BARISAN DAN DERET ARITMATIKA (11)
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Barisan dan Deret Aritmatika merupakan salah satu materi dalam Pelajaran Matematika. Sebelum kita
belajar lebih jauh mengenai Barisan dan Deret Aritmatika, alangkah baiknya kita mengenal mengenai
Pola Bilangan.
.
1.
POLA BILANGAN
Contoh dari Pola Bilangan adalah sebgai berikut :
-
1, 2, 3, 4, 5, …
Mempunyai pola bilangan ditambah satu dari bilangan sebelumnya, dimulai dari 1.
-
64, 32, 16, 8, …
Mempunyai pola bilangan dibagi dua dari bilangan sebelumnya, dimulai dari 64.
-
9, 7, 5, 3, 1, …
Mempunyai pola bilangan dikurang dua dari bilangan sebelumnya, dimulai dari 9.
Berdasarkan beberapa contoh diatas dapat di tarik kesimpulan bahwa Pola Bilangan adalah susunan
bilangan yang memiliki aturan atau pola tertentu.
.
2.
BARISAN BILANGAN
Perhatikan pola bilangan berikut ini :
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, …
- angka 9 pada barisan bilangan merupakan suku ketiga.
- angka 17 pada barisan bilangan merupakan suku kelima.
- angka 25 pada barisan bilangan merupakan suku ketujuh.
Secara umum dapat ditulis U1, U2, U3, U4, U5, …, Un
- U1 disebut sebagai suku pertama,
- U2 disebut sebagai suku kedua,
- U3 disebut sebagai suku ketiga, dan seterusnya.
Dengan demikian Barisan Bilangan adalah urutan bilangan-bilangan dengan aturan tertentu yang
masing-masing bilangan dalam urutan tersebut disebut suku-suku barisan, setiap suku digabungkan
dengan tanda koma (,).
Contoh 1
Tentukan lima suku pertama dari barisan bilangan dengan rumus suku ke-n adalah Un = 2n – 1 ?
Jawab :
Un = 2n – 1
Un = 2.(1) – 1 = 2 – 1 = 1
Un = 2.(2) – 1 = 4 – 1 = 3
Un = 2.(3) – 1 = 6 – 1 = 5
Un = 2.(4) – 1 = 8 – 1 = 7
Un = 2.(5) – 1 = 10 – 1 = 9
Jadi lima suku pertama dari barisan bilangan dengan rumus Un = 2n – 1 adalah 1, 3, 5, 7, 9.
Contoh 2
Tentukan rumus suku ke-n untuk barisan bilangan berikut ini ! (2, 5, 8, 11, 14, …)
Jawab :
2, 5, 8, 11, 14, …
2 = 3.1 – 1
5 = 3.2 – 1
8 = 3.3 – 1
11 = 3.4 – 1
14 = 3.5 – 1
Jadi rumus suku ke-n untuk barisan bilangan 2, 5, 8, 11, 14, … adalah Un = 3n – 1
.
3.
DERET
Perhatikan penjumlahan berikut ini !
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ….. + n
- angka 6 merupakan suku ketiga
- angka 10 merupakan suku kelima
maka secara umum dapat ditulis U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … Un
Dengan demikian maka dapat diambil kesimpulan bahwa Deret adalah penjumlahan dari suku-suku
suatu barisan bilangan.
.
4.
BARISAN ARITMATIKA
Perhatikan contoh barisan-barisan bilangan berikut ini !
(i)
2, 8, 14, 20, …
(ii) 3, 5, 7, 9, …
(iii) 25, 20, 15, 10, …
Barisan di atas merupakan contoh Barisan Aritmatika, yang secara umum dapat dikatakan bahwa :
U1, U2, U3, U4, … disebut sebagai Barisan Aritmatika. jika (U2 – U1) + (U3 – U2) = …. = Un – (Un-1)
= konstanta.
Konstanta dalam hal ini disebut dengan beda (b).
Untuk barisan pada contoh di atas adalah :
(i)
(8 – 2) = (14 – 8) = (20 – 14) = … = 6, jadi beda pada barisan tersebut adalah 6.
(ii) (5 – 3) = (7 – 5) = (9 – 7) = … = 2, jadi beda pada barisan tersebut adalah 2.
(iii) (20 – 25) = (15 – 20) = (10 – 15) = … = -5, jadi beda pada barisan tersebut adalah -5
Rumus umum suku ke-n Barisan Aritmatika dengan suku pertama dan beda (b) dapat diturunkan seperti
berikut.
U1 = a
U2 = a + b
U3 = a + 2b
U4 = a + 3b
U5 = a + 4b
Un = a + (n-1)b
jadi dapat di ambil kesimpulan bahwa Rumus suku ke-n Barisan Aritmatika adalah Un = a + (n-1)b,
dimana (a) adalah suku pertama dan (b) adalah beda.
Contoh 1
Carilah suku ke-20 barisan aritmatika -3, 2, 7, …
Jawab :
a = -3, b = (7-2) = 5, n = 20
Un = a + (n-1)b
U20 = a + (20 – 1).5
U20 = -3 + 19.5
U20 = -3 + 95
U20 = 92
Contoh 2
Carilah suku pertama dan beda, jika diketahui suku ke-10 adalah 41 dan suku ke-3 adalah 20.
Jawab :
U10 = 41
a + 9b = 41 …….(pers. 1)
U3 = 20
a + 2b = 20 …….(pers. 2)
dari kedua persamaan tersebut dilakukan eliminasi.
a + 9b = 41
a + 2b = 20 0 + 7b = 21 => maka b = 21/7 = 3
Dari b =3 disubtisusikan ke salah satu persamaan awal, misal kita ambil pers.1, maka :
a + 9b = 41
a + 9.(3) = 41 => maka di dapat nilai a = 41-27 = 14
Jadi suku pertamanya (a) adalah 14 dan bedanya (b) adalah 3.
Contoh 3
Carilah rumus suku ke-n dari barisan 2, 4, 6, 8, …
Jawab :
Suku pertama (a) = 2, beda (b) = 4 – 2 = 2.
Un = a + (n-1)b
Un = 2 + (n-1)2
Un = 2 + 2n – 2
Un = 2n
Jadi rumus suku ke-n dari barisan 2, 4, 6, 8, … adalah Un = 2n
.
5.
DERET ARITMATIKA
Dari barisan aritmatika 4, 7, 10, 13, 16, ….. dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan
berurutan dari suku barisan tersebut, yaitu 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + ….
Karena suku-suku yang dijumlahkan merupakan suku-suku dari barisan aritmatika, maka deret yang
terbentuk disebut Deret Aritmatika.
Definisi :
Jika diketahui U1, U2, U3, …, Un merupakan suku-suku ari suatu barisan aritmatika, maka U 1 + U2 + U3
+, …., Un disebut sebagai Deret Aritmatika dengan Un = a + (n-1)b
Jika Sn merupakan jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmatika, maka rumus umum untuk Sn
dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un, maka :
Sn = a + (a+b) + ( a+2b) + … + (a+(n-1)b)
Sn = Un + (Un-b) + (Un-2b) + … + a
+
2Sn = (a+Un) + (a+Un) + (a+Un) + …. + (a + Un)
Penjumlahan sebanyak n suku.
2Sn = n (a+Un)
Sn = 1/2 n (a+Un)
Sn = 1/2 n (a+(a+(n-1)b))
Sn = 1/2 n (2a + (n-1)b)
Jadi rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah :
Sn = 1/2n(2a + (n-1)b) atau Sn = 1/2n(a+Un)
Contoh
Carilah jumlah suku pertama deret 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …
Jawab :
Dari barisan di atas a=1, b=1 dan n=100, maka :
Sn = 1/2n(2a + (n-1)b)
Sn = 1/2.100 (2.1 + (100-1).2)
Sn = 50.(2+(99.2))
Sn = 50.200
Sn = 10000
Rumus jumlah deret aritmatika juga dapat di uraikan sebagai berikut :
Sn = 1/2n(2a + (n-1)b)
Sn = an + 1/2bn2 – 1/2bn
Sn = 1/2bn2 + (a-1/2b)n, atau dapat ditulis Sn = pn2 + qn dengan p = 1/2b dan q = (a-1/2b) yang
merupakan suatu fungsi kuadrat tanpa konstanta.
Contoh 1
Hitung jumlah dari deret 3 + 8 + 13 + … + 93
Jawab :
Dari data diatas didapat : a = 3, b = 8-3 = 5 dan Un = 93
Untuk menentukan jumlah suku, maka kita harus menentukan n terlebih dahulu.
Un = a + (n-1)b
93 = 3 + (n-1)5
93 = 3 + 5n-5
93 = 5n – 2
95 = 5n
n = 19
Selanjutnya kita gunakan rumus Sn = 1/2n(a+Un), sehingga :
S19 = 1/2.19.(3+93)
S19 = 1/2.19.96
S19 = 19.48
S19 = 912
Contoh 2
Jumlah n suku suatu deret aritmatika adalah Sn = n2-3n. Tentukan seke ke sepuluhnya !
Jawab :
Dalam hal ini Sn merupakan persamaan kuadrat Sn = pn2 + qn yang mana p=1 dan q=3, padahal
menurut rumus diatas p = 1/2b dan q = (a-1/2b). maka :
1/2b = 1 maka b =2 dan (a-1/2b) = -3 maka a = -2.
Dengan demikian :
U10 = a + 9b
U10 = -2 + 9.2
U10 = 16
Barisan dan Deret Aritmatika merupakan salah satu materi dalam Pelajaran Matematika. Sebelum kita
belajar lebih jauh mengenai Barisan dan Deret Aritmatika, alangkah baiknya kita mengenal mengenai
Pola Bilangan.
.
1.
POLA BILANGAN
Contoh dari Pola Bilangan adalah sebgai berikut :
-
1, 2, 3, 4, 5, …
Mempunyai pola bilangan ditambah satu dari bilangan sebelumnya, dimulai dari 1.
-
64, 32, 16, 8, …
Mempunyai pola bilangan dibagi dua dari bilangan sebelumnya, dimulai dari 64.
-
9, 7, 5, 3, 1, …
Mempunyai pola bilangan dikurang dua dari bilangan sebelumnya, dimulai dari 9.
Berdasarkan beberapa contoh diatas dapat di tarik kesimpulan bahwa Pola Bilangan adalah susunan
bilangan yang memiliki aturan atau pola tertentu.
.
2.
BARISAN BILANGAN
Perhatikan pola bilangan berikut ini :
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, …
- angka 9 pada barisan bilangan merupakan suku ketiga.
- angka 17 pada barisan bilangan merupakan suku kelima.
- angka 25 pada barisan bilangan merupakan suku ketujuh.
Secara umum dapat ditulis U1, U2, U3, U4, U5, …, Un
- U1 disebut sebagai suku pertama,
- U2 disebut sebagai suku kedua,
- U3 disebut sebagai suku ketiga, dan seterusnya.
Dengan demikian Barisan Bilangan adalah urutan bilangan-bilangan dengan aturan tertentu yang
masing-masing bilangan dalam urutan tersebut disebut suku-suku barisan, setiap suku digabungkan
dengan tanda koma (,).
Contoh 1
Tentukan lima suku pertama dari barisan bilangan dengan rumus suku ke-n adalah Un = 2n – 1 ?
Jawab :
Un = 2n – 1
Un = 2.(1) – 1 = 2 – 1 = 1
Un = 2.(2) – 1 = 4 – 1 = 3
Un = 2.(3) – 1 = 6 – 1 = 5
Un = 2.(4) – 1 = 8 – 1 = 7
Un = 2.(5) – 1 = 10 – 1 = 9
Jadi lima suku pertama dari barisan bilangan dengan rumus Un = 2n – 1 adalah 1, 3, 5, 7, 9.
Contoh 2
Tentukan rumus suku ke-n untuk barisan bilangan berikut ini ! (2, 5, 8, 11, 14, …)
Jawab :
2, 5, 8, 11, 14, …
2 = 3.1 – 1
5 = 3.2 – 1
8 = 3.3 – 1
11 = 3.4 – 1
14 = 3.5 – 1
Jadi rumus suku ke-n untuk barisan bilangan 2, 5, 8, 11, 14, … adalah Un = 3n – 1
.
3.
DERET
Perhatikan penjumlahan berikut ini !
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ….. + n
- angka 6 merupakan suku ketiga
- angka 10 merupakan suku kelima
maka secara umum dapat ditulis U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … Un
Dengan demikian maka dapat diambil kesimpulan bahwa Deret adalah penjumlahan dari suku-suku
suatu barisan bilangan.
.
4.
BARISAN ARITMATIKA
Perhatikan contoh barisan-barisan bilangan berikut ini !
(i)
2, 8, 14, 20, …
(ii) 3, 5, 7, 9, …
(iii) 25, 20, 15, 10, …
Barisan di atas merupakan contoh Barisan Aritmatika, yang secara umum dapat dikatakan bahwa :
U1, U2, U3, U4, … disebut sebagai Barisan Aritmatika. jika (U2 – U1) + (U3 – U2) = …. = Un – (Un-1)
= konstanta.
Konstanta dalam hal ini disebut dengan beda (b).
Untuk barisan pada contoh di atas adalah :
(i)
(8 – 2) = (14 – 8) = (20 – 14) = … = 6, jadi beda pada barisan tersebut adalah 6.
(ii) (5 – 3) = (7 – 5) = (9 – 7) = … = 2, jadi beda pada barisan tersebut adalah 2.
(iii) (20 – 25) = (15 – 20) = (10 – 15) = … = -5, jadi beda pada barisan tersebut adalah -5
Rumus umum suku ke-n Barisan Aritmatika dengan suku pertama dan beda (b) dapat diturunkan seperti
berikut.
U1 = a
U2 = a + b
U3 = a + 2b
U4 = a + 3b
U5 = a + 4b
Un = a + (n-1)b
jadi dapat di ambil kesimpulan bahwa Rumus suku ke-n Barisan Aritmatika adalah Un = a + (n-1)b,
dimana (a) adalah suku pertama dan (b) adalah beda.
Contoh 1
Carilah suku ke-20 barisan aritmatika -3, 2, 7, …
Jawab :
a = -3, b = (7-2) = 5, n = 20
Un = a + (n-1)b
U20 = a + (20 – 1).5
U20 = -3 + 19.5
U20 = -3 + 95
U20 = 92
Contoh 2
Carilah suku pertama dan beda, jika diketahui suku ke-10 adalah 41 dan suku ke-3 adalah 20.
Jawab :
U10 = 41
a + 9b = 41 …….(pers. 1)
U3 = 20
a + 2b = 20 …….(pers. 2)
dari kedua persamaan tersebut dilakukan eliminasi.
a + 9b = 41
a + 2b = 20 0 + 7b = 21 => maka b = 21/7 = 3
Dari b =3 disubtisusikan ke salah satu persamaan awal, misal kita ambil pers.1, maka :
a + 9b = 41
a + 9.(3) = 41 => maka di dapat nilai a = 41-27 = 14
Jadi suku pertamanya (a) adalah 14 dan bedanya (b) adalah 3.
Contoh 3
Carilah rumus suku ke-n dari barisan 2, 4, 6, 8, …
Jawab :
Suku pertama (a) = 2, beda (b) = 4 – 2 = 2.
Un = a + (n-1)b
Un = 2 + (n-1)2
Un = 2 + 2n – 2
Un = 2n
Jadi rumus suku ke-n dari barisan 2, 4, 6, 8, … adalah Un = 2n
.
5.
DERET ARITMATIKA
Dari barisan aritmatika 4, 7, 10, 13, 16, ….. dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan
berurutan dari suku barisan tersebut, yaitu 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + ….
Karena suku-suku yang dijumlahkan merupakan suku-suku dari barisan aritmatika, maka deret yang
terbentuk disebut Deret Aritmatika.
Definisi :
Jika diketahui U1, U2, U3, …, Un merupakan suku-suku ari suatu barisan aritmatika, maka U 1 + U2 + U3
+, …., Un disebut sebagai Deret Aritmatika dengan Un = a + (n-1)b
Jika Sn merupakan jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmatika, maka rumus umum untuk Sn
dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un, maka :
Sn = a + (a+b) + ( a+2b) + … + (a+(n-1)b)
Sn = Un + (Un-b) + (Un-2b) + … + a
+
2Sn = (a+Un) + (a+Un) + (a+Un) + …. + (a + Un)
Penjumlahan sebanyak n suku.
2Sn = n (a+Un)
Sn = 1/2 n (a+Un)
Sn = 1/2 n (a+(a+(n-1)b))
Sn = 1/2 n (2a + (n-1)b)
Jadi rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah :
Sn = 1/2n(2a + (n-1)b) atau Sn = 1/2n(a+Un)
Contoh
Carilah jumlah suku pertama deret 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …
Jawab :
Dari barisan di atas a=1, b=1 dan n=100, maka :
Sn = 1/2n(2a + (n-1)b)
Sn = 1/2.100 (2.1 + (100-1).2)
Sn = 50.(2+(99.2))
Sn = 50.200
Sn = 10000
Rumus jumlah deret aritmatika juga dapat di uraikan sebagai berikut :
Sn = 1/2n(2a + (n-1)b)
Sn = an + 1/2bn2 – 1/2bn
Sn = 1/2bn2 + (a-1/2b)n, atau dapat ditulis Sn = pn2 + qn dengan p = 1/2b dan q = (a-1/2b) yang
merupakan suatu fungsi kuadrat tanpa konstanta.
Contoh 1
Hitung jumlah dari deret 3 + 8 + 13 + … + 93
Jawab :
Dari data diatas didapat : a = 3, b = 8-3 = 5 dan Un = 93
Untuk menentukan jumlah suku, maka kita harus menentukan n terlebih dahulu.
Un = a + (n-1)b
93 = 3 + (n-1)5
93 = 3 + 5n-5
93 = 5n – 2
95 = 5n
n = 19
Selanjutnya kita gunakan rumus Sn = 1/2n(a+Un), sehingga :
S19 = 1/2.19.(3+93)
S19 = 1/2.19.96
S19 = 19.48
S19 = 912
Contoh 2
Jumlah n suku suatu deret aritmatika adalah Sn = n2-3n. Tentukan seke ke sepuluhnya !
Jawab :
Dalam hal ini Sn merupakan persamaan kuadrat Sn = pn2 + qn yang mana p=1 dan q=3, padahal
menurut rumus diatas p = 1/2b dan q = (a-1/2b). maka :
1/2b = 1 maka b =2 dan (a-1/2b) = -3 maka a = -2.
Dengan demikian :
U10 = a + 9b
U10 = -2 + 9.2
U10 = 16