5
BAB II PROGRAM LINEAR DENGAN DUAL
A. Program Linear
Penerapan program linear untuk pertama kalinya adalah di bidang perencanaan militer, yakni pada perang dunia II oleh angkatan bersenjata Amerika
Serikat dan Inggris. Kemudian pada tahun1930-an ahli matematika seperti Von Neuman dan Leontief melahirkan teknik-teknik penyelesaian masalah program
linear dengan menggunakan pendekatan aljabar linear aljabar matriks. Karya Leontif yang terkenal adalah model input-output. Setelah itu ahli matematika Dr
George B. Dantzig, seorang anggota dari pasukan Angkatan Udara tersebut, memformulasikan masalah program linear secara umum dan menemukan
penyelesaian dengan metode simpleks pada tahun 1947. Program linear adalah suatu metode optimasi yang digunakan untuk
menyelesaikan masalah dengan fungsi sasaran dan kendala-kendala berbentuk linear.
Secara umum masalah program linear dapat dinyatakan sebagai berikut : 1.
Bentuk Baku Masalah Program Linear : Minimumkan atau maksimumkan :
n n
x c
x c
x c
z +
+ +
= K
2 2
1 1
2.1
6
dengan kendala-kendala :
⎪ ⎪
⎭ ⎪
⎪ ⎬
⎫
≥ =
≤ +
+ +
≥ =
≤ +
+ +
≥ =
≤ +
+ +
m n
mn m
m n
n n
n
b x
a x
a x
a b
x a
x a
x a
b x
a x
a x
a
} ,
, {
} ,
, {
} ,
, {
2 2
1 1
2 2
2 22
1 21
1 1
2 12
1 11
K M
O O
M K
K 2.2
n j
x
j
, ,
2 ,
1 ,
K =
≥ 2.3
Rumus di atas dapat diringkas sebagai berikut : Minimumkan atau maksimumkan :
∑
=
=
n j
j j
x c
z
1
2.4 dengan kendala
∑
=
= ≥
= ≤
n j
i j
ij
m i
b x
a
1
, ,
2 ,
1 ,
, ,
K 2.5
n j
x
j
, ,
2 ,
1 ,
K =
≥ 2.6
2. Bentuk Matriks Masalah Program linear :
Minimumkan atau maksimumkan : cx
= z
2.7 dengan kendala-kendala :
{
} ,
, ≥
≥ =
≤
x b
Ax
2.8 dengan :
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
=
mn m
m n
n
a a
a a
a a
a a
a
K M
O M
K K
2 1
2 22
21 1
12 11
A ,
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
=
n
x x
x M
2 1
x ,
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
=
n
b b
b M
2 1
b ,
n
c c
c ,
, ,
2 1
K =
c
7
Definisi 2.1 Fungsi sasaran atau fungsi tujuan Fungsi sasaran masalah program linear berbentuk
∑
=
=
p j
j j
x c
z
1
dengan p merupakan banyaknya variabel,
j
x merupakan variabel ke- j , dan
j
c merupakan koefisien ongkos dari variabel ke-
j .
Definisi 2.2 Kendala utama dan kendala tak negatif
Persamaan atau pertidaksamaan dalam masalah program linear ,
, ,
1 ,
∑
=
≥ =
≤
n j
i j
j i
b x
a m
i ,...,
2 ,
1 =
disebut kendala utama, dengan m merupakan banyaknya kendala, dan
j i
a
,
koefisien teknis merupakan koefisien kendala ke- i dari variabel ke- j dan
i
b menyatakan konstanta di ruas kanan untuk kendala ke-
i . Sedangkan
; ≥
j
x p
j ,...,
2 ,
1 =
disebut kendala tak negatif
Untuk mengembangkan suatu metode penyelesaian, secara umum harus sesuai dengan karakter dari masalah program linear. Karakter tersebut dinyatakan
dalam bentuk baku sebagai berikut : 1.
Fungsi sasarannya berpola minimum atau maksimum. 2.
Semua kendalanya berbentuk persamaan. Bentuk ini disebut bentuk kanonik dari masalah program linear.
3. Semua variabel keputusan
i
x adalah tak negatif.
8
Definisi 2.3 Penyelesaian layak Penyelesaian layak adalah penyelesaian yang memenuhi semua kendala yakni
kendala utama dan kendala tak negatif.
Definisi 2.4 Penyelesaian optimum Penyelesaian optimum adalah penyelesaian layak yang takhingga banyak yang
mengoptimumkan fungsi sasaran.
Definisi 2.5 Penyelesaian basis Suatu vektor x merupakan penyelesaian basis, jika:
i x memenuhi persamaan kendala utama dalam program linear.
ii kolom-kolom matriks kendala yang bersesuaian dengan vektor tak nol x
adalah bebas linear.
Definisi 2.6 Penyelesaian layak basis Suatu vektor x disebut penyelesaian layak basis jika x adalah penyelesaian
basis dan memenuhi kendala tak negatif x
≥ .
Definisi 2.7 Penyelesaian layak basis optimum Suatu vektor x disebut penyelesaian layak basis optimum
jika x adalah
penyelesaian layak basis yang juga mengoptimumkan fungsi sasaran.
9
Masalah program linear biasanya diselesaikan dengan dua metode penyelesaian, yaitu metode grafik dan metode simpleks. Masalah program linear dapat
diselesaikan dengan menggunakan metode grafik bila masalah tersebut hanya memiliki dua variabel keputusan. Tetapi untuk masalah yang memiliki variabel
keputusan lebih dari dua tidak mungkin menggunakan metode grafik. Lalu pada tahun 1947 George Dantzig dan pakar-pakar lainnya mengembangkan metode
simpleks yang dapat menyelesaikan masalah program linear yang memuat tiga variabel keputusan atau lebih.
B. Metode Grafik
Kategori