2990 1.75e − 748 BOMPT

5 4.00 −1.1725779647539700 3.48e − 1099 2.32e − 275 BOMPBT

6 4.00 −1.1725779647539700 1.56e − 1034 8.04e − 260

f 4 ,x 0 = −1.3 MN

10 2.00 −1.1725779647539700 1.48e − 938 6.68926e − 470 MPP

7 3.00 −1.1725779647539700 3.20e − 1721 1.66828e − 574 MLi

6 4.00 −1.1725779647539700 7.63e − 2289 3.39995e − 573 MR

6 4.00 −1.1725779647539700 1.06e − 2408 3.98439e − 603 BOMPT

5 4.00 −1.1725779647539700 1.65e − 1019 1.92802e − 255 BOMPBT

6 4.00 −1.1725779647539700 4.06e − 2745 1.81712e − 687

f 4 ,x 0 = −1.5 MN

11 2.00 −1.1725779647539700 2.01e − 1152 7.78e − 577 MPP

7 3.00 −1.1725779647539700 7.32e − 997 4.73e − 333 MLi

6 4.00 −1.1725779647539700 1.21e − 1070 1.20e − 268 MR

6 4.00 −1.1725779647539700 4.55e − 1140 5.73e − 286 BOMPT

6 4.00 −1.1725779647539700 3.10e − 2455 2.25e − 614 BOMPBT