Proposal Penelitian Perbandingan Pola Pe
PERBANDINGAN POLA PERTUMBUHAN PADA
MODEL LOGISTIK DAN GOMPERTZ
Kasus : Bobot Burung Puyuh (Coturnix coturnix japonica)
Proposal Tugas Akhir
Bidang Studi Matematika
Oleh
Danni Setiadi
NIM 08111001046
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
FEBRUARI 2015
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang
Analisis regresi linier digunakan untuk mengetahui hubungan antara dua atau
lebih peubah. Pada berberapa kasus seringkali ditemukan bentuk hubungan antar
peubah tak linier. Salah satu model regresi tak linier adalah model pertumbuhan.
Model pertumbuhan merupakan salah satu bentuk analisis regresi tak linier yang
berguna untuk mengetahui suatu hubungan antara pertambahan ukuran tubuh (bobot,
tinggi, dan volume tubuh) dengan dipengharui oleh waktu. Terdapat berberapa model
pertumbuhan yang dikembangkan untuk mempelajari pola pertumbuhan bobot
hewan, diantaranya model logistik dan Gompertz.
Model logistik merupakan model kurva pertumbuhan berbentuk S yang
simetris dengan titik infleksinya. Titik infleksi merupakan titik maksimum
pertumbuhan bobot hidup. Sedangkan model Gompertz merupakan model kurva
pertumbuhan yang berbentuk S tetapi tidak simetris dengan titik infleksinya. Kedua
model pertumbuhan ini mempunyai kelebihan dalam tingkat keakuratan dan
mempunyai interpretasi biologis yang baik dalam menjelasakan fenomena biologis
diantaranya terjadinya bobot titik infleksi. Oleh sebab itu, kedua model pertumbuhan
tersebut memungkinkan dilakukan penelitian pola pertumbuhan bobot tubuh burung
puyuh.
Menurut penelitian yang dilakukan Wardhani, dkk. (2010) yang menggunakan
model Logistik dan Gompertz terhadap pertumbuhan ayam broiler StrainLohmann.
Hasil dari penelitian tersebut adalah menunjukkan ayam jantan dan betina berumur 19
atau 20 hari terjadi pola pertumbuhan paling pesat dan telah mencapai puncaknya
pada saat bobot badan adalah 806.96 gram untuk ayam betina dan 939.63 gram untuk
ayam jantan. Dengan demikian dapat dipertimbangkan kapan sebaiknya ayam
mendapatkan perlakuan khusus atau upaya-upaya lain sehingga diperoleh bobot
badan mungkin yang lebih tinggi atau masa panen ayam bisa dipersingkat. Pada umur
30 hari titik infleksi yang didapatkan pada bobot ayam jantan dan betina berturutturut 1.94 kg dan 1.68 kg ini berarti ayam dapat dipanen saat sebelum terjadinya laju
pertumbuhan maksimum.
Sampurna, dkk. (2008) dengan menggunakan metode yang sama melakukan
penelitian pola pertumbuhan dimensi panjang dan lingkar tubuh pada babi Landrace.
Diperoleh bahwa pada saat lahir pola pertumbuhan anak babi Landrace dan betina
mempunyai panjang tubuh yang hampir sama. Namun semakin dewasa anak babi
jantan lebih panjang dari pada betina. Hasil ini menunjukkan kecepatan pertumbuhan
babi jantan lebih besar dari pada betina. Panjang babi Landrace jantan mencapai titik
infleksi ketika berada pada panjang tubuh 205 cm, sedangkan babi Landrace betina
172 cm. Pola pertumbuhan lingkar tubuh pada saat baru lahir hingga mencapai umur
18 minggu, menunjukkan pola pertumbuhan betina dan jantan hampir sama. Setelah
berumur lebih dari 18 minggu, pola petumbuhan lingkar tubuh babi Landrace betina
semakin lebih besar dari pada jantan. Lingkar tubuh babi Landrace betina mencapai
titik infleksi pada ukuran 169 cm, sedangkan babi Landrace jantan 165 cm.
Dengan menggunakan model pertumbuhan logistik dan Gompertz, pola
pertumbuhan bobot hewan dapat di duga dengan memperhatikan bobot dan umur.
Titik infleksi dari kedua model pertumbuhan dapat di duga dengan memperhatikan
pola pertumbuhan dari masing-masing model.
1.2.
Perumusan Masalah
Permasalahan dalam penelitian ini adalah untuk mendapatkan:
1.
Bagaimana pola pertumbuhan bobot burung puyuh jantan dan betina,
dengan menggunakan model pertumbuhan logistik dan Gompertz?
2.
1.3.
Bagaimana titik infleksi dari kedua model yang digunakan?
Tujuan
Tujuan dalam penelitian ini adalah:
1.
Mendapatkan pola pertumbuhan bobot burung puyuh jantan dan betina
dengan
menggunakan
model
pertumbuhan
logistik
dan
model
pertumbuhan Gompertz.
2.
Mendapatkan titik infleksi dan perbandingan titik infleksi dari kedua
model yang digunakan.
1.4.
Pembatasan Masalah
Batasan masalah dalam penelitian ini adalah:
1.
Metode iterasi yang digunakan adalah Marquardt Compromise.
2.
Jenis unggas yang digunakan adalah burung puyuh jepang (Coturnix
coturnix japonica).
1.5.
Manfaat
Manfaat yang diperoleh dalam penelitian ini bahwa pola pertumbuhan yang
didapatkan dari model logistik dan Gompertz dapat dijadikan kajian dalam
melakukan penelitian terhadap bobot tubuh. Dengan menggunakan kedua model
tersebut maka dapat dipelajari model-model pertumbuhan yang lebih baik untuk
dijadikan bahan penelitian mengenai bobot tubuh. Dalam aspek praktis peternak
hewan atau khususnya pada penelitian ini yaitu burung puyuh, dapat menentukan
perlakuan yang diharapkan berpengaruh signifikan dengan pola pertumbuhan bobot
tubuh dan dapat memperkirakan umur pada saat bobot tubuh optimal serta bisa
digunakan sebagai parameter dalam metode seleksi pada waktu sebelum burung
puyuh mencapai titik infleksi atau maksimum bobot dan berguna untuk
mengefesiensi produksi ternak selama hidup.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1.
Model Pertumbuhan Logistik (Logistic Growth Model)
Salah satu model pertumbuhan populasi adalah model pertumbuhan logistik
(logistic growth model). Dengan menggunakan kaidah logistik (logistic law) bahwa
persediaan logistik ada batasnya, model ini mengasumsikan bahwa pada masa
tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium). Pada titik
ini jumlah kelahiran dan kematian dianggap sama, sehingga grafiknya akan
mendekati konstan (zero growth). Secara umum laju pertumbuhan yang bergantung
pada suatu populasi, dapat ditulis dengan persamaan (Draper dan Smith, 1998)
sebagai berikut :
ω=
α
(2.1)
{ 1+ β exp−kt }
dengan
α
adalah bobot badan tubuh (asimtot) yaitu pada nilai
t
mendekati tak
hingga;
β
adalah parameter skala (nilai konstanta integral);
exp adalah logaritma dasar (2,30259);
k
adalah rataan laju pertumbuhan hingga ternak mencapai dewasa tubuh.;
ω adalah ukuran bobot tubuh ternak pada waktu t ; dan
t
adalah satuan waktu (umur ternak dalam hari).
Menurut Draper dan Smith (1998) laju pertumbuhan model pertumbuhan
logistik untuk ( k >0 ) dapat dinyatakan dengan turunan pertama dari model
pertumbuhan logistik sebagai berikut :
dω kω( α −ω)
=
(2.2)
dt
α
Penurunan rumus didapatkan untuk melakukan pendugaan ukuran bobot tubuh
sekarang dan pertumbuhan yang akan datang,
α
dinyatakan dengan dengan nilai
bobot tubuh.
Fitzhugh (1976) memberi penjelasan tentang interpretasi biologis parameter
dalam kurva pertumbuhan sebagai berikut :
Y=
A
( 1+e−kt )
M
(2.3)
dengan
A
adalah nilai asimtot merupakan nilai
t
menuju tak hingga, secara
umum dapat diinterpretasikan sebagai rataan bobot tubuh pada saat ternak
telah mencapai dewasa terlepas dari fluktuasi karena faktor lingkungan;
M adalah parameter yang berfungsi sebagai penentu bentuk kurva untuk
membantu dalam penentuan titik infleksi;
k adalah parameter yang menunjukkan rataan laju pertumbuhan menuju bobot
dewasa. Ternak dengan nilai k besar, maka ternak tersebut mempunyai
kecendrungan bobot dewasa dini (cepat mencapai bobot dewasa);
e
adalah bilangan natural (2,718282);
Y
t
2.2.
adalah proporsi kedewasaan ternak; dan
adalah satuan waktu (umur).
Metode Petumbuhan Gompertz (Gompertz Growth Model)
Model pertumbuhan kurva Gompertz merupakan model pertumbuhan tak
linier yang dapat digunakan dalam pendugaan kurva pertumbuhan bobot burung
puyuh. Model pertumbuhan kurva Gompertz mempunyai kelebihan dalam tingkat
keakuratan dan memiliki interpretasi yang baik dalam menjelaskan mengenai bobot
tubuh, diantaranya terjadinya titik infleksi dan bobot infleksi. Walaupun tidak
seakurat model Richard dan semudah model Brody (Brown et al., 1976). Model
matematik kurva pertumbuhan menurut (Draper dan Smith, 1998) sebagai berikut :
❑
ω=α exp {−βe−kt }
(2.4)
dengan
α
adalah bobot badan tubuh (asimtot) yaitu pada nilai
β
adalah parameter skala (nilai konstanta integral);
t
hingga;
exp adalah logaritma dasar (2,30259);
k
adalah rataan laju pertumbuhan;
ω adalah ukuran bobot tubuh ternak pada waktu t ; dan
t
adalah satuan waktu (umur ternak dalam hari).
mendekati tak
2.3.
Pendugaan Parameter
Persamaan tak linier cukup sulit diselesaikan apabila parameter yang
digunakan banyak dan model yang rumit. Tidak seperti model linier, turunan parsial
tak linier adalah fungsi dari parameter. Persamaan tak linier yang dihasilkan, tidak
mudah diselesaikan sehingga menurut Draper dan Smith (1992) pendugaan parameter
tak linier dilakukan dengan metode iterasi. Maka solusinya dengan menggunakan
metode Marquardt Compromise untuk menduga parameter pada persamaan tak linier.
Metode ini memiliki bentuk umum yang dinyatakan Zulkarnaen (2012) dengan
[
^β n+1= β^ n−(J ( ^β n )T J ( ^β n ) + λn I pxp)−1 ∂ SSE( β )
∂ ( βi )
]
(2.5)
Algoritma metode Marquadrt’s Compromise sebagai berikut:
1.
Untuk
n=0
(β 0) , nilai
(iterasi ke-n), perlu menentukan nilai awal penaksir parameter
λ
adalah 0< λ SSE ( β^ n )
^β n+1 , secara iteratif sesuai persamaan umum.
maka
λ
dikali 10, kemudian kembali ke langkah
λ
dibagi 10, kemudian kembali ke langkah
(1).
5.
Jika
SSE ( β^ n +1 )
MODEL LOGISTIK DAN GOMPERTZ
Kasus : Bobot Burung Puyuh (Coturnix coturnix japonica)
Proposal Tugas Akhir
Bidang Studi Matematika
Oleh
Danni Setiadi
NIM 08111001046
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
FEBRUARI 2015
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang
Analisis regresi linier digunakan untuk mengetahui hubungan antara dua atau
lebih peubah. Pada berberapa kasus seringkali ditemukan bentuk hubungan antar
peubah tak linier. Salah satu model regresi tak linier adalah model pertumbuhan.
Model pertumbuhan merupakan salah satu bentuk analisis regresi tak linier yang
berguna untuk mengetahui suatu hubungan antara pertambahan ukuran tubuh (bobot,
tinggi, dan volume tubuh) dengan dipengharui oleh waktu. Terdapat berberapa model
pertumbuhan yang dikembangkan untuk mempelajari pola pertumbuhan bobot
hewan, diantaranya model logistik dan Gompertz.
Model logistik merupakan model kurva pertumbuhan berbentuk S yang
simetris dengan titik infleksinya. Titik infleksi merupakan titik maksimum
pertumbuhan bobot hidup. Sedangkan model Gompertz merupakan model kurva
pertumbuhan yang berbentuk S tetapi tidak simetris dengan titik infleksinya. Kedua
model pertumbuhan ini mempunyai kelebihan dalam tingkat keakuratan dan
mempunyai interpretasi biologis yang baik dalam menjelasakan fenomena biologis
diantaranya terjadinya bobot titik infleksi. Oleh sebab itu, kedua model pertumbuhan
tersebut memungkinkan dilakukan penelitian pola pertumbuhan bobot tubuh burung
puyuh.
Menurut penelitian yang dilakukan Wardhani, dkk. (2010) yang menggunakan
model Logistik dan Gompertz terhadap pertumbuhan ayam broiler StrainLohmann.
Hasil dari penelitian tersebut adalah menunjukkan ayam jantan dan betina berumur 19
atau 20 hari terjadi pola pertumbuhan paling pesat dan telah mencapai puncaknya
pada saat bobot badan adalah 806.96 gram untuk ayam betina dan 939.63 gram untuk
ayam jantan. Dengan demikian dapat dipertimbangkan kapan sebaiknya ayam
mendapatkan perlakuan khusus atau upaya-upaya lain sehingga diperoleh bobot
badan mungkin yang lebih tinggi atau masa panen ayam bisa dipersingkat. Pada umur
30 hari titik infleksi yang didapatkan pada bobot ayam jantan dan betina berturutturut 1.94 kg dan 1.68 kg ini berarti ayam dapat dipanen saat sebelum terjadinya laju
pertumbuhan maksimum.
Sampurna, dkk. (2008) dengan menggunakan metode yang sama melakukan
penelitian pola pertumbuhan dimensi panjang dan lingkar tubuh pada babi Landrace.
Diperoleh bahwa pada saat lahir pola pertumbuhan anak babi Landrace dan betina
mempunyai panjang tubuh yang hampir sama. Namun semakin dewasa anak babi
jantan lebih panjang dari pada betina. Hasil ini menunjukkan kecepatan pertumbuhan
babi jantan lebih besar dari pada betina. Panjang babi Landrace jantan mencapai titik
infleksi ketika berada pada panjang tubuh 205 cm, sedangkan babi Landrace betina
172 cm. Pola pertumbuhan lingkar tubuh pada saat baru lahir hingga mencapai umur
18 minggu, menunjukkan pola pertumbuhan betina dan jantan hampir sama. Setelah
berumur lebih dari 18 minggu, pola petumbuhan lingkar tubuh babi Landrace betina
semakin lebih besar dari pada jantan. Lingkar tubuh babi Landrace betina mencapai
titik infleksi pada ukuran 169 cm, sedangkan babi Landrace jantan 165 cm.
Dengan menggunakan model pertumbuhan logistik dan Gompertz, pola
pertumbuhan bobot hewan dapat di duga dengan memperhatikan bobot dan umur.
Titik infleksi dari kedua model pertumbuhan dapat di duga dengan memperhatikan
pola pertumbuhan dari masing-masing model.
1.2.
Perumusan Masalah
Permasalahan dalam penelitian ini adalah untuk mendapatkan:
1.
Bagaimana pola pertumbuhan bobot burung puyuh jantan dan betina,
dengan menggunakan model pertumbuhan logistik dan Gompertz?
2.
1.3.
Bagaimana titik infleksi dari kedua model yang digunakan?
Tujuan
Tujuan dalam penelitian ini adalah:
1.
Mendapatkan pola pertumbuhan bobot burung puyuh jantan dan betina
dengan
menggunakan
model
pertumbuhan
logistik
dan
model
pertumbuhan Gompertz.
2.
Mendapatkan titik infleksi dan perbandingan titik infleksi dari kedua
model yang digunakan.
1.4.
Pembatasan Masalah
Batasan masalah dalam penelitian ini adalah:
1.
Metode iterasi yang digunakan adalah Marquardt Compromise.
2.
Jenis unggas yang digunakan adalah burung puyuh jepang (Coturnix
coturnix japonica).
1.5.
Manfaat
Manfaat yang diperoleh dalam penelitian ini bahwa pola pertumbuhan yang
didapatkan dari model logistik dan Gompertz dapat dijadikan kajian dalam
melakukan penelitian terhadap bobot tubuh. Dengan menggunakan kedua model
tersebut maka dapat dipelajari model-model pertumbuhan yang lebih baik untuk
dijadikan bahan penelitian mengenai bobot tubuh. Dalam aspek praktis peternak
hewan atau khususnya pada penelitian ini yaitu burung puyuh, dapat menentukan
perlakuan yang diharapkan berpengaruh signifikan dengan pola pertumbuhan bobot
tubuh dan dapat memperkirakan umur pada saat bobot tubuh optimal serta bisa
digunakan sebagai parameter dalam metode seleksi pada waktu sebelum burung
puyuh mencapai titik infleksi atau maksimum bobot dan berguna untuk
mengefesiensi produksi ternak selama hidup.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1.
Model Pertumbuhan Logistik (Logistic Growth Model)
Salah satu model pertumbuhan populasi adalah model pertumbuhan logistik
(logistic growth model). Dengan menggunakan kaidah logistik (logistic law) bahwa
persediaan logistik ada batasnya, model ini mengasumsikan bahwa pada masa
tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium). Pada titik
ini jumlah kelahiran dan kematian dianggap sama, sehingga grafiknya akan
mendekati konstan (zero growth). Secara umum laju pertumbuhan yang bergantung
pada suatu populasi, dapat ditulis dengan persamaan (Draper dan Smith, 1998)
sebagai berikut :
ω=
α
(2.1)
{ 1+ β exp−kt }
dengan
α
adalah bobot badan tubuh (asimtot) yaitu pada nilai
t
mendekati tak
hingga;
β
adalah parameter skala (nilai konstanta integral);
exp adalah logaritma dasar (2,30259);
k
adalah rataan laju pertumbuhan hingga ternak mencapai dewasa tubuh.;
ω adalah ukuran bobot tubuh ternak pada waktu t ; dan
t
adalah satuan waktu (umur ternak dalam hari).
Menurut Draper dan Smith (1998) laju pertumbuhan model pertumbuhan
logistik untuk ( k >0 ) dapat dinyatakan dengan turunan pertama dari model
pertumbuhan logistik sebagai berikut :
dω kω( α −ω)
=
(2.2)
dt
α
Penurunan rumus didapatkan untuk melakukan pendugaan ukuran bobot tubuh
sekarang dan pertumbuhan yang akan datang,
α
dinyatakan dengan dengan nilai
bobot tubuh.
Fitzhugh (1976) memberi penjelasan tentang interpretasi biologis parameter
dalam kurva pertumbuhan sebagai berikut :
Y=
A
( 1+e−kt )
M
(2.3)
dengan
A
adalah nilai asimtot merupakan nilai
t
menuju tak hingga, secara
umum dapat diinterpretasikan sebagai rataan bobot tubuh pada saat ternak
telah mencapai dewasa terlepas dari fluktuasi karena faktor lingkungan;
M adalah parameter yang berfungsi sebagai penentu bentuk kurva untuk
membantu dalam penentuan titik infleksi;
k adalah parameter yang menunjukkan rataan laju pertumbuhan menuju bobot
dewasa. Ternak dengan nilai k besar, maka ternak tersebut mempunyai
kecendrungan bobot dewasa dini (cepat mencapai bobot dewasa);
e
adalah bilangan natural (2,718282);
Y
t
2.2.
adalah proporsi kedewasaan ternak; dan
adalah satuan waktu (umur).
Metode Petumbuhan Gompertz (Gompertz Growth Model)
Model pertumbuhan kurva Gompertz merupakan model pertumbuhan tak
linier yang dapat digunakan dalam pendugaan kurva pertumbuhan bobot burung
puyuh. Model pertumbuhan kurva Gompertz mempunyai kelebihan dalam tingkat
keakuratan dan memiliki interpretasi yang baik dalam menjelaskan mengenai bobot
tubuh, diantaranya terjadinya titik infleksi dan bobot infleksi. Walaupun tidak
seakurat model Richard dan semudah model Brody (Brown et al., 1976). Model
matematik kurva pertumbuhan menurut (Draper dan Smith, 1998) sebagai berikut :
❑
ω=α exp {−βe−kt }
(2.4)
dengan
α
adalah bobot badan tubuh (asimtot) yaitu pada nilai
β
adalah parameter skala (nilai konstanta integral);
t
hingga;
exp adalah logaritma dasar (2,30259);
k
adalah rataan laju pertumbuhan;
ω adalah ukuran bobot tubuh ternak pada waktu t ; dan
t
adalah satuan waktu (umur ternak dalam hari).
mendekati tak
2.3.
Pendugaan Parameter
Persamaan tak linier cukup sulit diselesaikan apabila parameter yang
digunakan banyak dan model yang rumit. Tidak seperti model linier, turunan parsial
tak linier adalah fungsi dari parameter. Persamaan tak linier yang dihasilkan, tidak
mudah diselesaikan sehingga menurut Draper dan Smith (1992) pendugaan parameter
tak linier dilakukan dengan metode iterasi. Maka solusinya dengan menggunakan
metode Marquardt Compromise untuk menduga parameter pada persamaan tak linier.
Metode ini memiliki bentuk umum yang dinyatakan Zulkarnaen (2012) dengan
[
^β n+1= β^ n−(J ( ^β n )T J ( ^β n ) + λn I pxp)−1 ∂ SSE( β )
∂ ( βi )
]
(2.5)
Algoritma metode Marquadrt’s Compromise sebagai berikut:
1.
Untuk
n=0
(β 0) , nilai
(iterasi ke-n), perlu menentukan nilai awal penaksir parameter
λ
adalah 0< λ SSE ( β^ n )
^β n+1 , secara iteratif sesuai persamaan umum.
maka
λ
dikali 10, kemudian kembali ke langkah
λ
dibagi 10, kemudian kembali ke langkah
(1).
5.
Jika
SSE ( β^ n +1 )